LISTA DE EXERCÍCIOS

CÉSAR Q.01- (G1 - cmrj 2020) “A área de um trapézio corresponde ao produto de sua altura pela semissoma de suas bases.” Um quarteirão próximo ao CMRJ é delimitado por trechos das ruas São Francisco Xavier, Paula Souza e Eurico Rabelo, assim como da avenida Maracanã, como se pode ver no mapa.

Esse quarteirão, cuja área mede 28.330 m . pode ser representado pelo

trapézio retângulo ilustrado ao lado do mapa. O trecho da avenida Maracanã

é o mais longo de todos e possui 40 m a mais que o trecho da rua Paula

Souza. Viviane se encontra na esquina das ruas Paula Souza e São Francisco Xavier

(Ponto A) e precisa caminhar até a esquina da avenida Maracanã com a rua

São Francisco Xavier (Ponto D) pelo caminho mais longo, sempre em linhas

retas, de A até B, de B até C, e de C até D, nessa ordem,

percorrendo, ao todo, 308 m.

O comprimento do trecho da rua São Francisco Xavier que compõe esse trapézio mede

A) 10 55 m

B) 80 m

C) 10 65 m

D) 81m

E) 10 67 m

Q.02- (Ufrgs 2020) Considere dois círculos de centros A e C, raio 1 e

tangentes entre si. O segmento AC é diagonal do quadrado ABCD. Os

círculos de centros B e D são tangentes aos círculos de centros A e C,

como mostra a figura abaixo.

O raio dos círculos de centros B e D é

A) 2 1.

B) 1.

C) 2.

D) 2 1.

E) 2 2.

Q.03-(Famema 2020) O triângulo ABC é isósceles com

AB AC 4 cm, e o triângulo DBC é isósceles com

DB DC 2 cm, conforme a figura.

Seja β a medida do ângulo interno ˆDBC do triângulo DBC. Sabendo-se

que 6

sen ( ) ,4

β a área, em 2cm , do quadrilátero ABDC é

A) 35

B) 6

C) 4

D) 5

E) 15

Q.04- (Fuvest 2020) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto,

associa‐se ,θ a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da

região delimitada pelo paralelogramo quando 90θ é A.

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A 2, o valor

de θ é, necessariamente, igual a

A) 15 .

B) 22,5 .

C) 30 .

D) 45 .

E) 60 .

LISTA DE EXERCÍCIOS

Q.05- (Ufrgs 2020) Considere dois círculos tangentes entre si, de centros A

e B sobre a reta r, e tais que o raio de cada um tenha medida 10. Os

segmentos CD e FE são tangentes aos círculos e têm extremidades nos

pontos de tangência C, D, E e F, como representado na figura a seguir.

A área da região sombreada é

A) 100 25 .π

B) 200 50 .π

C) 200 50 .π

D) 400 100 .π

E) 400 100 .π

Q.06- (Espcex (Aman) 2020) Um trapézio ABCD, retângulo em A e D,

possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os lados AB e CD

medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, então a área, em 2cm , desse

trapézio mede

A) 120.

B) 60.

C) 180.

D) 30.

E) 240.

Q.07-(G1 - cp2 2020) Ao se aposentar, Marcos decide comprar um lote retangular em uma área rural para construir seu sítio. O terreno apresenta

60 m de comprimento por 32 m de largura. Marcos planeja construir

uma casa, uma horta e uma garagem, além de deixar espaço para uma área

de lazer com 2480 m . Observe a figura com a situação descrita:

Sabendo que o comprimento da casa (3x) é o triplo da largura da garagem

(x), com x em metros, conclui-se que o perímetro da parte destinada para

a horta é igual a

A) 48 m.

B) 56 m.

C) 64 m.

D) 72 m.

E) 80 m.

Q.08- (Famema 2019) A reta r de equação 3x 4

y2

e a reta s de

equação 5x 25

y3

se intersectam no ponto A, conforme mostra o

gráfico.

Sabendo que o ponto B é a intersecção da reta r com o eixo das ordenadas

e que o ponto C é a intersecção da reta s com o eixo das abscissas, a área

do triângulo ABC, em unidades de área, é

A) 9,5.

B) 11,5.

C) 13,0.

D) 16,5.

E) 19,0.

Q.09-(Uece 2019) Considere um terreno com a forma de um triângulo

retângulo cuja medida dos dois menores lados são respectivamente 30 m e

40 m. Deseja-se cercar um quadrado no interior do terreno com um dos

vértices sobre o maior lado e os demais sobre os outros lados do terreno.

Nessas condições, a medida da área do quadrado, em 2m , será,

aproximadamente, igual a

A) 294.

B) 302.

C) 290.

D) 298.

E) 300. Q.10- (G1 - cp2 2019) Daniela desenhou em seu caderno um triângulo

equilátero ABC de lado 8 cm (Figura 1). A seguir, tomando como

referência os pontos médios dos lados desse triângulo, traçou outro triângulo

equilátero DEF, congruente a ABC, em que D é ponto médio de BC e

A é ponto médio de EF (Figura 2). Para finalizar, desenhou um coração

com dois semicírculos (de mesmo raio e centros sobre EF) e quatro arcos

congruentes (dois deles com centro em A, outro com centro em B e outro

com centro em C), conforme a Figura 3.

Considere: 3π e 3 1,7

LISTA DE EXERCÍCIOS

A área do coração, em centímetros quadrados, é

A) 15,2

B) 39,2

C) 55,2

D) 66,2

E) 68,2 Resposta da questão 1: [C] De acordo com o problema, podemos considerar a seguinte representação:

(x x 40) y(x 20) y 83308330

2y 268 2x

x y x 40 308

Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos:

2 2(x 20) (268 2x) 8330 268 x 2x 5360 40x 8330 2x 228x 2970 0

Dividindo todos os termos da equação por 2, obtemos:

2x 114x 1485 0

7056

114 84x x 99 ou x 15 (não convém, pois neste caso a avenida Maracanã não seria a maior)

2

Δ

Logo, y 70.

O próximo passo será calcular a distância pedida d.

2 2 2d 40 70

d (16 49) 100

d 10 65

Resposta da questão 2: [A]

Seja r a medida do raio dos círculos de centros B e D. Assim, o lado do

quadrado ABCD mede r 1 e, portanto, temos

AC 2 AB 2 2 (r 1)

r 2 1.

Resposta da questão 3: [E] Considere a figura.

Sabendo que os triângulos ABC e BDC são isósceles, podemos concluir

que A,D e M estão alinhados e, portanto, M é o ponto médio de BC.

Sendo BD 2cm, do triângulo BDM, vem

DM 6 DMsen

4 2BD

6DM cm

2

Ainda do triângulo BDM, pelo Teorema de Pitágoras, temos

22 2 2 2 6

BM BD DM BM 22

10BM cm.

2

Portanto, segue que BC 10 cm e, assim, a área do triângulo BCD é

igual a

2

1 1 6BC DM 10

2 2 2

15cm .

2

Por outro lado, do triângulo ABM, pelo Teorema de Pitágoras, vem

22 2 2 2 10

AM AB BM AM 42

3 6AM cm.

2

Em consequência, a área do triângulo ABC é

2

1 1 3 6BC AM 10

2 2 2

3 15cm .

2

A resposta é igual a

2

(ABDC) (ABC) (BCD)

3 15 15

2 2

15 cm .

LISTA DE EXERCÍCIOS

Resposta da questão 4: [C]

Sejam b e h, respectivamente, as dimensões do paralelogramo quando

90 .θ Logo, temos A b h.

Quando varia no intervalo ]0 , 90 [, a altura do paralelogramo é dada

por hsen . Desse modo, para que a área seja A

,2

devemos ter

A b hb hsen b hsen

2 2

1sen

2

30 .

θ θ

θ

θ

Resposta da questão 5: [D]

Como CD e FE são tangentes aos círculos, podemos concluir que

CDEF é um quadrado de lado 20.

A área da região sombreada corresponde à diferença entre as áreas do

quadrado CDEF e do círculo inscrito, ou seja,

2 220 10 400 100 .π π

Resposta da questão 6: [B] Sabendo que a altura de todo trapézio retângulo de diagonais perpendiculares é dada pela média geométrica das bases, temos

h 2 18 6cm.

Portanto, segue que a resposta é igual a

21(ABCD) (2 18) 6 60cm .

2

Resposta da questão 7: [D] Calculando a área da área de lazer em função de x, obtemos:

2

2

(60 3x) (32 x) 480

3 (20 x) (32 x) 480

(20 x) (32 x) 160

640 20x 32x x 160

x 52x 480 0

52 784x x 40 (não convém) ou x 12

2

Portanto, o perímetro da horta será dado por:

2x 2 (60 3x) 24 2 (60 36) 72 m

Resposta da questão 8: [A] Calculando:

ABC

3x 4 5x 25ponto A 9x 12 10x 50 19x 38 x 2 y 5 A 2 ;5

2 3

3 0 4ponto B y y 2 B 0 ;2

2

5x 25ponto C 0 5x 25 x 5 C 5 ;0

3

2 5 11 1

S 0 2 1 19 9,5 u.a.2 2

5 0 1

Resposta da questão 9: [A]

Considere a figura, em que AC 40 m e AB 30 m.

Desde que AEFD é um quadrado, podemos concluir que os triângulos

EBF e ABC são semelhantes por AA. Logo, temos

EF 30 AE3EF 120 4EF

40 30

120EF m.

7

A resposta é

22 2120

EF 294 m .7

Resposta da questão 10: [B] Na figura a seguir os arcos congruentes em rosa podem ser sobrepostos sobre os arcos em amarelo:

Assim, a área total do coração equivale a área do triângulo equilátero de lado

8 mais a área de uma esfera de raio 2 (pois há dois semicírculos que

equivalem a um círculo). Calculando:

22 2

coração8 3

S 2 39,2 cm4

π

LISTA DE EXERCÍCIOS

HAWLEY Q.01- (Treinamento ENEM)A civilização Babilônica viveu na Mesopotâmia há cerca de 6.000 anos. Os estudiosos encontraram documentos dessa civilização feitos em tijolos, relativamente finos, de argila. A escrita era feita com uma espécie de estilete nos tijolos ainda úmidos. Os traços dessa escrita tinham o formato de cunha e por isso a escrita dos babilônios é chamada cuneiforme. Os arqueólogos descobriram tabletes babilônicos datados provavelmente de 1.800 antes de Cristo, onde aparecem as sequências numéricas: 1, 3, 9, 27, 81, . . . e 1, 4, 16, 64, . . . Adaptado de CARVALHO, M. C. Padrões Numéricos e Sequências. São Paulo. Editora Moderna, 1997. As sequências descobertas mostram que o babilônios já trabalhavam naquela época com sequências de números que mostram a seguinte regra de formação: cada número da sequência pode ser obtido A) a partir do segundo, somando ao anterior um mesmo número. B) a partir do segundo, multiplicando o anterior por um mesmo número. C) a partir do quarto, somando ao anterior um mesmo número. D) a partir do terceiro, multiplicando o anterior por um mesmo número. E) a partir do terceiro, somando o anterior por um mesmo número. Q.02- (Treinamento ENEM)Em certo país, o presidente eleito permanece no cargo por um período de 5 anos, enquanto um prefeito é eleito para um mandato de 4 anos. No ano de 1988, houve eleições tanto para presidente quanto para prefeitos. As eleições para presidente e para prefeitos nesse país voltarão a ocorrer no mesmo ano em A) 2008 B) 2014 C) 2018 D) 2020 E) 2022 Q.03 – (Treinamento ENEM)Para facilitar o pagamento de qualquer eletrodoméstico, no valor à vista, uma loja oferece a seguinte condição: uma entrada de 40% e o restante dividido em duas parcelas iguais. Se um cliente comprasse uma TV de 29 polegadas, cujo preço na etiqueta para pagamento à vista é de R$1.280,00, o valor da parcela seria representado numericamente por A) (0,04 x 1280) ÷ 2. B) (0,06 x 1280) ÷ 2. C) (0,40 x 1280) ÷ 2. D) (0,60 x 1280) ÷ 2. E) (0,4 x 0,60 x 1280) ÷ 2. Q.04- (Treinamento ENEM)Antonieta, responsável pela decoração da festa de São João, decidiu dispor as bandeirinhas na seguinte sequência:

Fila Número de Bandeiras

1 7

2 12

3 17

No pátio da escola, cabiam 7 filas. Obedecendo a mesma sequência numérica do quadro, o número de bandeirolas da última fila será igual a A) 47. B) 32. C) 37. D) 42. E) 27. Q.05-Treinamento ENEM)Uma empresa decidiu doar livros e cadernos aos alunos carentes de uma escola da sua vizinhança. Receberão os materiais escolares apenas os alunos que tenham menos de 10 faltas no ano e cujas famílias tenham renda de até 3 salários mínimos. Sabe-se que:

a escola possui 1.000 alunos;

350 alunos têm menos de 10 faltas no ano;

700 alunos pertencem a famílias com renda de até 3 salários mínimos;

200 alunos não pertencem a nenhum dos grupos acima, ou seja, têm 10 ou mais faltas no ano e pertencem a famílias com renda superior a 3 salários mínimos. A empresa deverá enviar o material escolar para A) 250 alunos B) 300 alunos C) 400 alunos D) 550 alunos E) 600 alunos

Q.06- (Treinamento ENEM)Uma firma de transporte fornece aos seus usuários algumas vantagens ao adquirirem passes que só podem ser usados nos dias úteis. A tabela mostra como os passes podem ser adquiridos.

Passes Preço em R$

Unitários 1,00

Cartelas com 10 9,50

Cartelas com 20 18,00

Cartelas com 25 21,50

Benedito necessita comprar, para o mês de abril, passes para ele e sua esposa, considerando que neste mês, devido a feriados da Semana Santa, serão contados apenas 20 dias úteis. Cada um deles utiliza 2 passes por dia. A escolha mais econômica para Benedito é adquirir A) passes unitários porque o mês de abril tem apenas 20 dias úteis. B) quatro cartelas com 20 passes cada uma. C) duas cartelas com 25 passes, uma com 20 passes e uma com 10 passes. D) três cartelas com 25 passes e 5 passes unitários. E) oito cartelas com 10 passes cada uma. Utilize as informações do texto dado a seguir para responder as questões 07 e 08. Origem, história e curiosidades sobre a balança! Por volta do ano 5.000 A.C. os egípcios inventaram a balança pela necessidade de pesar o ouro, que sempre foi o metal mais precioso da terra. A balança é muito representada em papiros da história do Egito. No Livro dos Mortos, é contada a versão egípcia do “Julgamento Final”. Na narração, depois que morriam, iam para uma sala chamada de Sala das Duas Verdades para serem julgados. Nesta sala, Anubis (deus egípcio dos mortos) colocava o coração do morto (que para eles representava a essência do ser humano) em um dos pratos da balança usando como contrapeso a pluma da deusa Maat (personalização da verdade, justiça e ordem universal). Anubis verificava qual dos dois pesava mais e dependendo do resultado da pesagem, o espírito do morto seguia para o “paraíso” ou para o “inferno”. Fonte: http://origemdascoisas.com/a-origem-da-balança/ Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível para pesagem é uma balança de 2 pratos, sem os pesos metálicos. Q.07- (Treinamento ENEM)Realizando uma única pesagem, é possível montar pacotes de A) 3 kg. B) 4 kg. C) 6 kg. D) 8 kg. E) 12 kg. Q.08-Treinamento ENEM)Realizando exatamente duas pesagens, é possível montar pacotes de A) 3 kg ou 6 kg. B) 3 kg, 6 kg ou 12 kg. C) 6 kg, 12 kg ou 18 kg. D) 4 kg ou 8 kg. E) 4 kg, 6kg ou 8 kg. Q.09- (Treinamento ENEM)Se compararmos a idade do planeta Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5 x 109 anos), com a de uma pessoa de 45 anos, então, quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Nosso planeta só conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos de um minuto percebeu o ruído de máquinas e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta! Em acordo com o texto, temos que a agricultura começou a ser praticada há cerca de A) 365 anos. B) 460 anos. C) 900 anos. D) 10.000 anos. E) 460.000 anos.

LISTA DE EXERCÍCIOS

Q.10- – (Treinamento ENEM)As distâncias entre as estrelas, os planetas e os satélites são muito grandes. Como o quilômetro não é uma unidade adequada para medir essas distâncias, tornou-se necessário a criação da unidade “ano-luz”. O ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano. Considerando que a luz se desloca no vácuo a cerca de 300 mil quilômetros por segundo, o ano-luz equivale a aproximadamente 9 trilhões e 500 bilhões de quilômetros. Usando potências de base 10 podemos escrever que A) 1 ano-luz = 95 x 109 km. B) 1 ano-luz = 95 x 1010 km. C) 1 ano-luz = 95 x 1011 km. D) 1 ano-luz = 95 x 1012 km. E) 1 ano-luz = 95 x 1013 km. Respostas Q.01-B Q.02-A Q.03-D Q.04-C Q.05-A Q.06-D Q.07-E Q.08-C Q.09-D Q.10-C JOSÉ MARIA

Q.01-Sabendo que p é um número real, considere a matriz p 2A

0 p

e sua

transposta TA . Se

TA A é singular (não invertível), então

A) p 0.

B) | p | 1.

C) | p | 2.

D) p 3.

Resposta: [B] Tem-se que

t p 2 p 0A A

0 p 2 p

2p 2.

2 2p

Desse modo, como tA A é singular, vem

2

2

2p 20 4p 4 0

2 2p

p 1

| p | 1.

Q.02-Considere as matrizes ij 2 3A (a ) , com ija 2i j,

2

1 2

B 0 1

m 1 2

e m 0C ,

3m 6

sendo m um número real. Sabendo que

C A B, então det C é igual a

A) 0.

B) 12.

C) 8.

D) 6.

E) 4. Resposta: [B] Tem-se que

11 12 13

21 22 23

a a aA

a a a

2 1 1 2 1 2 2 1 3

2 2 1 2 2 2 2 2 3

1 0 1.

3 2 1

Logo, vem

2

2

2

C A B

1 2m 0 1 0 1

0 13m 6 3 2 1

m 1 2

m 0 m 2 0.

3m 6 m 2 6

Portanto, para que a igualdade seja satisfeita, devemos ter

2 2

2 2

m 2 m m m 2 0

m 2 3m m 3m 2 0

m 2 ou m 2.

m 1 ou m 2

Desse modo, podemos concluir que m 2 e, assim, a resposta é

2 0detC 12.

6 6

Q.03-Considere as funções x 0 x

f(x) 1 x 2

2 1 1

e

x 11 4

g(x) 10 11 x .

1 2 0

Desta forma,

pode-se afirmar que o ponto de interseção das funções f(x) e g(x), é:

A) (6, 30)

B) (9, 90)

C) (9, 72)

D) (6, 42)

E) (6, 42)

Resposta: [D]

2 2 2

2 2

2 2 2

2

x 0 x

f(x) 1 x 2 x x 2x 2x x x

2 1 1

x 11 4

g(x) 10 11 x 11x 80 44 2x 2x 11x 36

1 2 0

2x 11x 36 x x x 12x 36 0 x 6

f(x) y x x 36 6 y 42

Q.04- Se u, v, p, q e s são números reais não nulos e os números p, q, s

formam, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente e se, além

disso, o determinante da matriz u 2u 4u

v 3v 9v

p q s

for igual a zero, então, razão da

progressão geométrica pode ser

A) 2 ou 3.

B) 3 ou 4.

C) 1,5 ou 3.

D) 2,5 ou 4.

Resposta: [A]

Se r é a razão da progressão geométrica, então q pr e 2s pr . Logo,

temos

transp

2

2

Vand

u 2u 4u u v p

v 3v 9v 2u 3v pr

p q s 4u 9v pr

1 1 1

uvp 2 3 r

4 9 r

uvp(r 3)(r 2).

LISTA DE EXERCÍCIOS

Portanto, como o determinante é igual a zero e u, v,p são reais não nulos,

vem r 2 ou r 3. Ademais, sendo a progressão geométrica crescente,

podemos afirmar que a razão pode ser 2 ou 3.

Q.05-No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário

determinar o número real λ na equação det(M I) 0,λ em que M é

uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de M, e

det representa o determinante da matriz (M I).λ

Se, em um desses estudos, tem-se 0 17 2

M 2 0 0 ,

1 0 0

o valor positivo de λ é

igual a

A) 5.

B) 8.

C) 9.

D) 12.

E) 6.

Resposta: [E] Tem-se que

0 17 2 1 0 0

M I 2 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

17 2

2 0 .

1 0

λ λ

λ

λ

λ

Logo, vem

17 2

det(M I) 0 2 0 0

1 0

( 6)( 6) 0

6 ou 0 ou 6.

λ

λ λ

λ

λ λ λ

λ λ λ

A resposta é, portanto, 6.λ

Q.06- Se V é uma matriz quadrada e n é um número natural maior do que

um, define-se n n 1V V V . Com essa definição, para a matriz

1 2V ,

0 1

pode-se afirmar corretamente que o valor do determinante

da matriz 2 3 2016Y V V V V é igual a

A) 2 2016.

B) 2 2017.

C) 2016 2016.

D) 2016 2017.

Resposta: [C]

De acordo com a definição, é fácil ver que n 1 2n

V ,0 1

para todo n

inteiro positivo. Logo, temos

1 2 1 4 1 6 1 4032Y

0 1 0 1 0 1 0 1

2016 2016 2017.

0 2016

A resposta é det Y 2016 2016 0 2017 2016 2016 2016.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto abaixo para responder à(s) questão(ões) a seguir. Matrizes de Vandermonde são matrizes quadradas em que os elementos ao longo de cada linha formam progressões geométricas de primeiro termo igual

a 1, não necessariamente com a mesma razão para cada linha.

Por exemplo, a matriz B a seguir, de ordem 4 é de Vandermonde:

1 5 25 125

1 3 9 27

B 1 3 9 27

1 1 11

2 4 8

Seja V uma matriz de Vandermonde de ordem 3 em que a PG formada com

os elementos da 1ª linha tem razão 2, a PG formada com os elementos da 2ª

linha tem razão 3 e a PG formada com os elementos da 3ª linha tem razão

2.

Q.07- O determinante da matriz V é igual a

A) 16.

B) 0.

C) 16.

D) 20.

E) 36.

Resposta: [D] Do enunciado, temos:

1 2 4

V 1 3 9

1 2 4

1 2 4

det V 1 3 9

1 2 4

Pela regra de Sarrus,

1 2 4 1 2

det V 1 3 9 1 3

1 2 4 1 2

det V 1 3 4 2 9 1 4 1 2 4 3 1 1 9 2 2 1 4

det V 22 2

det V 20

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: Utilize o fragmento de texto abaixo para responder à(s) questão(ões).

Uma empresa de informática constatou que o custo total C(x) em reais

para produzir seus equipamentos é dado pela função

C(x) det A detB 10x 2, na qual x é o número de

LISTA DE EXERCÍCIOS

equipamentos produzidos, com 2x 2xA

1 2

e 20 2 x 1

B 0 1 0 .

1 x 2x

Q.08- A quantidade de unidades que devem ser fabricadas para que o custo seja mínimo é

A) 1 unidade.

B) 2 unidades.

C) 3 unidades.

D) 4 unidades. Resposta: [D]

Calculando-se primeiro os determinantes das matrizes dadas A e B em função de x :

22x 2x

A det A 2x 2x1 2

2

2

0 2 x 1

B 0 1 0 detB x 1

1 x 2x

Substituindo-se os determinantes na equação do custo total dada:

2 2 2

C(x) det A detB 10x 2

C(x) 2x 2x x 1 10x 2 x 8x 1

Percebe-se que a função do custo total é uma função quadrática com primeiro termo positivo. Portanto sua representação gráfica será uma parábola com concavidade para cima. No ponto mais baixo da parábola (vértice), tem-se o número mínimo de unidades a serem fabricadas para

obtenção do menor custo da função C(x). Assim:

2

v v

C(x) x 8x 1

b 8x x 4 unidades

2a 2

Q.09- O custo total para a produção de 10 unidades do equipamento é

A) R$ 21,00.

B) R$ 53,00.

C) R$ 223,00.

D) R$ 263,00.

Resposta: [A]

Calculando-se primeiro os determinantes das matrizes dadas A e B :

2 100 20x 2xA det A 200 ( 20) det A 220

1 21 2

20 2 x 1 0 2 101

B 0 1 0 0 1 0 detB 101

1 x 2x 1 10 20

Substituindo-se os valores na função do custo total dada:

C(x) det A detB 10x 2 220 101 10 10 2 21reais

Q.10- Dado um número real a, com a 1 , define-se a seguinte sequência

de matrizes quadradas:

3 22

3 22 4

1 2 3 3 22

3

a a a 1a a 1

a 1 0 a a aA 1 , A , A 0 a a , A , ...

0 a 0 0 a a0 0 a

0 0 0 a

Representando o determinante de uma matriz quadrada M por det(M), considere agora a sequência numérica

1 2 3 4(det(A ), det(A ), det(A ), det(A ), ...) .

Essa sequência numérica A) é uma progressão aritmética de razão 2.

B) é uma progressão aritmética de razão 2a .

C) é uma progressão geométrica de razão a.

D) é uma progressão geométrica de razão 2a .

E) não é uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica. Resposta: [E] det(A1) = 1 det(A2) = a2 det(A3) = a2. a2 .a2 = a6 det(A4) = a3. a3 .a3 .a3 = a12 Portanto, a sequência não representa P.A e nem P.G.