Listas de exerccios (Use 10 dgitos significativos, mostre os clculos, escreva de forma clara e concisa)

Exerccios sobre Erros e sistemas de numerao:

1). Dado o nmero decimal x = -(10,05)10: (2,0) a). Calcule os 32 bits da varivel IEEE que armazena x em float/single; (0,5) b). Calcule o erro de arredondamento percentual exato gerado no armazenamento do Decimal x em Binrio.

1). Dado o nmero decimal x=-(15,05)10: (2,0) a). Calcule os 32 bits da varivel IEEE que armazena x em float/single; (0,5) b). Calcule o erro de arredondamento percentual exato gerado no armazenamento do Decimal x em Binrio.

(1,0) 2). Explique como voc calcularia o erro total em computador, contabilizando os arredondamentos e truncamentos, existentes em uma raiz x de Pn(x)=0 aproximada com a varivel de 32 bits pelo mtodo de Newton-Raphson otimizado para polinmios, com N iteraes.

(2,0) 1). Monte um algoritmo que calcule em computador o erro total, contabilizando os arredondamentos e truncamentos, da funo exp(x) calculada na varivel float, atravs de aproximao por srie de Taylor com n=4 em x=-0,111, conforme expresso abaixo:

!...

!4!3!2!11)exp(

432

n

xxxxxex

nx ++++++=

1). (1,5)1a). Determine os parmetros s, e, f do armazenamento de (-1,11.10-1)10 em Binrio na varivel float padro IEEE 754 de 32 bits; (1,0)1b). Explique como voc calcularia o erro de arredondamento da funo exp(x) calculada na varivel float, aproximada por srie de Taylor com 5 termos (at n=4) para x=-0,111, conforme expresso abaixo:

!...

!3!2!11

32

n

xxxxe

nx +++++

Resposta: Erro de arredondamento = |VA-VE| sempre, mas o erro de arredondamento de um calculo esta includo em VA (Valor Aproximado com n=4 e variavel float) e o VE (Valor Exato) deve ser o obtido o mais exato possvel, sem arredondamento algum se fosse possvel, ento usamos VE como um VA refeito, mas com preciso dupla (com o mesmo n=4 e variavel double), uma vez que preciso infinita no existe.

(1,0)1c). Explique como voc calcularia o erro de truncamento da funo exp(x), aproximada por srie de Taylor com 5 termos (at n=4) para x=-0,111, conforme expresso abaixo:

!...

!3!2!11

32

n

xxxxe

nx +++++

(Sugesto: Calcule tudo em dupla preciso, para isolar a influncia de arredondamentos) Resposta: Erro de truncamento = |VA-VE| sempre, mas o erro de truncamento de um calculo esta includo em VA (Valor Aproximado com n=4) e o VE (Valor Exato) deve ser o obtido o mais exato possvel, sem truncamento algum se fosse possvel, ento usamos VE como um VA refeito, mas com truncamento mnimo, usando uma srie com n dobrado 8, uma vez que a srie infinita no existe. Para garantir que os arredondamesntos no atrapalhem, no afetem os resultados, recomenda-se usar variaveis double nos calculos de VA e de VE.

(1,0)1d). Explique como voc calcularia o erro total da funo exp(x) calculada na varivel float, aproximada por srie de Taylor com 5 termos (at n=4) para x=-0,111, conforme expresso abaixo:

!...

!3!2!11

32

n

xxxxe

nx +++++

Resposta: Erro total = |VA-VE| sempre, mas o erro total de um calculo esta includo em VA (Valor Aproximado com n=4 e com variavel float) e o VE (Valor Exato) deve ser o obtido o mais exato possvel, sem arredondamentos e sem truncamento algum, se fosse possvel, ento usamos VE como um VA refeito, mas com mnimos arredondamentos e com truncamento mnimo, usando uma srie com preciso dupla e com n dobrado 8, uma vez que a preciso infinita e a srie infinita no existem.

(1,0)1e). Explique como voc calcularia o erro de truncamento estimado de uma raiz x de f(x)=0 obtida pelo mtodo de Newton-Raphson, com N iteraes.

P.S.: Lembre que no mtodo de Newton-Raphson (N-R), o erro de truncamento assumido na aproximao da raiz x decorrente da somatria das parcelas da srie de Taylor que aproxima f(x)=f(xi+dx)=0, a partir do termo de ordem n=2: Erro de truncamento = f''(xi)dx2/2!+f'''(xi)dx3/3!+....+f(n)(xi)dxn/n!+.... Este erro de truncamento poderia ser reduzido: i). diminuindo o nmero de parcelas truncadas, mas isso seria outro mtodo numrico, no N-R; ii). reduzindo o valor de 'dx', aumentando o nmero de iteraes 'N' em um processo convergente.

Resposta: Erro truncamento de x = |VA-VE| sempre, mas o erro de truncamento de um clculo esta includo em VA (Valor Aproximado de uma raiz x de f(x)=0 obtida pelo mtodo de Newton-Raphson, com N iteraes) e o VE (Valor Exato de uma raiz x de f(x)=0) que deve ser o obtido o mais exato possvel, sem sem truncamento algum, se fosse possvel. Usando o mtodo de Newton-Raphson temos raiz x de f(x)=0, sempre aproximada, ento podemos usar uma estimativa de VE como um VA refeito, mas com truncamento mnimo, usando o mesmo mtodo com um nmero de iteraes com N mais prximo do infinito. Assim, pode-se calcular VE com um nmero de iteraes N dobrado, 2N, que tem muito mesmo truncamento que a raiz obtida com N iteraes e serve de valor Exaro estimado.

Exerccios sobre Equaes no lineares e polinomiais:

(3,0) 3). Dada a funo ) ( 0)tan(*)( radianosxBixxxf == , com Bi=1: Monte um algoritmo que determine as n=05 (cinco) primeiras razes positivas 'x' de f(x)=0, com erro mximo menor 000001,0)( 1 +kxf pelo mtodo de Newton-Raphson. Considere dados os 05 valores iniciais das 05 primeiras razes reais positivas, determinadas previamente, como xi=[ 1. 3. 6. 9. 12. ].

4). Dada a equao polinomial P4(x)= x4 + 4.x + 1 = 0: (0,3) a). Monte um quadro com as possibilidades de suas 4 razes, aplicando a regra de Sinais de Descartes (positivas, negativas e/ou complexas); (0,2) b). Defina o mdulo mximo destas razes; (0,5) c). Estime os 04 valores iniciais para as razes de P4(x)=0, considerando os resultado da regra de sinais e do mdulo mximo destas razes; (2,0) d). Determine uma segunda raiz real x2 de P4(x) = 0, reduzindo o grau do polinmio inicial P4(x) atravs da primeira raiz x1=-0,250992, usando o mtodo de Newton-Raphson otimizado para polinmios (com Briot-Ruffini), a partir do valor inicial xi2 =-1,5, com erro mximo 001,0)( 23 xP .

(3,0) 3). Dado o grau n e os coeficientes reais ai de uma equao polinomiais Pn(x)=0, sabendo que funes polinomiais so sempre contnuas: Monte um algoritmo de busca que localize todas as suas razes reais ir, positivas e negativas, dentro do intervalo total [-alpha; alpha] e armazene os sub-intervalos [Air,Bir] de comprimento h=0,01, que contm cada raiz real ir. Dada: function que calcula mdulo mximo das razes: alpha=modulomax(n,a) (propriedade 9).

4). Dada a equao polinomial P4(x)= x4 + x2 + 4.x + 1 = 0: (0,3) a). Monte um quadro com as possibilidades de suas 4 razes, aplicando a regra de Sinais de Descartes (positivas, negativas e/ou complexas); (0,2) b). Defina o mdulo mximo destas razes; (0,5) c). Estime os 04 valores iniciais para as razes de P4(x)=0, considerando os resultado da regra de sinais e do mdulo mximo destas razes; (1,5) d). Determine uma segunda raiz real x2 de P4(x) = 0, a partir do valor inicial xi2 =-1,25, no polinmio de grau reduzido P3(x)=0, dada a primeira raiz x1=-0,269472. Use o mtodo de Newton-Raphson otimizado para polinmios (com Briot-Ruffini), com erro mximo 001,0)( 23 xP . (1,0) e). Refine uma segunda raiz real x2=-1,24938, obtida de P3(x) = 0, usando o mtodo de Newton-Raphson otimizado para polinmios (com Briot-Ruffini), de modo que erro mximo 000001,0)( 24 xP .

(2,0)2). Dado f(x)=exp(x)x1 = 0 e f(x)=exp(x)1 .

Aplicando a frmula do mtodo de Newton-Raphson normal, a partir de xi=1, so obtidos: f(x)=exp(x)-x-1=0

passo xi f(xi) f'(xi) dx=f(xi)/f'(xi) x=xi+dx erro=|f(x)|+|dx|

1 1 0,718282 1,718282 -0,418023293 0,581977 0,625618983

2 0,581977 0,207596 0,789572 -0,262921666 0,319055 0,319693675

3 0,319055 0,056772 0,375827 -0,151058868 0,167996 0,165994779

4 0,167996 0,014936 0,182932 -0,081647299 0,086349 0,085485025

5 0,086349 0,003838 0,090187 -0,04255317 0,043796 0,043526357

6 0,043796 0,000973 0,044769 -0,021738018 0,022058 0,021983088

7 0,022058 0,000245 0,022303 -0,010988298 0,011069 0,01104979

8 0,011069 6,15E-05 0,011131 -0,005524483 0,005545 0,005539884

9 0,005545 1,54E-05 0,00556 -0,00276989 0,002775 0,002773744

10 0,002775 3,85E-06 0,002779 -0,001386866 0,001388 0,001387829

11 0,001388 9,64E-07 0,001389 -0,000693914 0,000694 0,000694155

12 0,000694 2,41E-07 0,000694 -0,000347077 0,000347 0,000347138

13 0,000347 6,03E-08 0,000347 -0,000173569 0,000174 0,000173584

14 0,000174 1,51E-08 0,000174 -8,67919E-05 8,68E-05 8,67957E-05

15 8,68E-05 3,77E-09 8,68E-05 -4,33978E-05 4,34E-05 4,33988E-05

Mesmo procedimento?

Observe que a raiz exata 0 (zero), mas a raiz aproximada na 6a. Iterao foi de 0,021983088 (apenas 2 dgitos esto exatos), pois o processo iterativo se tornou lento, perdeu a convergncia quadrtica tpica do mtodo de Newton-Raphson em funo da reduo do valor da derivada f'(x), e desta forma o clculo de dx=-f/f' no foi reduzido adequadamente, pois tende uma indeterminao 0/0. O erro de convergncia adequado para estes casos deve considerar |dx| e |f(x)|, erro=|dx|+|f(x)|. Um forma de resolver esta indeterminao aplicar a Regra de L'Hospital expresso dx, derivando o seu numerador e seu denominador (dx=-f/f'=-f'/f''), de forma anloga correo do mtodo de Newton-Raphson aplicado aos polinmios com razes mltiplas, onde tambm os valores de f' se tornam muito pequenos para multiplicidade maiores ou iguais a 2. Ento, corrija a frmula de Newton-raphson, dx=-f(xi)/f'(xi), aplicando a Regra de L'Hospital, e determine a raiz de f(x) com 10 dgitos significativos exatos, erro=|f(x)|+|dx|

Exerccios sobre sistemas de Equaes lineares:

(3,0) 2). Monte um algoritmo genrico tipo x=substituicoes(n,A,b), que determina a soluo x do sistema linear A.x=b, a partir da matriz A, que j contm L\U juntos e do vetor b, fazendo as duas substituies L.c=b e U.x=c. Determine o nmero de operaes aritmticas em ponto flutuante do algoritmo x=substituicoes(n,A,b), em funo de n. Dada a funo: [A b]=fLU(n,A,b) - que retorna a matriz A decomposta (LU de Crout), com as matrizes L, U armazenadas juntas [A=L\U], com pivotao parcial interna, atravs da funo [A b]=pivotacao(k,n,A,b) - que troca linhas da matriz A e do vetor b e retorna a linha k contendo o maior coeficiente em mdulo na coluna k.

3). Dado o sistema linear abaixo para n=10000 equaes:

equaoi = 1x + x = 150equaoi = 2n/2x + 9. x + x + x = 100equaoi = n/2 + 1n 1x+x + 9. x + x = 200equaoi = nx + x = 300

(0,5) 3a). Se o sistema for resolvido por mtodos iterativos, como Jacobi e Gauss-Seidel, a sua convergncia para a soluo garantida? Justifique; (0,5) 3b). O processo iterativo de convergncia poder ser do tipo oscilatrio ou no-oscilatrio (monotnico)? recomendo testar a utilizao de fatores de sub-relaxao? Justifique; (4,0) 3c). Monte um algoritmo otimizado, que calcule e imprima a soluo do sistema linear acima com 10 dgitos significativos exatos, para as n=10.000 incgnitas, pelo mtodo que efetue o menor nmero de operaes aritmticas em ponto flutuante. Justifique a escolha do mtodo adotado.

(0,75) 1a). Que cuidados devem ser tomados ao se resolver sistemas mal-condicionados por mtodos diretos. Seria indicado resolver sistemas mal-condicionados por mtodos iterativos? Justifique; (2,0) 1b). Monte um algoritmo otimizado, tipo function A=fescalona(n,A), que determine a matriz escalonada triangular superior de Gauss, a partir das entradas n (n de equaes) e da matriz expandida A=[Ao b] de um sistema genrico Ao.x=b, exportando a matriz expandida escalonada triangular superior e b, A=[A b].

2). Dado o sistema linear com 4 tipos de equaes:

==+

==+

==+

==

+

+

+

21

21112

111

1

i 3,0.21,..., 2,0 ..3

1,...,2 1,0.21 1,0

nparaxxnniparaxxxx

niparaxxxiparaxx

ii

iiii

iii

ii

(0,75) 2a). Considerando n1=300 e n2=400, se o sistema for resolvido por mtodos iterativos, a sua convergncia ser garantida? Justifique sua resposta. (0,5) 2b). Se o sistema acima convergir lentamente para a soluo por mtodos iterativos, como a sua convergncia pode ser acelerada? Justifique sua resposta. (2,0) 2c). Determine a soluo x e o resduo mximo das equaes, do sistema acima, para n1=3 e n2=4, pelo mtodo de Gauss (sem pivotao); (2,0) 2d). Determine a soluo do sistema acima, para n1=3 e n2=4, com erro mximo max|x(i)-xi(i)| de sua escolha, pelo mtodo de Gauss-Seidel (sem fator de sub-relaxao).

(2,0) 1b). Monte um algoritmo otimizado, tipo function x=fsubstituicoesLU(n,L,U,b), que determine a soluo x do sistema A.x=b, a partir das entradas n, L, U e b, (L.U=A), resolvendo as duas substituies L.c=b e U.x=c e exportando a soluo x;

2). Dado o sistema linear com 4 tipos de equaes:

==+

==+

==+

==

+

+

21

2112

111

1

i 3,0.21,..., 2,0 .2

1,...,2 1,0.41 1,0

nparaxxnniparaxxxniparaxxx

iparaxx

ii

iii

iii

ii

(0,75) 2a). Considerando n1=300 e n2=400, se o sistema for resolvido por mtodos iterativos, a sua convergncia ser garantida? Justifique sua resposta. (0,5) 2b). Se o sistema acima convergir de forma oscilatria ao longo de um processo iterativo, como a sua convergncia pode ser acelerada? Justifique sua resposta. (2,0) 2c). Determine as matrizes L e U decompostas de A, tal que L.U=A, referente ao sistema acima para n1=3 e n2=4, pelo mtodo de Crout (sem pivotao); (2,0) 2d). Determine a soluo do sistema acima, para n1=3 e n2=4, com erro mximo max|x(i)-xi(i)|

(1,0) c). Determine a soluo x do sistema acima pelo mtodo de Gauss; (0,5) d). Determine o resduo mximo do sistema acima com a soluo x obtida e avalie se este resduo satisfatrio; (1,5) e). Monte um algoritmo genrico, tipo x=retrosubtituicao(n,Ab), que determine a soluo x a partir das entradas n e Ab, onde A.x=b, Ab=[A b] concatenadas em n linhas e n+1 colunas, e exportando a soluo x.

6). Dado o seguinte sistema linear:

==+

==+

==+

==

+

++

+

21

21112

1211

1

i 3001,..., 200 .3

1,...,2 10031 150

nparaxxnniparaxxxx

niparaxxxxiparaxx

ii

iiii

iiii

ii

(0,5) a). Considerando n1=3000 e n2=4000 com n2 equaes, se o sistema for resolvido por mtodos iterativos, a sua convergncia ser garantida? Justifique sua resposta. (0,5) b). Considerando o sistema acima, recomendado testar o uso de fatores de sub-relaxao na sua resoluo por mtodos iterativos? Justifique sua resposta. (1,5) c). Monte um algoritmo que determine a soluo do sistema acima, para n1=3000 e n2=4000 equaes, com erro mximo Max|x(i)-xa(i)| A=LU(n,A) - determina a matriz expandida decomposta, com as matrizes L, U e b armazenadas, com pivotao parcial interna, atravs da funo A=pivotacao(n,A,k) - que determina a matriz expandida com linha k com o maior coeficiente em mdulo na coluna k e -> x=substituicoes(n,A) - determina a soluo x a partir da matriz expandida j decomposta (L.U=Ao), que contm L e U (juntadas) e b, fazendo as duas substituies L.c=b e U.x=c.

8). Dado o seguinte sistema linear:

==+

==+

==+

==

+

++

+

21

21112

1211

1

i 3,0.21,..., 2,0 .3

1,...,2 1,031 1,0

nparaxx

nniparaxxxx

niparaxxxx

iparaxx

ii

iiii

iiii

ii

(0,5) a). Considerando n1=3000 e n2=4000 com n2 equaes, se o sistema for resolvido por mtodos iterativos, a sua convergncia ser garantida? Justifique sua resposta. (0,5) b). Considerando o sistema acima, recomendado testar o uso de fatores de sub-relaxao na sua resoluo por mtodos iterativos? Justifique sua resposta. (2,0) c). Determine a soluo do sistema acima, para n1=3 e n2=4 equaes, com erro mximo Max|x(i)-xa(i)| de sua escolha, pelo mtodo de Gauss-Seidel (sem fator de sub-relaxao), partir da soluo inicial UNITRIA.

1). Dado o seguinte sistema de equaes:

=++

=++

=++

12.9,23.51,00,01.

4.5,1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

a). Determine a soluo do sistema acima pelo mtodo de GAUSS (escalonamento por triangularizao), com pivotao parcial; b). Verifique se o sistema acima mal-condicionado. Justifique; c). Avalie os resduos das equaes e verifique se a soluo obtida tem uma exatido satisfatria.

2). Elabore algoritmos que:

a). Fornea a matriz pivotada [A b] atravs da Pivotao Parcial de uma matriz expandida [A b] para uma linha genrica k; b). Fornea a matriz [A b] triangularizada pelo mtodo de Gauss de uma matriz expandida [A b] genrica; c). Fornea a soluo S={xi} de uma sistema escrito em forma de matriz expandida j triangularizada [A b], pelo mtodo da Retrosubstituio de Gauss; d). Fornea a matriz [A b],decomposta em L e U, pelo mtodo de Crout a partir de uma matriz expandida [A b]; e). Fornea a soluo S={xi}, a partir de um sistema cuja matriz de coeficientes j est decomposta em L e U pelo mtodo de Crout, onde L e U esto armazenadas juntas na mesma matriz expandida [A b]; f). Clcule o residuo mximo das equaes de um sistema [A b] original para uma soluo S={xi}.

3). Determine a soluo do seguinte sistema composto por uma matriz tridiagonal pelo mtodo de Gauss otimizado:

=+

=+

=+

=

=

3xx3xxx10xx2x

4xx35xx

54

543

432

32

21

4). Monte um algoritmo que determine a soluo do sistema acima pelo metodo de Gauss otimizado.

5). Dado o sistema linear

=

==+

==+

=

+

++

3004999,...,3000 200 .1,2

2999,...,2 1003150

50004999

11000

100011

21

xx

iparaxxxiparaxxxx

xx

iii

iiii

a). Analise o sistema anterior de 5000 equaes e escolha um mtodo adequado para sua resoluo. Justifique sua resposta. b). Se o sistema for resolvido por mtodos iterativos, a sua convergncia garantida? c). O processo iterativo de convergncia dever ser do tipo oscilatrio ou no-oscilatrio (monotnico)? Justifique sua resposta. d). Elabore um algoritmo otimizado para obter sua soluo com + ki1ki xxMax ( 510= ), pelo mtodo de Gauss-Seidel com sub-relaxao =0.8, a partir da soluo inicial (0,0,0,...,0).

6). Dados o seguintes sistema linear:

=++

=++

=++

1243 x0,1

42

321

321

321

xxx

xx

xxx

a). Verifique se este sistema possui diagonal dominante; b). Efetue uma pivotao parcial em todos as linhas; c). Verifique novamente se o sistema pivotado apresenta diagonal dominante; d). Resolva o sistema pivotado pelo mtodo de Gauss-Seidel, com

+ ki1k

i xxMax ( 210= ), partindo da soluo inicial (0,0,0).

7). Responda: a). O que pivotao parcial e para que serve? b). A pivotao parcial ajuda a minimizar o acmulo de erros de arredonamento ao longo do processo de escalonamento? Justifique. c). Quais so os requisitos para que um sistema de equaes convirja garantidamente? d). Quais so os requisitos para que um sistema de equaes convirja rapidamente e sem oscilaes?

8). Sabendo que um computador X opera 106 operaes em ponto flutuante por segundo, e que o nmero total de operaes aritmticas envolvidas no mtodo de Gauss da ordem de O((1/3) n3) operaes: a). Quanto tempo de CPU ser necessrio para resolver um sistema de 1000 equaes neste mesmo computador? b). Quantos MB (megabytes) so necessrios para armazenar um sistema de 1000 equaes utilizando variveis FLOAT (32 bits = 4 B) na forma de matriz expandida?

9). Dado o seguinte sistema de equaes:

=

=+

=+

3 .1,0 1 2

1 .2

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(0,5) a). Verifique se o sistema acima mal condicionado. Justifique; (2,0) b). Determine as matrizes L e U e a soluo S={x1, x2, x3} do sistema A.x=b acima pelo mtodo de decomposio L e U de CROUT; (0,5) c). Calcule o resduo mximo da soluo S obtida acima.

10). Dado o seguinte sistema linear:

=+

=++=

=+

+

3.23.2 )1( at 2

1

1

11

31

nn

iii

xx

xxxniParaxx

(1,0) a). Considerando n=1000 equaes, se o sistema for resolvido por mtodos iterativos, a sua convergncia ser garantida? Justifique sua resposta. (1,0) b). Considerando n=1000 equaes, recomendado o uso de fatores de sub-relaxao na sua resoluo por mtodos iterativos? Justifique sua resposta. (2,0) c). Considerando n=4 equaes, determine a soluo do sistema, com erro mximo Max|xi-xai|, pelo mtodo de Gauss-Seidel, com fator de sub-relaxao =0,8 a partir da soluo inicial unitria ( de sua escolha). Defina o erro encontrado. (1,5) d). Monte um algoritmo que determine a soluo do sistema acima, para n=1000 equaes, com erro mximo Max|xi-xai|

Exerccios sobre Equaes No lineares (sistemas no lineares):

(2,0) 3). Monte um algoritmo completo que determine uma soluo x=[x1, x2] das equaes abaixo pelo mtodo de Newton com 10 digitos significativos exatos (erro=max|x(i)-xi(i)|

Exercicios sobre interpolao e ajuste de curvas:

1). Suponha que voc precise avaliar a funo f(x)=ln(x), em x[1; 2], utilizando apenas operaes algbricas via interpolao polinomial, para utilizar posteriormente em um processador embarcado. a). Determine o grau n mnimo necessrio do polinmio interpolador Pn(x) para que o erro de truncamento mximo estimado seja da ordem de 10-2 (

c). Monte um algoritmo que determine e imprima os parmetros a e b no lineares, de V(T)=sen(a+b*T), atravs de ajuste de curvas direto, com a minimizao do desvio quadrtico FG, : = )HIJKG + :

b). Calcule V(T=0.8), pela funo N

Volume(cm3) 1.04 1.18 1.29 1.35 1.28 1.21 1.06

a). Que metodologia voc usar para equacionar o comportamento do volume de lcool em funo da temperatura na faixa medida. Justifique. b). Faa o equacionamento citado no item a) e fornea uma funo representativa para o comportamento na faixa medida.

5). Uma empresa de catalizadores de concreto est testando um novo produto e relacionou a quantidade de catalizador A (g/kg) usada no concreto com a sua resistncia final R a compresso aps a cura (103kgf/cm2), conforme a tabela abaixo:

Catalizador (g/kg) 1.9 2.60 4.5 6.20 7.5 8.6 9.6 Resistncia (kgf/cm2) 4 12 19 25 29 32 33

a). Que metodologia voc usar para equacionar a resistncia final R (103 kgf/cm2) do concreto em funo da quantidade do catalizador A (g/kg) usada. Justifique. b). Faa o equacionamento citado no item a), pelo mtodo de ajuste de curvas que fornea um polinmio representativo para o comportamento tabelado. Justifique a escolha do grau n do polinmio que ser usado (faa um grfico dos pontos tabelados).

6). Suponha que a concentrao C de um certo componente de uma reao eletroqumica siga a seguinte correlao temporal, C(t)=(a+b.e-t)^(1/2) Uma srie de medies experimentais gerou os seguinte dados: t (s) 0 1 2 3 4 5 C(mol/l.s) 11.5 8.9 7.6 5.9 4.6 4.4 Avalie os parmetros a e b atravs de uma aproximao que leve em conta todas as medies experimentais. Justifique a escolha do mtodo de soluo. 7). A tabela abaixo relaciona m=3 pontos, obtidos com exatido, que relacionam o volume adimensional de lcool gerado V em um reator em funo da sua temperatura adimensional T mdia de reao: T=[1.00 1.05 1.10 ] V=[1.00 0.90 0.81 ]

a). Faa um grfico representativo dos primeiros m=3 pontos V(T) obtidos experimentalmente; b). Obtenha a formula geral do polinmio interpolador de grau n=m-1=2 escrito na base cannica, correspondente a esses 3 pontos; c). Obtenha a formula geral do polinmio interpolador de Lagrange de grau 2; d). Obtenha a formula geral do polinmio interpolador de Gregory Newton de grau 2.

Exerccios sobre Integrao Numrica

1). Considere a integral dxxI )1(2

1

3 += ,

a). Determine o nmero n de subdivises necessrios para que I tenha um erro de truncamento mximo inferior a 10-6 quando calculado pelo mtodo dos trapzios Tn; b). Se voc integrar I numericamente, com o nmero n de subdivises obtidos acima, o erro total cometido ser inferior a 10-6? Justifique sua resposta. c). Determine, em computador, o nmero n de subdivises em que o erro total estimado do resultado Tn obtido pelo mtodo dos trapzios seja mnimo (Erro estimado = |Tn-T2n|). O que ocorre se usarmos um valor de n superior a este que gerou o erro total mnimo? d). Determine o nmero n de subdivises necessrios para que I tenha um erro de truncamento mximo inferior a 10-6 quando calculado pelo mtodo de Simpson de 2 ordem Sn; e). Determine o nmero m (= n+1) de pontos calculados da funo f(x) necessrios para que I tenha um erro de truncamento mximo inferior a 10-6 quando calculado pelo mtodo de Gauss-Legendre Gm; f). Determine a integral I em cada um dos 3 (trs) mtodos citados com n=2 subdivises (ou m=n+1=3 para o mtodo de Gauss-Legendre); g). Avalie o erro exato em cada caso, comparando com o resultado exato; h). Qual dos mtodos de integrao vistos acima computacionalmente o mais eficiente;

2). Monte um algoritmo genrico para encontrar o valor numrico da integral I = b

a

dx)x(f , e seu erro de truncamento estimado, usando: a). Mtodo Trapzios com n subdivises, Tn; b). Mtodo Simpson de 2 ordem com n subdivises, Sn; c). Mtodo Gauss-Legendre com m pontos de avaliao, Gm.

3). Considere a integral dxxsqrtdxxfIb

)( )(2

1a == ,

===

2/31/2

.3/2 x )( xdxdxxsqrtI

(0,5) 3a). Calcule o nmero m mnimo de pontos do intervalo [a;b] necessrios para que I tenha um erro de truncamento mximo O(10-4), quando calculado pelo mtodo de Gauss-Legendre; (1,0) 3b). Calcule a integral numrica de Gauss-Legendre, com m=3 pontos; (2,0) 3c). Monte um algoritmo de busca que determine o nmero de pontos m mnimo (tabela com m at 5 pontos) para que a integral I aproximada pelo mtodo de Gauss-Legendre Gm, tenha um erro de truncamento mximo exato estimado, atravs de |Gm-Gm+1|, da ordem de 10-6, para f(x)=sqrt(x), em x[1; 2]. Sugesto: Monte um algoritmo que incremente sequencialmente o valor de 'm' enquanto o erro de truncamento mximo exato estimado estiver maior que 101/2.10-6. (2,0) ---------------------------------------------------------------------------------

Dadas as funes: i). Tn=fTn(a,b,n), que determina o valor da Integral numrica I de f(x) pelo mtodo de Trapzios; ii). Sn=fSn(a,b,n), que determina o valor da Integral numrica I de f(x) pelo mtodo de Simpson; iii). Gm=fGm(a,b,m), que determina o valor da Integral numrica I de f(x) pelo mtodo de Gauss-Legendre (m at 5 pontos); iv). y=f(x), que determina o valor de y para cada x de )()( xsqrtxf = ; v). x=fgauss(Nsis,A), onde Nsis = nmero de equaes do sistema armazenado na matriz expandida A e x a soluo do sistema;

1). Considere a integral dxxsqrtdxxfIb

)( )(2

1a == ,

===

2/31/2

.3/2 x )( xdxdxxsqrtI

1a). Determine o nmero n' de subdivises necessrias do intervalo [a;b], para que I tenha um erro de truncamento mximo da ordem de 10-6 quando calculado pelo mtodo de Simpson, Sn; (1,0) 1b). Determine a integral numrica pelo mtodo de Simpson, Sn, com n=8 subdivises; (2,0) 1c). Monte um algoritmo genrico para determinar o nmero de subdivises n mnimo para que a integral I aproximada pelo mtodo de Simpson, Sn, tenha um erro mximo estimado da ordem de 10-6. (2,0) Sugesto: Monte um algoritmo que incremente, de dois em dois, o valor de 'n' (PAR), enquanto o erro de truncamento mximo exato estimado estiver maior que 101/2.10-6. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dadas as funes: i). Tn=fTn(a,b,n), que determina o valor da Integral numrica I de f(x) pelo mtodo de Trapzios;

ii). Sn=fSn(a,b,n), que determina o valor da Integral numrica I de f(x) pelo mtodo de Simpson; iii). Gm=fGm(a,b,m), que determina o valor da Integral numrica I de f(x) pelo mtodo de Gauss-Legendre; iv). y=f(x), que determina o valor de y para cada x de )ln()( xxf = ;

1). Considere a integral dxxdxxfIb

)ln( )(2

1a == ,

== )1).(ln( )ln( xxdxxI

1a). Determine o nmero m' de pontos necessrios do intervalo [a;b], n=m-1, para que I tenha um erro de truncamento mximo da ordem de 10-3 quando calculado pelo mtodo de Gauss-Legendre, Gm; (1,0) 1b). Determine a integral numrica pelo mtodo de Gauss-Legendre Gm, com m=2 pontos; (1,0) 1c). Determine a integral numrica pelo mtodo de Gauss-Legendre Gm, com m=3 pontos; (1,0) 1d). Avalie o erro exato estimado, comparando G2 com G3 (0,5) 1e). Monte um algoritmo de busca que determine o nmero de pontos m mnimo (tabela com m at 5) para que a integral I aproximada pelo mtodo de Gauss-Legendre Gm, tenha um erro de truncamento mximo exato estimado atravs de |Gm-Gm+1|, da ordem de 10-6, com f(x)=ln(x), em x[1; 2]. Sugesto: Monte um algoritmo que incremente sequencialmente o valor de 'm' enquanto o erro de truncamento mximo exato estimado estiver maior que 101/2.10-6. (2,0) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dadas as funes: i). Tn=fTn(a,b,n), que determina o valor da Integral numrica I de f(x) pelo mtodo de Trapzios; ii). Sn=fSn(a,b,n), que determina o valor da Integral numrica I de f(x) pelo mtodo de Simpson; iii). Gm=fGm(a,b,m), que determina o valor da Integral numrica I de f(x) pelo mtodo de Gauss-Legendre; iv). y=f(x), que determina o valor de y para cada x de )ln()( xxf = ; -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exerccios sobre Equaes Diferenciais Ordinrias (ECV e EMC):

3). Resolva numericamente a equao diferencial ordinria de 1 ordem 2xyy = com x[0,1;0,2] e condio inicial y(x=0,1)=1 usando n=2, duas subdivises do intervalo, obtendo y(x=0,2) pelo mtodos numricos de: a). Euler; b). Runge-Kutta de 2 ordem; c). Runge-Kutta de 4 ordem; d). Calcule o erro total estimado do valor de y(x=0,2) obtido por Runge-Kutta de 2 ordem com n=2 subdivises, comparando-o com o calculo y(x=0,2) com n=4 subdivises;

4). a). Obtenha y(x=1,2) numericamente atravs da resoluo da equao diferencial ordinria de 1 ordem 0.2. =+ yyx com x[1,0;1,2] e y(x=1,0)=1,0 (valor inicial), usando n=4 subdivises do intervalo [1,0;1,2], pelo mtodo de Euler; b). Monte um algoritmo que calcule e imprima y(x=1,2), atravs da resoluo da equao diferencial ordinria de 1 ordem 0.2. =+ yyx com x[1,0;1,2] e y(x=1,0)=1,0 (valor inicial), usando n=8 subdivises do intervalo pelo mtodo de Runge-Kutta de 4 ordem; c). Monte um algoritmo que calcule e imprima, o erro total existente na soluo numrica da equao diferencial ordinria de 1 ordem 0.2. =+ yyx em y(x=1,2), com x[1,0;1,2] e y(x=1,0)=1,0 (valor inicial), usando n=8 subdivises do intervalo pelo mtodo de Runge-Kutta de 4 ordem.

5). Monte um algoritmo para estimar o erro total existente, comparando as resolues sucessivas de uma equao diferencial de 1 ordem ),(' yxfy = , com passos de integrao h1=h (n subdivises) e h2=h/2 (2*n subdivises) pelo mtodo de Runge-Kutta de 4 ordem entre os pontos a e b com oo )(x yay == . (Sugesto: Monte primeiro uma Funo separada que calcule y(b) atravs da aplicao do mtodo RK4 com um n qualquer: function [x y]=fRK4(a,b,n,xo,yo,f(x,y))

6). a). Monte um sistema de 2 equaes diferenciais ordinrias de 1 ordem, y1(x) e y2(x), que represente a equao diferencial ordinria de 2 ordem 0.2". =++ xyyx com x[1,0;2,0], y(x=1,0)=1,0 e y(x=1,0)=-1,0 (valores iniciais); b). Monte um algoritmo que resolva um sistema de duas equaes diferenciais ordinrias de 1 ordem, y1(x) e y2(x), que represente a equao diferencial ordinria de 2 ordem 0.2". =++ xyyx com x[1,0;2,0], y(x=1,0)=1,0 e y(x=1,0)=-1,0 (valores iniciais);

2). Dada a equao diferencial ordinria 1y..2 =y com x[1; 1,1] e y(x=1)=1 (yexata(x)=sqrt(x)): 2a). Resolva numericamente a equao diferencial ordinria por Runge-Kutta de 4 ordem usando n=1, uma subdiviso do intervalo, obtendo y(x=1,1); (2,0) 2b). Monte um algoritmo genrico para calcular o erro de truncamento estimado existente, comparando as resolues sucessivas da equao diferencial de 1 ordem 0y..2 =y , com x[1; 1,1] e condio inicial y(x=1)=1, com n subdivises e com 2*n subdivises pelo mtodo de Runge-Kutta de 4 ordem (RK4), com n genrico de sua escolha. (1,0)

3). Monte um algoritmo genrico, pelo mtodo RK4, que resolva o sistema de 2 equaes diferenciais ordinrias de 1 ordem, y1(x) e y2(x), que represente a equao diferencial ordinria de 2 ordem

8/''' 2/3= xyyy com x[1;2], com suas 2 condies iniciais, y(x=1)=1, y'(x=1)=1/2, com n genrico de sua escolha. Imprima a soluo yi, para cada um dos n+1 pontos xi. (2,0) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dadas as funes: v). Dada a funo [x y]=fRK4(a,b,n,x0,y0), que calcula os vetores [x, y] com n+1 pontos soluo da EDO y'=df(x,y) com x[a;b], a partir do intervalo [a;b], do nmero de subdivises 'n', dos valores iniciais, x0, y0, e da funo:

function dy=df(x,y) y);.2/(1=dy ; End

2). Dada a equao diferencial ordinria 0yy =+ com x[0; 0,1] e y(x=0)=1 (yexata(x)=exp(-x)): 2a). Resolva numericamente a equao diferencial ordinria por Runge-Kutta de 2 ordem usando n=1, uma subdiviso do intervalo, obtendo y(x=0,1); (1,0) 2b). Resolva numericamente a equao diferencial ordinria por Runge-Kutta de 2 ordem usando n=2, duas subdivises do intervalo, obtendo y(x=0,1); (1,0) 2c). Calcule o erro estimado mximo de y(x=0,1), comparando as duas solues, com 'n' e com '2n' subdivises; (0,5)

3). Monte um algoritmo genrico, pelo mtodo RK4, que resolva o sistema de 2 equaes diferenciais ordinrias de 1 ordem, y1(x) e y2(x), que represente a equao diferencial ordinria de 2 ordem 0'2'' =++ yyy com x[0;1], com suas 2 condies de contorno, y(x=0)=1, y(x=1)=1/e, com n genrico de sua escolha. Imprima a soluo yi, para cada um dos n+1 pontos xi. (2,0)

Exerccios sobre aproximaes por sries (CCO):

1). Pode-se avaliar uma funo como f(x)= sen(x), em x[-1;1] (radianos), utilizando apenas operaes algbricas simples, como adio, multiplicao e diviso. Ento, uma alternativa de representao a expanso de f(x) em termos da srie de Maclaurin, que gera a seguinte srie:

L+++++++=!9

.0 !7

.0!5

.0!3

.0!1

0)(9

87

65

43

2 xxx

xx

xx

xx

xsen

(0,5) 1a). Determine o grau n mnimo da aproximao em srie de Maclaurin com erro de truncamento mximo na ordem de 10-4. Observe que o erro de truncamento mximo da srie de grau 'n' pode ser obtido pelo mximo do prximo termo geral no nulo da srie de Maclaurin dado por

)!2())(()(

22

+

=

++

n

xfxRn

nn , ou neste caso, de srie com

termos de sinais alternados (termo nulo no tem sinal), pelo prprio prximo termo abandonado )!2(

2

+

+

n

xn ;

(1,0) 1b). Determine a aproximao em srie de Chebyschev com grau M=3, a partir da srie de Maclaurim com grau M=5 e estime o erro de truncamento total cometido ao abandonar o termo T5(x); (1,5) 1c). Determine a aproximao de Pad R32(x), a partir de Maclaurin com grau total M=5; (0,5) 1d). Calcule os erros exatos mximos de cada aproximao em srie acima, escolha qual foi a mais eficiente, entre as sries de Maclaurin com grau M=5, Chebyschev com grau M=3 e Pad R32(x). Os erros mximos normalmente esto nas extremidades do intervalo [a;b], mas para a srie de Chebyschev, calcule erros em pelo menos 5 pontos de [a;b] e tome o maior valor.

7). Suponha que voc esteja usando um compilador muito eficiente computacionalmente, e por isso no disponha de todas as funes matemticas pr-definidas. Ento, voc pode avaliar a funo f(x)=exp(x), em x [-1;1], utilizando apenas operaes algbricas simples, como adio, multiplicao e diviso. Ento, (1,25) a). Determine a aproximao em srie de Chebyschev com erro mximo de 10-2 ; (1,25) b). Monte um algoritmo que determine os coeficientes ai e bi da aproximao de Pad R22(x), com M=4, para f(x)=exp(x), em x[-1;1]. Calcule e imprima o erro exato mximo no final.

FORMULRIO: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Varivel binria padro IEEE 754 de 32 bits: 1 8 23

s e f s = 0 => v positivo e s = 1 => v negativo Se 0 < e < 255, ento v = (-1)s . 2(e-127) . (1,f)2 Se e = 0 e f 0, ento v = (-1)s . 2-126 . (0,f)2 Se e = 0 e f = 0, ento v = (-1)s . 2-126 . (0,) = (-1)s . 0 (zero) Se e = 255, ento v pertence a regio

*

***

* )()()('x

xfxxfxf

+

, xxxRR

xfxf

x +=== *2

1*

*

)(')(

ou xxx

RMR

xPxP

xM

MM

n

Mn +===

+

*

1*)(

*)1(

.)()(

+=+=

=

1)(n ate 2. 111

ibxiabab

iii

=+=

=

n ate 2. 111

icxibcbc

iii

Propriedade 6: 1k(k)n Rk!)(P +=xi , onde Rk+1 = resto da (k+1)-sima diviso de Pn(x) (x-xi).

Propriedade 9: Em Pn(x)=a1xn+a2xn-1+...+an+1=0. Ento, raiz [ ] 112 ,...,1 aaaMax n++ Propriedade 14: Regra dos sinais de Descartes. Para polinmios Pn(x)=0 com coeficientes reais colocados em ordem decrescente de grau, ento o nmero de razes positivas do polinmio igual ao nmero de permutaes de sinal de seus coeficientes no nulos, ou menor por uma diferena par. O nmero de razes negativas do polinmio igual ao nmero de permutaes de sinal dos coeficientes no nulos de Pn(-x), ou menor por uma diferena par.

Para k = 1 i = 1,2,3,...,n li1 = a i1

j = 2,3,... ,n u a / l1j 1j 11=

Para: k = 2,3,...,n-1 i = k,k+1,...,n l aik ik= =

l uirr

k

rk1

1

j = k+1,... ,n u 1l

a l ukjkk

kj krr 1

k 1

rj=

=

Para: k = n i= n

l aik ik= =

l uirr

k

rk1

1

i = 1,2,3,...,n ii

i

jjij lcl /bc

1

1ii

=

=

i = n,n-1, ..., 1

=

+=

n

ijjij xu

1ii cx

Para: k = 1,...,(n-1) i = k+1,...,n e j = 1,...,n+1 kj

kk

ik aa

a.aa ijij

=

i = n, n-1, ..., 1 ii

n

ijjij axa /bx

1ii

=

+=

)1,0( 1|)det(|||)det(||1

=

+

+

kn

k

kk

k

n

n

kn

kn

k

n

kkk

n

kk

yx

yxy

b

bb

xxx

xxx

xxm

MM

K

MMM

L

L

1

0

21

12

=

=

m

k 1

[ ]==

==

m

kkk

m

kk yxg

md

mbaD

1

2

1

2 )(11),(

=

)()(

.)()(

)()(

)0(2

)0(1

2

1

2

)0(2

1

)0(2

2

)0(1

1

)0(1

xfxf

x

x

x

xfx

xfx

xfx

xf

j

ninjji

j

i

dxxxxfxdxxxxf

x

f ),...,,(),...,,...,,( 2121 +

( ) ( ) ( )

++=

=

bfxfafhTn

iin

22

2 ETn =

( ) ( ) | |12

. )2(2

xfMaxhab

( ) ( ) ( ) ( )

+++=

==

bfxfxfafhSpasson

ii

passon

iin

2,1

3

2,

224

3 ESn =

( ) ( ) ||180

. )4(4

xfMaxhab

( )

++

= =

m

kkmkmm abtabfC

abG1

,,)(

21

).(21

..

2 (x)fMax])!2)[(12(

)!()( (2m)34

12

mm

mabE mGm

+=

+

m Cm,k tm,k 1 c1 = 2 t1 = 0 2 c1 = 1

c2 = 1 t1 =-

13

t2 = +1

3

3 c1 = 95 c2 = 98

c3 = 95

t1 = - 5/3 t2 = 0 t3 = + 5/3

4 c1 = 0,34785485 c2 = 0,65214515 c3 = 0,65214515 c4 = 0,34785485

t1 = -0,86113631 t2 = -0,33998104 t3 = +0,33998104 t4 = +0,86113631

5 c1 = 0.23692689 c2 = 0.47862867 c3 = 0.56888888 c4 = 0.47862867 c5 = 0.23692689

t1 = -0.90617985 t2 = -0.53846931 t3 = +0.00000000 t4 = +0.53846931 t5 = +0.90617985

k1f = f(xi-1, yi-1); xi = xi-1 + h

yi = yi-1 + h.k1f, i = 2, ..., n+1; k1f = f(xi-1, yi-1); k2f = f(xi-1 + h, yi-1 + h.k1f) xi = xi-1 + h yi = yi-1 + (h/2).(k1f+ k2f), i = 2, ..., n+1; k1f = f(xi-1, yi-1); k2f = f(xi-1 + h/2, yi-1 +h/2 k1f); k3f = f(xi-1 + h/2, yi-1 + h/2 k2f); k4f = f(xi-1+h; yi-1 + h k3f) xi = xi-1 + h yi = yi-1 + (h/6).[k1f + 2.(k2f + k3f) + k4f], i = 2, ..., n+1;

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

'*).()'( )1( uunu nn =

, KHIJ`M = abH` `, cIHIJ` = 9 ` = GeaHIJ9 = senv 444 3444 2144444444 344444444 21

L

)( oTruncament

11

grau

)!1())((

!))((

+ !1

))(()()(xRnErro

nn

ndesrie

nn

n

xfn

xfxffxf=

++

+

+

+

+=

[ ; ]x

arcos(x)) cos()( nxTn = se cos( ) = x ento T x nn ( ) cos(= ) em x [-1;+1]

T x0 0( ) cos(= ) = 1 T x1 ( ) cos(= ) = x T x2 2 1( ) cos(= ) = 2cos ( ) -1 = 2x2 2 T x3 3( ) cos(= ) = 4x - 3x3 T x x4

24 8 1( ) cos(= +) = 8x 4 T x5 5( ) cos(= ) = 16x - 20x + 5x5 3

x T0 0= x T1 1=

x T T2 2 0 2= +( ) x T T3 3 13 4= +( ) x T T T4 4 2 04 3 8= + +( )

16)105( 1355 TTTx ++=

m

m1

n

n10M

2210

xb+ 1xa+

c+ L

LL

++

++=+++

xbxaa

xxcxcc M (b0=1)

+

+++

++

M

2+n

1+n

1

1-m

m

11m-M

132

21

c

c

c

- =

b

bb

c

MM

L

M

L

L

MmM

nmnmn

nmnmn

cc

ccc

ccc

e

+++=

+++=

++=

+=

=

+ nmnmmnnn ccbcba

ccbcbcbaccbcba

ccbaca

11

32112033

211022

1011

00

L

M