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Língua Portuguesa

Sintaxe: período simples EXT18_3_POR_A_09

Praticando

1. AA alternativa B é incorreta, uma vez que o verbo “haver” é impessoal no sentido de existir. A alternativa C também é incorreta tendo em vista que o verbo “representar” é transitivo e apresenta “prova viva” como seu objeto direto. A alternativa D, por sua vez, é incorreta em decorrência do verbo “ser”, que é de ligação e apresenta rela-ção entre o sujeito “Marte” e o predicativo do sujeito “o futuro da humanidade”. Em E, o verbo “fornecer” é regular e assim apresenta conjugação correta. Desse modo, a única alternativa correta é a A.

2. BFazendo a análise sintática da oração, observa-se que o sujeito é oculto (nós), o predicado é verbal, o núcleo do predicado é um verbo transitivo, o complemento é um objeto indireto em razão da presença da preposição (das = de + as).

3. CO verbo “duvidar” na alternativa A é transitivo indireto (quem du-vida, duvida de algo). O verbo “perder” na alternativa B é transitivo direto (quem perde, perde algo). O verbo “recorrer” na alternativa C é transitivo indireto, ligado ao seu objeto (os quais) pela preposição a (aos quais), sendo assim a alternativa correta. O verbo “competir”

na alternativa D é transitivo indireto (quem compete, compete com algo). Por fim, o verbo “tender” na alternativa E é transitivo indireto (quem tende, tende a algo).

4. BA afirmativa I está correta, o sujeito de “perdi” está oculto ou elíptico (eu). A afirmativa II é falsa, pois a forma verbal “guarda” está adequa-da (2.ª pessoa do singular do imperativo afirmativo), combinando com o pronome oblíquo “contigo”, também de 2.ª pessoa do sin-gular. A afirmativa III é falsa, pois o pronome “mim” não está sendo usado de acordo com a norma-padrão. Como é sujeito do “voltar”, deveria ser empregado “eu” no lugar de “mim”. A afirmativa IV está correta, pois “meu coração” é o vocativo que o eu lírico utiliza para se referir a Rosinha.

5. DNa frase em questão, o termo “jovem” exerce na frase a função de adjunto adnominal do substantivo “Brasil”, e o termo “vestibular”, exerce a função de objeto direto da forma verbal “curtindo”.

6. BNa oração I, o termo “Zika” o núcleo do sujeito da oração “Zika faz turistas”. Em II, “Zika” é o núcleo do objeto indireto “ao Zika”, da oração “Obama reage ao Zika”.

Sintaxe: período composto EXT18_3_POR_A_10

Praticando

1. AA conjunção “pois” antecede o verbo, sendo, portanto, explicativa.

2. E

3. 15 (01 + 02 + 04 + 08).

4. BA sentença da alternativa B expressa adição. O fato de o povo ter nova lei é a sequência acrescentada da ideia de que o reino tem novo rei.

5. E

Sintaxe: período composto por subordinação EXT18_3_POR_A_11

Praticando

1. AEm (1), a conjunção “como” pode ser substituída por “conforme”, evidenciando a relação de conformidade. Em (2) há uma comparação entre o conhecimento da alma mineira e a própria alma do escritor. Em (3) a conjunção pode ser substituída por “de que forma”.

2. DA oração subordinada expressa uma consequência (consecução) em relação aos fatos elencados nas orações anteriores.

3. D

4. D

5. D

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Concordância EXT18_3_POR_A_12

Praticando

1. EEm “estou meia gordinha”, a palavra “meia” modifica um adjetivo e equivale a “um pouco”. Nesse caso, é advérbio e, de acordo com a norma-padrão, é invariável.

2. A“Menos” é sempre invariável, por isso a alternativa B está incorreta. Em C e D, “muita” e “junto” são advérbios e, portanto, de acordo com a norma-padrão são invariáveis.

3. APassando o pronome pessoal “eu” para o plural “nós”, a frase ficaria assim: Nós pagamos muito caro por esse par de tênis. Além da

alteração no sujeito “nós”, há apenas mais uma alteração na frase: de “paguei” para “pagamos”.

4. EO verbo fazer indicando tempo decorrido é impessoal, ficando no singular. Dessa forma, a frase I é falsa e a frase II, verdadeira. O verbo haver significando existir é impessoal. Assim, na locução verbal, o verbo auxiliar também deve ficar impessoal (deve haver). Portanto, a frase 3 está correta.

5. a) nós, os amantes, nos amamos cruelmente/ e, como nos amamos

tanto, não nos vemos

b) eu me beijo no outro, refletido. / dois amantes que somos? Dois inimigos

Redação

Dissertação III EXT18_3_RED_B_09

Complementares

1. Conforme o penúltimo parágrafo do texto, para chegar à sensibili-dade do público, é preciso “saber narrar” e “um receptor disposto a entender” a mensagem. Ou seja, o emissor da mensagem precisa demonstrar competência discursiva, enquanto o receptor precisa querer entender o que aconteceu, superando preconceitos e eventual apatia.

2. A enumeração de episódios de violência extrema reforça a conclu-são do texto, que apela para a necessidade de se falar abertamente sobre esses episódios para melhor entendê-los. O risco de não se falar sobre tais acontecimentos trágicos é justamente o de permitir que eles se repitam muitas vezes.

3. O sentido da expressão conectiva “por mais que” é o de concessão. Entre as reescritas possíveis do período, mantendo-se o mesmo sentido de concessão, estão: “Ainda que as vítimas sejam pungentes, a mensagem não é nada sem um receptor disposto a entendê-la.” Os termos “embora” e “mesmo que” também poderiam ser utilizados para se manter a ideia de concessão.

4. O trecho “No início dos anos 1990 cogitamos reivindicar a cida-dania italiana.” (l. 13) explicita bem. No geral, o texto da jornalista e escritora Eliane Brum constitui uma narrativa de memórias, ao longo da qual ela relembra fatos de sua vida, ao mesmo tempo em que emite opiniões sobre os mesmos. No fragmento apresentado, a autora recupera lembranças da história de migração vivida por sua família no final do século XIX. Nele, identifica-se a exposição de fatos, dentre os quais: a chegada do momento de seu bisavô se alistar no exército e a decisão de seu tetravô de que não permitiria isso; o desejo da família brasileira de reivindicar a cidadania italia-na no início dos anos 1990 e a necessidade, por isso, de corrigir o erro cometido pelo burocrata imperial; a travessia do mar que fez seu tetravô deixar na margem italiana mortos e vivos. No mesmo fragmento, identificam-se, também, opiniões, como, por exemplo, a que a autora expressa ao dizer que Pietro Brun não poderia ser o mesmo ao alcançar a outra margem, no caso o Brasil, a nova pátria para a qual fugia. Trata-se aqui de um ponto de vista sobre o fato de fazer tal travessia, em especial nas condições relatadas.

Dissertação IV EXT18_3_RED_B_10

Complementares

1. AUma das características do gênero manifesto é ser escrito em cará-ter aberto ao público e se vincular a algum programa de interesse comum. No manifesto da Ação da Cidadania vemos que o objetivo maior é modificar uma situação específica do problema abordado. Assim, a alternativa que melhor responde ao enunciado é a A.

2. DVemos nos trechos das alternativas A, B, e C um claro posicionamen-to sobre os propósitos e objetivos do órgão que assina o manifesto. Essa é uma das características do gênero manifesto, uma vez que a sua finalidade é dar consistência e credibilidade aos argumentos que apresenta. A alternativa D, entretanto, não demonstra nenhum

posicionamento quanto aos propósitos da associação, sendo, por-tanto, a alternativa adequada.

3. BA alternativa B é a única que apresenta claramente o posiciona-mento da Associação Ação da Cidadania quanto ao problema que está sendo denunciado. A associação (a partir de vocativos) convida o público a quem se dirige a lutar pela resolução do problema da apatia política quanto aos direitos de participação cidadã nas de-cisões do poder público. Portanto, essa seria a alternativa correta.

4. A redação do aluno apresenta todos os aspectos formais inerentes ao gênero carta argumentativa. Na primeira linha, o participante indicou o local e a data (que poderiam ser fictícios) onde a carta


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foi escrita, seguida da apresentação do destinatário (vocativo). O uso do pronome de tratamento “Prezado senhor” foi adequado, dada a formalidade exigida pela situação. Construções como “Seu João”; “Querido gerente”; “Saudoso João”; “Ilustríssimo senhor” não seriam adequadas, pois carregam níveis de formalidade/informali-dade não indicados à situação de comunicação exigida pela carta argumentativa. A apresentação/interlocução com o destinatário se dá no primeiro parágrafo: “Eu costumava fazer compras...”. Nele, o participante contextualiza o leitor ao afirmar o contentamento em saber do novo mercado.

5. Do segundo ao último parágrafo ocorre a argumentação, por meio da qual o participante apresenta e desenvolve o assunto do texto. Todos os argumentos levantados no texto envolvem a comprova-ção de condições precárias do mercado (assunto que está sendo reivindicado ao longo da carta). Quanto à adequação linguística, o texto apresenta um bom repertório de recursos coesivos: “porém”;

“lá”; “pois”; “e”; “devido a isso”; “através dessa”; “porque”; “enquanto”. Esses recursos garantem a unidade temática do texto, bem como também sua progressão e compreensão. Quanto à adequação ao destinatário, há uma referência formal sobre a quem se destina a carta, como vemos logo no início: “Prezado senhor João de Souza”.

6. Sim, pois o autor da carta descreve situações do ambiente do mer-cado como: mau cheiro no setor de carnes e frios; mosquitos pelo mercado; insetos mortos pelo chão; e embalagens abertas. O parti-cipante usa ainda argumentos para justificar a possível denúncia à Vigilância Sanitária, como a existência do “Programa de Proteção Ju-rídico-Sanitária” (citado em um dos textos de base), além de mostrar preocupação com a saúde da família e dos demais frequentadores do mercado. Por fim, o participante usa argumentos embasados em atitudes que serão tomadas caso o mercado permaneça nessas condições: boicote às compras e campanha de alerta aos vizinhos.

Charge e Cartum EXT18_3_RED_B_11

Complementares

1. AA crítica da charge versa sobre a situação atual da população de menor renda, que consequentemente, tem tido pouco acesso à educação. Nesse sentido, a charge ironiza o fato de a educação estar relacionada às classes mais ricas, esse sentido pode ser inferido pela expressão da mãe com a frase: “Lá vem você com suas manias de grandeza!!”, ou seja, para ela, esse desejo é algo restrito e quase que inatingível.

2. O fato é que os guardas pertencem à mesma classe social dos jovens, pois o cartum chama a atenção para possíveis vínculos de classe social, de cor e de origem entre aqueles que reprimem e aqueles que são reprimidos, na sociedade contemporânea dos “shopping centers”. A resposta do segundo guarda, na qual ele identifica os tipos cuja entrada deve proibir como aqueles “parecidos com a gente”, e a cor da pele dos guardas sugerem esses vínculos.

3. A forma difusa das pessoas ao fundo aponta para essa generali-zação, isso por que preconceitos são, via de regra, generalizantes: julgam-se todas as pessoas de um grupo, por exemplo, a partir do

julgamento estabelecido uma única vez e para um único indivíduo. O aspecto gráfico do cartum que sugere o caráter generalizante de um preconceito é exatamente a forma difusa das pessoas ao fundo, mostrando como a visão preconceituosa não distingue indivíduos e diferenças.

4. A crítica da charge está relacionada à distribuição da riqueza no país. Uma das características da atual Constituição Brasileira, promulgada em 1988, é a considerável ampliação da cidadania, abrangendo ga-rantias políticas e sociais, como os direitos à educação e à moradia. O acesso aos mesmos, contudo, é limitado pelas condições de vida de segmentos expressivos da população brasileira, em que a situação de pobreza e a baixa renda tornam-se elementos de exclusão. A charge de Miguel Paiva ironiza, de forma crítica, essa contradição.

5. As críticas nas duas charges envolvem a ideia de que o desemprego no país atinge níveis muito altos e a de que as relações trabalhistas são injustas.

6. A ironia de o repórter noticiar sua própria demissão.

Dissertação V EXT18_3_RED_B_12

Complementares

1. As razões apontadas pelo entrevistado compreendem os dois eixos – autoritarismo e exclusão social – sobre os quais se funda a formação da cultura brasileira – uma cultura de transgressão das leis, derivada do estranhamento entre a sociedade, o Estado e suas instituições.

2. Segundo o entrevistado, os brasileiros ainda não incorporaram o conceito de civilização, por estarem centrados no domínio do pri-vado, isto é, nos interesses pessoais e não nos interesses coletivos e sociais. A frase “O mesmo cidadão que critica a corrupção e a troca de favores no Congresso Nacional e acha que todos os políticos são corruptos por natureza, às vezes topa oferecer uma ‘caixinha’ para o policial rodoviário que o flagrou fazendo uma ultrapassagem proibida” exemplifica esse argumento.

3. Os textos I e II fundamentam-se no mesmo argumento ou ponto de vista, ou seja, a constatação de que a cultura transgressora é um dos componentes do processo de formação da sociedade brasileira,

acrescida do fato de que as relações entre o público e o privado assentam-se numa associação dialética, contraditória, com o privi-légio dos interesses individuais sobre os coletivos. Os fragmentos a seguir, destacados do texto II, remetem tanto à disseminação do comportamento transgressor, quanto ao domínio do pessoal sobre o coletivo:

• “Tudo naquela cidade dependia da força pessoal.”; • “Não havia grandes assaltantes na Bahia, diziam, mas quase

todos furtavam um pouquinho.”;

• “Alguns salteadores de estradas, raros ladrões violentos ou cor-tadores de bolsas andavam por ali, porém uma desonestidade implícita e constante fazia parte do procedimento das pessoas.”

4. a) O autor do artigo expõe um argumento com base em uma


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pesquisa feita pela Fundação Getúlio Vargas classificando a classe média brasileira como 52% da população e que ganha entre R$1.064,00 e R$4.591,00. Logo após, o autor expõe um contra-argumento refutando essas informações no trecho: “Existe, sim, uma melhora no padrão de vida do pobre brasileiro, mas elevá-lo a tal categoria é um pouco de pretensão”. Poste-riormente, o autor desenvolve todos os argumentos do texto a partir da contra-argumentação sobre esses dados divulgados em pesquisa.

b) O argumento de autoridade é da Fundação Getúlio Vargas e empresas de pesquisas, que classifica a classe média brasileira como 52% da população e que ganha entre R$1.064,00 e R$4.591,00. O argumento de raciocínio lógico aponta para os efeitos que as pesquisas realizadas causam. Em primeiro lugar, a autora expõe a realidade em uma vila situada na zona oeste do Rio de janeiro, confrontando o resultado das pesquisas como não correspondente a esse caso. Em segundo lugar, a autora considera a própria declaração de um dos economistas responsáveis pela pesquisa como contraditória, vide o trecho

de fala: “o limite que define as faixas de cada classe concordo que é arbitrário, é uma simplificação. Porém o tamanho desta classe ou a forma como ela é definida é o menos importante, o mais importante é que está havendo um crescimento dela”. Por último, a autora se posiciona como advogada e refuta o argumento arbitrário dos valores de renda estipulados como fora da realidade dos brasileiros.

5. Produção pessoal.

6. Carl Honoré aponta o critério da qualidade como forma de supera-ção do estilo acelerado da vida atual, sugerindo que nos movimen-temos cada vez melhor, e não cada vez mais rápido. De sua parte, James Gleick considera que não se pode mais voltar a um tempo mais lento, mais tranquilo, porque a sociedade já optou por mais e mais velocidade. Os dois pontos de vista, portanto, diferenciam-se na avaliação dos mesmos fatos do cotidiano, relativos à aceleração do tempo. O reconhecimento dessa diferença contribui para a compreensão da complexidade do tema.

Literatura

Pré-Modernismo / vanguardas europeias EXT18_3_LIT_C_09

Modernismo EXT18_3_LIT_C_10

1. A terra, no texto, assume características humanas, particularmente femininas. Dessa forma, ela passa a “seduzir” o homem (“seio fecun-do”, “aspecto formosíssimo”) por meio de encantamento gradativo, evidenciado pelos verbos: “chama-o”, “encanta-o”, “arrebata-o”.

2. Por meio da expressão “sem uma remada”, o autor quer, na realidade, sugerir que se tratava de uma navegação tranquila, sem exigência de grande esforço.

1. EOs elementos prosaicos mencionados na alternativa A não configu-ram uma característica do Modernismo, invalidando-a. A liberdade de forma e tema aparece no poema, que não apresenta padrão de métrica e rima, logo, a alternativa B não pode ser a resposta. Quanto ao item C, elementos da realidade urbana moderna apare-cem no poema, como “caminhão” e “esquina”. Por fim, verifica-se a aproximação da linguagem falada à literária no penúltimo verso reproduzido, quando o autor emprega “si” no lugar de “se” – o que é característico da fala, descartando também a alternativa D. Assim, a alternativa correta é a E, dado que o nacionalismo engajado é uma das características da escola moderna, porém, não aparece na superfície do texto.

2. AA década de 1920, no mundo e no Brasil, configurou-se como um momento de transformações, associadas principalmente aos efeitos da Primeira Guerra Mundial (1914-1918). No caso brasileiro, críticas ao Estado oligárquico e às suas tradições se disseminaram,

3. AOs Sertões é considerada uma das mais profundas análises da guerra civil brasileira dos anos 1896-1987 – Guerra de Canudos. Euclides da Cunha a escreveu de forma minuciosa, relatando os conflitos culturais e políticos ente o líder religioso Antonio Conselheiro e o governo republicano de Prudente de Moraes. A obra literária e relato histórico-jornalístico mostra como viviam os rebeldes liderados por Conselheiro e é também um estudo geográfico-social sobre a paisagem do sertão baiano.

favorecendo a proliferação de projetos relacionados à defesa de ações modernizadoras. Entre intelectuais e artistas, houve os que propuseram a criação de um “Brasil moderno”, dialogando por um lado com movimentos vanguardistas europeus e, por outro, buscan-do compreender a realidade brasileira, seus problemas e perspecti-vas. Nesse contexto, o “descobrimento do Brasil” representava uma atitude de reflexão e de intervenção, manifesta de maneiras variadas, na poesia, na prosa, nas artes visuais. O abandono do ufanismo e das idealizações românticas na apresentação da identidade nacional era um dos temas principais nessas produções artísticas.

3. Alberto de Oliveira – rigor formal, preciosismo no vocabulário e contenção dos sentimentos. Manuel Bandeira – liberdade formal, linguagem coloquial e liberdade de sentimentos.

4. “Estou farto do lirismo namorador”. “De todo lirismo que capitula ao que quer que seja fora de si mesmo”. Manuel Bandeira nega o auxílio exterior de uma musa típica dos poetas tradicionais do passado: para ele, a poesia tem de ser espontânea e viva.


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Modernismo – 2.ª geração: poesia EXT18_3_LIT_C_11

1. a) O título e as imagens do poema nos conduzem à geometria e

ao desenho geométrico, o que nos faz lembrar da arquitetura e da engenharia.

b) As imagens ligadas à geometria mostram que a vida pode ser racionalmente planejada. O poema também nos passa ideia de que o homem age como se tivesse domínio sobre sua própria vida.

c) Sim, pois a precisão e o rigor são confrontados com imprecisão e variabilidade das formas a serem desenhadas ou mensuradas. Não se trata propriamente de negação, mas de relativização do sentido das imagens em questão.

2. a) Metáfora e ironia.

b) Utilizando-se da metáfora, Mario Quintana compara o estado de quem se acha perturbado, zonzo, atordoado, por causa do barulho, com o estado de bebedeira de alguém que, nessa situação, também se mostra tonto, confuso, transtornado. Já a ironia destaca-se, por exemplo, quando o autor coloca a palavra civilização entre aspas para revelar que o homem, ao se acostumar com o barulho, perde a fala, o poder de pensar, o que o afasta da comunicação e, consequentemente, de uma vida civilizada. As perguntas e a exploração da onomatopeia – “Tan! tan! tan! tan! tan!” – também se apresentam como recursos reveladores da ironia.

3. Murilo Mendes exibe um outro lado do país ao parodiar o Roman-tismo. Exibe a face realista do Brasil: miscigenado, dominado por uma cultura estrangeira, com sua fauna e flora em extinção. Após mostrar esse país esfacelado, tenta ordenar o caos utilizando-se do poder de libertação do trabalho poético.

4. a) Aliteração. Porém, vê-se também assonância e paronomásia.

Há aliteração na repetição dos fonemas |t| e |p|; assonância na reiteração dos fonemas vocálicos; paronomásia no emprego de palavras parecidas no som e distintas no sentido, como tonta / tinta / tenta / pinta / ponte /desponta / ponto.

b) “Tontinha” é um adjetivo substantivado. Do ponto de vista da construção sintática, tem função de retomar explicitamente a expressão “menina tonta” (primeiro verso), a que remetem os sujeitos elípticos das duas primeiras orações da segunda estrofe. Quanto à construção formal do poema, “tontinha” tem função de integrar a série de palavras que compõem a longa aliteração do |t| e a igualmente longa série de assonâncias em |õ|.

5. No poema de Mario Quintana, observa-se a presença de elementos formais da poesia tradicional, aos quais se agregam traços marcan-tes da linguagem modernista. Dentre os primeiros, destacam-se o soneto, a rima e a metrificação regular. São exemplos da linguagem modernista as expressões coloquiais (como “pára-sol”, “fumo”, “pra”) e o aproveitamento da linguagem oral (como em “mi-nu-ci-o-sa-men--te”). O poema em questão mostra que a poesia do Modernismo suspendera mas não abolira as formas tradicionais, acabando por retomá-las e combiná-las com as inovações propriamente modernis-tas, o que resultou no incessante enriquecimento formal da poesia brasileira do século XX: as tendências tradicionais se renovaram com os recursos modernos e os traços modernos se enriqueceram com os elementos tradicionais.

Modernismo – 2.ª geração: prosa EXT18_3_LIT_C_12

1. a) O espaço é o sertão/as regiões semiáridas do Nordeste brasi-

leiro, o tema é o da seca e o drama humano, representado na tela de Portinari e comumente protagonizado pelos habitantes desse espaço, é o da migração/retirada dos que são flagelados pela seca.

b) O período da história da literatura brasileira é o Modernismo, e o gênero literário em que esse espaço, esse tema e esse drama humano foram recorrentemente explorados é o romance regio-nalista da geração de 30/romance nordestino de 30.

2. a) A descoberta da verdadeira origem de Pedro Bala tem a conse-

quência de atribuir um sentido às ações da personagem. O que até então fora apenas luta pela sobrevivência e reação instin-tiva contra a violência sofrida adquirirá um sentido de missão transformadora, com a superação da alienação política inicial. De líder de um bando de infratores, sem qualquer consciência ideológica, Pedro Bala se desenvolverá no sentido de se tornar militante de um movimento de transformação social, buscando seguir os passos do pai, em quem passa a se espelhar. Ele almeja para si uma imagem heroica similar à do pai.

b) Jorge Amado pertence à geração dos romancistas da década de 30. Em referência a esse período, fala-se geralmente em romance social. O romance é visto como um instrumento de interpretação e de transformação da realidade. Pode-se acrescentar que a cons-trução de um herói positivo, no caso desse romance, aproxima o autor da vertente do realismo socialista.

3. Ao longo da narrativa, o sentimento que domina o personagem é o medo. Durante a viagem de trem, a situação que provoca o medo é a possibilidade de ser descoberto. Pequenos incidentes geram esse temor e contribuem para a tensão construída no texto: “Se fosse falsa [a moeda], estaria perdido”; “O Padre Fileto me viu”; “Num banco da minha frente estava um sujeito me olhando”; “Nisto vi Seu Coelho”. No trajeto para o engenho, feito a pé, a situação que desperta o medo é a possível reação negativa dos moradores do engenho: “A casa-grande inteira brigaria comigo. No outro dia José Ludovina tomaria o trem para me levar. E o bolo, e os gritos de Seu Maciel”.

4. a) Os trechos do enunciado apresentam, entre outros, o caleidoscó-

pio de sentimentos e emoções da família de Fabiano enquanto observam as festividades de Natal na cidade. No primeiro excerto, os meninos maravilham-se com tantas luzes e gente e


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assustam-se com o ambiente da igreja e das lojas que desco-nheciam. No segundo, Sinhá Vitória está aflita com a situação de Fabiano que se tinha embriagado e ficara deitado no chão, dormindo pesadamente. Em ambos os excertos, está presente o conflito de quem vive em absoluta situação de precariedade e rudeza e estranha o mundo dos mais afortunados que têm acesso ao “luxo” e à abastança.

b) O mundo retratado na obra Vidas secas é revelador do sofrimento dos que vivem em condições sub-humanas no sertão nordes-tino, submetidos aos rigores do clima e ao isolamento social, o que lhes embota o raciocínio e provoca o ressecamento do

ser. Assim, num espaço em que impera o silêncio apenas entre-cortado pelos gritos dos animais, as personagens adquirem as mesmas características, tornando-se cada vez mais “bichos” e menos “gente”. No excerto 2, Sinhá Vitória procura demarcar-se do meio que a cerca (“Se ficasse calada, seria como um pé de mandacaru, secando, morrendo”), mas a pobreza e a falta de instrução fazem com que a distância que a separa das outras pessoas aumente cada dia mais. Assim, mais do que a seca e a miséria, a linguagem é que se configura como essência do que nos faz humanos: a capacidade de comunicação.

Língua Inglesa

They have been studying hard EXT18_3_ING_09

I should have left earlier EXT18_3_ING_10

Where would you go if you could fly? EXT18_3_ING_11

I had been sleeping EXT18_3_ING_12

Putting into practice

1. A

2. A

3. E

4. B


1. B

2. D

3. D


1. E

2. 03 (01 + 02)

3. E


1. a) had been looking for

b) had been exercising

c) had she been learning

d) had been running

e) had been driving

2. a) have the bedrooms redecorated

b) ‘s having it made

c) Have you ever had anything stolen

d) had it fixed

e) to have it cut

3. C

4. C


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Matemática A

Praticando

1. Alog( )2 6 2

2 6 102 100 62 94

47

2

x

xxxx

+ =

+ == −==

2. x N M

xx

x

x

+ =+ =

= −

=

=

log loglog log

log

log

300 3030 300

30300

110

= ( )

= −

−log 10

1

1

x3. Sabendo que log ab = b . log a, para todo a real positivo, tem-se:

log log log log loglog

,

x x x x xx

xx

+ + + = − ⇔ ⋅ = −⇔ = −

⇔ =⇔ =

−

2 3 4

2

20 10 202

100 001

Desenvolvendo habilidades

1. B

1 6 36 2 3 2 2 3

1 6 2 0 3 2 3

31 6

2, log log log log

, , log

log,

= = ⋅( ) = ⋅ +( )≅ ⋅ + ⋅

≅− 00 62

0 5,

,=

2. A

log

log

log log

52

104

20 20

2 5 25

4 10 10 000

10 0002

x x x

y y y

yx

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

=55

400 220= =log

3. BSabendo que a base deste logaritmo é 10 e o desenvolvendo nor-malmente, tem-se − = ⇒ = − ⇒ =+ + + −log [ ] log [ ]H H H5 5 1010

5

4. ANúmero inicial no visor = xTecla B = 5xTecla A = log10(5x)

Tecla B = 5 5 10 5 2

5 10100

520

10 10

2

⋅ ( )( ) = ⇒ ( ) = ⇒

⇒ = ⇒ = =

log logx x

x x

Logaritmos EXT18_3_MAT_A_09

5. C

ME

EE

EM E

E

M

=

⇔

= ⇔ =

23

32

100 0 0

32log log

Daí, como M1 = 9 e M2 = 7, temos

E E e E E1 0272

2 0

21210 10= ⋅ = ⋅

Logo, E E E E1 0272

0

212

62 3

210 10 10 10= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ .

6. C

log log log log log log

log

c c c c c c

c

a bd

a b d a b d

a

2 5

32 5 3 2 5 3

2

= − = +( ) − =

= + 55 3 2 5 3log logloglog

loglog

logloc c

b

b

b

b

bb dac

bc

d( ) − = ⋅ + ⋅

− ⋅

ggb c=

= ⋅ + ⋅

− ⋅ = +

− = − = =2

52

512

332

552

92

152

92

62

3

7. DSe x é a altura que a escada alcança na parede, então, pelo Teorema de Pitágoras, temos

x x x x

x x

2 2 2 2

2

4 12

5 15 5 100

52

4254

52

1 17

+ − = ⇒ − =

⇔ −

= ⇒ = +

( )

( )

log , 117 1712

17 1

17 1 17 4 12

52

1 4

4 12

12

4 12

4 12

= = ≅

⇒ ≅ ⇒ ≅

∴ = +

log log

log ,

(

, ,

,

x ,, ) ,12 12 80= m

Complementares

1. EQ d

dQ

==

∴ = =

log

log

2

2

1616 4

2. E

10 20 10 20 10 2 10

2 10

x y x y x y

x y

= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅( )⇒

⇒ = ⋅ +(

log log log log

log log ))⇒ = ⇒ =x y xy

1 3 1 3, ,

3. B

log log log logloglogA B A B

B

B

B A B AAA

3 2 3 2 6 6⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ =

4. E

2 5

3 10

3 5

2 2

2 2

2

log log ( )

log log ( )

( ) ( ) log

x y I

x y II

I II x

+ =+ =

⇒ − + ⇒ − == − ⇒ = =5 2 8x y;

Logo, ab y= = =2 2 2568 .


EXT1

8_SO

L_L3

5. BSeja a = 358 . Temos

log log log log log log log

log ,

a a a

a

= ⇔ = ⋅( ) ⇔ = +( )⇔

⇔ ≅

35 7 518

7 5

18

0 8

818

445 0 69918

1 544

0 193 1 56 1 56

+( )⇔ ≅ ⇔

⇔ ≅ ⇔ ≅ ⇔ ≅

, log ,

log , log log , ,

a

a a a

6. Considerando P = 16 kg e H = 100 cm, tem-se a seguinte equação:log A = 0,425 · log 16 + 0,725 · log 100 + 1,84log A = 0,425 · log 24 + 0,725 · 2 + 1,84log A = 0,425 · 4 log 2 + 1,45 + 1,84log A = 1,7 · 0,3 + 3,29log A = 3,8A = 103,8 = 6310 cm2

Logo, como Rafael deve tomar 1 mg para cada 100 cm2 de seu corpo,

o valor procurado é 6310100

63 1= , mg.

7. AAnalisando as 3 afirmações, tem-se

log

log

.

. log

x x

y y

I xy

II

= ⇔ =

= ⇔ =

= ⋅ =

52

10

135

10

10 10 10

52

135

52

135

5110

(( ) log ( ) ( )

log( ) log( ) , ,

y x y x y x

y x x y

2 2

1 913 2 854 4

− = − ⋅ +[ ] == − + + = + = ,, ,

. log log log

767 0 2

2 22

≠

+ +

= +

=

+III

xy

yx

xy

yx

x y

xy

= +( ) − =2 0 608log log ,x y xy

São verdadeiras apenas as afirmações I e III.

8. D

log

log

log

log ( )

12

12

21

4 12

5

12

3 21

4

1

432

8

2

2

5

3 2

n

n

n

nn

n+ +∑ ∑ ∑= =−

− +( )==

=+( )

= + + +

=∑

53

12

53

13

18

115

124

17181

4

n n

Praticando

1. AO aumento percentual após 60 minutos do início da cultura é

B( ) log ( )

log

60 30 60 21 150

30 81 150 30 4 150 303

3

= − ⋅ + + == − ⋅ + = − ⋅ + =

A quantidade de bactérias ao fim da primeira hora será 250 · 1,3 = 325.

2. DA raiz da função y x= +( )log 1 é tal que log( )x x x+ = ⇔ + = ⇔ =1 0 1 10 00

Assim, o gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto (0, 0).Portanto, a alternativa correta é a D, única cujo gráfico passa pela origem.

3. C

Queremos calcular o valor de t para o qual Q tQ

( ) .= 02

Então, sabendo que k = 0,04 e considerando n 2 7≅ 0, obtém-se

QQ e e

et

t

t t

t

00

0 04 1 0 04

1 0 04

22

20 7 0 04

0

= ⇔ =

⇔ =⇒ − = −

⇔ =

− − −

− −

, ,

,

, ,,

n n

7700 0417 5

,,⇔ =t anos

Função logarítmica EXT18_3_MAT_A_10


1. AO gráfico da função y = log(x) é o que mais se aproxima da função que representa a linha em destaque, conforme imagem a seguir.

y

1

10 x(1, 0)

2. DSupondo M(t) > N(t) para algum t real positivo, vem que

log log log log log

log

86

2 2

62 2

2

1 4 4 1 4 1

63

1

3+( ) > +( )⇔ +( ) > + +( )

⇔ ⋅

t t t t

++( ) − +( ) >

⇔ +( ) >⇒ >

t t

t

t

log log

log log

2 2

2 2

1 4

1 4

3

Portanto, após 3 anos, a população da cidade M será sempre maior do que a da cidade N.


EXT1

8_SO

L_L3

3. DCalculando:

Pn

n

n

máx =

=⋅ ⋅

−( )⇒

⇒ ⋅ −( ) =

400

4005000 1 013 0 013

1 013 1

400 1 013 1 65

, ,,

, ⋅⋅ ⇒

⇒ ⋅ − = ⋅

⋅ = ⇒

⇒ =

1 013

400 1 013 400 65 1 013

335 1 013 400

1 0134

,

, ,

,

,

n

n n

n

n 000335

1 013400335

1 013 400 335

⇒ =

⇒

⇒ ⋅ = −

log , log

log , log log

n

nnn

n parcelas⋅ = − ⇒

⇒ = ⇒0 005 2 602 2 525

15 4 16, , ,

,

4. BD e s d e q u e log log log ,ab a b= + , log log log

ab

a b= − e

log ,a b a b= ⇔ =10 , para quaisquer a e b reais positivos, tem-se

8 923 7 10 7 10

13 35

7 10

3 3, log log ,

log log

=⋅

⇔ ⋅

=

⇔ − ⋅

− −

E E

E −− =⇔ = + −⇒ = + −

⇒ =

3

11

13 3513 35 7 3 1013 35 0 84 3

10

,log , log loglog , ,

,

EE

E 119 kWh

5. CComo log(100) = 3, tem-se que a ordenada y = 3 está a 15 cm da origem. Logo, y = 1 está a 5 cm da origem. Como há cinco divisões no eixo y de 0 a 1, 1 cm equivale a 0,2 unidade.Em x, cada unidade vale 10 cm. Estabelecendo a relação, obtém-se:

x: 1 cmy: 1 cm

→→

⇒ = = = =100 2

100 2

1002

501

50 1unidadesunidade

xy, ,

:

6. EAnalisando a curva y = log(x), tem-se que logx = – log(x + n), conforme figura a seguir.

0

x

y(m)

y = log (x)

x(m)

n

h

Logo, logx + log(x + n) = 0log [x ∙ (x + n)] = 0 x ∙ (x + n) = 1 x² + nx – 1 = 0

Assim, xn n

=− ± +2 4

2 x, como x > 0, tem-se que x

n n=− + +2 4

2

Portanto, hn n

n hn n

=− + +

+

⇒ =

+ +

24

22

42

2 2

log log

7. ESubstituindo o valor da magnitude Mw = 7,3 na função logarítmica, tem-se:

M M

M

M

W

W

= − + ⋅ ( )=

⇒ − + ⋅ ( ) =

⇒

10 723

7 3

10 723

7 3

23

10 0

10 0

, log

,

, log ,

⋅⋅ ( ) = +

⇒ ⋅ ( ) = ⇒ ( ) = ⋅

⇒

log , ,

log log( ) ( )

l

10 0

10 0 10 0

7 3 10 7

23

183 18

2

M

M M

oog10 0 02727 10M M( ) = ⇒ =

8. ASubstituindo o valor de 2 000 pessoas na equação da epidemia, tem-se:

200020 000

2 15 41

102 15 4

2 15 4 10

15 4 8 15

2 22

2

=+ ⋅

⇒ =+ ⋅

⇒ + ⋅ =

⋅ = ⇒

− −−

−

t tt

t ⋅⋅ ( ) = ⇒ = ⇒ ⋅ =⇒ ⋅ = ( )⇒ +

−

−+

+

2 2 152

23 5 2

3 5 2 3

2 2 33

43 4

3 4

t

tt

tlog( ) log log llog log

log log log , ,

5 3 4 2

3102

3 4 2 0 48 1 0 3 3 4

= +( )

⇒ + = +( ) ⇒ + − = +( ) ⋅

t

t t 00 30

11830

3 41415

47

307

,

⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =t t t meses t dias

9. E

M A

A Ak k

k

( )

, ,

,

3012

12

2 712

2 7

2 712

30 30

130

=

= ( ) ⋅ ⇒ = ( )

( ) =

Seja T o tempo para que a massa do césio-137 seja reduzida a 1 décimo.

M TA

AAk t

tt

( ) ,= ⇒ ( ) =

= ⇒ =

−

102 7

10

12

110

2 101

30

30 −− −⇒ =

− = − ⇒ ⋅ = ⇒ =

−1 12 10

302 1 0 3 30 100

30log log

log ,

t

tt t anos


EXT1

8_SO

L_L3

Complementares

1. A

Q Q

QP

QQ

P P

P

= + ⋅( ) ⇒ ⋅( ) = −

⇒ ( ) = − ⇒ = − >

1 4 0 8 4 0 8 1

0 81

41

41

2 2

0 8

, ,

, log ,,

2. CA quantidade Q da substância no organismo, em μg/mL, após t minutos, pode ser dada por Q Q ekt= ⋅0 .Logo, utilizando as informações dadas no enunciado, tem-se que:

2 6 3

23 2 3

2

481

48

00

148 1 48

= ⋅ ⇔ =

= ⋅

⇔ =

⇔ − = −

−

−−

−

e e

QQ

t

k k

t t

ln ln

ln448

3

0 71 1

48 31

ln

,,

min⇔ = ⋅ ≅t

3. a) O número de bactérias da população C cresce com o tempo.

Logo, pelo gráfico sabe-se que a população C de bactérias atin-giu 103 = 1 000 indivíduos, superando, portanto, a população A no quarto dia, com exatamente 104 = 10 000 indivíduos.

b) A variação percentual pedida é dada por 2 2

2100 1 500

10 6

6

−⋅ =% %

c) O resultado é igual a

2500 2 10 1 200 2 10

1 200 2 10100

103012 1 3641 364

9 5 6 2

6 2

+ + − + +( )+ +

⋅ =−

≅% 77 452 20, %.

2500 2 10 1 200 2 10

1 200 2 10100

103012 1 3641 364

9 5 6 2

6 2

+ + − + +( )+ +

⋅ =−

≅% 77 452 20, %.

4. ECalculando:

y x

x t

y N

N t N

b

b

b b b

= +

==

= ⋅ + ⇒ =

9 1

9 1

log ( )

log ( )

log ( ) log ( ) log ( ) logbb b b bt b N b t

N b tmas

N tLogo

b

( ) log ( ) log ( ) log ( )

:

9 9

9

9 1510

+ ⇒ = ⋅

⇒ = ⋅

= −

== −10 15

5. A variável y se aproxima das potências de 3 como se pode perceber na tabela a seguir:

x y Aprox. y = 3x

1 2,97 3

2 9,05 9

3 26,8 27

4 81,6 81

5 241 243

Assim, pode-se calcular:y x x xx= ≈ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ ≈100 3 100 3 100 0 477 2 4 2log log , ,

6. DAplicando os dados fornecidos, temos:pH = –log[H+]pH = –log(2 · 10–8)Aplicando a propriedade de produto dentro do argumento dos logaritmos:pH = –(log(2) + log(10–8))Aplicando a propriedade dos expoentes:pH = –(log(2) + 8 · log(10))Sabendo que log 2 = 0,3 e log 10 = 1:pH = –(log(2) + 8 · log(10))pH = –(0,3 – 8 · (1))pH = 7,7

7. BSendo S a área do retângulo ABCD, S = (8 – 2) · (yC – yD)c é um ponto do gráfico da função y = log4x, logo,

y

y

y

y

C

C

C

C

=

=

= ⋅

=

log

log

log

4

23

2

8

2

312

2

32

2

yD = yA e A é um ponto do gráfico da função y = log4x, logo,

y

y

y

y y

A

A

A

A D

==

=

= ⇒ =

log

log

log

4

2

2

2

2

12

2

12

12

2

Assim,

S

SS

= −( ) ⋅ −

= ⋅=

8 232

12

6 16

8. BSeja Vm a velocidade média de pico pela manhã

Vmt

t

t

= ⋅( )

= ⋅( )

= ( )

= (

22 1 0 95

22 12

22 1 0 95

12

0 95

12

0 95

4

4

4

, ,

,, ,

,

ln ln , )) ⇒ − =

− = − −( )

− =

t t

t

t

4 1 24

1920

0 24

19 2 2 5

0 694

ln ln ln

ln ln ln ln

, 22 94 2 0 69 1 61

0 694

0 05

55 22 012 55 2 2 067 2 2

, , ,

, ,

,, ,

− ⋅ −( )

− = −( )=

+ = ≅

t

t0068


EXT1

8_SO

L_L3

Agora seja VT a velocidade de pico no período da tarde

VTt

t t t

= ( )

= ( ) ⇒ = ( ) ⇒ = ( )

⇒

18 5 0 9

18 52

18 5 0 912

0 912

0 9

4

4 4 4

, ,

,, , , ln ln ,

lln ln ln

ln ln ln ln

, , , ,

1 24

910

0 24

9 2 5

0 694

2 2 0 69 1 61

− =

− = − −( )

− = − −

t

t

t (( )

− = −( )= ≅

0 694

0 1

27 6 2 040

, ,

,

t

t

9. BDesde que log log ,q

rqp r p= ⋅ log logq qr p r

p= ⋅1

e logqq = 1 com p, q, r ∈ *+ e q ≠ 1, temos

A log log log

log log log

log log

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅

25 4 3

53

2 3

12

5

27 5 2

3 5 2

32

312

2 2

22 3512

2

38

⋅

=

log

e

B n

n

n

nn

n nnn

n nn

n nn

n n

=

=

=

=

log (log )

log (log )

log (log )

log log

2

21

2

1

== −

−log

.n n

2

2

Ademais, vem

Cab

bc

ca

ab

bc

c a b

c

c

a

=

⋅

⋅

= ⋅

log log log

log

log

log

llog

log

log


log

a

b

b

c b a c b a

cb

ca

a b c

a b

⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅

− − −

llog log


ac

ba

cb

aac

aba

a

c

a b ca a a

⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅10 10 10

== ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅

( )log log log log

log log log

a b c

cb

b c

a a a

b a c

cb

ac

ba a

ac

bba

10

⋅⋅

= ⋅

⋅

loglog

log log lo

a

a a

ca

b ccb

ac

ba

10

gg

log

log log

log

log

log

10

10

a

b

c a

c

b

cb

bc

bc

bc

a

a

a

a

= ⋅ ⋅

=

110

10

a

c b

b b

a

b

b

bc

cc

b a

b a

a

a

=

=

⋅

⋅

log log

log log

log

log

log

=

log10

1

a

Por conseguinte, temos B < A < C.

Praticando

1. ADado o termo geral an = 3 . n -1, podemos determinar a1 e a2, subs-tituindo n por 1 e 2, respectivamente, na fórmula do termo geral. Acompanhe:

a a

a a1 1

2 2

3 1 1 2

3 2 1 5

= ⋅ − ⇒ == ⋅ − ⇒ =

Portanto, a1 = 2 e a razão r = 3.

2. CO resultado pedido corresponde à soma dos termos da progressão

aritmética ( , , , )100 102 998 , ou seja, 100 9982

450 247050+

⋅ =

3. ASeja n o número de meses decorridos até que os dois ir-

m ã o s v e n h a m a t e r o m e s m o c a p i t a l . T e m - s e q u e

50 51

25 10 1

12

0 19⋅ = +−⋅

⋅ ⇒ − −

−= ⇔ =n

nn

nn , ou seja , um

ano e sete meses, o que equivale a pouco mais de um ano e meio.

Progressão aritmética EXT18_3_MAT_A_11


1. B

Cartas utilizadasCartas no monte

= + + + + + + == − =

1 2 3 4 5 6 7 2852 28 24

2. DA diferença entre o número de passagens emitidas de um mês para o seu subsequente é constante (R$1.500,00), então temos uma progressão aritmética cujo primeiro termo é igual a 33 000, com uma razão igual a 1 500:O total de passagens vendidas por essa empresa em julho do ano passado corresponde ao sétimo termo dessa P.A.Logo,a7 33000 6 1500 42000= + ⋅ =

3. DAs distâncias percorridas pelo corredor constituem a progressão aritmética (3; 3,5; 4; ...; 10). Se n denota o número de dias para que o planejamento seja executado, temos que 10 = 3 + (n – 1) ∙ 0,5 ⇒ 7 ∙ 2 = n – 1. Logo, n = 15.


EXT1

8_SO

L_L3

4. BO enunciado nos dá três situações: I. Em um quadrado são usados quatro canudos.

II. Para formar um segundo quadrado, é aproveitado um lado já existente, e são adicionados três novos canudos, formando o segundo quadrado.

III. Mais uma vez é aproveitado um lado já existente, e assim três novos canudos formam mais um quadrado.

Portanto, serão usados 3 canudos por quadrado e mais um por causa do quadrado inicial: C = 3Q + 1.

5. DComo 51 50 50 25 52 75 51 50 54 52 75 1 25, , , , , ,− = − = − = , pode-se concluir que a sequência 50 25 51 50 52 75 54 00, ; , ; , ; , ; é uma progressão aritmética de primeiro termo a1 50 25= , e razão r = 1 25, . Portanto, calcula-se a soma dos 10 primeiros termos dessa progres-são aritmética, ou seja,

S a r10 12 9

210

2 50 25 9 1 252

10

558 75

= +

⋅

= ⋅ + ⋅

⋅

=

, ,

,

6. DÉ fácil ver que os andares 1, 7, 13, 19, ..., a20, com a20 sendo o último andar do edifício, foram aqueles que receberam reparos de João e Pedro. Portanto, como tal sequência é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro termo 1, temos a20 = 1 + 19 · 6 = 115.

7. DA quantidade de elementos em cada linha também forma uma P.A. (1, 3, 5, 7, ...)Total de elementos da linha 9: x = + ⋅ =1 8 2 17

Total de elementos até a linha 9: S =+( ) ⋅

=1 17 9

281

A sequência (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...) é uma P.A. de razão 3.Portanto, o primeiro elemento da linha 10 será o octogésimo segun-do elemento da P.A. acima.a82 1 81 3 244= + ⋅ =

8. CO número de estrelas em cada linha constitui uma progressão aritmética em que o termo geral é dado por an = n, sendo n (n ≥ 1) o número da linha. A soma dos 150 primeiros termos da progressão é dada por

Sa a

1501 150

2150

1 1502

150 11 325=+

⋅ =+

⋅ =( ) ( )

.

Portanto, como 12 000 é o número mais próximo de 11 325, segue que o funcionário III apresentou o melhor palpite.

9. D

x

1

1

Seja o lado do quadrado da figura 1 igual a x. Logo,x x cm2 2 21 1 2= + ⇒ =

Os lados dos quadrados forma uma P.A de razão r = 2.Logo, o lado do vigésimo quadrado é 20 2 cm.Sua área, então, será dada por: A cm= =( )20 2 8002 2.

10. BAs distâncias diárias percorridas constituem uma progressão aritmé-tica de primeiro termo 300 e razão 200. Logo, a distância percorrida no dia n é dada por dn = 200n + 100.Calcula-se n, de modo que Sn ≤ 9 500, com Sn sendo a distância total percorrida após n dias.Assim,

300 200 1002

9500 2 95 0

1 4 6 1

2+ +

⋅ ≤ ⇔ + − ≤

⇒ ≤ ≤ −

nn n n

n .

Portanto, como 4 6 1 8 8− ≅ , , verifica-se que o chip poderá arma-zenar a quilometragem do plano de treino por 8 dias consecutivos.

Complementares

1. DPara 4 unidades: 38% + 15% = 53%.Para 5 unidades: 53% + 16% = 69%.

2. BSe o atleta levou 13 cartões, só pagará multas a partir da 3.ª Logo, serão 11 multas em P.A. de razão r = 500. Tem-se: a11 500 11 1 500 500 5000 5500= + − ⋅ = + =( ) .A soma dos valores será a soma da P.A.:

S R11500 5500 11

2

6 000 11

23000 11 33 000 00=

+( ) ⋅=( ) ⋅

= ⋅ = $ . ,

3. BEm 2012, foram 10,8 milhões, então a1 = 10,8. Em 2020, serão 50 milhões, então a9 = 50.A quantidade total de 2012 a 2020 será a soma desses 9 termos.

Logo, S910 8 50 9

230 4 9 273 6=

+( ) ⋅= ⋅ =

,, , milhões.

4. Ca a n r

n rn r

n = + − ⋅= + − ⋅− ⋅ =

1 1

23 4 11 21

( )

( )( )

Logo:n – 1 = 3 e r = 7 oun – 1 = 7 e r = 3 oun – 1 = 1 e r = 21 oun – 1 = 21 e r = 1Portanto, a soma dos possíveis valores de m será dada por7 + 3 + 21 + 1 = 32.

5. BA sequência é uma P.A. de 10 termos, pois sua variação é constante, uma vez que no gráfico os pontos pertencem a uma mesma reta. P.A. (56, _, _, _, _, _, _, _, _, 0) A soma dos 10 primeiros termos da P.A. será dada por:

S1056 0 10

2280=

+( ) ⋅=


EXT1

8_SO

L_L3

6. CTemos:a1 = 17,3 milhões (ano de 2012)a19 = 23,6 milhões (ano de 2030)n = 19Aplicando na fórmula an = a1 + (n – 1) ∙ r, encontra-se o valor da razão:23,6 = 17,3 + (19 – 1) · r = 23,6 = 17,3 + 18 · r = 23,6 – 17,3 = 18 · r = 6,3 ⇒ r = 0,35Para calcularmos o 8.° termo da P.A., deve-se usar novamente a fórmula do termo geral da P.A.:a8 = a1 + 7ra8 = 17,3 + 7 · 0,35a8 = 17,3 + 2,45a8 = 19,75

7. CForam retirados (1 + 2 + 3 + ... + 15) comprimidos no total. Essa é a soma de uma progressão aritmética de razão 1. O total de compri-midos retirados é:

S =+ ⋅

= ⋅ =( )1 15 15

28 15 120

Desses 120 comprimidos, considere que x possui 20 mg e y possui 30 mg. Tem-se o sistema:

20 30 2540120 20

20 30 254020 20 2 400

x yx y

x yx y

+ =+ = →× −

+ =− − = −

( )

110 14014010

14y y= ⇒ = =

Logo, os 14 comprimidos de 30 mg saíram do frasco de número 14.

8. CSabemos que o maior lado de um triângulo é oposto ao seu maior ângulo. Podemos, então, aplicar a lei dos cossenos no triangulo considerado no enunciado:

x

x – 1

x + 1120°

x x x x x

x x x x x x x

+( ) = + −( ) − ⋅ ⋅ −( ) ⋅ °

+ + = + − + − ⋅ ⋅

1 1 2 1 120

2 1 2 1 2

2 2 2

2 2 2

cos

−−( ) ⋅ −

− = ⇒ = ( ) =

112

2 5 0 052

2x x x xnão convém ou

Portanto, o perímetro P do triângulo será dado por:

P x x x x= + − + + = = ⋅ =1 1 3 352

7 5,

9. CRepresentando as notas pela sequência a a a a1 2 3 27 8 6 8 9 9 2, , ..., , , ; , ; ,,( ), que é uma P.A. de razão 0,3.Logo,

9 2 30 1 0 3 9 2 8 7 0 5

1 6 0 5 1 01 1

1

, , , , ,

, ,

= + −( ) ⋅ ⇒ = − =⇒ + −( ) ⋅ ≤ ⇒ + −( ) ⋅

a a

a n r n 33 6 0 3 6 0 3 0 5

0 3 5 8 19 333 19

≤ ⇒ ≤ + −

⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ =

, , ,

, , , ...

n

n n n

10. a) Entre 2006 e 2010, o número de crimes evoluiu em uma pro-

gressão aritmética de razão r e em 2007 foram cometidos 40 crimes. Assim sendo:

Ano 2006 2007 2008 2009 2010

Nº de crimes 40 – r 40 40 + r 40 + 2r 40 + 3r

Nesse período foram cometidos 30 crimes por ano, em média. Logo:

40 40 40 40 2 40 3

530

200 5 150 5 50

−( ) + + +( ) + +( ) + +( )=

⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

r r r r

r r r 110

b) Se x for o número de estelionatos, então x será o número de

roubos e x2

o de assassinatos e, portanto, x xx

x x x x+ + = + ⋅ −( )⇒ + + = ⇒ =2

40 3 10 2 2 20 4

x xx

x x x x+ + = + ⋅ −( )⇒ + + = ⇒ =2

40 3 10 2 2 20 4.

c) O número médio de crimes cometidos entre 2007 e 2011 é40 30 20 10 30

5130

526

+ + + += = .


EXT1

8_SO

L_L3

Praticando

1. CDo enunciado, tem-se que a1 = 8 e a3 = 18. Dessa forma, o segundo termo da P.G. (a2) pode ser determinado por meio da média geo-métrica dos seus termos equidistantes. Acompanhe:

a a a a a2 1 3 2 28 18 144 12= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = =

Desta forma, o segundo termo da P.G. é 12.

2. BA razão da P.G. pode ser determinada ao dividir um termo pelo seu

anterior, ou seja, qaa

= =−

= −21

63

2.

O 7.º termo é dado por: an = a1 · qn–1 a7 = 3 · (–2)6 a7 = 3 · 64 a7 = 192

3. DOs números das árvores, plantadas em cada aniversário da criança, formarão uma P.G. de razão 2. Ou seja, (2, 4, 8, 16, 32, 64...) calculan-

do a soma dos cinco primeiros termos dessa P.G.: S =−−

=2 2 1

2 162

5( )

. Portanto, foram plantadas 62 árvores.


1. AA altura da pilha é igual a 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 metros.

2. EA sequência é uma P.G. de razão

59

159

59

59

59

59

2 3 4

5, , , , , ...

⇒ =

a

44 6256561

=

3. BO número de times em cada fase corresponde aos termos da pro-gressão geométrica (64, 32, ..., 2). Logo, sendo n o número de fases pedido, tem-se:

2 6412

2 2 61

1 5= ⋅

⇔ = ⇔ =

−− −

nn n

4. EO número de unidade produzidas P, em função de t, corresponde, em cada ano, aos termos de uma progressão geométrica em que o primeiro termo equivale a 8 000 unidades e a razão equivale a 1,5. Logo, a expressão que determina esse número de unidades é dada por P t

t( ) ,= ⋅( ) −8 000 1 5 1 .

5. BConsiderando a P.G. cujo primeiro termo é 84 e o 61.º é 84 milhões, tem-se que

a r r6160 6084 84 000 000 1 000 000= = ⇒ =

Portanto, a81660

80 6 8060 8 984 10 84 10 84 10 8 4 10= ( ) = ⋅ = ⋅ = ⋅⋅

, dólares.

6. BNo 1.º processo sobraram 9 – 1 = 8 quadrados pretos. No 2.º processo cada um desses quadrados pretos foi dividido em 9 e foi retirado 1 quadrado de cada um, isto é, 8 quadrados. Como esse procedimento sobraram: 8 ∙ 9 – 8 = = 8 ∙ (9 – 1) = 8 ∙ (8) = 82. No 3.º processo, o padrão de divisão e retirada indica que sobraram: 82 ∙ 9 – 82 = 82 ∙ (9 – 1) = 82 ∙ (8) = 83 = 512 quadrados pretos.

Progressão geométrica EXT18_3_MAT_A_12

7. BConsiderando a taxa procurada como i, o fator de redução, aplicado ao valor da taxa em 2010, deverá ser de (1 – i) nos anos de 2011, 2012 e 2013.

10 3 1 5 2 15 2

10 31 0 51 0 8 1

1

3 3

3

, % ( ) , % ( ),,

( ) , ,

⋅ − = ⇒ − = ⇒

⇒ − ≅ ⇒ = − ⇒= −

i i

i ii 00 8 0 2 20, , %= ⇒

8. ADe janeiro a março passaram-se dois meses. Calculando os valores em março das vendas de cada tipo de ovo, tem-se:Branco:

0 5 1 0 1 0 5 0 9 0 5 0 81 0 4052 2, , , , , , ,T T T T⋅ − = = =( ) ( ) ( ) ⋅ ( )

Vermelho:

0 5 1 0 2 0 5 1 2 0 5 1 44 0 722 2, , , , , , ,T T T T⋅ + = = =( ) ( ) ( ) ⋅ ( )

Logo, o percentual de vendas dos ovos vermelhos em relação ao total será:

VermelhoT

T TTT

=+

= = ⇒0 72

0 405 0 720 721 125

0 64 64,

( , , ),

,, %

9. DA temperatura, T, da liga após t horas é dada por T = 3 000 · (0,99)2t . Por conseguinte, o tempo necessário para que a temperatura da liga atinja 30°C é tal que

3000 0 99 303 1110

1100

3 1110

22

2

2 2

2

2

⋅ = ⇔⋅

= ⇔

⋅

( , ) log

t

t t

==

⇔ ⋅ ⋅ + − ⋅ = −

⋅ ⋅ + − =

−log

( log log log )

( , , )

10

2 2 3 11 2 10 2

2 0 477 1 041 2

2

t

t −− ⇔ ≅ ⇔ ≅11

0 005200t t

,

10. A • x x q

x x q

x x q

x x qnn

2 1

3 12

4 13

11

=

=

=

= −

• y y y

y x

y x x q x q

y x

n1 2

1 1

2 2 1 1

3 3

, , ...

log

log log log log

log lo

( )== = = +

= = gg log log

log log log log

x q x q

y x x q x q1

21

4 4 13

1

2

3

= +

= = = +

• Como y y y y y y q2 1 3 2 4 3− = − = − = log , conclui-se y y yn1 2, , ...( ) é uma progressão aritmética de razão logq.


EXT1

8_SO

L_L3

Complementares

1. A

Os comprimentos das faixas constituem uma progressão geométri-

ca infinita, sendo o primeiro termo igual a a1= m e q =23

razão.

Portanto, a soma dos comprimentos d e todas as faixas é dada por S

aq

mm=

−=

−=1

1 123

3

2. DI. Falsa. O número de pessoas que procuraram postos e centros de

saúde cresceu em progressão geométrica de razão 2.

II. Verdadeira. De acordo com os dados, o número de pessoas que procuraram clínicas privadas cresce, anualmente, segundo uma progressão aritmética de primeiro termo 4 200 e razão 1 200. Logo, o total de pessoas que procuraram atendimento nessas clínicas, de 2001 a 2011, é igual a

4 200 4 200 10 1 2002

11 112200+ + ⋅

⋅ =

III. Verdadeira. O número de atendimentos em clínicas odontoló-gicas decresce de acordo com uma progressão aritmética de razão –3 e o primeiro termo é igual a 857. Assim, o número de atendimentos nessas clínicas em 2011 foi equivalente a 857 + 10 · (–3) = 827.

3. CP.A. (x, 6, y) ⇒ x + y = 6 · 2 ⇒ x = 12 – y

P.G. 683

, , y y +

⇒ y² – 6y – 16 = 0 ⇒ y = 8 ou y = –2

y = 8 ⇒ x = 4 y = –2 ⇒ x = 14 (não convém, pois a sequência é crescente). Portanto, a soma dos elementos da sequência será: 4 6 8 8

83

863

+ + + + =

4. C

3.º termo de 11 8

21

18 72 1

11

9

9

8 2

8 22

6+

=

⋅ =

⋅⋅⋅ ⋅ =

⇒ = ⋅

−

q q qrq

rq 228 3 2 72 2= ⋅ ⋅

Mas ( )

( ) ( )

I q q

II n r nr

q q

n n

r

192 3 64

192 3 1 1189

64

1 1

189 18

= ⇒ =

= + − ⇒ − =

⇒ = ⇒

− −

9962r =

Mas como r é inteiro, 189

3 63

3 63 662 1

rr

a a r

= ⇒ =

= + = + =

5. CDe acordo com os dados do enunciado, tem-se

S6 = 100 000 000 = 108

a1 = 100 000 = 105

Assim, a afirmativa IV está correta e a afirmativa II está incorreta, pois a6 ≠ 100 000.Observe que S a k k k k k6 1

2 3 4 51= ⋅ + + + + +( )Assim,

Sa k

k

k

k

k

k

n

61

6 61

1

100 000 1

1100 000 000

1

11000=

−( )−

=−( )

−= ⇒

−( )−

=

Para k = 3, tem-se que k

k

n −( )−

=−−

= <1

13 13 1

364 1 0006

Portanto, k ∉( , )2 3 e a afirmativa I está incorreta. Para k = 4

k

k

n −( )−

=−−

= >1

14 14 1

1 365 1 0006

Portanto k ∈( , )2 3 e a afirmativa III está correta.

6. BI. Verdadeira.

Como f a118

( ) = , tem-se que

18

2 2 2 3 2 5 2 2 12 5 3 2 5 1 1 11 1= ⇒ = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =− − −a a a a a , uma vez

que a razão é 3, tem-se que a r53 1 52 157= + =II. Falsa.

a r S11 111 10 311 31 11

2176= + = ⇒ =

+( ) ⋅=

III. Verdadeira.

a r f5213 5 211 4 13 13 2 2= + = ⇒ = =⋅ −( )

IV. Verdadeira.

f a

f a

f a

a

a

( )

( )

( )

12 5 2 5

22 5 8 5

3

2 218

2 2 818

64

2

1

2

= = =

= = = =

⋅

=

− −

− −

22 5 14 53 2 512 8 64a − −= = = ⋅

7. ADe acordo com as informações, obtém-se

0 01512020

20 8 000 20 20 33, = ⇔ = ⇔ = ⇔ =nn n n

8. • ={ }⇒ =( )• ={ }⇒ =( )

=

L P A r

L P G r

S

1

2

1

2 4 6 2

1 2 4 8 2

1 1

; ; ; ... . .

; ; ; ; ... . .

) 882

1 2 1 2

2 2

2182 182

1

12

( . .)

( ) ( )

P A

a a n r n r n

Sn n

n n

n = + − = + − =

⇒ =+( )

= ⇒ + − ⇒⇒ = − =

=

=−( )

−⇒ =

⋅ −( )−

n n

S P G

a q

q

n n

1 2

2

1

14 13

2 182

1821

1182

1 2 1

2

;

) ( . .)

112 1 182

2 183

2 183 2 183183 7 6 82

⇒ − =

=

= ⇒ =⇒ = ≅ =

n

n

n nn

log log log loglog ,

(L1)(L2)

1 8

–5d

x 26 outubro

13

Logo, x = 26 – 5 = 21 de outubro.


EXT1

8_SO

L_L3

9. a) Como

6321

217

3xx

xx

= = , nota-se que a quantidade de visualizações

diárias do vídeo cresce segundo uma progressão geométrica de razão 3. Logo, para que a quantidade total de visualizações ao final dos 5 primeiros dias seja 12 705, deve-se ter

73 13 1

127051815121

155

x x⋅−−

= ⇔ = =

b) O número de visualizações no dia n é dado por 7 · 15 · 3n – 1.Portanto, o resultado pedido é tal que,

7 15 3 2 066 715 3 19 683 3 3 101 1 1 9⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =− − −n n n n

Logo, exatamente no décimo dia o vídeo atingiu um total de 2 066 715 visualizações.

Matemática B

Praticando

1. B

det detA A= ⇒ = − =2 41 3

6 4 2

2. BComo os elementos da primeira linha são 4, 3, 5 e 1 e os elementos da quarta linha, 8, 6, 10 e 2, eles são proporcionais, de razão 2. Assim:

4 3 5 10 3 0 22 7 0 08 6 10 2

linhas proporcionais

4 3 5 1

8 6 10 2

Por outro lado, sabe-se que todo determinante com linhas propor-cionais é igual a zero. Logo, det A = 0.

3. CO determinante da matriz dada é 1 · 2 · 3 = 6. Então, o determinante de Xn será 6n.


1. APelo Teorema de Binet, det(A · B) = det(A) · det(B). Então, como det(A) = 1 · 4 – 2 · 3 = –2 e det(B) = –1 · 0 – 2 · 1 = –2, tem-se que det(A · B) = –2 · (–2) = 4.

2. CO produto AB equivale a 32. Logo, det (AB) = 32.

3. AO determinante da matriz dada é igual a (3 + t)(t – 4) – (–4 · 3) = = (t + 3)(t – ) + + 12 = 0. Essa equação pode ser reescrita como t(t – 1) = 0, de onde t = 0 ou t = 1. Portanto, o maior valor é 1.

4. B

det

det det

Am

m

A A m m

−

−

=−

=

⇒ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ =

1

1

1 10

1 1 1 1

Determinantes EXT18_3_MAT_B_09

5. EA matriz AB equivale a A2.

Assim, detdet

AA

2 1

2

1 14

( ) = ( )=

−

6. A

det det detAB A B x

x x x x x x x

x x

( ) = ⋅ =⇒ −( ) ⋅ +( ) = ⇒ + − − − =⇒ − −

3

2 2 3 2 4 2 3 0

3

2

2 44 0 4 11 2= ⇒ = =x x;

Logo, a diferença é igual a 4 – 1 = 3.

7. Ex y

x y

xy

x y x y x y

1 16 6

3 1 83 1 8

8 3 1 8 3 1 24 24 24

3

= ⇒ − =

++

= ⋅ +( ) − ⋅ −( ) = − = −( )

⇒xxy++

= ⋅ =1 8

3 1 824 6 144

8. D

A a k A k A

A A A A A

ij x= ( ) ⇒ ⋅( ) =

⇒ ⋅( ) = ⋅ =⇒

2 2

2

2 49

det det

det det det det det

deet det

det

A A

xx

xx

x

( ) = ⇒ = ±

⇒+

= ± ⇒

− =− = −

⇒ = −

2 49 7

34 1

73 7

3 74 oou x =10

9. B

Mx y x y xy

y x yx

x yx y y x x

xy y=

+ −−+

=

+− − +

1 26 1 1

1 61

2 1

⇒

− ==+ =

x yxyx y

16

1 2

Resolvendo o sistema, tem-se que x = 3 e y = 2.

Logo, det( )M = − = −5 1 61 1 46 4 1

2.


EXT1

8_SO

L_L3

10. B

2 34 8

2 8 4 3 4

84

34

44

24

234

112

1

= ⋅ − ⋅ =

⇒ =−

−

=−

−

−A

⇒ =−

−

⇒ =

−

−

−

−24

32

2 1

2 43 8

432

2 1

1A

B=

−

⇒−

= − ⋅ − ⋅ = −

2112

5 7

2112

5 72 7 5

112

832

Complementares

1. Bdet ( ) det ( ) det ( )

det det det ( ) det ( )AB B I B

A B B I B

x x

T+ + =⇒ ⋅ + + =

+

222

1 2

22

3 21 1

4 21 2

43 21 1

2 1 6 4

3 2 0

2 2

2

−⋅ + = ⋅

⇒ − − −( )⋅ + =⇒ + − =

x

x x x

x x

O produto entre todos os valores reais de x que satisfazem a equa-

ção é − 23

.

2. BMultiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada por uma constante, seu determinante fica multiplicado por essa constante. Trocando-se duas filas paralelas de uma matriz quadrada, seu de-terminante fica multiplicado por –1.Para se obter, a partir de M, a matriz da letra B, foram trocadas as posições da 1.ª e 3.ª linhas, a segunda linha foi multiplicada por 3 e a segunda coluna multiplicada por 2. Portanto, o determinante foi multiplicado por –1 · 2 ∙ 3 = –6.

3. A

A A

B

=

⇒ =

=

=

10 0 00 10 00 0 10

10

3 0 00 3 00 0 3

3det

detBB

AB A B

=

⇒ ( ) = ⋅ = ⋅ = ⋅

3

10 3 27 10

3

3 3 3det det det

4. BDo enunciado, temos o sistema:

x y zx y zx y z

− − =+ − =− + =

1057

Como o sistema pode ser escrito na forma AX = B,

1 1 11 1 11 1 1

1057

− −−

−

=

•xyz

Precisamos encontrar o determinante de 1 1 11 1 11 1 1

− −−

−

.

Então, 1 1 11 1 11 1 1

1 11 11 1

1 1 1 1 1 1 4− −

−−

−

−= + + + − + = .

5. AO determinante da matriz A em função de x e de y é dado por det A = 12y – 1 + 12x + 8 – 18 – xy = 12x + 12y – xy – 11.Mas det A = 63 e y = x + 3.Logo, 12x + 12(x + 3) – x(x + 3) – 11 = 63.Assim, x2 – 21x + 38 = 0 e x = 2 ou x = 19.Daí, (x, y) = (2, 5) ou (19, 22).Por outro lado, o determinante da matriz B é dado por det B = 24 + 3xy – 2 – 8x + 18 – y = –8x – y + 3xy + 40. Assim, dado que det B = 49, conclui-se por inspeção que x = 2 e y = 5 e, assim, x + y = 7.

6. CCalculando o determinante de A, tem-se quedet cos cosA sen sen= − + −2 26 6θ θ θ θ.Considerando que senθ θ= −cos , conclui-se que det A = 1 e det

det.A

A− = =1

11

7. E

1. A – xI = −

−−

xx

x

0 10 1 01 0

2. det (A – xI) = –x ∙ (1 – x) · (–x) – 1 ∙ (1 – x) ∙ 1 ⇔ det (A – xI) = –x3 + x2 + x – 1

3. det (A – xI) = 0 ⇔ –x3 + x2 + x – 1 = 0 ⇔ x2 ∙ (x – 1) – (x – 1) = 0 ⇔ (x – 1)(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 1 (raiz dupla) ou x = –1

4. O produto das raízes é 1 · 1 · (–1) = –1.

8. E

log( )

log( ) log( )

log( ) log( )

lo

x

x x

x x

−

− −=

⇒ − − −[ ] =

⇔

1 1 10 1 0

1 1 10

1 1 1 0

gg( )

log( );

xou

xx x

− =

− − =

⇔ = =1 0

1 1 02 11


EXT1

8_SO

L_L3

9. a) a x sen x sen x x sen x

a sen x12

2 2 2 2 2

13

2 1

1 0 3 1

= − + = + == − + ⋅ = −

cos cos

b) (2, a22, a23) é uma P.A.Então,

2 2 2 2 2

2 2 2 2 31

2 1 1

22 23

22

23

, , , ,

( )

a a r r

r rr

a

a

( ) = + +( )⇒ + + + + == −

⇒ = + − =⇒ == + ⋅ −( ) =2 2 1 0

c) As raízes da equação z3 – 4z2 + 5z = 0 são 0, 2 + i e 2 – i.Logo, a31 = 2 e a32 = 1.

Logo, Ab

c=

−

1 12 1 02 1

e det A = d = b = c. Então,

det A = bc – 2c

d2 – 3d = 0

Como d = 0 não convém, tem-se que d = 3.

Logo, b = c = 3.

10. E

Seja A

x x x xx x x xx x x xx x x x

=

1 1 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2 3 4

.

Do enunciado,

det

det

A

x x x xx x r x r x rx x r x r x rx x r x r x r

A

x x x xx x x r x

=+ + ++ + ++ + +

=+

2 22 3

+++ ++ +

++ ++ ++ +

rx x x r x rx x x r x r

x x xx r x r x rx r x r x rx r x r x r

2 22 3

0

2 22 3

dett

d

A

x x xx r x x rx r x x rx r x x r

x xx r r x rx r r x rx r r x r

= ++++

++++

0

0

23

0 0

2 22 3

eet A

x xx r r xx r r xx r r x

xx r r rx r r rx r r r

= + + +0 0

0 0

22

0 0 0

2 22 3

det

det

A

x x x xx x r x r x rx x r x r x rx x r x r x r

A

x x x xx x x r x

=+ + ++ + ++ + +

=+

2 22 3

+++ ++ +

++ ++ ++ +

rx x x r x rx x x r x r

x x xx r x r x rx r x r x rx r x r x r

2 22 3

0

2 22 3

dett

d

A

x x xx r x x rx r x x rx r x x r

x xx r r x rx r r x rx r r x r

= ++++

++++

0

0

23

0 0

2 22 3

eet A

x xx r r xx r r xx r r x

xx r r rx r r rx r r r

= + + +0 0

0 0

22

0 0 0

2 22 3

det A x r= ⋅ ⋅

= −( ) ⋅+

3

1 1

1 0 0 01 1 1 11 1 2 21 1 2 3

1 0 0 01 1 1 11 1 2 21 1 2 3

11 1 11 2 21 22 3

1 1 1= ⋅ =

Então,

det

det .

A x r

A xr

= ⋅ ⋅

=

3

3

1

Praticando

1. DO sistema é possível e indeterminado se, e somente se, a

aa

a1

42

22

= =−

⇒ = − .

2. BVamos utilizar a regra de Cramer para encontrar a solução do sistema.

D D D

D

x

Dx

=

5

2 11 2

5 15 2

5

−=− −

= = −� ��

yy

Dy

=−

=

2 51 5

15� ��

Dessa forma, os valores das incógnitas x e y são tais que:

xDD

D

Dx y= =

−= − = = =

55

1155

3 y

Portanto, a solução do sistema é S = {–1, 3}.

3. EPara que o sistema linear homogêneo tenha apenas a solução trivial, deve-se ter

Sistemas lineares EXT18_3_MAT_B_10

m∈ −∗ \ { }.1

1 11 1 12 1

0 1 2 2 1 0

0 0 1

2

2

m

mm m m

m m m m ou seja

− ≠ ⇔ − + + + − − ≠ ⇔

⇔ + ≠ ⇔ ≠ ≠ − e , ,

4. Dn = x (número de homens) + y (número de mulheres).De acordo com o problema, tem-se o seguinte sistema:

x yy x

x yx y

= −− = ⋅ −

⇒

− = −− + = −

2 3131 3 55

2 623 134

( )( )

Resolvendo o sistema, tem-se x = 66 e y = 64.Logo, n = 66 + 64 = 130.

5. ASejam c, g e p, respectivamente, o número de cães, o número de gatos e o número de passarinhos. Se a metade do número de passa-rinhos mais o número de cães supera em duas unidades o número de gatos, então:

pc g p c g

22 2 2 4+ = + ⇒ + = +


EXT1

8_SO

L_L3

Por outro lado, como existem 112 patas, tem-se:4 2 112 2 56 2( )c g p p c g+ + = ⇒ + = −

Assim, 2 4 56 2 4 52 13g g g g+ = − ⇒ = ⇒ = .Além disso, como o total de cabeças é 38, tem-se:c g p p c c+ + = ⇒ = − − = −38 38 13 25 .Portanto, p c g c c c+ = + ⇒ − + = ⋅ + ⇒ =2 2 4 25 2 2 13 4 5.Dessa forma, p = − =25 5 20.Por conseguinte, ao vender todos os animais, o pet shop terá arreca-dado 5 500 13 90 20 55 4 770 00⋅ + ⋅ + ⋅ =R$ . , .

6. BDo enunciado,k k

kk k k

43

0 12 0 02≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ≠ e k 12 (o sistema possui so-

lução única).

Se k = 0, tem-se que 0 0 0

3 883

+ ==

⇔ =x

x e y pode ser qualquer real.

Logo, o sistema possui infinitas soluções.

Se k = 12, 12 48 0 4

3 12 83 12 03 12 8

x yx y

x yx y

+ =+ =

⇔+ =+ =

(: ) (sistema impossível)

I. Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k.

II. Verdadeira. Se k = 0, o sistema apresenta infinitas soluções.

III. Verdadeira. É impossível se k = 12.


1. A

2 32 4

2 11 2

34

x yx y

xy

− =− + =

⇒−

−

=

2. CSejam a e f, respectivamente, os números de porções de 100 gramas de arroz e de feijão que deverão ser ingeridas. De acordo com o enunciado, obtém-se o sistema:

1 5 7 12 252 3 10

3 51

, , ,a fa f

af

+ =+ =

⇒==

Portanto, as quantidades de arroz e feijão que deverão ser ingeridas são, respectivamente, 3,5 · 100 = 350 g e 1 · 1000 = 100 g.

3. BSejam X e V os tempos que as luzes verde e vermelha ficam acesas, respectivamente. Do enunciado:

X V V X= ⇔ =23

32

Logo, Y X V Y X X X Y= + + ⇒ = + + ⇒ − + =5 532

5 2 10 0.

4. CUm sistema linear homogêneo terá infinitas soluções quando o determinante dos seus coeficientes for igual a zero. Logo:

deta b ca b ca b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

=

5. ESejam n e u, respectivamente, o custo de uma mala direta tipo normal e o custo de uma mala direta do tipo urgente, tem-se que:

95 40 254 5 194 1 10

300 40 1 1 194 0 50

−( ) ⋅ = − ⇔ =∴ + ⋅ = ⇒ =

u u R

n n R

, $ ,

, $ ,

6. BAdmitindo x, y e z como os preços em reais por quilograma das misturas 1, 2 e 3, respectivamente, tem-se o seguinte sistema:

0 2 0 2 0 6 130 2 0 8 110 6 0 4 16

, , ,, ,, ,

x y zx zy z

+ + =+ =+ =

Resolvendo o sistema, x = 15, y = 20 e z = 10.Logo, o custo de um quilograma da mistura 1 somado com o custo de um quilograma da mistura 3 é R$25,00.

7. CConsidere x, y e z, respectivamente, o número de embalagens de 20 L, 10 L e 2 L compradas pela família. Assim, pode-se escrever:

20 10 2 9410 6 3 65

2

x y zx y z

y x

+ + =+ + =

=

Para resolver esse sistema linear, substitui-se y por 2x nas duas primeiras equações:

40 2 9422 3 65

20 4722 3 65

7x zx z

x zx z

z+ =+ =

⇒+ =+ =

⇒ =

O número 7 é divisor de 77.

8. CComo o IcadÚnico (Icad) é a média aritmética do TC com o TA,

IcadTC TA

=+2

. Logo, TC + TA = 2 · Icad. Se o Icad de um município

é 0,6, TC + TA = 2 ∙ 0,6 = 1,2 = NVNF

NANV

I+ ( ). Se NF dobrar, Icad = 0,5,

assim: NVNF

NANV

I2

+ ( ) = 2 · 0,5 = 1 (II) NV2NF + NANV = 2 · 0,5 = 1 (II).

Diminuindo-se a equação II da I, obtém-se:NVNF

NVNF

NVNF

NV NF III

− = − =

⇒ = ⇒ =

21 2 1 0 2

0 4 0 4

, ,

, , ( ).

Substituindo (III) em (I), tem-se que:NA = 0,8NV = 0,8 · 0,4NF = 0,32NF. Como NA + NV = 3 600: 0,32NF + 0,4NF = 3 600 0,72NF = 3 600 NF = 5 000.

9. Aa) Seja D o determinante principal, formado pelos coeficientes das

variáveis e Dx, Dy, Dz, ... os secundários. Se D for diferente de zero, o sistema terá sempre solução. Se D for igual a zero, o sistema somente terá solução se, e somente se, os determinantes Dx, Dy, Dz, ..., forem também nulos.

∆ =−

= ⇒ =

∆ = = ⇒ + − = ⇒ =

∆ =−

=

aa

xm

m m

ym

1 00 1 11 0 1

0 0

1 1 00 1 11 1

0 1 1 0 2

1 1 00 1 11 0

00 1 1 0 2⇒ − − = ⇒ =m m

Conclusão: para a = 1, o sistema tem solução se, e somente se, m = 2.


EXT1

8_SO

L_L3

b) Para a = 1 e m ≠ 2, o sistema não tem solução.

c) No caso em que m = 2, o sistema tem solução para qualquer valor de a.

d) Se a = m = 1, o sistema não tem solução.

e) A análise dos itens a e c negam a afirmativa do item e.

10. AMétodo de Cramer:

3 2 4 882 5 644 1 58

V A BV BV A

+ + =+ =+ =

3 2 4 882 0 5 644 1 0 58

V A BV A BV A B

+ + =+ + =+ + =

Calculando o determinante:

D =3 2 4 3 22 0 5 2 04 1 0 4 1

33=

Cálculo de Dv:

Dv =

88 2 4 88 264 0 5 64 058 1 0 58 1

396=

Cálculo do prato verde = DD

v = =39633

12Prato verde = 12 Por substituição: cálculo do prato branco2 5 64 2 12 5 64 24 5 645 64 24 5 40 8

V B B BB B B+ = ⇒ ⋅ + = ⇒ + == − ⇒ = ⇒ =

Prato branco = 8Por substituição: cálculo do prato amarelo3 2 4 88 3 12 2 4 8 8836 2 32 88 2 88 36 322 20 1

V A B AA A

A A

+ + = ⇒ ⋅ + + ⋅ =+ + = ⇒ = − −= ⇒ = 00

Prato amarelo = 10Prato branco10 100% 8 x%

x = 80010

x = 80Logo, o valor do prato branco é 80% do valor do prato amarelo.

Complementares

1. BSe a = 4, tem-se que4 28 3

12 16 4= − = −

Logo, o sistema será possível e determinado.

2. DConsiderando as classes do filo Arthropoda, nesta coleção estariam presentes somente representantes das classes Insecta e Arachnida. Considerando que x é o número de aracnídeos (8 patas) e y o número de insetos (6 patas), podemos escrever:

x yx y

x y+ =+ =

⇒ = =36

8 6 2265 31;

3. Da2 + b2 + c2 = 0 sendo a, b e c números reais a² é maior ou igual a zero (idem para b2 e c2), portanto, a = b = c = 0.

2 3 02 1

3

x zy xy z

+ − =+ =

− + =

Somando estas duas últimas equações, tem-se que: y + x + z = 3 + 1 = 4

4. BSendo x a quantidade de carros roubados da marca X e y a quanti-dade de carros roubados da marca Y, temos, do enunciado:x = 2y (1)x + y = 0,6 · 150 (2)Substituindo-se (1) em (2):2y + y = 90y = 30O número esperado de carros roubados da marca Y é 30.

5. ACalculando o determinante dos coeficientes,1 1 22 43 3

2 6kk

k k− = −( ) ⋅ +( )

O sistema admite solução única se k ≠ 2 ou k ≠ −6. Portanto, a alternativa A é a correta.

6. C

A forma escalonada do sistema equivale a 1 1 00 0 10 0 0

2 33

14 4

kk

k

−−−

Assim, o sistema só será possível e indeterminado se 14 – 4k = 0,

ou seja, k = 72

.Assim,

x x k

x k

1 2

3

2 3 4

312

+ = − =

= − = −

7. CComprimento da pista 1: xComprimento da ponte: yComprimento da pista 2: zDe acordo com as informações do problema, tem-se o seguinte sistema linear:

2 1157757

7 8

x y zx y z

x z

+ + =+ + ==

(I) (II)

(III)

Fazendo (I) – (II), x = 400 m.Utilizando a equação (III), 7 400 8 350( ) = ⇒ =z zUtilizando agora a equação (II): 400 350 757 7+ + = ⇒ =y y mPortanto, o comprimento da ponte é 7 m.

8. ASejamc: quantidade de carne.e: quantidade de espinafre.x: quantidade de ferro da carne.x’: quantidade de ferro do espinafre.Logo

1) 100

0 00280 0028

100,,

= ⇒ =cx

xc


EXT1

8_SO

L_L3

2) 100

0 00360 0036

200, ’’

,= ⇒ =

ex

xc

Obs.: pelo enunciado, obtém-se: c = 2e ⇔ e = c2

.Logo,x + x’ = 6 mg x + x’ = 0,006 gSubstituindo:0 0028

1000 0036

2000 006

0 0060 0000046

130 4

, ,,

,,

,

c c

c

+ =

⇒ = =

9. B

ABy x

x xy yz z

x y z x y zx y

=−−

⋅

+−+

=

− + + − ++ +

1 1 11

123

62 zz z+

3

Se AB é antissimétrica, então:x y z x y zx y z z

x y z x y zx y z z

x

− + + − ++ + +

= −

− + + + + +− +

⇒

62 3

6 2 3

== −==

⇒ =−

=

−

⇒ =− −

150

1 1 15 1 1

0 13 53 0

5

yz

A B

BA

;

11 128 2 83 3 3

0

−

−

⇒ =det( )BA

I. Falsa. Pois BA ≠ –(BA)t.

II. Verdadeira. Pois det BA = 0.

III. Verdadeira. Pois (BA) X = 0, e como det (BA) = 0, o sistema admite

infinitas soluções, além da solução trivial.

10. a)

I Aa

bc

Aa c

b

Aa

T

. = −−

⇒ =−

−

⇒ =− − −

1 11 0

2 0

11 0 21 0

1 111 0

2 0

02

1

−−

= − ⇒=== −

bc

II A Aabc

T.

b) Se a = 1 e b = –1, então:

Axyz d c

xyz

⋅

=

⇒ − −

−

⋅

11

1 1 11 0 1

2 0

=

⇔+ + =

− − =− =

11

11

2

d

x y zx z

cx y d

Esse sistema admite infinitas soluções se, e somente se:1 1 11 0 1

2 00

1 1 11 0 1

20

04

− −−

=

−−

= ⇒== −

c

c d

cd

Praticando

1. C

2. BUm radiano mede cerca de 57°. Sendo assim,

3. DSendo R o raio da Terra,

4. BTem-se que –4 900° = 13 · (–360°) – 220°. Dessa forma, a menor de-terminação positiva é dada por –220° + 360° = 140°.

Trigonometria EXT18_3_MAT_B_11

5. B12

1

2

3

4

56

78

9

10

11Ponteiro das horas

30°

α

60 min

55 min

Ponteiro dos minutos

Então, α = 27°30’.Dessa forma, x = 4 · 30° –27°30’ = 92°30’.Por fim, x + 2°40’ = 92°30’ + 2°40 = 95°10’.


1. BMedida do arco em rad:

5π6

Língua Portuguesa - upvix.com.br · Na frase em questão, o termo “jovem” exerce na frase a...

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