7/30/2019 Lista Otimizacao Com Gabarito

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Lista de exerccios - Clculo Diferencial e Integral I

Problemas de Otimizao

1) De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer

uma calha dobrando as bordas perpendicularmente folha. Quantos

centmetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha

capacidade mxima?

2) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina

de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da

cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes.

Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de

volume mximo.

3) Um recipiente cilndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375 cm3.

O custo do material usado para a base do recipiente de 15 centavos o cm2 e

o custo do material usado para a parte curva de 5 centavos por cm2. Se no

h perda de material, determine as dimenses que minimizem o custo do

material.

4) Determine o volume mximo de um cilindro circular reto que pode ser

inscrito em um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do

cilindro e do cone coincidem.

5) Deve-se construir um tanque para armazenamento de gs propano em

forma de cilindro circular reto com dois hemisfrios nas extremidades. O custo

de metro quadrado dos hemisfrios o dobro do custo da parte cilndrica. Se a

capacidade do tanque deve ser de 10 cm3, que dimenses minimizar o custo

da construo?

6) Uma bateria de voltagem fixa V e resistncia interna fixa r est ligada a um

circuito de resistncia varivel R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito I

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=)rR(

V

+. Se a fora resultante dada por P = I2.R, mostre que a fora

mxima ocorre quando R = r.

7) Um projtil lanado verticalmente para cima com uma velocidade de 120

m/s. Pela fsica sabemos que sua distncia acima do solo aps t segundos s(t)

= - 4,9t2 + 120t.

a) Determine em que instante e com que velocidade o projtil atinge o

solo.

b) Determine a altura mxima alcanada pelo projtil.

c) Determine a acelerao em um instante t arbitrrio.

8) Um fabricante de mveis estima que o custo semanal da fabricao de x

reprodues (manuais) de uma mesa colonial dado por C(x) = x

3

3x

2

80x+ 500. Cada mesa vendida por R$ 2800,00. Que produo semanal

maximizar o lucro? Qual o mximo lucro semanal possvel?

9) Uma lata cilndrica fechada pode conter 1 litro (1000 cm3) de lquido. Como

poderamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na

confeco da lata?

10) O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma rea de

piquenique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve

ser retangular, com uma rea de 5000 metros quadrados, e dever ser

cercada nos trs lados no-adjacentes estrada. Qual a menor quantidade

de cerca que ser necessria para completar o trabalho?

11) No projeto de avies, uma caracterstica importante o chamado fator de

arraste, isto , a fora de freagem exercida pelo ar sobre o avio. Um modelo

mede o arraste por uma funo da forma F(v) = Av2 +2v

B, onde A e B so

constantes positivas. Descobre-se experimentalmente que o arraste

minimizado quando v = 160 mph. Use esta informao para encontrar a razo

A

B.

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Sugestes para a resoluo e gabarito

1) x = 7,5 cm

2) V = x(40 2x)(52 2x)x = 7,47 cm

3) V = 375 cm3V = r2h = 375

h =2r

375

Custo = 15(r2) + 5(2rh)

C = 15(r2) + 5(2r2r

375 )

C = 15r2 + 3750r -1

C(r) = 0

30r - 3750r -2 = 0

r = 5 cm

h = 15 cm

4) Fazendo semelhana de tringulos

4

12

r4

h=

h = 3(4 r)

V = r2h = r2(3)(4 r)

r =3

8

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5)r = 3152

1m

h = 3152 m

6) I =rR

V

+

P = I2 R

P = RrR

V2

+

P(R) = 0

R = r

7)a) 4,9t2 + 120t = 0t = 0 ou t = 24,5

O projtil atinge o solo aps 24,5 segundos

v(t) = s(t) = 9,8 + 120

s(24,5) = 120,1 m/s

v(24,5) = 120,1 m/s

b) v(t) = 0

t = 12,24 s

c) a(t) = s(t) = 9,8 m/s2

8)Lucro = L(x)Receita = R(x)

Custo = C(x)

L(x) = R(x) C(x)

L(x) = 2800x (x3 3x2 80x + 500)

L(x) = 0

Resposta: x = 32 mesas

L(32) = 61 964 unidades monetrias

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9) V = 1000 cm3V = r2h = 1000

h =2r

1000

Material = 2r2 + 2rh

M(r) = 2r2 + 2r2r

1000

M(r) = 0

r = 3500

5,42 cm

h = 10,84 cm = 2r

10) A = 5000 m2A = xy = 5000

y =x

5000

Cerca = 2x + y

C(x) = 2x +x

5000

C(x) = 0

x = 50m

y = 100m

11) F(v) = Av2 +2v

B

F(v) = 0

A

B= (160)4