LISTA DE EXERCICIOS N◦6 – MECANICA ESTATISTICA

Prof: Luca Moriconi

Instituto de Fısica – UFRJ

1) Mostre, usando diretamente a equacao de Van der Waals, caso a regiao nao-fısica (onde aparecem estados

termodinamicos instaveis) nao fosse removida pela construcao de Maxwell, que para dois pontos quaisquer sobre

uma mesma curva isoterma,

(i) a diferenca de energias Livres de Helmholtz seria escrita como:

F (T, V2) − F (T, V1) = RT ln

[

V2 − b

V1 − b

]

+ a

[

1

V2

−1

V1

]

.

(ii) Fixando T e V1, produza esbocos de F (T, V2) para T < Tc, bem como para T > Tc. Discuta a correcao ao

esboco para T < Tc devida a construcao de Maxwell.

2) Refaca a discussao que conduz a construcao de Maxwell a partir de consideracoes inteiramente baseadas na

energia livre de Gibbs G = G(P, V ).

3) Mostre que na teoria de Van der Waals para transicoes de fases, a diferenca de densidades entre as fases

comporta-se, para temperaturas proximas (e inferiores) a temperatura crıtica, como

∆ρ ∼ (Tc − T )1/2 .

4) Considere um modelo para o fenomeno do ferromagnetismo, definido pelo seguinte hamiltoniano, baseado

em spins contınuos,

H = −J∑

〈ij〉

~Si · ~Sj ,

onde |~Si| = 1. Determine, atraves da teoria do campo medio (supondo que ha um estado ordenado homogeneo,

com 〈Sy〉 = 〈Sx〉 = 0 e m ≡ 〈Sz〉) o valor esperado para a magnetizacao como funcao da temperatura, m = m(T ).

5) A teoria de campo medio pode ser reformulada como uma teoria variacional. Considere o modelo de Ising

d-dimensional,

H = −J∑

〈ij〉

σiσj .

Seja P = P ({σ}) a probabilidade de se encontrar uma configuracao qualquer {σ} de spins. Suponha que esta

probabilidade possa ser escrita em uma forma fatorada:

P = P ({σ}) =∏

i

Pi ,

onde Pi = mi, se σi = 1 e Pi = 1 − mi, se σi = −1, com 0 ≤ mi ≤ 1.

(i) Mostre que 〈σi〉 = 2mi − 1.

(ii) Determine a energia livre de Helmholtz como funcao dos mi’s: F = E − TS = 〈H〉 − kT∑

{σ} P ln[P ].

(iii) Obtenha as equacoes satisfeitas pelos mi’s para que a energia livre F seja mınima. Mostre que estas

equacoes, escritas em termos dos σi’s sao as mesmas que aquelas da teoria usual do campo medio.

6) Considere, no contexto da teoria do campo medio de Landau, a seguinte energia livre, definida como um

funcional de um campo escalar φ:

F =

∫

V

d3~x[(~∇φ)2 + aφ2 + bφ4 + hφ ],

onde b > 0 e h e uma constante de acoplamento suficientemente pequena. A integral acima e calculada em uma

regiao de volume V .

(i) Obtenha as configuracoes homogeneas de φ, ate a primeira ordem em h, para as quais F possui um mınimo

local, nos casos a > 0 e a < 0. Determine a configuracao para a qual F e um mınimo global, em cada um destes

casos.

Queremos testar a estabilidade do sistema frente ao surgimento de uma “bolha” de uma fase em outra. Suponha

que a < 0 e h > 0. Sejam φ− e φ+ as configuracoes obtidas no item (i), supondo que φ+ seja aquela solucao que

produz o mınimo global de F (= F0). Imagine que o sistema esteja, momentaneamente, no “falso vacuo” dado

por φ−. Defina, entao, uma “bolha” de raio R e espessura d ≪ R, de uma fase na outra, da seguinte maneira:

φ(r) = φ+, se r ≤ R e φ(r) = (φ+ − φ−) exp[−(r − R)2/d2] + φ−, se r > R.

(ii) Esboce φ(r).

(iii) Obtenha ∆F = F − F0 como uma funcao de R e d. Esboce ∆F como funcao de R.

(iv) Obtenha o raio crıtico Rc (como funcao de a, b, h e d) a partir do qual o crescimento da bolha e favorecido

(iniciando o processo de nucleacao).

7) Considere a seguinte densidade de energia livre de Landau, para um parametro de ordem homogeneo φ:

f = aφ2 + bφ4 + cφ6 + hφ ,

onde c > 0 e uma constante fixa e nao ha restricoes sobre os sinais de a, b e h. Este tipo de modelo e relevante,

por exemplo, em misturas de He3-He4.

(i) Considerando h = 0, mostre que a linha a = 0 com b ≥ 0 no espaco de parametros (a, b) e uma linha de

transicoes de fase de segunda ordem.

(ii) Considerando h = 0, esboce a linha, no espaco de parametros (a, b), onde existem tres fases degeneradas

(isto e, os tres mınimos de f tem os mesmos valores). Mostre que essa e uma linha de transicoes de fase de

primeira ordem, para b < 0. Mostre que essa linha termina no ponto (a, b) = (0, 0), encontrando a linha das

transicoes de fase de segunda ordem, estudada no item (i).

(iii) O ponto (a, b) = (0, 0) e chamado de “ponto tricrıtico” (por que?). Supondo que a e b dependam linearmente

da temperatura reduzida t (= T/Tc − 1) nas vizinhancas do ponto tricrıtico, obtenha os expoentes tricrıticos β,

γ e α, associados a magnetizacao, a suscetibilidade e ao calor especıfico, respectivamente (sugestao: “atravesse”

o ponto tricrıtico seguindo o caminho (a, b) = (a0t, 0) com h 6= 0, onde a0 e uma constante qualquer positiva).

8) O modelo de Blume-Capel, empregado no estudo das propriedades crıticas de misturas de He3-He4, e uma

generalizacao do modelo de Ising, onde as variaveis de spin podem ter os valores σ = 0,±1. O hamiltoniano e

dado por

H = −J∑

〈ij〉

σiσj + ∆∑

i

σ2i − h

∑

i

σi .

Desenvolva a teoria de campo medio para a magnetizacao. Mostre que ha um ponto tricrıtico no espaco de

parametros (∆/J, T ), nas vizinhancas do qual a expansao da energia livre em termos de φ ≡ 〈σ〉 possui a forma

discutida no problema anterior (e determine a, b e c).

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