AULA 7 - Exercıcios

1. Suponha que as especificacoes do fabricante sobre a extensaode certo tipo de cabo para computadores sejam de 2000 ± 10milımetros. Nessa industria, sabe-se que um cabo menor tem amesma possibilidade de ser defeituoso (nao atender as especi-ficacoes) do que um cabo maior. Ou seja, a probabilidade de seproduzir, aleatoriamente , um cabo maior que 2010 mm e iguala probabilidade de se produzir um cabo com menos de 1990mm. Sabe-se que a probabilidade de que os procedimentos deproducao atendam as especificacoes e de 0,99.

a) Qual e a probabilidade de que um cabo selecionado aleato-riamente seja muito grande? Resp: 0,005

b) Qual e a probabilidade de que um cabo selecionado aleato-riamente seja maior que 1990 mm? Resp: 0,995

2. Ha um interesse centrado na vida util de um componenteeletronico. Suponha que se saiba que a probabilidade de queesse componente sobreviva mais que 6.000 horas e 0,42. Suponha,tambem, que a probabilidade de que tal componente sobrevivanao mais que 4.000 horas e 0,04.

a) Qual e a probabilidade de que a vida util do componenteseja menor ou igual a 6.000 horas?

b) Qual e a probabilidade de que a vida util deste compo-nente seja maior que 4000 horas?

3. Considere o processo industrial em uma industria textil, noqual tiras de determinado tipo de tecido estao sendo produzi-das. Essas faixas de tecido podem ter dois tipos de defeitos,no comprimento ou na natureza de sua textura. No caso dedefeito na textura, o processo de identificacao e bastante com-plicado. Sabe-se, de dados historicos do processo, que 10% dostecidos falham no teste de comprimento, 5% falham no testede textura e somente 0,8% falham em ambos os teste. Se umafaixa de tecido for selecionada aleatoriamente ao processo euma rapida medicao indicar que tal faixa falhou no teste decomprimento, qual e a probabilidade de que haja defeito natextura? Resp:0,08

4. Considere uma caixa com 20 fusıveis, dentre os quais cincoapresentam defeito. Se dois fusıveis, sao selecionados aleato-riamente e removidos da caixa, sucessivamente, sem reposicaodo primeiro, qual e a probabilidade de que ambos apresentemdefeito? Resp:0,053

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5. Uma industria emprega tres planos analıticos para criar e de-senvolver certo produto. Devido aos custos, os tres planos saousados em momentos variados. Na realidade, os planos 1, 2 e3 sao usados para 30%, 20% e 50% dos produtos, respectiva-mente. O ındice de defeitos e deferente para os tres procedi-mentos: P (D|P1) = 0, 01, P (D|P2) = 0, 03, P (D|P3) = 0, 02,onde P (D|Pj) e a probabilidade de um produto apresentar de-feitos, dado que foi usado o plano j. Se selecionarmos um pro-duto aleatoriamente e observarmos que ele apresenta defeitos,qual foi provavelmente o plano usado e, em consequencia, re-sponsavel pelo defeito? Resp: Plano 3

6. Uma variavel aleatoria X tem funcao de distribuicao dada por:

F (X) =

0 se x < 10;0, 2 se 10 ≤ x ≤ 12;0, 5 se 12 ≤ x ≤ 13;0, 9 se 13 ≤ x ≤ 25;1 se x ≥ 25.

(1)

Determine

a) A funcao de probabilidade de X.Resp:

X 10 12 13 25

P (X = x) 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1(2)

b) P (X ≤ 12) Resp: P (X ≤ 12) = F (12) = 0, 5

c) P (X < 12) Resp: P (X < 12) = F (10) = 0, 2

d) P (12 ≤ X ≤ 20) Resp: P (12 ≤ X ≤ 20) = P (X ≤ 20) − P (X <

12) = F (13)− F (10) = 0, 7

e) P (X > 18) Resp: P (X > 18) = 1 − P (X ≤ 18) = 1 − F (18) =

1− F (13) = 0, 1

7. Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25, e meu colega temoutros 5 bilhetes, com os numeros 1, 11, 29, 68 e 93. Quemtem maior possibilidade de ser sorteado? (Dica: Use o modelouniforme discreto) Resp: Possuem a mesma chance.

8. Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamentoeletronico de um fabricante. O fabricante indica que a taxa deequipamentos com defeito e de 3%.

a) O inspetor da rede varejista seleciona 20 itens, com reposicao,de um carregamento. Qual e a probabilidade de que hajapelo menos um item defeituoso entre esses 20? (Dica: Useo modelo de probabilidade binomial) Resp: 0,4562

b) Suponha que a rede varejista receba dez carregamentospor mes e o inspetor selecione aleatoriamente 20 equipa-mentos, com reposicao, de cada carregamento. Qual eprobabilidade de que haja tres carregamentos com pelomenos um item com defeito? Resp: 0,1602

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9. Lotes de 40 componentes cada sao chamados de inaceitaveisse contiverem tres ou mais itens defeituosos. O procedimentopara a amostragem do lote e selecionar cinco componentesaleatoriamente, sem reposicao, e rejeitar o lote se um itemdefeituoso for encontrado. Qual e a probabilidade de que ex-atamente um item defeituoso seja encontrado na amostra seha tres defeituosos no lote inteiro? (Dica: Usar a distribuicaohipergeometrica) Resp: 0,3011

10. Em certo processo de fabricacao, sabe-se que, em media, umem cada 100 itens apresenta defeitos. Qual e a probabilidadede que o quinto item inspecionado seja o primeiro item defeitu-oso encontrado? (Dica: Use a distribuicao geometrica). Resp:0,0096

11. O numero medio de navios petroleiros que chegam a cada diaem certo porto e dez. As instalacoes do porto podem suportarno maximo 15 navios por dia. Qual e a probabilidade de que,em certo dia, navios terao de ser mandados embora? (Dica:Use a distribuicao Poisson). Resp: 0,0487

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