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IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO

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LIMITES E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

O que estudaremos em:

Limites:

1. Definição e Notações 2. Análise de um Limite graficamente 3. Cálculo de um Limite algebricamente 4. Encontrando Assíntotas através de Limites 5. Propriedades dos Limites 6. Limites Fundamentais

Continuidade: 1. Definição de Continuidade num ponto 2. Definição de Continuidade em extremidades e num intervalo 3. Tipos de Descontinuidade 4. Aplicações

Por que estudaremos Limites?

Os valores de algumas funções variam continuamente: quanto menor a variação da variável independente [normalmente representada por x], menor a variação no valor [f(x)] da função. Outras funções têm seus valores variando de forma imprevisível ou ainda, “saltando” de um valor para outro, quando variamos “controladamente” os valores da variável independente. A noção de Limite é uma ferramenta matemática que permite analisar e identificar tais comportamentos, permitindo com isso uma interpretação mais apurada da função como um todo. A determinação das equações de assíntotas, presentes na representação gráfica de algumas funções, também faz parte dessa interpretação mais apurada.

Durante muito tempo, o conceito de Limite foi ferramenta essencial para a construção de gráficos de funções mais complexas. Atualmente, é muito simples encontrarmos em sites da internet, ou mesmo em celulares, softwares que fazem rapidamente o gráfico de muitos tipos de funções. Entretanto, até os “bons” softwares apresentam limitações que podem “confundir” os menos avisados. Algumas dessas limitações apresentadas pelos programas gráficos podem ser superadas, aplicando-se convenientemente algum conceito de Limite e Continuidade. Veremos isso no decorrer do nosso estudo.

No cálculo superior, existem o que chamamos de “as sete indeterminações”, que são operações matemáticas envolvendo os números 0 [zero] e 1 [um] e também o infinito [] e que não possuem um resultado determinado. O estudo

dos Limites possibilitará um importante contato com essas entidades, embora não faremos um estudo específico para isso. Finalmente, o conceito de Limite é uma das ideias essenciais para o entendimento de um importante conceito: a

derivada [que será nosso próximo tópico de estudo] e também de vários outros conceitos subsequentes presentes no Cálculo Diferencial e Integral. NOTA: O estudo “completo” de Limites é amplo e rigoroso [você deve verificar isso na bibliografia dada a seguir] e foge do

objetivo do nosso curso. Por isso, trabalharemos com a definição “informal” de Limite e o estudo dos Limites algébricos abordará casos envolvendo apenas alguns tipos de indeterminações, até por que, com o conhecimento da Regra de L'Hopital [que será um tópico dentro do estudo das Derivadas], podemos dispensar vários “artifícios”

que tradicionalmente são explorados no estudo dos Limites. O que se espera que você saiba sobre Limites pode ser alcançado sem a necessidade de um estudo profundo, e sim da forma como abordaremos neste material. Será contemplado o que se julga necessário para desenvolver com desenvoltura, qualquer tema de Cálculo I e II do seu curso de Graduação, que envolva de alguma maneira o conceito de Limite. Além disso, você estará apto a interagir em situações que necessite do entendimento de Limites nas unidades curriculares “técnicas” do seu curso.

Por que estudaremos Continuidade de uma função?

Muitas “ferramentas” e conceitos que serão desenvolvidos no decorrer das unidades curriculares que envolvem o Cálculo Superior são aplicados [ou possíveis] para Funções Contínuas. Inúmeros fenômenos físicos são contínuos. Será comum você encontrar definições do tipo: ...”considere uma função contínua para todo o intervalo dado”... Em casos como estes, podemos dizer que situações de descontinuidade são desfavoráveis. Assim, o conceito de Continuidade será abordado de forma direta e objetiva, priorizando o entendimento amplo e o aspecto geométrico.


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REFERÊNCIAS Este material foi produzido com base em parte da bibliografia abaixo e também através da experiência docente do autor, contando ainda com contribuições de colegas professores. Normalmente, as Referências Bibliográficas aparecem nas últimas páginas de um livro ou material. Apresento estas referências aqui, objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras fontes de informação é um fator essencial e de grande importância em qualquer tipo de estudo que se queira realizar. Os títulos apresentados a seguir são de ótima qualidade e podem ser encontrados em nossa biblioteca. Consulte-os! THOMAS, George B. et al. Cálculo v. 1. 11. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008.

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. v. 1. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo:

Pearson Prentice Hall, 2007.

STEWART, James. Cálculo. v. 1. 6. ed. Cengage Learning, 2009.

HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma variável. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

HIMONAS, A. Alexandrou; HOWARD, Alan. Cálculo: Conceitos e Aplicações. 1. ed. LTC, 2005.

Nota: Além de rever toda a teoria e resolver todos os exercícios deste material, você pode melhorar seus conhecimentos procurando por sites na internet e vídeos no youtube que tenham a teoria e/ou exercícios sobre o assunto. Experimente!

Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado.

[Provérbio chinês]


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LIMITES

Conceitos Iniciais e Notações Básicas

[Situação 1] Sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás (perfeito) é função da pressão a que o

mesmo está submetido. O gráfico abaixo representa tal relação e sua lei de associação é: P

kV , onde k é uma constante

que depende da massa e da temperatura do gás em questão e 0P [não tem sentido físico considerar a pressão P como

sendo nula ou negativa].

a) Com respeito à função P

kV , o que se pode dizer de V quando P diminui, tendendo a zero?

b) Para essa função, o que acontece com V quando P cresce, tornando-se um valor muito grande, tão grande quanto se

queira, isto é, quando P tende para o infinito positivo?

Resolução:

a) Quando P diminui, tendendo a zero, escrevemos:

0P , ou seja, P tende a zero por valores maiores que zero

[dizemos que P tende a zero pela direita]. Quando isto acontece, o valor de V se torna muito grande, tão grande quanto

se queira, isto é, V tende para um valor infinitamente grande e escrevemos: V [dizemos que V tende para “mais”

infinito].

Para exprimir essa simultaneidade de tendências, utilizamos a notação de limite:

)/(limlim00

PkVPP

.

b) Quando P aumenta, tornando-se muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando P ; V tenderá a

zero, ou seja, 0V . Isto não significa que o volume será zero!

Utilizando novamente a linguagem de limite, temos: 0)/(limlim

PkVPP

.

[Situação 2] Calcule a soma da série infinita: ...16

1

8

1

4

1

2

1

Resolução:

A seqüência apresentada neste caso é uma progressão geométrica [PG] de infinitos termos em que 2

11 a [1º termo] e

2

1q

[razão]. Logo a soma solicitada pode ser calculada através da expressão já conhecida no ensino médio:

)2/1(1

2/1

1

1

q

aS e, portanto 1S . Podemos detalhar a notação: 1lim

2

1lim

12

SSN

N

N

nnN

.

0

10

20

30

40

50

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Pressão (atm)

Vo

lum

e (c

m3 )


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Para tornar mais visual o resultado que acabamos de obter, imaginemos um quadrado de lado unitário e assim, o número 1 [um] representa a sua área.

Vamos encaixar no espaço desse quadrado o retângulo, que será representado pelo número 2

1 [que é sua área].

Em seguida encaixemos, no espaço restante do quadrado original, o quadrado de área 4

1.

Em seguida encaixemos, no espaço restante no quadrado original, o retângulo (que representará o número 8

1).

Em seguida encaixemos, no espaço restante no quadrado original, o quadrado (que representará o número 16

1).

E assim sucessivamente vamos encaixando, no espaço restante do quadrado original, os retângulos e quadrados, que têm

suas áreas representadas na seqüência infinita de números: ,...256

1 ,

128

1 ,

64

1 ,

32

1 que formam uma PG.

Dessa forma, parece-nos que fica intuitivo perceber que, com um número finito de encaixes, o espaço do quadrado original

nunca será totalmente preenchido (o que mostra 1nS ). Por outro lado, com um número convenientemente grande de

retângulos e quadrados, podemos tornar o espaço restante no quadrado original tão pequeno quanto desejarmos (o que

mostra que 1nS ou, em outros símbolos, 1S ).

Observação: Com a aplicação conveniente do conceito de limites, em algumas situações, podemos encontrar informações

que “inicialmente” podem ser difíceis de identificar.

1 u

c


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Noção Intuitiva

Seja a função 12)( xxf . Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela direita (valores maiores que 1) e pela

esquerda (valores menores que 1), e calcular o valor correspondente a y:

x y = 2x+1 x y = 2x+1

0,5 2 1,5 4

0,7 2,4 1,3 3,6

0,9 2,8 1,1 3,2

0,95 2,9 1,05 3,1

0,98 2,96 1,02 3,04

0,99 2,98 1,01 3,02

0,999 2,998 1,001 3,002

Representação gráfica:

Notamos que, à medida que x se aproxima de 1 [tanto pela direita quanto pela esquerda], y se aproxima de 3, ou seja,

quando x tende para 1 [ escrevemos 1x ], y tende para 3 [ escrevemos 3y ]. Para isso, escrevemos:

3)(lim1

xfx

ou

3)12(lim1

xx

Definição INFORMAL: De forma geral, escrevemos: Lxfax

)(lim

quando x se aproxima de a [ ax ] e )(xf se aproxima de L [ Lxf )( ].

A definição acima foi denominada “informal”, pois a definição mais precisa de limite requer um estudo mais profundo, que no

momento não é de extrema necessidade. Destaca-se ainda que a expressão “se aproxima” é relativamente imprecisa, pois a

aproximação depende de um contexto [o que é “aproximado” para um caso pode não ser para outro – pense a respeito!].

Teorema:

Uma função )(xf terá um limite quando x se aproximar de a , se e somente se, existir um limite lateral à direita e um à

esquerda, e esses dois limites laterais forem iguais. Simbolicamente:

Lxfax

)(lim )(lim)(lim xfLxfaxax


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Exemplos:

1) Seja a função racional 3

9)(

2

x

xxf com }3|{ xxD . Graficamente, temos:

Assim, determine o que se pede abaixo:

6)(lim3

xfx

6)(lim3

xfx

6)(lim3

xfx

])([)3( xfparaexistenãof

Nota: Veremos mais adiante que um limite também pode ser encontrado algebricamente.

Importante:

O valor do limite de uma função )(xf quando kx não depende de como a função é definida para )(kf . Veja:

2)(lim

1

xf

x 2)(lim

1

xg

x 2)(lim

1

xh

x

)1(f 1)1( g 2)1( h

Observe que os limites das funções )(xf , )(xg e )(xh quando 1x são iguais, entretanto temos )1()1()1( hgf .

A função )(xh é dita contínua no ponto em que 1x , enquanto as funções )(xf e )(xg

são descontínuas no ponto em

que 1x [trataremos sobre a “continuidade” de uma função, num estudo logo a seguir].

É muito importante que você sempre considere que no cálculo de )(lim xfax

o que nos “interessa” é o

comportamento de )(xf quando x se aproxima de a e NÃO o que ocorre com )(xf quando

ax .

0 3

6

y

x

– 3

3


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Observação: 01

e 0

1

Pense a respeito e tire suas próprias conclusões!

2) Dada a função )(xf abaixo, construa o seu gráfico.

3,2

3,5

3,7

)(

xse

xse

xsex

xf

Determine, se existir:

a) 2)(lim3

xfx

e) 2)(lim

xfx

b) 4)(lim3

xfx

f)

)(lim xfx

c)

)(lim3

xfx

g) 1)(lim6

xfx

d) 5)3( f h) 2)(lim0

xfx

3) Calcule algebricamente os limites dados a seguir:

a)

14)77(lim3

xx

c)

2)82(lim 3/1

0

t

t e)

12)12(lim

5

x

b)

1)11(lim 1973

12

n

n d)

0

4

33lim

1

a

a f)

7

1

5

72lim

2

2

x

x

x

4) Dada a função x

xf 2)( , esboce o seu gráfico e determine:

a)

)(lim xfx

b) 0)(lim

xfx

c) A equação da assíntota horizontal: 0y

Definição – Assíntota Horizontal:

A reta ny é uma assíntota horizontal do gráfico da função )(xf se: nxfx

)(lim ou nxfx

)(lim .


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5) A população de uma determinada espécie animal em um zoológico varia através da seguinte lei: 4/45

95)(

tetN

,

onde )(tN é o número de animais e t é o tempo em semanas. Descreva o que acontece com a população no decorrer do

tempo. Verifique a sua conclusão calculando: )(lim tNt

.

6) Dada a função racional xx

xxy

2

22

e o seu gráfico [abaixo], determine a equação da assíntota vertical e também

o domínio dessa função.

Definição – Assíntota Vertical:

A reta kx é uma assíntota vertical do gráfico da função )(xf se:

)(lim xfkx

e/ou

)(lim xfkx

.

Nota: As Sete Indeterminações do Cálculo:

1,,0,0,,,

0

0 00.


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EXERCÍCIOS – Limites

1) Os cientistas P. F. Verhulst, R. Pearl e L. J. Reed, contrariando a teoria de Malthus de que as populações crescem em progressão geométrica, propuseram uma lei de crescimento populacional cujo gráfico tem o seguinte aspecto:

Para Pearl e Reed as condições físicas determinavam um limite superior L

para a população de uma região ou país e, utilizando os censos norte-americanos de 1790 a 1910, obtiveram a lei experimental:

tP

)03,1.32,671

274,197

(

onde P é a população norte-americana, em milhões de habitantes, t anos

após 1790. Assim, calcule o limite da função P , quando t .

2) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, 0f ). E seja “e” o eixo

principal dessa lente:

Seja P um objeto situado em “e”, e P a imagem

correspondente. As abscissas p de P e p de P , tomadas

em relação ao centro óptico O da lente, se relacionam através da

equação de Gauss:

fpp

111

Dessa equação tiramos que: fp

fpp

.

E se construirmos o gráfico de p em função de p , obteremos:

Observando o gráfico dado, calcule:

a) pP

lim d) pfP

lim

b) pP

0

lim e) pP

f 2

lim

c) pfP

lim f) pP

lim

3) A população de uma colônia de bactérias varia segundo a função definida por: te

tP

75

60)( , onde )(tP é dada em

bilhões e t em dias. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. Verifique a sua conclusão achando o

valor do )(lim tPt

.

4) Seja a função definida por

373

31)(

x, se x

x, se xxf . Calcule os limites:

a) )(lim–3

xfx

b) )(lim3

xfx

c) )(lim3

xfx

d) )(lim5

xfx

e) )(lim13

xfx


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5) Considere a função modular |4|)( xxf . Determine os limites indicados e construa o gráfico de )(xf .

a) )(lim4

xfx

b) )(lim–4

xfx

c) )(lim4

xfx

6) Dada a função:

12

12/3

10

0/1

)(

2

xx, se

x, se

x, se x

x , se x

xf , construa seu gráfico e calcule os limites indicados, se existirem.

a) )(lim–1

xfx

b) )(lim1

xfx

c) )(lim0

xfx

d) )(lim–0

xfx

e) )(lim0

xfx

f) )(lim2

xfx

g) )(lim–2

xfx

h) )(lim2

xfx

7) Determine os limites dados a seguir, caso existam.

a)

32

limxx

c)

)/1(2

1lim

xx

e)

)/1(3

)/7(5lim

2x

x

x

b)

32

limxx

d)

)/1(2

1lim

xx

f)

)/1(3

)/7(5lim

2x

x

x

8) Discuta o comportamento da função 2

/1)( xxf próximo de 0x e também quando x e x .

9) Discuta o comportamento da função xxf /1)( próximo de 0x

e também quando x e x .

10) Seja )(xf a função definida em cada gráfico apresentado a seguir. Intuitivamente, encontre se existir:

a) b)

)(lim

)(lim

)(lim

2

2

2

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)2(

xf

xf

f

x

x

)(lim

)(lim

)(lim

2

2

2

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)2(

xf

xf

f

x

x


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c) d)

)(lim

)(lim

)(lim

1

1

1

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)1(

xf

xf

f

x

x

)(lim

)(lim

)(lim

0

0

0

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)0(

xf

xf

f

x

x

e) f)

)(lim

)(lim

)(lim

0

0

0

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)0(

xf

xf

f

x

x

)(lim

)(lim

)(lim

2

2

2

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)2(

xf

xf

f

x

x

Reflita se puder... O homem é uma fração, cujo numerador corresponde ao que ele é, enquanto o denominador, é o que acredita ser. [Tolstoi]

2

y

x

2

1

0

–1

4


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g) h)

)(lim

)(lim

)(lim

2

2

2

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)2(

xf

xf

f

x

x

)(lim

)(lim

)(lim

3

3

3

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)3(

xf

xf

f

x

x

i) j)

)(lim

)(lim

)(lim

2

2

2

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)2(

xf

xf

f

x

x

)(lim

)(lim

)(lim

0

0

0

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)(lim

5,1xf

xf

xf

x

x

x


Página 13 de 34

k) l)

)(lim

)(lim

)(lim

1

2

2

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)2(

xf

xf

f

x

x

)(lim

)(lim

)(lim

1

1

1

xf

xf

xf

x

x

x

)(lim

)(lim

)1(

xf

xf

f

x

x

11) Seja

3,1

3,1

3,3

)(

xse

xse

xse

xf a função representada pelo gráfico abaixo:

Determine, se existir:

a)

)(lim–3

xfx

b)

)(lim3

xfx

c) )(lim3

xfx

d)

)(lim xfx

e)

)(lim xfx

f) )(lim5

xfx

g) )(lim14

xfx

h)

)(lim0

xfx

Para descontrair [se puder...]

Para refletir: Nós somos o que fazemos repetidas vezes. Portanto, a excelência não é um ato, mas um hábito. [Aristóteles]

1

Nota: a “piadinha matemática” ao lado,

apesar de bem bolada, apresenta um erro sutil. Você é capaz de dizer qual é?

0

y

x

3

1

3

–1


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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1) L = 197,274 milhões de habitantes

2a) f 2b) 0 2c) – 2d) 2e) 2f 2f) f

3) Com o decorrer do tempo, a população se aproxima de 12 bilhões de bactérias

4a) 2 4b) 2 4c) 2 4d) 8 4e) –14

5a) 0 5b) 0 5c) 0 Gráfico logo abaixo!

6a) 1 6b) 1 6c) 0 6d) – 6e) não existe 6f) 0

6g) 0 6h) 0 Gráfico abaixo!

[Gráfico Questão 5] [Gráfico Questão 6]

7a) –3 7b) –3 7c) 1/2 7d) 1/2 7e) –5/3 7f) –5/3

8)

)(lim)(lim)(lim000

xfxfxfxxx

. Isso implica que a função tem assíntota vertical com equação: 0x .

0)(lim)(lim

xfxfxx

. Isso implica que a função tem assíntota horizontal com equação: 0y .

Nota: Veja o gráfico da questão 8 na página seguinte!

9)

)(lim0

xfx

e

)(lim0

xfx

. Isso implica que a função tem assíntota vertical com equação: 0x .

0)(lim)(lim

xfxfxx

. Isso implica que a função tem assíntota horizontal com equação: 0y .

Nota: Veja o gráfico da questão 9 na página seguinte!

Para refletir: É fazendo que se aprende a fazer aquilo que se deve aprender a fazer. [Aristóteles]


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Gráfico de 2

/1)( xxf [Questão 8] Gráfico de xxf /1)( [Questão 9]

10) As respostas estão abaixo!

a) 4)(2

lim

xfx

)(2

lim xfx

)(2

lim xfx

4)2( f 4)(lim

xfx

)(lim xfx

b)

)(2

lim xfx

)(2

lim xfx

)(2

lim xfx

3)2( f 1)(lim

xfx

1)(lim

xfx

c) 5)(1

lim

xfx

5)(1

lim

xfx

5)(1

lim

xfx

0)1( f 1)(lim

xfx

)(lim xfx

d)

)(0

lim xfx

)(0

lim xfx

)(0

lim xfx

0)0( f 1)(lim

xfx

1)(lim

xfx

e) 3)(0

lim

xfx

)(0

lim xfx

)(0

lim xfx

3)0( f

)(lim xfx

1)(lim

xfx

f) 4)(2

lim

xfx

1)(2

lim

xfx

)(2

lim xfx

2)2( f 1)(lim

xfx

4)(lim

xfx

g) 3)(2

lim

xfx

0)(2

lim

xfx

)(2

lim xfx

2)2( f 6)(lim

xfx

)(lim xfx

h)

)(3

lim xfx

)(3

lim xfx

)(3

lim xfx

1)3( f 4)(lim

xfx

1)(lim

xfx

i) 0)(2

lim

xfx

0)(2

lim

xfx

0)(2

lim

xfx

)2(f

)(lim xfx

)(lim xfx

j) 0)(0

lim

xfx

0)(0

lim

xfx

0)(0

lim

xfx

)(lim xfx

)(lim xfx

5,2)(5,1

lim

xfx

k) 0)(2

lim

xfx

0)(2

lim

xfx

1)(1

lim

xfx

0)2( f

)(lim xfx

)(lim xfx

l)2

1)(

1lim

xf

x

)(

1lim xfx

)(1

lim xfx

2

1)1( f

)(lim xf

x

2

1)(lim

xf

x

11a) –1 11b) 3 11c) Não existe 11d) –1 11e) 3

11f) 3 11g) 3 11h) –1


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A Definição Formal de Limite

Seja )(xf uma função definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto talvez em 0x . Dizemos que )(xf tem

limite L quando x tende a 0x e escrevemos:

,)(lim0

Lxfxx

se para cada número 0 existir um número correspondente 0 tal que, para todos os valores de x ,

||0 0xx |)(| Lxf .

Propriedades dos Limites

Considere, para este estudo, que a notação lim representa uma das notações: xxaxaxax

lim ,lim ,lim ,lim ,lim–

.

Assim, se existirem 1)(lim Lxf e 2)(lim Lxg , então:

1) kk lim , sendo k uma constante.

Exemplos: 55lim2

x

e 1414lim x

2) 1])(lim[])([lim Lkxfkxfk , onde k é uma constante.

Exemplo: 10)2(5)11(5)1(lim5)]1.(5[lim)55(lim111

xxxxxx

3) 21)](lim[)](lim[])()([lim LLxgxfxgxf

Exemplo: 8264)2()23()2()2(lim)3(lim)(lim)23(lim2

22

2

2

2

2

xxxxxxxx

4) 21)](lim[)](lim[])()([lim LLxgxfxgxf

Exemplo: 60106)2.5()2.3()5(lim)3(lim)53(lim222

xxxxxxx

Ao lado, temos uma ilustração que

destaca a relação entre e na

definição de limite.


Página 17 de 34

5)

2

1

)(lim

)(lim

)(

)(lim

L

L

xg

xf

xg

xf

, desde que 02 L .

Exemplo: 2

1

4

2

)31(

)1.2(

)3(lim

)2(lim

3

2lim

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

6) nnn Lxfxf 1)(lim)(lim , desde que 01 L quando n for par.

Exemplo: 391816)14(lim14lim4

2

4

2

xxxx

xx

7)

nnnLxfxf ][])(lim[])([lim 1 , desde que

nL ][ 1 seja um número real.

Exemplo: 9]3[]21[])2(lim[)2(lim222

1

2

1

xx

xx

8) [ [ ][ln)](limln)](lnlim 1Lxfxf , desde que 01 L , sendo a propriedade análoga para )]([log xfa

Exemplo: 110log]lim[log)(loglim1010

xxxx

9) ][)](lim)](lim 1Lsenxfsenxfsen [ [

ou ][cos)](limcos)](coslim 1Lxfxf [ [

Exemplo:

13cos]3lim[cos)3(coslim

xxxx

Casos Especiais:

10) Limite de Polinômios quando x

O polinômio n

nxcxccxp ...)( 10 , comporta-se exatamente como o seu termo de maior grau quando x .

O sinal varia conforme o esquema a seguir:

n

xxlim , ...,3,2,1npara

...n, para

... n, parax

n

x ,5,3,1

,6,4,2lim

Nota: Quando se multiplica o termo n

x por um número real positivo, não se afeta o valor do limite, entretanto quando se

multiplica n

x por um número real negativo, inverte-se o sinal do respectivo limite. Observe os exemplos a seguir:

Exemplos:

)7(lim)9247(lim535

xxxxxx

)6(lim)2856(lim323

xxxxxx

52lim xx

64lim xx

87lim xx

52lim xx

64lim xx

87lim xx

Observe:

)9(limlim162

9limlim162

9.lim)1629(lim4

43

4

43

434

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

49lim x

x Portanto:

4349lim)1629(lim xxxx

xx

0 0 0


Página 18 de 34

11) Limite de Funções Racionais quando x

Lembre-se que uma função racional )(xf é uma razão entre polinômios. Simbolicamente: )(

)()(

xq

xpxf

com 0)( xq .

Após a eliminação dos termos de menor grau, aplicamos:

n se m

nmse b

a

nse m

xb

xan

m

x

0

lim0

0

0

0

Exemplos:

●

nmpoisxx

x

xx

xxx

çãosimplifica

x

epropriedad

x

)9lim

9lim

73

941lim (

2

3

2

32

●

nmpoisx

x

xx

xx

çãosimplifica

x

epropriedad

x

2

1

10

5lim

10

5lim

310

145lim

4

4

4

4

●

nmpoisxx

x

xx

x

x

çãosimplifica

x

epropriedad

x

0

8lim

8lim

6

873lim

22

● Dada a função racional xx

xxy

2

22

e o seu gráfico [abaixo], determine a equação da assíntota horizontal e

também o conjunto imagem dessa função.

12) Limite de Funções Racionais quando ocorre indeterminação [do tipo 0/0]

Quando calculamos algebricamente um limite, existem situações em que, quando substituímos ax no limite )(lim xfax

,

encontramos uma das sete indeterminações do Cálculo:

1,,0,0,,,

0

0 00 . Como existem muitos

tipos de funções para cada uma das indeterminações, também existem diversos artifícios algébricos para resolvê-los. Neste momento, abordaremos apenas uma situação. Veja:

Exemplos:

1) Calcule o valor de: 3

)3)(24(lim

3

x

xx

x

Resolução:

Fazendo a substituição de 3x no limite dado, temos:

0

0

3

)3)(24(lim

3 x

xx

x Indeterminação!


Página 19 de 34

Quando a substituição do valor de x resulta em uma indeterminação [como neste caso], não significa que o limite não

exista, até porque estamos interessados no comportamento da função quando 3x e não quando 3x .

Assim, devemos fazer uso de artifícios matemáticos para “eliminar” a indeterminação para então chegarmos ao verdadeiro

valor do limite.

Sabendo disso, podemos observar que a função racional em questão 3

)3)(24()(

x

xxxf tem fatores do 1º grau

)3( x comuns no numerador e no denominador. Logo, simplificando a função, damos origem a uma nova:

3

)3)(24()(

x

xxxf 24)( xxs .

Finalmente, podemos escrever o valor do limite procurado: 14)24(lim3

)3)(24(lim

33

x

x

xx

xx

Nota: Vale destacar que as funções 3

)3)(24()(

x

xxxf e 24)( xxs são diferentes em 3x , entretanto

temos que: )(lim)(lim33

xsxfxx

.

2) Calcule: 2422

123lim

24

xx

xx

Resolução:

Fazendo a substituição de 4x no limite dado, temos:

0

0

2422

123lim

24 xx

xx

Indeterminação!

Neste tipo de limite, se o numerador e o denominador se aproximam de zero quando ax , então o numerador e o

denominador terão um fator comum )( ax e o limite pode [frequentemente] ser obtido cancelando-se os fatores comuns.

Veja:

14

3

)3.(2

3lim

)3).(4.(2

)4.(3lim

2422

123lim

4424

xxx

x

xx

xxxx

14

3

2422

123lim

24

xx

xx

Nota: O denominador da função racional [no limite em questão] é representado por uma função quadrática. Eis que tal

expressão pode ser fatorada em termos do primeiro grau. Formalmente, podemos escrever:

))((2 xxxxacbxax sendo que x e x são as raízes da equação 02 cbxax .

Resolvendo a equação do 2º grau 02422 2 xx [pela fórmula de Bhaskara ou por qualquer outro método adequado]

encontramos as raízes 4x e 3x .

Assim, neste caso temos: )3(]).4[.(22422 2 xxxx

Simplificando a expressão: )3).(4.(22422 2 xxxx

Observação: Vale relembrar que, neste estudo, consideramos x , x ℝ.

Nota:

A expressão quadrática 962 xx

pode ser escrita de duas maneiras:

)3)(3(962 xxxx

ou

22 )3(96 xxx


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Exemplo: Revisitando o exemplo 1 [página 6] – Encontrando o limite algebricamente!

Seja a função racional 3

9)(

2

x

xxf com }3|{ xxD . Determine )(lim

3xf

x algebricamente.

Resolução:

Como queremos encontrar o

3

9lim

2

3 x

x

x algebricamente, podemos substituir o valor de 3x no mesmo para

“tentarmos” encontrar o seu valor correspondente [lembre-se que no limite ocorre que 3x e não que 3x ].

Fazendo isso, encontramos:

3

9lim

2

3 x

x

x

33

932

0

0[?] o que já era esperado, pois }3|{ xxD f .

A expressão 0

0 é uma INDETERMINAÇÃO do Cálculo [uma das sete existentes] o que impossibilita determinar o limite

diretamente. Para isto, utilizaremos um artifício matemático para transformar a função )(xf em outra função que tenha o

mesmo limite para 3x . Assim, faremos aqui o uso do produto notável: 22

)).(( bababa . Veja a seguir:

3

9lim

2

3 x

x

x

3

3lim

22

3 x

x

x

3

)3)(3(lim

3 x

xx

x

)3(lim

3x

x6)33(

6

3

9lim

2

3

x

x

x

Note que o gráfico da função 3

9)(

2

x

xxf com }3|{ xxD difere do gráfico da função simplificada

3)( xxs com D apenas no ponto )6,3( , pois: )()6,3( xs e )()6,3( xf .

Entretanto: 6)(lim)(lim33

xsxfxx

Graficamente, temos:

}3|{ xxD

D

3

9)(

2

x

xxf

0 3

6

y

x

– 3

3

3)( xxs

0 3

6

y

x

– 3

3


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Alguns Lembretes Úteis!

Fatoração de Polinômios:

● ))((2

xxxxacbxax sendo que x e x são as raízes da equação 0

2 cbxax

● ))()((23

xxxxxxadcxbxax sendo que x , x e x são as raízes da equação 0

23 dcxbxax

Produtos Notáveis:

● 2222

2)()( babababa

● 2222

2)()( babababa

● 32233

33)( babbaaba

● 32233

33)( babbaaba

● )).(()).((22

bababababa

● ))((2233

babababa

● ))((2233

babababa

13) Limites em que ocorrem “outras” Indeterminações

Vimos anteriormente como resolver limites de funções racionais quando ocorre a indeterminação 0

0. Para resolvermos

algebricamente limites em que ocorrem outras indeterminações

1,,0,0,,

00, aplicamos

procedimentos específicos para cada caso. Veja dois deles:

Exemplos:

1)

53

12lim

2

x

x

x Indeterminação!

x

x

x

x

xx

x

x 53

12

lim53

12lim

22

2

2

Substituindo x temos: 3

2

53

12

lim2

x

x

x

2)

xxx

12lim Indeterminação!

xxxx

xx

xx

xx

xxxxx

1

1

1

1

1

1

22

22

2

2

2 limlim1lim Substituindo x temos:

1lim

1

1

2 xxx

0lim 12

xx

x

Nota: Pesquise outros “artifícios” existentes que possibilitem resolver limites em que ocorrem as outras indeterminações!

Para refletir: Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em Matemática. Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso! [Gallagher]

No nível de estudo que nos encontramos, você já

deve ter memorizado a fórmula que resolve uma

equação quadrática do tipo: 02

cbxax ,

conhecida como fórmula de Bhaskara:

a

bx

2

sendo que: acb 4

2


Página 22 de 34

14) Limites Fundamentais

São três os chamados limites fundamentais:

a) 1lim0

x

xsen

x

b) ex

x

x

11lim

c) ax

ax

x ln

1lim

0

[com a > 0 e a 1]

Abaixo, a representação gráfica da função

x

xxf

11)( , onde o “limite fundamental” indica a existência de uma

assíntota horizontal de equação: ey .

Exercícios Resolvidos

1) Determine o valor de x

xsen

x

2lim

0.

Podemos encontrar o limite em questão através de duas maneiras:

Resolução [I]:

Multiplicando a função presente no limite por 22

temos:

2]1[22

2lim2

2

22lim

2

22lim

2lim

02000

x

xsen

x

xsen

x

xsen

x

xsen

xxxx

Resolução [II]:

Fazemos ux 2 . Assim quando 0x segue que 0)2/( u 0u . Substituindo no limite, temos:

2]1[2lim22lim2/

lim2

lim000

2

0

u

usen

u

usen

u

usen

x

xsen

uuu

ux

x

e

Lembre-se que: e = 2,71828182...

[Número de Euler]

Lembre-se que:

1lim0

sen


Página 23 de 34

2) Determinar ]/1

0

)1ln([lim t

t

t

.

Resolução:

Fazemos t

x1

. Assim, quando 0t segue que x . Substituindo no limite, temos:

1ln11limln11lnlim])1ln([lim /1/1

0

e

xxt

x

x

x

x

txt

t

3) Calcule x

baxx

x

0lim , com 0, ba e 1, ba .

Resolução:

b

a

b

a

x

b

a

bx

b

a

bx

b

ab

x

ba

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

xx

xlnln]1[

1

limlim

1

lim

1

limlim00000

Exercícios – Propriedades dos Limites

1) Calcule os limites aplicando as propriedades:

a) )573(lim 2

0xx

x

b) )273(lim 2

3

xx

x c) ][

13

1)2(.)4(lim

xx

x

d) 13

4lim

2

x

x

x e)

2

3lim

2

t

t

t f)

1

13lim

4

x

x

x

g) 2

654lim

5

2

t

tt

t h)

3

2lim

46

x

xx

x i)

100lim xx

j) x

x

14lim

k)

x

x

x 3

8lim

3

l)

37

6lim

3

3

t

t

t

2) Obtenha os limites das funções racionais algebricamente, “eliminando” a indeterminação:

a) 3

9lim

2

3

x

x

x b)

x

x

x

7

49lim

2

7 c)

25 25

5lim

x

x

x

d) xx

xx

x 3lim

2

2

0

e)

xx

x

x 2

3

0 2lim f)

1

34lim

2

1

x

xx

x

g) 4

127lim

2

4

x

xx

x h)

23

1lim

21

xx

x

x i)

1

12lim

2

1

x

xx

x

j) 4

2lim

22

x

x

x k)

2

8lim

3

2

x

x

x l)

65

27lim

2

3

3

xx

x

x

m) 1

34lim

3

2

1

x

xx

x n)

23

1lim

21

xx

x

x o)

2

65lim

2

2

t

tt

t

p)

1

1lim

2

1

x

x

x q)

xxxx

x 142lim

2

2

0

r)

xxx

x 31221840lim

2

4


Página 24 de 34

3) Calcule os limites dados abaixo:

a) 3

96lim

2

x

xx

x b)

2

4lim

3

2

x

xxx

c) 4

2lim

4

x

x

x

d) 1

1lim

1

x

x

x e)

2

1lim

2

2

1

xx

x

x f)

xx

xx

x

3

3 12lim

g) 1

1lim

4

1

x

x

x h) 1lim

x

x i) 1lim

x

x

4) Calcule os limites dados a seguir, fazendo uso dos limites fundamentais:

a)

x

xsen

x

)(lim

0

b)

xsen

xsen

x 4

3lim

0 c)

x

xtg

x 0lim

d)

x

x x

4

–

11lim

e)

x

x x

2

11lim f)

x

x x

3

11lim

g)

x

x x

4

2

11lim

h)

20

cos1lim

x

xx

[Dica: aplique a relação fundamental da trigonometria]


1a) 3 1b) 8 1c) 27 1d) 6/5 1e) 5/4

1f) 1g) 0 1h) 1i) 1j) 0

1k) 1l) –1/7

2a) 6 2b) 14 2c) 1/10 2d) –1/3 2e) 0

2f) –2 2g) 1 2h) –1 2i) 0 2j) 1/4

2k) 12 2l) 27 2m) –2/3 2n) 1 2o) –1

2p) 2 2q) 1/14 2r) 2/3

3a) 3b) 22 3c) 1/4 3d) 2 3e) 2/3

3f) 1 3g) 4 3h) 3i) Não existe!

4a) 4b) 3/4 4c) 1 4d) 4e 4e) e

4f) 3 e 4g)

2e 4h) 1/2

“Love Moment” at Limits...


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TÓPICO EXTRA: Resolvendo limites através da DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Podemos resolver algebricamente limites de Funções Racionais )(

)()(

xD

xPxf através da divisão do polinômio )(xP pelo

polinômio )(xD . Isso pode ser feito quando o polinômio )(xP tem grau maior ou igual ao polinômio )(xD ,

simbolicamente escrevemos: )()( DgrPgr .

Então vamos calcular o limite:

3

27lim

3

3

x

x

x

Note que neste caso ocorre a indeterminação do tipo 0

0

Resolução 1: Através da aplicação de produtos notáveis [como vimos anteriormente] temos:

3

27lim

3

3 x

x

x

279)3(33)93(lim3

)93)(3(lim

22

3

2

3

xx

x

xxx

xx

Resolução 2: Agora, vamos aplicar a DIVISÃO DE POLINÔMIOS pelo Método da Chave. Assim temos:

0

)279(

279

)93(

03

93)3(

2

2

223

2332700

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Então: )()()()( xRxQxDxP ou )()()(

)(xRxQ

xD

xP

0)93).(3(2723

xxxx

ou

0)93(3

27 23

xx

x

x

Assim:

3

27lim

3

3 x

x

x

279)3(33)93(lim22

3

xx

x

Observação:

Quando a divisão de polinômios for do tipo ax

xP

)(

podemos aplicar o Método de Briot-Ruffini, simplificando muito o

processo de divisão. Interessou? Pesquise e procure saber mais!

Note que se:

)(

)(

)()(

xR

xQ

xDxP

ocorre que: )()()()( xRxQxDxP

Onde:

)(xP Polinômio que será dividido [dividendo]

)(xD Polinômio que dividirá [divisor]

)(xQ Polinômio resultante [quociente]

)(xR Polinômio que sobra [resto]


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CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma função cujos valores foram gerados em

experimentos laboratoriais ou coletados em campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para

mostrar quais seriam os prováveis valores da função em todos os instantes em que não medimos [veja Figura A]. Fazendo

isso, supomos que estamos trabalhando com uma função contínua, então os valores variam continuamente e não saltam

de um valor para o outro sem assumir todos os valores entre eles [valores esses do domínio da função].

Qualquer função y = f(x) cujo gráfico possa ser esboçado, sobre seu domínio, em um único movimento contínuo, “sem

levantar o lápis do papel”, é um exemplo de função contínua, o que não ocorre na função representada na Figura B [veja

acima].

Fonte: THOMAS, George B. Cálculo. v.1. Pearson, 2009.

Uma função é contínua em um intervalo, se e somente se, for contínua em cada ponto desse intervalo. Assim, podemos

analisar a continuidade em um ponto através de um “teste de continuidade”, ou seja, através da definição:

Definição – Continuidade em um Ponto:

Uma função )(xf é contínua num ponto com cx , se e somente se, obedecer às três condições:

(i) )(cf existe [ c está no domínio de )(xf ]

(ii) )(lim xfcx

existe [ )(xf tem um limite quando cx ]

(iii) )()(lim cfxfcx

[ o limite é igual ao valor da função / o resultado obtido em (i) é igual ao obtido em (ii) ]

Exemplo 1: Verifique se a função 2)( xxf é contínua no ponto em que 2x .

Resolução:

(i) 42)2( 2 f [Existe!]

(ii) 4lim)(lim 2

22

xxf

xx [Existe!]

(iii) )2()(lim2

fxfx

[OK! – O resultado obtido em (i) é igual ao resultado obtido em (ii)]

Logo, como as três condições da definição foram verificadas, a função 2)( xxf é contínua em 2x .

Figura A: Unindo os pontos por uma curva não interrompida a partir dos dados experimentais Q1 , Q2 , Q3 , Q4 e P de um objeto em queda.

Figura B: A função f(x) apresentada acima é contínua no intervalo [0 , 4], exceto nos pontos em que x = 1 , x = 2 e x = 4.


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Exemplo 2: Considere as funções e as informações dadas a seguir, e então, verifique a continuidade em 1x .

2)(lim

1

xf

x 2)(lim

1

xg

x 2)(lim

1

xh

x

)1(f 1)1( g 2)1( h

Resolução:

A função )(xh é contínua no ponto em que 1x , enquanto as funções )(xf e )(xg

são descontínuas em 1x .

Nota: Observe que os limites das funções )(xf , )(xg e )(xh quando 1x são iguais, entretanto )1()1()1( hgf .

Exemplo 3: A função 143)( xxg é contínua no ponto em que 8x ?

Resolução: Vamos aplicar a definição de continuidade em um ponto.

(i) 1014)8.(3)8( g [Existe!]

(ii) 10)143(lim)(lim88

xxgxx

[Existe!]

(iii) )8()(lim8

gxgx

[OK! – O resultado obtido em (i) é igual ao resultado obtido em (ii)]

Logo, como as três condições da definição foram verificadas, a função 143)( xxg é contínua em 8x .

Observação: A função 143)( xxf é contínua para qualquer valor real de x .

Exemplo 4: A função x

xf14

)( é contínua no ponto em que 0x ?

Resolução: Vamos aplicar a definição de continuidade em um ponto.

(i) 0

14)0(f [NÃO existe )0(f , pois não resulta em um número real!]

Logo, como a condição (i) da definição NÃO foi verificada, a função x

xf14

)( NÃO é contínua em 0x .

Pense a respeito!

As funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas são CONTÍNUAS para todos os valores dos seus respectivos

domínios.

Você é capaz de identificar outros tipos de funções que também são contínuas para todos os valores de seus domínios?


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Definição – Continuidade em Extremidades:

Uma função )(xf é contínua à direita de um ponto ax extremo, se:

(i) )(af existe

(ii) )(lim xfax

existe

(iii) )()(lim afxfax

Uma função )(xf é contínua à esquerda de um ponto bx extremo, se:

(i) )(bf existe

(ii) )(lim xfbx

existe

(iii) )()(lim bfxfbx

Continuidade em Intervalos:

Definição 1:

Uma função )(xf é contínua num intervalo aberto ),( ba , se )(xf é contínua em todo x do intervalo ),( ba .

Definição 2:

Uma função é contínua num intervalo fechado ],[ ba , se é contínua em todo x do intervalo e se

ela é contínua a direita de “ a ” e a esquerda de “ b ”.

Propriedades de Funções Contínuas:

Se as funções )(xf e )(xg são contínuas em cx , então as funções:

)()( xgxf

)()( xgxf

0)()(/)( cgquevezumaxgxf

Rkparaxfk )(

também são contínuas em cx .

)(xf )(xf ),( ba

Fonte: THOMAS, George B. Cálculo. v.1. Pearson, 2009.


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Tipos de Descontinuidade:

Podemos classificar as “descontinuidades” em quatro tipos. São elas:

Removível gráfico (b) e (c)

De salto gráfico (d)

Infinita gráfico (e)

Oscilante gráfico (f)

Para conhecer e refletir!

A função xy ou xy int está representada graficamente

ao lado e é conhecida como função maior inteiro [contido].

Ela é contínua em todo ponto em que x não é inteiro, entretanto

note que essa função é contínua à direita, mas não à esquerda

de cada ponto em que x é inteiro.

Assim, trata-se de uma função com descontinuidades em todos

os pontos em que x é inteiro, pois não existe limite para

qualquer valor inteiro n na função. Veja:

1][intlim

nxnx

e nxnx

][intlim

Nota: A função do gráfico (a) abaixo é continua

em 0x , e [obviamente] as demais não são.


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Exercícios – Continuidade de Funções

1) Verifique se as funções )(xf a seguir, são contínuas no ponto 0x indicado.

a) 0|;|)( 0 xxxf

e)

1

1)(

2

xxf ; 10 x

b)

1,2

1,)1(

1

)(2

xse

x sexxf

; 10 x f)

0,1

0,1)(

2

xse

x sexxf

; 00 x

c) 2)( 2 xxf ; 20 x g) x

xxxf

2

)( ; 00 x

d)

1

1)(

xxf ; 00 x

2) Nos gráficos a seguir [de 1. até 4.], diga se a função apresentada é contínua em ]3,1[ . Se não, onde ela deixa de ser

continua e por quê?

3) Abaixo, a função )(xf e sua representação gráfica.

32,0

21,42

1,1

10,2

01,1

)(

2

xse

xsex

xse

xsex

xsex

xf

Então responda:

a) Existe )1(f ?

b) Existe )(lim1

xfx

?

c) Existe )1(f ?

d) Existe )(lim1

xfx

?

e) Em quais valores de x , a função f é contínua?

2

1


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1a) É contínua em 00 x 1b) NÃO é contínua em 10 x 1c) É contínua em 20 x

1d) É contínua em 00 x 1e) NÃO é contínua em 10 x 1f) É contínua em 00 x

1g) NÃO é contínua em 00 x

2 [1.] Não é contínua em ]3,1[ . É descontínua em 2x , pois não é definida nesse ponto: )2(f .

2 [2.] Não é contínua em ]3,1[ . É descontínua no extremo 3x , pois ocorre que: )3()(lim3

gxgx

.

2 [3.] A função )(xh é contínua em todo o intervalo ]3,1[ .

2 [4.] Não é contínua em ]3,1[ . É descontínua em 1x , pois ocorre que:

)(lim1

xkx

.

3a) Sim, pois 0)1( f 3b) Sim, pois 0)(lim1

xfx

3c) Sim, pois 1)1( f 3d) Sim, pois 2)(lim1

xfx

3e) A função f é contínua para }2,1,031/{ xxxexRx

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES [Alguns Resolvidos] – Limites, Continuidade de Funções e Aplicações:

1) [FUVEST–SP / Adaptada] A altura de uma árvore, em metros, é definida experimentalmente pela fórmula: t

h

10

100

7

61

onde “t” é a idade deste tipo de árvore, em anos. Qual a altura máxima que essa espécie de árvore pode atingir?

Resposta: Aprox. 8,7 m.

2) [THOMAS] De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, POR EXEMPLO, de um foguete, parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação ao próprio observador. Se ele medir o

comprimento 0L do foguete em repouso e depois com a velocidade v , o comprimento aparentará ser:

2

2

0 1c

vLL

Resposta: L tende a zero.

Por que foi necessário empregar o limite lateral à esquerda? Justifique isso com uma análise matemática.

Resposta: Por que a função L NÃO está definida para cv .

Note que em 2

2

01

c

vLL temos que

2

2

c

v tem valor máximo igual a 1 .

Essa é a equação da Contração de Lorentz, onde c é a velocidade da luz no vácuo, cerca de 8103 m/s. O que acontece com L à medida que v aumenta. Verifique isso fazendo: ][lim L

cv


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3) Determine algebricamente [através da aplicação das propriedades estudadas] os limites pedidos a seguir.

a) xxx

xx

x 145

44 lim

23

2

2

Resposta: zero

b) xxx

xx

x 145

44 lim

23

2

0

Resposta:

0

0

xse

xse

c) 4

24142lim2

4

xxx

x Resposta: 2

d)

214

6753 lim

32

32

xx

xxx

x Resposta: –1/2

4) Através da aplicação de Limites, verifique se a função 22

104)(

x

xxf , apresenta alguma assíntota horizontal. Em

caso afirmativo, escreva a(s) equação(ções) dessa(s) assíntota(s).

Resposta: Fazendo 5)]([lim

xf

x

existe assíntota de equação: 5y .

5) Escreva a equação da assíntota vertical de 22

34)(

x

xxf , caso ela exista. Verifique isso através da aplicação de um

limite.

Resposta: Fazendo

)]([

1

lim xf

x

existe assíntota de equação: 1x .

6) Na análise do crescimento de populações, um tipo de relação conhecida como função logística oferece um modelo mais

realista que o crescimento exponencial tradicional. Por exemplo, alguns cientistas modelam a população mundial usando a

função logística:

xexP

016,09,51,6

2,73)(

onde “ x ” é o número de anos após 2000 e )(xP é a população mundial em bilhões de

habitantes (aproximadamente). Aplicando convenientemente o conceito de limite, qual a tendência [numérica] da população

mundial em longo prazo? Faça um esboço do gráfico da função dada, apresentando o valor “inicial” da população [valor da

“bolinha” no gráfico abaixo] e o valor da “tendência” dessa população [assíntota] em longo prazo.

0

P(x)

x [anos]


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Resolução:

Qual é o comportamento em longo prazo?

Resolução:

R7)

R8)


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Observação: u.m. unidades monetárias

Resolução:

e

Graficamente:

R9)

10)

LIMITES E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO - Iniciojulio.tomio/Calculo 1/Mat Ensino 05... · O que se...

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