UFS CCET DMA

Disciplina: Cálculo II

Professor: Almir Rogério Silva Santos

Período: 2011/2

Lista de Exercícios 10

1. Determine uma equação do plano tangete à superfície no ponto especicado.

a) z = ex ln y, (3, 1, 0) b) z =√

4− x2 − 2y2, (1,−1, 1)

2. Determine a aproximação linear da função f(x, y) =√

20− x2 − 7y2 em (2, 1) e use-a para

aproximar f(1, 95; 1, 08).

3. O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectiva-

mente, com um erro de medida de no máximo 0,1 cm. Utilize os diferenciais para estimar o

erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.

4. Se R é a resistência equivalente de três resistências conectadas em paralelo, com valores R1,

R2 e R3, então1R

=1R1

+1R2

+1R3.

Se as resistências medem em ohms R1 = 25 Ω, R2 = 40 Ω e R3 = 50 Ω, com precisão de 0, 5%

em cada uma, estime o erro máximo no cálculo da resistência equivalente de R.

5. Utiliza a Regra da Cadeia para determinar dzdt .

a) z =√x2 + y2, x = e2t, y = e−2t b) z = x2y + xy2, x = 2 + t4, y = 1− t3

c) z = xy + yz2, x = et, y = et sin t, z = et cos t d) z = x ln(x+ 2y), x = sin t, y = cos t

6. Utiliza a Regra da Cadeia para deteminar ∂z∂s e ∂z

∂t .

a) z = x2 + xy + y2, x = s+ t, y = st b) z = xy , x = set, y = 1 + se−t

c) z = exy tan y, x = s+ 2t, y = st d) z = sinx tan y, x = 3s+ t, y = s− t

7. Dado u = x+yy+z , x = p+ r + t, y = p− r + t, z = p+ r − t, determine ∂u

∂p ,∂u∂r e ∂u

∂t .

8. A temperatura num ponto (x, y) é T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de

modo que sua posição depois de t segundos seja dada por x =√

1 + t, y = 2 + 13 t, onde x e y

são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3. Quão

rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?

9. Um carro A está viajando para norte na auto-estrada 16, e um carro B está viajando para

oeste na auto-estrada 83. Os dois carros se aproximam da intersecção dessas auto-estradas.

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Num certo momento, o carro A está a 0,3 km da intersecção viajando a 90 km/h, ao passo

que o carro B está a 0,4 km da intersecção viajando a 80 km/h. Qual a taxa de variação da

distância entre os carros nesse instante?

10. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo θ.

(a) f(x, y) = x2y3 + 2x4y, (1,−2), θ = π/3

(b) f(x, y) = xe−2y, (5, 0), θ = π/2

(c) f(x, y) =√

5x− 4y, (4, 1), θ = −π/6

11. Determine o gradiente de f . Determine a derivada direcional da função no ponto dado na

direção do vetor v.

(a) f(x, y) = 1 + 2x√y, (3, 4), v = (4,−3)

(b) g(x, y, z) = z3 − x2y, (1, 6, 2), v = (3, 4, 12)

(c) f(x, y) = xy+z , (4, 1, 1), v = (1, 2, 3)

12. Determine a derivada direcional de f(x, y) =√xy em P (2, 8) na direção de Q(5, 4).

13. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

(a) f(x, y) = xe−y + 3y, (1, 0)

(b) f(x, y, z) = x2y3z4

(c) f(x, y, z) = xy + y

z , (4, 2, 1)

14. Determine as direções em que a derivada direcional de f(x, y) = x2 + sinxy no ponto (1, 0)

tem valor 1.

15. A temperatura num ponto (x, y, z) é dada por

T (x, y, z) = 200e−x2−3y2−9z2

onde T é medido em C e x, y, z em metros.

(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P (2,−1, 2) em direção ao ponto

(3,−3, 3).

(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P .

(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P .

16. Determine equações do plano tangente e da reta normal a superfície dada por x2 + y2 − z2 −2xy + 4xz = 4 no ponto (1, 0, 1).

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17. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

(a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2

(b) f(x, y) = e4y−x2−y2

(c) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y

(d) f(x, y) = x2y2−8x+yxy

(e) f(x, y) = x2 + y2 + 1x2y2

18. Determine os valores máximo e mínimo absoluto de f no conjunto D.

(a) f(x, y) = 5− 3x+ 4y, D é a região triangular fechada com vértices (0,0), (4,0) e (4,5).

(b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = (x, y); |x| ≤ 1, |y| ≤ 1

(c) f(x, y) = y√x− y2 − x+ 6y, D = (x, y); 0 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ 0 ≤ 5

(d) f(x, y) = 1 + xy − x− y, D é a região limitada pela parábola y = x2 e a reta y = 4.

(e) f(x, y) = 2x3 + y4, D = (x, y);x2 + y2 ≤ 1

19. Determine a distância mais curta entre o ponto (2,-2,3) ao plano 6x+ 4y − 3z = 2.

20. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.

21. Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser

inscrita no elipsóide

9x2 + 36y2 + 4z2 = 36.

22. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões

que minimizem a quantidade de papelão utilizado.

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