Cálculo-Limites

jemc Página 1

Introdução

O conceito de limite é um dos mais importantes do cálculo e da análise matemática. Sua

formulação é derivada a Cauchy (matemático francês 1789–1857), o qual compreendeu

que, a conceituação dinâmica do limite (aproximação contínua), poderia ser omitida em

benefício de sua definição (estática), que torna possível do estudante a compreensão

analítica das propriedades de continuidade de uma função e do indispensável conceito de

derivada. Em outras palavras, o limite descreve o comportamento de uma função perto de

um ponto, não no ponto.

Definição

Escrevemos )(lim xf

cx para representar o número L do qual f(x) se avizinha quando x tende

a c.

a) Quando x tende a + ou - e f(x) tende a L, temos,

LxfLxfxx

)(limou )(lim

b) Quando x tende a xo e f(x) tende a , temos,

)(lim0

xfxx

c) Quando x tende a e f(x) tende a , temos,

)(lim e )(lim xfxfxx

Propriedades Fundamentais dos Limites

1- O limite de uma constante é a própria constante.

2- Uma função uniforme y = f(x) não pode ter dois limites distintos, no mesmo ponto

(unicidade do limite).

3- Se 0)(lim0

Lxfxx

; a função f(x) tem o mesmo sinal de L (permanência do sinal).

4- Se duas funções f(x) e g(x) têm valores iguais para ) e 0(d 0 00 xxdxx ,

se Lxfxx

)(lim0

, temos, Lxgxfxxxx

)(lim)(lim00

.

5- Sejam f(x), g(x) e z(x) funções de x definidas em (a,b) e x0 um ponto de (a,b).

Se )()()( )(lim)(lim00

xgxzxfeLxgxfxxxx

para todo ponto de (a,b),

diferente de x0, então: Lxzxx

)(lim0

(critério de confronto).

Cálculo-Limites

jemc Página 2

Exemplo

a) 2

4)(

2

x

xxf

Operações Fundamentais sobre limite

vv

mm

mm

uu

positivosuuuu

uuu

uu

vv

u

v

u

vuvu

vuvu

vuvu

lim)(limlim

) lim e ( ,limlogloglim

)0(lim , limlim

)(lim)lim(

0lim ,lim

limlim

limlim)lim(

limlim)lim(

limlim)lim(

Limite da função algébrica racional inteira

O limite da função algébrica, racional, inteira, f(x), quando x a é f(a).

O limite da função algébrica, racional, inteira, f(x), quando x é igual ao limite do

termo de maior grau de f(x).

Exemplos

)12(lim

)952(lim

)1(lim

3

2

2

2

xx

xx

xx

x

x

x

Cálculo-Limites

jemc Página 3

O limite de uma função racional fracionaria (quando x ) é:

Caso 01, Se m = n 0

0

)(

)(lim

b

a

xg

xf

x

Caso 02, Se m > n

0

0lim)(

)(lim

b

xa

xg

xfnm

xx

Caso 03, Se m < n 0lim)(

)(lim

0

0 mnxx xb

a

xg

xf

Calcular os valores de y das seguintes funções.

)2(lim

)53(lim

)12(lim

)952(lim

3

3lim

9

3lim

8

2lim

2

4lim

)1(lim

lim

2

2

3

2

3

9

3

8

2

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Cálculo-Limites

jemc Página 4

1

23lim

32

123lim

1

32lim

153

8lim

523

22lim

22

1lim

75

152lim

6

15lim

53lim

82

53lim

2

2

1

2

3

2

24

2

3

2

5

3

2

3

23

2

2

1

2

0

2

2

1

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xxx

xx

xx

x

xx

xxx

x

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Limite de algumas funções transcendentais.

1

lim0

x

xsen

x

Cálculo-Limites

jemc Página 5

Temos:

0

0

0

0 lim

0

sen

x

xsen

x,

nada se podendo afirmar inicialmente, pois temos uma indeterminação.

Para levantar ou desaparecer essa indeterminação procedemos da seguinte forma.

Consideremos um círculo trigonométrico O e seja AM = x um arco do seu 10 quadrante, ver

figura, expresso em radianos.

Da observação da figura temos:

MN = 2MP = 2 sen x

MAN = 2AM = 2x

TT1 = 2AT = 2 tan x

É evidente que:

MN < MAN < TT1 2 sen x < 2x < 2 tan xsen x < x < tan x

E tomando os valores absolutos, o que é possível pois sen x, x, e tan x são positivos, temos:

xtan xxsen

N

x

B

B´

A A´

M

P

T

T1

o

Cálculo-Limites

jemc Página 6

Relação deduzida da anterior porém muito mais geral, pois não é válida apenas para x

positivo e sim para 2

x .

Dividindo por xsen temos: 1

cos xcos

1

1

x

xsenx

xsen

x ou

1

cos x

xsenx

Como 10 cos coslim0

xx

temos, de acordo com o critério de confronto:

1

lim1

lim00

x

xsen

x

xsen

xx

Exercícios.

Resolver.

x

lim

x

tanlim

xlim

x

cos1lim

xlim

)0(

lim

0

0

2

0

0

0

0

kxsen

x

xsen

sen

x

sen

x

bbx

axsen

x

x

x

x

x

x

Estudar os seguintes limites:

)1

(lim )1

1(lim0 x

a

x

x

x

x

x

Cálculo-Limites

jemc Página 7

Limites Laterais

Chamam-se limites laterais aos limites à esquerda e à direita:

3lim 3lim

lim lim

3lim

3lim

33

2

2

2

2

00

xx

xx

x

x

x

x

xx

xx

xx

Para que exista o limite de uma função, )(lim0

xfxx

, os limites laterais de f(x) têm que ser

igual a L, L )(lim0

xf

xx

e )(lim0

Lxfxx

.

Exercícios.

1- Calcular os limites laterais da função:

13

11

14

)(

2

xx

x

xx

xf

114

12

123

)(

xx

x

xx

xf

14

123)(

xx

xxxf

354

352)(

xx

xxxf

21

20

21

)(

2

xx

x

xx

xf

Cálculo-Limites

jemc Página 8

x

xxf )(

Uma função f´ é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números desse

intervalo. (Se f for definida somente de um lado do extremo do intervalo, entendemos

continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda).

Os seguintes tipos de funções são contínuas em todo o número de seus domínios:

Polinômio, funções racionais, funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas,

exponenciais e logarítmicas.

Exercícios

Analise a continuidade das seguintes funções.

4

1)()

3

127)()

sen)()

23)()

2

2

xxyd

x

xxxyc

xxyb

xxxya

Tangente

A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P(a), f(a) é a reta por P que tem

inclinação,

ax

afxfm

ax

)()(lim

desde que esse limite exista.

Exemplo

Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1,1).

Temos aqui a = 1 e f(x) = x2, logo a iniciação é,

211)1(lim1

)1)(1(lim

1

1lim

1

)1()(lim

11

2

11

x

x

xx

x

x

x

fxfm

xxxx

Cálculo-Limites

jemc Página 9

Usando a forma ponto–inclinação da reta, encontraremos que uma equação da reta tangente

em (1,1) é,

y-1 = 2 (x-1) ou y = 2x – 1

A forma ponto–inclinação da equação da reta por um ponto (x1,y1) com uma inclinação

m é: y – y1 = m(x – x1)

Velocidades

Suponha que um objeto movendo-se sobre uma linha reta de acordo com a equação s = f(x),

onde s é o deslocamento do objeto a partir da origem do instante t. A função f que descreve

o movimento é chamada função posição do objeto. No intervalo de tempo entre t = a e

t = a + h a variação na posição será de f(a+h - f(a). A velocidade média nesse intervalo é,

h

afhaf

tempo

todeslocamenmédiavelocidade

)()(

t = a t = a + h

f(a+h) – f(a)

Suponha que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores [a , a+h].

Em outras palavras, fazemos h tender a 0. Definimos velocidade (ou velocidade

instantânea) v(a) no instante t = a como o limite

h

afhafav

h

)()(lim)(

0

Exemplo

Suponha que uma bola foi deixada cair do posto de observação da torre, 450 m acima do

solo,

a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos?

b) Com qual velocidade a bola chega ao solo?

Em primeiro lugar vamos usar a equação do movimento s = 4,9t2 para encontrar a

velocidade v(a) após a segundos:

f(a)

f(a+h)

Cálculo-Limites

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aha

h

hah

h

ahaha

h

aha

h

afhaftv

h

hhhh

8,9)2(9,4lim

)2(9,4lim

)2(9,4lim

9,4)(9,4lim

)()(lim)(

0

2

0

222

0

22

00

a) A velocidade após 5 s é de v(5)=(9,8)(5)=49 m/s

b)Uma vez que o posto de observação está a 450 m acima do solo, a bola vai atingir o chão

em t1 quando s(t1) = 450, isto é,

smttv

st

t

/949,4

4508,98,9)(

6,99,4

450

9,4

450

4509,4

11

2

2

Outras Taxas de Variação

Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma

função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de x1 para x2, então a variação de x (também

chamada de incremento de x) é,

x = x2 – x1

e a variação correspondente de y é,

y = f(x2) –f( x1)

O quociente de diferenças,

12

12 )()(

xx

xfxf

x

y

é denominada de taxa média da variação de y em relação a x no

intervalo [x1 , x2] e pode ser interpretado como a inclinação de uma reta secante nos pontos

PQ.

Por analogia com a velocidade, consideremos a taxa média de variação em intervalos cada

vez menores fazendo x2 tender a x1 , portanto, fazendo x tender a 0. O limite dessas taxas

médias de variação é chamado taxa (instantânea) de variação de y em relação a x em

x = x1 , que é interpretada como a inclinação da tangente à curva y=f(x) em P(x1,f(x1)):

Cálculo-Limites

jemc Página 11

12

12

00

)()(limlimvartan

xx

xfxfiaçãoânea de taxa ins

xx

Exercícios:

1- Foram registradas as leituras de temperatura T (em graus Celsius) a cada hora,

começando à meia–noite, em um dia de abril na cidade de Whitefish, em Montana,

nos Estados Unidos. O tempo x foi medido em horas a partir da meia–noite. Os

dados estão na tabela.

a) Encontre a taxa média de variação da temperatura em relação ao tempo,

i) do meio–dia até as 15 horas.

ii) Do meio–dia até as 14 horas.

iii) Do meio–dia até as 13 horas.

b) Estime a taxa de variação instantânea ao meio dia.

x(h) T(oC) x(h) T(

oC)

0 6,5 13 16,0

1 6,1 14 17,3

2 5,6 15 18,2

3 4,9 16 18,8

4 4,2 17 17,6

5 4,0 18 16,0

6 4,0 19 14,1

7 4,8 20 11,5

8 6,1 21 10,2

9 8,3 22 9,0

10 10,0 23 7,9

11 12,1 24 7,0

12 14,3

2- Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 2x no ponto (-3,3),

a) Usando a definição de tangente.

b) Usando a equação para definir a velocidade.

c) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).

d) Faça os gráficos da parábola e da reta tangente. Como verificação, dê um

zoom e direção ao ponto (-3,3) até que a parábola e a reta fiquem não

distinguíveis.

3- Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

Cálculo-Limites

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)2,1( ,)1(

2

)2,3( ),2)(1(

)3,4( ,21

)2,1( ,21

2

3

x

xy

xxy

xy

xxy

4- O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo da reta dado

pela equação do movimento s = 4t3 + 6t + 2, onde t é medido em segundos.

Encontre a velocidade da partícula no instante t = a, t = 1 e t = 2.

5- O número N de franquias de uma certa cadeia popular de cafeteiras é mostrada na

tabela. (Esse número é obtido no dia 30 de junho de cada ano.)

Ano 1996 1997 1998 1999 2000

N 1015 1412 1886 2135 3300

a) Determinar a taxa média de crescimento,

i) de 1996 a 1998 ii) de 1997 a 1998 iii) de 1998 a 1999

Em cada caso inclua as unidades.

b) Dê uma estimativa da taxa de crescimento instantânea em 1998 tomando a média de

duas taxas médias de variação.

Quais são as unidades.

c) Dê uma estimativa da taxa de crescimento instantânea em 1998 mediando a

inclinação de uma tangente.