7/26/2019 Lista 7 - Singularidades e Resduos - Eltrica

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UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DE PARANA

VARIAVEIS COMPLEXAS - 2016/1

LISTA Nro. 7 ENGENHARIA ELETRICA

Singularidades e Resduos

Professor: Dr. Michael Gonzales

1) Encontre os polos, suas ordens e os resduos das funcoes para cada polo:

(a) z+ 4

z(z2 + 1) (b)

sin z

z3(z ) (c) 1 ezz4 sin(1 +z)

(d) cosh z

z(1 cos z) (e) ez

z(1 ez) (f) sinh z

zsinh2(z+/2)

(g) 1

zsin2 z(h)

1

(eiz 1)2

2) Atraves dos correspondentes desenvolvimentos em serie de Laurent, classifique as singularidades

das funcoes indicadas a seguir e indique os respectivos resduos:

(a) f(z) = sin z

z (b) f(z) =z3e1/z (c) f(z) =

1

(1 z)2

(d) f(z) = z

z2 + 1 (e) f(z) =

1

z(1 z)2

3) Sem recorrer aos desenvolvimentos em serie de Laurent, classifique as singularidades das funcoes

indicadas a seguir e determine os respectivos resduos:

(a) f(z) =

sin2 z

z3 (b) f(z) =

(eiz

i)2

z 2

(c) f(z) = 2z+ 1

(z 1)(z2 2z+ 2) (d) f(z) =eiz 1

sin z

4) Demostre quez0 e polo de ordem mde uma funcaofse, e somente se, z0 for zero de ordem mde

1/f.

5) Encontre a parte principal da funcaof(z) = 1

z(z i)2 em relacao ao polo z = i.

1

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6) Determine a parte principal da funcao

f(z) = 1

(z n)2 sin zrelativa ao poloz = n (ninteiro).

7) Determine os polos, as ordens e os resduos correspondentes de cada uma das funcoes:

(a) z sin zz4

(b) z sin zz6

(c) ez

4z2 +2

(d) e3z

z(z 1)2 (e) 1

zsin z (f)

z

zsin z

8) Calcule a integral

C

ez

(z i)(z2 + 4) dz,

tomandoC, sucessivamente, os seguintes crculos, todos orientados positivamente:

(a) de raio 3, centrado na origem;

(b) de raio 3, centrado emz =3i;(c) de raio 1/3, centrado em z = 2i;

(d) de raio 2, centrado no ponto z = 1.

9) Calcule as integrais

(a)

|z|=1

ez

sin z (b)

|z1|=1

tan3zdz (c)

|z|=2

cot z

z dz

10) Calcule as integrais de cada uma das seguintes funcoes ao longo do crculo unitario com centro na

origem, percorrida no sentido antihorario.

(a) z2ez (b) ze1/z (c) z2 sin(z)(ez 1)

11) Calcule a integral das seguintes funcoes ao longo dos lados do trangulo de vertices2,2i, 1 + ipercorrida no sentido antihorario.

(a) 3z2

(z2 1)2 (b) 1

z(z2 + 1) (c) cosh(1/z) (d)

(cos(z) 1)2z2

12) Com respeito ao caminhodado por (t) = 2ei2t, t[0, ] calcule as seguintes integrais:

(a)

e(11/z)dz (b)

1

(z2 + 1)2dz (c)

sec2 zdz

2

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13) Calcule as integrais indefinidas:

(a)

dx

x4 + 1 (b)

dx

ax2 +bx+c a,b,cR, b2 0 (h)

0

x2 + 1

x4 + 1

14) Mostre que

0

dx

(x2 +a2)(x2 +b2)=

2ab(a+b)

onde ab >0, considere as duas possibilidades a=b e a = b.

15) Calcule

0

dx

(x2 + 1)(x2 + 4)2

16) Mostre que

x2dx

(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2) =

7

50.

17) Mostre que

0

cos mx

x2 + 1dx=

2em, m > 0.

18) Calcule

x sin x

x2 + +2x+ 5dx.

19) Mostre que

0

sin x

x dx=

2.

20) Mostre que

0

cos2xx4 +x2 + 1

dx= 2

3e/

3.

21) Mostre que, sem >0

0

cos mx

(x2 + 1)2dx=

em(1 +m)4

.

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