MAP2110 - Modelagem e Matemática

15 de abril de 2010

Lista de Exercícios 1 com demonstrações1. Seja A ∈ M3×2(R) dada por

A =

1 a3 94 12

onde a ∈ R:

(a) Encontre X ∈ M2×3(R) tal que XA = I ∈ M2×2;

(b) Faça a = 17 e calcule X;

(c) A matriz X encontrada é a inversa de A? Explique.

Demonstração. (a) Podemos escrever a matrix X como[ x1 x2 x3

x4 x5 x6

]e no-

tar que as equações podem ser escritas como[

AT 00 AT

]x =

[1001

], x =

(x1, . . . , x6), o que é equivalente a AT XT = I.Este último sistema está na forma em que podemos escalonar, o ori-ginal não! Aí obtemos uma resposta geral, com duas variáveis livres(x3, x6):

X =[ 3

3−aa+(12−4a)x3

3a−9 x31

a−31−(12−4a)x6

9−3a x6

](1)

(b) Se a = 17 temos

X =[−314

17−56x342 x3

114

1+56x642 x6

](2)

(c) Pode-se argumentar de diversas formas para justificar que X não é amatrix inversa de A. As duas mais comuns são: XA , AX e X não estáúnicamente determinada. Você consegue pensar em outro argumento?

�

1

2. Dadas as matrizes A, B ∈ M4×4(R).:

A =

1 2 4 68 10 11 97 5 3 1216 15 13 14

B =

1 0 0 11 1 0 00 1 0 10 0 114 1

(a) Mostre que existe X ∈ M4×4(R) tal que AX = B;(b) Calcule X23.

Demonstração. (a) Para mostrar que o sistema AX = B tem solução,basta escalonar a matrix A e notar que o resultado tem exatamente4 pivôs. A mera existência de X é independente de B.

(b) O sistema AX = B representa 4 sistemas, um para cada coluna deB. Basta resolver o sistema Ay = B3, B3 é a terceira coluna de B.Obtemos X43 = y4 = −13, X33 = y3 = 57, X23 = y2 = −115 (e só porcompletude, x13 = y1 = 80).

�

3. Se A e B são matrizes particionadas em submatrizes,

A =[

A11 A12

A21 A22

]B =[

B11 B12

B21 B22

],

então podemos escrever

AB =[

A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22

A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

],

desde que as dimensões das submatrizes sejam compatíveis com as opera-ções indicadas. Generalize o método e calcule AB onde

A =

−1 2 1 50 −3 4 21 5 6 1

B =

2 1 4−3 5 27 −1 50 3 −3

.Demonstração. Para generalizar o método, escrevo A =

[(A1)2×4(A2)1×4

]e B =

[ (B1)4×1 (B2)4×1 (B3)4×1 ]. Assim, notando que os produtos indicados abaixo estãodefinidos,

AB =[

A1B1 A1B2 A1B3

A2B1 A2B2 A2B3

]=

−1 23 −1037 −13 829 23 41

.�

2

4. Mostre que o produto de um número qualquer de matrizes inversíveis éinversível e, se A1, . . . , Ak são matrizes n×n inversíveis então (A1 · · · Ak)−1 =

A−1k A−1

k−1 · · · A−12 A−1

1 .

Demonstração. Vamos argumentar por indução em K. Se k = 2 temos

(A1A2)−1 = A−12 A−1

1 , pois A−12

I︷︸︸︷A−1

1 A1 A2 = A−12 A2 = I = A1A−1

1 = A1

I︷︸︸︷A2A−1

2 A−11 .

Esta é a base da indução.

Para demonstrar o passo da indução, suponha que o resultado vale de n = 2até k − 1, ou seja, (A1 · · · An)−1 = A−1

n · · · A−12 A−1

1 para n = 2, . . . , k − 1 , evejamos que isto implica a validade do resultado para k.

Escrevendo Bi = Ai para i = 1, . . . , k − 2 e Bk−1 = Ak−1Ak, temos(B1 · · · Bk−1)−1 = B−1

k−1 · · · B−12 B−1

1 = (Ak−1Ak)−1A−1k−2 · · · A

−11 . O resultado se-

gue da base da indução aplicado em Ak−1Ak. �

5. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que, para qualquer n ∈ N, se An+1 = 0então (I − A)−1 = I + A + · · · + An. (Sugestão: Multiplique por I − A.)

Demonstração. Note que (I − A)(I + A + · · · + An) = I + A + · · · + An − A −· · · − An − An+1 = I − An+1. Note que o produto não depende da ordem eque a última igualdade deve ser demonstrada por indução (faça isso). ComoAn+1 = 0, temos que (I−A)(I+A+· · ·+An) = (I+A+· · ·+An)(I−A) = I. �

6. Seja Jn a matriz quadrada dada por (Jn)i j = 1 para todo par (i, j). Mostreque se n > 1 então (I − Jn)−1 = I − 1

n−1 Jn. (Sugestão: Calcule J2n .)

Demonstração. Utilizando o método estabelecido no exercício 3 e deno-tando Jn = [ an | ... | an ], onde an é um vetor n×1 com 1 em todas as entradas,podemos observar que

(J2n)i j =

n∑k=1

(JTn )ik(Jn)k j = aT

n an.

Agora basta mostrar por indução que aTn an = n. Está claro que aT

1 a1 = 1.Suponha que o resultado vale para n = 1, . . . , k − 1, vamos mostrar que istoimplica que o resultado vale para n = k também. Ora, aT

k ak = aTk−1ak−1+1 =

(k − 1) + 1 = k termina a demonstração.

Temos que (I− 1n−1 Jn)(I− Jn) = I− Jn−

1n−1 Jn+

1n−1 J2

n = I− 1n−1 (nJn− J2

n) = I.Verifique que o produto acima é comutativo. �

3