Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB Departamento de Computação – DECOM Disciplina: Teoria dos Grafos Professor: Marco Antonio M. Carvalho

Lista de Exercícios 01

Observação: Quando não especificado no exercícios, considere grafos simples.

1. Construa um grafo, simples ou não, com 10 vértices e graus {9, 7, 6, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 1} ou prove que não é possível construí-lo.

2. Um escultor deseja criar uma escultura que represente a paz mundial. Para isto, ele esculpirá 7 pilares (um para cada continente) e os colocará em um círculo. Depois, ele esticará um fio de ouro entre os pilares, de forma que, cada pilar estará conectado a 3 outros pilares. Embora a idéia seja boa, a escultura é impossível. Porquê?

3. Mostre que o número de mulheres é igual ao de homens em toda festa em que cada pessoa é amiga de

precisamente k outras pessoas do sexo oposto presentes à festa.

4. Considere o grafo C4 e o grafo da figura abaixo. Escreva a matriz de adjacências e a lista de adjacências para cada um deles.

Considere os grafos abaixo para os três próximos exercícios.

5. Para o grafo 1 da figura acima, determine: a. Os vértices adjacentes ao vértice 7;

b. O fecho transitivo do vértice 1; c. Um passeio com 5 vértices e 6 arestas distintas; d. Um caminho de comprimento 11 a partir do vértice 2; e. A distância entre os vértices 1 e 11; f. Um ciclo com 5 vértices.

6. Para o grafo 2 da figura acima, determine:

a. A cintura; b. A circunferência; c. κ(G); d. δ(G); e. O complemento.

7. Para o grafo 3 da figura acima, determine:

a. Um percurso que passa pelo menos uma vez em cada aresta do grafo; b. Um percurso que passa pelo menos uma vez em cada vértice do grafo.

8. Para o grafo da figura abaixo, determine:

a. A cintura; b. A circunferência; c. δ(G); d. κ(G); e. O complemento.

9. Forneça exemplos (quando existirem): a. Grafo bipartido e regular; b. Grafo em que κ(G) < δ(G).

10. Prove que um grafo simples que contém n vértices é necessariamente conexo se ele tem mais de (n-1)(n-

2)/2 arestas.

11. Qual o máximo de arestas que um grafo bipartido Kr,s pode ter?

12. Indique quais dos três grafos abaixo é bipartido.

13. Diz-se que um grafo é auto-complementar se ele for isomorfo ao seu complemento. Por exemplo, C5 é um

grafo auto-complementar. a. Desenhe todos os grafos auto-complementares que não sejam isomórficos entre si e que possuam 4

ou 5 vértices; b. Desenhe um grafo auto-complementar com 8 vértices;

UFOP, Universidade Federal de Ouro Preto - DECOM, Departamento de Computação

Teoria dos Grafos – BCC204 - Lista de Exercícios IProfessor: Haroldo Gambini Santos

Observação: quando não especificado considere grafos simples.

1. Construa dois grafos de 5 vértices e 8 arestas que não sejam isomorfos. Prove que ambos não são isomorfos.

2. Construa um grafo com 10 vértices e graus {9,7,6,4,3,3,3,1,1,1} ou prove que não é possível construí-lo.

3. Mostre que um grafo bipartido não tem ciclos com um número ímpar de vértices.

4. Forneça exemplos (quando existirem):

a) grafo bipartido que é regular;

b) grafo não completo onde qualquer subgrafo induzido por vértices seja completo;

c) grafo onde G G .

5. Mostre que o número de mulheres é igual ao de homens em toda festa em que cada pessoa é amiga de precisamente k outras pessoas do sexo oposto presentes à festa.

6. Diz-se que um grafo é auto-complementar se ele for isomorfo ao seu complemento. Por exemplo, C5 é um grafo auto-complementar.

a) desenhe todos os grafos auto-complementares que não sejam isomórficos entre si e que possuam 4 ou 5 vértices;

b) desenhe um grafo auto-complementar com 8 vértices;

c) prove que se um grafo com n vértices é auto-complementar, então existe algum k natural para o qual n=4k+1 ou n=4k.

7. Mostre que um grafo com n vértices e conectividade de vértices igual a k possui pelo menos (kn)/2 arestas.

8. Indique quais dos três grafos abaixo é bipartido.

9. Execute o algoritmo de Dijkstra, passo a passo, considerando o grafo abaixo:

10. Considere o algoritmo de Dijkstra para caminhos mínimos. Pode o mesmo ser adaptado para calcular os caminhos máximos ? Explique sua resposta.

11. Prove que em uma árvore T gerada pela busca DFS (Busca em Profundidade) em um grafo conexo G, todos os nós de um clique C ficam

em um caminho entre uma folha e a raiz de T.

12. Qual a verificação que deve ser feita no algoritmo de Floyd-Warshall para detectar ciclos de custo negativo ? E no algoritmo de Bellman-Ford ?

13. Abaixo estão listados pares de grafos. Indique se cada par é isomorfo. Prove sua resposta.

14. Considere o grafo do exercício 9. Apresente uma ordenação topológica válida para o mesmo. Que algoritmo de busca em grafos pode ser usado para essa tarefa ?

15. Prove que um grafo simples que contém n vértices é necessariamente

conexo se ele tem mais de n−1n−2

2 arestas.

16. Qual o máximo de arestas que um grafo bipartido Kr,s pode ter ?

17. Prove se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas. Tanto as afirmativas verdadeiras quanto as falsas devem ser justificadas. Respostas sem justificativas não serão pontuadas.

a) todo grafo bipartido no qual os dois conjuntos possuem a mesma quantidade de vértices é hamiltoniano;

b) toda árvore possui exatamente um circuito hamiltoniano;

c) se G e seu complemento são árvore então G possui 1 ou 4 vértices.

Legenda

G : conectividade de G G : grau mínimo de G

1

c. Prove que se um grafo com n vértices é auto-complementar, entãoexiste algum k natural para o qual n=4k+1 ou n=4k.

14. Mostre que um grafo com n vértices e conectividade de vértices igual ak possui pelo menos (kn)/2 arestas.

15. Construa dois grafos de 5 vértices e 8 arestas que não sejam isomorfos. Prove que ambos não são isomorfos.

16. Abaixo estão listados pares de grafos. Indique se cada par é isomorfo. Prove sua resposta.

17. Os seis grafos abaixo consistem em três pares de grafos isomorfos. Quais são estes pares?

18. Se você lançar uma moeda 3 vezes, existem 8 combinações possíveis de cara (K) e coroa (C): KKK, KKC, KCK,

etc... Suponha um grafo com 8 vértices em que cada vértice representa uma das referidas combinações. Haverá uma aresta entre os vertices que diferirem entre si em apenas uma posição. Desenhe este grafo e determine, em relação aos grafos do exercício anterior, qual é isomorfo.

19. Em uma sala, existem alguns homens e 15 mulheres. Cada homem apertou a mão de exatamente 6 mulheres, e cada mulher apertou a mão de exatamente 8 homens. Usando a teoria dos grafos, quantos homens há na sala?

20. O grafo completo K4 pode ser decomposto em 2 caminhos que contêm todas as arestas (conforme a figura). Embora não seja a única maneira de fazer esta decomposição, ela é interessante, pois ambos os caminhos possuem o mesmo comprimento.

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Teoria dos Grafos – BCC204 - Lista de Exercícios IProfessor: Haroldo Gambini Santos

Observação: quando não especificado considere grafos simples.

1. Construa dois grafos de 5 vértices e 8 arestas que não sejam isomorfos. Prove que ambos não são isomorfos.

2. Construa um grafo com 10 vértices e graus {9,7,6,4,3,3,3,1,1,1} ou prove que não é possível construí-lo.

3. Mostre que um grafo bipartido não tem ciclos com um número ímpar de vértices.

4. Forneça exemplos (quando existirem):

a) grafo bipartido que é regular;

b) grafo não completo onde qualquer subgrafo induzido por vértices seja completo;

c) grafo onde G G .

5. Mostre que o número de mulheres é igual ao de homens em toda festa em que cada pessoa é amiga de precisamente k outras pessoas do sexo oposto presentes à festa.

6. Diz-se que um grafo é auto-complementar se ele for isomorfo ao seu complemento. Por exemplo, C5 é um grafo auto-complementar.

a) desenhe todos os grafos auto-complementares que não sejam isomórficos entre si e que possuam 4 ou 5 vértices;

b) desenhe um grafo auto-complementar com 8 vértices;

c) prove que se um grafo com n vértices é auto-complementar, então existe algum k natural para o qual n=4k+1 ou n=4k.

7. Mostre que um grafo com n vértices e conectividade de vértices igual a k possui pelo menos (kn)/2 arestas.

8. Indique quais dos três grafos abaixo é bipartido.

9. Execute o algoritmo de Dijkstra, passo a passo, considerando o grafo abaixo:

10. Considere o algoritmo de Dijkstra para caminhos mínimos. Pode o mesmo ser adaptado para calcular os caminhos máximos ? Explique sua resposta.

11. Prove que em uma árvore T gerada pela busca DFS (Busca em Profundidade) em um grafo conexo G, todos os nós de um clique C ficam

em um caminho entre uma folha e a raiz de T.

12. Qual a verificação que deve ser feita no algoritmo de Floyd-Warshall para detectar ciclos de custo negativo ? E no algoritmo de Bellman-Ford ?

13. Abaixo estão listados pares de grafos. Indique se cada par é isomorfo. Prove sua resposta.

14. Considere o grafo do exercício 9. Apresente uma ordenação topológica válida para o mesmo. Que algoritmo de busca em grafos pode ser usado para essa tarefa ?

15. Prove que um grafo simples que contém n vértices é necessariamente

conexo se ele tem mais de n−1n−2

2 arestas.

16. Qual o máximo de arestas que um grafo bipartido Kr,s pode ter ?

17. Prove se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas. Tanto as afirmativas verdadeiras quanto as falsas devem ser justificadas. Respostas sem justificativas não serão pontuadas.

a) todo grafo bipartido no qual os dois conjuntos possuem a mesma quantidade de vértices é hamiltoniano;

b) toda árvore possui exatamente um circuito hamiltoniano;

c) se G e seu complemento são árvore então G possui 1 ou 4 vértices.

Legenda

G : conectividade de G G : grau mínimo de G

1

UFOP, Universidade Federal de Ouro Preto - DECOM, Departamento de Computação

Teoria dos Grafos – BCC204 - Lista de Exercícios IProfessor: Haroldo Gambini Santos

Observação: quando não especificado considere grafos simples.

1. Construa dois grafos de 5 vértices e 8 arestas que não sejam isomorfos. Prove que ambos não são isomorfos.

2. Construa um grafo com 10 vértices e graus {9,7,6,4,3,3,3,1,1,1} ou prove que não é possível construí-lo.

3. Mostre que um grafo bipartido não tem ciclos com um número ímpar de vértices.

4. Forneça exemplos (quando existirem):

a) grafo bipartido que é regular;

b) grafo não completo onde qualquer subgrafo induzido por vértices seja completo;

c) grafo onde G G .

5. Mostre que o número de mulheres é igual ao de homens em toda festa em que cada pessoa é amiga de precisamente k outras pessoas do sexo oposto presentes à festa.

6. Diz-se que um grafo é auto-complementar se ele for isomorfo ao seu complemento. Por exemplo, C5 é um grafo auto-complementar.

a) desenhe todos os grafos auto-complementares que não sejam isomórficos entre si e que possuam 4 ou 5 vértices;

b) desenhe um grafo auto-complementar com 8 vértices;

c) prove que se um grafo com n vértices é auto-complementar, então existe algum k natural para o qual n=4k+1 ou n=4k.

7. Mostre que um grafo com n vértices e conectividade de vértices igual a k possui pelo menos (kn)/2 arestas.

8. Indique quais dos três grafos abaixo é bipartido.

9. Execute o algoritmo de Dijkstra, passo a passo, considerando o grafo abaixo:

10. Considere o algoritmo de Dijkstra para caminhos mínimos. Pode o mesmo ser adaptado para calcular os caminhos máximos ? Explique sua resposta.

11. Prove que em uma árvore T gerada pela busca DFS (Busca em Profundidade) em um grafo conexo G, todos os nós de um clique C ficam

em um caminho entre uma folha e a raiz de T.

12. Qual a verificação que deve ser feita no algoritmo de Floyd-Warshall para detectar ciclos de custo negativo ? E no algoritmo de Bellman-Ford ?

13. Abaixo estão listados pares de grafos. Indique se cada par é isomorfo. Prove sua resposta.

14. Considere o grafo do exercício 9. Apresente uma ordenação topológica válida para o mesmo. Que algoritmo de busca em grafos pode ser usado para essa tarefa ?

15. Prove que um grafo simples que contém n vértices é necessariamente

conexo se ele tem mais de n−1n−2

2 arestas.

16. Qual o máximo de arestas que um grafo bipartido Kr,s pode ter ?

17. Prove se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas. Tanto as afirmativas verdadeiras quanto as falsas devem ser justificadas. Respostas sem justificativas não serão pontuadas.

a) todo grafo bipartido no qual os dois conjuntos possuem a mesma quantidade de vértices é hamiltoniano;

b) toda árvore possui exatamente um circuito hamiltoniano;

c) se G e seu complemento são árvore então G possui 1 ou 4 vértices.

Legenda

G : conectividade de G G : grau mínimo de G

1

Graph Theory Exercises

1. The six graphs below consist of three pairs of isomorphic graphs. Which are theisomorphic pairs?

2. Is it possible to draw the graph shown to the right without crossings, using onlystraight lines?

3. If you flip a coin three times, there are 8 ways the coins can come up: HHH, HHT, HTH,etc... Suppose these are the labels on 8 vertices of a graph, and that you draw an edgebetween a pair of vertices if the labels differ in exactly one place. For example, HTH willbe adjacent to HTT, but will not be adjacent to THH. To which of the graphs in problem1 will the resulting graph be isomorphic?

4. The degree sequence of a graph is the sequence of the degrees of the vertices of thatgraph sorted from greatest to smallest. For example, the degree sequence of the graph inproblem 2 is 5, 5, 3, 3, 3, 3. For each of the following, decide whether or not it can be thedegree sequence of a graph. If you say it can be, draw an appropriate graph. If you say itcannot be, give a reason why.a. 3, 3, 3, 3b. 4, 4, 4, 4c. 3, 3, 3, 2, 1d. 1, 1, 1, 1, 1, 1e. 5, 4, 4, 3, 2, 2f. 4, 3, 3, 2, 2, 1g. 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2

a. É possível decompor as 15 arestas do K6 (figura acima) em 3 caminhos, cada um de comprimento 5?

b. É possível decompor as 28 arestas do K8 em 4 caminhos, cada um de comprimento 7?

21. Prove que uma aresta e de um grafo é uma ponte se e somente se existirem vertices v e w tal que e está presente em todos os caminhos entre v e w.

22. Prove que uma aresta e de um grafo é uma ponte se e somente ela não fizer parte de nenhum ciclo deste mesmo grafo.

23. Sendo G um grafo bipartido, o que podemos concluir a respeito de seu complemento?

24. Prove que um grafo simples e seu complemento não podem ser ambos desconexos.

25. Mostre que todos os grafos simples e 4-regular contêm um subgrafo 3-regular.

26. Para o grafo da figura abaixo, apresente a sequência de vertices após a aplicação da BFS e da DFS a partir do vértice 7, bem como a classificação das arestas e a árvore de profundidade. Considere a representação por listas de adjacências em ordem lexicográfica.

27. Para o grafo da figura abaixo, apresente a sequência de vertices após a aplicação da DFS a partir do vértice 7, bem como a classificação das arestas e árvore de profundidade. Considere a representação por listas de adjacências em ordem lexicográfica.

28. Execute o algoritmo de Bellman-Ford para o grafo abaixo.

29. Execute o algoritmo de Floyd-Warshall para o grafo abaixo, apresentando a matriz L ao final.

5. What are all possible degree sequences of a graph with 4 vertices? Include those caseswhere the graph might be disconnected, too.

6. Prove that it is impossible for the degree sequence of a graph (whether or not it’sconnected) to have no repeats.

7. The complete graph on 4 vertices (shown to the right)has been decomposed into 2 paths containing all theedges. This isn’t the only way to do the job, but it is aparticularly nice way, because the paths both have thesame length. a. Can you decompose the 15 edges of

(shown to the right), into 3 paths, each ofK6length 5?

b. Can you decompose the 28 edges of , the complete graph on 8 vertices, into 4K8paths, each of length 7?

c. (Bonus problem) Can you prove that for all , the edges of the complete graphnon n vertices can be covered by the paths all of the same length?Kn

8. There are 7 guests at a formal dinner party, and the host wishes to have each person shakehands with each other person, for a total of 21 handshakes altogether. The host alsowishes the following rules to be obeyed:

a. The handshakes should take place sequentially.b. Each handshake (except the first) should involve someone from the previous

handshake.c. No person should be involved in 3 consecutive handshakes.

Is there a way to sequence the handshakes so that these conditions are all met?How about for 3, 4, 5, 6 or 8 people?

9. Sam the sculptor wishes to make a "World Peace" sculpture, and this is his idea: He willsculpt 7 pillars, standing for the 7 continents, and will place them in a circle. Then hewill string gold thread between the pillars so that each pillar is connected to exactly 3other pillars. (Sam explained the reason for the "3," but the explanation is not importanthere.) Can you see the reason that, although Sam might have good intentions, hissculpture is just physically impossible?

10. There are some men and 15 women in a room. Each man shook hands exactly 6 women,and each woman shook hands with exactly 8 men. How many men are in the room?

30. Execute o algoritmo de Dijkstra para determinar especificamente o menor caminho entre os vértices a e m do grafo abaixo.

31. Execute o algoritmo de Bellman-Ford para o grafo abaixo. Considere o peso da aresta{e, g} como 1.

32. Execute o algoritmo de Floyd-Warshall para o grafo abaixo, especificamente para determinar o menor

caminho entre os vértices 1 e 5. Esta mesma tarefa poderia ser realizada corretamente pelo algoritmo de Dijkstra?

33. Execute o algoritmo de Dijkstra para o grafo abaixo, tendo como vértice inicial o vértice f.

34. Elabore um exemplo de um grafo com 6 vértices de tal maneira que o caminho mais curto entre os vértices 1 e 6 somente poderá ser calculado pelo algoritmo de Bellman-Ford. Justifique o exemplo.