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LISTA DE EXERCÍCIOS2º ANO – GABARITO

GAB

LIS

TA -

29

Portanto:2 2 2x 1 1 x 2 cm= + ⇒ =

Os lados dos quadrados forma uma P.A de razão r 2.=

Logo, o lado do vigésimo quadrado é 20 2 cm.Sua área então será dada por:

2 2A (20 2) 800 cm .= =

Questão 5Letra D.As quantidades dos elementos, em cada linha, tam-

bém formam uma P.A. (1, 3, 5, 7, ...)Total e elementos da linha 9: x 1 8 2 17= + ⋅ =

Total de elementos até a linha 9: ( )1 17 9

S 812

+ ⋅= =

A sequência (q, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...) é uma P.A de razão 3.

Portanto, o primeiro elemento da linha 10 será o octagésimo segundo elemento da P.A. acima.

82a 1 81 3 244= + ⋅ =

Questão 6Letra C.Seja n a distância, em quilômetros, pedalada pelo

ciclista no primeiro dia. Dado que o ciclista pedala 10km a mais do que pedalou no dia anterior, vemn n 10 n 20 n 30 n 40 310 5n 210

n 42km.+ + + + + + + + = ⇔ =

⇔ = Questão 7

Temos:

6k 1n 3,+ = 6k 22n ,5+ = 6k 3

1n ,4+ = − 6k 4

5n ,7+ = −

6k 54n3+ = − e 6k 6

7n ,2+ = − para todo k natural.

Portanto, 2013 6 335 31n n .4⋅ += = −

Questão 8Letra B.A quantidade de cartas que forma o monte é dada

por 52 (1 2 3 4 5 6 7) 24.− + + + + + + =

Questão 9Letra C.De acordo com as informações, temos que a evolu-

ção do número de diabéticos corresponde à sequência (150,180, 210, 240, 270, 300, 330,…). Portanto, o mun-do terá 300 milhões de pessoas com diabetes no ano de 2004 5 4 2024.+ ⋅ =

Matemática I

Questão 1Letra B.

9

8

7

82 9 73a3 3 373 9 64a3 3 364 9 55a3 3 3

= − =

= − =

= − =

Portanto, a média aritmética dos 4 últimos termos será dada por:

82 73 64 55274 1373 3 3 3M

4 12 6

+ + += = =

Questão 2

Letra C.O número de vigas em cada grade cresce segundo a

progressão aritmética (5, 9,13, , 4n 1),+ com n sendo um natural não nulo. Logo, se cada viga mede 0,5 m e a última grade foi feita com 136,5 metros lineares de vigas, então (4n 1) 0,5 136,5 n 68.+ ⋅ = ⇔ =

Portanto, o comprimento total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, em me-

tros, foi de 5 2730,5 68 4.726.2

+ ⋅ ⋅ =

Questão 3Letra C.Tem-se que:

1 2n 1 n1 3 5 2n 1 2014 20142

2 4 6 2n 2015 20152 2n n2

n 20141 n 2015n 2014.

+ − + + + + − = ⇔ =

+ + + + +

⇔ =+

⇔ =

Questão 4Letra D.

O lado do quadrado da fi gura 1: x

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GAB

LIS

TA -

29

Questão 10O número de horas consecutivas dormidas n dias

após o início da observação é dado por n8 .4

+ Logo, o

homem morrerá quando:

n8 24 n 64.4

+ = ⇔ =

Portanto, após 64 dias o homem dormirá 24 horas seguidas.

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GAB

LIS

TA -

30

Questão 5Letra A.

x 10 x x 10 3903x 390x 130

+ + + − ==

=A P.A. então será determinada por: (140,130,120, )

E seu vigésimo termo será dado por:

20a 140 19 ( 10) 50.= + ⋅ − = −

Questão 6Letra A.A fi gura representa uma progressão aritmética cujo

número de termos n é igual ao número de mesas e a quantidade de cadeiras é igual ao valor de cada um dos termos, ou seja:

1

2 2 1 3 2

3

a 4a 6 r a a a a r 2a 8

= = = − = − → ==

Assim, com uma P.A. de razão 2 o que se pretende descobrir é o valor do termo n 50,= ou 50a .

Pode-se portanto escrever:

n 1

50

50

a a (n 1) ra 4 (50 1) 2a 102

= + − ⋅= + − ⋅=

O número necessário de cadeiras quando houver 50 mesas será 102 cadeiras.

Questão 7Letra B.Considerando a P.A. na ordem dada, temos:P.A. (5x 5, x 14, 6x 3)− + −Utilizando a propriedade de uma P.A, temos:

5x 5 6x 3x 14 2x 28 11x 8 9x 36 x 42

− + −+ = ⇒ + = − ⇒ − = − ⇒ =5x 5 6x 3x 14 2x 28 11x 8 9x 36 x 4

2− + −+ = ⇒ + = − ⇒ − = − ⇒ =

Logo, a P.A. será (15, 18, 21).Portanto, a soma do três números será:

1 2 3a a a 15 18 21 54.+ + = + + =

Questão 8Letra C.Sejam x, x r+ e x 2r+ as medidas, em metros, dos

lados do triângulo, com x, r 0.> Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos

x 3r.= Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m,

vem

Matemática I

Questão 1Letra D.Tem-se que:

2

y zlogy logx logz logy log logx y

y zx y

y xz.

− = − ⇔ =

⇔ =

⇔ = Questão 2

Letra C.Temos uma P.A. de primeiro termo 100, razão

r 8= − e número de termos n.Portanto, o último termo desta P.A poderá ser es-

crito por:

na 100 (n 1) ( 8)= + − ⋅ −

Como o número de latas na última fi la é um núme-ro positivo podemos escrever que:

na 0>100 (n 1) ( 8) 0

8n 108n 13,5

+ − ⋅ − >− > −

<Portanto, a quantidade máxima de fi leiras é 13 e o

número de latas nesta fi leira será dada por:

13

13

a 100 (13 1) ( 8)a 4

= + − ⋅ −=

Questão 3Letra A.Como 7á é o termo médio da progressão aritméti-

ca, segue-se que 778 13á= ⋅ e, portanto, temos 7 6.á =

Questão 4Letra C.É fácil ver que o número de triângulos brancos na

n-ésima (n 2)≥ fi gura é dado por n n 1a 3 a 1,−= ⋅ + com 1a 0.= Portanto, sabendo que 5a 40,= temos:

8 7

6

6

5

5

a 3 a 13 (3 a 1) 19 a 49 (3 a 1) 427 a 1327 40 131093.

= ⋅ += ⋅ ⋅ + += ⋅ += ⋅ ⋅ + += ⋅ += ⋅ +=

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30

13r 4r 5r 6 r .2

+ + = ⇔ =

Portanto, a área do triângulo é igual a: 2

23r 4r 16 1,5 m .2 2⋅ = ⋅ =

Questão 9a) De acordo com a lei de formação da sequência, temos que:

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

== = ⋅ = ⋅ === = ⋅ = ⋅ === = ⋅ = ⋅ === = ⋅ = ⋅ === = ⋅ = ⋅ === = ⋅ = ⋅ === = ⋅ = ⋅ === = ⋅ = ⋅ =

1

2 21 1

3

4 2 2 2

5

6 2 3 3

7

8 2 4 4

9

10 2 5 5

11

12 2 6 6

13

14 2 7 7

15

16 2 8 8

a 1a a 1 a 1 1 1a 2a a 2 a 2 1 2a 2a a 3 a 3 2 6a 2a a 4 a 4 2 8a 2a a 5 a 5 2 10a 2a a 6 a 6 6 36a 2a a 7 a 7 2 14a 2a a 8 a 8 8 64

Portanto, a sequência pedida é:(1,1, 2, 2, 2, 6, 2, 8, 2,10, 2, 36, 2,14, 2, 64).

b) Observando que: + + + −= n

1 2 (n 1)2

a 2 , com ∗∈�n ,

vem + ⋅+ + += = =

50

(1 49) 491 2 49 122522

a 2 2 2 .

Questão 10a)

4 3

2

1

1

1

a 2a 12(2a 1) 12(2(2a 1) 1) 12(4a 2 1) 18a 7.

= += + += + + += + + += +

Como 1a 1,= segue que 4a 8 1 7 15.= ⋅ + =

b)

c) Queremos calcular 6a .

n n 1 n n 1a 1 2(a 1) a 2a 1.− −+ = + ⇔ = +

Do item (a) sabemos que 4a 15.= Logo,

6 5

4

a 2a 12(2a 1) 12(2 15 1) 163.

= += + += ⋅ + +=

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LIS

TA -

31

Soma dos algarismos do terceiro elemento: 1 1 1 1 1 1 6.+ + + + + =

Portanto, as soma dos algarismos de cada elemen-to formam um P.A de razão 2.

E seu vigésimo termo será dado por:a20 = 2 + 19 · 2 = 40E a soma dos termos será dada por:

S20 420202402S20 =⋅+= 20 = 420

Questão 5Letra E.Tem-se que:

1 50 5050

50

a a 2 aS 50 2550 50

2 2a 100.

+ + = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ =

Daí, se r é a razão da progressão aritmética, então

1a 49 r 100 r 2.+ ⋅ = ⇔ =

Portanto, segue que:

27 1226 2 11 2S S 2 27 2 12

2 2756 156912.

⋅ ⋅ + = + ⋅ + + ⋅ = +=

Questão 6Letra D.Calculando:

( )n

12,5 x 19S 204 x 8,97 9 metros

2+ ⋅

= = → = ≈

Questão 7Letra D.Os valores doados constituem uma progressão

aritmética de primeiro termo igual a 350 e razão 50. Logo, se n é o número de microempresas que partici-param da campanha, então:

2(n 1) 5016500 350 n n 13n 660 02

n 20.

− ⋅ = + ⋅ ⇔ + − = ⇒ =

Questão 8Letra E.O números inteiros compreendidos entre 100 e

400, que possuem o algarismo das unidades igual a 4, formam uma P.A de razão 10.

(104,114,124,134, , 384, 394)

Determinando o número n de termos dessa P.A., temos:394 104 (n 1) 10 n 30= + − ⋅ ⇒ =Calculando, agora, a soma destes 30 termos, temos:

( )104 394 307470

2+ ⋅

=

Matemática I

Questão 1a) Os comprimentos dos pedaços de fi ta crescem segundo uma progressão aritmética de razão 2,5cm e primeiro termo igual a 8cm. Logo, sabendo que o maior pedaço de fi ta mede 125,5cm, temos:

117,5125,5 8 (n 1) 2,5 n 12,5

n 48.

= + − ⋅ ⇔ = +

⇔ =Portanto, foram utilizados 48 pedaços de fi ta.

b) O comprimento total pedido é dado por:

6059 2,5S 8 60 4905cm.

2⋅ = + ⋅ =

Questão 2Letra E.Sejam AQ e BQ , respectivamente, o número de li-

vros recolhidos pelas equipes A e B após n rodadas. Tem-se que:

A B(n 1) 4 (n 1) 2Q Q 6 n 16 n

2 26 2n 2 16 n 1n 11.

− ⋅ − ⋅ = ⇔ + ⋅ = + ⋅ ⇒ + − = + −⇔ =

Questão 3Letra A.

Número de alunos matriculados:1º dia = 8 estudantes2º dia = 11 estudantes3º dia = 14 estudantese assim sucessivamente.Logo, temos uma PA fi nita com 7 termos.Portanto,I) Termo geral da PA:

n 1 7 1 7 7a a (n 1)r a a 6r a 8 6 (3) a 26⇒ = + − ⇒ = + ⇒ = + × ⇒ =

n 1 7 1 7 7a a (n 1)r a a 6r a 8 6 (3) a 26⇒ = + − ⇒ = + ⇒ = + × ⇒ =

II) Soma dos termos da PA fi nita:

( ) ( ) ( )1 nn 7 7

a a n 8 26 7 8 26 7S S S 119

2 2 2+ + × + ×

⇒ = ⇒ = ⇒ = =

( ) ( ) ( )1 nn 7 7

a a n 8 26 7 8 26 7S S S 119

2 2 2+ + × + ×

⇒ = ⇒ = ⇒ = =

Questão 4Letra D.Soma dos algarismos do primeiro elemento:

1 1 2.+ =Soma dos algarismos do segundo elemento:

1 1 1 1 4.+ + + =

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LIS

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31

Questão 9Letra C.Utilizando as fórmulas pertinentes a progressões

aritméticas, bem como os dados do enunciado, pode--se escrever:

n 1

24 24

n 1 n

24 24

a a (n 1) ra 2 (24 1) 3 a 71

nS (a a )224S (2 71) S 876 mm 87,6 cm2

= + − ⋅= + − ⋅ → =

= + ⋅

= + ⋅ → = =

Questão 10Temos uma P.A. crescente de 12 termos e razão 20

(7000, 7020, 7040, ..., 7220).

Temos uma P.A. crescente de 12 termos e razão 20 (7000, 7020, 7040, ..., 7220).

Calculando a soma dos termos temos:

(7000 7220) 12 85320.2

+ ⋅ =

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GAB

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32

1 1 1 8 4 1 132 .4 16 32 32 32 32 32

+ ⋅ + = + + =

[IV] Falsa. De fato, conforme [I].

Questão 4Letra A.Sabendo que a expressão do termo geral de uma

progressão geométrica é n 1n 1a a q ,−= ⋅ pode-se escre-

ver, de acordo com os dados do enunciado, para a pro-gressão geométrica A:

98

9 1

a 1792

a a q 1792

=

= ⋅ =

43

4 1

a 56

a a q 56

=

= ⋅ =

Resolvendo o sistema:8

13

13 5

15 5 5

31 1

a q 1792

a q 56

a q q 1792

56 q 1792 q 32 2 q 2

a 2 56 a 7

⋅ =

⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ = → = = → =

⋅ = → =

81

31

3 51

5 5 5

31 1

a q 1792

a q 56

a q q 1792

56 q 1792 q 32 2 q 2

a 2 56 a 7

⋅ =

⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ = → = = → =

⋅ = → =

Se a progressão geométrica B tem o primeiro termo igual ao primeiro termo da progressão A e sua razão é igual a q 1,+ seu quarto termo será:

4 1 34 1 4 4a a (q 1) a 7 (2 1) a 189−= ⋅ + → = ⋅ + → =

Questão 5Letra B.Se (3, A, B) é uma progressão aritmética, en-

tão 2A 3 B,= + ou seja, B 2A 3.= − Por outro lado, se (3, A 6, B)− é uma progressão geométrica, então

2(A 6) 3B.− = Logo, segue que 2A 18A 45 0,− + = im-plicando em A 3= ou A 15.=

Questão 6Letra D.O número total de gafanhotos mortos após n dias

constitui a progressão geométrican 1(5,15, 45, , 5 3 , ).−⋅

Daí, temosn 1 n 1

n 1 11

5 3 885735 3 177147

3 3n 12.

− −

−

⋅ = ⇔ =

⇔ =⇔ =

Portanto, a resposta é 12 dias.

Matemática I

Questão 1Letra D.De acordo com o texto os lados dos triângulos for-

mados formam uma PG de razão 1.2

2 3x x xx, , , ,2 2 2

Logo, a medida do lado do nono triângulo será dada por :

9 1

9 81 xa x2 2

− = ⋅ =

Portanto, a área do nono triângulo será dada por:2 2

8 8 8x 3 25 3 x 100 x 5 x 320

4 64 64 42 2 2⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Questão 2

Letra B.Desde que 5x 24q= e q ,∗

+∈ � temos2

5 62

x x 90 24q 24q 90

(2q 1) 163q .2

+ = ⇔ + =

⇔ + =

⇒ =

Em consequência, vem:

41 1 3

24 64x q 24q x .93

2

= ⇔ = =

Portanto, como 64 640 639 71 7,1,9 90 90 10

= > = = segue o resultado.

Questão 3Letra A.

[I] Verdadeira. Os valores dos tempos musicais constituem uma progressão geométrica decrescente

de primeiro termo 1 e razão 1,2

cujo termo geral é n

n1a ,2

= com 0 n 6≤ ≤ e n .∈ �

[II] Verdadeira. Dois compassos de 24

correspondem

a um compasso 4 .4

Por outro lado, uma mínima, uma semínima e duas colcheias resultam em

1 1 1 2 42 .2 4 8 2 4

+ + ⋅ = =

[III] Falsa. Uma semínima, duas semicolcheias e uma fusa correspondem a um compasso cuja fração é

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TA -

32

Questão 7Letra D.Os valores doados constituem uma progressão

arApós a instalação do quadrado de 1 metro de lado, pode-se escrever que serão adicionados em cada uma das etapas:

total total

total total

total total

31 1 1Etapa 1 3 quadrados de lado Área S 3 S2 4 4 491 1 1Etapa 2 9 quadrados de lado Área S 9 S4 16 16 16

1 1 1 27Etapa 3 27 quadrados de lado Área S 27 S8 64 64 64

→ = → = → = ⋅ → =

→ = → = → = ⋅ → =

→ = → = → = ⋅ → =

E assim sucessivamente...Percebe-se que as somas das áreas dos quadrados

adicionados em cada uma das etapas formam um pro-gressão geométrica de razão 3 4. Assim, a soma das áreas dos quadrados da 7ª etapa será igual a:

( ) ( ) 77 1n 1

7 1 73 3 3a a q a4 4 4

−− = ⋅ = ⋅ → =

Questão 8Letra E.A sequência é uma P.G. de razão 5

92 3 45 5 5 51, , , , ,

9 9 9 9

O quinto termo é 45 625 .

9 6561 =

Questão 9Letra B.O número de times em cada fase corresponde aos

termos da progressão geométrica (64, 32, , 2). Logo, sendo n o número de fases pedido, temos:

n 11 n 512 64 2 2 n 6.

2

−− − = ⋅ ⇔ = ⇔ =

Questão 10

( )4 6 3 64A A A

6 6B B

24 6. q q 4 q 2 2 8

85 11.(q ) q 7,73

= ⇒ = ⇒ = = =

= ⇒ �

Como qA > qB então, a velocidade de propagação no experimento A é maior que a velocidade de propaga-ção no experimento B.

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TA -

33

Questão 4Letra A.

a) palavras com uma letra: 2palavras com duas letras: 22

palavras com três letras: 23

E assim sucessivamente.Portanto, o número de palavras de comprimento

menor do que 6 será dado por:2 4 9 16 32 62.+ + + + =

b) Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G, temos:

( )N6

N 1 6

N 1 6

N 1

2 2 110

2 12 2 10

2 10 2

2 1000002

+

+

+

⋅ −≥

−− ≥

≥ +

≥20

19

2 1024 1024 1000002

2 512 1024 1000002Logo, N 1 20 N 19.

= ⋅ >

= ⋅ <+ = ⇒ =

Questão 5Letra E.Lembrando que o limite da soma dos termos de

uma progressão geométrica de primeiro termo 1a e

razão 1 q 1− < < é dado por 1a,

1 q− temos:

3 6 9

3

3

3

0,001 0,000001 0,000000001 10 10 10

101 10

110 1

1 .999

− − −

−

−

+ + + = + + +

=−

=−

=

Questão 6Letra A.A equação é uma progressão geométrica de razão 1q .4= Sabe-se, pelo enunciado, que a soma de todos

os termos dessa PG é 16, e que ela é infi nita. Assim, pode-se escrever:

1a x 4x 4xS 16 16 x 1211 q 3 31 4

∞ = → = = → == → =− −

Questão 7Letra C.Pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo

ABC, encontramos facilmente AC 20 m.=

Matemática I

Questão 1Letra E.Considerando que os triângulos são todos seme-

lhantes, os perímetros formam uma PG de razão 1.2

A soma dos infi nitos termos desta PG será dada por:

6

213

211

3S ==−

=∞

Questão 1Letra B.Estabelecendo uma relação entre o raio r da cir-

cunferência inscrita e o raio R da circunferência cir-cunscrita num hexágono regular.

r é a altura de um triângulo equilátero de raio R, portanto:

R 3r2

=

Os raios considerados no exercício formarão uma P.G. infi nita de razão 3q .

2=

R 3 3R(R, , ,...)2 4

A soma dos infi nitos termos desta P.G. será dada por:

1

33 R 11 2a R R 32S 4R 111 q 23 3 31 1 1 42 2 2

⋅ + + = = = ⋅ = = ⋅ + − − − +

Questão 3Letra D.Soma dos infi nitos termos da PG:

21a 31185S S 62370 mm11 q 12

∞ ∞= ⇒ = =− −

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GAB

LIS

TA -

33

Os triângulos ABC, CDE, EFG, são semelhantes por AA. Logo, como a razão de semelhança é igual a

CD 12 3 ,16 4AB

= = segue-se que AC 20 m,= CE 15 m,=

45EG m,4

= constituem uma progressão geométrica

cujo limite da soma dos n primeiros termos é dado

por 20 80 m.314

=−

Questão 8Como as parcelas crescem segundo uma progres-

são geométrica de razão 1,1 e primeiro termo igual a 2000, segue que o montante pago foi de

5(1,1) 12000 2000 6,10511,1 1

R$ 12.210,20.

−⋅ = ⋅−

=

Logo, os juros cobrados correspondem a 12210,2 10000 R$ 2.210,20− = e, portanto, a taxa de juros simples na transação é igual a:

2210,2 100% 4,42%.10000 5

⋅ ≅⋅

Questão 9Letra E.Como as parcelas crescem segundo uma progres-

são geométrica de razão 1,1 e primeiro termo igual a 2000, segue que o montante pago foi de

5(1,1) 12000 2000 6,10511,1 1

R$ 12.210,20.

−⋅ = ⋅−

=

Logo, os juros cobrados correspondem a 12210,2 10000 R$ 2.210,20− = e, portanto, a taxa de juros simples na transação é igual a:

2210,2 100% 4,42%.10000 5

⋅ ≅⋅

Questão 10 Letra A.A soma pedida é igual a:

2 4 13 1 3 9.23 9 13

⋅ + + + = ⋅ = −