INSTITUTO FEDERAL FLUMINENSE - CAMPUS MACAÉ

Engenharia de Controle e Automação IndustrialDisciplina: Cálculo Diferencial e Integral IVProf.": Marques Fredman Mescolinhttps://sites.google.com/site/mescolinmarques/mescolinmarques©gmail.comLista 1 - Números Complexos

1. Determine:

(b) (1- i)12 (c) i-3333

. 2 + ai .2. Determine a E IR para que --o seja:

l-'/,

(a) real (b) imaginário puro

3. Determine a área do triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexos raízesda equação Z3 + Z2 + Z = o.

4. Determine os números complexos que têm o quadrado igual ao conjugado.

5. Determine o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que:

(a) z·z=l(b) Z2 é imaginário puro

(c) Re(z) > 1

(d) z = z(e)

(f)

z·z+z+z=o1 ,

z + - e realz

6. Se z é um número complexo não-real, qual é a natureza do quadrilátero cujos vérticessão os afixos de z, z, -z e -z?

7. Resolva o sistema

{(I - i)z + i .w = i2z + (1 + i)w = O

8D·' I . 11. eterrrune os numeros comp exos z tais que z + - =z9. Determine o polinômio de 2° grau, de coeficientes reais, que admite 1 - 3i como raiz.

1

10. Determine a real para que a equação Z2 + (a + i)z + 2 -:- 3i = O admita uma raiz real.

11. O polinômio P(z), de coeficientes reais é tal que P(l - 2i) = 2 + 3i. Determine ovalor de P(l + 2i).

12. Uma das raízes da equação x4 + bx2 + C = 0, b e c reais é 1+ 3i. Determine as demais.

13. Para n E Z, quantos valores diferentes pode ter a expressão i" + i-n?

14. Calcule 1 + i+ i2 + ... + i",

15. Obtenha uma expressão para o inverso de um número complexo z.

16. Resolva as equações:

(a) z + 2z = 6 + i(b) (1 + i)z + 3iz = 2 + i

17. Prove que:

(a) z = z

(b) Se z = z então z E IR.

(c) z-w=z-w1

(d) Se - = Z, então z = 1z

(e) \f z·E C, z + z E IR

(f) Re(z-z)=0

Algumas Respostas

1) a) 7/25+~, b) -64, c) -i, d) l+i. 2) a) -2, b) 2i. 3) V3;4. 4) Oe L 5) a) circunferênciacom centro na origem e raio 1. b) retas bissetrizes. 6) É um quadrado. 7) z = -1/4-1/4i e w = 1/2.8) 1/2 + ..J3/2i e 1/2 - ..J3/2i. 9) 1± 3i. 10) -11/3. 11) 2 - 3i. 12) 1± 3i, -1 ± 3i. 13) 4 valores.14) 1, i,-1, -i de acordo com o resto da divisão de n por 4. 15) a/(a2 + b2) - b/(a2 + b2)i. 16) a)2 - i. b) i. 17) Exercício teórico, sugestão: trocar z por a + bi para verifcar as informações dadas.

Referências

[1] ÃVILA,GERALDO. Variáveis Complexas e aplicações. 3a Edição. LTC Editora: Rio de Janeiro, 2000.[2] LIMA, ELON LAGES et. ali. A Matemática do Ensino Médio - Volume 3. SBM, Rio de Janeiro, 2006.[3] MORGADO, AUGUSTO C. et. ali. Trigonometria - Números Complexos. SBM, Rio de Janeiro, 2005.[4] ZILL, DENNIS & CULLEN, MICHAEL. Matemática avançada para Engenharia - Volume 3. BookmanEditora. Porto Alegre, 2009.

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