Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial

8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial

1/9


2/9


3/9

.

Inicialmente, neste capítulo, foi explicado que a

resposta de um sistema

LIT

a uma excitação qual-

quer consta de duas partes: componente natural e

componente forçado ou de regime permanente. Os

sistemas nos quais a resposta natural desaparece com

o tempo são denominados sistemas estáveis.Quando

isso não acontece, o sistema é instável. Depois dessa

análise, foram apresentados os sinais de entrada mais

comumente utilizados: o degrau, a rampa, a parábola

e o impulso, que é um modelo teórico, mas muito

importante, de excitação do sistema. A partir daí foi

iniciado o estudo da dinâmica dos sistemas propria-

mente dita. Iniciou-se pelos sistemas de 1

ª

ordem,

ilustrado por vários exemplos e seguiu-se com uma

coleção de problemas propostos. Depois, foi apre-

sentada a dinâmica dos sistemas de 2ª ordem. Vimos

que, contrariamente ao que ocorre com os sistemas

de 1ª ordem, cujo comportamento é bastante uni-

forme, o comportamento dos sistemas de 2ª ordem

varia radicalmente com o valor dos parâmetros que

apresentam. Por isso, foi necessário o estabeleci-

mento de uma classificação prévia, em sistemas (a)

superamortecidos, (b) criticamente amortecidos e

(c) subamortecidos. Foi, então, feito um estudo por-

menorizado dos sistemas de cada item dessa classi-

ficação, sempre acompanhada de vários problemas

resolvidos. Estudamos especialmente a resposta ao

degrau, que é um sinal de teste muito importante,

particularmente para os sistemas reguladores. Apre-

sentamos algumas fórmulas que facilitam o cálcu-

lo da resposta impulsiva e da resposta ao degrau.

Examinamos, ainda, os sistemas de 3ª ordem, que

também são muito frequentes. Acreditamos, assim,

que o cálculo da resposta a qualquer excitação para

sistemas de qualquer ordem ficou suficientemente

esclarecido. .•

A velocidade de rotação em radls de um rotor em

várias situações é dada pelas seguintes funções do

tempo, a partir de t = O:

(a) m t) = 10e-

5t

(b) m t) = 100(1 - e - o . o

Sf

(c )

m t) = -50e-

21

Faça, para cada caso, um esboço de coem função do

tempo, indicando a velocidade inicial, a velocidade

final e a constante de tempo.

@ Consideremos um motor de corrente contínua (c . c .)

considerado como sistema de 1ª ordem, cuja en-

trada é a tensão aplicada e a saída é a velocidade

de rotação m t) em rpm. Para uma tensão de 20 V,

a velocidade final adquirida pelo motor é de 500

rpm. Além disso, verificou-se que decorrem 25

5

para que a rotação atinja 316 rpm. Determine a

função de transferência do motor. Escreva tam-

bém a equação da rotação (em rpm), em função

do tempo. .

Observação: Note que 316 rpm é 63,2% da velo-

cidade de rotação final do motor.

G) O motor elétrico do problema anterior está fun-

. cionando há algum tempo com velocidade de regi-

me quando é subitamente desligado pela abertura

de uma chave. Determine a equação da velocidade

em rpm, a partir do instante em que foi desligado.

Quanto tempo decorre até a parada completa que

se admite ocorrer 5 constantes de tempo depois de

desligado?

8Um sistema possui uma função de transferência

G (s)

= 20/ 5

+

25). Determine a constante de tem-

po, o tempo de subida e o tempo de acomodação.

Qual a constante de ganho? Qual o valor final da

resposta a um degrau unitário?

G)

O

diagrama de blocos da Figura 6.36 representa

um servomotor de c.c .: V é a tensão de armadura

em volts;

Q

é a velocidad~ de rotação em rad/s.

(a) Qual a constante de tempo desse motor (em

segundos)?

(b) Qpal a resposta a um degrau de tensão de 20 V

(em radlsegundo)?

(c) Faça um esboço da velocidade em função do

tempo.

(d) Qual é, nesse caso, a velocidade final do motor

em rpm (1 radls = 9,55

rpm ),

Q 5)

+

l im I Z I I D Diag rama de blocos .


4/9

Um bloco de massa M

=

1 kg pode deslizar sobre

uma plataforma horizontal, mas fica sujeito na

base a um atrito viscoso de coeficiente 0,1 Ns/m.

No instante

t

=

0, é aplicada uma força de im-

pacto muito intensa (10.000 N), mas de curta

duração (0,01 s). Essa força pode ser considerada

como sendo um impulso. Qual o valor desse im-

pulso? Qual a velocidade

v(t)

do bloco a partir

de

t

= O?

Qual a resposta a uma rampa unitária do sistema

cujafunção de transferência é G (s) = 5/(s + 2)?

Informação: Um sistema de P ordem com função

A • Y(s) K

de transferência -- = - - tem como resposta

U (s) s+ a

à

rampa unitária

(U(s)

= ~):

s

y(t) =

K {t -

~ 1- e - a , ) }

a a

Qual a resposta do sistema representado pelo diagra-

ma de blocos da FIgura 6.37, a uma rampa unitária?

U{s

y{s

+

_ Diagrama

de blocos.

No circuito da FIgura 6.38 se tem um amplificador

operacional associado a dois resistores e um capa-

citor:

(a) Determine a função de transferência

G (s ) = ~(5).

~(5)

(b) Indique o valor do ganho K (constante de gan-

s

ho de frequência zero).

(c) Indique o valor da constante de tempo do circuito.

(d) Calcule a resposta do sistema

(v,(t))

para o caso

em que a entrada é um degrau unitário de ten-

são

V I

(t )) = h(t) .

Calcule a resposta a um degrau unitário do sistema

cuja função de transferência é dada abaixo.

G(s)

=

20 5+1)

5+4) 5+5)

A resposta de determinado sistema a um degrau

unitário aplicado no instante t = ° é:

Capítulo 6 Resposta dinâmica dos sistemas lineares 93

V,{t)

5000

1 kQ

Amp.op.

+

__ C_ir..;.c_ui_to_. _

Um bloco retangular de massa M = 2 kg pode

deslocar-se sobre um plano horizontal, estan-

do sujeito apenas a um atrito viscoso de coeficiente

B

= 0,5

N/ mls).

Inicialmente em repouso, essebloco é

submetido a uma força horizontal de 1.000 N durante

um intervalo de 0,01 s.Qual a velocidade inicial?Qual

a coastante de tempo desse sistema? Supondo que ele

esteja praticamente em repouso depois de 5 constan-

tes de tempo, qual a distância total percorrida?

Sugestão: Considere a ação sobre o bloco como

sendo um impulso de valor 1.000 . 0,01 = 10 Ns.

Um rotor, como o indicado na Figura 6.39, pode

girar em torno dtj' seu eixo, sujeito apenas ao atri-

to viscoso nos mancais. O momento de inércia do

rotor é de] = 0,05 kg' m

2

e o coeficiente de atrito

viscoso é

~ o +

~l = 0,02 Nrn/(radls). A velocidade

de rotação inicial do rotor é n o = 1.200 rpm. De-

termine a resposta de velocidade do sistema. Qual

a constante de tempo do sistema?

_..;._R_o_to_r_. _

®

Um bloco de massa M = 1 kg pode deslizar so-

bre uma plataforma horizontal, mas fica sujeito na

base a um atrito viscoso de coeficiente 0,1 Ns/m.

No instante

t

=

0, é aplicada uma força de impacto

muito intensa (10.000 N), mas de curta duração

(0,01 s). Essa força pode ser considerada como

se fosse um impulso. 011al o valor desse impulso?

Qual a velocidade

v t)

do bloco a partir de

t

= O?

v(t) = lOe-

t

se n(2 t)

Determine a função de transferência desse siste-

ma e desenhe cuidadosamente o gráfico de

·v(t)

em.

função do tempo.

A resposta de determinado sistema a um degrau

unitário aplicado no instante t = Oé:


5/9

.

v( t) = 1 0e-

1

c os (2 t)

Det~rmine a função de transferência desse siste-

ma e desenhe cuidadosamente o gráfico de

v( t)

em

função do tempo.

@

Sendo a função de transferência de um sistema

Y(s) 1 00

--=

U (s) /

+ 65+ 25

(a) Calcule a resposta desse sistema a um degrau

unitário.

(b) Verifique se o gráfico da Figura 6.40 descreve

corretamente a resposta do problema.

Fórmulas úteis:

)

K [ C D

-cu ( )]

) t

=

-7 1- -

e

sen C D

d

t

+

< 1 >

CD CD

d

_~ _ __ ._ _ _ _ c ~ - . -

0,6 0,8 1 1,2 1.4 1,6 1,8 tempo (s)

~~ Resposta ao de grau unitá rio.

Um bloco de massa Mligado por um amortecedor

e uma mola a uma parede fixa está sob a ação da

força

f t) ,

como indica a Figura 6.4l.

Dados: M = 1 kg; B = 20 N/(m/s); K = 64 N/m.

Sendo a força

f t)

= 160 h(t) = degrau de 160 N, de-

termine a função de transferência

G (s)

=

X(s ) / F (s) ,

o deslocamento e a velocidade em função do tem-

po, para o caso da força descrita. Qual a velocidade

máxima alcançada pelo móvel?

~ Diagrama de b loco s .

® Dado o sistema cu.i~função de transferência é

G(s )

=

Y(s)

=

1 2 s

+ 40

U(s ) /

+

1 0s+ 2 4

determine as constantes de tempo e as respostas ao

impulso e ao degrau unitários.

19 Determine a função de transferência G(s) = (V/s)/

V

1

(s)) do circuito indicado na Figura 6.42. Determi-

ne os polos e zeros e represente-os no plano s . Qyal a

resposta do sistema a um degrau unitário de tensão?

Dados numéricos:

R

=104Q'

C

=lOI IF

1 '1 [ '

R = 2 . 10

4

Q; R, = 10

5

Q

R

2

C

2

=

1

s

R

1

R

~ ~ ~

1

V

1

\

Ganho

Ka= -1

Amplificador

ideal

~~

_C_i_r~~u-it-O -. _

®

Sendo a função de transferência de um circuito

V

2

( s ) =

1__6____

V

1

( s )

/+105+ 1 60

(a) Calcule a resposta desse circuito a um degrau

unitário de tensão.

(b) Faça um esboço cuidadoso da curva de resposta

encontrada no item anterior.

Fórmulas úteis:

< 1 > =

a r c t a n ; )

Determine a resposta ao degrau unitário do sistema

indicado no diagrama de blocos da Figura 6.43.

U s

Y s

52+45 +35

~ Diagram a de blocos.


6/9


7/9

Determine a resposta ao impulso unitário do siste-

ma cuja função de transferência

é

obedecendo à seguinte sequência:

(a)Mostre que essa função de transferência pode

ser escrita como segue:

21

5 + 4

G l s = 5+ 4)2+ 9 + 5+4 2+ 9

b)

Mostre que a resposta ao impulso unitário re-

sulta:

g(t) = e-

41

(7sen(3t ) + cos(3 t))

~) Recorde

JJ m pOJJco d a trigaflam,gtrí~ g QlQ.tre

que e~? resposta pode agf @scrita sab a fgnr.a:

;g{ t

7,072 I ~ett 3t g, 13°)

Determine a resposta ao degrau unitário do

siste-

n:a cuja função de transferência é:

G s = , 5+25

5 + 85+ 25

Faça inicialmente o cálculo pelo desenvolvimen-

to em frações parciaise trB:mfôfft1a8a in @fsa de

:Captace .

Depeis, util iib € a f órQ lJ Jh dada a

seguir,

El.- sQuzid apara o

p~o

d e

.i.u~m,a. Cgm,

um

par de

pol o s comp lexas g um zero real.

Observação:

Sistema de 2

ã

ordem, subamortecido, com um zero

real em

-a

(ver Figura 6.49):

G(5 ) = K(5

+

a

52 + 20.5+

w

2

n

K( s

+

a )

A resposta ao degrau unitário nesse caso é dada

pela expressão vista anteriormente.

j(j)

o

51

x---------- j(j)d

Pa

8

a

~- - - - - - o, ~- L~- - - - - - - - - - - - - ~- - ~- - - - - - ~

-a

-a

90°

52

x---------- - j(j)d

~~' _P_o_l_o_s, _

_~ •__ •. , •• ~· __ c

()

Ka

1 p c . O

ai }

y

t

= ~

1- __

_ e -

sen

w,r +

c P

w

= .

com

< jl =

8 - 8 + 90

,I

1

P u =

) ( a -

a)2 + úl,~

8

=

arctan a

~ d a

8

1

= arctan

( : J

Determine a resposta ao degrau unitário do siste-

ma cuja função de transferência é:

G(5) = 25(5 + 1)

52 + 8s + 25

Faça inicialmente o cálculo pelo desenvolvimen-

to em frações parciais .ê-t 'B:I'l~ffi 'ffia8B:irn'€ F8íl:de

L-ap :a ce .

Depois, t erifiEtM8 r€l6Hltftdo t:tti:l:i~

a

fÓ al a

indicada

l lH l

a

goterjQ.f.

3 1

Mostre que a resposta ao impulso unitário de um

sistema subamortecido de 2 ordem dotado de

um zero real (verFigura

6.50)

G (s)

=

K(s

+

a )

52 + -2as + w

2

n

K(5 + a

[ s +

c y y + w ~ J

é

dada pela expressão

()

Kp -cu ( )

g

t =

a

e .

sen

W, t +

8

ú) a

d

sendo

e 8a

=

arctan ( w )

a-a

júl

(3

~~P-o-lo-s- -----------------------------


8/9

·

.

1.

8

G (s )

=

Y(s )

=

1500

F(s)

X s

U(s )

i

+

26 1 s+ 1560

9

G (s ) = c,(GP3

+

1)

,

1 + G,G3

10

Reduzindo

os

fatores

comuns,

obtemos:

V

+

85+ 4)

§.

2

0,8

(5 + 1 )( s + 8) 5 +

2).

5 +

10,4

11

3

10

U s

Y s

S2

+ 4s + 10

1

5

2

+ 7s +

1,5

Y(5) 1600

G (s) = GPP3

-=

5

U (5)

(5 2

+

10 5

+

16 0)

1+ GP2H + G

j

G

2

G

3

G (s )

=

G,G/G 3 + G

4)

12

G (s ) = 12 (s) = 40

6

1 +

G ,G 2H j

+ G,G2G 3 + G,G2G 4

V, (s ) (r + 0,5)( s+ 1 )

Respostas selecionadas 327

1. (a) 10 rad/s; O; 0,2 s; (b) O; 100 rad/s; 20 s;

(c )

-50

rad/s; O ; 0,5 s.

y(t) = 0, 71 4[t - 0,0476(1 - e-

2lt

)]

9 (a) - 5 ~~5; b K g = 2; (c) 0,04 s; (d) v

2

= 2 ( I - e ] ) ,

1

G5 =---

5 + 0,04.

,

O) (t) = 500(1 - e - O ,0 4 ) rpm.

10 ~

=

5

m/s;

1:

=

4

s;

distância total

= 19 ,86

m.

3

O)(t)

= 5 0 0 e - O ,0 4 t

rpm; T(parada)

=

51:

=

125 s.

11 O) (t) = 1 . 2 0 0 e O , 4 t rpm; 2,5 s.

4 Constante de ganho K g = (20/25) = 0,8; cons-

tante de tempo 1: = 1/25 = 0,04 s; tempo de su-

bida

ts

= 2,2 1: = 0,088 s; tempo de acomodação

tac

= 4 1: = 0,16 s; valor final da resposta y(oo) =

0,8.

12 Impulso = 1006( t) ; v(t) = 100/

d

:.

14.

20/(? + 25 + 5).

15

10(5

+

1)/(5

2

+

25

+

5).

5

(a) 1:

=

1,111 s; (b)

O) (t) =

111,1(1 - e - O , 9 t ) rad/s; ve-

locidade final = 1.061 rpm. 16

6 Impulso = 100Ns; v(t) = 1 00 e-O ,lt.

7 G(s)

=

X(s ) = -,--~

~(s)

~ ~~

y(t) = 2 ,5[t - 0,5(1 - e-

2 t

)]


9/9

328 CONTROLE ESSENCIAL

(

)

5

10 -4/ 2,5 -16/

X t = 2 - e + e

, 3 3 '

()

40 (

4t -16/).

vt= e e

3

v

=

6,3 mls no instante t = 0,116 s.

max

Resposta ao degrau unitário.

, ,

,

0,2 : : - ~--- -~-. - .. - - . - - -

, ,

,

, , ,

,

,

,

°

0,2

0 4

0,6 0,8

t s)

Amplitude

1,4 .- .. · T . . · · · ] · · - · - - : - · · - - l · · - · . r · - · · · ; - : . .

1,2 -----~- j [ . . - - . . (

j .

. L ~~~

, ,

1 .. -- .. (-.(.--.~

18. Constantes de tempo: 0,25 e 0,1667;

g(t) = 4(

_e

41

+ 4e-

6/

);

y(t) =

iC 1+

0,6e-

4t

- 1,6e-

6

/).

3

, ,

0,8 .- ...

~ - j - - r - - : - j - r - - +

0,6t-··· - - : - - - - - - i - - - - - - : - - - - - - - : - - - - - - ~ - - - - - - ~ · - - - - - : - - - - -

I

, , , , , ,

, , ,

, , ,

, , I , , , ,

I ::::::

- - - - - r - - - - - - ; - - - - - - - 1 - - - - - - : - - - - - - j - - - - -

I

-----~-----:----------- - - - - - - ; - - - --

19. Um zero na origem (5= O);polos: -1 e -10;

v

2

t) = (50 /9 )(e -e

10/)

para t ~ O.

°

0,5

1,5

2,5

3,5 tís

21.

y(t) =10 [1

-1 ,08g e-

s,

sen(11,62t

+

66,72°)J

y(t) =4[1 -1 ,02 4e-

2

sen(9t + 77,47°)].

r-

r

8 -10, 5 - 1 6 l

o t

=

2:: >01-

e + e

1 .1

26.

ç = 0,385; co = 13; co = 12; T, = 0,164;

T

= °

262' T

= °

8' M 'P = 27%.

ac

(unidades S.1.)

Esboço.

Resposta ao degrau unitário.

20.

22.

~

23. (a) F(5 ) = 40/(; + 95 + 48).

(b) 5

=

-4,5 ±j5,2 7.

1,2

(c) ç

=

0,65 subamortecido.

(d) g(t) =

7,5ge-

4

,51

sen(5,27t).

Resposta impulsiva.

Amplitude

10 -. - - - - - - -. -- -- -~- -- -- - -- - - -- - -- ~--- -- - - -- - -. - - -~--- - --

8 ------.--------~--------------~-----.---------~------

6 - - - - - - - - - - - - - - - i - - - - - - - - - - - - - - - i - - - - - - - - - - - - · - - - - - - - - -

4 ---- - - - -- - -- - -- ~-- - -- - - - - --- - --~--- - -- - - - - - - - - -~--- - --

2 - - - - -. - -. - - -; - - - - - - - - - - - - - - - ~- - - - - - -- - - - - - - - ~-- - - --

O - - -- - - . - - - - -- -- ; - :

- - - - - - - . - - - - .

- 2 - - - - - - - - - - -- - --~- - - - - - - - - - - - - - -~-- - - - - - - - - - - - - - ~-- - - --

, - 4 - - - - - - - . - - - - - - - j - - - - - - - - - - - - - - - j - - - - - - - - - - - - - - - j - - - - - -

- 6 ---------------:---------------:---------------:------

_8 . __~-.- __ ~ ... ~ _

- 10 --- ----.-- -- - - - j - - - - - - - -

- - - - - - - j - - - - - - - - . - - - - - .

j - - - - - -

Amplitude

1,4 - - · - - - - T · - - - · - T · - - - - - - r - - - - - - - - ; - - · - - - - - : - - - - - - -

27.

~ = 0,55;

Mp ::::

27%

T; :: ::

,45

( )

47,7

G s :: :: -c- _

i+ 5 ,76s+

47,7

1,5

1,5

1,5 t s)

24.

30.

y(t) = 1 -e -4t (cos(3t) - 7sen(3t))

sen(cot - 188,13°)

29. y(t) = 1 -1,4142

e:

sen(3t + 45°)

25.

(a)

F(5 )

= 20/(5

2

+ 65+ 20);

(b)

ç

=

0,67 e

1 :

=

0,33;

(c)M = 5,8% e

t

= 0,946;

p p

(d) co = 3,32 e

t

b = 0,694 (unidades S.1.);

d JU

(e) Esboço.

32.

y(t) = 2(1

_2 ,4e-

O

,5t

+ 1 ,5e-

t

-0, le-

3/

)

34.

y(t) = 1,0 - O,314e-lO

t

0,8 95e-O,6281 sen(6,293t +

50,4°).

Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial

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