2.1 Dê exemplo de uma seqüência {an} , não constante, para ilustrar cada situação abaixo:

(a) limitada e estritamente crescente;

(b) limitada e estritamente decrescente;

(c) limitada e não monótona;

(d) não limitada e não crescente;

(e) não limitada e não monótona.

2.2 Esboce o gráfico da seqüência de termo geral an =n

n+ 1e verifique quantos pontos da forma

(n, an) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas y = 4/5 e y = 6/5.

2.3 Dê exemplo de uma seqüência limitada e não monótona que possui uma subseqüência estritamente

crescente.

2.4 Expresse pelo seu termo geral cada seqüência dada abaixo.

(a) 1, 1/2, 1/3, 1/4, · · · (b) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, · · ·(c) 1, 0, 1, 0, 1, · · · (d) 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, · · ·

(e) 1, 9, 25, 49, 81, · · · (f) 1, 3/2, 2, 5/2, 3, · · ·

(g) 2, 1, 3/2, 1, 4/3, 1, · · · (h) 0, 3/2,−2/3, 5/4,−4/5, · · ·

(i) 0, 3, 2, 5, 4, · · · (j) 1, 10, 2, 102, 3, 103, · · ·

2.5 Classifique as seqüências do Exercício 2.4 quanto a limitação e monotonia e selecione de cada uma

delas uma subseqüência monótona. Qual daquelas seqüências possui um subseqüência constante?

2.6 Determine o sup e o inf das seguintes seqüências:

©−n2 + nª,

½2n

n!

¾,

½2

3n− 4¾,

½1− 1

n

¾, {lnn} ,

½3n2

3n2 − n

¾, {(−2)n} .

2.7 Para que uma seqüência possua uma subseqüência constante é necessário e suficiente que algum

termo da seqüência se repita uma infinidade de vezes.

Nos Exercícios 2.8 a 2.13 use o Método de Indução Finita para demonstrar as sentenças.

2.8 Se n1 < n2 < n3 < · · · são números naturais, mostre que nj ≥ j, ∀j ∈ N.

2.9 Mostre que1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)2 · 4 · 6 · . . . · (2n) ≥ 1

2n, ∀n ∈ N.

2.10 Uma seqüência {bn} é definida por: b1 = −1 e bn = −n− 1n2

bn−1, n ≥ 2. Mostre que bn = (−1)nn!n

.

2.11 Considere a seqüência de Fibonacci : a1 = 1, a2 = 1 e an = an−1 + an−2, para n ≥ 2. Mostre que

an =1

2n√5

h³1 +√5´n − ³1−√5´ni .

2.12 Mostre que (1 + x)n ≥ 1 + nx+n (n− 1)x2

2, x ≥ 0, ∀n ∈ N.

2.13 Se a1, a2, a3, . . . , an são números reais, demonstre que as seguintes relações são válidas:

|a1 + a2 + a3 + · · ·+ an| ≤ |a1|+ |a2|+ |a3|+ · · ·+ |an||a1 + a2 + a3 + · · ·+ an| ≥ |a1|− |a2|− |a3|− · · ·− |an|

2.14 Colque V ou F e justifique. Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.

( ) toda seqüência convergente é limitada;

( ) toda seqüência limitada é convergente;

( ) toda seqüência limitada é monótona;

( ) toda seqüência monótona é convergente;

( ) a soma de duas seqüências divergentes é divergente;

( ) toda seqüência divergente é não monótona;

( ) se uma seqüência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;

( ) toda seqüência divergente é não limitada;

( ) se uma seqüência possui uma subseqüência convergente, ela própria converge;

( ) toda seqüência alternada é divergente;

( ) toda seqüência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero;

( ) se uma seqüência {an} diverge, então {|an|} também diverge;

( ) se a seqüência {|an|} converge então {an} também converge;

( ) se a seqüência {|an|} converge para zero, então {an} também converge para zero;

16

( ) se an ≤ bn, ∀n, {an} crescente e {bn} convergente, então {an} converge;

( ) se {an} é convergente, então {(−1)n an} também converge;

( ) a seqüência {an} definida por a1 = 1 e an+1 = nann+ 1

é convergente;

( ) a seqüência {an} definida por a1 = 1 e an+1 = 1− an é convergente;

( ) se an 6= 0, ∀n, e limn→∞

¯̄̄̄an+1an

¯̄̄̄= l < 1, então lim

n→∞an = 0;

( ) a seqüência an = (−1)n + 12 cos

¡n2 + n

¢possui uma subseqüência convergente;

( ) se a sérieP

an é convergente, então as sériesP

a2n eP

a2n−1 também convergem;

( ) se as sériesP

a2n eP

b2n são convergentes, entãoP

anbn também converge;

( ) se a sérieP

a2n é convergente, entãoP

an/n também converge;

( ) se a sérieP

an é convergente e an > 0, ∀n, então Pa2n eP

an/ (1 + an) convergem;

( ) se {xn} e {yn} são convergentes e xn ≤ yn, a partir de um certo índice, então limxn ≤ lim yn.

2.15 Em cada caso, e quando possível, construa seqüências {an} , {bn} e {cn} em R tais que an →∞, bn → −∞, cn → 0 e que verifiquem:

(a) an + bn → 1 (b) an + bn → −∞ (c) an + cn → 1 (c) ancn → 0 (d)ancn→ 1.

2.16 Usando a definição de limite, prove que:

(a) limn→∞

n

2n− 1 =1

2(b) lim

n→∞sen

¡n5 + n

¢n

= 0 (c) limn→∞

3n2 + 1

n2= 3

(d) limn→∞

5 + n

2 + 3n=1

3(e) lim

n→∞5

2 + 3n= 0 (f) lim

n→∞

µ2 +

1

n

¶= 2.

2.17 Calcule o limite de cada seqüência dada abaixo pelo seu termo geral.

(a)n− 1n+ 1

(b) n sen³πn

´(c)

lnn

en(d)

4n2 − 3nn2 + 5n− 6

(e)n2

n+ 1− n2

n+ 2(f)µ1 +

1

3n

¶n

(g)n

en(h)

√n! + e2n

5√n!− en

(i)3n√n+ 1

7− 2n√n (j)µ1 +

2

n

¶n

(k) n1n (l)

1

3n+1+

µ3

4

¶n−3

(m)√n+ 1−√n (n) n

√n2 + n (o)

2n

en(p) n√a, a > 0

(q)3n + (−2)n

3n+1 + (−2)n+1 (r)(n+ 1)n

nn+1(s)

n!

3n+1(t)

3√n2 sen

¡n2¢

n+ 2

2.18 Em cada caso abaixo verifique se a seqüência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente.

17

(a)√n2 + 1−√n (b)

1√n2 + 1−√n (c)

2n

n!

(d)2n

1 + 2n(e)

n2

2n− 1 −n2

2n+ 1(f)

(−1)nn

(g)n

2n+(−1)nn

(h)1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)

n!2n(i)

nn

n!

(j)n

2n(k)

n!

1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1) (l)n2

ln (n+ 1)

(m) sen (nπ) (n) 8√n2 + 1− 4

√n+ 1 (o) 1 + (−1)n

2.19 Prove que limn→∞ (3n + 4n)1/n = 4. Generalização: lim

n→∞ (an + bn)1/n = max {a, b} .

2.20 Se |r| < 1, mostre que limn→∞nrn = 0. Se r > 1, mostre que lim

n→∞ rn =∞. E se r < −1?

2.21 Se 0 < a < 2, mostre que a <√2a < 2. Usando este fato prove que a seqüência

√2,

q2√2,

r2

q2√2, ...

é monótona limitada e portanto convergente. Calcule seu limite.

2.22 Seja {bn} é uma seqüência convergente, com bn 6= 0, ∀n, e limn→∞ bn 6= 0. A partir da definição de

limite, mostre que a seqüência {1/bn} é limitada.

2.23 Mostre que limn→∞

hsen(

π

22) · sen( π

32) · sen( π

42) · . . . · sen( π

n2)i= 0.

2.24 Considere a seqüência cujos termos são definidos pela recorrência: a1 = 5 e an+1 =√an. Estes

termos podem ser gerados em uma calculadora, introduzindo-se o número 5 e pressionando-se a tecla√x .

(a) descreva o comportamento de {an} quando n aumenta;

(b) se convença que an = 51/2ne calcule lim

n→∞ an.

2.25 Em uma calculadora uma seqüência é gerada introduzindo-se um número e pressionando-se a tecla

1/x . Em que condições a seqüência tem limite?

2.26 Seja {xn} uma seqüência com a seguinte propriedade: existe um número natural p tal que xn+p =xn, ∀n. Mostre que a única seqüência convergente com esta propriedade é a seqüência constante.

2.27 Lembrando que um número real x é valor de aderência de uma seqüência (xn) quando alguma

subseqüência de (xn) convergir para x, determine uma seqüência cujo conjunto de valores de aderência é:

18

(a) A = {1, 2, 3, 4} (b) A = N (c) A = [0, 1] .

2.28 Sejam an : 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . e bn : 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . .. Determine:(a) Todas as subsequências de (an) e (bn) convergentes;

(b) Todos os valores de aderência de (an) e (bn) .

2.29 Se limxn = a e lim yn = b, com a < b, prove que existe um n0 ∈ N a partir do qual xn < yn.

2.30 Suponha que um número real a não é limite de uma seqüência limitada {xn}. Mostre que aseqüência {xn} possui uma subseqüência convergente com limite 6= a.

2.30 Defina a seqüência {xn} por: x2n = 1/n e x2n−1 =√n. Quantos valores de aderência a seqüência

{xn} possui? Ela é convergente?

2.32 Se limxn = a, prove que:

limn→∞

x1 + x2 + · · ·+ xnn

= a.

2.33 Se X ⊂ R é um subconjunto não vazio, mostre que a ∈ X 0 se, e somente se, existe em X\ {a}uma seqüência com limite a.

2.34 Considere duas seqüências {xn} e {yn}, sendo {xn} convergente. Se para cada ε > 0 existir umanúmero N tal que |xn − yn| < ε, ∀n ≥ N, o que se pode dizer sobre a convergência da seqüência {yn}?

2.35 Defina por recorrência uma seqüência {xn} da seguinte maneira: fixe x1 > 1 e para n ≥ 1 definaxn+1 = 2− 1/xn. Mostre que a seqüência {xn} é convergente e calcule o seu limite.

2.36 Mesmo exercício precedente com a seqüência {yn} dada por: y1 = 1 e yn+1 =√2 + yn, para

n ≥ 1.

2.37 Limite Superior & Limite Inferior. Seja {xn} uma seqüência li-mitada e para cada n ∈ N se-jam Sn = sup {xk; k ≥ n} e sn = inf {xk; k ≥ n} . Verifique que as seqüências {Sn} e {sn} são convergentese que {xn} converge se, e somente se, limSn = lim sn. O número real limSn é denominado limite superior

da seqüência {xn} e anota-se lim supxn ou limxn. O número real lim sn é denominado limite inferior da

seqüência {xn} e anota-se lim inf xn ou limxn. Da definição segue diretamente que:

lim supxn = infnsupk≥n

{xk} e lim inf xn = supninfk≥n

{xk} .

19

2.38 Estabeleça as seguintes propriedades para o lim sup e lim inf.

(a) lim inf xn ≤ lim supxn;(b) se c ≥ 0, então lim sup (c · xn) = c · lim supxn e lim inf (c · xn) = c · lim inf xn;(c) se c ≤ 0, então lim inf (c · xn) = c · lim supxn e lim sup (c · xn) = c · lim inf xn;(d) lim inf xn + lim inf yn ≤ lim inf (xn + yn) ;

(e) lim sup (xn + yn) ≤ lim supxn + lim sup yn;(f) se xn ≤ yn, ∀n, então lim inf xn ≤ lim inf yn e lim supxn ≤ lim sup yn.

2.39 Com relação a uma seqüência limitada {xn} , mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:

(a) x = lim supxn;

(b) se ε > 0, existe apenas uma quantidade finita de números naturais n tais que x+ε < xn, mas existe

uma quantidade infinita de índices n tais que x− ε < xn;

(c) x = infX, ondeX é o conjunto dos números reais ξ tais que ξ < xn, para no máximo uma quantidade

finita de termos xn.

2.40 Estabeleça um resultado análogo ao exercício precedente para o lim inf .

2.41 As seqüências abaixo são divergentes. Por quê? Em cada caso, calcule o lim sup e o lim inf .

(a) an = (−1)n (b) bn = 1 + (−1)n (c) cn = (−1)n + 1/n.

2.42 Se {xn} é uma seqüência limitada, prove que alguma subseqüência de {xn} converge paralim supxn. Idem para lim inf xn. Isso estabelece o seguinte resultado devido a Bolzano-Weierstrass: Toda

seqüência limitada de números reais possui uma subseqüência convergente.

2.43 Mostre que toda seqüência de Cauchy em Z permanece constante a partir de um índice n0.

2.44 Se 0 < r < 1 e uma seqüência {xn} satisfaz à relação |xn+1 − xn| < rn, ∀n ∈ N, mostre que {xn}é de Cauchy.

2.45 Usando a definição, mostre que as seqüências xn = (n+ 1) /n e yn = 1+1/2!+1/3! · · ·+1/n! sãode Cauchy.

2.46 Dizemos que {xn} tende para +∞, e escrevemos xn → +∞ ou limxn = +∞, se para cada α ∈ Rexistir um número natural N (α) tal que xn ≥ α, para qualquer índice n ≥ N (α). Dizemos que {yn}tende para −∞, e escrevemos yn → −∞ ou lim yn = −∞, se para cada β ∈ R existir um número natural

20

N (β) tal que yn ≤ β, para qualquer índice n ≥ N (β). Sejam {xn} e {yn} seqüências em R+ tais que

lim (xn/yn) = L > 0. Mostre que:

limxn = +∞⇔ lim yn = +∞.

2.47 Sejam {xn} e {yn} seqüências em R+ tais que lim (xn/yn) = 0. Mostre que:

(a) se xn → +∞, então yn → +∞ (b) se {yn} é limitada, então limxn = 0.

2.48 Sejam t0, t1, . . . , tp números reais tais que t0 + t1 + . . . + tp = 0. Mostre que a seqüência (an)

definida por:

an =

pXk=0

tk√n+ k

converge para zero.

2.49 Se uma seqüência monótona possui uma subseqüência convergente, prove que a seqüência é, ela

própria, convergente. O mesmo ocorre com uma seqüência de Cauchy.

2.50 Mostre que a seqüência an =1

n+

1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2né convergente.

2.51 Se an > 0, ∀n, mostre que a série∞Pn=1

an é convergente se, e somente se, a sérieP an1 + an

o for.

2.52 Seqüências de quadrado somável. Represente por l2 o conjunto:

l2 = {x = (xn) ;∞Xn=1

x2n <∞}.

(a) Dados x, y ∈ l2 e λ ∈ R, mostre que λx+ y ∈ l2;

Considere a função ϕ : l2 −→ R+, definida por:

ϕ (x) =

à ∞Xn=1

x2n

!1/2, x = (xn) ∈ l2.

(b) Mostre que a função ϕ goza das seguintes propriedades:

• ϕ (x) ≥ 0, ∀x e que ϕ (x) = 0⇔ x = 0;

• ϕ (λx) = |λ|ϕ (x) , ∀ (λ, x) ∈ R× l2;

• ϕ (x+ y) ≤ ϕ (x) + ϕ (y) , ∀x, y ∈ l2.

21