LIMITES DE FUNÇÕES limite cálculo...

IFFarroupilha - Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo

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Professor Mauricio Lutz

1

LIMITES DE FUNÇÕES 1) Introdução

O conceito de limite é fundamental no cálculo diferencial, um campo

da Matemática que teve início no século XVII e é bastante fértil em resultados e

aplicações em várias áreas do conhecimento, como a Física, a Engenharia, a

Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, entre outras.

2) Noção intuitiva de limites

Vamos analisar alguns casos em que aparece a idéia informal e intuitiva

de limite.

Exemplos:

a)Vamos considerar una região quadrada de área igual a 1.

Num primeiro momento vamos colorir a metade do quadrado.

Parte colorida:

21

da figura.

No momento seguinte, colorimos metade da região e mais metade do

que restou:

Parte colorida:

43

41

21

=+ da figura.

No próximo , colorimos o que havia sido colorido e mais metade do que

restou:

Parte colorida:

87

81

41

21

=++ da figura.

E assim, sucessivamente e indefinidamente, a área da região colorida

resultante vai tendendo a 1. Dizemos, então, que o limite desse desenvolvimento,

quando o número de momentos tende ao infinito, é colorir a figura toda, ou seja,

obter uma área colorida igual a 1.





2

b) Seja a função 12)( += xxf . Vamos dar valores de x que se aproximem de 1,

pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e

calcular o valor correspondente de y:

Pela direita Pela esquerda x 12 += xy x 12 += xy

1,5 4 0,5 2

1,3 3,6 0,7 2,4

1,1 3,2 0,9 2,8

1,05 3,1 0,95 2,9

1,02 3,04 0,98 2,96

1,01 3,02 0,99 2,98

Notemos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou

seja, quando x tende a 1 ( 1®x ), y tende para 3 ( 3®y ), ou seja:

3)12(lim1

=+®

xx

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da

função é 3.

Esse é o estudo do comportamento de )(xf quando x tende para 1

( 1®x ). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se )(xf tende para 3 ( 3)( ®xf ),

dizemos que o limite de )(xf quando 1®x é 3, embora possam ocorrer casos em

que para 1=x o valor de )(xf não seja 3.

De forma geral, escrevemos:

bxfax

=®

)(lim

se, quando x se aproxima de a ( ax ® ), )(xf se aproxima de b ( bxf ®)( )

c) Estudaremos agora o comportamento de uma função f nas proximidades de

um ponto. Seja 1,11

)(2

¹--

= xxx

xf .

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais

simples:

1)(1

)1)(1(11

)(2

+=Þ-

+-=

--

= xxfx

xxxx

xf





3

Vamos analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do

ponto 1=x , ponto este que não pertence ao domínio de f .

Pela direita Pela esquerda x 1+= xy x 12 += xy

1,5 2,5 0,5 1,5

1,3 2,3 0,7 1,7

1,1 2,1 0,9 1,9

1,05 2,05 0,95 1,95

1,02 2,02 0,98 1,98

1,01 2,01 0,99 1,99

Portanto quando nos aproximemos de 1=x , pela esquerda e pela

direita, o valor desta função se aproxima de 2.

Neste caso dizemos que

211)1(lim)(lim11

=+=+=®®

xxfxx

.

Exercícios

1) Considere a região do plano limitada pelo triângulo retângulo de base fixa e igual

a 4cm. Faça a altura ir se aproximando de 3, mas sem nunca atingir 3, isto é, faça

a altura tender a 3. Complete a tabela dada e verifique para que valor está

tendendo a área dessa região.

Base Altura Área

4 1

4 1,5

4 2,0

4 2,5

4 2,9

4 2,999

4 2,999999

2) O que ocorre, no limite, com a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo

se mantivermos a medida de um cateto constante e a do outro cateto for

diminuindo, tendendo a 0 (mas nunca 0)?





4

3) Considere a sequência .,1

*NÎ+

= nn

nan

a) Explicite essa sequência, escrevendo os valores para

,...1000,...,100,...,10,...,5,4,3,2,1=n

b) Escreva na forma de número decimal os termos da sequência do item anterior.

c) Para que valor esta tendendo essa sequência, quando n tende para infinito?

4) Considere o gráfico da função logarítmica xxf 2log)( = e reponda:

a) à medida que x tende a 1, )(xf tende para que valor?

b) à medida que x tende para uma valor cada vez maior, )(xf tende para quanto?

Gabarito

1) A área tende a 6 quando a altura tende a 3.

2) Se h tende a 0, então a tende a b.

3) a) ,...10011000

,...,101100

,...,...,1110

,...,65

,54

,43

,32

,21

b) ....99900099,0...;...;990099,0...;...;9090,0...;...;833,0;8,0;75,0...;66,0;5,0

c) Tende a 1.

4) a) 0 b) infinito.





5

3) Definição informal

Considere uma função f definida para valores de x próximos de um ponto

a sobre o eixo x, mas não necessariamente definida no próprio ponto a.

Suponha que exista um número real L com a propriedade de que f(x) fica

cada vez mais próximo de L, quando x se aproxima mais de a. Diz-se então que L é

o limite de f quando x tende para a, que simbolicamente expressa-se por:

Lxfax

=®

)(lim

Obs.: Se não existe um número L com essa propriedade diz-se que não existe

)(lim xfax®

.

Notação Significação intuitiva Interpretação gráfica

Lxfax

=®

)(lim

Podemos tornar f(x) tão

próximo de L quanto

quisermos, escolhendo x

suficientemente próximo

de a e x≠a.

O conceito de limites de funções tem grande utilidade na determinação

do comportamento de funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no

comportamento de funções quando x aumenta muito (tende ao infinito) ou diminui

muito (tende para menos infinito).

Exemplos:

a) Verifique como a função 63

2)(

23

--

=x

xxxf se comporta para valores próximos de 2.

Vamos determinar seu domínio:

236

63063 ¹Þ¹Þ¹Þ¹- xxxx

Portanto para 2=x o domínio não está definido.

Vamos verificar para valores próximos de 2.





6

x

632

)(23

--

=x

xxxf

x

632

)(23

--

=x

xxxf

1,9 1,20333333 2,1 1,47000000

1,99 1,32003333 2,01 1,34670000

1,999 1,33200033 2,001 1,33466700

1,9999 1,33320000 2,0001 1,33346667

1,99999 1,33332000 2,00001 1,33334667

1,999999 1,33333200 2,000001 1,33333467

Se simplificarmos a função 63

2)(

23

--

=x

xxxf obtemos:

3)2(3)2(

632

)(2223 x

xxx

xxx

xf =--

=--

=

Portanto a função363

2)(

223 xx

xxxf =

--

= .

Vamos verificar graficamente:

Podemos concluir que:

34

...333,163

2lim

23

2=@

--

® xxx

x

b) Verifique como a função 1 se 2

1 se1

2)(

2

ïî

ïíì

=

¹--+

x

xx

xxxg se comporta para valores

próximos de 1.

Observe que para 1=x o domínio não esta definido para a primeira parte

da função )(xg .

Simplificando 1-x

2)1)(x-(x1

22 +=

--+

xxx

obtemos 2+x .

Construindo e analisando graficamente temos:





7

Podemos observar que quando x tende a 1 o valor de y tende a 3, ou

seja 3)(lim1

=®

xgx

, pois o que interessa é o comportamento da função quando se

aproxima de 1 e não o que ocorre com a função quando 1=x .

c) Verifique como a função x

xf1

)( = se comporta para valores próximos de 0.

Temos que o domínio é }0{-Â .

Portanto para 0=x o domínio não esta definido.

Vamos verificar para valores próximos de zero.

x )(xf x )(xf Vamos verificar graficamente:

-0,1 -10 0,1 10

-0,01 -100 0,01 100

-0,001 -1000 0,001 1000

-0,0001 -10000 0,0001 10000

-0,00001 -100000 0,00001 100000

-0,000001 -1000000 0,000001 1000000

Neste caso quando x tende valores negativos e positivos. Cada vez mais

próximo de zero, verificamos que temos dois valores para a f(x). O que contradiz a

nossa definição informal de limite, isto é, não existe xx

1lim

0® .

Exercícios

1) Ache o valor de cada limite, caso exista, usando valores próximos:

a) )2(lim 2

3+

®x

x b) x

x 4lim®

c) 7lim100®x

d) 124

lim1 +

+® x

xx

e) 42

lim5 -

+® x

xx

f) )13(lim2

--®

xx

g) )(lim3

xx

--®

h) 100lim7®x

i) p1

lim-®x

j) )1(lim -®px





8

2) Use a simplificação algébrica para achar o limite, caso exista, utilizando valores

próximos:

a) )3)(1()4)(3(

lim3 ++

-+-® xx

xxx

b) 1

)3)(1(lim

2

1 +++

-® xxx

x c)

24

lim2

2 --

® xx

x

d) h

xhxh

22

0

)(lim

-+®

e) 82

4lim 22 --

--® zz

zz

f) 3

362lim

23

3 --+-

® xxxx

x

g) 2

lim 2

2

1 -+-

® rrrr

r h)

12732

lim 2

2

3 ++-+

-® rrrr

r i)

28

lim3

2 ++

-® hh

h

j) 28

lim3

2 --

-® hh

h

Gabarito

1) a) 11 b) 4 c) 7 d) 5/3 e) 7

f) –7 g) 3 h) 100 i) π j) –1

2) a) 7/2 b) 4 c) 4 d) 2x e) Não existe

f) 19 g) 1/3 h) –4 i) 12 j) 4

4) Definição de limite

Dizemos que o limite da função )(xf quando x tende a “a” é igual ao

número real L se, e somente se, os números reais )(xf para os infinitos valores de

x permanecem próximos a L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.

Indica-se:

Lxfax

=®

)(lim

5) Propriedades dos limites

1°) Limite de uma constante

O limite de uma constante é a própria constante.

kkax

=®

lim

Exemplo: 33lim2=

®x





9

2°) Limite da soma e diferença

O limite da soma é soma dos limites.

O limite da diferença é a diferença dos limites.

[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax ®®®

±=±

Exemplo: [ ] 4313limlim3lim 2

1

3

1

23

1=+=+=+

®®®xxxx

xxx

3°) Limite do produto

O limite do produto é o produto dos limites.

[ ] )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfaxaxax ®®®

=

Exemplo: 369.4lim.4lim4lim 2

33

2

3===

®®®xx

xxx

4°) Limite do quociente

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o

denominador não seja zero.

)(lim

)(lim

)()(

limxg

xf

xgxf

ax

ax

ax®

®

®=

Exemplo: 65

4232

)4(lim

)3(lim

)4()3(

lim2

2

2=

++

=+

+=

++

®

®

® x

x

xx

x

x

x

5°) Limite de uma potência

O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência

enésima do limite.

[ ] ( )nax

n

axxfxf )(lim)(lim

®®= *NÎn

Exemplo: ( ) ( ) 16)31()3(lim3lim 222

1

22

1=+=+=+

®®xx

xx

6°) Limite da raiz

O limite da raiz enésima de uma função é igual a raiz enésima do limite

dessa função. *n ,)(lim)(lim NÎ=

®®n

ax

n

axxfxf

Exemplo: 55 4

2

5 4

2483lim3lim ==

®®xx

xx





10

Exercícios

1) Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que

foram usadas.

a) ( )325lim 2

4+-

®xx

x b) ( )( )323

8621lim xxx

x+-+

® c)

3

421 34131

lim ÷øö

çèæ

+++

® xxx

x

d) 34

2lim 21 -+

--® xx

xx

e) ( ) ( )532

131lim ++

-®tt

t f) 63lim 4

2++

-®uu

u

g) 3 23

254lim xxxx

x-+-

® h)

153

lim52

1 --+

-® xxxx

x i)

22345

2 2lim ÷÷

ø

öççè

æ-

-+--® x

xxxxx

j) 4 234

1132lim +-+-

-®xxxx

x

2) Calcule o limite, caso existir.

a) 7lim4®x

b) 32

lim1-®x

c) ( )xxx

+®

3

25lim d) ÷

øö

çèæ -

-®xx

x 21

4lim 2

4

e) ( )13lim 2

3-+

®xx

x f) ( )1lim 234

0++-

®xxx

x g) 2

16lim x

x® h) )4)(1(lim

3xx

x--

®

i) 1

4lim

2

3 +® xx

x j)

1lim 2

3

5 -® xx

x k) ( )6

112lim -

-®x

x l) ( )223

21523lim -+-

®xxx

x

m) 4 4

181lim x

x® n) 3 2

4lim xx®

o) )4)(3(lim 2

2-+

®xx

x p) 50

2

1)14(lim -

®x

x

q) 5

2lim

4

23

16 ++

® x

xxx

r) 6

1

1lim ÷

ø

öçè

æ +® x

xx

s) 3 2

445lim --

®xx

x t)

1352

lim 2

3 3

3 --+

® xxx

x

u) ( )43lim4

-®

xx

v) )13(lim

2+-

-®x

x

w) 34

5lim

2 +-

-® xx

x

x) 1312

lim4 +

-® x

xx

y) 4

1)52(lim +-

®x

x z) 5

2)13(lim -

-®x

x

3) Calcule o limite, caso existir.

a) 15lim2®x

b) 2lim15®x

c) x

x 2lim

-®

d) xx 3lim®

e) ( )100

393lim -

®x

x

f) ( )50

21

14lim -®

xx

g) ( )723lim 3

2+-

-®xx

x

h) ( )895lim 2

4--

®xx

x

i) ( )( )9743lim3

-+-®

ttx

j)

9216

lim4 -

-® s

ss

k)

7816364

lim 3

2

21 -+

+-® xx

xx

x l)

276352

lim 2

2

21 +-

-+® xx

xx

x





11

m) 82

lim 32 --

® xx

x

n) 168

lim 4

3

2 -+

-® xx

x

o) 2

211

lim2 -

÷øö

çèæ-÷

øö

çèæ

® xx

x

p) ÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ

+-®

311

3lim

3

x

xx

q) ÷÷ø

öççè

æ-

--® 1

11

lim2

1 xxx

x r)

34

32

8

4

16lim

x

xx

--®

s) 14lim 4

2+-

-®xx

x

t) h

hh

+-®

164lim

0

u) ÷ø

öçè

æ -+

÷øö

çèæ

®1

1

11lim

0 hhh

v) 1

2lim 5

2

1 --+

® xxx

x

w) 1

107lim 6

2

2 -+-

® xxx

x

x) ( )( )32

3943lim vvv

v--

®

y) 32

22343lim ++

®kk

k

z) ( )325lim 2

5+-

®x

x

4) Calcule os seguintes limites, caso existam.

a) )253(lim 2

2+-

®xx

x b)

3432

lim2

1 --+

-® xxx

x c)

22

1 2312

lim ÷÷ø

öççè

æ-+-

® xxx

x

d) 32

23

2 34232

lim+++-+

-® xxxxx

x e) )574(lim 2

1+-

®xx

x f)

)342(lim 23

1+--

-®xxx

x

g) 56

23lim 22 +-

+® xx

xx

h) 12

453lim

2

1 ++-

-® xxx

x i) x

xxx 35

32lim

2

3 --+

-®

j) 3

2

2

2 43523

lim ÷÷ø

öççè

æ++---

® xxxx

x k)

2

2

23

4 292523

lim ÷÷ø

öççè

æ+----

® xxxxx

x l)

45432

lim2

1 --+

-® xxx

x

m) 323

2 34253

lim+

+---® x

xxxx

n) xxx

x 46232

lim2

2 -++

® o)

xxx

x 24

lim 2

2

2 --

®

p) 11

lim2

1 --

® xx

x q)

xx

x +-

-® 24

lim2

2 r)

3294

lim2

23 -

-® x

x

x

s) 634

lim 2

2

3 --+-

® xxxx

x t)

252352

lim 2

2

21 +-

-+® xx

xx

x u)

12523116

lim 2

2

23 --

++-® xx

xx

x

v) 11

lim 2

3

1 --

® xx

x w) 2

3

2 48

limxx

x -+

-® x) 3

4

2 816

limx

xx -

-®

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12

5) Seja a função f definida por

1 se 3

1 se 1

23)(

2

ïî

ïíì

=

¹-+-

=x

xx

xxxf

Calcular )(lim1

xfx®

.


2 se 3

2 se 2

232)(

2

ïî

ïíì

=

¹-

--=

x

xx

xxxf

Calcular )(lim2

xfx®

.


3 se 3

3 se 3

992)(

2

ïî

ïíì

-=

-¹+

++=

x

xx

xxxf

Calcular )(lim3

xfx -®

.

8) Calcule os limites, caso existam.

a) 353142

lim 23

23

1 -+-+-+

® xxxxxx

x b)

233

lim 23

23

1 +---+

-® xxxxx

x c)

3896

lim 3

3

3 ----

® xxxx

x

d) 584463

lim 23

23

1 -+--+-

® xxxxxx

x e) 23

4

2 2410

limxx

xxx -

+-®

f) 132

243lim 23

23

1 +-+--

® xxxxx

x

g) 3423

lim 4

3

1 +-+-

® xxxx

x h)

447212124

lim 23

234

2 -++--++

-® xxxxxxx

x

i) 254

45lim 23

234

1 +++++--

-® xxxxxxx

x j)

81227241252

lim 234

234

2 --++---+

-® xxxxxxxx

x

k) 3

21lim

3 --+

® xx

x l)

11

lim1 -

-® x

xx

m) x

xx

--®

11lim

0

n) 1

23lim

1 --+

® xx

x o)

xxx

x

121lim

2

0

---®

p) x

xxx

--+®

11lim

0

q) 1

12lim

1 -+-

® xxx

x r)

1103

lim 21 ---

® xx

x s)

912

lim 23 -+-

® xx

x

t) 2323

lim 21 +--+

® xxx

x u)

232

4lim

2

2 --+-

® xx

xx

v) 23

3333lim 2

22

1 +--+-+-

® xxxxxx

x





13

Gabarito

1)a) 75 b) 390 c) ½ d) ½ e) 256 f) 10 g) 0 h) 23

- i) 225 j) 4 8

2) a) 7 b) 32

c) 42 d) 66 e) 29 f) 1 g) 6 h) 2 i) 9 j) 24

125 k) 729 l)625

m) 3 n) 3 22 o) 2025 - p) 1 q) 772

r) 64 s) –2 t) 21

-

u) 8 v) 7 w) 7/5 x) 7/13 y) 81 z) –16807

3) a) 15 b) 2 c) –2 d) 3 e) 0 f) 1 g) –13 h) 36 i)150 j) –23

k) –½ l) Não existe m) 1/12 n) –3/8 o) –¼ p) 9 q) 2 r) 16/3 s) 5

t) 1/8 u) ½ v) 3/5 w) 0 x) 810 y) 8 z) 3

4) a) 4 b) 4/7 c) 4 d) –2 e) 2 f) 4 g) –8/3 h) –12 i) 0 j) 1/8 k) 9/4 l) 35

m) 2 n) –2 o) 2 p) 2 q) 4 r) 6 s) 4/5 t) –7/3 u) 7/11 v) 3/2 W) 3 x) –8/3

5) –1 6) 5 7) –3

8) a)2 b) –4/5 c) 21/19 d) 1 e) 11/2 f) 5/3 g) ½ h) –1/5 i) 8 j) 7/8 k) ¼ l) ½

m) ½ n) ¼ o) –1 p) 1 q) 42 r) 1/12 s) –1/24 t) –1/4 u) –8 v) 3

6) Limites laterais

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua

direita, escrevemos:

bxfax

=+®

)(lim

Este limite é chamado de limite lateral à direita de a.

Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua

esquerda, escrevemos:

cxfax

=-®

)(lim

Este limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.

O limite de )(xf para ax ® existe se, e somente se, os limites laterais à

direita e a esquerda são iguais, ou seja:

ÞSe bxfxfaxax

==-+ ®®

)(lim)(lim , então bxfax

=®

)(lim .

ÞSe )(lim)(lim xfxfaxax -+ ®®

¹ , então não existe )(lim xfax®

.

Vejamos um exemplo de aplicação que envolve limites laterais.





14

Um gás (tal como vapor d’água ou oxigênio) é mantido a temperatura

constante no pistão da figura abaixo. À medida que o gás é comprimido, o volume

V decresse até que atinja uma certa pressão crítica. Além dessa pressão, o gás

assume forma líquida. Use o gráfico abaixo para acahr e interpretar.

a)

VP -®100lim ; b)

V

P +®100lim ; c) V

P 100lim®

.

a) Vemos pela figura acima que, quando a pressão P em (torrs) é baixa,

a substância é um gás e o volume V (litros) é grande. (A definição de torr, unidade

de pressão, pode ser encontrada em textos de física.) Se P se aproxima de 100 por

valores inferiores a 100, V decresse e se aproxima de 0,8, isto é

8,0lim100

=-®V

P

O limite 0,8 representa o volume no qual a substância começa a se

transformar de gás em líquido.

b) Se P > 100, a substância é um líquido. Se P se aproxima de 100 por

valores superiores a 100, o volume V aumenta muito lentamente (pois os líquidos

são quase incompressíveis), e

3,0lim100

=+®V

P

O limite 0,3 representa o volume no qual a substância começa a se

transformar de líquido em gás.

c) VP 100lim®

não existe, pois os limites lateriais à direita e a esquerda em (a)

e (b) são diferentes. (Em P = 100, as formas gasosa e líquida coexistem em

equilíbrio, e a substância não pode ser classificada seja como gás ou como

líquido.)





15

Exercícios

1) Seja )(xf a função definida pelo gráfico:

Intuitivamente, encontre se existir:

a) )(lim3

xfx -®

. b) )(lim3

xfx +®

. c) )(lim3

xfx®

. d) )(lim xfx -¥®

. e) )(lim xfx +¥®

. f) )(lim4

xfx®

.



a) )(lim2

xfx --®

. b) )(lim2

xfx +-®

. c) )(lim2

xfx -®

. d) )(lim xfx -¥®

. e) )(lim xfx +¥®

.



a) )(lim1

xfx -®

. b) )(lim1

xfx +®

. c) )(lim xfx -¥®

. d) )(lim xfx +¥®

. e) )(lim1

xfx®

.





16



a) )(lim0

xfx -®

. b) )(lim0

xfx +®

. c) )(lim0

xfx®

. d) )(lim xfx -¥®

. e) )(lim xfx +¥®

. f) )(lim2

xfx®

.



a) )(lim2

xfx -®

. b) )(lim2

xfx +®

. c) )(lim xfx -¥®

. d) )(lim xfx +¥®

. e) )(lim1

xfx®

.



a) )(lim2

xfx -®

. b) )(lim2

xfx +®

. c) )(lim2

xfx®

. d) )(lim0

xfx -®

. e) )(lim0

xfx +®

. f) )(lim0

xfx®

.





17



a) )(lim2

xfx -®

. b) )(lim2

xfx +®

. c) )(lim2

xfx®

. d) )(lim0

xfx -®

. e) )(lim0

xfx +®

. f) )(lim0

xfx®

.



a) )(lim2

xfx -®

. b) )(lim2

xfx +®

. c) )(lim2

xfx®

. d) )(lim0

xfx -®

. e) )(lim0

xfx +®

. f) )(lim0

xfx®

.

9) Calcule os limites laterais.

a) 1

2lim

1 -+® xx

x b)

2lim

2

2 --® xx

x c)

3215

lim 2

2

3 --++

+® xxxx

x d)

525

lim2

5 --

-® xx

x

e) 2

lim3

2 -+® xx

x f)

3215

lim 2

2

3 +-+-

+® xxxx

x g)

hh

h

9)3(lim

2

0

-++®

h) 11

lim 2

3

1 --

-® xx

x

i) x

xx -

-+® 2

4lim

2

2 j)

xx

x

22lim

0

-++®

10) Para cada função )(xf abaixo, calcule )(lim xfax +®

, )(lim xfax -®

e )(lim xfax®

, quando

existirem.

a) 6,6

4)( =

-= a

xxf b)

1,

13

)( =-

= ax

xf

c) 0,5

)( =+

= ax

xxf





18

d)

2,2

)( =-

= ax

xxf

e)

1,

1)(

2

=-

= axx

xf

f)

0,1

)( == ax

xf

g) 0,1

)( 2 == ax

xf

h)

0,1

)( 2 =-

= ax

xf

i)

0,1

)( 3 == ax

xf

j) 0,1

2)( 2 =+= ax

xxf

k) 2,2

35)( =

-+= a

xxxf

l) 1,

)1(5

)( 2 =-

= ax

xxf

m) 1,)1(5

1)( 2 =

-= a

xxxf

n) 3,

)3(4

)( 2 =-

= ax

xxf

o) 3,

)3(41

)( 2 =-

= axx

xf


a) 39

lim2

3 --

® xx

x b)

xx

x +-

-® 749

lim2

7 c) 25 25

5lim

xx

x --

®

d) xxxx

x 3lim 2

2

0 -+

® e)

xxx

x -® 2

3

0 2lim

f)

134

lim2

1 -+-

® xxx

x

g) 4

127lim

2

4 -+-

® xxx

x h)

231

lim 21 +--

® xxx

x i)

112

lim2

1 -+-

® xxx

x

j) 42

lim 22 --

® xx

x k)

28

lim3

2 --

® xx

x l)

6527

lim 2

3

3 +--

® xxx

x

m) 1

34lim 3

2

1 -+-

® xxx

x n)

231

lim 21 +++

-® xxx

x

Gabarito

1) a) –1 b) 3 c) 1 d) –1 e) 3 f) 3 2) a) 0 b) 0 c) 0 d) +∞ e) +∞

3) a) ½ b) +∞ c) –∞ d) ½ e) ½ 4) a) 0 b) 0 c) 0 d) –∞ e) +∞ f) 4

5) a) 0 b) 0 c) –∞ d) +∞ e) 1 6) a) 3 b) 1 c) não existe d) 2 e) 2 f) 2

7) a) 4 b) 4 c) 2 d) 1 e) 1 f) 1 8) a) 1 b) 1 c) 4 d) 3 e) 3 f) 3

9)a) +∞ b) –∞ c) –∞ d) –∞ e) –∞ f) –0,8333 g) 6 h) 1,5 i) –4 j) 0,3535

10) a) ∞, –∞ e não existe o limite; b) –∞, ∞ e não existe o limite; c) ∞, –∞ e

não existe o limite; d) –∞, ∞ e não existe o limite; e) ∞, –∞ e não existe o

limite; f) ∞, –∞ e não existe o limite; g) ∞, ∞ e ∞; h) –∞, –∞ e –∞; i) ∞, –∞ e não existe o limite; j) ∞, ∞ e ∞; k) ∞, –∞ e não existe o limite; l) ∞, ∞ e ∞; m) ∞, ∞ e ∞; n) ∞, ∞ e ∞; o) ∞, ∞ e ∞.

11) a) 6; b)14; c) 1/10; d) –1/3; e) 0; f) –2; g) 1; h) –1; i) 0;

j) ¼ ; k) 12; l) 27; m) –2/3; n) 1.





19

7) Continuidade

Dizemos que uma função é continua num ponto a do seu domínio se as

seguintes condições são satisfeitas:

Þ )(af é definida;

Þ )(lim xfax®

existe;

Þ )()(lim afxfax

=®

.

Ao utilizarmos estas condições para mostrar que uma função f é

contínua em c , basta verificar a terceira condição, porque se )()(lim afxfax

=®

, então

)(af deve ser definida e também )(lim xfax®

deve existir, ou seja, as duas primeiras

condições estão satisfeiras automaticamente.

Exemplos: a) Verificar se a função 24

)(2

--

=xx

xf é contínua em 3=x .

Cálculo de )3(f

52343

)3(24

)(22

=--

=Þ--

= fxx

xf

Calculo do )(lim3

xfx®

:

523)2(lim2

)2)(2(lim

24

lim33

2

3=+=+=

--+

=--

®®®x

xxx

xx

xxx

Como )3()(lim3

fxfx

=®

, )(xf é contínua em 3=x .

b) Utilizando a mesma função do exemplo anterior, só que agora no ponto 2=x e

verifificar se a função continua sendo contínua.

Cálculo de )2(f

00

2242

)2(24

)(22

=--

=Þ--

= fxx

xf

Este resultado é chamado de indeterminação e iremos falar no próximo

item. Logo para )2(f a função não esta definida.

Se formos verificar a existância do limite neste ponto temos:





20

422)2(lim2

)2)(2(lim

24

lim22

2

2=+=+=

--+

=--

®®®x

xxx

xx

xxx

Mas como falhou a primeira das três condições, não precisamos testar

as outras (mesmo sabendo que o limite existe) para saber que a função é

descontinua no ponto 2=x .

Exercícios

1) Dada a função 1

1)(

+-

=x

xxf , diga se )(xf é contínua nos pontos:

a) 0=x . b) 1-=x . c) 2=x .

2) Dada a função 103

5)( 2 -+

+=

xxx

xf , diga se )(xf é contínua nos pontos:

a) 5=x . b) 2=x .

3) Determine se a função é contínua ou não no ponto indicado.

a) 15)( 3 +-= xxxf para 2=x ; 2-=x ; 0=x .

b) ( ) 51)( 2 +-= xxg para 1=x ; 1-=x ; 0=x .

c) 9)( 2 += xxh para 3=x ; 3-=x ; 2=x .

d) 9)( 2 -= xxg para 2-=x ; 3-=x ; 1=x .

e) 1

1)(

-=

xxf para 1=x ; 1-=x ; 0=x .

f) 4

2)( 2 -=

xxh para 2=x ; 2-=x ; 0=x .

Gabarito

1)a)contínua b) descontínua c) contínua 2)a) contínua b) descontínua

3) a) contínua; contínua; contínua. b) contínua; contínua; contínua.

c) contínua; contínua; contínua. d) descontínua; contínua; descontínua.

e) descontínua; contínua; contínua. f) descontínua; descontínua; contínua.





21

8)Formas indeterminadas

Existem símbolos que não tem significado e são denominados como

símbolos de indeterminação que são 00

, ¥¥

, ¥-¥ , ¥.0 , ¥1 , 00 , 0¥ .

Obs.: Se o limite de uma função der uma destas indeterminações não significa que

o limite não existe, devemos levantar a indeterminação e encontrar o limite da

função.

9) Limites envolvendo infinitos

01

lim =®¥ xx

Exemplo:

01

lim =-¥® xx

¥=+® xx

1lim

0

-¥=-® xx

1lim

0

10) Limites envolvendo funções compostas

Antes de falarmos em limites envolvendo funções compostas, vamos

fazer uma breve revisão para enterdermos o que é uma função composta.

Em primero temos que entender que função é uma relação entre dois

conjuntos. Uma função composta é uma relação de outra relação, ou seja, é uma

relação que depende de outra pra existir.

Costuma-se dizer que função composta é a junção de duas outras

funções. Matematicamente podemos dizer que função composta é:

Considerando três conjuntos distintos A , B e C . Entre eles existem as

seguintes funções: BAf ®: e CBg ®: .

Irá existir outra função CAh ®: , assim a função ))(()( xfgxh = é

chamada função composta. Essa função composta também poderá ser indicada

por ))(( xfgfg =o (lê – se: g composta com f ).





22

Observando a definição acima de função composta, veja um exemplo de

como encontramos uma função composta:

Dados três conjuntos }3,0,1,2{ --=A , }8,1,0,3{ -=B e }16,2,0,6{ -=C .

Entre eles existem as seguintes funções:

BAf ®: definida por 1:)( 2 -xxf e CBg ®: definida por xxg 2)( = .

Veja o diagrama abaixo que representa essas funções:

Para cada elemento de A existe um elemento em B tal que 1:)( 2 -xxf

e para cada elemento de B existe um elemento de C tal que xxg 2)( = . Assim,

podemos concluir que existe uma função CAh ®: definida por ))(()( xfgxh = , ou

seja, 22)1(2)( 22 -=-= xxxh . Veja o diagrama abaixo:

Exemplos: a) Sendo dados 2)( 2 += xxf e xxg 3)( = , calcular ))(( xfg e ))(( xgf .

29))((292)3()3())((

63))((63)2(3)2())((222

2222

+=Þ+=+==

+=Þ+=+=+=

xxgfxxxfxgf

xxfgxxxgxfg

b) Dados 12)( -= xxf e 23)( += xxg , calcular ))1((gf .

9363)1(6))1((

361461)23(2)23())((

=+=+=+=-+=-+=+=

gf

xxxxfxgf





23

Agora retomando nosso limites que envolvem funções compostas.

Se bxgcx

=®

)(lim e f é contínua em b então:

( ) ( ))(lim)()(lim xgfbfxgfcxcx ®®

==

ncx

n

cxxgxg )(lim)(lim

®®=

Exemplo: ( ) ( ) 3

1271

)9333

1)93(

1lim

)93)(3(3

lim 332

323

323

==+---

=+-

=+-+

+-®-® xxxxx

xxx

11) Limite da função polinomial para

nnxxxaxf

±¥®±¥®= lim)(lim

mm

nn

xx xbxa

xgxf

±¥®±¥®= lim

)()(

lim

Exemplos: a) Dada a função 1252)( 23 -+-= xxxxf , calcular )(lim xfx +¥®

.

+¥==++-

÷øö

çèæ ++-=-+-=

+¥®+¥®

+¥®+¥®+¥®

33

32323

2lim)0002(lim

1252lim1252lim)(lim

xx

xxxxxxxxf

xx

xxx

b) Calcular 734152

lim 2

2

-++-

+¥® xxxx

x

21

42

42

lim004002

lim73

4

152

lim734

152

lim734152

lim

2

2

222

2

222

2

2

2

===-++-

=-+

+-=

-+

+-=

-++-

+¥®+¥®+¥®+¥®+¥® xxxxx

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xxxx

c) Calcular ( )xxxx

-+++¥®

32lim 2

( )( )( )

122

lim2

lim32

32lim

32

32lim

32

3232lim

22

2

22

2

22

==+

=+++

++++

-++=

+++

+++-++

+¥®+¥®+¥®

+¥®+¥®

xx

xx

x

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

xxx

xx

±¥®x





24

Exercícios


a) ( )72lim ++¥®

xx

b) ( )14lim +--¥®

xx

c) ( )423lim 36 +-++¥®

xxxx

d) ( )xxxx

324lim 27 ++-¥®

e) 5418

lim-+

®¥ xx

x f)

6523

lim 2 +-+

-¥® xxx

x

g) 12lim 23 ++-¥®

xxxx

h) 13

lim 2

2

--

®¥ xxx

x i)

2

3216

lim ÷øö

çèæ

+-

®¥ xx

x

j) xxxx

-+-®¥

75lim 2 k) 742135

lim 2

2

-++-

-¥® xxxx

x l)

xx

x 3274

lim+-

-¥®

m) 322

lim 2

3

-+-

®¥ xxx

x n)

32

lim2

+-

-¥® xx

x o) 3

2

)1(8

lim+

+¥® xx

xx

p) 15

23lim

+-

¥® xx

x q)

2334

lim+-

-¥® xx

x r)

14

lim2

+-

¥® xx

x

s) 11

lim 2

3

+-

-¥® xx

x t)

265343

lim 23

2

+-++-

¥® xxxxx

x u)

184

lim 3

2

-+

-¥® xx

x

v) 33

2

)1(1

limxx

xxx -+

++-¥®

w) )2)(1(

)32(lim

3

++-

¥® xxxx

x x)

)14)(13(2)23(

lim3

-++

-¥® xxxx

x

y) 5

23 )23()32(lim

xxx

x

--¥®

z) 3

44

)32()1()2(

lim+

--+-¥® x

xxx


a) ( )xxxx

-++¥®

43lim 2

b) ( )xxx

x-++

+¥®23lim 2

c) ( )24lim --+

¥®xx

x

d) ( )xxxx

-+-¥®

1lim 2

e) ( )11lim 22 --+

¥®xx

x f) ( )4354lim 22 +--+-

¥®xxxx

x

g) ( )4lim 2 +-¥®

xxx

h) ( )xbaxxx

-++¥®

2lim

i) 53lim xx -¥®

j) x

xe

¥®lim

k) x

xe

-¥®lim

l) )632(lim 34 ++-

¥®xxx

x

m) )632(lim 34 ++--¥®

xxxx

n) )632(lim 34 ++-¥®

xxxx

o) )632(lim 25 +-¥®

xxx

p) )632(lim 25 +--¥®

xxx

q) 125135

lim 2

24

-++-

¥® xxxx

x r)

125135

lim 2

24

-++-

-¥® xxxx

x

s) 1

523lim

23

+++-

-¥® xxx

x t)

312

lim-+

¥® xx

x u)

312

lim-+

-¥® xx

x

v) 316225

lim--

¥® xx

x w)

xxxx

x 5213

lim 2

2

-++

¥® x)

31

lim 2 +-

¥® xx

x

y) 1

13lim 23

2

-+-+-

-¥® xxxxx

x z)

15214

lim 2 -++

-¥® xxx

x





25

Gabarito

1) a) +∞ b) +∞ c) +∞ d) –∞ e) 2 f) 0 g) +∞ h) 1 i) 9 j) – 5/2 k) 5/2 l) –7/3 m) –∞ n) +∞

o)1 p) –2/5 q) 4/3 r) +∞ s) –∞ t) 0 u) 0

v) 1/3 w) 8 x) 9/8 y) 72 z) 3/2

2) a) 3/2 b) 3/2 c) 0 d) – ½ e) 0 f) – ½ g) 0 h) a/2 i) –∞ j) +∞ k) 0 l) +∞ m) +∞ n) +∞

o) +∞ p) –∞ q) +∞ r) –∞ s) –∞ t) 2 u) 2

v) 25/16 w) ½ x) 0 y) 0 z) 0

12) Limite exponencial fundamental

exx

x

x

x

x=÷

øö

çèæ +=÷

øö

çèæ +

-¥®+¥®

11lim

11lim

...71828182,2=e

( ) ex xx

=+®

1

01lim

11

lim0

=-

® xex

x

Exemplos: a) 4

4441

1lim1

1lim1

1lim exxx

x

x

x

x

x

x=

úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ +=

úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ +=÷

øö

çèæ +

+¥®+¥®+¥®

b) x

x x

43

1lim ÷øö

çèæ -

-¥®

Neste caso usaremos uma mudança de variável.

Façamos tx 3-= . Se -¥®x

então +¥®t .

Logo 12

1212)3(441

1lim1

1lim33

1lim3

1lim -

-

¥®

-

¥®

-

¥®-¥®=

úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ +=÷

øö

çèæ +=÷

øö

çèæ

--=÷

øö

çèæ - e

tttx

t

t

t

t

t

t

x

x.

13) Limite trigonométrico fundamental

1lim0

=® x

senxx

mk

mxsenkx

x=

®0lim





26

Exemplos: a) Calcule x

xsenx 3

8lim

0®

38

8.1.31

8.8

8.

31

lim3

8lim

00==÷

øö

çèæ=

®® xxsen

xxsen

xx

b) Calcule xsenxsen

x 45

lim0®

45

1.41.5

44

4

55

5lim

45

lim00

===®®

xxsen

xxsen

xsenxsen

xx

Exercícios

Calcule:

a) x

x x

61

1lim ÷øö

çèæ +

+¥® b)

x

x x

21

11lim ÷

øö

çèæ +

+¥® c)

x

x x

34

11lim ÷

øö

çèæ +

-¥® d)

ax

x x

+

-¥®÷øö

çèæ +

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Gabarito

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k) 4/3 l) 0 m) 3 n) 2 o) 3/5 p) 3/2 q) 0 r) não existe

s) 9/5 t) 0 u) e14 v) e –10 w) e2 x) ¼ y) 0 z) 5/3

LIMITES DE FUNÇÕES limite cálculo...

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