Lista exercícios Probabilidade

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Aula de Exercícios Estrutura de Dados e Algoritmos 20/03/2014 José Claudivan Ramon Bezerra

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Lista de exercícios sobre probabilidade e estatística

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  • Aula de ExercciosEstrutura de Dados e Algoritmos

    20/03/2014

    Jos Claudivan

    Ramon Bezerra

  • rvore Preto-Vermelha

  • rvore Preto-Vermelha Caractersticas

    Possui uma caracterstica particular: cor do n;

    balanceada a partir de invariantes, restries pelas cores dos ns;

    Uma rvore preto-vermelho com n ns internos tem no mximo a altura de h 2.lg(n+1).

  • rvore Preto-Vermelha Caractersticas

    Cada n possui uma cor: ou preta ou vermelha

    Toda folha (NIL) preta

    A raiz preta

    Todos os filhos de um n vermelho so pretos

    Black-Height: Todo caminho simples de um n a uma folha descendente contm o mesmo nmero de ns ( NIL) pretos.

  • rvore Preto-Vermelha Exemplo

  • rvore Preto-Vermelha Casos de ajuste

    Para um novo n (Vermelho), temos:

    Caso 1: Se o novo n uma raiz, deve ser preto.

    Caso 2: Se o novo n no uma raiz, seu pai deve ser preto.

    Caso 3: Se pai do novo n vermelho, o pai e o tio devem ser pretos e oav do n deve ser vermelho. Depois, verifica-se o Caso 1 para o av.

    Caso 4: Se o novo n filho direita e o pai filho esquerda, aplica-serotao no pai do novo n esquerda, e vice-versa.

    Caso 5: Se o novo n e o pai so filhos direita, o pai deve ser preto e oav vermelho. Depois, aplica-se a rotao no av do novo n esquerda.

  • rvore Preto-Vermelha Exerccio

    1. Insira os seguintes valores em uma arvore PV inicialmente vazia e mostre a rvore (incluindo a cor dos ns) aps cada operao: 41, 38, 31, 12, 19, 8.

    Demonstrao: trees.jar

  • rvore Preto-Vermelha Exerccio

    2. Insira um n com chave 8 na rvore abaixo. Se o n for colorido de vermelho, a rvore obtida PV? E se for colorido de preto?

    Demonstrao: trees.jar

  • rvore Preto-Vermelha Exerccio

    3. Se a raiz de uma rvore PV tem cor vermelha e a alteramos para preto, a rvore continua sendo PV? E se fossa a situao inversa?

  • rvore Preto-Vermelha Exerccio

    3. Se a raiz de uma rvore PV tem cor vermelha e a alteramos para preto, a rvore continua sendo PV? E se fossa a situao inversa?

    Sim, pois obedece a propriedade de que a raiz tem que ser preta, se fosse o contrrio e a raiz passasse a ser vermelha infringiria nessa mesma propriedade, logo no seria PV.

  • rvore Preto-Vermelha Exerccio

    4. Qual a altura mxima de uma rvore PV com altura preta igual a 4?

    A altura mxima nesse caso ser 7 para o BH = 4.

  • rvore B

  • rvore B Caractersticas

    Assegura todas as folhas no mesmo nvel;

    Possui um nmero mximo de filhos para cada n (pgina);

    Em cada n guardado uma lista de elementos (LinkedList);

  • rvore B Propriedades

    Para uma rvore B de ordem m, temos:

    Cada n tem no mximo m filhos;

    O nmero mnimo de filhos de um n interno m/2;

    O nmero mximo de elementos (chaves) em um n (pgina) m-1;

    A raiz pode ser folha ou ter no mnimo dois filhos;

    Todas as folhas esto no mesmo nvel;

    Um n interno com k filhos tem, no mximo, k-1 elementos;

    Os elementos (chaves) de cada n servem como separadores dos filhos, de acordo com sua ordem.

    O n raiz possui entre 1 e 2m elementos.

  • rvore B Exemplo

    Qual a ordem da rvore B a seguir?

  • rvore B Exemplo

    Qual a ordem da rvore B a seguir? 4

  • rvore B Exemplo

    Qual a ordem da rvore B a seguir?

  • rvore B Exemplo

    Qual a ordem da rvore B a seguir? 4

  • rvore B Exerccios 5. Qual o nmero mximo de elementos que podem ser armazenados em umarvore B de ordem 20 com altura 2? Justifique sua resposta.

  • rvore B Exerccios 5. Qual o nmero mximo de elementos que podem ser armazenados em umarvore B de ordem 20 com altura 2? Justifique sua resposta.

    Ordem da rvore = 20

  • rvore B Exerccios 5. Qual o nmero mximo de elementos que podem ser armazenados em umarvore B de ordem 20 com altura 2? Justifique sua resposta.

    Ordem da rvore = 20; Altura da rvore = 2;

  • rvore B Exerccios 5. Qual o nmero mximo de elementos que podem ser armazenados em umarvore B de ordem 20 com altura 2? Justifique sua resposta.

    Ordem da rvore = 20; Altura da rvore = 2;

    N mximo de chaves por n = 19.

  • rvore B Exerccios 5. Qual o nmero mximo de elementos que podem ser armazenados em umarvore B de ordem 20 com altura 2? Justifique sua resposta.

    Ordem da rvore = 20; Altura da rvore = 2;

    N mximo de chaves por n = 19.

    Considerando que a rvore B sempre completa, temos:

  • rvore B Exerccios 5. Qual o nmero mximo de elementos que podem ser armazenados em umarvore B de ordem 20 com altura 2? Justifique sua resposta.

    Ordem da rvore = 20; Altura da rvore = 2;

    N mximo de chaves por n = 19.

    Considerando que a rvore B sempre completa, temos:

    1 n

  • rvore B Exerccios 5. Qual o nmero mximo de elementos que podem ser armazenados em umarvore B de ordem 20 com altura 2? Justifique sua resposta.

    Ordem da rvore = 20; Altura da rvore = 2;

    N mximo de chaves por n = 19.

    Considerando que a rvore B sempre completa, temos:

    1 n

    ... 20 ns

  • rvore B Exerccios 5. Qual o nmero mximo de elementos que podem ser armazenados em umarvore B de ordem 20 com altura 2? Justifique sua resposta.

    Ordem da rvore = 20; Altura da rvore = 2;

    N mximo de chaves por n = 19.

    Considerando que a rvore B sempre completa, temos:

    1 n

    ... 20 ns

    ... 400 ns

  • rvore B Exerccios 5. Qual o nmero mximo de elementos que podem ser armazenados em umarvore B de ordem 20 com altura 2? Justifique sua resposta.

    Ordem da rvore = 20; Altura da rvore = 2;

    N mximo de chaves por n = 19.

    Considerando que a rvore B sempre completa, temos:

    1 n

    ... 20 ns

    ... 400 ns

    Somando os ns, temos:

    1+20+400 = 421 ns

    Se cada n tem 19 chaves, ento:

    400x19 = 7999 elementos

  • rvore B Exerccios 6. Considerando a representao abaixo de rvore B, implemente um mtodo(usando recurso) que retorna o maior elemento armazenado em uma rvore B.Faa a anlise do algoritmo.

  • rvore B Exerccios 6. Considerando a representao abaixo de rvore B, implemente um mtodo(usando recurso) que retorna o maior elemento armazenado em uma rvore B.Faa a anlise do algoritmo.

    Busca, caso seja o ltimo n, o ltimo elemento da lista interna.

    Seno, busca o ltimo n da rvore, sempre pela direita.

  • rvore B Exerccios 6. Considerando a representao abaixo de rvore B, implemente um mtodo(usando recurso) que retorna o maior elemento armazenado em uma rvore B.Faa a anlise do algoritmo.

    Mtodo externo, chamando a busca pelo maior elemento a partir da raiz.

  • rvore B Exerccios 7.Considerando a ordem alfabtica, mostre o resultado da insero dos elementosF,S,Q,K,C,L,H,T,V,W,M,R,N,P,A,B,X,Y,D,Z,E nessa ordem. Considere a rvore B deordem 3.

    Desenhe a rvore aps a insero de cada elemento.

  • rvore B Exerccios 7.Considerando a ordem alfabtica, mostre o resultado da insero dos elementosF,S,Q,K,C,L,H,T,V,W,M,R,N,P,A,B,X,Y,D,Z,E nessa ordem. Considere a rvore B deordem 3.

    Desenhe a rvore aps a insero de cada elemento.

    insert(S)

    F S

    insert(Q)

    F Q S

    OVERFLOW!

    split()

    F S

    Q

    insert(F)

    F

  • rvore B Exerccios 7.Considerando a ordem alfabtica, mostre o resultado da insero dos elementosF,S,Q,K,C,L,H,T,V,W,M,R,N,P,A,B,X,Y,D,Z,E nessa ordem. Considere a rvore B deordem 3.

    Desenhe a rvore aps a insero de cada elemento.

    insert(K)

    S

    Q

    F K

    insert(C)

    S

    Q

    C F K

    OVERFLOW!

    split()

    S

    F Q

    KC

    insert(L)

    S

    F Q

    C K L

  • rvore B Exerccios 7.Considerando a ordem alfabtica, mostre o resultado da insero dos elementosF,S,Q,K,C,L,H,T,V,W,M,R,N,P,A,B,X,Y,D,Z,E nessa ordem. Considere a rvore B deordem 3.

    Desenhe a rvore aps a insero de cada elemento.

    insert(H)

    S

    F Q

    C H K L

    OVERFLOW!

    split()

    S

    F K Q

    C

    OVERFLOW!

    H L

    split()

    F Q

    K

    C SH L

    ...

  • Cartesian Tree

  • Cartesian Tree Exerccios8. Qual o formato da cartesian tree aps a insero dos seguintes nmeros: 12, 8, 4,

    10, 25, 30, 9, 2, 15, 17. Demonstre passo a passo as inseres de cada elemento.

    12 8

    insert(8)lastElement = 12

    12 8

    insert(4)lastElement = 8

    12

    4

    8

    insert(10)lastElement = 4

    12

    4

    10

    insert(12)lastElement = null

  • Cartesian Tree Exerccios8. Qual o formato da cartesian tree aps a insero dos seguintes nmeros: 12, 8, 4,

    10, 25, 30, 9, 2, 15, 17. Demonstre passo a passo as inseres de cada elemento.

    insert(30)lastElement = 25

    10

    25

    8

    insert(9)lastElement = 30

    12

    4

    10

    8

    insert(25)lastElement = 10

    12

    4

    10

    25

    8

    12

    4

    30

    9

    25

    30

  • Cartesian Tree Exerccios8. Qual o formato da cartesian tree aps a insero dos seguintes nmeros: 12, 8, 4,

    10, 25, 30, 9, 2, 15, 17. Demonstre passo a passo as inseres de cada elemento.

    8

    insert(2)lastElement = 9

    12

    4

    10

    2

    8

    insert(15)lastElement = 2

    12

    4

    10

    2

    9

    25

    30

    15

    8

    insert(17)lastElement = 15

    12

    4

    10

    2

    9

    25

    30

    15

    179

    25

    30

  • Cartesian Tree Exerccios8. Qual o formato da cartesian tree aps a insero dos seguintes nmeros: 12, 8, 4,

    10, 25, 30, 9, 2, 15, 17. Demonstre passo a passo as inseres de cada elemento.

    PERCURSO EM ORDEM =

    SEQUNCIA NUMRICA

  • Cartesian Tree Exerccios9. Ainda do exerccio anterior, qual o RMQ(Range Minimum Query) da subsequncia

    {12, 8, 4, 10}? e qual o LCA(Lowest Commom Ancestor) entre 30 e 15?

    RMQ(12,10) = ?

  • Cartesian Tree Exerccios9. Ainda do exerccio anterior, qual o RMQ(Range Minimum Query) da subsequncia

    {12, 8, 4, 10}? e qual o LCA(Lowest Commom Ancestor) entre 30 e 15?

    RMQ(12,10) = 4

  • Cartesian Tree Exerccios9. Ainda do exerccio anterior, qual o RMQ(Range Minimum Query) da subsequncia

    {12, 8, 4, 10}? e qual o LCA(Lowest Commom Ancestor) entre 30 e 15?

    LCA(30,15) = ?

  • Cartesian Tree Exerccios9. Ainda do exerccio anterior, qual o RMQ(Range Minimum Query) da subsequncia

    {12, 8, 4, 10}? e qual o LCA(Lowest Commom Ancestor) entre 30 e 15?

    LCA(30,15) = 2

  • Referncias rvore Preto-Vermelha

    https://3917994b-a-a6606a5f-s-sites.googlegroups.com/a/computacao.ufcg.edu.br/edaufcg/cronograma/Arvore%20PV.pdf?attachauth=ANoY7cpSNc1tmbr92wHf1u7TKOBmqJWUkIWFC9v5_nzF97tkisQAC_qbN85TYbRDdKanTx2bOD22JSsQ9R7r7-9g4BBZ-ySsAePQRy6IcTLE7HPIkIDjIrOdZ-ia-6qy7f775cIoHTFZZ7fXNTcOXntzycWVaSv1C1Y0jUd8I8aW3HTV8i6fFrYPTAbBcwGHCCYyAjzasTbjbCFcQaQeUsxYfE-L4gNH_6etLYIB1ahp28hDO6Itbdo%3D&attredirects=1

    http://www.ufjf.br/jairo_souza/files/2012/11/5-Indexa%C3%A7%C3%A3o-Arvore-Vermelho-Preta.pdf

    https://3917994b-a-a6606a5f-s-sites.googlegroups.com/a/computacao.ufcg.edu.br/edaufcg/cronograma/Arvore PV.pdf?attachauth=ANoY7cpSNc1tmbr92wHf1u7TKOBmqJWUkIWFC9v5_nzF97tkisQAC_qbN85TYbRDdKanTx2bOD22JSsQ9R7r7-9g4BBZ-ySsAePQRy6IcTLE7HPIkIDjIrOdZ-ia-6qy7f775cIoHTFZZ7fXNTcOXntzycWVaSv1C1Y0jUd8I8aW3HTV8i6fFrYPTAbBcwGHCCYyAjzasTbjbCFcQaQeUsxYfE-L4gNH_6etLYIB1ahp28hDO6Itbdo=&attredirects=1http://www.ufjf.br/jairo_souza/files/2012/11/5-Indexa%C3%A7%C3%A3o-Arvore-Vermelho-Preta.pdf
  • Referncias rvore B

    https://3917994b-a-a6606a5f-s-sites.googlegroups.com/a/computacao.ufcg.edu.br/edaufcg/cronograma/Arvore%20B.pdf?attachauth=ANoY7cqZmgKksqFtUeEJBi_YyBHgUM5cXbKQOV3U9opI1uxJcQaUCEAFZ1yEx9R-hfLMl1wHneZq3S9VCZtXeTe3M95OybTTnBtyGMCL-nesuO46UWBod0VZafbfzy_sn6wtjsyruSMJhoj_QTKL2v2M5CaY8R-9qi9TDL-ZdzLaQZqYvqyuruLJNsRcKPAGAPyUHORzF_NsZN48QRnbd2LD_o_97As1pudLxsOtovdarUcHbSjzGwk%3D&attredirects=0

    http://www.ufjf.br/jairo_souza/files/2012/11/5-Indexa%C3%A7%C3%A3o-Arvore_B.pdf

    https://3917994b-a-a6606a5f-s-sites.googlegroups.com/a/computacao.ufcg.edu.br/edaufcg/cronograma/Arvore B.pdf?attachauth=ANoY7cqZmgKksqFtUeEJBi_YyBHgUM5cXbKQOV3U9opI1uxJcQaUCEAFZ1yEx9R-hfLMl1wHneZq3S9VCZtXeTe3M95OybTTnBtyGMCL-nesuO46UWBod0VZafbfzy_sn6wtjsyruSMJhoj_QTKL2v2M5CaY8R-9qi9TDL-ZdzLaQZqYvqyuruLJNsRcKPAGAPyUHORzF_NsZN48QRnbd2LD_o_97As1pudLxsOtovdarUcHbSjzGwk=&attredirects=0http://www.ufjf.br/jairo_souza/files/2012/11/5-Indexa%C3%A7%C3%A3o-Arvore_B.pdf
  • Referncias Cartesian Tree

    Material Anexo (Estgio Docncia)