Mais sobre limites

2008/09

Um pouco mais sobre limites p. 1/3

Propriedades dos limites

Teorema:

Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de

acumulao de D. Se limxp

f(x) = a e limxp

g(x) = b, ento:

Limites e continuidade p. 8/16

Propriedades dos limites

Teorema:

Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de

acumulao de D. Se limxp

f(x) = a e limxp

g(x) = b, ento:

(a) limxp

= , para todo R;

Limites e continuidade p. 8/16

Propriedades dos limites

Teorema:

Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de

acumulao de D. Se limxp

f(x) = a e limxp

g(x) = b, ento:

(a) limxp

= , para todo R;

(b) limxp

xi = pi, para i {1, . . . , n};

Limites e continuidade p. 8/16

Propriedades dos limites

Teorema:

Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de

acumulao de D. Se limxp

f(x) = a e limxp

g(x) = b, ento:

(a) limxp

= , para todo R;

(b) limxp

xi = pi, para i {1, . . . , n};

(c) limxp

(f(x) + g(x)) = a + b;

Limites e continuidade p. 8/16

Propriedades dos limites

Teorema:

Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de

acumulao de D. Se limxp

f(x) = a e limxp

g(x) = b, ento:

(a) limxp

= , para todo R;

(b) limxp

xi = pi, para i {1, . . . , n};

(c) limxp

(f(x) + g(x)) = a + b;

(d) limxp

(f(x)g(x)) = ab;

Limites e continuidade p. 8/16

Propriedades dos limites

Teorema:

Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de

acumulao de D. Se limxp

f(x) = a e limxp

g(x) = b, ento:

(a) limxp

= , para todo R;

(b) limxp

xi = pi, para i {1, . . . , n};

(c) limxp

(f(x) + g(x)) = a + b;

(d) limxp

(f(x)g(x)) = ab;

(e) limxp

f(x)

g(x)=

a

b, se b 6= 0;

Limites e continuidade p. 8/16

Propriedades dos limites

Teorema:

Sejam f, g : D Rn R e p = (p1, . . . , pn) um ponto de

acumulao de D. Se limxp

f(x) = a e limxp

g(x) = b, ento:

(a) limxp

= , para todo R;

(b) limxp

xi = pi, para i {1, . . . , n};

(c) limxp

(f(x) + g(x)) = a + b;

(d) limxp

(f(x)g(x)) = ab;

(e) limxp

f(x)

g(x)=

a

b, se b 6= 0;

(f) limxp

|f(x)| = |a|.

Limites e continuidade p. 8/16

Produto de uma funo limitada por um infinitsimo

Sejam f, g : D Rn R e p um ponto de acumulao deD. Se

limxp

f(x) = 0

e existe uma bola aberta B de centro em p tal que a restrio de g

a D B limitada (o contradomnio da restrio um conjunto

limitado), ento

limxp

f(x)g(x) = 0.

Limites e continuidade p. 9/16

Produto de uma funo limitada por um infinitsimo

Sejam f, g : D Rn R e p um ponto de acumulao deD. Se

limxp

f(x) = 0

e existe uma bola aberta B de centro em p tal que a restrio de g

a D B limitada (o contradomnio da restrio um conjunto

limitado), ento

limxp

f(x)g(x) = 0.

Exerccio: Mostre que lim(x,y)(0,0)

x2y3

x2 + y2= 0.

Limites e continuidade p. 9/16

Limites iterados

Seja f : D R2 R e p = (p1, p2) um ponto de acumulao de

D. Selim

(x1,x2)(p1,p2)f(x1, x2) = l

e se existirem os limites unidimensionais

limx1p1

f(x1, x2) e limx2p2

f(x1, x2),

ento

limx1p1

[lim

x2p2f(x1, x2)

]= lim

x2p2

[lim

x1p1f(x1, x2)

]= l.

Limites e continuidade p. 10/16

Limites iterados

Seja f : D R2 R e p = (p1, p2) um ponto de acumulao de

D. Selim

(x1,x2)(p1,p2)f(x1, x2) = l

e se existirem os limites unidimensionais

limx1p1

f(x1, x2) e limx2p2

f(x1, x2),

ento

limx1p1

[lim

x2p2f(x1, x2)

]= lim

x2p2

[lim

x1p1f(x1, x2)

]= l.

Exerccio: Seja f(x, y) =x y

x + y, x + y 6= 0.

(a) Mostre que

limx0

[limy0

f(x, y)

]= 1 e lim

y0

[limx0

f(x, y)]

= 1.

(b) Existe limite de f quando (x, y) (0, 0)?Limites e continuidade p. 10/16

Limites iterados

Seja f : D R2 R e p = (p1, p2) um ponto de acumulao de

D. Selim

(x1,x2)(p1,p2)f(x1, x2) = l

e se existirem os limites unidimensionais

limx1p1

f(x1, x2) e limx2p2

f(x1, x2),

ento

limx1p1

[lim

x2p2f(x1, x2)

]= lim

x2p2

[lim

x1p1f(x1, x2)

]= l.

Exerccio: Seja f(x, y) =x2y2

x2y2 + (x2 y2), x2y2 + (x2 y2) 6= 0.

Mostre que

limx0

[limy0

f(x, y)

]= lim

y0

[limx0

f(x, y)]

= 0

mas que no existe limite de f quando (x, y) (0, 0).Limites e continuidade p. 11/16

Limites trajectoriais

Quando consideramos (x, y) a aproximar-se de (a, b) ao longo deuma dada trajectria, isto , (x, y) C sendo C uma curva quevai de (x, y) a (a, b), estamos a considerar uma limitetrajectorial

lim(x, y) (a, b)

(x, y) C

f(x, y)

Um pouco mais sobre limites p. 2/3

Limites trajectoriais

Proposio. Se existe o lim(x,y)(a,b)

f(x, y) ento todos os limites

trajectoriais lim(x, y) (a, b)

(x, y) C

f(x, y) so iguais.

Corolrio. Se existem dois limites trajectoriais diferentes entono existe limite.

Um pouco mais sobre limites p. 3/3

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