Linha Elástica

1

Captulo 5 - EQUAO DIFERENCIAL DA LINHA ELSTICA

Para uma viga constituda de material homogneo, prismtica e simtrica em relao ao

eixo xy, na qual as cargas transversais atuam no plano axial de simetria e na direo y, a

deformao desta viga se dar neste mesmo plano (viga submetida flexo simples reta no

plano xy).

A figura abaixo representa, de forma exagerada, a deformada de uma viga com as

caractersticas descritas anteriormente.

y

O

d

x

1m

ds

m 2

x

y(x)

ldx

x

P

Figura 5.1 Deformada de uma viga engastada e livre

Denotam-se por:

y(x) - deslocamento transversal de um ponto genrico do eixo longitudinal da viga,

tambm chamado de elstica da viga;

(x) - ngulo que a reta tangente, num ponto genrico, deformada da viga faz com o

eixo x;

Com o objetivo de obter a expresso de y(x), considera-se o trecho situado entre os

pontos m1 e m2 da figura 6.1. Neste trecho de comprimento infinitesimal pode-se admitir

que o raio de curvatura seja constante e, neste caso, seu comprimento ds pode ser escrito

como:

dds

donde se conclui que a curvatura do eixo longitudinal da viga

2

ds

d

1 (1)

convencionada como positiva quando a concavidade da curva for voltada para baixo.

Sendo a deformada da viga o grfico de uma funo y(x), pode-se dizer que a

inclinao da reta tangente deformada da viga, num determinado ponto, dado pela

tg((x)), igual derivada de y(x) em relao a x avaliada nesse mesmo ponto. Assim,

dx

dytg (2)

Da figura 6.1 tem-se, ainda,

cos

dxds (3)

No caso de pequenas rotaes (linearidade geomtrica), valem as aproximaes

1cos (4)

tg (5)

Em virtude de (4), a equao (3) se escreve

dxds

e, conseqentemente, a equao (1) se torna

dx

d

1 (6)

Em virtude de (5), a equao (2) se torna

dx

dyx (7)

Derivando ambos os membros da equao (7) em relao a x, vem

dx

dy

dx

d

dx

d

ou

2

2

dx

yd

dx

d

(8)

De (6) e (8) vem

2

21

dx

yd

dx

d

(9)

3

Esta equao, deduzida a partir da geometria da deformada da viga, vale qualquer que seja

o comportamento do material.

No caso de o material da viga ser linearmente elstico, obedecendo lei de Hooke, a

curvatura

z

z

EI

M

1 (10)

sendo Mz o momento fletor de EIz a rigidez flexo (em torno do eixo z) da viga.

O sinal negativo que aparece na equao ocorre devido curvatura da viga 2

21

dx

yd

ser matematicamente negativa para um momento positivo, conforme ilustra a figura a

seguir.

x

y

-

Mz > 0

y " < 0

x

y

+

Mz < 0

y " > 0

Figura 5.2 Anlise do sinal da curvatura da curva com o momento fletor

De (9) e (10) vem

z

z

EI

M

dx

yd

dx

d

2

21 (11)

e

z

z

EI

M

dx

yd

2

2

(12)

a equao diferencial da linha elstica (deformada de uma viga constituda de material

linearmente elstico) de 2 ordem.

Lembrando das relaes

yz Q

dx

dM (13)

e

4

yy

qdx

dQ (14)

podem-se deduzir alternativas para a equao (12).

Derivando-se ambos os membros da equao (12) em relao a x e lembrando que EIz

constante, vem

dx

dM

EIdx

yd

dx

d z

z

12

2

ou, usando a relao (13), obtm-se

z

y

EI

Q

dx

yd

3

3

(15)

que a equao diferencial da linha elstica de 3 ordem, sendo Vy o esforo cortante numa

seo de abscissa x.

Derivando-se ambos o membros da equao (15) em relao a x e lembrando que EIz

constante, vem

dx

dQ

EIdx

yd

dx

d y

z

13

3

ou, usando a relao (14), obtm-se

y

z

qEIdx

yd

14

4

ou ainda

z

y

EI

q

dx

yd

4

4

(16)

que a equao diferencial da linha elstica de 4 ordem, sendo qy a taxa de carga

distribuda perpendicular ao eixo da viga numa seo de abscissa x.

A expresso de y(x) pode ser obtida por integraes sucessivas de qualquer das

equaes alternativas (12), (15) ou (16). O nmero de integraes sucessivas a serem

realizadas igual ordem da equao diferencial. Na expresso de y aparecem constantes

de integrao em nmero igual ao das integraes necessrias.

As constantes de integrao so avaliadas a partir das condies de contorno da viga.

5

As condies so ditas geomtricas quando referentes prescrio de deslocamentos e

mecnicas quando referentes prescrio de cargas (referentes ao valor dos esforos

internos nas sees correspondentes ao contorno da viga).

Quando utilizamos a equao de segunda ordem somente as condies de contorno

geomtricas so requeridas. Ao utilizar as equaes de terceira e quarta ordem necessrio

tambm lanar mo das condies de contorno mecnicas.

As condies de contorno mais usuais em vigas so ilustradas a seguir:

engaste

geomtrica

geomtrica

00

0

dx

dy

y

apoio simples

ou

mecnicageomtrica

000

0

2

2

2

2

dx

yd

dx

ydEIM

y

zz

M0

ouM0

mecnicageomtrica

0

02

2

02

2

0

z

zzEI

M

dx

ydM

dx

ydEIMM

y

extremidade livre

mecnicamecnica

000

000

3

3

3

3

2

2

2

2

dx

yd

dx

ydEIV

dx

yd

dx

ydEIM

zy

zz

P

M0

mecnicamecnica

3

3

3

3

02

2

02

2

0

EI

P

dx

ydP

dx

ydEIPV

EI

M

dx

ydM

dx

ydEIMM

zy

zz

6

Vale salientar uma vez mais que as equaes diferenciais descritas anteriormente so

vlidas somente no mbito da anlise linear fsica e geomtrica.

Exemplos de aplicao:

1 - Obter a equao da elstica para as duas vigas em balano abaixo, sendo EIz = constante.

y

l

q

xA B

Fl

x

y

A B

Figura 5.3 Exemplo de aplicao 1

- Viga com carregamento distribudo:

22

2

2222

22222)( x

qqlxl

q

dx

ydEIx

qqlxl

qx

qxRMxM zAAz

1

322

622Cx

qx

qlx

ql

dx

dyEI z

21432

2

2464CxCx

qx

qlx

qlxyEI z

Condies de contorno geomtricas:

0

0

0

dx

dyy

x

Assim:

0006

02

02

0 1132

2

CCqqlql

dx

dy

0000024

04

04

0 22432

2

CCqqlql

xy

7

Com isso, a equao da elstica ser:

432

2

24

1

64xx

lx

l

EI

qxy

z

32

2

6

1

22xx

lx

l

EI

q

dx

dy

z

- Viga com carregamento concentrado:

lxFdx

ydEIFxFlxRMxM zAAz 2

2

)(

1

2

2

1ClxxF

dx

dyEI z

2123

26

1CxCx

lxFxyEI z


0

0

0

dx

dyy

x

Assim:

00002

10 11

2

CClF

dx

dy

000002

10

6

10 22

23

CCFxy

Com isso:

8

23

26

1x

lx

EI

Fxy

z

lxx

EI

F

dx

dy

z

2

2

1

2 - Obter a equao da elstica para a viga simplesmente apoiada a seguir, sendo EIz =

constante.

AB

q

l

y

x


2

2

222

22222)( x

qx

ql

dx

ydEIx

qx

qlx

qxRxM zAz

132

64Cx

qx

ql

dx

dyEIz

2143

2412CxCx

qx

qlxyEIz


00 yx

0 ylx

Assim:

000024

012

00 22143 CCC

qqly

24

002412

03

1143 qlClCl

ql

qlly

9


x

lxx

l

EI

qxy

z 2424

1

12

343

246

1

4

332 lxx

l

EI

q

dx

dy

z

3 - Obter a equao da elstica para a viga simplesmente apoiada a seguir, sendo EIz =

constante.

P

A B

l

y

x

a


Neste caso, o momento fletor descrito por duas equaes distintas: uma vlida para ax

e outra para ax . A linha elstica tambm ser descrita por duas equaes. Cada uma destas

equaes apresentar duas constantes de integrao. Para a equao vlida em ax , aplicamos a

condio de contorno em 0x e para a equao vlida em ax , aplicamos a condio de

contorno em lx . As duas condies de contorno restantes so encontradas atravs da condio de

continuidade da linha elstica e da sua derivada (ngulo de encurvamento). Fisicamente, estas

condies so necessrias para que a viga no se parta. Matematicamente falando, sendo o

momento fletor

2

2

dx

ydEIz uma funo obrigatoriamente contnua por partes (ou seja, que

apresenta descontinuidade em um nmero finito de pontos), as funes que so suas integrais

C

dx

dyEIz so contnuas; e a integral de uma funo contnua, tambm obrigatoriamente

contnua, neste caso 1CCxxyEIz .

10

As condies de continuidade fornecem axax xyxy e

axax

xdx

dyx

dx

dy.

Para ax 0 :

x

l

alP

dx

ydEIx

l

alPxRxM zAz 2

2

)(

1

2

2Cx

l

alP

dx

dyEIz

213

6CxCx

l

alPxyEIz

Condio de contorno geomtrica, vlida no domnio ax 0 :

00 yx

Assim:

00006

00 2213

CCC

l

alPy

xCxl

alPxyEIz 1

3

6

Para lxa :

11)(

2

2

l

xPa

dx

ydEI

l

xPaaxPxRxM zAz

3

2

2Cx

l

xPa

dx

dyEIz

4323

26CxC

x

l

xPaxyEIz

Condio de contorno geomtrica, vlida no domnio lxa :

11

0 ylx

Assim:

lCPalCClCll

lPaly 3

2

443

23

30

260

03266

2

3

23

13

PallxC

x

l

xPaxCx

l

alPxyEIz

A aplicao das condies de contorno fornece ento:

lxaPal

lxCPax

l

Pax

EI

axxCPx

l

Pax

EIxy

z

z

;326

1

0 ;66

1

)(2

3

23

1

33

1 33

326

1

66

1 Em

2

3

3

1

2

3

23

1

33

PallaC

PaaC

PallaC

aPa

l

aPa

EIaC

aP

l

aPa

EIax

zz

lxaCPaxl

Pax

EI

axCPx

l

Pax

EIx

dx

dy

z

z

;2

1

0 ;22

1

)(

3

2

1

22

2 2

2

1

22

1 Em

3

2

1

3

2

1

22

CPa

C

CaPal

aPa

EIC

aP

l

aPa

EIax

zz

Fazendo 221 : 36323

3

33

2

3

33 Pal

l

PaCaC

PallaC

PaPa

12

3262

23

1

2

31

PalPa

l

PaC

PaCC


lxaPal

lxPal

l

PaPax

l

Pax

EI

axxPalPa

l

PaPx

l

Pax

EIxy

z

z

;33626

1

0 ;32666

1

)(2323

2333

lxaPal

l

PaPax

l

Pax

EI

axPalPa

l

PaPx

l

Pax

EIx

dx

dy

z

z

;362

1

0 ;32622

1

)(32

2322

4 - Obter as reaes de apoio e equao da elstica para a viga hiperesttica a seguir, sendo EIz =

constante.

A

B

x

y

l

q


Pelo equilbrio esttico obtm-se;

2

0 0

0 02 2

A B A B

A A B A B

Fy R ql R R ql R

l qlM M ql l R M l R

AR e AM em funo de

BR

A funo geral do momento fletor pode ser escrita, em funo de BR , na seguinte forma:

13

22 2

22

( ) ( )2 2 2

( )2 2

A A B B

B B

q ql qM x R x M x M x qlx R x l R x

q qlM x x ql R x l R

A equao diferencial da elstica apresenta, ento, a seguinte redao:

22

1 222

2

2

2 qllRxRqlxx

q

EIdx

yd

EI

xM

dx

ydBB

zz

Desenvolvendo-se duas integrais sucessivas resulta, para o caso particular de EIZ

constante:

1

2223

2226Cx

qllxRx

Rx

qlx

q

dx

dyEI B

Bz

212

22334

426624CxCx

qllx

Rx

Rx

qlx

qxyEI BBz

Na expresso geral de y(x) h trs constantes a determinar: C1, C2 e RB. Da mesma forma

h trs condies de contorno geomtricas que podem ser utilizadas: 00 Ayy , 00 Adx

dy

e 0 Byly .

Aplicando-se essas trs condies de contorno obtm-se:

0 (0) 0Ax y y e 00 Adx

dy

1 1

2 2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0A

dyC C

dx

y C C

( ) 0Bx l y l y

8

3

4266240 2

22334 qlRl

qll

lRl

Rl

qll

qly B

BB

Com o valor de RB fica fcil determinar as outras reaes utilizando-se as equaes de

equilbrio da esttica. Isso j foi feito anteriormente, obtendo-se as seguintes expresses:

14

2 2 2 2

3 5

8 8

3

2 2 8 8

A B A A

A B A A

ql qlR ql R R ql R

ql ql ql qlM l R M M

A linha elstica resulta em:

2

22334

416

3

16624

1x

qllx

qlx

qlx

qlx

q

EIxy

z

2

234

16485

24

1x

qlx

qlx

q

EIxy

z

x

qllx

qlx

qlx

qlx

q

EIdx

dy

z 28

3

16

3

26

1 2223

x

qlx

qlx

q

EIdx

dy

z 816

5

6

1 223

Linha Elástica

Documents

Transcript of Linha Elástica