LISTA 01 - BM GRADMATABSQUE REPROBATIO ET GLUTEN NULLUM GRADUATIO PERFECTUM ESTRESOLUO PASSVEL DE ERROS, USE COM MODERAOhttp://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/listas/bm/lista1.pdf (cuidadoqueonabinhovaitematarcaralhoporra)

a)Exemplos: { x | x > 1 }Contraexemplos: { x | x 1 }

b)Exemplos: { a }Contraexemplos: { b, n }

c)Exemplos: A = { x | 0 < x < 1}Contraexemplos: \A

d)Exemplos: Contraexemplos:

a)Para todo x, existe um y tal que x < y. Proposio Universal. Verdadeira.

b)Existe y que para qualquer x, satisfaa x < y. Proposio Particular. Falsa.

c)Existe x que para qualquer y, satisfaa x < y. Proposio Particular. Falsa.

d)Para todo y, existe um x tal que x < y. Proposio Universal. Falsa.

e)Existe x e existe y tal que x < y. Proposio Particular. Verdadeira.

f)Para todo x e para todo y, temos que x < y. Proposio Universal. Falsa.

a)Para todo x, existe um y tal que 2x - y = 0. Verdadeira.

Exemplos: x = Contraexemplos:

b)Existe y que para qualquer x, satisfaa 2x - y = 0. Falsa.

Exemplos: Contraexemplos: x = , y ter um valor especfico

c)Existe y e existe z tal que x + y = 100. Verdadeira.

Exemplos: 10 + 90 = 100 Contraexemplos:

a)Pra inverter essa droga, usa lei de Morgan, bro:

Ou seja, inverte as duas e o AND/OR...se vc n errou, chegou nisso e t ok:3 4 ou 2 mpar

b)Essa mais suave, negao de negao a prpria proposio

verdade que 3 par ou que 5 mpar

c)Lei de Morgan nessa porra dnv...

2 um nmero mpar e 3k + 1 um nmero par

d)Lei de Morgan nessa porra dnv + negao de negao

2 um nmero mpar e verdade que 3 um nmero mpar

e)Nesse caso tem que trocar o quantificador e inverter o carai td

Existe elemento do conjunto A que no elemento do conjunto B.

f)Negao de negao a prpria proposio

5 um nmero primo e 4 um nmero mpar

g)O parentese serve justo pra denotar q nesse caso tem que aplicar lei de morgan

verdade que 5 um nmero primo e 4 um nmero par

a)

b)

c)

d)

a)Frase: no p qContrapositiva:no q pRecproca:q no pInversa:p no q

b)Frase: no p no qContrapositiva:q pRecproca:no q no pInversa:p q

c)Frase: p no qContrapositiva:q no pRecproca:no q pInversa:no p q

d)Frase:Se chove ento eu no vou trabalharContrapositiva:Se vou trabalhar ento no choveRecproca:Se no vou trabalhar ento choveInversa:Se no chove ento vou trabalhar

e)Frase:Se x par, ento 2x + 1 mparContrapositiva:Se 2x + 1 par, ento x mparRecproca:Se 2x + 1 mpar, ento x parInversa:Se x mpar, ento 2x + 1 par

f)WTF ESSA FRASE KKKK

Frase:Se minha me um trator, ento eu sou uma moto-serraContrapositiva:Se eu no sou uma moto-serra, ento minha me no um tratorRecproca:Se sou uma moto-serra, ento minha me um tratorInversa:Se minha me no um trator, ento eu no sou uma moto-serra

g)Frase:Se 2k + 1 primo, ento k uma potncia de 2Contrapositiva:Se k no uma potncia de 2, ento 2k + 1 no primoRecproca:Se k uma potncia de 2, ento 2k + 1 primoInversa:Se 2k + 1 no primo, ento k no uma potncia de 2

h)Frase:Se x2 + y2 = 0, ento x e y so iguais a 0Contrapositiva:Se x e y no so iguais a 0, ento x2 + y2 0Recproca:Se x e y so iguais a 0, ento x2 + y2 = 0Inversa:Se x2 + y2 0, ento x e y no so iguais a 0

tabela verdade daora pra se guiar

a)p: 2 par. Verdadeira.q: 3 mpar. Verdadeira.p q:Se 2 par, ento 3 mpar. Verdadeira.

b)p: 2 no par. Falsa.q: 3 mpar. Verdadeira.p q:Se 2 no par, ento 3 mpar. Verdadeira.

c)p: 3 no par. Verdadeira.q: 3 no mpar. Falsa.p q:Se 3 no par, ento 3 no mpar. Falsa.

d)p: Minha me um trator. Falsa.q: Eu sou uma moto-serra. Falsa.p q:Se minha me um trator, ento eu sou uma moto-serra. Verdadeira.

a)Necessriob)Suficientec)Necessriod)Ambose)Suficientef)Ambos//questo sujeita a anlise, pois pode estar errada

//n lembrava como definia matemticamente os nmeros primos, da fiz uma gambiarra aqui pra ficar mais bonitinho e n ter que escrever primo na resposta kkkk, n deixa de estar correto, s n era pra fazer assim, se p

P = conjunto dos nmeros primos = { 2, 3, 5, 7,... }

a)n| n2 = 2b)x| x2 = 2c)x|x2 = 2m, m x2 = 3k, kd)x| x2P x2 < 0 e)x| x2 = 2k, k x2 = 2c + 1, cf)x, y| x + y = 100 g)aA| aB, mais fcil ainda, ABh), ()| 0 < |x a| < |f(x) f(l))| < i)//como a lista t bem feita pra carai sabe...eu consegui interpretar isso de duas maneiras, se p a 1 x| ( x = 2m, m ) ( x = 3n, n ) ( x = 5r, r ) ( x = 7k, k )x| ( x = 2m, m x = 3n, n x = 5r, r ) x = 7k, kj)x| x < (1/x)k)a, bP (a*b)Pl)x,y| x + y = 1000m)q| q2 = 2n)a,b, c| a < c < b

a)n| n2 2Para qualquer nmero real n tal que n2 2

b)x| x2 = 2Existe nmero racional x tal que x2 = 2

c)x|x2 = 2m + 1, m x2 3k, kPara qualquer x, tal que x2 mpar ou x2 no divisvel por 3

d)x| x2P x2 0 Existe um nmero x inteiro, tal que x2 no primo e x2 positivo

e)x| x2 = 2k + 1, k x2 = 2c, cPara qualquer inteiro x tal que x2 mpar e x2 par

f)x, y| x + y 100 Existe um nmero real x, para todo nmero real y tal que x + y 100

g)aA| aB Existe elemento do conjunto A que no pertence ao conjunto B

h), ()| 0 < |x a| < |f(x) f(l))| Existe . para todo (), tal que se 0 < |x a| < ento |f(x) f(l))|

i)x| ( x 2m, m ) ( x 3n, n ) ( x 5r, r ) ( x 7k, k )Existe x natural (era n mas fodac), tal que x no seja divisvel por 2, 3, 5 e 7

j)x| x (1/x)Existe x racional, tal que x seja maior ou igual a (1/x)

k)a, bP (a*b)PSe a e b so nmeros primos, ento a*b no primo

l)x,y| x + y 1000Para quaisquer x e y, temos que sua soma no igual a 100

m)q| q2 = 2Existe nmero racional q tal que q2 = 2

n)a,b, c| a c bExiste nmeros reais a e b para qualquer nmero c, tal que a seja maior ou igual a c, e este por sua vez, seja maior igual a b.

a)Todo nmero real n menor que seu quadradob)Existe nmero real n que igual ao seu quadradoc)Existe nico nmero real n que igual ao seu quadradod)Existe nmero real n que seu quadrado igual a seu cuboe)Para qualquer n natural, existe k natural tal que k seja menor que nf)Para quaisquer a e b reais, existem c e d reais, tal que a seja menor que a soma entre c e d, que por sua vez, menor que b g)Para quaisquer a e b inteiros, existe c inteiro tal que o produto entre c e o quociente de a por b seja inteiro.h)Para todo a real, existe b real, tal que para todo c real, o produto de a por b seja igual a ci)Para quaisquer a e c reais, existe b real, tal que o produto de a por b seja igual a c

a) Note que 3 < 12 < 4

S = { 0, 1, 2, 3 }

b)3n + 1 < 253n < 24n < 8

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

c)3n + 1 < 253n < 24n < 8

...e...

n + 1 > 4n > 3

ento, 3 < n < 8

S = { 4, 5, 6, 7 }

d)Note que uma disjuno

n < 5 ou n > 3

S =

e)n 17 e no primo

S = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 } //O idiota que resolveu o gabarito errou kkk haha kk

f)( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 ) ( n - 5 ) = 0

tdo n que zerar o parentese atende a condio

S = { 2, 3, 4, 5 }

Demonstrao direta. Provou-se por etapas que p implica em q.

Demonstrao por Reduo ao Absurdo. Assume-se que a hiptese falsa e demonstra-se que invlido, concluindo-se que a proposio inicial verdade.

Contraposio. Prova-se que se ab racional, ento a e b devem ser racionais. Uma vez que a proposio e sua contrapositiva so simultaneamente verdadeiras ou falsas, conclui-se que sua contrapositiva tb procede.

Contraposio. A proposio provada no R(a) no R( a), a prova apresentada a da contrapositiva R( a) R(a).

Reduo ao Absurdo. A proposio diz que a + b > c, e a prova consiste em demonstrar que a negao da proposio, a+b c, leva ao absurdo.

A prpria demonstrao j afirma que log x < 0. Portanto, ao dividir uma desigualdade por um nmero menor que zero d ruim e inverte o sinal da desigualdade kkkkk, pilantro esse enunciado

A proposio provada no a contrapositiva do que se queria provar, e sim a recproca.

A proposio Se 5|ab ento 5|a ou 5|b, e foi usada para provar a si mesma: ab da forma 5k . . . Portanto ou a = 5m ou b = m para algum m.

KKKKKKKKKKKKKK d um ligue, ele subtraiu ali (a-b) pelos bangs multiplicando, t errado carai

a)k1| b = ak1k2| c = ak2

b + c = ak1 + ak2b + c = a ( k1 + k2 ) Dado que ( k1 + k2 ) uma constante inteira, t.q. partindo da premissa concedida, a divide b + c.

b)Saindo da premissa que p e q so racionais, podemos reescrever sasporras como:

p = (a/b)q = (c/d)

Sendo a, b, c e d nmeros inteiros.

Prosseguindo, p + q = (a/b) + (c/d)p + q = [ ( ad + bc ) / bd ]

Sabendo que o produto e a soma de dois nmeros sempre resulta em um nmero inteirox,y| x = ( ad + bc ) e y = bdDa p +q = (x/y), sendo x e y inteiros, o que caracteriza um nmero racional, wow mitei.

a)Hiptese: 2 racional.

Daora, temos que existe a e b pertencente aos reais, e coprimos que satisfazem 2 = (a/b)

Logo, (2)3 = (a/b)32b3 = a3

Da, tiramos que a3 par. O que implica que a tambm seja par.

Suave! Se a par

k1| a = 2k1Lembrando e substituindo na parte em vermelho

2b3 = (2k1)3b3 = 2*2(k1)3Da tb chegamos que b par...e, sendo assim, no so coprimos, o que um absurdo.

b)Suponhamos que a no divide bc e a divide b.

Ento existe k inteiro, tal que ak = b. Mas se ak = b, podemos escrever: bc/a como akc/a = kC, que inteiro, o que absurdo uma vez que a condio diz que a no divide bc.Ficou bem lixo...mas por a.