LISTA DE EXERCÍOS – Geometria Analítica – 3º Ano

01. O período de incubação do cólera pode ser de

algumas horas a até 5 dias, porém sua disseminação

ocorre com mais facilidade onde as condições de

higiene são precárias. Analisando uma colônia de

vírus do cólera, um pesquisador registrou a

disseminação do número desses vírus durante

algumas horas e verificou um crescimento linear

conforme o gráfico abaixo, o qual apresenta duas

dessas observações.

02. No Brasil e nos Estados Unidos são adotadas escalas diferentes para a medição da temperatura ambiente. No

Brasil, a temperatura é medida em graus Celsius (°C) e nos Estados Unidos, em graus Fahrenheit (°F). Considerando

que a dependência funcional entre graus Celsius e graus Fahrenheit é linear, que 0 °C corresponde a 32 °F e 100 °C

corresponde a 212 °F, que temperatura em graus Celsius corresponde a -40 °F?

03. Efeito estufa é o nome dado à retenção de calor na Terra causada pela

concentração de diversos tipos de gases na atmosfera. Estudos têm mostrado que,

se as emissões dos gases que provocam o efeito estufa não diminuírem, a

quantidade desses gases presentes na atmosfera pode triplicar em 100 anos. Entre

os cientistas há um consenso de que o resultado mais direto das mudanças

climáticas seja o aumento da temperatura do planeta em até 5,8 °C ao final desses

100 anos (fonte: Cetesb). Admitindo as expectativas mais pessimistas, responda: Se, nos próximos 100 anos, a quantidade desses gases na atmosfera aumentar

linearmente em função do tempo, qual será o percentual de aumento em relação à

quantidade atual daqui a 54 anos? a) Se, nos próximos 100 anos, a temperatura do planeta aumentar linearmente em

função do tempo, daqui a quanto tempo haverá um acréscimo de 1,7 °C nessa tem-

peratura?

b )Admitindo a hipótese do item b, calcule a taxa média anual de variação da

temperatura do planeta na primeira década do período considerado.

04. Certo dia de janeiro, a temperatura em São

Leopoldo, situada no interior do Rio Grande do Sul,

subiu uniformemente desde 23 °C, às 10 h, até 38 °C,

às 15 h. Fazendo-se um gráfico cartesiano que

represente tal situação térmica, no qual se marcam

os tempos (em horas) nas abscissas e as

temperaturas (em graus centígrados) nas ordenadas,

obtém-se o segmento de reta como mostra a

figura. Ache a equação da reta que contém o

segmento .

05. Quando o preço por unidade de um produto (x) vale R$ 16,00, então 42 unidades são vendidas por mês; quando

o preço por unidade vale R$ 24,00, são vendidas 38 unidades por mês.

a) Esboce um gráfico que relacione a quantidade vendida e o preço.

b) obtenha uma expressão que relacione quantidade e preço.

c) Se o preço por unidade for R$ 26,00, qual será a quantidade vendida?

06. Numa corrida de táxi é cobrada uma taxa fixa de R$ 2,00, mais R$ 1,50 por quilômetro rodado.

a) Se um passageiro percorrer 15 km no táxi, qual valor a pagar?

b) Esboce o gráfico da equação obtida no item

c) Qual a equação que dá o valor a pagar função da quilometragem percorrida?

d) Se um passageiro pagou R$ 12,50, qual a distância percorrida pelo táxi?

07. Um sistema cartesiano é associado à planta de uma cidade de modo que o eixo Ox é orientado de oeste para leste, o eixo Oy é orientado de sul para norte e a unidade adotada em cada eixo é o quilômetro. Um automóvel que parte do ponto A do terceiro quadrante distante 3 km do eixo Ox e 5 km do eixo Oy percorre o o seguinte trajeto: 15 km para o leste; 3 km para o norte, 3 km para o oeste e, finalmente, 2 km para o norte, estacionando em um ponto B. O ponto A, em relação a esse sistema de coordenadas, e a distância, em km, entre os pontos A e B são:

a) A(-5, -3) e AB = 15 d) A(-3, -5) e AB = 13

b) A(-5, -3) e AB = 13 e) A(-3, -5) e AB = 10

c) A(-5, -3) e AB = 10

08. Na troposfera, que é a camada da atmosfera que vai

desde o nível do mar até a altitude de 40.000 pés, a

temperatura varia linearmente em função da altitude.

Quando a temperatura, ao nível do mar, é 36°C, pode-se

representar essa variação por meio do gráfico ao lado.

Analisando o gráfico, concluímos que a 20.000 pés de

altitude a temperatura é:

09. Os pontos A, B, C e D do plano ao lado representam 4

cidades. Uma emissora de televisão quer construir uma

estação transmissora numa localização tal que:

- a distância entre a estação e a cidade localizada em A seja

igual a distância entre a estação e a cidade localizada em B.

- a distância entre a estação e a cidade localizada em C seja

igual a distância entre a estação e a cidade localizada em

D.

Considerando as coordenadas do plano ao lado, a

localização da estação deverá ser o ponto:

a)(10,10) b)(10,20) c)(25,10) d)(20,20)

e)(25,25)

10. A tabela a seguir, obtida a partir dos dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número

de espécies da fauna brasileira em extinção.

Nº de espécies ameaçadas de extinção 239 276 313 350 387 424

Ano 1983 1987 1991 1995 1999 2003

Se mantida, nos anos subsequentes, tendência linear do crescimento mostrada na tabela, o número de espécies

ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:

a) 461 b) 498 c) 535 d) 572

11. O estudo analítico das representações gráficas pode contribuir na

obtenção de respostas de algumas questões relacionadas a varias

grandezas existentes no nosso dia-a-dia. Na física, existem muitos

exemplos de como a geometria analítica pode ser aplicada. Um deles é o

cálculo do espaço percorrido por um mel quando são conhecidas a

velocidade e o tempo. Desprezando a resistência do ar, o movimento

realizado por um paraquedista, do instante em que salta até o instante de

abrir o paraquedas, é um exemplo de Movimento Uniformemente Variado

(MUV). Nesse tipo de movimento, em qualquer instante ou intervalo de

tempo a aceleração é constante e diferente de zero.

O gráfico abaixo representa a variação da velocidade escalar de um móvel em relação ao tempo em um MUV

a) qual a equação que expressa o espaço percorrido

pelo móvel

quando t1≤ t ≤ t2?

b) qual a equação que representa a velocidade média

do móvel?

12. Um casal de namorados, Júlia e Jonas, costuma se encontrar depois do trabalho

em uma sorveteria localizada na esquina de uma praça retangular. Representando a

praça em um sistema de coordenadas retangulares, observamos que Júlia trabalha

em uma loja, representada pela origem do sistema, e Jonas trabalha em um cyber,

representado pelo vértice do retângulo oposto à origem; a sorveteria encontra-se no

ponto P(5,3). Ambos caminham, em linha reta, de seus locais de trabalho à sorveteria

pontualmente às 18h. Sabendo que a unidade de medida utilizada é o metro e a

escala é de 1:20, identifique como verdadeiras (V) ou falsas(F) as afirmações

seguintes. Use a aproximação √34= 5,8.

a) A distância entre a loja onde Júlia trabalha e o ponto de encontro é maior

que 100 metros.

b) O cyber onde Jonas trabalha está representado por um ponto de abscissa ��

�

c) Se Júlia caminha à velocidade constante de 2 km/h, então ela chega à

sorveteria antes das18h03min,

d) Para dar uma volta completa ao redor da praça, um atleta, correndo à

velocidade constante de5 km/h, leva menos de 4 minutos,

13. Em Economia destacam-se três conceitos básicos: função custo

(C), função receita (R) e função lucro (L). A função C descreve o custo

de produção de um bem, a função R descreve o total bruto recebido

pela venda de determinada quantidade do produto fabricado, e a

função lucro (L) expressa a diferençaentre as funções R e C, nessa

ordem. O ponto de intersecção dos gráficos das funções R e C é

chamado de break-even point (ponto de equilíbrio), que é o ponto

onde as funções R e C se igualam; isto é, nesse ponto, a receita

gerada pela venda da quantidade produzida se iguala ao custo de

produção e, portanto, não há lucro nem prejuízo. Suponha que, para

determinado período, um fabricante de tesouras tem um custo fixo de R$ 5.000,00 e um custo de R$ 4,00 por

tesoura fabricada. Se cada tesoura é vendida por R$ 12,00, e toda produção de x tesouras é vendida nesse período,

as funções C, R e L e o break-even point são,respectivamente:

a) C(x) = 5.000 + 4x, R(x) = 8x, L(x) = 4x - 5.000 e (1.250, 10.000)

b) C(x) = 5.000 + 12x, R(x) = 14x, L(x) = 2x - 5.000 e (2.500, 35.000)

c) C(x) = 5.000 + 4x, R(x) = 12x, L(x) = 8x - 5.000 e (625, 7.500)

d) C(x) = 1.000 + 8x, R(x) = 12x, L(x) = 4x - 1.000 e (250, 3.000)

e) C(x) = 8.000 + 4x, R(x) = 12x, L(x) = 8x - 8.000 e (1.000, 12.000)

V1

V2

t1 t2

14. Inserindo-se, convenientemente, um sistema

de coordenadas retangulares, com origem na

estação Praça da Independência, é possível

localizar algumas estações por pontos do plano

cartesiano e também associar equações às

trajetórias de cada Iinha. Admita que a unidade

de medida utilizada seja o metro e que a escala

utilizada é 1:125. Sabemos que:

• as coordenadas da estação Parque da

Cidadesão (2, 11).

• as linhas vermelha e azul interceptam-se, per-

pendicularmente, no ponto de ordenada 5, que

representa a estação Mercado Central.

• a reta de equação 3x-y + 5 =Opode

representar, nesse trecho, a trajetória da linha

azul.

a) Determine: (Use a aproximação: √10 = 3,16.)

I. as equações das retas que representam as trajetórias das linhas amarela, vermelha e verde,respectivamente.

II. as coordenadas da estação Praça Brasil e Prefeitura, respectivamente.

III. a distância real entre as estações Praça Brasil e Mercado Central.

b) Vanessa tomou um trem na estação Praça Brasil e precisa descer na estação Parque da Cidade. Sabendo que a

velocidade dos trens é de 60 km/h, determine o tempo necessário para ela descer em seu destino final, levando em

conta que a trocaentre linhas costuma levar 3 minutos, até o novo embarque.

15. A figura 2 mostra que os pontos do gráfico estão próximos de uma mesma reta e, portanto as variáveis x e y

podem ser relacionadas, aproximadamente, pela equação dessa reta. Por meios de métodos estatísticos, demonstra-

se que a reta que melhor se ajusta a esses dados é dada por qual equação e qual o consumo para uma população de

200 mil habitantes?

A matemática ajudando a tomar decisões Como obter o maior rendimento de uma máquina com o menor custo possível? Com certa quantidade de

matéria-prima, que quantidade de cada produto deve ser fabricada para se obter o máximo lucro? Qual deve ser o

formato de uma lata de refrigerante para que seja gasto o mínimo possível de material na embalagem?

Perguntas como essas são respondidas pela programação matemática, um ramo da Matemática aplicado na

tomada de decisões em que se procura o mínimo custo com o máximo aproveitamento. Quando as equações ou as

inequações envolvidas no modelo são do 19 grau, aplica-se a programação linear - uma subdivisão da programação

matemática.

Para ilustrar, vamos resolver o seguinte problema:

16. (Problema de Grade de Corte) Uma confecção dispõe de 8O m2 de brim e 120 m2 de popeline. Cada unidade de

um modelo A de vestido requer 1 m2 de brim e 3 m2 de popeline, e cada unidade de um outro modelo B requer 2 m2

de brim e 2 m2 de popeline. Se cada unidade de qualquer um dos modelos é vendida por R$ 8O,OO, quantas unidades

de cada modelo devem ser confeccionadas para se obter a receita máxima, com a venda de toda a produção?

17. (Problema de Embalagem) Um fabricante de óleo comestível produz dois tipos, A e B, de

misturas, que são vendidos em recipientes de 1 L ao preço de R$ 3,00 cada . Cada litro do tipo

A contém 25% de óleo de algodão e o restante de óleo de amendoim, e cada litro do tipo B

contém 50% de óleo de algodão e o restante de óleo de amendoim. Se o fabricante possui em

seu estoque 60 kL de óleo de algodão e 90 kL de óleo de amendoim, quantos litros de cada tipo

ele deve produzir para obter a máxima receita possível com a venda de toda a produção?

18. (Problema de Economia) Um comerciante vende dois tipos de artigos, sapatos e bolsas de couro. Na venda de

sapatos tem um lucro de 20 por unidades e na venda de bolsas, um lucro de 30. em seu depósito só cabem 100

artigos e sabe-se que por compromisso já assumidos ele venderá pelos menos 15 sapatos e 25 bolsas. O distribuidor

pode entregar ao comerciante, no máximo, 60 sapatos e 50 bolsas. Quantos artigos de cada tipo deverá o

comerciante encomendar ao distribuidor para que, supondo que os venda todos, obtenha o lucro máximo?

19. (Problema de Logística de Transporte) Uma firma comercial tem 40 unidades de mercadoria no depósito D1 e 50

unidades no depósito D2. Deve enviar 30 unidades ao cliente A e 40 unidades ao cliente B. Os gastos de transporte

por unidade de mercadoria estão indicados no esquema abaixo. De que maneira deve enviar essas mercadorias para

que o gasto com transporte seja mínimo? 10

D1 40 30 A 14

12

D2 50 40 B 15

12. (Problema de Dieta) Dois produtos P e Q contém A, B e C nas quantidades

indicadas no quadro abaixo. A última coluna indica a quantidade mínima necessária de

cada vitamina para alimentação sadia, e a última linha indica o preço de cada produto

por unidade. Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que

proporcione uma alimentação sadia com o mínimo custo?

P Q

A 3 1 12

B 3 4 20

C 2 7 28

3 2

21. Uma empresa fabrica dois tipos de boxes de vidro (8 mm) para

banheiros, o transparente, cujo preço unitário de custo, no tamanho padrão,

é de R$ 200,00, e o colorido (fumê ou verde), cujo preço unitário de custo,

no tamanho padrão, é

R$ 300,00. As restrições financeiras da empresa permitem que ela gaste,

semanalmente, no máximo R$ 9000,00 para fabricar os boxes. Sua

capacidade produtiva é de até 32 boxes por semana. Os boxes são vendidos

aos preços unitários de R$ 280,00 o transparente e R$ 300,00 o colorido.

Quantos boxes de a cada tipo devem ser vendidos, durante uma semana, a

fim de maximizar a receita da empresa?