LISTA 1 - 2008-1 - villapouca.com.br¡lculo-I... · Lista 2 C´alculo I -A- 2008-1 3 Universidade...
-
Upload
truongthien -
Category
Documents
-
view
221 -
download
1
Transcript of LISTA 1 - 2008-1 - villapouca.com.br¡lculo-I... · Lista 2 C´alculo I -A- 2008-1 3 Universidade...
Lista 1 Calculo I -A- 2008-1 1
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 1 - 2008-1Revisao: inequacoes, raiz e modulo
Funcao: domınio, imagem e paridadeGraficos que envolvem retas, conicas e modulo
Resolva as inequacoes dos exercıcios 1. a 12.
1. −3x + 1 < 2x + 5
2. x2 − 5x + 6 < 0
3. 2x2 − x− 10 > 0
4. 3x2 − 7x + 6 < 0
5. (x− 1)(1 + x)(2− 3x) < 0
6.2x− 11− x
< 0
7.x
2x− 3≤ 3
8. (2x− 1)2 < 16
9. x +1x
> 2
10.x2 − 7x + 10−x2 + 9x− 18
≤ 0
11.x + 12− x
<x
x + 3
12. x2 + x < x3 + 1
Nos exercıcios 13. a 20. resolva para x e represente a solucao na reta numerica.
13. |x− 2| = 4
14. |x + 3| = |2x + 1|
15. |2x + 3| = 2x + 3
16. |3 + 2x| ≤ 2
17. |2x + 5| > 3
18. |3− 4x| > x + 2
19.!!!!
1x− 2
!!!! ≤!!!!
52x− 1
!!!!
20.!!x2 − 5x
!! < |x|2 − |5x|
Nos exercıcios 21. a 24. a funcao real de variavel real e definida por sua expressao analıtica. Determineo seu domınio.
21. f(x) =1"
|x|− x
22. y =1
3√
x + 1
23. f(x) ="
1−√
1− x2
24. g(x) =x"
|x|− 1
25. f(x) =√
1− x2 +√
x2 − 1
Estude a variacao do sinal das funcoes dos exercıcios 26. a 29.
26. f(x) = (2x− 3)(x + 1)(x− 2)
27. f(x) =x(2x− 1)
x + 1
28. g(t) =2t− 3
|1− t|(1− 2t)
29. F (x) = 2− 1x− x
30. Sejam x, y e z os lados de um triangulo retangulo, onde x e a hipotenusa. Se o triangulo tem perımetroigual a 6, indique a area deste triangulo em funcao da hipotenusa.
Nos exercıcios 31. a 46. esboce o grafico da funcao, especificando o domınio, a imagem e, quando possıvel,a paridade (par ou ımpar).
31. f(x) = (2− x)|3− x|
32. f(x) =3− x
|3− x|
33. f(x) = (x− 2)(x + 1)
34. g(x) =!!x2 − x− 2
!!
35. f(x) = |3− x| + |x− 1|
36. f(x) ="
x(x− 2)
37. f(x) =
#−√
3− 2x se x < 32√
2x− 3 se x ≥ 32
38. y = | |x|− 2 |
39. f(x) ="
|x2 − 16|
40. g(x) =$
4 +√
25− x2 se −5 ≤ x ≤ 54 se x < −5 ou x > 5
41. f(x) =√−x
42. f(x) = x%"
|x|&2
43. f(x) =
!!x2 − 4x + 3!!
x− 1
44. y =
!!x3 − 5x2 + 2x + 8!!
x− 2
45. 21. y =$
1− x2 , −1 < x < 1x2 − |x| , x ≤ −1 ou x ≥ 1
Lista 1 Calculo I -A- 2008-1 2
RESPOSTAS
1. x > − 45
2. 2 < x < 3
3. x < −2 ou x > 52
4. ∅5. −1 < x < 2
3ou x > 1
6. x < 12
ou x > 1
7. x < 32
ou x ≥ 95
8.(− 3
2, 5
2
)
9. (0, 1) ∪ (1,∞)
10. (−∞, 2] ∪ (3, 5] ∪ (6,∞)
11. (−∞,−3) ∪ (2,∞)
12. (−1, 1) ∪ (1,∞)
13. {6,−2}14.
{2,− 4
3
}
15.[− 3
2,∞
)
16.[− 5
2,− 1
2
]
17. (−∞,−4) ∪ (−1,∞)
18.(−∞, 1
5
)∪
(53,∞
)
19.(−∞, 1
2
)∪
(12, 11
7
]∪ [3,∞)
20. ∅21. x < 0
22. x &= −1
23. −1 ≤ x ≤ 1
24. x < −1 ou x > 1
25. x = −1 ou x = 1
26. f(x)
< 0 se x < −1 ou 32
< x < 2= 0 se x = −1 ou x = 3
2ou x = 2
> 0 se −1 < x < 32
ou x > 2
27. f(x)
< 0 se x < −1 ou 0 < x < 12
= 0 se x = 0 ou x = 12
> 0 se −1 < x < 0 ou x > 12
28. g(t)
< 0 se t < 12
ou t > 32
= 0 se t = 32
> 0 se 12
< t < 1 ou 1 < t < 32
29. F (x)
< 0 se 0 < x < 1 ou x > 1= 0 se x = 1> 0 se x < 0
30. Seja S = S(x) a area do triangulo. Como y e z sao os catetos, S = 12
yz, que denotamos por (eq. 1).
Foi dado o perımetro P = x + y + z = 6, logo y + z = 6 − x. Elevando ambos os lados dessa ultima equacao aoquadrado, obtemos a equacao y2 + 2yz + z2 = 36− 12x + x2 , que denotamos por (eq. 2).
Como x e a hipotenusa, sabemos que x2 = y2 + z2 , que denotamos por (eq. 3).
Na (eq. 2), substituindo-se o valor de x2 dado pela (eq. 3), obtemos y2 + 2yz + z2 = 36− 12x + y2 + z2.
Simplificando essa equacao, 2yz = 36− 12x, explicitando o produto yz =12(3− x)
2= 6(3− x).
Agora, substituindo-se o produto yz na (eq. 1), obtemos S = 12· 6(3− x), logo S(x) = 3(3− x).
31. 32. 33. 34. 35.y
x0
2
4
6
2 4 6
dom = R;im = R
x
y
–2–1
12
1 2 3 4
dom = R− {3};im = {−1, 1}
y
x
–2
0
2
–2 –1 1 2
dom = R;im =
[− 9
4,∞
)
y
x
–2
2
4
–2 –1 1 2 3
dom = R;im = [0,∞)
y
x0
2
4
–1 1 2 3 4
dom = R;im = [2,∞)
36. 37. 38. 39. 40.
y
x
2
4
–2 2 4dom = (−∞, 0] ∪ [2,∞);im = [0,∞)
y
x
–2
0
2
–2 2 4
dom = R;im = R
y
x0
2
4
–4 –2 2 4dom = R;im = [0,∞)e par
x
y
2468
–6 –4 –2 2 4 6dom = R;im = [0,∞)e par
y
x0246810
–8 –6 –4 2 4 6 8
dom = R;im = [4, 9]e par
41. 42. 43. 44. 45.
y
x
2
–3 –2 –1dom = (−∞, 0];im = [0,∞)
y
x–4 –2 2 4
dom = R;im = Re ımpar
x
y
–4
–2
0
2
dom = R− {1};im = (−∞,−2) ∪ [0,∞)
x
y
–6
–4
–2
2
4
6
–2 2 4 6 8
dom = R− {2};im = R
x
y
2
4
–2 2dom = R;im = [0,∞)e par
Lista 2 Calculo I -A- 2008-1 3
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 2 - 2008-1Operacoes com funcoes
Funcao compostaTransformacoes em graficos
1. Se f(x) = 3x2 + 2 e g(x) =1
3x + 2, determine:
(a) (f + g)(x)
(b) (f(x))−1
(c) (f · g)(x)
(d)!
f
g
"(x)
(e)!
g
f
"(x)
(f) (f ◦ g)(x)
2. Seja f(x) =3− x
x. Determine:
(a) f#x2
$− (f(x))2 (b) f
!1x
"− 1
f(x)(c) (f ◦ f)(x)
3. Dadas f(x) =%−x , x < 0x2 , x ≥ 0
e g(x) =
& 1x
, x < 0√
x , x ≥ 0, determine:
(a) (f ◦ g)(x)(b) (g ◦ f)(x)
Nos exercıcios 4. a 11., a partir do grafico da funcao y = f(x) dado abaixo, esboce o grafico dafuncao dada.
4. y = f (|x|)
5. y = |f(x)|
6. y = f(−x)
7. y = −f(x)
8. y = f(x + 2)
9. y = f(x) + 3
10. y =f(x) + |f(x)|
2
11. y =f(x)− |f(x)|
2
x
y = f(x)
–4
–20
2
4
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
Esboce os graficos das funcoes dos exercıcios 12. a 17.
12. f(x) = 8− 3'
x2 − 1
13. f(x) ='
2|x|− 6
14. f(x) = |x− 1|3
15. f(x) = 1 + 3√
1− x
16. f(x) = (|x|− 1)3
17. f(x) =((x2 − 4|x| + 3
((
Nos exercıcios 18. a 21. determine o domınio, a imagem e esboce o grafico da funcao dada.
18. f(x) = 3 sen (2πx)
19. f(x) = tan)x
2
*
20. f(x) =(((( sen
)x
2
*− 1
2
(((( , 0 ≤ x ≤ 4π
21. f(x) =12
sec)x− π
3
*
Lista 2 Calculo I -A- 2008-1 4
RESPOSTAS
1. (a) y =9x3 + 6x2 + 6x + 5
3x + 2, x &= −3
2
(b) y =1
3x2 + 2
(c) y =3x2 + 23x + 2
, x &= −23
(d) y = 9x3 + 6x2 + 6x + 4, x &= −23
(e) y =1
9x3 + 6x2 + 6x + 4, x &= −2
3
(f) y =18x2 + 24x + 119x2 + 12x + 4
, x &= −23
2. (a) y =6x− 2x2 − 6
x2(b) y =
9x− 3x2 − 33− x
(c) y =4x− 33− x
3. (a) (f ◦ g)(x) =
&− 1
x, x < 0
x , x ≥ 0(b) (g ◦ f)(x) =
% √−x , x < 0x , x ≥ 0
4.y
x
–4–2
24
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
5.y
x
–4–2
24
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
6.y
x
–4–2
24
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
7.y
x
–4–2
24
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
8.y
x
–4–2
24
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
9.y
x–20
246
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
10.y
x
–4–2
24
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
11.y
x
–4–2
24
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
12.y
x–2
2468
10 20
13.y
x0
2
4
6
8
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
14.
x
y
1
2
–2 2 4
15.y
x
–2
0
2
–4 –2 2 4 6
16.
x
y
–1
1
2
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
17.y
x
2
4
–6 –4 –2 2 4 6
18.y
x
–2
0
2
–6 –4 –2 2 4 6
19.y
x
–10
10
–10 10
20.
x0123
5 10
21.y
x
–10
–5
5
10
–15 –10 –5 5 10 15
Lista 3 Calculo I -A- 2008-1 5
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 3 - 2008-1Limite e limites laterais
Continuidade
1. Os graficos de g e h sao dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.
f(x) = g(x) · h(x)ef(x) = (h ◦ g)(x)
ambas no ponto x = 1
g
y
x
–10
12345
–3 –2 –1 1 2 3 4
hy
x
–2
2
4
–3 –2 –1 1 2 3 4
2. Dadas as funcoes f(x) ={
x2 + 3 se x ≤ 1x + 1 se x > 1 e g(x) =
{x2 se x ≤ 12 se x > 1 ,
(i) Esboce o grafico de f e g;
(ii) Calcule limx→1
f(x) e limx→1
g(x);
(iii) De a expressao da funcao F (x) = f(x) · g(x)
e verifique se existe limx→1
F (x).
3. De um exemplo no qual limx→0
|f(x)| existe, mas limx→0
f(x) nao existe.
4. Se f(x) > 0 para todo x #= 2 e f(2) = −3, verifique se as afirmativas abaixo sao verdadeiras ou falsas.Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.(a) lim
x→2f(x) nao existe (b) lim
x→2f(x) = −3 (c) Se existir, lim
x→2f(x) e positivo
5. Sabe-se que limx→2
f(x) = 5 e f e definida em R. Todas as afirmativas abaixo sao falsas. Tente desenhar umcontra-exemplo para cada uma delas.(a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f(2) = 5 (c) f(2) e positivo
Nos exercıcios 6. a 11. calcule o limite, caso exista. Caso nao exista, justifique.
6. limx→ 1
2
2x2 + 5x− 32x2 − 5x + 2
7. limx→1
3(1− x2
)− 2
(1− x3
)
(1− x3) (1− x2)
8. limx→0
√1− 2x− x2 − (x + 1)
x
9. limx→0
√x + 2 +
√x + 6−
√6−
√2
x
10. limx→0
1− 3√
1− x
1 + 3√
3x− 1
11. limx→1
x2 − 5x + 4|x− 1|
Nos exercıcios 12. a 14. verifique se a funcao dada e contınua nos pontos indicados. Justifique a resposta.
12. f(x) =
√x− 1
x− 1, x #= 1
2 , x = 1em x = 1
13. f(x) =√
x2 + 1x6 + x2 + 2
em qualquer x ∈ R
14. f(x) =12(x− 1)
[|x|
], para −2 ≤ x ≤ 2,
onde[|x|
]= maior inteiro que nao supera x.
Pontos x = 0 e x = 1.
(Sugestao: esboce o grafico de f)
15. Para a funcao f definida por f(x) =
−√
2− x , x < 1ax + b , 1 ≤ x < 2∣∣x2 − 7x + 12
∣∣ , x ≥ 2
(a) Determine os valores de a e b para que f seja contınua em R (b) Esboce o grafico de f .
16. De um exemplo com duas funcoes f e g tais que f seja contınua em x = 0, g seja descontınua em x = 0 eno entanto f · g seja contınua em x = 0.
Lista 3 Calculo I -A- 2008-1 6
RESPOSTAS
1. limx→1−
g(x) · h(x) = 4 limx→1+
g(x) · h(x) = −6 limx→1−
(h ◦ g)(x) = −2 limx→1+
(h ◦ g)(x) = 0
2. i)
fy
x
–1
123456
–2 2 4
g
x
y
–1
0
1
2
3
4
–2 –1 1 2 3
ii) limx→1−
f(x) = 4 limx→1−
g(x) = 1
limx→1+
f(x) = 2 limx→1+
g(x) = 2
iii) F (x) ={ (
x2 + 3)x2 , x ≤ 1
2(x + 1) , x > 1limx→1
F (x) = 4
3. f(x) =x
|x|
4. (a) Falso (b) Falso (c) Falso. Contra-exemplo: f(x) ={
|x− 2| se x #= 2−3 se x = 2 lim
x→2f(x) = 0
6. −73
7.12
8. −2 9.√
6 +√
24√
310.
13
11. f(x)→ 3 se x→ 1− e f(x)→ −3 se x→ 1+, portanto o limite nao existe
12. Nao, pois limx→1
f(x) =12#= 2 = f(1)
13. Sim, e contınua em R.
O denominador nunca se anula pois x6 + x2 ≥ 0 ⇒ x6 + x2 + 2 ≥ 2 > 0. Analogamente, o radicandoy = x2 + 1 > 0. Logo o domınio de f e igual a R.
Assim basta verificar se as funcoes do numerador e denominador sao contınuas para todo x ∈ R, poissabemos que o quociente de funcoes contınuas e uma funcao contınua.
Verificando:
A funcao do denominador e contınua em R pois e uma funcao polinomial (qualquer funcao polinomial econtınua em R). A funcao do numerador e a composicao de duas funcoes: a funcao raiz e uma funcaopolinomial. Como a funcao raiz e contınua em [0,∞), em particular e contınua em (0,∞), isto e, nestecaso ∀x ∈ R, y = x2 + 1 > 0⇒ ∀x ∈ R, y ∈ (0,∞)⇒ √
y e contınua em (0,∞) . Como a a composta decontınuas e contınua, a funcao do numerador e contınua.
14.
–1
1
2
3
–3 –2 –1 1 2 3
e contınua em x = 1 e descontınua em x = 0
15. (a) a = 3 e b = −4
y
x
–2–10
123
–2 2 4
16. f(x) = |x| e g(x) =
{ x
|x| , x #= 0
0 , x = 0
Lista 4 Calculo I -A- 2008-1 7
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 4 - 2008-1Limite infinito e no infinito
Teoremas do confronto e anulamentoLimites trigonometricos
Nos exercıcios 1. a 4. os graficos de g e h sao dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.
1. f(x) =g(x)h(x)
, no ponto x = 2 h
gy
x
–20
2
4
–2 2 4 6 8
2. f(x) =g(x)h(x)
, no ponto x = 3
gy
x
–2
2
4
–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
hy
x
–100
0
100
200
300
–2 2 4 6 8
3. f(x) =g(x)h(x)
, no ponto x = 2 g
y
x
–1
123456
–2 2 4
hy
x
–300
–200
–100
0
100
200
300
–2 2 4 6 8
4.f(x) =
g(x)h(x)
e f(x) = (g ◦ h)(x)
ambas no ponto x = 4
h
g
y
x
–2
2
4
6
8
–2 2 4 6 8
Nos exercicıos 5. a 10. calcule o limite, caso exista. Caso nao exista, justifique.
5. limx→+∞
(xn − xn−1
)
6. limx→+∞
(x + 1)(x + 2) · · · (x + 10)(x2 + 1)5
7. limx→−∞
√x2 − 2x + 2
x + 1
8. limx→−∞
(x +
√x2 + 3x + 2
)
9. limx→−1
(3
x + 1− 5
x2 − 1
)
10. limx→5
(√25− x2
x− 5
)
11. Seja f definida por f(x) =
x3 + 2x2 + x
x3 + 5x2 + 7x + 3se x $= −3, x $= −1
0 se x = −3−1/2 se x = −1
(a) A funcao f esta definida em R? Justifique.
(b) De os pontos onde f e contınua. Justifique.
(c) De os pontos onde f e descontınua. Justifique.
(d) A funcao f e contınua em R? Justifique.
Nos exercıcios 12. a 15. determine as equacoes das assıntotas verticais e horizontais do grafico da funcaodada.
12. f(x) =3x
x− 113. f(x) =
2x√x2 + 4
14. f(x) =2x2 + 12x2 − 3x
15. f(x) =x√
x2 − 4
16. A funcao f e tal que para x $= 2, f satisfaz 1 + 4x− x2 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x + 9. Calcule limx→2
f(x).
Lista 4 Calculo I -A- 2008-1 8
17. Seja f uma funcao limitada. Use o teorema do anulamento (e o corolario do teorema do confronto) paraprovar que lim
x→0x2f(x) = 0.
18. Sabendo que para x > 1, f(x) satisfaz (x− 1)2 <(x2 − 1
)· f(x) < (x + 1)2, calcule lim
x→+∞f(x).
Nos exercıcios 19. a 27. calcule o limite, caso exista. Caso nao exista, justifique.
19. limx→0
senx3
x
20. limx→0
tan(πx)tan x
21. limx→0
sen 2(ax2
)
x4
22. limx→0
1− cos(ax)x2
23. limx→0
1− sec x
x2
24. limx→0
sen (x) sen (3x) sen (5x)tan(2x) tan(4x) tan(6x)
25. limx→0
√1 + tan x−
√1 + sen x
x3
26. limx→0
(x cos
1x
)
27. limx→−2
(x2 − 4
)sen
(1
x + 2
)
28. limx→+∞
x− cos x
x
29. limx→−∞
1 + x senx
x
30. limx→−∞
x2 senx
Nos exercıcios 31. a 33. verifique se a funcao dada tem extensao contınua a toda reta R.
31. f(x) =sen 24x
x32. f(x) =
−1 + sen x
x− π/2 33. f(x) =sen
(x2 − 4
)
x + 2
RESPOSTAS
1. limx→2−
f(x) = +∞; limx→2+
f(x) = −∞
2. limx→3−
f(x) = 0; limx→3+
f(x) = −∞
3. limx→2−
f(x) = 0; limx→2+
f(x) = 0
4. limx→4−
g(x)
h(x)= lim
x→4+
g(x)
h(x)= −∞
limx→4−
(g ◦ h)(x) = limx→4+
(g ◦ h)(x) = 5
5. !, pois quando x→ +∞ a funcao → +∞
6. 1 7. −1 8. −3
2
9. !, pois a funcao → −∞ se x→ −1−
(ou, a funcao → +∞ se x→ −1+)
10. !, pois a funcao→ −∞ se x→ 5−.
Obs.: % ∃x; x→ 5+, pois neste caso −5 ≤ x < 5.
11. (a) Sim, pois a unica restricao da expressao e o denominador nao nulo, os unicos pontos que anulam o denominadorsao x = −1 e x = −3 e nestes pontos a funcao foi definida por outras expressoes, a saber f(−1) = −1/2 e f(−3) = 0.
(b) Em R − {−3,−1} a funcao e contınua pois e o quociente de funcoes polinomiais e toda funcao polinomial e
contınua. Em x = −1 a funcao e contınua pois limx→−1
f(x) = −1
2= f(−1).
(c) A funcao e descontınua em x = −3 pois f(x)→ +∞ se x→ −3− (outra justificativa seria f(x)→ −∞ se x→−3+, basta nao ter um dos limites laterais).
(d) Nao, pois nao e contınua em x = −3.
12. V: x = 1; H: y = 3
13. V: nao tem; H: y = −2, y = 2
14. V: x = 0, x =3
2; H: y = 1
15. V: x = −2, x = 2; H: y = −1, y = 1
16. 5
17. (i) Para g(x) = x2 e a = 0, temos limx→a
g(x) = limx→0
x2 = 0
(ii) f e limitada, isto significa que ∃M ; |f(x)| ≤M .
Assim, as duas hipoteses (i) e (ii) do teorema do anula-mento se verificam. Logo vale a tese do teorema, a saberlimx→a
g(x)f(x) = 0⇒ limx→0
x2f(x) = 0.
18. 1
19. 0
20. π
21. a2
22.a2
2
23. −1
2
24.5
16
25.1
426. 0
27. 0
28. 1
29. !, oscila entre −1 e 1
30. !, oscila entre −∞ e +∞
31. Sim, g(x) =
sen 24x
x, x %= 0
0 , x = 0
32. Sim, g(x) =
−1 + sen x
x− π/2, x %= π/2
0 , x = π/2
33. Sim, g(x) =
sen(x2 − 4
)
x + 2, x %= −2
−4 , x = −2
Lista 5 Calculo I -A- 2008-1 9
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 5 - 2008-1Limite e continuidade: miscelanea
Teorema do valor intemediario
Nos exercıcios 1. a 15. calcule cada limite, quando possıvel. Caso conclua que o limite nao existe,justifique.
1. limx→−∞
(xn − xn−1
)
2. limx→−∞
x3√
1− x3
3. limx→+∞
√x +
√x√
x + 1
4. limx→1
3x3 − 2x2 − 3x + 2(2x− 2)2
5. limx→0
(1 + x)5 − (1 + 5x)x5 + x2
6. limx→ 1
2
2√
6x− 3√
4x
4x2 − 4x + 1
7. limx→1
x100 − 2x + 1x50 − 2x + 1
8. limx→−2
3√
x− 6 + 2x3 + 8
9. limx→0
sen (x) + sen (3x) + sen (5x)tan(2x) + tan(4x) + tan(6x)
10. limx→0
(x− sen (ax))(x + tan(bx))1− cos(cx)
, a, b, c #= 0
11. limx→0
1− cos3 x
x senx cos x
12. limx→1
sen (πx)1− x2
13. limx→π
sen (tanx)tanx
14. limx→π
2
sen (x)− 1x cos x
15. limx→0+
cos(
1√x
)sen
(√x + 1− 1√
x
)
16. limx→+∞
x− senx
x + senx
17. limx→−∞
x2 sen (x)− 1x3 + 1
18. Achar as constantes a e b de modo que limx→+∞
(ax + b− x3 + 1
x2 + 1
)= 0.
19. Calcule os limites laterais de f(x) =g(x)senx
em x = 0, se g(x) ={
cos(x) + 3 , x < 0x2 − 9 , x ≥ 0
Nos exercıcios 20. e 21. verifique se a funcao e contınua no ponto indicado. Justifique a resposta.
20. f(x) =
x3 cos
(1x
)se x #= 0
1 se x = 0em x = 0
21. f(t) =
1−√
t
1− 3√
tse t #= 1
3/2 se t = 1em t = 1
22. Verifique se existe a ∈ R tal que f(x) ={
1 + ax , x ≤ 0x4 + 2a , x > 0
seja contınua em R.
23. Seja f : R −→ R, tal que x2 cos2 x ≤ f(x) ≤ x senx, ∀x ∈(−π
2,π
2
). Verifique se f e contınua
em x = 0.
Lista 5 Calculo I -A- 2008-1 10
Para cada funcao dos exercıcios 24. a 26. determine um intervalo de amplitude 1, no qual estalocalizado pelo menos um zero dessa funcao.
24. f(x) = x3 + x− 1 25. f(x) = x3 + 3x− 5 26. f(x) = 1 + x cosπx
2
27. Mostre que os graficos de y = 1 e y = x2 tanx tem intersecao em pelo menos um ponto dointervalo
(−π
2,π
2
).
28. De um exemplo de uma funcao tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a funcao temsinais contrarios, f nao e contınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermediarioe verdadeira.
29. De um exemplo de uma funcao tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a funcao temsinais contrarios, f nao e contınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermediarioe falsa.
30. Se uma funcao f muda de sinal quando x varia de um ponto x = x1 para o ponto x = x2, existiraobrigatoriamente um ponto entre x1 e x2 onde a funcao f se anula? Justifique sua resposta.
RESPOSTAS
1. Se n for par, ! pois a funcao → +∞e se n for ımpar, ! pois a funcao → −∞
2. −1 3. 1
4. ! pois se x → 1− a funcao → −∞(ou se x → 1+ a funcao → +∞)
5. 10
6. ! pois se x → 12
−a funcao → −∞
(ou se x → 12
+
a funcao → −∞)
7.4924
8.1
144
9.34
10.2(1− a)(1 + b)
c2
11.32
12.π
213. 1
14. 0
15. 0
16. 1
17. 0
18. a = 1, b = 0
19. limx→0−
f(x) = −∞ limx→0+
f(x) = −∞
20. Nao, pois limx→0
f(x) = 0 #= 1 = f(0)
21. Sim, pois limt→1
f(t) =32
= f(1)
22.12
23. Sim
24. f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1),
f e contınua em [0, 1].
Pelo Teorema do Valor Intermediario (TVI), existeum c; 0 < c < 1; f(c) = 0, isto e, existe um zeroda funcao no intervalo [0, 1].
25. Idem ao ex. 24. para o intervalo [1, 2]
26. Idem ao ex. 24. para o intervalo[12 , 3
2
]
27. Aplicando o TVI em f(x) = −1 + x2 tan x no in-tervalo [0,π/3], mostra-se que f tem um zero nointervalo [0,π/3].
Isto e, ∃c; c ∈ [0,π/3]; f(c) = 0.
Como [0,π/3] ⊂ (−π/2,π/2), temos que
∃c; c ∈ (−π/2,π/2); −1 + c2 tan c = f(c) = 0.
Isto e, ∃c; c ∈ (−π/2,π/2); c2 tan c = 1.
28. f(x) =(x + 1)2
1− xem [−2, 2];
29. f(x) =1x
em [−1, 1]
30. Nao. Ver exemplo 29.
Lista 6 Calculo I -A- 2008-1 11
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 6 - 2008-1Derivada por definicao
Regras basicas de derivacaoDiferenciabilidade × continuidade
Nos exercıcios 1. a 3. use a definicao de derivada de uma funcao para calcular f ! (x0) e determinea equacao da reta tangente ao grafico da funcao no ponto (x0, f (x0)).
1. f(x) =√
x2 + 4, x0 =√
5 2. f(x) =x + 4x + 2
, x0 = 0 3. fx) =1x
, x0 =12
4. Quantas retas tangentes ao grafico de y = x3 + 3x sao paralelas a reta y = 6x + 1? Determineas equacoes dessas tangentes.
5. Seja f(x) =
3− x
2, x < 1
1√x
, x ≥ 1f e diferenciavel em x = 1? f e contınua em x = 1?
6. Seja f(x) =
−x
2, x < 1
1√x
, x ≥ 1f e diferenciavel em x = 1? f e contınua em x = 1?
7. Determine a e b de modo que f(x) ={
x2 se x < 1ax + b se x ≥ 1
seja diferenciavel.
8. Seja f tal que |f(x)| ≤ x2, ∀x ∈ R. Mostre que f e diferenciavel em x = 0.
Derive cada funcao dos exercıcios 9. a 17. (se possıvel, simplifique a funcao e/ou a derivada dafuncao)
9. f(x) = 2(x2 + 2x + 1
)tanx
10. f(x) = cos2 x
11. f(x) =√
x senx + x1/3
12. f(x) = 2x cos x tanx
13. f(x) =x sec x
x2 + 2x + 3
14. f(x) =
(x2 − 2x + 2
)2
x4 + x2 + 1
15. f(x) =1
(x2 + 2)2
16. f(x) ={
x3 sen (1/x) , x (= 00 , x = 0
17. f(x) = |2x− 8|, x (= 4
Nos exercıcios 18. a 21. use o grafico da funcao para determinar os valores de x em que a funcaoe diferenciavel e indique os valores de x em que a derivada e (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.
18. f(x) = |x + 3| 19. f(x) = |x2 − 9| 20. f(x) =√|x| 21. f(x) =
{x2 − 4 , x ≤ 04− x2 , x > 0
RESPOSTAS
1. f ′(√
5)
= limx→
√5
√x2 + 4− 3x−
√5
=√
53
; reta tangente: y − 3 =√
53
(x−
√5)
2. f ′(0) = −12; reta tangente: y = −x
2+ 2 3. f ′
(12
)= −4; reta tangente: y = −4x + 4
4. Duas retas tangentes: y = 6x− 2 e y = 6x + 2
Lista 6 Calculo I -A- 2008-1 12
5. f e diferenciavel em x = 1 pois f ′(1) = −1/2; f e contınua em x = 1, pois tem um teorema que garanteque toda funcao diferenciavel num ponto e contınua nesse ponto.
6. f nao e contınua em x = 1, pois limx→1−
f(x) = −12(= lim
x→1+f(x) = 1; f nao e diferenciavel em x = 1 pois se
fosse, f seria contınua em x = 1 (tem um teorema que garante que toda funcao diferenciavel num pontoe contınua nesse ponto) e ja provamos que f nao e contınua em x = 1.
7. a = 2 e b = −1 8. Use o teorema do sanduıche para calcular a derivada pela definicao
9. f ′(x) = 2(x2 + 2x + 1
)sec2 x + 2(2x + 2) tan x = 2(x + 1)
[(x + 1) sec2 x + 2 tan x
]
10. f ′(x) = −2 cos x senx = − sen 2x
11. f ′(x) =1
2√
xsenx +
√x cos x +
13x−2/3 =
senx + 2x cos x
2√
x+
13 3√
x2
12. f(x) = 2x cos x tan x = 2x senx ⇒ f ′(x) = 2( sen x + x cos x)
13. f ′(x) =
(x2 + 2x + 3
)(x sec x tan x + secx)− [x(sec x)(2x + 2)]
(x2 + 2x + 3)2=
[3− x2 +
(x3 + 2x2 + 3x
)tanx
]sec x
(x2 + 2x + 3)2
14. f ′(x) =
(x4 + x2 + 1
) [2
(x2 − 2x + 2
)(2x− 2)
]−
(x2 − 2x + 2
)2 (4x3 + 2x
)
(x4 + x2 + 1)2=
=2
(x2 − 2x + 2
) (2x4 − 3x3 − 2
)
(x4 + x2 + 1)2
15. f ′(x) = −2(x2 + 2
)−3 (2x) =−4x
(x2 + 2)316. f ′(x) =
{−x cos
1x
+ 3x2 sen1x
, x (= 0
0 , x = 0
17. x (= 4, f(x) = |2x− 8| ={−2x + 8 se x < 42x + 8 se x > 4 ⇒ f ′(x) =
{−2 se x < 42 se x > 4 =
2(x− 4)|x− 4|
18.
y
x
–2
2
4
–6 –4 –2 2
f(x) = |x+3| nao e diferenciavel em x = −3 pois o grafico tem um bico no ponto(−3, f(−3)) = (−3, 0). E diferenciavel em R− {−3}.
(i) ( ∃x tal que f ′(x) = 0(ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (−3,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞,−3)
19.
y
x
–2
2
4
6
8
10
12
–6 –4 –2 2 4 6
f(x) = |x2 − 9| nao e diferenciavel em x = ±3 pois o grafico tem um bico nospontos (−3, f(−3)) = (−3, 0) e (3, f(3)) = (3, 0) . E diferenciavel em R−{−3, 3}.
(i) f ′(x) = 0: x = 0(ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (−3, 0) ∪ (3,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞,−3) ∪ (0, 3)
20.
y
x
–1
123
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
f(x) =√|x| nao e diferenciavel em x = 0 pois o grafico tem um bico no ponto
(0, f(0)) = (0, 0). E diferenciavel em R− {0}.
(i) ( ∃x tal que f ′(x) = 0(ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (0,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞, 0)
21.
y
x
–4
–2
0
2
4
–4 –3 –2 1 2 3 4
f(x) ={
x2 − 4 , x ≤ 04− x2 , x > 0 nao e contınua em x = 0 pois o grafico tem um
salto em x = 0, logo f(x) nao e diferenciavel em x = 0. E diferenciavel em R−{0}.
(i) ( ∃x tal que f ′(x) = 0(ii) ( ∃x tal que f ′(x) > 0 (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,∞)
Lista 7 Calculo I -A- 2008-1 13
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 7 - 2008-1Algumas aplicacoes de derivada
Regra da cadeia
1. Uma partıcula se move sobre uma linha reta de acordo com a equacao s =√
t, sendo s a distancia (emmetros) da partıcula ao seu ponto de partida, apos decorridos t segundos da partida.
(a) Calcule a velocidade media da partıcula de t = 9 ate t = 16(b) Calcule a velocidade instantanea da partıcula quando t = 9.
2. Calcule a taxa de variacao do volume de um balao esferico em relacao ao seu raio, quando o raio do balaofor igual a 5 cm.
3. Um projetil e lancado verticalmente para cima e t segundos apos o lancamento esta a s metros do solo,onde s = s(t) = 256 t− 16t2. Calcule:
(a) A velocidade do projetil t segundos apos o lancamento;(b) O tempo necessario para o projetil atingir a altura maxima;(c) A altura maxima atingida pelo projetil.
4. No instante t horas um veıculo esta 16√
t3 − 24t + 16 quilometros a leste de um ponto de referencia naestrada.
(a) Qual a velocidade no instante t = 14 e qual e o sentido do movimento em relacao ao ponto de
referencia?(b) Onde esta o veıculo quando a velocidade e zero?
Nos exercıcios 5. a 10. derive a funcao (se possıvel, simplifique antes e/ou depois de derivar).
5. f(x) =4√
2x4 + 2x
cos2 x
6. f(x) = ( sen 2x)!x3 + 2x
"2/3
7. F (u) =u3 − 3u2
(u4 + 1)5/2
8. G(r) = 5
#2r2 − 2r − 1
9. M(x) =$
x +%
x +√
x
10. f(x) =
&x3 sen
1x4
se x #= 0
0 se x = 0
11. Sejam f(x) =√
2x + 1 e g(x) =√
tan x. Calcule (f ◦ g)!'π
4
(.
12. Considere f uma funcao diferenciavel e g definida por g(x) = f2(cos x).
Sabendo que f(0) = 1 e f !(0) = −12, calcule g!
'π
2
(.
13. Seja g : R −→ R diferenciavel; g(0) =12
e g!(0) = 1.
Calcule f !(0), onde f(x) = (cos x)g2
)tan
x
x2 + 2
*.
14. Sejam g diferenciavel e f(x) = x g!x2
".
(a) Mostre que f !(x) = g!x2
"+ 2x2g ! !x2
";
(b) Calcule g(4), sabendo que g(4) + g!(4) = 1 e f !(2) = −1.
15. Considere as funcoes g(x) =+
1 se x < −1|x| se x ≥ −1 e f(x) =
+1 se x < 01− x2 se x ≥ 0
(a) Encontre (f ◦ g)(x); (b) Usando (a), encontre (f ◦ g)!(x) e determine seu domınio D;(c) Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular (f ◦ g)!(x);(d) Usando a regra da cadeia, encontre (f ◦ g)!(x), ∀x ∈ C;(e) Compare (b) e (d); (f) Esboce os graficos de g, f e f ◦ g;(g) Indique nos graficos os pontos onde g, f e f ◦ g nao sao diferenciaveis.
Lista 7 Calculo I -A- 2008-1 14
RESPOSTAS
1. (a)
√16−
√9
16− 9; (b) lim
∆t→0
√9 + ∆t−
√9
∆t= s′(9) =
1
6m/seg.
2. Sendo V = volume, V ′(5) = 100π cm3/cm. 3. (a) 128 m/seg; (b) 8 seg (c) 1024 m
4. (a) s′(1/4) = −12 < 0 ⇒ sentido: veıculo se aproxima da referencia, rumo oeste, com velocidade escalar de 12km/h; (b) 8 km a leste da referencia.
5. f ′(x) =
!cos2 x
"(1/4)
!2x4 + 2x
"−3/4(8x + 2)−
!2x4 + 2x
"1/4(2 cos x)(− sen x)
cos4 x=
!4x3 + 1
"cos x + 8
!x4 + 1
"sen x
2 (2x4 + 2x)3/4 cos3 x
6. f ′(x) = ( sen 2x)(2/3)!x3 + 2x
"−1/3 !3x2 + 2
"+ (cos 2x)(2)
!x3 + 2x
"2/3=
2!3x2 + 2
"( sen 2x) + 6
!x3 + 2x
"(cos 2x)
3 (x3 + 2x)1/3
7. F ′(u) =
(u4 + 1
)5/2 (3u2 − 6u
)−
(u3 − 3u2
)(5/2)
(u4 + 1
)3/2)(4u3
)
(u4 + 1)5=−7u6 + 24u5 + 3u2 − 6u
(u4 + 1)7/2
8. G′(r) =1
5(2r + 2)−4/5(2) =
2
5 5√
(2r + 2)49. f ′(x) =
1 +
1 +1
2√
x
2√
x +√
x
2
√x +
√x +
√x
10. f ′(x) =
{3x2 sen
1
x4− 4
x2cos
1
x4, x $= 0
0 , x = 011.
√3
312. 1 13.
1
214.
9
7
15. (a) (f ◦ g)(x) =
{0, x < −11− x2, x ≥ −1
(b) (f ◦ g)′(x) =
{0, x < −1−2x, x > −1
$ ∃(f ◦ g)′(−1) pois (f ◦ g)′−(−1) = 0 $= (f ◦ g)′+(−1) = 2
D = dom(f ◦ g)′ = R− {−1}
(c) g′(x) =
0, x < −1−1, −1 < x < 01, x > 0
$ ∃ g′(−1) pois g′−(−1) = 0 $= g′+(−1) = −1 e$ ∃ g′(0) pois g′−(0) = −1 $= g′+(0) = 1Logo dom (g′) = R− {−1, 0}
f ′(x) =
{0, x < 0−2x, x ≥ 0
Logo dom (f ′ ◦ g) = {x ∈ (dom g) = R; y = g(x) ∈ (dom f ′) = R} = R
Como C = (dom (f ′ ◦ g)) ∩ (dom (g′)), temos C = R− {−1, 0}.
(d) Visando aplicar a regra da cadeia, vamos calcular primeiro f ′(g(x)) em C = R− {−1, 0}:
Como g(x) =
1, x < −1|x|, −1 < x < 0|x|, x > 0
temos f ′(g(x)) =
f ′(1) = −2, x < −1f ′ (|x|) = −2|x| = 2x, −1 < x < 0f ′ (|x|) = −2|x| = −2x, x > 0
.
Aplicando a regra da cadeia: (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) =
−2× 0 = 0, x < −1(2x)× (−1) = −2x, −1 < x < 0(−2x)× (1) = −2x, x > 0
(e) (f ◦ g)′(x) sao iguais nos pontos comuns de D e C, mas nao e possıvel aplicar a regra da cadeia para calcular(f ◦ g)′(0).
(f)
y = g(x)y
x
–4
–2
0
2
4
–4 –3 –2 1 2 3 4
y = f(x)y
x
–4
–2
0
2
4
–4 –3 –2 1 2 3 4
y = (f ◦ g)(x)y
x
–4
–2
0
2
4
–4 –3 –2 1 2 3 4
Lista 8 Calculo I -A- 2008-1 15
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 8 - 2008-1Aproximacao linear
DiferencialDerivada de ordem superior
1. Encontre a equacao da reta que melhor aproxima o grafico de y = f(x) = x19/3 para valores de x proximosde −1. Usando a equacao desta reta, encontre um valor aproximado para (−1, 06)19/3.
2. Calcule, por diferencial, o valor aproximado de: (a)√
35, 99 (b)1
3, 09(c)
!cos
"π
3
#$1/3
3. A altura e o raio de um cilindro reto sao iguais, de modo que o volume desse cilindro e dado por V =πh3. O volume deve ser calculado com erro nao maior que 1% em relacao ao valor real. Determine,aproximadamente, o maior erro que pode ser tolerado na medida de h, expressando-o como porcentagemde h.
4. Calcule f !! para a funcao do ex. 8. da Lista 7.
5. Calcule f !! para a funcao do ex. 10. da Lista 7.
6. Calcule f !!, f !!! e seus respectivos domınios para f(x) =
%x2 cos
1x
, x #= 0
0, x = 0
7. Seja h(x) =&&x2 − 4
&& , x ∈ R.
(a) De os pontos onde h e duas vezes diferenciavel e determine h!(x) e h!!(x);(b) Esboce o grafico de h.
8. Seja y = u cos2 u3. (a) Calculedy
du; (b) Se u = u(x), calcule
dy
dxe
d2y
dx2.
9. Prove: se y = cos√
x− sen√
x entao 4xy!! + 2y! + y = 0.
10. Considere g(x) = cos x×f2(x), onde f : R −→ R e duas vezes diferenciavel, f(0) = −1 e f !(0) = f !!(0) = 2.Calcule g!!(0).
RESPOSTAS
1. y =19
3x +
16
3; valor aproximado = −1, 38 2. (a) ∼= 5, 9992 (b) ∼= 0, 3233
2. (c) como cos!π
3
"=
1
2,
#1
2
$1/3
∼= 0, 8333, e uma aproximacao grosseira, foi usado que1
2esta perto de 1;
#1
2
$1/3
∼= 0, 79375, e uma aproximacao melhor, foi usado que1
2esta perto de 0, 512 = (0, 8)3
3.1
3% 4. G′′(r) = −16
25(2r + 2)−9/5
5. Para x #= 0, f ′′(x) =
#6x− 16
x7
$sen
1
x4− 4
x3cos
1
x4; # ∃f ′′(0) pois f ′ nao e contınua em x = 0.
6. dom f ′′ = dom f ′′′ = R− {0}; # ∃f ′′(0) pois f ′ nao e contınua em x = 0 e # ∃f ′′′(0) pois # ∃f ′′(0);
f ′′(x) =
#1− 1
x2
$cos
1
x+
2
xsen
1
x; f ′′′(x) = − 1
x4sen
1
x.
7. (a) h e duas vezes diferenciavel para ∀x ∈ R; x #= −2 e x #= 2;
h′(x) = (2x)x2 − 4
|x2 − 4| =
%−2x se −2 < x < 2
2x se x < −2 ou x > 2
h′′(x) = (2)x2 − 4
|x2 − 4| =
%−2 se −2 < x < 2
2 se x < −2 ou x > 2
(b)
y
x0
2
4
6
8
10
12
–4 –2 2 4
8. (a)dy
du= cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3 (b)
dy
dx=
&cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3
' du
dxd2y
dx2=
&cos2 u3 − 6u3 sen u3 cos u3
' d2u
dx2+ 6u2
&3u3 sen 2u3 − 4 sen u3 cos u3 − 3u3 cos2 u3
' #du
dx
$2
9. Basta calcular y′ e y′′, substituir na expressao do lado esquerdo da equacao e verificar que se anula.
10. 3
Lista 9 Calculo I -A- 2008-1 16
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 9 - 2008-1Funcao implıcita
Taxas relacionadas
1. Determine a expressao de pelo menos duas funcoes y = y(x) definidas implicitamente pelaequacao xy2 + x + y = 1. Explicite seus domınios.
2. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equacao sec2(x + y) − cos2(x + y) =32. Calcule
f ′!π
4
", sabendo que f
!π
4
"= 0.
3. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equacao x2−x√
xy+2y2 = 10. Encontre o coeficienteangular da reta normal ao grafico da funcao f no ponto (4, 1).
4. Considere y = f(x) definida implicitamente por x4 − xy + y4 = 1. Calcule f ′(0) , sabendo quef(x) > 0, ∀x ∈ R.
5. Considere a curva da figura ao lado conhecida por cissoide de Dioclescuja equacao e (2− x)y2 = x3.
(a) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico da curva em (1, 1);
(b) Obtenha as equacoes das retas tangentes ao grafico da curva nos
pontos em que x =32.
y
x
–4
–2
0
2
4
–1 1 2
6. Considere a lemniscata de equacao#x2 + y2
$2 = x2−y2 (figura ao lado).Determine os quatro pontos da lemniscata em que as retas tangentes saohorizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes saoverticais.
y
x
–1
0
1
–1 1
7. Cascallho esta caindo e formando uma pilha conica que aumenta a uma taxa de 3 m3/min, demodo que o raio do cone e sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variacao da altura dapilha quando a altura e de 3 m.
8. Uma camara de televisao no nıvel do solo esta filmando a subida de um onibus espacial queesta subindo verticalmente de acordo com a equacao s = 15t2, sendo s a altura e t o tempo. Acamara esta a 600 m do local de lancamento. Encontre a taxa de variacao da distancia entre acamara e a base do onibus espacial, 10 seg apos o lancamento (suponha que a camara e a basedo onibus estao no mesmo nıvel no tempo t = 0).
9. Num determinado instante, um controlador de trafego aereo ve doisavioes na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetoriasortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante,um dos avioes esta a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P a 450milhas por hora, enquanto o outro esta a 200 milhas do ponto P e semovendo a 600 milhas por hora, tambem em direcao ao ponto P .
150
200
P
(a) Antes do ponto P , a distancia entre os avioes esta diminuindo? a que taxa?
(b) Os avioes correm risco de choque? em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tempara fazer com que um dos avioes mude a sua trajetoria?
Lista 9 Calculo I -A- 2008-1 17
10. Um ponto move-se ao longo da elipse x2 +4y2 = 1. A abscissa x esta variando a uma velocidadedx
dt= sen 4t. Mostre que (a)
dy
dt= −x sen 4t
4y(b)
d2y
dt2= − sen 24t + 16xy2 cos 4t
16y3.
11. Um ponto move-se sobre a semi-circunferencia x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponhadx
dt> 0. Determine
o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade de x.
12. Uma escada de 8 m esta encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastadado pe da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que velocidade a extremidadesuperior estara descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?
13. Enche-se de agua um reservatorio, cuja forma e de um cone circular reto(veja a figura), a uma taxa de 0, 1 m3/seg. O vertice esta a 15 m dotopo e o raio do topo e de 10 m. Com que velocidade o nıvel h da aguaesta subindo no instante em que h = 5 m?
agua
10 m
15 m
h
14. O raio de luz de um farol, que esta situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rotacoes porminuto). Considere a altura do farol desprezıvel em relacao a sua distancia ate a praia. Ache avelocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um angulo de 45◦
com a linha da praia.
RESPOSTAS
1. y = f(x) =−1−
√1 + 4x− 4x2
2x
y = g(x) =−1 +
√1 + 4x− 4x2
2x;
domınio =!
1−√
22 , 0
" %!0, 1+
√2
2
"
2. −1
3. 0
4.14
5. (a) y = 2x− 1
(b) y = 3√
3x− 3√
3 e y = −3√
3x + 3√
3
6. Tangentes horizontais em:
x =√
64
e y =√
24
;
x =√
64
e y = −√
24
;
x = −√
64
e y =√
24
;
x = −√
64
e y = −√
24
.
Tangentes verticais em:
x = 1 e y = 0; x = −1 e y = 0.
7. 10, 6 cm/min
8. 278, 54 m/seg
9. (a) esta diminuindo a velocidade escalar de 750mi/h
(b) 20 min
11. (−2, 1)
12. velocidade escalar de6√55
m/seg ∼= 80, 9
cm/seg
13.0, 9100π
m/seg ∼= 0, 2865 cm/seg
14. 96π ∼= 301, 6 km/min ∼= 5, 03 km/h
Lista 10 Calculo I -A- 2008-1 18
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 10 - 2008-1Funcoes inversas
Teorema da Funcao InversaFuncoes trigonometricas inversas
1. Seja f(x) =1x− x3, x > 0.
(a) Mostre que f tem inversa em (0,∞); (b) Calcule f−1(0) e!f−1
"′ (0);
(c) Determine a equacao da reta tangente ao grafico de f−1 no ponto!0, f−1(0)
".
2. Sendo f uma funcao invertıvel, derivavel, tal que f(1) = 2, f(2) = 7, f ′(1) = 3 e f ′(2) = 4, calcule!f−1
"′ (2).
3. Seja f(x) =#
1− x3, x ≤ 01− x2, x > 0 . Se f−1 existir, calcule
!f−1
"′ (x) e esboce os graficos de f e f−1.
Resolva as equacoes dos exercıcios 4. a 11.
4. senx =√
32
5. cos x = 0
6. senx = − 12
7. cos x = −1
8. tan x = 0
9. tan x = 1
10. tan x = −1
11. sec x = −2
Nos exercıcios 12. a 19. encontre o valor de x.
12. x = arcsen√
32
13. x = arccos 0
14. x = arcsen − 12
15. x = arccos−1
16. x = arctan 0
17. x = arctan 1
18. x = arctan−1
19. x = arcsec − 2
Deduza as formulas dos exercıcios 20. a 22.
20. arcsec x− arccos1x
= 0 21. (arctanx)′ =1
1 + x222. cos( arcsen x) =
√1− x2
Nos exercıcios 23. e 24. derive a funcao.
23. f(x) = arcsen 3!(x + 1)2
"+ arccos
1√x2 + 1
24. g(x) = arctan$
1− cos x
1 + cos x
Nos exercıcios 25. e 26. encontre y′, se y = y(x) e definida implicitamente pela equacao dada.
25. x arctan y = x2 + y2 26. arcsen (xy) = x + y
Nos exercıcios 27. a 29. verifique a igualdade.
27.d
dx
%x3
3arcsen x +
x2 + 29
√1− x2
&= x2 arcsen x
28.d
dx
%arctan
x
1 +√
1− x2
&=
12√
1− x2
29.d
dx
%arctan
2 tanx
1− tan2 x
&= 2
30. Seja f(x) = 2!x2 + 1
"arctan x, x ∈ R.
(a) Mostre que f e invertıvel;
(b) Verifique que f(−1) = −π e calcule!f−1
"′ (−π);
Lista 10 Calculo I -A- 2008-1 19
RESPOSTAS
1. (a) Como f ′(x) = −1 + 3x4
x2< 0 em (0,∞),
f satisfaz as hipoteses do TFI
(teorema da funcao inversa).
Logo f e invertıvel em (0,∞);
(b) f−1(0) = 1 e(f−1
)′(0) = −1/4;
(c) x + 4y = 4
2.1
3
3.(f−1
)′(x) =
−1
3 3√
(1− x)2, x > 1
−1
2√
1− x, x < 1
–1f f
–1ff
y
x
–1
0
1
–1 1 2
4. x =π
3+ 2kπ ou x =
2π
3+ 2kπ, k ∈ Z
5. x =π
2+ kπ, k ∈ Z
6. x = −π
6+ 2kπ ou x = −5π
6+ 2kπ, k ∈ Z
7. x = π + 2kπ , k ∈ Z8. x = 2kπ , k ∈ Z
9. x =π
4+ kπ, k ∈ Z
10. x = −π
4+ kπ, k ∈ Z
11. x =2π
3+ 2kπ ou x = −2π
3+ 2kπ, k ∈ Z
12. x =π
3
13. x =π
2
14. x = −π
615. x = π
16. x = 0
17. x =π
4
18. x = −π
4
19. x =2π
3
20. Sabemos que y = arcsec x ⇔ sec y = x, 0 ≤ y < π2
ou π2
< y ≤ π ⇔ 1
cos y= x, 0 ≤ y < π
2ou π
2< y ≤ π ⇔
1
x= cos y. Substituindo a primeira e a ultima relacao na equacao dada, obtemos y − arccos (cos y) = y − y = 0.
21. Deduzida em aula.
22. Sabemos que y = arcsen x ⇔ sen y = x, −π2≤ y ≤ π
2. Por outro lado, cos y = ±
√1− sen 2y, mas no intervalo
considerado cos y ≥ 0, logo cos( arcsen x) = cos y =√
1− sen 2y =√
1− x2.
23. f ′(x) = 3 arcsen 2!(x + 1)2
" 2(x + 1)#
1− (x + 1)4+
−1$
1−1
x2 + 1
·−1
2
!x2 + 1
"− 32 (2x) =
=6(x + 1) arcsen 2
!(x + 1)2
"#
1− (x + 1)4+
x
(x2 + 1)√
x2
24. g′(x) =1
1 +1− cos x
1 + cos x
×1
2
$1− cos x
1 + cos x
×(1 + cos x)( sen x)− (1− cos x)(− sen x)
(1 + cos x)2=
sen x
2| sen x|
25.dy
dx=
!1 + y2
"(2x− arctan y)
x− 2y (1 + y2)=
!1 + y2
" !x2 − y2
"
x2 − 2xy (1 + y2)
26.dy
dx=
#1− x2y2 − y
x−#
1− x2y2
30. (a) f ′(x) = 2 + 4x arctan x (= 0 pois (i) f ′(0) = 2; (ii) x > 0 ⇒ arctan x > 0 ⇒ x arctan x > 0 ⇒ f ′(x) > 2⇒ f ′(x) > 0; (iii) x < 0⇒ arctan x < 0⇒ x arctan x > 0⇒ f ′(x) > 2 ⇒ f ′(x) > 0.
Logo aplicando o Teorema da Funcao Inversa, f possui inversa f−1.
(b) f(−1) = 4 arctan(−1) = −π;(f−1
)′(−π) =
1
2 + π.
Lista 11 Calculo I -A- 2008-1 20
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 11 - 2008-1Teorema de Rolle
Teorema do Valor Medio - TVM
Nos exercıcios 1. a 6. verifique se o Teorema de Rolle pode ser aplicado a f nos intervalosindicados.
1. f(x) = 1− |x− 1|, x ∈ [0, 2]
2. f(x) = x2 − 2x, x ∈ [−1, 3]
3. f(x) = (x− 3)(x + 1)2, x ∈ [−1, 3]
4. f(x) = x− x13 , x ∈ [0, 1]
5. f(x) = x− x13 , x ∈ [−1, 1]
6. f(x) =
x2 − 4x2
, x #= 0
0, x = 0I = [−2, 2]
grafico do ex. 6
x
y
–40
–30
–20
–10
10
7. A altura de uma bola, t segundos apos o lancamento, e dada por f(t) = −16t2 + 48t + 32.
(a) Verifique que f(1) = f(2);
(b) Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade v da bola em algum instante dointervalo [1, 2]? Enuncie o Teorema de Rolle;
(c) Encontre a velocidade media da bola durante os dois primeiros segundos;
(d) Em que instante a velocidade instantanea e igual a velocidade media acima? Enuncie oteorema que nos garante isso.
8. Seja f : [−1, 2] −→ R contınua em [−1, 2], diferenciavel em (−1, 2), com f(−1) = −1 e f(2) = 5.Prove que existe um ponto no grafico de f em que a reta tangente e paralela a reta y = 2x.
9. Seja p(x) = Ax2 +Bx+C. Prove que, para qualquer intervalo [a, b], o valor de c cuja existenciae garantida pelo Teorema do Valor Medio (TVM), e o ponto medio do intervalo.
10. Se a > 0 e n e um inteiro nao negativo qualquer, prove que p(x) = x2n+1 + ax + b nao pode terduas raızes reais.
11. Mostre que g(x) = 8x3 + 30x2 + 24x + 10 admite uma unica raiz no intervalo (−3,−2).
12. Seja P uma funcao polinomial nao constante.
(a) Prove que, entre dois zeros consecutivos de P ! (isto e, dois valores de x que anulam aderivada e tal que entre eles nao existe outro valor que anula a derivada), existe no maximouma raiz de P .
(b) Se P tem tres raızes distintas em [a, b], prove que P !!(c) = 0, para algum valor c ∈ (a, b).
Lista 11 Calculo I -A- 2008-1 21
RESPOSTAS
1. Nao, a hipotese f diferenciavel em (0, 2) falha, pois f nao e diferenciavel em x = 1 ∈ (0, 2).
2. Sim 3. Sim 4. Sim
5. Nao, f diferenciavel em (−1, 1) nao se verifica, pois f nao e diferenciavel em x = 0 ∈ (−1, 1).
6. Nao, a hipotese f contınua em [−2, 2] nao se verifica, pois f nao e contınua em x = 0 ∈ [−2, 2].
7. (a) f(1) = f(2) = 64 (b) v = 0 (c) 16 m/seg (d) t = 1 seg
8. Existe uma reta tangente ao grafico e paralela a reta y = 2x ⇐⇒ ∃x ∈ [1, 2] tal que f !(x) = 2 (coefi-cientes angulares iguais). Calcule o coeficiente angular da reta secante ao grafico que contem os pontos(−1, f(−1)) e (2, f(2)), depois aplique o Teorema do Valor Medio (TVM).
9. (i) p e contınua em [a, b] pois p e uma funcao polinomial; (ii) p e diferenciavel em (a, b) pois p e umafuncao polinomial. Se valem as hipoteses (i) e (ii) do TVM, entao vale a tese : ∃c ∈ (a, b) tal que
p!(c) =p(b)− p(a)
b− a=
(Ab2 + Bb + C
)−
(Aa2 + Ba + C
)
b− a=
A(b2 − a2
)+ B(b− a)
b− a=
=A(b− a)(b + a) + B(b− a)
b− a=
(b− a)[A(b + a) + B]b− a
= A(b + a) + B.
Alem disso, como p!(x) = 2Ax + B, temos que p!(c) = 2Ac + B.
Igualando as duas expressoes de p!(c) e simplificando, chegamos a c =a + b
2.
10. Suponha, por absurdo, que p(x) tem duas raızes reais x1 e x2 com x1 < x2. As hipoteses do Teorema deRolle para p em [x1, x2] sao verdadeiras: (i) e (ii) p e contınua em [x1, x2] e diferenciavel em (x1, x2) poisp e uma funcao polinomial; (iii) p (x1) = p (x2) = 0 pois x1 e x2 sao raızes de p(x).Aplicando o Teorema de Rolle: ∃c ∈ (x1, x2) tal que p!(c) = 0 (*)
Por outro lado, p!(x) = (2n + 1)x2n + a = (2n + 1) (xn)2 + a.
Como, (2n + 1) (xn)2 ≥ 0, ∀x ∈ R e por hipotese a > 0, temos que p!(x) > 0, ∀x ∈ R (**)As conclusoes (*) e (**) sao contraditorias, logo nao e possıvel supor que existem duas raızes reais.
11. 1a parte: Como a funcao polinomial g e contınua em [−3,−2], g(−3) = −8 < 0 e g(−2) = 18 > 0, peloTeorema do Valor Intermediario, g possui pelo menos uma raiz entre −3 e −2.
2a parte: Suponha, por absurdo, que g admite duas raızes c1 e c2 tal que −3 < c1 < c2 < −2. Logog(c1) = g(c2) = 0. Como a funcao polinomial g e contınua em [−3,−2] e diferenciavel em (−3,−2),pelo Teorema de Rolle, ∃c entre c1 e c2 tal que g!(c) = 0. (*)Por outro lado, g!(x) = 24x2 + 60x + 24 = 12(x + 2)(2x + 1), analisando o sinal de g!(x), temosg!(x) > 0 quando −3 < x < −2, logo g!(c) > 0, que contradiz com (*). Conclusao: g nao admiteduas raızes entre −3 e −2.
Pela 1a parte, g possui pelo menos uma raiz entre −3 e −2 e pela 2a parte, g nao admite duas raızesentre −3 e −2, consequentemente g possui uma unica raiz entre −3 e −2.
12. (a) Suponha que x1 e x2 sao dois zeros consecutivos de P !. Suponha, por absurdo, que entre x1 e x2
existem duas raızes de P . Sejam x3 e x4, com x3 < x4 essas raızes de P . Assim, (x3, x4) ⊂ (x1, x2).Aplicando o Teorema de Rolle para a funcao P em [x3, x4]: [(i)P (x3) = P (x4) = 0], verifique asoutras duas hipoteses, afirmamos que ∃ c ∈ (x3, x4) ⊂ (x1, x2) tal que P !(c) = 0 =⇒ ∃ c ∈ (x1, x2)tal que P !(c) = 0, o que contradiz com a hipotese de que x1 e x2 sao dois zeros consecutivos de P !.
(b) Sejam x1, x2 e x3 as tres raızes, com x1 < x2 < x3. O Teorema de Rolle aplicado a P nos intervalos[x1, x2] e [x2, x3] nos garante (verifique as hipoteses) que ∃ c1 ∈ (x1, x2) e ∃ c2 ∈ (x2, x3) tais queP ! (c1) = P ! (c2) = 0. Agora, o Teorema de Rolle aplicado a P ! no intervalo [c1, c2] nos garante(verifique as hipoteses) que ∃ c ∈ (c1, c2) tal que P !! (c) = 0.
Lista 12 Calculo I -A- 2008-1 22
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 12 - 2008-1Funcao logarıtmicaFuncao exponencial
1. Seja f(x) =ln
!x2 − 3
"#
(x− 1)(x + 3). Determine o domınio de f , os valores de x onde a f se anula e
os intervalos onde a f e positiva e onde a f e negativa.
Nos exercıcios 2. a 5. esboce o grafico da funcao.
2. f(x) = ln |x− 4|
3. y = | ln |x + 1| |
4. F (x) = e|x+2|
5. g(t) = 12 − e−t
Derive as funcoes dos exercıcios 6. a 16. (se for conveniente, use derivacao logarıtmica)
6. f(x) =e sen 2x√x
ecos 3x
7. f(x) = e√
x ln√
x
8. f(x) = ln$x√
x2 + 1%
9. f(x) = (ex)x
10. f(x) = exx
11. f(x) = (xx)x
12. f(x) = log2x2
13. f(x) = ( senx) arcsen x
14. f(x) = xπ + πx
15. f(x) = (lnx)x xln x
16. ln√
x + 1(x− 1)3
Calcule y′ nos exercıcios 17. a 19.
17. ln&
x
y+
y
x
'= 5 18. sen exy = x 19.
y2 cos x
ex= 2ln y, para x = 0 e
y = 1
RESPOSTAS
1. Domınio = (−∞,−3) ∪!√
3,∞";
f = 0 em x = 2f > 0 para x < −3 ou x > 2;f < 0 para
√3 < x < 2
2. x
y
–3
–2
–1
0
1
2
3.
y
x0
1
2
–2 –1 1 2 3 4
4.
y
x
–2
0
2
4
6
8
10
–5 –4 –3 –2 –1 1
5.
x
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
Lista 12 Calculo I -A- 2008-1 23
6. f ′(x) =(1 + 4x cos 2x + 6x sen 3x)e sen 2x
2ecos 3x√
x
7. f ′(x) ==e√
x (1 +√
x ln√
x)2x
8. f ′(x) =2x2 + 1
x (x2 + 1)
9. f ′(x) = 2xex2
10. f ′(x) = xxexx
(1 + lnx)
11. f ′(x) = (xx)x (x + 2x lnx)
12. f ′(x) =2
x ln 2
13. f ′(x) = ( sen x) arcsen x
&cot x arcsen x +
ln ( senx)√1− x2
'
14. f ′(x) = πxπ−1 + (lnπ)πx
15. f ′(x) = (ln x)x!x ln x
"&1
lnx+ ln (ln x) +
2 ln x
x
'
16. f ′(x) =−(5x + 7)2 (x2 − 1)
17. y′ =y
x
18. y′ =1− yexy cos exy
xexy cos exy
19. y′ =1
2− ln 2
Lista 13 Calculo I -A- 2008-1 24
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 13 - 2008-1
Regra de L’Hopital
Calcule os limites dos exercıcios 1. a 10.
1. limx→0
cos2x− 1ex2 − 1
2. limx→1+
(lnx)x−1
3. limx→+∞
!x2 − 1
"e−x2
4. limx→+∞
ln (lnx)lnx
5. limx→0+
ln( arcsenx)cotx
6. limx→0
x
arctanx
7. limx→+∞
!2π arctanx
"x
8. limx→+∞
#cos
2x
$x2
9. limx→0+
#tan
π
x + 2
$x
10. limx→0
%1e (1 + x)
1x
& 1x
Nos exercıcios 11. e 12. encontre o valor de a que satisfaz a igualdade.
11. limx→+∞
#1 + e2x
2
$ ax
=√
e 12. limx→+∞
#x + a
x− a
$x
= 4
Nos exercıcios 15. a 22. encontre, se existirem, as assıntotas horizontais e verticais do graficoda funcao.
13. f(x) =x
lnx
14. f(x) =e−
1x2
x
15. f(x) = e1x
16. f(x) = x2 lnx
17. f(x) = e−x2
18. f(x) = xe−x
19. f(x) = πx3
RESPOSTAS
1. −1
2. 1
3. 0
4. 0
5. 0
6. 1
7. e−2π
8. e−2
9. 1
10. e−12
11. 14
12. ln 2
13. Assıntota vertical: x = 1
14. Assıntota horizontal: y = 0
15. Assıntota vertical: x = 0
Assıntota horizontal: y = 0
16. Nao tem assıntotas
17. Assıntota horizontal: y = 0
18. Assıntota horizontal: y = 0
19. Assıntota horizontal: y = 0
Lista 14 Calculo I -A- 2008-1 25
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 14 - 2008-1Crescimento e decrescimento de funcoes
Maximos e mınimos relativosMaximos e mınimos absolutos
1. Aproxime f(x) = ex em a = 0 com um polinomio de Taylor de grau tres e com um polinomio degrau quatro. A seguir, calcule os valores destas aproximacoes em x = 0.2 e x = 1.0 e compare comos valores corretos.
2. Use o polinomio de Taylor de ordem dois de f(x) = x3/2 no ponto a = 4 para obter uma aproximacaode (4.2)3/2.
3. Calcule os polinomios de Taylor de ordem um, dois e tres da funcoes y = f(x) =√
x + 1 em a = 0 eda funcao y = g(x) = ln(x) em x = 1. A seguir, calcule os valores destas aproximacoes em x = 0.2e x = 1.0 e compare com os valores corretos.
4. Seja f(x) = arctanx.
(a) Determine o polinomio de Taylor de grau 7 de f(x) em torno de x = 0;
(b) Usando (a), calcule arctan(0, 3) e estime o erro;.
(c) Determine o polinomio de Taylor de grau 14 de g(x) = arctanx2 em torno de x = 0.(Sugestao: use o polinomio de Taylor de f(x) = arctanx.)
5. Prove que se f e uma funcao par, entao o polinomio de Taylor de grau n em torno de x = 0 contemapenas potencias pares de x. (Sugestao: prove que f par =⇒ f ′ ımpar =⇒ f ′′ par =⇒ f ′′′ ımpar⇒ · · · =⇒ f (2k) par =⇒ f (2k+1) ımpar.)
Nos exercıcios 6. a 8. de os intervalos em que a funcao e crescente e em que e decrescente.
6. f(x) = x +3x2 7. g(t) =
3t2 + 4t
1 + t28. F (u) =
u2 − u + 12(u− 1)
9. Seja f uma funcao tal que f(0) = 0 e f ′(x) =x2
1 + x2, ∀x ∈ R. Mostre que 0 < f(x) < x,∀x > 0.
10. Mostre que senx < x, ∀x > 0.
(Sugestao: para x ≥ π/2, use propriedades da trigonometria, para 0 < x < π/2, use derivada)
11. Prove a desigualdade cosx > 1− x2
2, x '= 0.
(Sugestao: prove para x > 0 e depois use o fato de que as funcoes de ambos os lados sao pares)
12. Prove, para x > 0, a desigualdade x− x3
6< senx.
13. Mostre que: (a) ex > x, ∀x ∈ R (b) ex >x2
2, ∀x ≥ 0
Nos exercıcios 14. a 16. localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funcoes nosintervalos dados.
14. f(x) = x3 − 3x2, x ∈ [−1, 3]
15. f(x) = 2 cos x + sen 2x, x ∈ [0, 4π]16. f(x) =
x5
5− x3
3+ 2, x ∈ [−2, 2]
17. Mostre que f(x) =lnx
xtem maximo absoluto em x = e. Conclua que πe < eπ.
Lista 14 Calculo I -A- 2008-1 26
18. Ache a inclinacao maxima da curva y = x3 − 3x + 3 no intervalo!−3
2 , 52
".
19. Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma raiz real e localize-a em um intervalo deamplitude maxima 1.
20. Mostre que f(x) = x2− x senx− cos x tem exatamente duas raızes reais e localize-as em intervalosde amplitude maxima π/2.
21. Prove que para todo x > 0 vale a seguinte desigualdade: x +1x≥ 2.
(Sugestao: estude o crescimento da expressao do lado esquerdo e determine o mınimo absolutodessa expressao no intervalo dado).
22. A concentracao C de certa substancia quımica no fluxo sanguınio em t horas apos ter sido injetado
no musculo e dada por C =3t
54 + t3. Em que instante a concentracao e maxima? Qual e a
concentracao maxima?
RESPOSTAS
1. p3(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 e p4(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24. p3(0.2) = 1.221333333 . . .,p3(1.0) = 2.6666666 . . ., p4(0.2) = 1.2214 e p4(1.0) = 2.70833333 . . ..
2. p2(x) = 8 + 3 (x− 4) + 3 (x− 4)2/16 e p2(4.2) = 8.6075.
3. Para f(x) =√
1 + x temos p1(x) = 1+x/2, p2(x) = 1+x/2−x2/8, p3(x) = 1+x/2−x2/8+x3/16,p1(0.2) = 1.1, p2(0.2) = 1.095, p3(0.2) = 1.0955. Para g(x) = ln(x) temos p1(x) = x − 1, p2(x) =(x − 1) − (x − 1)2/2, p3(x) = (x − 1) − (x − 1)2/2 + (x − 1)3/3, p1(1.2) = 0.2, p2(1.2) = 0.18 ep3(1.2) = 0.182666666 . . ..
4. (a) arctanx ∼= x− 13x3 +
15x5 − 1
7x7 (b) arctan(0, 3) ∼= 0, 291454757 erro ≤ 10−4
(c) arctanx2 ∼= x2 − 13x6 +
15x10 − 1
7x14
5. Primeiro vamos provar duas afirmacoes gerais sobre funcoes:
(i) F e par =⇒ F ′ e ımpar. De fato, se F e par entao F (−x) = F (x), derivando os dois lados dessaequacao, obtemos F ′(−x) · (−1) = F ′(x), ou ainda F ′(−x) = −F ′(x), que significa que F ′ e ımpar.
(ii) F e ımpar =⇒ F ′ e par. De fato, se F e ımpar entao F (−x) = −F (x), derivando os dois ladosdessa equacao, obtemos F ′(−x) · (−1) = −F ′(x), ou ainda F ′(−x) = F ′(x), que significa que F ′ epar.
Agora, considere o polinomio de Taylor Pn(f(x)) = f(0) +f ′(0)
1!x1 +
f ′′(0)21!
x2 + · · · +f (n)(0)
n!xn.
De (i) e (ii) temos f par =⇒ f ′ ımpar =⇒ f ′′ par =⇒ f ′′′ ımpar ⇒ · · · =⇒ f (2k) par =⇒ f (2k+1)
ımpar. Assim, quando f e par, todas as derivadas de ordem ımpar e uma funcao ımpar, isto e,f2k+1(−x) = −f2k+1(x). Quando x = 0, obtemos f2k+1(0) = −f2k+1(0). Mas o unico numeroigual ao seu simetrico e o numero zero, logo f2k+1(0) = 0, isto e, todos os termos de ordem ımpardo polinomio de Taylor sao nulos. Concluımos que o polinomio de Taylor so tera termos de ordempar.
6. Crescente em (−∞, 0) ∪#
3√
6,∞$, decrescente em
#0, 3√
6$.
7. Crescente em#−1
2 , 2$, decrescente em
#−∞,−1
2
$∪ (2,∞).
Lista 14 Calculo I -A- 2008-1 27
8. Crescente em (−∞, 0) ∪ (2,∞), decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2).
9. Primeiro vamos mostrar que f(x) > 0, ∀x > 0.
(i) f ′(x) =x2
1 + x2> 0, ∀x '= 0 =⇒ f e crescente em (−∞, 0) ∪ (0,∞);
(ii) A funcao f e contınua em R pois f e diferenciavel em R.
Por (i) e (ii) concluımos: f e crescente em (0,∞) e contınua em [0,∞) =⇒ f(x) > f(0), ∀x > 0.
Finalmente, como por hipotese f(0) = 0, concluımos que f(x) > 0, ∀x > 0.
Agora vamos mostrar que f(x) < x, ∀x > 0. Mas f(x) < x, ∀x > 0 ⇐⇒ x − f(x) > 0, ∀x > 0.Considerando F (x) = x− f(x) temos que provar que F (x) > 0, ∀x > 0. Provando:
(i) F ′(x) = 1− x2
1 + x2=
11 + x2
> 0, x '= 0 =⇒ f e crescente em (−∞, 0) ∪ (0,∞);
(ii) A funcao F e contınua em R pois e a diferenca de funcoes contınuas em R.
Por (i) e (ii) concluımos: F e crescente em (0,∞) e contınua em [0,∞) =⇒ F (x) > F (0), ∀x > 0.
Como F (0) = 0− f(0) = 0, concluımos que F (x) > 0, ∀x > 0.
10. Para x ≥ π
2. Como 1 <
π
2e senx ≤ 1, temos que senx ≤ 1 <
π
2≤ x. Logo senx < x.
Para 0 < x <π
2. Como senx < x⇐⇒ x− senx > 0, considere F (x) = x− senx.
Como F e a soma de funcoes contınuas em R, concluımos que F e contınua em R. (*)
F ′(x) = 1− cos x e sabemos que cosx < 1, ∀x ∈%0,
π
2
&. Logo F ′(x) = 1− cosx > 0 ∀x ∈
%0,
π
2
&.
Assim concluımos que F e crescente em%0,
π
2
&. (**)
Pelas conclusoes (*) e (**), temos que F (x) = x− senx > F (0) = 0, ∀x ∈%0,
π
2
&.
11. Como ∀x > 0, cos x > 1− x2
2⇐⇒ ∀x > 0, (cosx)−1+
x2
2> 0, considere F (x) = (cosx)−1+
x2
2.
Como F (0) = 1 − 1 + 0 = 0, se provarmos que (i) F e contınua em [0,∞) e (ii) F e crescente em(0,∞) concluiremos que F (x) > F (0) = 0, ∀x > 0. Provando (i) e (ii):
(i) F e contınua em R pois e a soma, diferenca e quociente de funcoes contınuas em R.
(ii) Para provar que F e crescente em (0,∞) basta provar que F ′(x) > 0, ∀x > 0. Mas F ′(x) =− senx + x.
Logo basta provar que − senx + x > 0, ∀x > 0, isto e, senx < x, ∀x > 0, ja provado no exercıcio5.
Agora, seguindo a sugestao, x < 0 ⇒ −x > 0 ⇒ F (−x) > 0 (provado acima). Mas F (−x) =
(cos(−x))− 1 +(−x)2
2= F (x). Logo ∀x < 0, F (x) = F (−x) > 0.
12. Considere G(x) = ( senx)−x+x3
6. Temos G′(x) = (cosx)−1+
x2
2. Esta e a funcao F do exercıcio
6. e ja provamos que (cosx)−1+x2
2> 0, ∀x > 0. Assim, concluımos que G e crescente em (0,∞).
(*)
Como G e a soma de funcoes contınuas em R, concluımos que G e contınua em R. (**)
Pelas conclusoes (*) e (**), temos que G(x) = ( senx)− x +x3
6> G(0) = 0, ∀x > 0.
Lista 14 Calculo I -A- 2008-1 28
13. (a) Vamos analisar cada possibilidade.
(i) Supondo x < 0. Sabemos que ex > 0, ∀x, em particular quando x < 0 temos que ex > 0 > x.
(ii) Supondo x ≥ 0. Para x = 0, e0 = 1 > 0. Considere a funcao f(x) = ex−x, contınua em [0,∞).Derivando, f ′(x) = ex − 1. Mas x > 0 ⇒ ex > 1 ⇒ f ′(x) > 0 ⇒ f e estritamente crescente em[0,∞) ⇒ f(x) > f(0) = e0 − 0 = 1 > 0⇒ f(x) = ex − x > 0⇒ ex > x.
(b) Considere a funcao f(x) = ex− x2
2, contınua em [0,∞). Derivando f ′(x) = ex−x. Foi mostrado
no item anterior que ex > x,∀x, logo f ′(x) > 0. Mas f ′(x) > 0 ⇒ f e estritamente crescente em
[0,∞)⇒ f(x) > f(0) = e0 − 0 = 1 > 0⇒ f(x) = ex − x2
2> 0 ⇒ ex >
x2
2.
14. A funcao polinomial f(x) = x3 − 3x2 e contınua no intervalo fechado e limitado [−1, 3], logo fsatisfaz as hipoteses do Teorema dos Valores Extremos (e o teorema de Weierstrass). Aplicandoesse teorema, comparamos os valores f(−1) e f(3) com os valores de f nos pontos crıticos que estaono interior de [−1, 3]. Concluımos que: mın f = f(−1) = f(2) = −4 e max f = f(0) = f(3) = 0.
15. A funcao f(x) = 2 cosx + sen 2x e contınua em R pois e a soma de produto e composta de funcoescontınuas em R, logo f e contınua no intervalo fechado e limitado [0, 4π]. Assim, pelo Teoremade Weierstrass, comparamos os valores f(0) e f(4π) com os valores de f nos pontos crıticos queestao em (0, 4π). Concluımos: mın f = f(5π/6) = (17π/6) = −3
√3/2 e max f = f(π/6) =
(13π/6) = 3√
3/2.
16. A funcao polinomial f(x) =x5
5− x3
3+ 2 e contınua no intervalo fechado e limitado [−2, 2]. Assim,
pelo Teorema dos Valores Extremos, comparamos os valores f(−2) e f(2) com os valores de f nos
pontos crıticos que estao em (−2, 2). Concluımos: mın f = f(−2) = −2615
e max f = f(2) =8615
.
17. Domınio de f = (0,∞). Derivando, f ′(x) =1− lnx
x2. Analisando o sinal de f ′(x), temos f ′(x) > 0
quando 0 < x < e; f ′(x) < 0 quando x > e ⇒ f e crescente quando 0 < x < e; f e decrescentequando x > e. Logo f tem um maximo relativo no unico ponto crıtico x = e. Como f e contınuaem x = e, concluımos que f tem um maximo absoluto em x = e.
Provando a desigualdade: f tem maximo absoluto em x = e ⇒ f(π) < f(e) =ln e
e=
1e⇒
f(π) =lnπ
π<
1e. Como e > 0 e π > 0, temos: e lnπ < π. Aplicando a propriedade de logaritmo
de potencia, temos e lnπ = lnπe, logo lnπe < π. Sabemos que a funcao exponencial e estritamentecrescente, logo eln πe
< eπ. Sabemos que eln x = x,∀x > 0, em particular eln πe= πe. Logo, πe < eπ.
18. Max f ′ = f ′(5/2) = 63/4.
19. Estudando o crescimento de f e aplicando o Teorema do Valor Intermediario, conclui-se que a unicaraiz esta em (−2,−1).
20. Idem anterior, uma raiz esta em (−π/2, 0) e a outra em (0,π/2).
21. No intervalo (0,∞), o mınimo absoluto de f(x) = x +1x
e igual a f(1) = 2. Logo f(x) ≥ f(1) = 2.
22. No instante t = 3. A concentracao maxima e19
= 0, 1111... = 0, 1.
Lista 15 Calculo I -A- 2008-1 29
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 15 - 2008-1
Esboco de graficos
Nos exercıcios 1. a 8. esboce o grafico da funcao f e de explicitamente o que se pede:
• domınio D de f ; • paridade de f ; • equacoes das assıntotas verticais e horizontais do grafico;• intervalos de D em que f e contınua; • pontos de D em que a tangente ao grafico e vertical;• intervalos de D onde f e crescente e onde f e decrescente;• extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;• intervalos onde a concavidade do grafico e para cima, onde e para baixo e os seus pontos de inflexao;• extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem; • imagem de f .
1. f(x) =x3 − 2
x
2. f(x) =16− x2
(x− 2)2
3. f(x) = (x− 1)x2/3
4. f(x) =3x + 1√
x2 − 2x− 3
5. f(x) =3x2
4− 4x + x2
6. f(x) = −1− 1x
+1x2
7. f(x) = x + senx
8. f(x) = x− 5 arctanx
9. Seja f : R∗ −→ R duas vezes diferenciavel e tal que• f(x) $= 0, ∀x ∈ R∗, f(−1) = −2 e f(1) = 3;• lim
x→0−f(x) = −∞, lim
x→0+f(x) = 0, lim
x→−∞f(x) = −∞, lim
x→∞f(x) = 0,
• f ′′(x) < 0 se {x $= 0 e x < 2}, f ′′(x) = 0 se x = 2 , f ′′(x) > 0 se x > 2;• o grafico de f ′ esta dado ao lado.Nestas condicoes,
(a) prove que f(x) > 0, ∀x > 0
(b) prove que f(x) < 0, ∀x < 0
(c) esboce um possıvel grafico de f .
Grafico de y = f !(x)y
x
–4
–2
0
2
4
–2 1 2 3 4 5 6 7 8
Esboce os graficos dos exercıcios 10. a 16.
10. f(x) =x
lnx
11. f(x) =e−
1x2
x
12. f(x) = e1x
13. f(x) = x2 lnx
14. f(x) = e−x2
15. f(x) = xe−x
16. f(x) = πx3
Lista 15 Calculo I -A- 2008-1 30
RESPOSTAS
1.
x
y
–10
10
20
–2 –1 1 2 3 4
D = (−∞, 0) ∪ (0,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntota vertical:x = 0, nao tem assıntota horizontal; nao tem reta tangente vertical; crescente em(−1, 0) ∪ (0,∞), decrescente em (−∞,−1); mınimo relativo = f(−1) = 3, nao temmaximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 0)∪
!3√
2,∞", para baixo em
!0, 3√
2",
ponto de inflexao =!
3√
2, f!
3√
2""
=!
3√
2, 0"; nao tem mınimo absoluto pois lim
x→0+f(x) =
−∞, nao tem maximo absoluto pois limx→0−
f(x) = ∞ ; imagem = (−∞,∞).
2.
y
x
–2
0
2
4
6
8
–20 –12 –8 4 8 12 16 20
D = (−∞, 2) ∪ (2,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntota vertical:x = 2, assıntota horizontal: y = −1; nao tem reta tangente vertical; crescente em(−∞, 2) ∪ (8,∞); decrescente em (2, 8); mınimo relativo = f(8) = −4/3, nao temmaximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 2) ∪ (2, 11), para baixo em (11,∞),ponto de inflexao = (11, f(11)) = (11,−35/27); mınimo absoluto = f(8) = −4/3, naotem maximo absoluto pois lim
x→2f(x) = ∞ ; imagem = [−4/3,∞).
3.
y
x
–1
1
–3 –2 –1 1 2 3 4
D = (−∞,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; nao tem assıntota vertical, nao temassıntota horizontal; reta tangente vertical: x = 0; crescente em (−∞, 0) ∪ (2/5,∞);decrescente em (2, 2/5); mınimo relativo = f(2/5) =
!−3 3√
20"/25, maximo relativo
= f(0) = 0; concavidade para cima em (−1/5, 0) ∪ (0,∞), para baixo em (−∞,−1/5),ponto de inflexao =
!−1/5,−6 3
√5/25
"; nao tem mınimo absoluto pois lim
x→−∞f(x) = −∞,
nao tem maximo absoluto pois limx→∞
f(x) = ∞ ; imagem = (−∞,∞).
4.
y
x
–6
–4
–2
2
4
6
8
–10 –5 5 10
D = (−∞,−1) ∪ (3,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntotas verticais:x = −1 e x = 3, assıntotas horizontais: y = −3 e y = 3; nao tem reta tangentevertical; crescente em (−∞,−2); decrescente em (−2,−1) ∪ (3,∞); nao tem mınimorelativo, maximo relativo = f(−2) = −
√5; concavidade para cima em (−∞,−3)∪(3,∞),
para baixo em (−3,−1), ponto de inflexao =!−3,−4
√3/3
"; nao tem mınimo absoluto
pois limx→−1−
f(x) = −∞, nao tem maximo absoluto pois limx→3+
f(x) = ∞ ; imagem
=!−∞,−
√5#∪ (3,∞).
5.
y
x0
10
20
30
–10 –5 5 10 15
D = (−∞, 2) ∪ (2,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntota vertical:x = 2, assıntota horizontal: y = 3; nao tem reta tangente vertical; crescente em (0, 2);decrescente em (−∞, 0)∪ (2,∞); mınimo relativo = f(0) = 0, nao tem maximo relativo;concavidade para cima em (−1, 2) ∪ (2,∞), para baixo em (−∞,−1), ponto de inflexao= (−1, 1/3); mınimo absoluto = f(0) = 0, nao tem maximo absoluto pois lim
x→2f(x) = ∞
; imagem = [0,∞).
6.
y
x
–2
2
4
6
–10 10
D = (−∞, 0) ∪ (0,∞); nem par, nem ımpar; contınua em D; assıntota vertical:x = 0, assıntota horizontal: y = −1; nao tem reta tangente vertical; crescente em(−∞, 0) ∪ (2,∞); decrescente em (0, 2); mınimo relativo = f(2) = −5/4, nao temmaximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 0) ∪ (0, 3), para baixo em (3,∞),ponto de inflexao = (3,−11/9); mınimo absoluto = f(2) = −5/4, nao tem maximoabsoluto pois lim
x→0f(x) = ∞ ; imagem = [−5/4,∞).
7.
y
x
–20
–10
0
10
20
–20 20
D = (−∞,∞); e ımpar; contınua em D; nao tem assıntota vertical, nao tem assıntotahorizontal; nao tem reta tangente vertical; crescente em D; nao tem mınimo relativo,nao tem maximo relativo; concavidade para cima em (π + 2kπ, 2π + 2kπ), k ∈ Z, parabaixo em (2kπ, π +2kπ), k ∈ Z, pontos de inflexao (x, y) = (2kπ, f(2kπ)) = (2kπ, 2kπ) e(x, y) = (π+2kπ, f(π+2kπ)) = (π+2kπ, π+2kπ), k ∈ Z, nao tem mınimo absoluto poislim
x→−∞f(x) = −∞, nao tem maximo absoluto pois lim
x→∞f(x) = ∞ ; imagem = (−∞,∞).
8.
y
x
–10
0
10
–20 20
D = (−∞,∞); e ımpar; contınua em D; nao tem assıntota vertical, nao tem assıntotahorizontal; nao tem reta tangente vertical; crescente em (−∞,−2)∪ (2,∞), decrescenteem (−2, 2); mınimo relativo = f(2) = 2−5 arctan 2 ∼= −3, 55, maximo relativo = f(2) =−2+5 arctan 2 ∼= 3, 55; concavidade para cima em (0,∞), para baixo em (−∞, 0), pontode inflexao = (0, 0); nao tem mınimo absoluto pois lim
x→−∞f(x) = −∞, nao tem maximo
absoluto pois limx→∞
f(x) = ∞ ; imagem = (−∞,∞).
Lista 15 Calculo I -A- 2008-1 31
9. Primeiro observe que por hipotese, ∃f ′′(x), ∀x )= 0 =⇒ ∃f ′(x), ∀x )= 0 =⇒ f e contınua ∀x )= 0.
O grafico de y = f ′(x) e os outros dados conduzem ao seguinte quadro:
−∞← x x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x → 0− 0+ ← x 0 < x < 1 x = 1 1 < x x →∞f ′(x) + 0 − − + + 0 −f(x) −∞ cresce −2 decresce −∞ 0 cresce 3 decresce 0
(a) Como limx→0+
f(x) = 0 , f e crescente no intervalo (0, 1), e contınua no intervalo (0, 1], f(1) = 3 > 0, podemos
concluir que f(x) > 0 no intervalo (0, 1].
Como f(1) = 3 > 0, f e contınua no intervalo [1,∞), decrescente no intervalo (1,∞), limx→∞
f(x) = 0,
podemos concluir que f(x) > 0 no intervalo [1,∞).
(b) Como limx→−∞
f(x) = −∞, f e crescente no intervalo (−∞,−1), e contınua no intervalo (−∞,−1], f(−1) =
−2 < 0, podemos concluir que f(x) < 0 no intervalo (−∞,−1].
Como f(−1) = −2 < 0, limx→0−
f(x) = 0, f e contınua no intervalo [−1, 0), decrescente no intervalo (−1, 0),
limx→0−
f(x) = 0, podemos concluir que f(x) < 0 no intervalo [−1, 0).
(c) Como f ′(1) = 0, f e contınua no intervalo (0,∞), f e crescente no intervalo (0, 1),f e decrescente no intervalo (1,∞), podemos concluir que f tem um maximorelativo em x = 1, onde o grafico de f tem reta tangente horizontal.Como f ′(−1) = 0, f e contınua no intervalo (−∞, 0), f e crescente no intervalo(−∞,−1), f e decrescente no intervalo (−1, 0), podemos concluir que f tem ummaximo relativo em x = −1, onde o grafico de f tem reta tangente horizontal.Analisando a concavidade do grafico:f ′′(x) < 0 se x < 0 ou 0 < x < 2 =⇒ o grafico e concavo para baixo nos intervalos(−∞, 0) e (0, 2).f ′′(x) > 0 se x > 2 =⇒ o grafico e concavo para cima no intervalo (2,∞).
x
y
–4
–3
–2
–10
1
2
3
4
–3 –2 –1 1 2 3
10. 11. 12. 13.y
x0 2 4 6 8 10
Mınimo relativo de f= f(e) = elimx→0
f(x) = 0
limx→∞
f(x) = ∞lim
x→1−f(x) = −∞
limx→1+
f(x) = ∞Assıntota vertical: x = 1
x
y
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
–10 –5 5 10
Mınimo absoluto de f
= f (−√
e) = −e−12
√2
Maximo absoluto de f
= f (√
e) =e−
12
√2
limx→−∞
f(x) = limx→∞
f(x) = 0
Assıntota horizontal y = 0
x
y
1
2
3
4
5
–10 10
limx→−∞
f(x) = 1
limx→∞
f(x) = 1
limx→0−
f(x) = 0
limx→0+
f(x) = ∞Assıntota horizontal y = 1Assıntota vertical x = 0
x
y
0
1
1
Mınimo absoluto de f
= f!
1e
"= − 1
e2
limx→0
f(x) = 0
limx→∞
f(x) = ∞
14. 15. 16.
yx
1
–4 –2 2 4Maximo absoluto de f= f(0) = 1lim
x→−∞f(x) = 0
limx→∞
f(x) = 0
Assıntota horizontal: y = 0
y
x1 2 3 4
Maximo absoluto de f
= f(1) =1
elim
x→−∞f(x) = −∞
limx→∞
f(x) = 0
Assıntota horizontal: y = 0
y
x0
2
4
6
–2 –1 1
limx→−∞
f(x) = 0
limx→∞
f(x) = ∞Assıntota horizontal: y = 0
Lista 16 Calculo I -A- 2008-1 32
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 16 - 2008-1
Problemas de otimizacao
1. Quais sao as dimensoes do retangulo de maior area que pode ser inscrito em um semi-cırculo de raio r?
2. Uma pagina deve conter 60 cm2 de area impressa. As margens superior e inferior devem ter 3 cm, enquantoas laterais tem 2 cm cada. Encontre as dimensoes da pagina que consomem a menor quantidade de papel.
3. Constroi-se uma janela normanda colocando-se um semicırculo em cima de uma janelaretangular (figura ao lado). Encontre as dimensoes da janela de area maxima, sabendo-seque seu perımetro e de 5 m.
4. Uma ilha situada a 40 km da costa deve ter um servico de barcos parauma cidade A (figura ao lado). Se os barcos tem velocidade media de15 km/h e os carros uma velocidade media de 45 km/h, onde devera estarsituada a estacao de barcos na costa, a fim de tornar a via a mais rapidapossıvel?
40 km
100 kmA
ilha
costa
5. Considere os triangulos retangulos no 1o. quadrante, cada um com seus lados apoiados nos eixos coorde-nados e em uma reta que contem o ponto (2, 3). Encontre o triangulo de area mınima.
6. Encontre as dimensoes do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio r.Calcule o volume desse cone.
7. Um oleoduto tem a forma da curva y = 1 − x2 com 0 ≤ x ≤ 1, x e y medidos em quilometros. Seraconstruıda uma cerca tangente a curva y = 1 − x2 no ponto P #= (0, 1). Determine as coordenadas doponto P de modo que a area da regiao triangular formada pela cerca e pelos eixos seja mınima.
8. Se um objeto dista x unidades de um foco de intensidade luminosa constante I, a luminosidade do objetoe igual a I/x2. Dois focos, F1 e F2 de intensidades I1 e I2, respectivamente, encontram-se separados por dunidades. Em que ponto do segmento de reta que liga F1 a F2, a luminosidade e mınima? Qual deve sera razao entre I1 e I2 para que o ponto de luminosidade mınima entre os dois focos esteja a uma distanciade d/3 unidades da fonte de luminosidade I1?
9. Um quadro de altura H esta pendurado em uma parede vertical de modo que sua borda inferior esta auma altura h do raio de visao horizontal de um observador. A que distancia da parede deve colocar-seo observador para que a sua posicao seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto e, para que oangulo de visao seja maximo?
10. Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preco de venda e de p unidadesmonetarias por tonelada do produto e esta relacionado com x por 5x = 375−3p, p ≥ 0. O custo de producaoe de C(x) = 500 + 15x + x2
6 unidades monetarias. Determine x para que o lucro (=venda−custo) sejamaximo. Determine, tambem, o lucro maximo.
RESPOSTAS
1. Base (no diametro) = r√
2 e altura = r√
2/2. 2. Sao 6 + 3√
10 ∼= 15, 49 cm e 4 + 2√
10 ∼= 10, 32 cm.
3. Retangulo: base =10
π + 4∼= 1, 4m, altura =
5
π + 4∼= 0, 7m. 4. A 100− 10
√2 ∼= 85, 86 km de A.
5. Vertices: (0, 0); (4, 0); (0, 6). 6. Raio =2√
2
3r, altura =
4
3r, volume =
32π
81r3.
7. Distancia do ponto a F1 e3√
I1 d3√
I1 + 3√
I2
, razao = 8. 8. P =
!√3
3,2
3
".
9. Distancia =√
hH + h2. 10. x = 30 toneladas e lucro = 1150 unidades monetarias.
Lista 17 Calculo I -A- 2008-1 33
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 17 - 2008-1
Funcoes hiperbolicas
1. Se senhx = −14, encontre: (a) cosh x (b) tanhx (c) senh 2x
2. Determine x tal que tanh x = −14.
Nos exercıcios 3. a 5. mostre que as igualdades se verificam.
3. tanh(lnx) =x2 − 1x2 + 1
4. coshx + senhx = ex
5. (coshx + senhx)n = cosh nx + senhnx (sugestao: use o exercıcio 4.)
Derive as funcoes dos exercıcios 6. a 8.
6. f(x) = tanh( sen x)
7. f(x) = senh (ln 2x) + cosh(ln 2x)
8. f(x) = xcosh x
9. Mostre que cot (π cosh (ln 3))− arcsen (tan (π senh (ln 2))) =π
2−√
33
.
Calcule os limites dos exercıcios 10. e 11.
10. limx→0
!1 + ex
2
"coth x
11. limx→0+
!senh x
x
" 1x
12. Encontre, se existirem, as assıntotas horizontais e verticais do grafico da funcao f(x) = x coshx e esboceo seu grafico.
RESPOSTAS
1. (a)√
174
(b) −√
1717
(c) −√
178
2.12
ln35
3. tanh(lnx) =12
#eln x − e− ln x
$
12 (eln x + e− ln x)
=x− 1
x
x + 1x
=x2 − 1x2 + 1
4. coshx + senhx =ex − e−x
2+
ex + e−x
2=
2ex
2= ex
5. coshnx + sen nx = enx = (ex)n = (cosh x + senhx)n
6. f ′(x) = cos x sech2( sen x)
7. f ′(x) = 2
8. xcosh x
!senhx lnx +
coshx
x
"
10. e12
11. 1
12. Nao tem assıntotasy
x–2 –1 1 2
limx→−∞
f(x) = −∞
limx→∞
f(x) =∞
Lista 18 Calculo I -A- 2008-1 34
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
LISTA 18 - 2008-1Anti-derivada
Integral indefinidaProblema de valor inicial
Calcule as integrais dos exercıcios 1. a 16.
1.! "
( 3√
t )2 − 2#
dt
2.!
x−√
x
3dx
3.! $
3x2− 1
%dx
4.! &
2x
dx
5.!
(2− s)√
s ds
6.!
x9 − x3
x4dx
7.!
sen 2θ
cos θdθ
8.!
cos x
1− cos2(x)dx
9.!
tan2 u du
10.!
1 + x2 +1
1 + x2dx
11.!
e2x − 3ex
exdx
12.!
x2
1 + x2dx
13.! √
1− x2
1− x2dx
14.!
11 + senh 2y
dy
15.! '
et − e−t(
dt
16.!
x'1− tanh2 x
(cosh2 x dx
17. Encontre a expressao que define a funcao f , cujo grafico contem o ponto'4, 5
3
(e cuja derivada
e f ′(x) =√
x (2√
x− 1).
Resolva os problemas de valor inicial dos exercıcios 18. a 20.
18.
)y′ =
1x2− 1
x3
y(1) = 32
19.
)y′ =
1x− 1
x3
y(1) = 220.
*f ′(x) = 2 cosx− 3 csc2 xf
'π2
(= 8
21. Uma funcao tem derivada de segunda ordem f ′′(x) = 6x − 6. Encontre a expressao da f ,sabendo que seu grafico contem o ponto (2, 1) e que em tal ponto a reta tangente tem equacao3x− y − 5 = 0.
RESPOSTAS
1. 35 t
53 − 2t + C
2.x2
6− 2√
x3
9+ C
3. − 3x− x + C
4. 2x
&2x
+ C
5. 43 s
32 − 2
5 s52 + C
6.x6
6− ln |x| + C
7. −2 cos θ + C
8. − csc x + C
9. −u + tanu + C
10. x +x3
3+ arctanx + C
11. ex − 3x + C
12. x− arctanx + C
13. arcsenx + c
14. tanh y + C
15. 2 cosh t + C = et + e−t + C
16.x2
2+ C
17. f(x) = x2 − 43
√x3 − 9
18. y = 2− 1x
+1
2x2
19.32
+1
2x2+ ln |x|
20. 6 + 2 sen x + 3 cotx
21. f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1