Lista de Exercícios Geometria Analítica CONICAS -...

Lista de Exercícios – Geometria Analítica – CONICAS - 2017 1. (Fgv 2017) No plano cartesiano, a região determinada pelas inequações simultâneas

2 2x y 4 e x y 0 tem área igual a:

a) 2π b) 2,5π c) 3π d) 3,5π e) 4π 2. (Mackenzie 2017) Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo trajetórias circulares.

As circunferências descritas por elas são dadas pelas equações 2 2(x 3) (y 1) 10 e

2 2(x 3) y 13, respectivamente. A distância entre os dois pontos de interseção das

circunferências é a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3. (Unicamp 2017) Considere a circunferência de equação cartesiana 2 2x y x y. Qual

das equações a seguir representa uma reta que divide essa circunferência em duas partes iguais? a) x y 1.

b) x y 1.

c) x y 1.

d) x y 1.

4. (Fgv 2017) Na representação gráfica do sistema de equações

2 2

2

x y 4

4x y 2

no plano

cartesiano, uma das soluções é (0, 2). A distância entre os pontos que representam as duas

outras soluções desse sistema é igual a

a) 14.

b) 7

.2

c) 15

.2

d) 14

.2

e) 3

.2

5. (Fgv 2016) No plano cartesiano, a reta de equação 3x 4y 17 tangencia uma

circunferência de centro no ponto (1,1).

A equação dessa circunferência é:

a) 2 2x y 2x 2y 4 0

b) 2 2x y 2x 2y 2 0

c) 2 2x y 2x 2y 5 0

d) 2 2x y 2x 2y 3 0

e) 2 2x y 2x 2y 1 0

6. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de

equações y x e x 0. Se P pertence à parábola de equação 2y x e a 0, a ordenada b

do ponto P é igual a

a) 2 2 2

b) 3 2 2

c) 4 2 2

d) 5 2 2

e) 6 2 2 7. (Mackenzie 2016) A equação da circunferência concêntrica à circunferência

2 2(x 2) (y 1) 1 e tangente à reta 4x 3y 20 0 é

a) 2 2(x 2) (y 1) 36

b) 2 2(x 2) (y 1) 25

c) 2 2(x 2) (y 1) 20

d) 2 2(x 2) (y 1) 16

e) 2 2(x 2) (y 1) 9

8. (Unesp 2016) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio

de até 25 km do depَsito. Para a distância que ultrapassar 25 km, medida em linha reta desde

o depَsito, a empresa cobra R$ 20,00 por quilômetro que ultrapasse os 25 km iniciais

gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma proporcional em caso de fraçُes de quilômetros.

Um consumidor do produto reside 20 km a leste do depَsito e x km ao sul. Apresente uma

figura representando a situaçمo descrita e determine o valor mلximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em

seguida, determine o custo do frete C (em reais), em funçمo de x, para o caso em que

C(x) 0.

9. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação cartesiana 2 2x y ax by, onde a e b

são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. 10. (Pucsp 2016) Na figura tem-se a representação de ,λ circunferência de centro C e

tangente aos eixos coordenados nos pontos A e B.

Se a equação de λ é 2 2x y 8x 8y 16 0, então a área da região hachurada, em

unidades de superfície, é a) 8 ( 2)π

b) 8 ( 4)π

c) 4 ( 2)π

d) 4 ( 4)π

11. (Mackenzie 2016) Com relação às equações das elipses

2 225x 16y 150x 256y 351 0 e 2 216x 25y 96x 200y 144 0, podemos afirmar

que a) as elipses têm centros coincidentes. b) as elipses têm a mesma distância focal. c) as elipses têm a mesma excentricidade. d) as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas. e) o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo menor da outra. 12. (Espcex (Aman) 2016) Considere as afirmações:

I. Uma elipse tem como focos os pontos 1F ( 3, 0), 2F (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Sua

equação é 2 2x y

1.16 7

II. Os focos de uma hipérbole são 1F ( 10, 0), 2F (10, 0) e sua excentricidade é 5

.3

Sua

equação é 2 216x 9y 576.

III. A parábola 28x y 6y 9 tem como vértice o ponto V(3, 0).

Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta. a) Todas as afirmações são falsas. b) Apenas as afirmações I e III são falsas. c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Apenas a afirmação III é verdadeira. 13. (Enem PPL 2015) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação:

2 2x y 2x 4y 31 0.

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas a) A e C. b) B e C. c) B e D. d) A, B e C. e) B, C e D.

14. (Fuvest 2015) A equação 2 2x 2x y my n, em que m e n são constantes,

representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o

centro da circunferência e a intersecta no ponto ( 3, 4). Os valores de m e n são,

respectivamente, a) 4 e 3 b) 4 e 5 c) 4 e 2 d) 2 e 4 e) 2 e 3 15. (Ita 2015) Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e

à reta r : x y 0. Sabendo-se que a potência do ponto O (0,0) em relação a essa

circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a

a) (2, 2 2 2) e 2 2 2.

b) 2 1

2,2 2

e 2 1

.2 2

c) (2, 2 1) e 2 1.

d) (2, 2 2) e 2 2.

e) (2, 4 2 4) e 4 2 4.

16. (Mackenzie 2015) Há duas circunferências secantes 1λ e 2,λ de equações

2 2(x 1) y 5 e 2 2(x 3) (y 2) 1, respectivamente. A equação da reta que passa pelos

pontos de interseção de 1λ e 2λ é

a) x y 4 0

b) x y 4 0

c) x y 6 0

d) x y 8 0

e) x y 8 0

17. (Epcar (Afa) 2015) Considerando a circunferência de equação 2 2: x y 2x 4y 4 0,λ

é correto afirmar que

a) λ é concêntrica com 2 2: (x 1) (y 2) 1α

b) o ponto O(0,0) é exterior a λ

c) a reta r : x y 3 0 é tangente a λ

d) λ é simétrica da circunferência 2 2: (x 1) (y 2) 9,β em relação ao ponto O(0,0).

18. (Epcar (Afa) 2014) A circunferência λ é tangente à reta 3

r : y x4

também é tangente ao

eixo das abscissas no ponto de abscissa 6.

Dentre as equações abaixo, a que representa uma parábola que contém a origem do plano

cartesiano e o centro de λ é

a) 212(y x) x 0

b) 23y 12y 2x 0

c) 22y 3x 0

d) 212y x 0

19. (Espcex (Aman) 2014) Sejam dados a circunferência 2 2: x y 4x 10y 25 0λ e o

ponto P, que é simétrico de (–1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da

circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P.

a) 2 2: x y 4x 10y 16 0λ

b) 2 2: x y 4x 10y 12 0λ

c) 2 2: x y 4x 5y 16 0λ

d) 2 2: x y 4x 5y 12 0λ

e) 2 2: x y 4x 10y 17 0λ

20. (Mackenzie 2014) Vitória-régia é uma planta aquática típica da região amazônica. Suas folhas são grandes e têm formato circular, com uma capacidade notável de flutuação, graças aos compartimentos de ar em sua face inferior. Em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha de vitória-régia, cuja borda obedece à

equação 2 2x y 2x y 1 0, apreciando a paisagem ao seu redor. Percebendo que a folha

que flutuava à sua frente era maior e mais bonita, resolveu pular para essa folha, cuja borda é

descrita pela equação 2 2x y 2x 3y 1 0.

A distância linear mínima que o sapo deve percorrer em um salto para não cair na água é

a) 2 2 1

b) 2

c) 2 2

d) 2 2

e) 5

21. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana 2 2x y 4y 0 e a

parábola α de equação 2y 4 x .

a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com .α

b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola .α

Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as

inequações 2 2x y 4y 0 e 2y 4 x .

22. (Unesp 2014) A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados.

Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse.

23. (Mackenzie 2014) Dadas as cônicas de equações 2 2( I ) x y 2x 8y 8 0 e

2 2( II ) 4x y 8x 8y 16 0 , assinale a alternativa INCORRETA.

a) Os gráficos de ( I ) e ( II ) são, respectivamente, uma circunferência e uma elipse.

b) As duas cônicas têm centro no mesmo ponto. c) As duas cônicas se interceptam em dois pontos distintos. d) O gráfico da equação ( I ) é uma circunferência de raio 3.

e) O gráfico da equação ( II ) é uma elipse com centro C (1, 4).

24. (Espcex (Aman) 2014) Sobre a curva 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (– 2,1). b) A medida do seu eixo maior é 25. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é 4. e) Sua excentricidade é 0,8.

25. (Espcex (Aman) 2013) Considere a circunferência 2 2x y 4x 0λ e o ponto P 1, 3 .

Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o

eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é a) –2

b) 2 3 c) 3

d) 3 3

e) 3 3 3 26. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a

circunferência C de equação 22

x 1 y 2 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em

um ponto Q. Então a distância de P a Q é

a) 15

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20 27. (Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações

2 2

22

x y 2x 0

3 1x 1 y

2 4

a) Represente graficamente, em sistema cartesiano de eixos ortogonais, a solução desse

sistema de inequações. b) Calcule a área da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações. 28. (Fgv 2013) Um funcionário do setor de planejamento da Editora Progresso verificou que as livrarias dos três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos

A 0,0 , B 1,7 e C 8,6 , sendo que as unidades estão em quilômetros.

a) Em que ponto P x,y deve ser instalado um depósito para que as distâncias do depósito às

três livrarias sejam iguais?

b) Qual é a área do quadrado inscrito na circunferência que contém os pontos A, B e C?

29. (Fgv 2013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica

2 2(x 2) 4(y 5) 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação,

então, m n é igual a a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) 3. 30. (Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse

de equação 2 2x 9y 8x 54y 88 0 é correto afirmar que

a) tem raio igual a 1. b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x – y 0.

31. (Insper 2012) Os pontos A ( 1, 3) e B (6, 2) pertencem a uma circunferência do plano

cartesiano cujo centro é o ponto C. Se a área do triângulo ABC é 25

2, então a medida do raio

dessa circunferência é igual a a) 5

b) 5 2

c) 5 3 d) 10

e) 10 2 32. (Mackenzie 2012) Considere a região do plano dada pelos pontos (x,y) tais que

2 2x y 2x e 2 2x y 2y. Fazendo 3,π a área dessa região é

a) 1 b) 0,5 c) 2 d) 1,5 e) 2,5

33. (Fuvest 2012) No plano cartesiano Oxy , a circunferência C é tangente ao eixo Ox no

ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale

a) 5

b) 2 5 c) 5

d) 3 5 e) 10 34. (Espm 2012) Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2 4 e seja P a região definida por x 2 ou y 2. A área da região intersecção entre C e P é: a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π 35. (Fgv 2011) No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x2 + y2 = 8, no ponto P de coordenadas (2, 2), intercepta a reta de equação y = 2x no ponto:

a) 7 14

,16 6

b) 6 12

,5 5

c) 5 10

,4 4

d) 4 8

,3 3

e) 3

,32

36. (Unicamp 2011) Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, também, que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40 km do posto rodoviário, em linha reta, e a 24 km de distância da estrada, conforme a figura a seguir.

a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada

na estação da guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal. Explicite as duas desigualdades que definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico abaixo, identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas.

b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena, mais potente, a ser instalada

em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à estação da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa antena deve ser instalada.

37. (Espm 2011) A circunferência de equação 2 2(x 1) (y 1) 1 tangencia os eixos

coordenados nos pontos A e B. A circunferência λ , de centro C, passa pelo ponto B e

tangencia o eixo das abscissas no ponto D.

Se os pontos A, B e C estão alinhados, podemos concluir que a abscissa do centro C é igual a:

a) 2 2

b) 1 2

c) 2 2 1

d) 2 2 1

e) 2 2 38. (Fgv 2011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:

a) 2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0

b) 2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0

c) 2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0

d) 2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0

e) 2 2x y 4x 4y 4 0

39. (Mackenzie 2011) Os pontos (x,y) do plano tais que 2 2x y 36, com x y 6 definem

uma região de área

a) 6 2π

b) 9 π

c) 9 2π

d) 6 π e) 18( 2)π

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.

40. (Unicamp 2011) O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1. b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2. c) x ]1, 3[, y ]4, 6[. d) x = 2, y [5, 7]. 41. (Fgv 2010) Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1 42. (Fgv 2010) A representação gráfica da equação (x + y)2 = x2 + y2 no sistema cartesiano ortogonal é

a) o conjunto vazio. b) um par de retas perpendiculares. c) um ponto. d) um par de pontos. e) um círculo. 43. (Unesp 2010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades.

Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de

largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de

excentricidade 0,943;

II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas

e pista). Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:

Dado: 20,943 0,889 e 0,111 0,333

a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15.

Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Sobre as inequações apresentadas:

2 2x y 4 Circunferência de raio 2 e centro na origem.

x y 0 Reta que passa pelo segundo e quarto quadrantes cortando-os diagonalmente,

passando também pela origem. Assim, existirá um segmento de reta pertencente à mesma que é diâmetro da circunferência anterior.

Assim, a região delimitada será um semicírculo de raio 2, ou seja:

22S S 2

2

ππ

Resposta da questão 2: [D] Os pontos de intersecção entre as duas circunferências são solução do sistema abaixo:

2 2

2 2

x 3 y 1 10 i

x 3 y 13 ii

Subtraindo membro a membro as equações (ii) e (i), temos:

2 2 22

2 2

x 3 y x 3 y 1 13 10

y y 2y 1 3

2y 4

y 2

Substituindo y 2 na equação i ,

2 2

2

x 3 2 1 10

x 3 9

x 3 3 x 0 ou x 3 3 x 6

Assim, os pontos de intersecção entre as duas circunferências são A 0, 2 e B 6, 2 .

Logo,

22

A,B

A,B

A,B

d 6 0 2 2

d 36 0

d 6

Resposta da questão 3: [C] Calculando:

2 22 2 1 1 1x y x y x y2 2 2

21 1C ; e R2 2 2

A reta que divide a circunferência em duas partes iguais passa pelo centro C e pode ter

equação igual a x y 1.

Resposta da questão 4: [C] Tem-se que

2 2 2

2 2

2

2

x y 4 4(y 4) y 2 0

y 2 y 2x x

4 4

(y 2)(4y 7) 0

y 2x

4

7y 2 ou y

4

y 2x

4

x 0 e y 2

ou

15 7x e y .

4 4

ou

15 7x e y

4 4

Portanto, a resposta é 15 15 15

.4 4 2

Resposta da questão 5: [B] Do enunciado, temos:

2 2

3 1 4 1 17r

3 4

10r

25

10r

5

r 2

Assim, a equação da circunferência acima é:

2 2 2

2 2

2 2

x 1 y 1 2

x 2x 1 y 2y 1 4

x y 2x 2y 2 0

Resposta da questão 6: [B]

Considere a figura, em que PQ a e 2OQ b a .

Sabendo que y x é bissetriz dos quadrantes ímpares e OP é bissetriz de SOQ, temos

POQ 22 30'. Além disso, do triângulo OPQ, vem

PQtgPOQ a cotg22 30'.

OQ

Logo, sendo

1 cos45cotg22 30' 2 1,

1 cos45

concluímos que a 2 1 e, portanto, 2b a 3 2 2.


O centro da circunferência dada é dado por ( 2,1), logo a circunferência pedida terá equação

da forma 2 2 2(x 2) (y 1) R . Sendo R a distância do ponto ( 2,1) à reta de equação

4x 3y 20 0.

2 2

4 2 3 1 20 25R R 5.

54 3

Portanto, a equação pedida será dada por:

2 2(x 2) (y 1) 25

Resposta da questão 8:

Considere a figura, em que N denota Norte e L denota Leste.

A região para a qual o consumidor tem direito ao frete gratuito corresponde a um disco de raio

25km centrado na origem (depósito), isto é, 2 2 2 2 2X Y 25 X Y 625.

Em consequência, para X 20km, tem-se que

2 220 Y 625 Y 15km.

Assim, o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na

entrega do produto em sua residência é igual a 15km.

Por outro lado, sabendo que o consumidor mora no ponto (20, x), e que a distância desse

ponto ao depósito é dada por 2400 x , segue que a resposta é

2C(x) 20 ( 400 x 25),

com x 15km.

Resposta da questão 9: [C]

É fácil ver que a circunferência 2 2x y ax by, intersecta a origem dos eixos cartesianos.

Ademais, tomando x 0, obtemos y 0 ou y b. Por outro lado, fazendo y 0, encontramos

x 0 ou x a. Em consequência, podemos afirmar que a resposta é 3. Resposta da questão 10: [C] Determinando o centro e o raio da circunferência.

2 2 2 2 2 2 2x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y 16 16 (x 4) (y 4) 4

O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4.

Calculando a área do setor de 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos:

2

S4

A 44

ππ

Calculando, agora, a área do triângulo ABC.

ABC4 4

A 82

Δ

Portanto, a área do segmento circular pedida é:

S ABCA A A A 4 8 A 4 2Δ π π

Resposta da questão 11: [C] Completando os quadrados, vem

2 2 2 2

2 2

25x 16y 150x 256y 351 0 25(x 3) 16(y 8) 1.600

(x 3) (y 8)1

64 100

e

2 2 2 2

2 2

16x 25y 96x 200y 144 0 16(x 3) 25(y 4) 400

(x 3) (y 4)1.

25 16

[A] Falsa. Os centros das elipses são os pontos ( 3, 8) e ( 3, 4).

[B] Falsa. Com relação à elipse 2 2(x 3) (y 8)

1,64 100

temos a 10 e b 8. Logo, pela

relação fundamental, segue que c 6 e, portanto, 2c 12.

Por outro lado, na elipse 2 2(x 3) (y 4)

1,25 16

temos a 5 e b 4. Assim, vem c 3 e,

portanto, 2c 6.

[C] Verdadeira. Com efeito, pois 6 3

e e .10 5

[D] Falsa. Basta observar que o eixo maior da elipse 2 2(x 3) (y 8)

164 100

é paralelo ao eixo

das ordenadas.

[E] Falsa. O eixo maior da elipse 2 2(x 3) (y 8)

164 100

mede 2a 20, enquanto que o eixo

menor da elipse 2 2(x 3) (y 4)

125 16

mede 2b 8.

Resposta da questão 12: [C] [I] Verdadeira.

2 2

2 2

x y1

a b

Admitindo os focos (c, 0) e ( c, 0), temos:

a 4 e c 3

2 2 2b 3 4 b 7

Portanto, a equação da elipse será:

2 2x y1.

16 7

[II] Verdadeira.

2 2 2

c 10

5 10a 6

3 a

10 6 b b 8

Portanto, a equação da hipérbole será dada por:

2 22 2

2 2

x y1 16x 9y 576

6 8

[III] Falsa.

2

2

8x y 6y 9

(y 3)x

8

Portanto, o vértice é o ponto (0, 3).

Resposta da questão 13: [D] Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são:

A(5,4)

B( 3,1)

C(4,2)

D( 4, 3)

Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas coordenadas na equação:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x y 2x 4y 31 0

A 5 4 2 5 4 4 31 0 16 0 OK!

B ( 3) 1 2 ( 3) 4 1 31 0 19 0 OK!

C 4 2 2 4 4 2 31 0 27 0 OK!

D ( 4) ( 3) 2 ( 4) 4 ( 3) 31 0 14 0 FALSO!

Resposta da questão 14: [A] Completando os quadrados, vem

2 22 2 2 m m

x 2x y my n (x 1) y n 1.2 4

Logo, como o centro m

C 1,2

pertence à reta y x 1, segue que

m( 1) 1 m 4.

2

Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em ( 3, 4), obtemos

2 2

2 2

n x 2x y my

( 3) 2 ( 3) 4 ( 4) 4

3.

Resposta da questão 15: [A]

Considerando r o raio da circunferência, temos o centro no ponto C(2, r).

A distância do ponto C à reta de equação x y 0, tangente á circunferência, é dada por r

(medida do raio).

2 2

2 k 2 2r 2 r r 2 2 r r 2 ou 2 r r 2 r ou r (não convém)

2 1 1 21 1

Portanto, o raio da circunferência é: 2

r 2 ( 2 1)2 1

e o centro é o ponto

C(2, 2 2 2).

Resposta da questão 16: [A] A reta pedida é dada por

2 2 2 2(x 1) y [(x 3) (y 2) ] 5 1 2x 1 6x 9 4y 4 4

x y 4 0.

Resposta da questão 17: [D] Completando os quadrados, segue que

2 2 2 2

2 2

x y 2x 4y 4 0 (x 1) 1 (y 2) 4 4 0

(x 1) (y 2) 9.

Logo, o centro de é o ponto ( 1, 2), distinto de (1, 2), que é o centro de

Seja f a função dada por 2 2f(x, y) (x 1) (y 2) 9. Como f(0, 0) 4 0, tem-se que O é

interior a .

Tomando a equação explícita da reta r e a equação reduzida da circunferência , temos

2 2 2(x 1) (x 3 2) 9 2(x 1) 9.

Donde podemos concluir que a reta r é secante à circunferência .

O centro da circunferência é o ponto (1, 2), e seu raio é 3. Logo, como as circunferências

e têm o mesmo raio e seus centros distam 5 do ponto O, segue-se que é simétrica

de em relação ao ponto O.

Resposta da questão 18: [B] Com as informações do enunciado, pode-se desenhar:

Percebe-se que:

PC CT b Raio de (R)λ

2 22 2 2 2PO (x 0) (y 0) PO x y

Por semelhança de triângulos, sabe-se que:

OPC OCT PO OT 6Δ Δ

Portanto, 2 2 2 2 2PO x y x y 36

Mas P pertence à reta r, logo 3

y x,4

ou seja:

22 2 2 2 23 9 24

x y 36 x x 36 x x 36 x4 16 5

3 3 24 72 18y x y y

4 4 5 20 5

Portanto, as coordenadas do ponto P são 24 18

, .5 5

A distância entre o ponto P e o centro C

é igual ao raio R da circunferência. Assim, pode-se escrever: 2 2

2

2 2 2 22 2 2

24 18R 6 b mas b R

5 5

24 18 6 18 36R 36 324 36RR 6 R R R 0

5 5 5 5 5 25 25 5

36R 360 R 1025R 50 R 2 b 2

5 25 5 25

Portanto, as coordenadas do centro C são 6, 2 .

Assim, o que se pretende descobrir é uma parábola que contenha os pontos C 6, 2 e a

origem O 0,0 . Pelas alternativas percebe-se que a única parábola descrita que passa por

ambos os pontos C e O é a 23y 12y 2x 0, pois:

2

2

Ponto O 3 0 12 0 2 0 0

Ponto C 3 2 12 2 2 6 0 12 24 12 0

Resposta da questão 19: [B] Determinando o centro C da circunferência dada: x2 + 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 25 + 4 + 25 (x + 2)2 + (y + 5)2 = 4 Logo, o centro é C(–2,–5). O ponto P simétrico do ponto (–1,1) em relação ao eixo x é P (–1, –1). Portanto, o raio R da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Temos, R2 = (–1 – (–2))2 + (–1 – (–5))2 = 17 Logo, a equação da circunferência pedida será dada por :

(x + 2)2 + (y + 5)2 = 17 x2 + y2 + 4x + 10y + 29 – 17 = 0 x2 + y2 + 4x + 10y + 12 = 0 Resposta da questão 20: [A] Completando os quadrados, vem

2 22 2 2 1 1

x y 2x y 1 0 (x 1) y2 2

e 2 2

2 2 2 3 3x y 2x 3y 1 0 (x 1) y .

2 2

Logo, 11

C 1, ,2

11

r ,2

23

C 1,2

e 23

r .2

O resultado pedido corresponde à distância entre os centros das circunferências subtraída da soma dos raios, ou seja,

22 3 1 1 3

(1 ( 1)) 2 2 22 2 2 2

2( 2 1).


a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e ,α obtemos

2 2 2

2 2

2

2

2

x y 4y 0 x 4 y

y 4 x y 5y 4 0

x 4 y

y 5y 4 0

x 4 y

y 1 ou y 4

( 3,1) ou (0, 4).

b) Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2x y 4y 0 (x 0) (y 2) 4.

Logo, λ possui centro em (0, 2) e raio 2.

Por outro lado, a equação canônica de α é 2y (x 0) 4. Assim, o ponto de máximo do

gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3,1) e

( 3,1).

Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações

2 2x y 4y 0 e 2y 4 x pertencem à região sombreada da figura abaixo.

Resposta da questão 22: Centro da elipse: C(2,3) Semieixo paralelo ao eixo x: a = 2 Semieixo paralelo ao eixo y: b = 3 Logo, a equação da elipse será dada por:

2 22 2

2 2

y 3 y 3(x 2) (x 2)1 1

4 92 3


2 2 2 2

2 2

( I ) x y 2x 8y 8 0 x 2x 1 y 8y 16 8 1 16

(x 1) (y 4) 9

O gráfico desta equação é uma circunferência de centro (1, 4) e raio 3.

2 2 2 2

2 22 2

( II ) 4x y 8x 8y 16 0 4 (x 2x 1) y 8y 16 4

(x 1) (y 4)4 (x 1) (y 4) 4 1

1 4

O gráfico desta equação representa um elipse com centro (1, 4) como semieixo maior

medindo 2 e semieixo menor medindo 1. Observamos que a circunferência e a elipse possuem mesmo centro e os semieixos da elipse são menores que o raio da circunferência. Portanto, elas não se intersectam. Logo, a única afirmação incorreta é a da opção [C]. Resposta da questão 24: [E] 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0 9(x2 – 4x + 4) + 25(y2+ 2y + 1) = 164 + 36 + 25 9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 225

2 2(x 2) (y 1)1

25 9

Equação de uma elipse com centro no ponto (2, –1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. Resposta da questão 25: [A] Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2x y 4x 0 (x 2) y 4.

Assim, o centro da circunferência é o ponto C(2, 0).

O coeficiente angular da reta t é dado por

C P

C P

x x 2 1 1 1 3 3.

y y 30 3 3 3 3

Desse modo, a equação de t é 3

y 3 (x 1)3

e, portanto, a abscissa do ponto de

interseção de t com o eixo x é tal que

3

0 3 (x 1) 3 x 1 x 2.3

Resposta da questão 26: [D]

A circunferência C tem centro no ponto A(1, 2) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as

informações, considere a figura abaixo.

Como PQ PQ' e AQ AQ' 1, vem

2 2 2PA (3 1) (6 2) 20

e, portanto,

2 2 2 2PQ PA AQ PQ 20 1

PQ 19 u.c.


a) Reescrevendo o sistema, obtemos

2 2 2 2 2

2 2 22 2

x y 2x 0 (x 1) (y 0) 1

,3 1 3 1(x 1) y (x 1) y

2 4 2 2

ou seja, a solução do sistema é a região do plano limitada pelas circunferências de centros

em (1, 0) e 3

1, ,2

com raios respectivamente iguais a 1 e 1

.2

b) Considere a figura.

A área pedida corresponde à área do semicírculo de centro O e raio igual a 1

,2

subtraída da

área do segmento circular OBDC, ou seja,

2 21 1 3sen

2 2 2 3 3 8 6 4

6 3u.a.

24

π π π π π

π


a) O ponto P é o circuncentro do triângulo ABC.

Temos

2 2 2AB (1 0) (7 0) 50,

2 2 2AC (8 0) (6 0) 100

e

2 2 2BC (8 1) (6 7) 50.

Como 2 2 2

AC AB BC , segue que o triângulo ABC é retângulo e sua hipotenusa é o lado

AC.

Portanto, P é o ponto médio do lado AC, ou seja,

0 8 0 6P , (4, 3).

2 2

b) A área do quadrado é igual a

2

2AC 10050km .

2 2


Reescrevendo a equação 2 2(x 2) 4(y 5) 36, obtemos

2 2

2 2

(x 2) (y 5)1,

6 3

que é a equação de uma elipse centrada em (2, 5), com o semieixo maior paralelo ao eixo

das abscissas. Logo, como a 6 e b 3, temos m 2 6 8 e n 5 3 2. Portanto,

m n 8 ( 2) 6.


2 2x 9y 8x 54y 88 0

x2 – 8x + 16 + 9 (y2 – 6y + 9) = –88 + 16 + 81 (x – 4)2 + 9 (y – 3)2 = 9

2(x 4) (y 3)1

2 23 1

Como o eixo maior da elipse mede 6 (3 + 3), concluímos que a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, 3) e raio 3; portanto, tangente ao eixo x. Resposta da questão 31: [A]

2 2AB (6 ( 1)) ( 2 ( 3)) 50

50.h 25 25h

2 2 50

2

2 2

222

2

50R h

2

25 50R

250

25 25R

2 2

R 25

R 5


2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x y 2x x 2x 1 y 1 (x 1) y 1

x y 2y x y 2y 1 1 x (y 1) 1

Representado as duas regiões no plano cartesiano e destacando a região comum, cuja área é A.

Portanto, A = 2 A1

21 1 1 3 1A 2 2 0,5.

4 2 4 2

π


R = raio e o ponto (5, R) é o centro. Calculando a distância de (5, R) até (1,2) temos o raio.

22

2 2

(5 1) R 2 R

16 (R 2) R

Desenvolvendo, temos 4R = 20 R = 5. Resposta da questão 34: [C]

Observando as figuras, concluímos que a área pedida é:

A = 23. .2

3 .4

ππ

Resposta da questão 35: [D]

Seja t a reta tangente à circunferência 2 2x y 8 no ponto 0 0P(x , y ).

A equação de t é dada por:

00 0

0

xy y (x x ).

y

Para P (2, 2), temos:

2(t) : y 2 (x 2) (t) : y x 4.

2

Seja Q o ponto de interseção das retas t e (r) : y 2x.

O ponto Q é a solução do sistema formado pelas equações de t e de r :

4x

y x 4 4 832x x 4 Q , .

y 2x 8 3 3y

3

Portanto, o ponto pedido é 4 8

, .3 3


a) Se o posto rodoviário encontra-se na origem do sistema de coordenadas cartesianas, e a estrada está sobre o eixo das abscissas, temos que o pé da perpendicular baixada do ponto

( , 24) sobre o eixo das abscissas determina um triângulo retângulo com a origem.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos calcular a abscissa do ponto ( , 0) :

2 2 240 24 32.

Daí, segue que a região de alcance da antena situada na estação da guarda florestal é dada

por

2 2 2(x 32) (y 24) 24 .

Sabendo que o alcance da antena situada no posto rodoviário atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal, temos que

esse ponto é (32,0) e, portanto, a região de alcance da segunda antena é dada por

2 2 2x y 32 .

A área coberta simultaneamente pelas duas antenas está sombreada no gráfico acima.

b) Seja M o ponto médio do segmento de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda Florestal. Logo,

32 0 24 0

M , (16,12).2 2

O ponto em que a nova antena deverá ser instalada é a interseção da mediatriz do

segmento de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda Florestal com o eixo das abscissas. O coeficiente angular da reta suporte desse segmento é dado por:

24 0 3

.32 0 4

Logo, a equação da mediatriz é:

4 4 100

y 12 (x 16) y x .3 3 3

Desse modo, a antena deverá ser instalada no ponto de abscissa:

4 100

x 0 x 25km.3 3


A circunferência 2 2(x 1) (y 1) 1 tem centro em ( 1,1) e raio igual a 1. Logo, B (0,1),

A ( 1, 0) e ˆDAC 45 .

Seja CD R o raio de .

Do triângulo ACD, obtemos

CD 2 RˆsenDAC2AC R 2

R 2 2 2R

R(2 2) 2

2 2 2R 2 2.

2 2 2 2

Portanto, sendo Cx a abscissa do ponto C, vem que Cx AD AO 2 2 1 2 1 .


Seja C( r, r), com r 0 o centro da circunferência.

Como a diagonal do quadrado de lado r vale r 2, segue que:

4 r 2 r 2 2.

Assim:

2 2 2

2 2 2 2 2

(x r) (y r) r

(x 2 2) (y 2 2) (2 2) x y 4 2x 4 2y 8 0.

Mas:

24 2 2 2 2 2 2 2 2 8

Portanto, a equação pedida é:

2 2x y 2 8x 2 8y 8 0.


Representando o sistema 2 2

x y 6

x y 36

no plano cartesiano temos região mostrada na figura

abaixo: Basta fazer a área do quarto de círculo menos a área do triângulo retângulo e isósceles:

2

2

.6 6.6A

4 2

A 9. 18

A 9.( 2) unid

π

π

π


Sejam A(1,1), B(5, 3) e C(3,1), respectivamente, as coordenadas da catedral, da câmara de

vereadores e da prefeitura.

O lugar geométrico dos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores é a

mediatriz do segmento de reta BC.

O coeficiente angular da reta suporte do segmento BC é BC

3 1m 1.

5 3

Seja M o ponto médio do segmento BC. Então,

5 3 3 1M , (4, 2).

2 2

Se sm é o coeficiente angular da mediatriz do segmento BC, então

s sBCm m 1 m 1.

Desse modo, a equação do lugar geométrico correspondente à Avenida Juscelino Kubitschek

é: s : y 2 ( 1) (x 4) s : y x 6.

Sendo P o ponto de interseção das avenidas, temos que:

x 2 y 2 6 4 P (2, 4).

Portanto, como

2 2 2 2(2 1) (4 5) 1 1 2 2,

segue que o ponto P pertence à região 2 2(x 1) (y 5) 2.

Resposta da questão 41: [A] x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 = – 30 + 9 + 25 (x – 3)2 + (x – 5)2 = 4 Centro C(3,5) e raio R = 2 Logo, o ponto de ordenada máxima será: P(3, 5 + 2) = P(3, 7) Somando as coordenadas temos: 3 + 7 = 10. Resposta da questão 42: [B] Desenvolvendo a expressão, temos: x2 + 2xy + y2 = x2 + y2 2xy = 0 x = 0 ou y = 0 (eixos perpendiculares)


2 2 2 2 2 2 2 2

c0,943 c 0,943a

a

a 5 c a 25 (0,943a) a 25 0,889a 0,111a 25

25 5 5a a 15.

10,111 0,3333

3

A distância é 2a 2 15 30 m.

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