Linhas de Transmissão: Modelos elétricos em regime permanente

ET77J – Sistemas de Potência 1

Linhas de Transmissão: Modelos elétricos em regime permanente

Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto


Objetivo da Aula

2

Apresentar os modelos elétricos equivalentes paralinhas de transmissão aéreas em correntealternada operando em regime permanente, bemcomo, a partir daqueles determinar ocomportamento elétrico da linha quando a um deseus terminais for aplicada uma tensão trifásica,senoidal e equilibrada.


Conteúdo Programático

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Equação geral para as linhas de transmissãoaéreas em corrente alternada;

Equações para as Linhas de transmissão aéreasMédias em corrente alternada;

Equações para as Linhas de transmissão aéreasCurtas em corrente alternada.


Construção de Conhecimento Esperado

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Desenvolver proficiência na aplicação dosmodelos usuais em regime permanenterelativos a linhas de transmissão aéreas emcorrente alternada para determinação docomportamento elétrico da mesma.


Idéia Geral

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R L CParâmetros Elétricos

Baseada na disposição,

quantidade e raio dos condutores

Equações e/ou circuitos equivalentes que tornem possível estudar o

comportamento elétrico da linha

• Tensões nos terminais;• Correntes nos terminais;• Regulação da linha;• Eficiência;• Potência.


Linha de Transmissão

Premissas – Condição de operação

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Carga equilibrada; geração equilibrada → implica ?

In = 0A



Premissas– Modelo por fase

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Terminal emissor (Sender)

Terminal receptor (Receiver)

dX

Parâmetros distribuídos



Premissas– r e l formam a impedância série da linha 𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =

R + j𝑋𝑋𝐿𝐿→Limita a circulação de corrente;

– c e g formam a admitância paralela 𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 = G +jB; B = 1 𝑋𝑋𝑐𝑐1→outro caminho para circulação decorrente.

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Para a qual: r = resistência unitária [Ω/km]; l= indutância unitária [H/km]; c= capacitância unitária[F/km]; g = condutância unitária [S/km]; b= susceptância unitária [S/km]; R = resistência elétrica total[Ω]; XL = reatância indutiva total [Ω]; XC = Reatância capacitiva total [Ω]; G=Condutância total [S];B=susceptância total [S]; d= comprimento da linha [km].

G=f(Iescape) = perdas por fuga de corrente


Equacionamento para a Linha de Transmissão Equação geral para a linha de transmissão

aérea– Tomando um elemento diferencial de comprimento

da linha:

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Equacionamento para a Linha de Transmissão

Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Tomando um elemento diferencial de comprimento

da linha:

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c g

r xlI+dI

V+dV V

dx

IZ.dx – impedância série do

elemento infinitesimal

Y.dx – Admitância em paralelo do elemento infinitesimal

[a]



Equação geral para a linha de transmissão aérea– Escrevendo a equação para a malha do elemento

diferencial:

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− 𝑉𝑉 + 𝑑𝑑𝑉𝑉 + 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑉𝑉 = 0

𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑧𝑧𝑥𝑥



Equação geral para a linha de transmissão aérea– Escrevendo a equação do nó [a]:

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𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑉𝑉 + 𝑑𝑑𝑉𝑉 − 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 0

𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑦𝑦𝑉𝑉

𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑉𝑉 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑉𝑉 − 𝑥𝑥 − 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 0

≈ 𝟎𝟎


Equacionamento para a Linha de Transmissão Equação geral para a linha de transmissão aérea

– Conjunto de equações acopladas:

– Sugestão: Derivar novamente as equações em relação ax

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𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑦𝑦𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑧𝑧𝑥𝑥



Equação geral para a linha de transmissão aérea– Conjunto de equações acopladas:

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𝑑𝑑2𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥2

= 𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

= zyV

𝑑𝑑2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥2

= 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥

= zyI

𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝐴𝐴1𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑥𝑥 + 𝐴𝐴2𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑥𝑥 [V]

𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐴𝐴1𝑧𝑧𝑦𝑦

𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑥𝑥 − 𝐴𝐴2𝑧𝑧𝑦𝑦

𝑠𝑠− 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑥𝑥 [A]

ZC = impedância característica [Ω].

𝛾𝛾 = constante de propagação [adimensional]



Impedância característica da linha

– é a impedância a ser colocada no final da linha paraque se tenha a máxima transferência de potenciaentre gerador e carga (casamento de impedâncias);

– Depende apenas dos parâmetros construtivos dalinha.

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Equacionamento para a Linha de Transmissão Constante de propagação

– Depende apenas dos parâmetros construtivos da linha.

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Equação geral para a linha de transmissão aérea– Aplicando as seguintes condições de contorno:

• 𝑥𝑥 = 0 → 𝑉𝑥𝑥 = 𝑉𝑅𝑅 e 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 as equações de 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥:

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𝐴𝐴1 =𝑉𝑅𝑅 + 𝑍𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑅𝑅

2

𝐴𝐴2 =𝑉𝑅𝑅 − 𝑍𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑅𝑅

2



Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Substituindo A1 e A2 em 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥:

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𝑉𝑥𝑥 = 𝐴𝐴1𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 + 𝐴𝐴2𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥

𝑉𝑥𝑥 = 𝑉𝑅𝑅𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 + 𝑠𝑠−𝛾𝛾𝑥𝑥

2+ 𝑍𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑅𝑅

𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 − 𝑠𝑠−𝛾𝛾𝑥𝑥

2

cosh 𝛾𝛾𝑥𝑥 sinh 𝛾𝛾𝑥𝑥



Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Substituindo A1 e A2 em 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥 :

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𝑉𝑥𝑥 = 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝛾𝛾𝑥𝑥 + 𝑍𝑍𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑅𝑅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝛾𝛾𝑥𝑥 [𝑉𝑉]



Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Substituindo A1 e A2 em 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥 :

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𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑅𝑅𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 + 𝑠𝑠−𝛾𝛾𝑥𝑥

2+𝑉𝑅𝑅𝑍𝑐𝑐

𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 − 𝑠𝑠−𝛾𝛾𝑥𝑥

2

𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐴𝐴1𝑍𝑍𝐶𝐶𝑠𝑠𝛿𝛿𝑥𝑥 − 𝐴𝐴2

𝑍𝑍𝐶𝐶𝑠𝑠−𝛿𝛿𝑥𝑥

cosh 𝛾𝛾𝑥𝑥 sinh 𝛾𝛾𝑥𝑥



Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Substituindo A1 e A2 em 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥:

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𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝛾𝛾𝑥𝑥 +𝑉𝑉𝑅𝑅𝑍𝑍𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝛾𝛾𝑥𝑥 [𝐴𝐴]


Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão Equação para linha Média

– Considerações

• Parâmetros concentrados (𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = R + j𝑋𝑋𝐿𝐿);• Capacitância não é desprezada; G é desconsiderado →𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑌𝑌;

• Tensões de linha ≤ 230kV;• 80km ≤ Comprimento da linha ≤ 240km;

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𝑅𝑅 = 𝑠𝑠 × d 𝑋𝑋𝐿𝐿 = 𝜔𝜔 × 𝐿𝐿 × 𝑑𝑑

𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 = jB


Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão

Equação para linha média – Modelo π

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Equação para linha média– Resolvendo o circuito anterior

• Corrente através da impedância série

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𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅𝑌2

𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 + 𝑉𝑅𝑅𝑌2




• Tensão no emissor

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𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅 + 𝑍 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅 + 𝑍 𝑥𝑥𝑅𝑅 + 𝑉𝑅𝑅𝑌2

𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 1 + 𝑍𝑌2

+ 𝑍 𝑥𝑥𝑅𝑅 [V]




• Corrente no emissor

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𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑉𝑆𝑆𝑌2

𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 + 𝑉𝑅𝑅𝑌2

+ 𝑉𝑆𝑆𝑌2

Substituindo 𝑉𝑠𝑠 em 𝑥𝑥𝑆𝑆:

𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 1 + 𝑍𝑌2

+ 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑌 1 + 𝑍𝑌4

[A]



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Modelo π - equivalente

– Pode ser aplicado para determinar tensões ecorrentes nos extremos da linha de transmissãolonga (parâmetros concentrados ao invés dedistribuídos);

– Para tanto é necessário “corrigir” os parâmetros domodelo π nominal (𝑍 → 𝑍’ 𝑠𝑠 𝑌 → 𝑌’).



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Modelo π - equivalente– Determinação dos parâmetros corrigidos

– Para que ambas as equações tenham o mesmoresultado é preciso que os termos que multiplicamVR e IR, em ambas, sejam iguais, logo:

𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅 1 + 𝑍′𝑌′

2+ 𝑍′𝑥𝑥𝑅𝑅 [V]

𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅 cosh 𝛾𝛾𝑑𝑑 + 𝑍𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑅𝑅 sinh 𝛾𝛾𝑑𝑑 [𝑉𝑉]

Eq. π nominal

Eq. Geral



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𝑍′ = 𝑍𝑐𝑐 sinh 𝛾𝛾𝑑𝑑

1 + 𝑍′𝑌′

2= cosh 𝛾𝛾𝑑𝑑



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• Substituindo 𝑍′ em 1 + 𝑍′𝑌′

2= cosh 𝛾𝛾𝑑𝑑

𝑌′

2=

cosh 𝛾𝛾𝑑𝑑 − 1𝑍′


Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão Equação para linha curta

– Considerações

• Parâmetros concentrados (𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = R + j𝑋𝑋𝐿𝐿);• Capacitância muito pequena e desconsiderando G→𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 = 0 (simplificação do modelo π);

• Tensões de linha ≤ 69kV;• Comprimento da linha ≤ 80km;

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𝑅𝑅 = 𝑠𝑠 × d 𝑋𝑋𝐿𝐿 = 𝜔𝜔 × 𝐿𝐿 × 𝑑𝑑

A precisão dos resultadospiora para o aumento decomprimento da linha.



Equação para linha curta

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Equação para linha curta

– Resolvendo o circuito anterior

𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅

𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 + 𝑥𝑥𝑅𝑅𝑍

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Para a qual: IS é a corrente que sai da barra emissora; IR é a corrente que chega nabarra receptora; VS é a tensão fase-neutro da barra emissora; VR é a tensão fase-neutro da barra receptora.

Não é possível calculartensões e correntesem qualquer ponto dalinha.


Regulação da Linha de Transmissão Representa a variação de tensão entre os

terminais da linha em uma dada condição decarregamento/operação.

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𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟% =𝑉𝑉𝑠𝑠 − 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑉𝑉𝑅𝑅

× 100%

Para a qual: VR é a tensão fase-neutro ou fase-fase da barra receptora; VS é atensão fase-neutro ou fase-fase da barra emissora.


Eficiência da Linha de Transmissão

Relação entre a potência fornecida peloemissor e aquela efetivamente utilizada peloreceptor.

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𝐸𝐸𝐸𝐸% =𝑃𝑃𝑅𝑅𝑃𝑃𝑆𝑆

× 100%

Para a qual: PS é a potência ativa no emissor; PR é a potência ativa no receptor.


“Reativo natural “ Linha de Transmissão

Representa o valor da potência reativa quecircula na linha quando esta é energizada,mesmo estando sem carga no receptor;– É devida à capacitância da linha.

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𝑄𝑄𝑐𝑐 = 𝑉𝑉𝐹𝐹𝐹𝐹 2 × 𝑌𝑌∗

Para a qual: QC = potência reativa natural da linha [Var/fase]; VFT = Média dastensões entre o emissor e o receptor [V]; Y = adimitância paralela total da linha [s]


Surge Impedance Loading (SIL) Representa um parâmetro de comparação da

capacidade de carregamento da linha– Potencia fornecida pela linha a uma carga puramente

resistiva de valor igual a impedância característica

37Limitado pela abertura angular entre barras da linha


Exemplo de Zc e SIL

Alguns exemplos de ZC e SIL para certos valoresde tensão – Linhas aéreas em 60 Hz

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EPRI AC Transmission Line Reference Book— 200 kV and Above (Palo Alto, CA: EPRI, www.epri.com, December 2005);Westinghouse Electric Corporation, Electrical Transmission and Distribution Reference Book, 4th ed. (East Pittsburgh, PA, 1964))

http://www.epri.com/


Perfil de Tensão

Perfil de Tensão para uma linha sem perdas ecom a tensão do emissor fixa.

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Referências bibliográficas

40

STEVENSON, William D.. Elementos de análise de sistemas de potencia. São Paulo: McGraw-Hilldo Brasil, 1978. 347 p.

MONTICELLI, Alcir Jose; GARCIA, Ariovaldo. Introdução a sistemas de energia elétrica.Campinas, SP: UNICAMP, c2003. 251 p.

Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná. LINHAS de transmissão e redes dedistribuição: código: ET30B/ET38D. [Curitiba]: [s.n.], [19--?]. 1 v. (várias paginações).

FUCHS, Rubens Dario. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas; teoria das linhas emregime permanente. Rio de Janeiro: LTC; Escola Federal de Engenharia, 1977. 2 v.

MOHAN, Ned. Electric Power Systems – A First Course. New Jersey: Wiley; 2012.

BENEDITO, R. A. S. ET77J – Sistemas de Potência 1. Notas de aula. UTFPR, 2015, Curitiba.

CASTRO, C. A. IT 720 - Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aula. Unicamp, 2019, Campinas.


Obrigado pela Atenção!Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto – [email protected]

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