Lista 01- Calculo Vetorial

INSINSTITUTO FEDERAL DE, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA

CAMPUS FLORIANÓPOLIS

DEPARTAMENTO ACADÊMICO LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIAS

CURSOS DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

PROF: ANTONIO JOAO

DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL ESTUDANTE: DATA:

MATEMÁTICA -IFSC Prof. Antônio João – [email protected]

LISTA 01

1 − 2 - Determine o domínio das funções vetoriais

1. 𝒓 𝒕 = 𝑡2 , 𝑡 − 1, 5 − 𝑡 𝑹. 𝟏,𝟓

2. 𝒓 𝒕 =𝑡−2

𝑡+2𝑖 + sin 𝑡 𝑗 + ln 9 − 𝑡2 𝑘 𝑹. −𝟑,−𝟐 ∪ −𝟐,𝟑

3 − 6 - Calcule os limites

3. lim𝑡→0

(cos 𝑡 , sin 𝑡 , 𝑡 ln 𝑡) 𝑹. 𝟏,𝟎,𝟎

4. lim𝑡→0

𝑒𝑡 − 1

𝑡, 1 + 𝑡 − 1

𝑡,

3

1 + 𝑡 𝑹. 𝟏,

𝟏

𝟐 ,𝟑

5. lim𝑡→1

𝑡 + 3𝑖 +𝑡 − 1

𝑡2 − 1𝑗 +

tan 𝑡

𝑡𝑘 𝑹. 𝟐,

𝟏

𝟐 , 𝒕𝒂𝒏 𝟏

6. lim𝑡→∞

arctan 𝑡 , 𝑒−2𝑡 ,ln 𝑡

𝑡 𝑹.

𝝅

𝟐,𝟎 ,𝟎

𝑎 Seja 𝑓 (𝑡) = sin 𝑡 𝑖 + cos 𝑡 𝑗 + 2𝑘 𝑒 ℎ 𝑡 =1

𝑡. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites.

𝑖 lim𝑡→0

𝑓 𝑡 𝑖𝑖 lim𝑡→0

ℎ 𝑡 ⋅ 𝑓 𝑡

𝑹. 𝒊 𝑗 + 2𝑘 𝑖𝑖 ∄

𝑏 Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.

𝑖 lim𝑡→𝜋

cos 𝑡 , 𝑡2 ,−5

𝑹. 𝒊 − 𝑖 + 𝜋2 𝑗 − 5 𝑘

𝑖𝑖 lim𝑡→−2

𝑡3 + 4𝑡2 + 4𝑡

𝑡 + 2 𝑡 − 3 , 1

𝑹. 𝑖𝑖 𝑗

𝑖𝑖𝑖 lim𝑡→2

1

𝑡 − 2 𝑡2 − 4 𝑖 + 𝑡 − 2 𝑗

𝑹. 𝑖𝑖𝑖 4 𝑖 + 𝑗

𝑖𝑣 lim 𝑡→

𝜋2

𝜋

2− 𝑡 tan 𝑡 𝑖 + 𝑡 𝑗 − 𝑡 𝑘 𝑹 . 𝟏,

𝝅

𝟐,−

𝝅

𝟐

𝑣 lim 𝑡→1

sin 𝑡 − 1

𝑡2 − 1, 𝑡,−1 𝑹 . 𝟐,𝟏,−𝟏 𝑣𝑖 lim

𝑡→1 sin 𝑡2 − 1

𝑡 − 1𝑖 +

𝑡2 − 1

𝑡 − 1 𝑗 − 2 𝑘 𝑹. 𝟐,𝟐,−𝟐

2 MATEMÁTICA-Cálculo Aplicado II Prof. Antônio João – [email protected]

𝑣𝑖𝑖 lim 𝑡→1

sin 𝑡3 − 1

𝑡2 − 1,sin 𝑡𝑛 − 1

𝑡𝑚 − 1,−𝑡6 𝑹.

𝟑

𝟐,𝒏

𝒎,−𝟏

11𝑐) Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.

𝑖 𝑓 𝑡 =

𝑡 − 3

𝑡 − 3𝑖 + 𝑡2 𝑗 𝑠𝑒 𝑡 ≠ 3

0 𝑠𝑒 𝑡 = 3

Em 𝑡 = 0 e 𝑡 = 3

𝑹.−𝑗 , é 𝐜𝐨𝐧𝐭í𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐦 𝒕 = 𝟎 , 𝑖 + 𝟗𝑗 ,𝐧ã𝐨 é 𝐜𝐨𝐧𝐭í𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐦 𝐭 = 𝟑.

(𝑖𝑖) 𝑓 𝑡 = 𝑡 sin

1

𝑡𝑖 + cos 𝑡 𝑗 𝑠𝑒 𝑡 ≠ 0

𝑗 𝑠𝑒 𝑡 = 0

Em 𝑡 = 0

𝑹. 𝑗 , é 𝐜𝐨𝐧𝐭í𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐦 𝒕 = 𝟎.

𝑖𝑖𝑖 𝑓 𝑡 = 𝑡 𝑖 +

𝑡 + 2 − 2

𝑡 𝑗 𝑠𝑒 𝑡 ≠ 0

2 𝑗 𝑠𝑒 𝑡 = 0

Em 𝑡 = 0

𝑹.𝟏

𝟐𝑗 + 𝑘 , é 𝐜𝐨𝐧𝐭í𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐦 𝐭 = 𝟎.

𝑖𝑣 𝑓 𝑡 = sin 𝑡 𝑖 − cos 𝑡 𝑗 + 𝑘 𝑒𝑚 𝑡 = 0

𝑹.−𝑗 + 𝑘 , é 𝐜𝐨𝐧𝐭í𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐦 𝐭 = 𝟎.

𝑣 𝑓 𝑡 =

2

𝑡 − 1 𝑖 +

4

𝑡 − 2 𝑗 − 5 𝑘 𝑠𝑒 𝑡 ≠ 1 𝑒 𝑡 ≠ 2

0 𝑠𝑒 𝑡 = 1 𝑒 𝑡 = 2

Em 𝑡 = 1 𝑒 𝑡 = 2

𝑹.𝒏ã𝒐 é 𝐜𝐨𝐧𝐭í𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐦 𝐭 = 𝟏, 𝒏ã𝒐 é 𝐜𝐨𝐧𝐭í𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐦 𝐭 = 𝟐.

𝑒 Seja 𝑓 a função vetorial definida por:

𝑓 𝑡 =

3 cos𝜋𝑡 𝑖 𝑠𝑒 𝑡 < 0

𝑎𝑡 + 𝑏 𝑖 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑡 ≤ 3

𝑡 − 3 𝑖 𝑠𝑒 𝑡 > 3

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎 𝑒 𝑑𝑒 𝑏 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎.

𝑹.𝒂 = −𝟏 𝒃 = 𝟑


7 − 14 − Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com seta a direção na qual o

parâmetro cresce.

7. 𝒓 𝑡 = 𝑡4 + 1, 𝑡 8. 𝒓 𝒕 = 𝑡3, 𝑡2

9. 𝑟 𝑡 = 𝑡, cos 2𝑡 , sin 2𝑡 10. 𝑟 𝑡 = 1 + 𝑡, 3𝑡,−𝑡

11. 𝑟 𝑡 = sin 𝑡, cos 𝑡 12. 𝑟 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 + cos 𝑡 𝑘

13. 𝑟 𝑡 = 𝑡2𝑖 + 𝑡4𝑗 + 𝑡6𝑘 14. 𝑟 𝑡 = sin 𝑡 𝑖 + sin 𝑡 𝑗 + 2 cos 𝑡 𝑘.

𝑎) Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante 𝑡 o seu vetor posição é dado por

𝑟 𝑡 = 𝑡𝑖 +1

𝑡 − 2𝑗 + 𝑘

(𝑖) Determinar a posição da partícula no instante 𝑡 = 0 e 𝑡 = 1.

𝑹. 𝒓 𝟎 = −1

2𝑗 + 𝑘 𝒓 𝟏 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘

(𝑖𝑖) Esboçar a trajetória da partícula.

𝑖𝑖𝑖 Quando 𝑡 se aproxima de 2, o que ocorre com a posição da partícula?

R. A partícula tende para uma posição infinita.

(b) Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel 𝑃 𝑥,𝑦 , quando o parâmetro 𝑡 varia no

intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:

𝑖 𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑦 = 2 sin 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

𝑹.𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒

𝑖𝑖 𝑥 = 4 cos 𝑡 𝑦 = 4 sin 𝑡 𝑧 = 2 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

𝑹.𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔; 𝒛 = 𝟐

𝑖𝑖𝑖 𝑥 = 2 + 4 sin 𝑡 𝑦 = 3 − 2 cos 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

𝑹. 𝒙 − 𝟐 𝟐

𝟏𝟔+ 𝒚 − 𝟑 𝟐

𝟒= 𝟏

𝑖𝑣 𝑥 = 𝑡 + 1 𝑦 = 𝑡2 + 4 𝑧 = 2 −∞ < 𝑡 < +∞

𝑹.𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓; 𝒛 = 𝟐

(𝑐) Obter a equação cartesiana das seguintes curvas:

𝑖 𝑟 𝑡 = 1

2𝑡, 3𝑡 + 5

𝑹. 𝒕 = 𝟐𝒙; 𝒚 = 𝟔𝒙 + 𝟓

𝑖𝑖 𝑟 𝑡 = 𝑡 − 1, 𝑡2 − 2𝑡 + 2


𝑹.𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏

𝑖𝑖𝑖 𝑟 𝑡 = 𝑠2 − 1, 𝑠2 + 1, 2

𝑹.𝒚 = 𝒙 + 𝟐; 𝒛 = 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝒙 ≥ −𝟏

𝑑 Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências e depois escrever uma equação vetorial

para cada uma.

𝑖 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0

𝑹.𝐂𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨: 𝟏,−𝟓

𝟐 𝐞 𝐫𝐚𝐢𝐨 𝒓 =

𝟒𝟏

𝟐 𝒓 𝒕 = 𝟏 +

𝟒𝟏

𝟐𝐜𝐨𝐬 𝒕 ,−

𝟓

𝟐+ 𝟒𝟏

𝟐𝐬𝐢𝐧 𝒕

𝑖𝑖 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0

𝑹.𝐂𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨: 𝟑,−𝟒 𝐞 𝐫𝐚𝐢𝐨 𝒓 = 𝟓 𝒓 𝒕 = 𝟑 + 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝒕 ,−𝟒 + 𝟓 𝐬𝐢𝐧 𝒕

𝑖𝑖𝑖 𝑥2 + 𝑦2 + 5𝑦 − 2 = 0

𝑹.𝐂𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨: 𝟏𝟎,−𝟓

𝟐 𝐞 𝐫𝐚𝐢𝐨 𝒓 =

𝟑𝟑

𝟐 𝒓 𝒕 =

𝟑𝟑

𝟐𝐜𝐨𝐬 𝒕 ,−

𝟓

𝟐+ 𝟑𝟑

𝟐𝐬𝐢𝐧 𝒕

15 − 18 − Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga 𝑃 e

𝑄.

15.𝑃 0,0,0 , 𝑄 1,2,3

𝑹. 𝒓 𝒕 = 𝒕,𝟐𝒕,𝟑𝒕 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 𝑒𝑞. 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥 = 𝑡,𝑦 = 2𝑡, 𝑧 = 3𝑡

16.𝑃 1,0,1 , 𝑄 2,3,1

𝑹. 𝒓 𝒕 = 𝟏 + 𝒕,𝟑𝒕, 𝒕 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 𝑒𝑞. 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥 = 1 + 𝑡,𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 1

17.𝑃 1,−1,2 , 𝑄 4,1,7

𝑹. 𝒓 𝒕 = 𝟏 + 𝟑𝒕,−𝟏 + 𝟐𝒕,𝟐 + 𝟓𝒕 𝑥 = 1 + 3𝑡,𝑦 = −1 + 2𝑡, 𝑧 = 2 + 5𝑡

18.𝑃 −2,4,0 , 𝑄(6,−1,2)

𝑹. 𝒓 𝒕 = −𝟐 + 𝟖𝒕,𝟒 − 𝟓𝒕,𝟐𝒕 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 𝑒𝑞.𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥 = −2 + 8𝑡, 𝑦 = 4 − 5𝑡, 𝑧 = 2𝑡

𝑖 𝑃 2, 1,1

3 , 𝑄 −7,2,9 𝑹. 𝒓 𝒕 = 2 − 7 + 2 𝑡 𝑖 + 1 + 𝑡 𝑗 +

1

3+

26

3𝑡 𝑘

𝑖𝑖 𝑃 𝜋,𝜋

2, 3 𝑄 𝜋,−1, 2 𝑹. 𝒓 𝒕 = 𝝅 𝑖 +

𝜋

2− 1 +

𝜋

2 𝑡 𝑗 + 3 − 𝑡 𝑘

19 − 24 − Case as equações paramétricas com os gráficos (identificados com números de I − VI).

Explique a razão de sua escolha.

19. 𝑥 = cos 4𝑡 , 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = sin 4𝑡

20. 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡2 , 𝑧 = 𝑒−𝑡


21. 𝑥 = 𝑡, 𝑦 =1

1 + 𝑡2, 𝑧 = 𝑡2

22. 𝑥 = 𝑒−𝑡 cos 10𝑡 , 𝑦 = 𝑒−𝑡 sin 10𝑡 , 𝑧 = 𝑒−𝑡

23. 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = sin 5𝑡

24. 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = ln 𝑡

25. Mostre que a curva com equações paramétricas 𝑥 = 𝑡 cos 𝑡 ,𝑦 = 𝑡 sin 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 está no 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2,

e use esse fato para esboçar a curva.

26. Mostre que a curva com equações paramétricas 𝑥 = sin 𝑡 , 𝑦 = cos 𝑡 , 𝑧 = sin2 𝑡 é uma curva de

intersecção das superfícies 𝑧 = 𝑥2 e 𝑥2 + 𝑦2 = 1. Use esse fato para esboçar a curva.

27 − 30 − Utilize computador para traçar a curva de equação vetorial dada. Escolha o domínio do

parâmetro e ponto de vista de forma a garantir que a visualização é a verdadeira.

27. 𝑟 𝑡 = sin 𝑡 , cos 𝑡 , 𝑡2

28. 𝑟 𝑡 = 𝑡4 − 𝑡2 + 1, 𝑡, 𝑡2

29. 𝑟 𝑡 = 𝑡2 , 𝑡 − 1, 5 − 𝑡


30. 𝑟 𝑡 = sin 𝑡 , sin 2𝑡 , sin 3𝑡

31. Trace a curva com equações paramétricas 𝑥 = 1 + cos 16𝑡 cos 𝑡 , 𝑦 = 1 + cos 16𝑡 sin 𝑡,

𝑧 = 1 + cos 16𝑡 . Explique sua aparência mostrando que a curva se desenvolve em um cone.

32. Trace a curva com equações paramétricas

𝑥 = 1 − 0,25 cos2 10𝑡 cos 𝑡

𝑦 = 1 − 0,25 cos2 10𝑡 sin 𝑡

𝑧 = 0,5 cos 10𝑡

Explique a aparência da curva mostrando que ela se desenvolve em uma esfera.

33. Mostre que a curva com equações paramétricas 𝑥 = 𝑡2 , 𝑦 = 1 − 3𝑡, 𝑧 = 1 + 𝑡3 passa pelos pontos

1,4,0 𝑒 9,−8, 28 e não passa pelo ponto 4,7,−6 .

34 − 36 − Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção de duas

superfícies.

34. O cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e a superfície 𝑧 = 𝑥𝑦

R. 𝒓 𝒕 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝒊 + 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝒋 + 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕 𝒌 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅

35. O cone 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e o plano 𝑧 = 1 + 𝑦

R. 𝒓 𝒕 = 𝒕 𝒊 +𝟏

𝟐 𝒕𝟐 − 𝟏 𝒋 +

𝟏

𝟐 𝒕𝟐 + 𝟏 𝒌

36. O parabolóide 𝑧 = 4𝑥2 + 𝑦2 e o cilindro parabólico 𝑦 = 𝑥2.

R. 𝒓 𝒕 = 𝒕 𝒊 + 𝒕𝟐 𝒋 + 𝟒𝒕𝟐 + 𝒕𝟒 𝒌

37. Tente esboçar à mão a curva obtida pela intersecção do cilindro circular 𝑥2 + 𝑦2 = 4 com o cilindro

parabólico 𝑧 = 𝑥2. Determine então as equações paramétricas dessa curva e utilize um computador para

desenhá-la.

38. Tente esboçar à mão a curva obtida pela intersecção do cilindro parabólico𝑦 = 𝑥2 com a metade

superior do elipsóide 𝑥2 + 4𝑦2 + 4𝑧2 = 16. Escreva então as equações paramétricas para a curva e

utilize o computador para traçá-la.

39. Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes, é sempre importante saber se

eles vão se colidir. (Um míssil vai atingir seu alvo móvel? Duas aeronaves vão se colidir?) As curvas

podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante.

Suponha que as trajetórias das duas sejam dadas pelas seguintes funções vetoriais.

𝑟1 𝑡 = 𝑡2 , 7𝑡 − 12, 𝑡2 𝑟2(𝑡) = 4𝑡 − 3, 𝑡2 , 5𝑡 − 6 para 𝑡 ≥ 0. As partículas colidem.

R. Os objetos colidem quando 𝒕 = 𝟑,𝒏𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝟗,𝟗,𝟗


40. Duas partículas viajam ao longo das curvas espaciais.

𝑟1 𝑡 = 𝑡, 𝑡2 , 𝑡3 𝑟2 𝑡 = 1 + 2𝑡, 1 + 6𝑡, 1 + 14𝑡

As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?

R. As trajetórias se interceptam duas vezes, em 𝒕 = 𝟏 𝒆 𝒕 = 𝟐.

41. Suponha que 𝐮 e 𝐯 sejam funções vetoriais que possuem limites quando 𝑡 → 𝑎 e seja 𝑐 uma

constante. Prove as seguintes propriedades de limites.

𝑎 lim𝑡→𝑎

𝐮 𝑡 + 𝐯 𝑡 = lim𝑡→𝑎

𝐮 𝑡 + lim𝑡→𝑎

𝐯 𝑡

𝑏 lim𝑡→𝑎

c𝐮 𝑡 = 𝑐 lim𝑡→𝑎

𝐮 𝑡

𝑐 lim𝑡→𝑎

𝐮 𝑡 ⋅ 𝐯 𝑡 = lim𝑡→𝑎

𝐮 𝑡 ⋅ lim𝑡→𝑎

𝐯 𝑡

(𝑑) lim𝑡→𝑎

𝐮 𝑡 × 𝐯 𝑡 = lim𝑡→𝑎

𝐮 𝑡 × lim𝑡→𝑎

𝐯 𝑡

42. A visão do nó trevo apresentada na Figura 7 do material texto está correta mas não muito reveladora.

Use as equações paramétricas

𝑥 = 2 + cos 1,5𝑡 cos 𝑡 𝑦 = 2 + cos 1,5𝑡 sin 𝑡 𝑧 = sin 1,5𝑡

Para esboçar a curva à mão vista de cima deixando em branco os pontos onde a curva se sobrepõe.

Comece mostrando que sua projeção sobre o plano 𝑥𝑦 tem coordenadas polares 𝑟 = 2 + cos 1,5𝑡 e

𝜃 = 𝑡, de forma que 𝑟 varia entre 1 e 3. Mostre então que 𝑧 tem um valor máximo e um valor mínimo

quando a projeção está entre 𝑟 = 1 e 𝑟 = 3.

Quando você terminar o esboço à mão livre, utilize o computador para traçar com o observador vendo

de cima e compare com seu esboço. Trace a curva sobre outros pontos de vista. Você alcançará melhor

resultado se plotar um tubo de raio 0,2 em torno da curva.( Utilize o comando tubleplat no Maple).


RESPOSTAS

7. 8.

9. 10.

11. 11.

13. 14.


19.𝐕𝐈 20. 𝐈𝐈 21. 𝐈𝐕 22. 𝐈 23. 𝐕 24. 𝐈𝐈𝐈

25. 26.

27. 28 29

30.

31. 32.


37. 𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒕 𝒛 = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 ,𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅

38. 𝒙 = 𝒕, 𝒚 = 𝒕𝟐, 𝒛 = 𝟒 −𝟏

𝟒𝒕𝟐 − 𝒕𝟒

42.


Vista Superior Vista Frontal Vista Lateral

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