OPO PR-VESTIBULAR MATEMTICA BSICA LISTA DE EXERCCIOS 02/2015 PROF. JONAS

COOFEPA PAULO AFONSO/BA (75) 3282.5045

Lista 02 Razo, Proporo, Regra de trs

01.) Determine a razo entre os nmeros:

) 40 5

) 5 40

) 8 2,5

) 1,25 6,25

) 31

4 6,5

Temos:

) = 40

5=

) = 5

40=

1

8= ,

) = 8

2,5=

16

5= ,

) = 1,25

6,25=

125

625=

1

5= ,

) 31

4=

13

4 6,5 =

65

10=

13

2 =

13

413

2

= 13

4

2

13

= 2

4=

1

2= ,

02.) A razo entre dois nmeros, a e b, 0,25. Ento, a razo entre b e a, ou seja, a razo inversa, igual a

a) 4 b) 6 c) 8 d) 25 e) 400

Temos:

= 0,25 =

25

100

=

1

4

,

=

=

03.) A escala em projeto de construo de uma estrada 1

25.000

Dessa forma, se no desenho um trecho estiver representado por um segmento de 4 cm, o tamanho real desse trecho de

a) 1 km b) 2 km c) 4 km d) 10 km e) 100 m

Temos: =

Onde: TP o comprimento no papel e TR o comprimento real, ambos na mesma unidade de medida.

Logo: 1

25000=

4

= 100.000 () =

04.) (ENEM-2011) Cerca de 20 milhes de brasileiros vivem na regio coberta pela caatinga, em quase 800 mil km de rea. Quando no chove, o homem do serto e sua famlia precisam caminhar quilmetros em busca da gua dos audes. A irregularidade climtica um dos fa-tores que mais interferem na vida do sertanejo.

Disponvel em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010. Segundo este levantamento, a densidade demogrfica da regio coberta pela caatinga, em habitantes por km, de

a) 250. b) 25. c) 2,5. d) 0,25. e) 0,025.

Temos: = .

= 20.000.000 .

800.000 2 = /

05.) Calcule o valor de x nas seguintes propores:

) + 2

3=

2,5

Temos:

Pela propriedade fundamental das propores, O produto dos extre-mos igual ao produto dos meios, ou seja:

3 = ( + 2) . 2,5

3 = 2,5 + 5

0,5 = 5

=5

0,5 =

) 2

=

1

1,6666

Temos:

Antes, transformemos a dzima:

1,6666. . . = 1, 6 = 1 + 6

9 =

15

9=

5

3

Assim:

2

=

15

3

ou 2

=

3

5

Logo:

5. ( 2) = 3.

2

5 10 = 3

2 = 10 =

)

1 + 2+

1

3

12

3

4,2=

1 + 1

1+1

1+1

112

Temos:

Vejamos, antes, as simplificaes:

. ) 1 + 2+

1

3

12

3

= 1 + 7

35

3

= 1 + 7

5=

. ) 1 + 1

1+1

1+1

112

= 1 + 1

1+1

1+1

= 1 + 1

1+1

1+

=

= 1 + 1

1+1

= 1 + 1

= 1 +

=

Ou seja:

12

5

4,2=

7

4

Assim:

4,2. = 12

5

7

4 4,2 = 21

5

5 4,2 = 21 21 = 21

Logo, = 21

21 =

06.) (Fuvest) As telas dos aparelhos de televiso tm formatos distintos. Um aparelho de televiso com tela do tipo letterbox tem lados na proporo 4:3. As televises com telas wides-creen tm lados na proporo 16:9. As telas dos dois aparelhos de televi-so ao lado medem a mesma altura h. Assinale a alternativa que mostra a largura das duas telas, de tipo letter-box e widescreen, respectivamente, conforme as propores citadas.

a) 4

3

16

9 b)

3

4

9

16 c)

9

16

3

4

d) 16

9

4

3 e)

16

9

3

4

Temos: Sendo x a largura da 1 televiso e y a largura da 2, podemos escrever:

I.) Para a 1 televiso: 4

3=

3 = 4 =

II.) Para a 2 televiso: 16

9=

9 = 16 =

07.) Resolva os sistemas de equaes aplicando as propriedades das propores:

) {

=

5

8

+ = 260

Temos:

Pela propriedade 3 das propores (como vimos em sala), podemos escrever:

+

=

5+8

8

260

=

13

8 ()

Pela propriedade fundamental, ficaremos:

13 = 260 8 13 = 2080

= 2080

13

=

Como + = 260, teremos: = .

() Obs.: Poderamos ganhar tempo, dividindo os antecedentes da proporo por 13.

) {

5=

2=

41

+ + = 480

Temos:

Pela propriedade 2 das propores (como vimos em sala), podemos es-crever:

5=

2=

41=

+ +

5 + 2 + 41=

480

48= 10

3

Assim:

= 5 10 =

= 2 10 =

= 41 10 =

Obs.: Poderamos ter feito chamando a constante de proporcionalidade de k.

Veja:

5=

2=

41=

Assim: = 5, = 2 = 41

5 + 2 + 41 = 480

48 = 480

=480

48 = 10

Dessa forma:

= 5 . 10 = 50, = 2 .10 = 20 = 41 . 10 = 410

) {

11=

4=

2=

6

+ 2 + 3 = 60

Temos:

Pela observao da questo anterior, devemos ter:

11=

4=

2=

6=

Ou seja:

= 11, = 4, = 2 = 6

Substituindo na segunda equao, ficaremos:

11 + 2 . 4 + 2 3 . 6 = 60

11 + 8 + 2 18 = 60

3 = 60

=60

3 = 20

Logo:

= 11 . 20 =

= 4 . 20 =

= 2 . 20 =

= 6 . 20 =

08.) (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucesses de n-meros diretamente proporcionais, ento:

a) x = 1 e y = 6

b) x = 2 e y = 12

c) x = 1 e y = 12

d) x = 4 e y = 2

e) x = 8 e y = 12

Temos:

2

8 =

3

=

4

Pela propriedade 1, ficaremos:

I.) 2 . = 3 . 8 =24

2=

. ) 8 . = 2 . 4 = 8

8=

09.) (UCSAL-00) Ao conferir suas respostas, s 100 questes de um teste, dois alunos, curiosamente, observaram que os nmeros de ques-tes que haviam acertado eram inversamente proporcionais s suas res-pectivas idades: 18 e 20 anos. Se, juntos, eles acertaram um total de 133 questes, ento o nmero de questes que o mais velho errou foi: a) 30 b) 32 c) 34 d) 35 e) 37 Temos: Total de acertos do mais jovem = x Total de acertos do mais velho = y Pelo enunciado, ficaremos:

{

1

18

=1

20

+ = 133

Como vimos em sala, vamos eliminar as fraes na proporo: Sendo m.m.c. (18;20) = 180, dividindo esse resultado por 18 e por 20, e multiplicando pelos numeradores respectivos, a proporo ficar:

20=

18

Ou, ainda:

20=

18=

+

20+18=

133

38 = 3,5

Logo:

= 20 . 3,5 = 70 = 18 . 3,5 = 63 Assim, o mais velho acertou 63 questes e errou 37 (pelo enunciado, a prova tem 100 questes).

4

10.) (UFBA) Os nmeros positivos x, y e z so inversamente proporci-onais a 10, 1 e 5. Sabendo-se que y - z2 - 2x = 0, determine x + y + z. Temos: Pelo enunciado, ficaremos:

{

1

10

=1

1

= 1

5

y z2 2x = 0

Eliminando as fraes na proporo, como na questo anterior, a pro-poro ficar:

1=

10=

2

Como em questes anteriores, sendo k a constante de proporcionali-dade, obteremos:

= , = 10 = 2 Substituindo na segunda equao, ficar:

10 (2)2 2. = 0 O que nos d:

42 8 = 0

4. ( 2) = 0 E, assim:

4 = 0 2 = 0

Dessa forma, teremos: = 0 = 2 Como os valores so positivos, devemos ter k = 2, e os resultados pro-curados so:

= , = 10 . 2 = e = 2 . 2 =

11.) (Enem 2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Ata-cama, no Chile, ficara o maior telescpio da superfcie terrestre, o Te-lescpio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT ter um espelho primrio de 42 m de dimetro, o maior olho do mundo voltado para o cu.

Disponvel em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposi-o de que o dimetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razo entre o dimetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o dimetro do espelho primrio do telescpio citado? a) 1 : 20 b) 1 : 100

c) 1 : 200 d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000 Temos: Devemos transformar as duas medidas para mesma unidade. d = Dimetro de olho humano = 2,1cm D = Dimetro do espelho = 42 m = 4200 cm

Logo:

=

2,1

4200 =

21

42000=

1

2000=

12.) (Enem 2 aplicao 2010)

Fontes alternativas

H um novo impulso para produzir combustvel a partir de gordura ani-mal. Em abril, a High Plains Bioenergy inaugurou uma biorrefinaria prxima a uma fbrica de processamento de carne suna em Guymon, Oklahoma. A refinaria converte a gordura do porco, juntamente com o leo vegetal, em biodiesel. A expectativa da fbrica transformar 14 milhes de quilogramas de banha em 112 milhes de litros de biodiesel.

Revista Scientific American. Brasil, ago. 2009 (adaptado).

Considere que haja uma proporo direta entre a massa de banha trans-formada e o volume de biodiesel produzido. Para produzir 48 milhes de litros de biodiesel, a massa de banha ne-cessria, em quilogramas, ser de, aproximadamente, a) 6 milhes. b) 33 milhes. c) 78 milhes. d) 146 milhes. e) 384 milhes.

Temos: Seja x o valor procurado.

Pelo enunciado, h a proporo:

14

112=

48

Aplicando a propriedade 1, ficar:

112. = 14 . 48

=672

112 =

5

13.) (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte :

a) 35 b) 49 c) 56 d) 42 e) 28

Temos: Sendo x, y e z as partes procuradas, podemos escrever:

{

2=

3=

5

+ + = 70

Pela propriedade 2 das propores, ficaremos:

2=

3=

5=

+ +

2 + 3 + 5=

70

10= 7

Assim:

= 2 . 7 = 14

= 3 . 7 = 21

= 5 . 7 = 35

A soma entre a menor e a maior partes , portanto, 14 + 35 = 49

Obs.: Voc poderia, simplesmente, dividir 70 por (2 + 3 + 5), e j obteria a cota 7, lembra?

O primeiro tem duas cotas (2 x 7 = 14)

O segundo tem trs cotas (3 x 7 = 21)

O terceiro tem cinco cotas (5 x 7 = 35)

14.) (FUVEST) So dados trs nmeros reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles a soma dos outros dois e o menor um quarto do maior. Ento a, b e c so, respectivamente, proporcionais a:

a) 1, 2 e 3

b) 1, 2 e 5

c) 1, 3 e 4

d) 1, 3 e 6

e) 1, 5 e 12

Temos:

Pelo enunciado, devemos escrever:

{ = +

=

4

Da 2 equao, podemos concluir:

1=

4 =

Com esse resultado jogado na 1, ficaremos:

= + 4 = + =

Logo, em ordem crescente, os nmeros so

(; 3; 4)

Ou seja, eles so proporcionais a 1, 3 e 4, sendo a, por minha escolha, a constante de proporcionalidade.

Obs.: Voc poderia supor trs nmeros quaisquer que atendam o enunciado e a resposta viria de imediato.

Por exemplo: a = 2, b = 6 e c = 8

Perceba que esses valores so proporcionais a 1, 3 e 4, pois:

2

1=

6

3=

8

4

15.) (UFLA) Trs pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balano anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporci-onais ao capital aplicado, cada scio receber, respectivamente:

a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00

b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00

c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00

d) R$ 10.000,00; R$10.000,00 e R$ 20.000,00

e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00

Temos:

Vamos resolver com a linguagem das cotas, como na questo 12.

As cotas so 20.000, 30.000 e 50.000, mas, com o mesmo efeito, vamos trabalhar com 2, 3 e 5, que so proporcionais aos nmeros originais.

O total de cotas 2 + 3 + 5 = 10, e o valor de cada cota 40.000/10 = 4.000,00 (reais).

O primeiro ter direito a 2 x R$ 4.000,00 = R$ 8.000,00

O segundo ter direito a 3 x R$ 4.000,00 = R$ 12.000,00

O terceiro ter direito a 5 x R$ 4.000,00 = R$ 20.000,00

6

16.) (UFC) Suponha que o gasto com a manuteno de um terreno, em forma de quadrado, seja diretamente proporcional medida do seu lado. Se uma pessoa trocar um terreno quadrado de 2.500 m2 de rea por outro, tambm quadrado, de 3.600 m2 de rea, o percentual de au-mento no gasto com a manuteno ser de:

A) 10 % B) 15 % C) 20 % D) 25 % E) 30 %

Temos:

Se a rea do 1 quadrado 2.500 m2, seu lado mede 2500 m = 50m.

Se a rea do 2 quadrado 3.600 m2, seu lado mede 3600 m = 60m.

Se os custos so diretamente proporcionais s medidas dos lados, po-demos formar uma proporo, estabelecendo o valor de R$ 100,00 para o custo com o 1 terreno, e calcular o custo para o 2 terreno.

Veja:

50

100=

60

= 120

Dessa forma, se o custo era 100 e passou para 120, teve um aumento de 20 em cima de 100, ou seja, teve um aumento de 20%.

Obs.: Vimos em sala o porqu de escolher o valor 100, lembra? De qualquer forma, bastava fazer 60/50 = 1,2 e, em seguida, fazer 0,2 x 100% = 20%. Lembra-se disso?

17.) (ENEM/2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erup-o do vulco Bulusan nas Filipinas. A sua localizao geogrfica no globo terrestre dada pelo GPS (sigla em ingls para Sistema de Posi-cionamento Global) com longitude de 124 3 0 a leste do Meridiano de Greenwich.

Dado: 1 equivale a 60 e 1 equivale a 60.

PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) A representao angular da localizao do vulco com relao a sua longitude na forma decimal :

A) 124,02 B) 124,05 C) 124,20 D) 124,30 E) 124,50

Temos: O que se quer que faamos a escrita apenas em graus, com os deci-mais cabveis. Transformaremos minutos e segundos em decimais do grau. Perceba que no h segundos a serem transformados. Trata-se de uma regra de trs simples e direta:

Ou seja: 60. = 3 = 3

60

Logo, x = 0,05o. Assim: 124 3 0 = 124,05o

18.) (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto? a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm

Temos:

A sombra do poste mede 2,00 m = 200 cm. Nesse momento, com os dados referentes pessoa, acharemos a altura x, do poste, pela propor-cionalidade das medidas:

1,8

60=

200 = 6,00

Em outro momento, a sombra do poste passou a ser de 150 cm. Agora, qual ser a medida, y, da sombra da pessoa?

Podemos fazer:

1,8

=

6

150 =

Obs.: Trata-se de um problema de semelhana de tringulos.

19.) Repartir uma herana de 460.000 reais entre trs pessoas na razo direta do nmero de filhos e na razo inversa das idades de cada uma delas. As trs pessoas tm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades respectivas so 24, 32 e 45 anos.

A pessoa mais jovem receber

a) 120.000 reais

b) 140.000 reais

c) 145.000 reais

d) 160.000 reais

e) 172.000 reais

Temos: Como vimos em sala, trata-se da diviso simultnea:

7

Sendo x, y e z as partes procuradas, podemos escrever:

{

2 1

24

=

4 1

32

=

5 1

45

+ + = 460.000

Na proporo, teremos:

1

12

= 1

8

=

1

9

Eliminando os denominadores, com m.m.c. (12, 8, 9) = 72, ficar:

6=

9=

8

Pela propriedade 2 das propores, ficaremos:

6=

9=

8=

+ +

6 + 9 + 8=

460.000

23= 20.000

Assim:

= 6 . 20000 = .

= 9 . 20000 = 180.000

= 8 . 20000 = 160.000

20.) (Enem 2010) A relao da resistncia eltrica com as dimenses do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vrios experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporciona-lidade entre:

resistncia (R) e comprimento (), dada a mesma seco transversal (A); resistncia (R) e rea da seco transversal (A), dado o mesmo com-

primento () e

comprimento () e rea da seco transversal (A), dada a mesma re-sistncia (R). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistncia eltrica utilizando as figuras seguintes.

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resis-

tncia (R) e comprimento (), resistncia (R) e rea da seco transver-

sal (A), e entre comprimento () e rea da seco transversal (A) so, respectivamente, a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. d) inversa, direta e direta. e) inversa, direta e inversa. Temos:

Aumentando l, com A constante, o valor de R aumenta, proporcional-mente, ou seja, proporcionalidade direta.

Aumentando A, com l constante, o valor de R diminui, proporcional-mente, ou seja, proporcionalidade inversa.

Aumentando l, com R constante, o valor de A aumenta, proporcional-mente, ou seja, proporcionalidade direta.

21.) (Enem 2009) A suspeita de que haveria uma relao causal entre tabagismo e cncer de pulmo foi levantada pela primeira vez a partir de observaes clnicas. Para testar essa possvel associao, foram conduzidos inmeros estudos epidemiolgicos. Dentre esses, houve o estudo do nmero de casos de cncer em relao ao nmero de cigarros consumidos por dia, cujos resultados so mostrados no grfico a seguir.

Obs.: Essa ideia utilizada para justificar uma das leis de Ohm, que sero vistas por vocs, em Fsica, com o professor Fabrcio. L, tere-mos a frmula:

=

8

De acordo com as informaes do grfico, a) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pul-mo so grandezas inversamente proporcionais. b) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pul-mo so grandezas que no se relacionam. c) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pul-mo so grandezas diretamente proporcionais. d) uma pessoa no fumante certamente nunca ser diagnosticada com cncer de pulmo. e) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pul-mo so grandezas que esto relacionadas, mas sem proporcionalidade. Temos: Observe a no existncia de proporcionalidade direta ou inversa, com o seguinte exemplo: Dobrando-se o consumo deveramos dobrar o nmero de casos de cn-cer, para uma proporo direta, ou reduzir metade o nmero de casos, para uma proporo inversa. Isso, como mostra o grfico, no acontece: para o consumo, por exemplo, de 5 cigarros por dia, h aproximada-mente 21 casos de cncer; para o consumo de 10 cigarros, o nmero de casos de cncer permaneceu, praticamente, o mesmo. Perceba, tambm, que quem no fuma no est, necessariamente, livre da doena. H no grfico um indicativo de, aproximadamente, 4 casos de cncer para no fumantes. O grfico mostra nmeros de casos de cncer para quantidades fixadas de cigarros fumados por dia, indicando que h 21 casos, aproximada-mente, para cada quantidade inteira consumida de cigarros, variando de 1 a 14 cigarros, e que h 55 casos, aproximadamente, para cada quantidade inteira consumida de cigarros, variando de 15 a 24 cigarros. Ou seja, o grfico d um indicativo claro da influncia do cigarro nos casos de cncer pulmonar. 22.) (Enem 2011) Nos ltimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etria, houve 28 mil internaes pelo mesmo motivo.

poca. 26 abr. 2010 (adaptado). Suponha que, nos prximos cinco anos, haja um acrscimo de 8 mil internaes de mulheres e que o acrscimo de internaes de homens por AVC ocorra na mesma proporo. De acordo com as informaes dadas, o nmero de homens que seriam internados por AVC, nos prximos cinco anos, corresponderia a a) 4 mil. b) 9 mil. c) 21 mil. d) 35 mil. e) 39 mil. Temos: Seja x o acrscimo no nmero de internaes de homens, em milhares de unidades. De acordo com o enunciado, podemos escrever:

8

32=

28 = 7

Logo, o total de casos da doena para os homens, em milhares, passar a ser de 28 + 7 = 35

23.) (ENEM-2011) A resistncia das vigas de dado comprimento di-retamente proporcional largura (b) e ao quadrado da altura (d), con-forme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construo. Considerando-se S como resistncia, a representao algbrica que ex-prime essa relao

) = . .

) = . 2

) = . . 2

) =.

2

) =. 2

Temos: Se S diretamente proporcional a b e, ao mesmo tempo, diretamente proporcional a d2, podemos escrever:

11 1

2 = 2

2 22 =

33 3

2 = =

Vimos diviso simultnea em sala, lembram? Dessa forma, podemos escrever:

2= = . .

24.) (UCSAL) Um certo metal obtido fundindo-se 15 partes de cobre com 6 partes de zinco. Para obter-se 136,5 kg desse metal, so neces-srios: a) 91,8 kg de cobre. b) 41,5 kg de zinco. c) 92 kg de cobre. d) 45 kg de zinco. e) 97,5 kg de cobre.

Temos: Sendo x e y as quantidades, em quilogramas, de cobre e zinco, respec-tivamente, podemos escrever:

9

{

=

15

6

+ = 136,5

=

15

6

+

=

15 + 6

6

136,5

=

21

6

21 = 6 . 136,5 = 819

21 =

E, desse modo: x = 136,5 39 = , 25.) (FAFI-BH) Se 120 operrios constroem 600 m de estrada em 30 dias de trabalho, o nmero de operrios necessrios para construir 300 m de estrada em 300 dias : a) 6 b) 24 c) 240 d) 600 e) 2400 Temos: Regra de trs composta:

Operrios Comprimento (m) Dias

120 600 30

x 300 300

(dir.) (inv.)

120

=

600

300

300

30

120

=

20

1

= 120

20 =

26.) (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoo deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmi-tas j adquiridas seria suficiente para um nmero de dias igual a: a) 10 b)12 c)15 d)18 e) 20

Temos: Regra de trs simples:

Empregados Dias

750 25

1250 x

(inv.)

25

=

1250

750

25

=

5

3

= 75

5 =

27.) Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operrios, que trabalham 7 horas por dia. Em quantos dias se poder terminar esse trabalho, sabendo que foram licenciados 4 operrios e que os restantes trabalham, agora, 6 horas por dia? a) 12 b) 14 c) 18 d) 21 e) 28 Temos: Regra de trs composta:

Trab. Dias Oper. Horas/dia 2/5 10 24 7

3/5 x 20 6

(dir.) (inv.) (inv.)

10

=

2/5

3/5

20

24

6

7

10

=

10

21

= 28.) Em 12 dias, um homem percorre 180 km caminhando 4 horas por dia com velocidade v. Qual ser a distncia que ele percorrer em 10 dias, caminhando 6 horas por dia, reduzindo a velocidade em 1/3? a) 120 km b) 150 km c) 180 km d) 200 km e) 220 km Temos: Regra de trs composta:

Dias Distncia (km) Horas/dia Veloc.

12 180 4 v

10 x 6 2v/3

(dir.) (dir.) (dir.)

180

=

12

10

4

6

2/3

180

=

6

5

= 900

6 =

Obs.: A razo entre as velocidades foi simplifica como abaixo.

10

29.) (UFPE/COVEST) Suponha que x2 macacos comem x3 bananas em x minutos. Em quanto tempo espera-se que 5 desses macacos comam 90 bananas? a) 11 b) 18 c) 16 d) 13 e) 15

Temos: Regra de trs composta: Sendo t o tempo procurado, escrevemos:

Macacos Bananas Tempo (min.) x2 x3 x

5 90 t

(inv.) (dir.)

=

3

90

5

2

=

18

= 18

30.) (UPE) Doze operrios, em 90 dias, trabalhando 8h/dia, fazem 36m de um certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operrios trabalhando 6h/dia leva-ro:

a) 90 b) 80 c) 12 d) 36 e) 64

Temos: Regra de trs composta:

90

=

15

12

6

8

36

12

2

90

=

45

32

=

Obs.: A razo entre as larguras foi simplifica como abaixo.

31.) (COVEST) Se treze datilgrafos, de mesma capacidade, digitam treze mil e treze smbolos em treze minutos, quantos smbolos so di-gitados por cada um deles em um minuto?

a) 71 b) 65 c) 59 d) 55 e) 77

Temos: Regra de trs composta:

Datilgrafos Smbolos Tempo (min.) 13 13.013 13

1 x 1

(dir.) (dir.)

13013

=

13

1

13

1

13013

=

169

1

= 13013

169 =

32.) (UPE) Uma caravana de 7 pessoas deve atravessar um deserto em 42 dias. Seu suprimento de gua permite que cada pessoa disponha 3,5 litros por dia. Aps 12 dias, a caravana encontra trs pessoas, vtimas de uma tempestade de areia, e as acolhe. Quantos litros de gua por dia podero ser consumidos por cada pessoa, se a caravana prosseguir sua rota como havia planejado?

a) 3,25 L

b) 2,75 L

c) 2,45 L

d) 3,15 L

e) 2,15 L

Temos: Se cada uma das 7 pessoas consome 3,5 L de gua em 1 dia, significa que para os 42 dias h disponveis 7 x 3,5 L x 42 = 1029 L de gua.

Durante 12 dias, ento, j foram utilizados 7 x 3,5 L x 12 = 294 L de gua.

Ficaram disponveis 735 L de gua (1029 L 294 L = 735 L), que, agora, atendero 10 pessoas, durante os 30 dias restantes.

Ento, o consumo dirio do grupo deve ser 735 L / 30 = 24,5 L

Logo, dividindo esse consumo dirio do grupo pelo total de pessoas, teremos o consumo dirio individual.

Assim, 24,5 L / 10 = 2,45 L

33.) (COVEST) Trabalhando juntos, dois amigos, com mesma capaci-

dade de trabalho, executariam certa tarefa em 7 horas. Depois de 2 ho-

ras trabalhando, um terceiro amigo, de mesma capacidade de trabalho

Operrios Dias H/d Comprimento Largura 12 90 8 36 L

15 x 6 12 2L

(inv.) (inv.) (dir.) (dir.)

11

que os anteriores, se junta aos dois na execuo da tarefa. Em quanto

tempo, contado a partir do momento da chegada do terceiro amigo, a

tarefa ser concluda?

A) 3 horas.

B) 3 horas e 10 minutos.

C) 3 horas e 20 minutos.

D) 3 horas e meia.

E) 3 horas e 40 minutos.

Temos:

Chamemos de A, B e C os trs trabalhadores, respectivamente.

Se A e B, juntos, gastam 7 horas para execuo do trabalho, porque

cada um gastaria 14 horas para execut-lo sozinho, haja vista os dois

terem a mesma capacidade.

O trabalhador C tem a mesma capacidade, e, dessa forma, executaria o

trabalho, sozinho, em 14h.

Efetivamente, quanto tempo cada um trabalhou?

Vejamos:

Eles trabalharam uma quantidade de horas juntos que chamaremos de

x.

Mas, no se esquea de que A e B j haviam trabalhado 2 horas e, dessa

forma, temos a tabela abaixo:

Trabalhador Tempo de trabalho executado

A x + 2

B x + 2

C x

A frao de contribuio de cada um corresponde razo entre o tempo

efetivamente trabalhado e o tempo que seria gasto, individualmente.

Alm disso, a soma das contribuies fracionrias de cada trabalhador

tem que ser igual a 1 (uma obra, uma tarefa, ...).

Assim, podemos escrever:

+ 2

14+

+ 2

14 +

14= 1

+ 2 + + 2 + = 14

3 = 10 = 10

3

Ou seja:

= .

Obs.: Esse um caminho geral.

34.) (COVEST) Se 10 homens trabalhando 8 horas por dia constroem 6 muros em 12 dias, e 12 mulheres trabalhando 6 horas por dia cons-troem 9 muros em 20 dias, quantos muros sero construdos por 7 ho-mens e 9 mulheres, trabalhando juntos, 7 horas por dia, durante 10 dias? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Temos:

Vamos comparar a capacidade dos homens com a das mulheres, veri-

ficando quantos homens fazem o que 12 mulheres fazem.

Veja a regra de trs:

10

=

6

8

6

9

20

12 = 12

Ou seja, 12 homens fazem exatamente o que as 12 mulheres fazem, e, desse modo, homem e mulher se equivalem nessa atividade. Chamando os 7 homens e as 9 mulheres de pessoas, vejamos o que essas 16 pessoas podem fazer:

6

=

10

16

8

7

12

10 =

35.) Para se confeccionar determinada quantidade de brigadeiros esf-ricos, utilizada certa quantidade de massa de chocolate e 600g de cho-colate granulado para a cobertura. Usando a mesma quantidade de massa de chocolate para confeccionar brigadeiros esfricos com di-metro o dobro dos anteriores, qual a quantidade de chocolate granulado necessria para a cobertura? A) 280g B) 300g C) 320g D) 340g E) 360g Temos:

Seja o volume da massa de chocolate disponvel para a produo dos

brigadeiros esfricos.

12

Para um brigadeiro de raio R o volume, , :

= 4

3 3

O total de brigadeiros que podemos produzir : n =

Cada um desses brigadeiros tem superfcie com rea: = 42, ou

seja, a rea total a ser coberta = .

Dobrando o dimetro (que o mesmo que dobrar o raio), o novo briga-deiro, mantendo-se a densidade, ter as seguintes medidas:

= 4

3 (2)3 = 8

4

3 3 = 8

O total de brigadeiros que, agora, podemos produzir :

n =

=

8=

n

8

Cada um desses brigadeiros tem superfcie com rea: =

4(2)2 = 4 42 = 4 , ou seja, a rea total a ser coberta ;

= n. =

n

8 4 =

1

2 n

= 2

Finalmente, uma regra de trs simples e direta, relacionando as reas a serem cobertas:

Que nos d: =