Exercícios sobre Matrizes – Parte I - GABARITO

1. Sejam

A=1 2 3

B=-2 0 1

C=-1

D=2 -1 1 3 0 1 2 2 -1

4

a)

A+B=-1 2 4

5 -1 2

b)

AC=15

0

c)

BC=6

1

d)

CD=-2 1

4 -2

8 -4

e)

DA= 0 5 5

f)

DB= -7 0 1

Basta adicionar elemento a elemento de A e B que ocupam a mesma posição na matriz.

Processo de multiplicar linha de A pela coluna de C. Repare que A2x3, C3x1, logo AC2x1.

Processo de multiplicar linha de B pela coluna de C. Repare que B2x3, C3x1, logo BC2x1.

Processo de multiplicar linha de C pela coluna de D. Repare que C3x1, D1x2, logo CD3x2.

Processo de multiplicar linha de D pela coluna de A. Repare que D1x2, A2x3, logo DA1x3.

Processo de multiplicar linha de D pela coluna de B. Repare que D1x2, B2x3, logo DB1x3.

2 x2 2 2x-12x-1 0 x2 0

=

g) h)

3A=3 6 9 - D= -2 1

6 -3 3

i)

D(2A+3B)= 2 -1 2 4 6 -6 0 3

4 -2 2 + 9 0 3

= - 21 10 13

2. Seja A= 2 x2 . Se A = At encontre o valor de x. 2x-1 0

Solução. Se A = At (matriz transposta), então:

Duas matrizes são iguais, se cada elemento de Aij é igual a cada elemento de Atij. Logo, basta resolver a

equação x2 = 2x – 1. Utilizando a fatoração, temos: x2 -2x +1 = 0 pode ser escrito como (x-1)2 = 0. A solução é a raiz dupla x=1.

3. Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, tente consertá-la para que se torne verdadeira.

a) (-A)t = - (At). Verdadeira. Basta observar que a matriz está somente multiplicada por (-1).

b) (A+B)t = Bt + At. Verdadeira. Observe que vale At + Bt, pois a adição entre matrizes é comutativa.

c) (-A)(-B) = - (AB) Falso. Mesmo considerando as possibilidades de o produto existir, isto é, número de linhas de A ser igual ao número de colunas de B, o resultado do produto indicado é positivo: (AB).EXEMPLO.

1 2 3 -2 0 1A= 2 -1 1 B= 3 0 1

5 8 2 4 2 1

-1 -2 -3 2 0 -1- A= -2 1 -1 - B= -3 0 -1

-5 -8 -2 -4 -2 -1

(- A)(- B)=16 6 6

(AB)=16 6 6

- (AB)=-16 -6 -6

-3 2 2 -3 2 2 3 -2 -222 4 15 22 4 15 -22 -4 -15

Basta multiplicar cada elemento pelo número que multiplica a matriz. Nos casos, 3 e (-1).

Aplicação da multiplicação de matriz por número e depois produtos de matrizes.

d) Se A e B = AT são matrizes quadradas, então AB = BA. Falso. Matrizes transpostas podem comutar sob certas condições, mas não são todas. Veja o exemplo.

1 2 3 1 2 5A= 2 -1 1 B = At= 2 -1 8

5 8 2 3 1 2

(AB)14 3 27

(BA)30 40 15

3 6 4 40 69 2127 4 93 15 21 14

e) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. Verdadeiro. Observe que pela condição da existência do produto (número de linhas da primeira matriz ser igual ao número de colunas da segunda matriz), sendo as matrizes iguais, não poderia haver matriz onde seu número de linhas fosse diferente do de colunas.

4. Dadas

1 -3 2 1 4 1 0 2 1 -1 - 2A= 2 1 -3 B= 2 1 1 1 C= 3 -2 -1 -1

4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0

Mostre que AB = AC.

AB=-3 -3 0 1

AC=-3 -3 0 1

1 15 0 -5 1 15 0 -5-3 15 0 -5 -3 15 0 -5

5. Explique por que, em geral, e

Solução. No caso das matrizes, já vimos que nem sempre há comutatividade na operação de multiplicação. Não podemos confundir a operação de multiplicação nos números reais, onde ab = ba. E no caso dos produtos notáveis, temos (a+b)2 = (a+b).(a+b) = (a2 + ab + ba + b2) e nesse caso ab + ba = 2ab. Na multiplicação de matrizes, A.B e B.A pode não ser 2AB, o mesmo acontecendo no caso da diferença de quadrados: ab – ba = 0 (reais), mas AB – BA pode não ser zero.

6. Dadas

2 -3 -5 -1 3 5 2 -2 -4A= -1 4 5 B= 1 -3 -5 C= -1 3 4

1 -3 -4 -1 3 5 1 -2 -3

a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.

AB=0 0 0

BA= 0 0 0

AC= 2 -3 -5

CA=2 -2 -4

0 0 0 0 0 0 -1 4 5 -1 3 40 0 0 0 0 0 1 -3 -4 1 -2 -3

b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 – B2 = (A–B) (A+B) e (A + B)2 = A2 + B2.

Solução.

i) Observamos que ACB = AB (pois AC=A) e AB=0. Da mesma forma CBA=CAB=AB=0.

ii) Como AB = BA, podemos cancelá-los em : A2 + AB – BA – B2 = A2 – B2.

Repara que AB = AC não implica em B = C.

Observe que para haver comutatividade entre as matrizes transpostas é necessário que sejam quadradas, mas não é suficiente. Caso sejam simétricas, sempre comutam. E vice-versa.

3 -2-4 3

A=

iii) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Como AB = BA = 0, (A + B)2 = A2 + B2.

7. Se , ache B tal que B2 = A.

Solução. A matriz B é da forma:

B=a b

B2 =a b

xa b

=a2+ bc ab + bd

c d c d c d ac + cd bc + d2

Igualando os termos com a matriz A, temos:

a2 + bc = 3 (*)bc + d2 = 3. Logo a2 = d2 e a = + d.

Observamos ainda que:

ab + bd = -2 Substituindo a = d, temos 2bd = -2 ou bd = -1 implicando que b = (-1/d)ac + cd = -4 Substituindo a = d, temos 2cd = -4ou cd = -2 implicando que c = 2b.

Substituindo em (*), temos: d2 + b(2b) = 3 ou d2 + 2b2 = 3 ou ainda, d2 + 2(1/d2) = 3. Multiplicando todos os termos por d2, temos:

d4 + 2 = 3d2. Substituindo o termo d2 = y, temos a solução de uma equação biquadrada.

y2 – 3y + 2 = 0, onde pela fatoração temos y = 1 ou y = 2. Ou seja, d = + ou d = + 1.

Possíveis matrizes:i) Se d = + , a = , b = -1/ e c = -2/

B=-1/

-2/

ii) Se d = - , a = - , b = 1/ e c = 2/

B= - 1/

2/ -

iii) Se d = -1, a = -1, b = -1/-1 e c = -2/-1

B=-1 12 -1

iv) Se d = 1, a = 1, b = -1/1 e c = -2/1

B=1 -1-2 1

Verificando a condição de a = - d, que se ab + bd = -2 isso implicaria que –db + db = 0 = -2. Impossível. Logo só há a opção a = d.

Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de transformações lineares. Não é o

propósito desta página a teoria dessas transformações, mas apenas alguns fundamentos e operações básicas com matrizes que

as representam.

Uma matriz Am,n pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas,

conforme figura ao lado.

Portanto, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, temos:

Adição e subtração

Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas.

Multiplicação por um escalar

Algumas propriedades das operações anteriores

Sejam A e B matrizes m,n e c e d escalares. Então:

c (A + B) = cA + cB e d (cA) = dc (A).

E, também, se cA = cB então A = B.

Matrizes nulas e unitárias

Multiplicação de matrizes

Sejam as matrizes Am,p e Bp,n (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda). O produto AB é

dado pela matriz Cm,n cujos elementos são calculados por:

c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9 | c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8 |

c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6 | c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7 |

Temos então a fórmula genérica:

Ordem dos fatores

Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.

Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente.

Em geral AB ? BA. Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas.

Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.

1) Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.

2) Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.

3) Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.

4) Se Ip é a matriz unitária pp conforme já mencionado, então: Ip Ap,n = Ap,n e Bm,p Ip = Bm,p.

Matriz inversa

Sejam as matrizes quadradas An,n e Bn,n. Se BA = In , onde In é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz

inversa esquerda de A.

Para achar a matriz inversa:

Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B.

O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.

Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo

(processo de Gauss-Jordan).

1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.

2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.

3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.

3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.

3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.

2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.

E a matriz inversa é a parte da direita.

Determinantes de 2ª ordem

O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de

elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com os elementos de uma matriz,

que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.

Veja ao lado para uma matriz A2,2 (determinante de 2ª ordem).

O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são

substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.

Determinantes de ordens superiores

Para determinantes de 3ª ordem ou superior, o cálculo pode ser feito pela decomposição: considera-se, por exemplo, a primeira

linha da matriz e somam-se as parcelas de cada elemento desta linha multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela

eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento.

Se o índice da coluna for par, o sinal da parcela será negativo e positivo do contrário. Para cada determinante restante, o

processo é repetido até chegar a determinantes de 2ª ordem, que são calculados pela fórmula anterior.

A figura acima demonstra o método para um determinante de terceira ordem.

Algumas propriedades dos determinantes

1) Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.

2) Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.

3) Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou nulos, o determinante é nulo (k é um

número qualquer).

4) Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.

5) Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou

múltiplos deles) de outra linha ou coluna.

Exemplo de aplicação de determinantes

Seja o sistema de equações lineares ao lado e o determinante B calculado pelos coeficientes das variáveis.

E os determinantes conforme figura a lado.

Então a solução é dada por: x = B1/B, y = B2/B e z = B3/B.

LISTA DE SISTEMAS LINEARES 2 x 2 - GABARITO

1 – Resolva os sistemas pela Regra de Cramer e indique o significado geométrico das soluções.

Solução. Calculando os determinantes indicados, temos:

a) b)

( ) retas paralelas ( X ) retas paralelas – S = { } ( ) retas coincidentes ( ) retas coincidentes ( X ) retas concorrentes – S = {(1, 1)} ( ) retas concorrentes

a) b)

2 – Determine o valor de a para que o sistema seja possível (determinado ou não).

Solução. Para que o sistema seja possível (SP), basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja

diferente de zero. .

3 – Determine o valor de a e de b para que o sistema seja possível e indeterminado.

Solução. Para que o sistema seja possível e indeterminado (SPI), basta que se verifique a proporcionalidade

entre os coeficientes de “x” e “y”. .

4 - Determine o valor de k de modo que o sistema seja impossível.

Solução. Para que o sistema seja possível e indeterminado (SI), basta que se verifique a proporcionalidade

entre os coeficientes de “x” e “y”, mas não em relação aos termos independentes. Isto é:

.

Qualquer valor de “k” que não seja 3, tornará o sistema impossível.

5 - Determine o valor de m de modo que o sistema admita soluções diferentes da trivial (0,0).

Solução. Isso acarreta que nunca será impossível, pois a solução x = y = 0 sempre satisfaz. Essa solução é

chamada de trivial. Logo o determinante da matriz dos coeficientes deverá ser nulo (indeterminado).

.

6 – Determine uma relação entre p e q sabendo que o sistema só admite a solução nula.

Solução. O sistema é homogêneo e para que só apresente a solução trivial, o determinante da matriz dos

coeficientes deverá ser diferente de zero.

.

7 - (FAAP-SP) Verifique se a matriz possui inversa. Em caso positivo determine A-1.

Solução. Para que a matriz possua inversa, o determinante da matriz deverá ser diferente de zero.

i) . Logo, possui inversa.

ii) A inversa de uma matriz A é a matriz A -1 tal que A.A-1 = A-1.A = I, onde I é a matriz identidade composta

pelo número 1 em toada a diagonal principal e zero nas outras posições.

8 – Considerando as matrizes e , calcule (A.B)-1.

Solução. O produto das matrizes A.B é:

9 – (FGV-2005) Um motorista abasteceu seu carro Flex num posto com 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina pagando R$90,00. Na semana seguinte, no mesmo posto, abasteceu com 30 litros de álcool e 20 litros de gasolina pagando R$102,00. Se não houve alteração nos preços, calcule o preço do álcool nesse posto?Solução. Utilizando as variáveis “x” e “y” para preços respectivamente do álcool e da gasolina, montamos o

sistema com as informações: .

Escalonando o sistema, encontra-se a variável “y” e em seguida “x”.

.

Logo, . Substituindo na 1ª equação, vem: .

O preço do álcool vale R$1,80.

10 – Em uma pastelaria, dois pastéis mais três caldos de cana custam R$5,40. Cinco pastéis mais dois caldos custam R$9,10. Qual o preço de quatro pastéis e quatro caldos?

Solução. Utilizando as variáveis “x” e “y” para preços respectivamente do pastel e do caldo, montamos o

sistema com as informações: .

Escalonando o sistema, temos . Logo, e

. O preço pedido é:

11 – (UERJ-2004) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Neste caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais o comerciante precisará?

Solução. Considerando “x”, “y” e “z” respectivamente as quantidades de cédulas de R$1,00; R$5,00 e R$10,00

lembrando que x = z, montamos o sistema . Escalonando, temos: . Logo

são necessárias 12 cédulas de R$5,00.

12 – (UNIUBE-MG) Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$10,00 e R$50,00 em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$50,00 quanto as de R$10,00 que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$240,00 da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual era o valor do cheque?

Solução. Considerando “x” as notas de R$10,00 e “y”, as de R$50,00, o sistema de acordo com as informações

é: . Logo o valor do cheque era (10).(R$10,00) + (4).(R$50,00) = R$300,00.

Álgebra Linear

5ª Lista de Exercícios – Revisão para Provas

1 – (AFA 2003) Sejam m e n números reais tais que m ≠ n e as matrizes e . Qual a relação

necessária entre m e n para que a matriz não seja inversível.

Solução. Multiplicando os escalares “m” e “n” pelas respectivas matrizes, temos:

i)

Para que a matriz C não seja inversível, seu determinante deve ser nulo.

ii) . Desenvolvendo a expressão e

simplificando, temos: . Resolvendo a equação em

relação a “m”, vem.

.

Como pelo enunciado m ≠ n, a matriz não será inversível se 7m + n = 0.

2 – Encontre o valor de x na matriz sabendo que det A-1 = .

Solução. Como conclui-se que . Logo, detA = - 10. Substituindo esse valor no

cálculo do determinante de A, temos:

3 – Seja A-1 a inversa de . Determine A + A-1.

Solução. O determinante da matriz é diferente de zero. Logo, possui inversa.

4 – (UC – GO) Determine x a fim de que a matriz seja igual a sua inversa.

Solução. O produto da matriz A por ela mesma deverá resultar na matriz identidade.

.

Logo, o único valor que satisfaz é x = - 1.

5 – Sabendo que e , encontre o valor de:

a) 20 b) - 100 c) 40 d) - 60

Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:a) A 1ª linha foi multiplicada por 5. Logo o determinante também ficará multiplicado por 5. b) Houve uma troca de coluna que mudará o sinal do determinante. As duas linhas foram multiplicadas por 5. Logo o determinante ficará multiplicado por 25.c) Houve a troca da 2ª coluna com a 1ª coluna mudando o sinal do determinante. A 3ª coluna foi multiplicada por 4. Logo o determinante também o ficará.d) A 2ª linha foi multiplicada por 2 e a 3º linha multiplicada por 3. Logo o determinante ficará multiplicado por (2).(3) = 6.

5 – Resolva os sistemas, classifique e indique o significado geométrico das soluções.

a) b)

Solução. Os sistemas podem ser resolvidos por qualquer método.

a)

Logo, . Sistema possível e determinado representado por retas concorrentes.

b) . Retas paralelas distintas.

6 – Determine o valor de a para que o sistema seja possível e determinado (SPD).Solução. O determinante da matriz dos coeficientes deverá ser diferente de zero.

.

7 - Determine o valor de k de modo que o sistema seja impossível (SI). Isto é, para que a representação geométrica da solução sejam retas paralelas distintas.

Solução. Para que o sistema seja possível e indeterminado (SI), basta que se verifique a proporcionalidade

entre os coeficientes de “x” e “y”, mas não em relação aos termos independentes. Isto é:

.

Qualquer valor de “k” que não seja 4, tornará o sistema impossível.

8 – Discuta os sistemas abaixo em função do parâmetro k.

a) b)

Solução. No caso geral em sistemas 2 x 2 a análise pode ser feita partindo das situações:

i) ii) iii)

a) . Não há valor de “k” que o torne impossível.

b) . Não há valor de “k” que o torne indeterminado.

OBS. Repare que em (a) o termo independente já estava na mesma razão que os coeficientes de “y”. O que não

ocorreu em (b). Isso acarreta que substituindo k = 8 no sistema (b) poderia haver a impossibilidade. Mas esse

sistema não seria indeterminado para nenhum valor de “k”.

9) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.

a) b) c)

d)

Solução. Os sistemas foram escalonados.

a)

. Calculando o valor de z, temos: ; ;

.

Logo a solução é S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado.

b)

. Calculando o valor de z, temos: ; ;

.

Logo a solução é S = { 1, 2, 3}. O sistema é possível e determinado.

c) . Logo o sistema não possui

solução.

d)

. Calculando o valor de y, temos: ;

. A variável z é chamada variável livre.

Logo a solução é S = { , , }. O sistema é possível e indeterminado.

10 – (ITA – SP) Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a para que o

sistema admita infinitas soluções.

Solução. Escalonando o sistema: .

Para que o sistema seja indeterminado o 2º membro da 3ª equação deve ser nulo. Logo, .

11 - Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$ 70,00. Dois artigos A mais um C custam R$ 105,00 e a diferença

de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C?

Solução. De acordo com as informações do problema, temos o sistema: .

Escalonando, vem:

. Substituindo nas equações anteriores, temos: ;

. A resposta pedida é R$25,00.

12 - (UERJ) Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de pêras (p).

Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez lotes de 6 tangerinas, lotes com 6

maçãs e lotes com 4 pêras. Colocou em cada lote, indistintamente, o preço de R$0,50. Arrecadou R$105,00 na venda

de todos eles. Calcule t, m, e p.

Solução. Utilizando os dados do problema e as letras representantes das frutas, montamos o sistema:

. Escalonando o sistema simplificado, vem:

. Logo, p = 90. Substituindo na 1ª equação, encontra-se

e .

13 - Misturam-se dois tipos de leite, um com 30% de gordura outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros

de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados?

Solução. Representando a quantidade de litros de leite com 3% de gordura como “x” e com 4% como “y”, o

resultado final deverá ser (x + y).3,25%. O sistema é: .

Multiplicando por 100 a 2ª equação e escalonando, vem: .

Calculando “y”, temos: ; . Logo serão misturados 60 litros de leite.

14 - (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado. Seguindo

esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque de

A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se deslocar de B para C,

passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos quilômetros esta

pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.

Solução. Considerando as distâncias ; ; , temos:

a) (distância de A até B passando por C).

b) (distância de A até C passando por B).

c) (distância de B até C passando por A).

i) Construindo e resolvendo o sistema:

.

ii) Valor de “z”: ; ; .

A distância pedida é .

15 - A soma das quantias que Fernando e Beth possuem é igual à quantia que Rosa possui. O dobro do que possui

Fernando menos a quantia de Beth mais a de Rosa é igual a 30 reais. Sabendo que a quantia que Fernando possui,

adicionada a 1/3 da quantia de Rosa, vale 20 reais, calcule a soma das quantias de Fernando, Beth e Rosa.

Solução. Considerando as quantias “x” e “y” respectivamente de Fernando e Beth, temos de acordo com as

informações que Rosa possui (x + y). Ainda de acordo com o enunciado temos o sistema:

. Logo, Rosa possui 30. O valor pedido é a soma das quantias de cada um: 10 + 20 + 30

= 60.

16 – (UERJ 2004) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00

a unidade, as galinhas a R$5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$440,00 na

compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. Qual o número de patos

comprados pelo comerciante.

Solução. Considerando as quantidades “x”, “y” e “z” respectivamente de patos, galinhas e marrecos montamos

o sistema: . Na forma em que está apresentado, o sistema é indeterminado. Precisamos

considerar:

i) O valor de “x” é inteiro. Logo, 190 - 10z deve ser múltiplo de 7 e 10. Isto é de 70. Os múltiplos de 70 possíveis

são 70 para z = 12 ou 140 com z = 5.

ii) Os valores de “x”, “y” e “z” apresentam as possibilidades:

Patos (x) Galinhas (y) Marrecos (z)

5

12

iii) O número de patos é maior que o número de marrecos (x > z). Logo a única possibilidade é z = 5.

Conferindo:

Foram comprados 20 patos pelo comerciante.

Exercícios de Revisão

1. (FMU – SP) O valor de a para que o sistema seja possível e indeterminado é:a) -6 b) 6 c) 2 d) -2 e) 3/2 Resp: a)

2. (FGV – SP) O sistema é:a) determinado.b) Impossívelc) Determinado e admite como solução (1, 1, 1).d) Indeterminado.e) N.D.A. Resp: d)3. (UFRN) A solução do sistema é:a) (-2, 7, 1) b) (4, -3, 5) c) (0, 1, 5) d) (2, 3, 1) e) (1, 2, 3) Resp: e)

4. (Osec – SP) O sistema linear :a) admite solução única;b) admite infinitas soluções;c) admite apenas duas soluções;d) não admite solução;e) N.D.A. Resp: b)

5. (Efoa – MG) O sistema de equações , terá uma única solução se:a)b)c)d)e) Resp: c) 6. (Faap – SP) Para que o sistema linear admita uma única solução, é necessário que:

a) b) c) d) e)

Resp: a)

7. (FCC – BA) O sistema linear é impossível se e somente se:a) e b) ou a = –1 c) d) e) Resp: d)

8. (FEI – SP) Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema , então ABC vale:a) -5 b) 8 c) -6 d) -10 e) 5 Resp: c)

9. (UFRS) O sistema sobre R , terá solução apenas se o valor de b for igual a:a) 6 b) 4 c) 1 d) -11 e) -12 Resp: b)

10. (Mack – SP) O sistema é indeterminado. Então k + m vale:a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3 Resp: e)

11. (UFSC) Para qual valor de m o sistema admite infinitas soluções?a) m = 0 b) c) m = 2 d) m = 10 e) m = 1 Resp: c)

12. (FCC – BA) O sistema nas incógnitas x e y:a) é impossível se b) admite apenas a solução trivial se k = 1c) é possível e indeterminado se k = -1d) é impossível para todo k reale) admite apenas a solução trivial para todo k real. Resp: c)

13. (Cesgranrio) O sistema tem uma infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos parâmetros a e b, podemos concluir que:

a) a = 1 e b arbitrário.b) a = 1 e c) a = 1 e b = 1d) a = 0 e b = 1 e) a = 0 e b = 0 Resp: d) 14. (Fuvest – SP) O sistema linear: não admite solução se for igual a:a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 Resp: e)