1 LISTA 7 CLCULO 2 04/12/2011 PROF. LUS ANTNIO.Questo 1.

A funo diferencivel z = z(x, y) dada implicitamente pela equao ff v

x z , y x

=

0, ( = 0) um real xo, onde f (u, v) suposta diferencivel e xQuesto 2. Questo 3.

= 0. Verique que

z z +y = z. x y(u,v) . (x,y)

y Sejam u = x + y e v = x . Calcule o determinante jacobiano

Calcule:

(a) (b) (c) (d)

(F,G) (x,y) (u,v) (y,z) (x,y) (r,s) (x,y) (s,t)

sendo F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e G(x, y, z) = x + y + z . sendo u = xyz e v = x3 + y 2 . sendo x = r + 3s + t2 e y = r2 s2 3t2 . sendo x = r + 3s + t2 e y = r2 s2 3t2 . Seja g(u, v) = f (x, y), onde x = x(u, v) e y = y(u, v) so dadas implicitamente

Questo 4.

pelo sistema

u = x2 + y 2 v = xy.

Suponha que x f y f = 0 x y (a) Mostre que (b) Calculeg . u y u y x = x u .

(c) Mostre que f constante sobre as hiprboles xy = c.Questo 5.

dada uma curva (t) que passa pelo ponto (t0 ) = (1, 3) e cuja imagem est

contida na curva de nvel x2 + y 2 = 10. Suponha (t0 ) = 0. (a) Determine a equao da reta tangente no ponto (1, 3). (b) Determine uma curva (t) satisfazendo as condies acima.Questo 6.

Determine a equao da reta tangente curva de nvel dada, no ponto dado

(a) x2 + xy + y 2 3y = 1 em (1, 2).

2 (b) e2xy + 2x + 2y = 4 em (1/2, 1).Questo 7.

(a) Determine uma reta que seja tangente elpse 2x2 +y 2 = 3 e paralela reta 2x+y = 5. (b) Determine uma reta que seja tangente curva x2 + xy + y 2 = 7 e paralela a reta

4x + 5y = 17.Questo 8.

Utilizando argumentos geomtricos, determine solues da equao diferencial

parcial dada: a)

3

f f +2 =0 x y

b)

f f =0 x y

c)

f f + =0 x yf x

d)

y

f f x = 0. x y

Questo 9.

Determine uma funo z = f (x, y) tal que

= 2 f e cujo grco contm a y

imagem da curva (t) = (t, t, t2 ), t R.Questo 10.

Determine uma curva (t) = (x(t), y(t)) que passe pelo ponto (0) = (1, 2) e Determine uma funo y = y(x) cujo grco intercepte ortogonalmente as

que intercepte ortogonalmente as curvas da famlia x2 + 2y 2 = c.Questo 11.

curvas da famlia xy = c, com x > 0, y > 0, c tal que a)Questo 12.

y(1) = 1

b) y(1) = 2.

Determine as equaes do plano tangente e da reta normal superfcie dada,

no ponto dado. (a) x2 + 3y 2 + 4z 2 = 8 em (1, 1, 1). (b) 2xyz = 3 em (1/2, 1, 3). (c) z = exy + z 3 = 2 em (2, 2, 1).Questo 13.

Determine um plano que seja tangente superfcie x2 + 3y 2 + 2z 2 =

11 6

e

paralelo ao plano x + y + z = 10.Questo 14.

dada uma funo diferencivel z = f (x, y) cujo grco est contido na superfcie x2 + y 2 + z 2 = 1. Sabe-se que f (1/2, 1/2) = 2/2. Determine a equao do plano tangente ao grco de f no ponto (1/2, 1/2, 2/2).Questo 15.

A imagem da curva (t) est contida na interseo das superfcies x2 +y 2 +z 2 =

3 e x2 + 3y 2 z 2 = 3. Suponha (t0 ) = (1, 1, 1) e (t0 ) = 0. Determine a reta tangente a em (t0 ).

3Questo 16.

Considere a funo4

z=

8 + x2 + y 2 y

a) Determine uma funo F (x, y, z), que no envolva radicais em sua expresso, tal que a funo dada seja denida implicitamente pela equao F (x, y, z) = 0. b) Determine a equao do plano tangente ao grco da funo dada no ponto (2, 2, 1).Questo 17.

Calcule

f (x0 , y0 ), u

sendo dados:

(a) f (x, y) = x2 3y 2 , (x0 , y0 ) = (1, 2) e u o versor do vetor 2i + j . (b) f (x, y) = ex2 y 2

, (x0 , y0 ) = (1, 1) e u o versor do vetor (3, 4).1 1 , 2 2

(c) f (x, y) = arc tg (x/y), (x0 , y0 ) = (3, 3) e u o versor do vetorQuesto 18.

.

Admita que T (x, y) = 16 2x2 y 2 represente uma distribuio de tempera-

tura no plano xy . Determine uma parametrizao para a trajetria descrita por um ponto

P , que se desloca do ponto (1, 2) sempre na direo e sentido de mximo crescimento datemperatura.Questo 19.

Seja f (x, y) = xy . Determine uma parametrizao para a trajetria descrita

por um ponto P , que se desloca a partir do ponto (1, 2) sempre na direo e sentido de mximo crescimento da temperatura.Questo 20.

Seja f (x, y) = xy . Determine a equao da reta tangente ao grco de f , no Seja f (x, y) = x + 2y + 1. Determine a reta contida no grco de f , passando Um ponto P descreve uma trajetria sob o grco de f (x, y) = 4x2 + y 2 .

ponto (1, 2, f (1, 2)) e que forma com o plano xy ngulo mximo.Questo 21.

pelo ponto (1, 1, 4) e que forma com o plano xy ngulo mximo.Questo 22.

Sabe-se que a reta tangente em cada ponto da trajetria forma com o plano xy ngulo mximo. Determine uma parametrizao para a trajetria admitindo que ela passe pelo ponto (1, 1, 5).Questo 23.

Suponha que T (x, y) = 40 x2 2y 2 represente uma distribuio de tempe-

ratura no plano xy , Admita que x e y so dados em kilmetros e a temperatura em C . Um indivduo encontra-se na posio (3, 2) e pretende dar um passeio. (a) Descreva o lugar geomtrico dos pontos que ele dever percorrer se for seu desejo desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto (3, 2).

4 (b) Qual a direo e sentido que dever tomar se for seu desejo caminhar na direo de mximo crescimento da temperatura? (c) De quanto a temperatura se elevar aproximadamente, caso caminha 0, 01 km na direo encontrada no item b)? (d) De quanto decrescer, aproximadamente, a temperatura, caso caminha 0, 01 km na direo j ?Questo 24.

Sejam f (x, y) diferencivel e u, v dois vetores unitrios e ortogonais. Prove

que

Questo 25.

f f (x, y)u + (x, y)v. u v Seja g(r, ) = f (x, y), com x = r cos e y = r sen e suponha f diferencivel f (x, y) =

num aberto de R2 . Sejam u = cos i + sen j e v = sen i + cos j . Mostre que (a) (b) (c)g (r, ) r

=

f (x, y) u

e

1 g (r, ) r

=

f (x, y). v

f (x, y) = f (x, y)2

f (x, y)u u

+

f (x, y)v. v

=

2 g (r, ) r

+

1 r2

2 g (r, )

onde x = r cos e y = r sen .

Questo 26.

Calcule

f (1, 1) sendo f (x, y) = arc sen y x2 + y 24

.

(Sugesto: Faa g(r, ) = f (x, y) onde x = r cos e y = r sen e utilize o item c) do exerccio anterior.)Questo 27.

Seja F (r, , ) = f (x, y, z), com x = r sen cos , y = r sen sen e z =

r cos onde f diferencivel em R3 . Prove que f (x, y, z) =onde

F 1 F 1 F (r, , )u + (r, , )v + (r, , )w r r sen r

u = ( sen cos , sen sen , cos ) v = (a, b, c) w = (cos cos , cos sen , sen ).Encontre os valores de a, b e c acima.