Lista Resistencia Dos Materiais

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pesquisadores a estudarem os s´olidos e os fluidos em duas grandes ´areas do conhecimento: Mecˆanica dos S´olidos e Mecˆanica dos Fluidos. Ent˜ao, diferentemente dos l´ ıquidos, as tens˜oes em um s´olido podem ocorrer de duas formas: Tens˜oesnormais: Estas tens˜oes s˜ao resultado de um carregamento 2 que provoca a aproxima¸c˜ao ou o afastamento de mol´ eculas que constituem o s´olido. ´ E o caso do carregamento F 1 da figura 2.3. Tens˜oes cisalhantes ou tangenciais: Estas tens˜oes s˜ao resultado de um carrega- mento que provoca um deslizamento relativo de mol´ eculas que constituem o s´olido. ´ E o caso do carregamento F 2 da figura 2.3. 2.1.2 Exerc´ ıcios 1. Uma placa ´ e fixada a uma base de madeira por meio de trˆ es parafusos de diˆametro 22mm. Calcular a tens˜ao m´ edia de cisalhamento nos parafusos para uma carga P =120 kN, conforme mostra a figura 2.4 Resp.:105,2 MPa P Figura 2.4: Figura do exerc´ ıcio 1 2. Duas pe¸cas de madeira de se¸c˜ao retangular 80mm x 140mm s˜ao coladas uma `a outra em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura 2.5. Calcular as tens˜oes na cola para P = 16 kN e para: a) θ = 30 o ; b) θ = 45 o ; c) θ = 60 o Resp.: a) σ N =357,1 kPa, τ N =618,6 kPa ; b) σ N = τ N =714,3 kPa ; c) σ N =1071,0 kPa, τ N =618,6 kPa θ P P Figura 2.5: Figura do exerc´ ıcio 2 3. Determinar a tens˜ao normal de compress˜ao m´ utua (ou tens˜oes de “contato”ou tens˜ao de “esmagamento”) da figura 2.6 entre: 2 carregamento neste caso pode ser entendido como: sistema de vor¸ cas aplicado, varia¸ ao de temper- atura,modifica¸c˜ ao nas condi¸ oes de apoio ou deslocamento imposto 13

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pesquisadores a estudarem os slidos e os uidos em duas grandes reas do conhecimento: o a Mecnica dos Slidos e Mecnica dos Fluidos. a o a Ento, diferentemente dos l a quidos, as tenses em um slido podem ocorrer de duas o o formas: Tenses normais: Estas tenses so resultado de um carregamento2 que provoca o o a a aproximao ou o afastamento de molculas que constituem o slido. E o caso do ca e o carregamento F1 da gura 2.3. Tenses cisalhantes ou tangenciais: Estas tenses so resultado de um carregao o a mento que provoca um deslizamento relativo de molculas que constituem o slido. e o E o caso do carregamento F2 da gura 2.3.

2.1.2

Exerc cios

1. Uma placa xada a uma base de madeira por meio de trs parafusos de dimetro e e a 22mm. Calcular a tenso mdia de cisalhamento nos parafusos para uma carga a e P =120 kN, conforme mostra a gura 2.4 Resp.:105,2 MPa

P

Figura 2.4: Figura do exerc 1 cio 2. Duas peas de madeira de seo retangular 80mm x 140mm so coladas uma ` outra c ca a a em um entalhe inclinado, conforme mostra a gura 2.5. Calcular as tenses na cola o para P = 16 kN e para: a) = 30o ; b) = 45o ; c) = 60o Resp.: a) N =357,1 kPa, N =618,6 kPa ; b) N = N =714,3 kPa ; c) N =1071,0 kPa, N =618,6 kPa

PFigura 2.5: Figura do exerc 2 cio

P

3. Determinar a tenso normal de compresso mtua (ou tenses de contatoou tenso a a u o a de esmagamento) da gura 2.6 entre:2 carregamento neste caso pode ser entendido como: sistema de voras aplicado, variao de temperc ca atura, modicao nas condies de apoio ou deslocamento imposto ca co

13

a) o bloco de madeira de seo 100mm x 120mm e a base de concreto 500mm x ca 500mm x 60mm. b) a base de concreto e o solo. Resp.: a) 3333 kPa ; b) 160 kPa40 kN Madeira Concreto

Figura 2.6: Figura do exerc 3 cio 4. Calcular as tenses de contatoem A, B e C, na estrutura representada na gura o 2.7. (dimenses em metros) o Resp.: 777,8 kPa, 888,9 kPa e 1111 kPa

25 kN0,15 x 0,15 0,15 x 0,30 C A 0,10 1,6 1,4 B 0,10

Figura 2.7: Figura do exerc 4 cio 5. Calcular o comprimento total 2L da ligao de duas peas de madeira, conforme ca c a gura 2.8, e a altura h necessria, dados P =50 kN, b= 250mm e as tenses a o admiss veis na madeira so: 0,8MPa ao corte e 6,5 MPa ` compresso. a a a Resp.: 2L = 500mm ; h= 31mm. 6. Duas peas de madeira de seo 5cm x 5cm so coladas na seo inclinada AB (ver c ca a ca gura 2.9). Calcular o valor mximo admiss da carga P , axial de compresso, a vel a dadas as tenses admiss o veis na cola: 9,0 MPa ` compresso e 1,8 MPa ao cisala a hamento. Resp.: P = 18,0 kN. 7. Um parafuso de 20mm de dimetro apertado contra uma pea de madeira exercendoa e c se uma tenso de trao de 120 MPa (ver gura 2.10). Calcular a espessura e da a ca 14

b P h P

L

LB

Figura 2.8: Figura do exerc 5 cio

PA

15

P

Figura 2.9: Figura do exerc 6 cio cabea do parafuso e o dimetro externo d da arruela, dadas as tenses admiss c a o veis 50 MPa, ao corte no parafuso, e 10 MPa, ` compresso na madeira a a Resp.: e = 12 mm ; d = 72,11 mm

d e

Figura 2.10: Figura do exerc 7 cio 8. Um eixo vertical suportado por um colar de escora sobre uma placa de apoio (ver e gura 2.11). Determinar a carga axial mxima que pode ser aplicada ao eixo se a a tenso mdia de corte no colar e a tenso mdia entre o colar e a placa so limitadas a e a e a respectivamente por 40 MPa e 65 MPa. Resp.: 314,16 kN 9. Uma articulao de pino deve resistir a uma fora de trao P = 60 kN (ver gura ca c ca 2.12). Calcular o dimetro do pino e a espessura m a nima da chapa para as tenses o admiss veis de 50 MPa ao corte e 120 MPa ` trao. a ca Resp.: d = 19,55 mm ; e = 6,25 mm 10. Uma chapa deve ser furada por puno, exercendo-se no perfurador uma tenso de ca a compresso de 420 MPa. Na chapa, a tenso de rutura ao corte de 315 MPa 2.13. a a e a) Calcular a espessura mxima da chapa para fazer um furo de 75 mm de dimetro; a a 15

10cm 15cm 2,5 cm

PFigura 2.11: Figura do exerc 8 cio

P

P

P

P

dFigura 2.12: Figura do exerc 9 cio b) Calcular o menor dimetro que pode ter o furo, se a espessura da chapa de 6 a e mm. Resp.: a) 25 mm ; b) 18 mm

Figura 2.13: Figura do exerc 10 cio

2.1.3

O Tensor de tenses o

Uma vez compreendida as caracter sticas fundamentais da grandeza tenso, e de sua a ligao com a j conhecida grandeza presso, passa-se agora ao seu estudo detalhado. ca a a Partindo-se do exemplo apresentado na gura 2.14 duas observaes podem ser feitas: co Existem foras tentando aproximar ou afastar molculas no entorno de M, nas trs c e e direes ortogonais, gerando tenses normais nestas trs direes. co o e co 16

5 x 4 cm e

Conclui-se ento que o tensor de tenses simtrico: a o e e x xy xz = xy y yz xz yz z

(2.23)

A conveno de sinais para as tenses deve ser de tal maneira que no permita que ca o a uma mesma tenso tenha valores algbricos de sinais opostos quando se analisa uma face a e ou outra do slido de tenses. Por esta razo, adota-se referenciais opostos para cada uma o o a das faces opostas do slido em torno do M, conforme mostra gura 2.17. Nesta gura o todas as tenses representadas so positivas. As regras para a conveno de sinais so: o a ca a Para as tenses normais: So positivas quando esto associadas ` trao e nego a a a ca ativas quando esto associadas ` compresso. a a a Para as tenses tangenciais: Quando a normal externa do slido de tenses o o o apontar na mesma direo do eixo coordenado, as tenses tangenciais so positica o a vas quando apontarem para o mesmo sentido do seu respectivo eixo coordenado. Quando a normal externa do slido de tenses apontar na direo contrria do eixo o o ca a coordenado, as tenses tangenciais so positivas quando apontarem para o sentido o a contrrio do seu respectivo eixo coordenado. a

2.1.4

Exerc cios

1. Para o elemento de tenso representado na gura 2.18 (tenses expressas em MPa) a o complete o slido de tenses com as tenses que faltam, considerando o slido em o o o o equil brio.150

80 70 200 50 z y

100

Figura 2.18: Figura do exerc 1 cio 2. Uma presso uniforme de 3,5 MPa exercida sobre as faces EGHF e ABCD do bloco a e slido representado na gura 2.19. Simultaneamente, uma distribuio uniforme de o ca trao mantida sobre as faces GHCB e EFDA, tendo valor de 0,7 MPa. Quais ca e so as tenses normal e tangencial sobre cada uma das faces do bloco representado? a o Monte o tensor de tenses para os pontos no interior do bloco. o 3. Um cilindro de parede delgada est submetido a uma fora de 4,5 kN. O dimetro a c a do cilindro 7,5 cm e a espessura da parede de 0,3 cm. Calcular as tenses normal e e o e de cisalhamento num plano que corta o cilindro formando um ngulo de = 40o , a conforme gura 2.20. Resposta: N = 3,89 MPa e N = 3,26 MPa. 20

x

H G 3m E F 6m A B

C

D 3m

Figura 2.19: Figura do exerc 2 cio4,5 kN 4,5 kN

Figura 2.20: Figura do exerc 3 cio 4. Admitindo que o cilindro do exerc cio anterior esteja submetido a uma fora de c trao P e que sua seo transversal tenha rea A, demonstre que: ca ca a = P cos2 A e = P sin 2 2A

Em seguida trace os grcos de em funo de e de em funo de , para a ca ca 0 90o . 5. Demonstre, para o problema, anterior que a tenso normal mxima ocorre para a a = 0o e que a tenso cisalhante mxima ocorre para = 45o a a 6. Uma placa de espessura 2,5 cm uniformemente carregada por foras F1 = 2,25 kN e c e F2 = 9,00 kN conforme gura 2.21. Monte o tensor de tenses para um ponto o contido na placa.

F2

F1 60 cm

30 cm

F1

F2Figura 2.21: Figura do exerc 6 cio 7. O tensor de tenses apresentado para este exerc o cio foi obtido aplicando a teoria da resistncia dos materiais a ser detalhada no cap e tulo 3 a uma viga com o carregamento mostrado na gura 2.22. Esboce os grcos projetados no plano xy que a relacionam as tenses x e xy com a posio no ponto e comente-os. Resposta no o ca

21

nal. Dado x e y em (m) em (MPa). 120x (x 1) y 0, 15 (2x 1) (400y 2 1) 0 2 0 0 = 0, 15 (2x 1) (400y 1) 0 0 0 2 kN/m

0,10 m

x z yFigura 2.22: Figura do exerc 7 cio1m

0,10 m

8. Uma barra tracionada composta de dois pedaos de material que so colados ao e c a longo da linha mn conforme gura 8. Por razes prticas, o ngulo limitado ` o a a e a faixa entre 0 e 60o . A mxima tenso de cisalhamento que suporta a junta colada a a 3/4 da mxima tenso normal. Assim sendo, qual deve ser o valor de para que e a a a barra suporte o mximo de carga P ? (Admitir que a junta colada seja o unico a ponto a ser vericado no projeto). Resposta: = 36.87om P 90

.

o

n

P

Figura 2.23: Figura do exerc 8 cio 9. Resolver o problema anterior no caso das tenses tangencial e normal mximas o a permitidas sejam, respectivamente, 70 MPa e 140 MPa. Determinar tambm a e carga P mxima permiss a vel se a rea da seo transversal da barra for de 1000 a ca mm2 . Resposta: = 26.56o e P = 175 kN.

2.22.2.1

Estudo das deformaes: coIntroduo ca

Paralelamente ao estudo estabelecido no item anterior relativo ` anlise de tenses, podea a o se desenvolver tambm, o estudo das deformaes sofridas por um corpo sob solicitaes e co co externas. Destaca-se que a anlise de deformaes em um corpo slido iguala-se em a co o importncia ` anlise de tenses. a a a o Sabe-se, da lgebra vetorial, que o campo vetorial de deslocamentos permite quanticar a a mudana de geometria de um corpo, sujeito ` ao de cargas aplicadas. Esta mudana c a ca c de geometria implica na considerao de duas parcelas: ca 22

1 = 2

u x u y u z

1 2 v x w x 1 2

u y

+

v x

1 2 1 2

u z v z

+

w x

+ +

v y v z

+w z

w y

(2.49)

1 2

+

w y

2.2.5

Exerc cios

1. Dado o seguinte campo de deslocamentos: d = x2 + y + (3 + z) + x2 + 2y k Qual a posio, aps deformao, de um ponto originalmente em (3, 1, -2)? ca o ca Resposta: P=(13;2;9) 2. Um campo de deslocamento dado por: e d = 0, 16x2 + sin y + 0, 1x + x + 0, 004k y3 (2.51) (2.50)

Como resultado da deformao, qual o acrscimo de distncia entre dois ponto, os ca e e a quais, na congurao geomtrica indeformada, so dados pelos vetores de posio? ca e a ca

r1 = 10 + 3 r2 = 4 + 3 Resposta: d = 13,46 3. Dado o seguinte campo de deslocamentos: d = xy + (3 + y) + (x + z) k 3 101 m (2.52)

Qual a perda em perpendicularidade entre dois segmentos de comprimento unitrio, a inicialmente situados sobre os eixos x (1,0,0) e y (0,1,0) a partir da origem, como resultado do citado campo de deslocamento? Resposta: = 40, 69o 4. Dado o seguinte campo de deslocamentos: d = x2 + 3y + 10k 3 103 m Quais so as componentes de deformao no ponto (1, 2, 0)? a ca 2 0 0 Resposta: = 0 3 0 3 103 0 0 0 30

(2.53)

Tabela 2.1: Constantes elsticas de alguns materiais a Material Ao CA-25 c Ao CA-50 c Ao CA-60 c Ao CP-150 c Ao ASTM A-36 c Concreto Alum nio Titnio a E (GPa) G (GPa) 210 210 210 210 22 a 30 69 114 79 79 79 79 Tenso de escoamento Massa espec a ca (MPa) (kg/m3 ) 0,33 250 7860 0,33 500 7860 0,33 600 7860 0,33 1500 7860 253 7860 0,1 15 a 40 na compresso a 2400 = 0,33 290 2710 825 4460

26

ou = D onde D chamada de matriz constitutiva do material. e (2.72)

2.3.5

Exerc ciosE(1) 2 2 +1

1. Deduza a Matriz D da equao 2.72. Resposta: ca

2 2E 2 2E +1 +1E(1) 2 2 +1

0 0 0

0 0 0

0

2E 2 +1 2E D = 2 +1 0 0

2 2E +1E(1) 2 2 +1

2 2E +1 0 0 0

0 0

0 0 0

G 0

0

0 G 0 0 0 G

0

3. Para um coeciente de Poisson de 0,30 mdulo de e um mdulo de Young de 210000 o o MPa, determinar o tensor de deformaespara o seguinte estado de tenses: co o 15.0 43.34 86.65 0 7 14 = 6.667 130.0 106 7 3, 5 21 . Resposta: = 43.34 14 21 7 86.65 130.0 28.33

2. Para o estado de tenses num certo ponto de uma estrutura de ao denido pelo o c tensor de tenses que segue, pede-se calcular as componentes de deformao neste o ca ponto. Considere E = 210 GPa e = 0,3. 21 0 0 80 0 0 14 3, 5 . Resposta: = 0 36, 7 21, 6 106 . Dado: = 0 0 3, 5 0 0 21, 6 50

37

4. idem exerc 3 para = cio Resposta =

10 0 3 0

0 5

3

54.76 0

38.10

18.57 61.90

61.90 7.143

10 0 18.57

10 .

5. Para o estado de deformaes num ponto de uma estrutura dado pelo tensor de co deformaes que segue, calcular o estado de tenses atuante neste ponto, sendo E co o = 175 GPae G = 70 GPa. 0, 55 2, 5 0 Dado: = 2, 5 0, 30 0, 25 104 0 0, 25 0, 95 7 35 0 Resposta = 35 3, 5 3, 5 MPa 0 3, 5 14 6. idem exerc 5 sendo: = 7.143 2.856 7.143 106 . cio Resposta: = 1 1 1 MPa

2.856 7.143 7.143 7.143 7.143 2.856

1 1 1 1 1 1

7. Numa anlise experimental foram determinados os deslocamentos dos pontos 1, 2, a 3 e 4 de uma estrutura de ao. Tais pontos so mostrados na gura 2.37 e seus c a respectivos deslocamentos so: a ponto 1: u1 = 0, 10 103 m, v1 = 0, 20 103 m e w1 = 0 ponto 2: u2 = 0, 15 103 m e v2 = 0, 15 103 m e w2 = 0 ponto 3: u3 = 0, 20 103 m e v3 = 0, 20 103 m e w3 = 0 ponto 4: u4 = 0, 10 103 m e v4 = 0, 10 103 m e w4 = 0 Calcule o valor aproximado das tenses x , y e xy no ponto P em funo dos o ca dados experimentais obtidos. Considere as constantes elsticas apresentadas nesta a apostila e z = 0. Reposta admitindo uma funo de interpolao de deslocamentos do tipo ca ca u = 1 x + 2 y + 3 xy + 4 e v = 1 x + 2 y + 3 xy + 4 : x = -19,97 MPa Resposta: x = 19, 97 MPa; y = 43, 19 MPa;xy = 19, 75 MPa;

38

y,v 1 (1,0; 1,0)

2

P(0,5;0,5)

3 (0,0; 0,0)

4

x,u

Figura 2.37: Figura do exerc 7 cio

39

L

L =

0

N (x) dx = EA(x)

L 0

(x) dx = E

L 0

L2 1 x = 3E 6E

(3.33)

3.1.1

Exerc cios

Ateno: Considere a acelerao da gravidade g = 10 m/s2 e lembre-se que F = ma (a ca ca fora igual ao produto da massa pela acelerao). c ca 1. Calcular o dimetro de uma barra sujeita a ao de uma carga axial de trao a ca ca P = 50 kN e calcular o valor correspondente alongamento total , para uma tenso a ca a admiss de x = 150 MPa e uma variao de comprimento mxima de L = 4 vel mm. So dados o comprimento da barra L = 4,5 m e o mdulo de elasticidade do a o ao E = 210 GPa. c Resposta. ( = 21 mm; L= 3,093 mm ) 2. Calcular o valor mximo admiss da carga P na trelia deste problema (ver gura a vel c 3.10) e o correspondente deslocamento vertical da articulao onde est aplicada a ca a carga P . As barra de ao (E = 210 GPa), tem dmetro d = 15 mm e a tenso c a a admiss x = 150 MPa . vel e Resposta: Padm = 20,38 kN; L= 6,02 mm

1,25 m

P 3m 3m

Figura 3.10: Figura do exerc 2 cio 3. Vericar a estabilidade da trelia da gura 3.11. Dados: Barra AC em ao , seo c c ca circular, dimetro 28 mm. Barra BC em madeira, seo quadrada, lado 65 mm; P a ca c a = 60 kN, x (ao) = 140 MPa, x (madeira, compresso) = 12 MPa, Ea = 210 GPa e Em =12 GPa. Resposta: Estvel a 4. Um corpo de prova padronizado, de ao , com 13 mm de dimetro , sujeito a uma c a fora de trao de 29,5 kN teve um alongamento de 0,216 mm para um comprimento c ca de 200 mm. Admitindo-se que no foi superado o limite de proporcionalidade, a estimar o valor do mdulo de elasticidade longitudinal do ao. o c Resposta: E = 206 GPa 5. Uma barra de ao (E = 210 GPa) de comprimento 4,0 m e seo circular est c ca a sujeita a uma trao de 80 kN. Calcular o dimetro (nmero inteiro de mm) para ca a u uma tenso normal admiss de 120 MPa. Calcular o valor correspondentes da a vel 47

A

2m

C B 1,5 m P

Figura 3.11: Figura do exerc 3 cio deformao espec ca ica e o alongamento total. Resposta: 30 mm; 0,0005389 e 2,156 mm. 6. Calcular o raio interno de uma seo cirular vazada (coroa circular) de ferro fundido ca sujeita a uma compresso de 1.500 kN. O raio externo de 120 mm e a tenso a e a admiss 75 MPa. vel Resposta: 89 mm. 7. Calcular o valor mximo admiss do esforo normal em uma barra cuja a seo a vel c ca transversal est representada na gura 3.12 (dimenses em cm). Dados: E = 10 a o GPa e x = 12 MPa e a deformao espec ca ca admiss x = 0, 001. vel Resposta. 208 kN.8 4 8 4 12 4 20

Figura 3.12: Figura do exerc 7 cio 8. Calcular o alongamento total da barra de ao representada na gura 3.13, cuja rea c a de seo transversal 500 mm2 . Dados: F = 4,5 kN, P = 2,0 kN e E = 210 GPa. ca e Resposta: L = 0, 0286 mm.

F250mm

PP300mm 250mm

F

Figura 3.13: Figura do exerc 8 cio 9. Calcular o alongamento total da barra representada na gura 3.14, sujeita a uma carga axial da trao F = 5,5 kN, sendo o segmento AB em ao (Ea = 210 GPa) ca c com seo circular de dimetro 6,3 mm e o segmento BC em lato (El = 95 GPa) ca a a com seo quadrada de lado 25 mm. ca Resposta. L = 0,3639 mm. 48

A F 40 cm

B

C F 30 cm

Figura 3.14: Figura do exerc 9 cio 10. Uma coluna curta constitu por dois tubos de ao , colocados um sobre o outro e da c (veja gura 3.15). Desprezando o peso prprio dos tubos, calcular a carga axial o P1 admiss vel, se a carga axial P2 = 200 kN, dada a tenso normal admiss a vel a compresso de 100 MPa. a Resposta (P1 = 60 kN).P 1TUBO DE1500mm 22

P2

TUBO DE 2600mm 22

1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000

Figura 3.15: Figura do exerc 10 cio 11. Uma barra AB de comprimento L est suspensa horizontalmente por dois os vertia cais presos `s suas extremidades (veja gura). Os os tm o mesmo comprimento e a e mesma rea de seo transversal mas diferentes mdulos de elasticidade (E1 e E2 ). a ca o Desprezando o peso prprio da barra , calcular a distncia d , do ponto de aplicao o a ca da carga P at a extremidade A , para que a barra permanea horizontal. e c Resposta (d = (LE2 )/(E1 + E2 ))1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 11111 00000 11111 00000 11111 00000

E1LA

E

2

B

d

P

Figura 3.16: Figura do exerc 11 cio 12. Um dispositivo de trs barras utilizado para suspender uma massa W de 5000 Kg e e (veja gura 3.17). Os dimetros das barras so de 20 mm (AB e BD) e 13 mm a a (BC). Calcular as tenses normais nas barras. o Resposta (150,8 MPa em AB, 119 MPa em BC e 159 MPa em BD). 49

C11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00

A

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1,20m

0,90m 0,30m

B

3,60m

DW

Figura 3.17: Figura do exerc 12 cio 13. As barras AB e AC da trelia representada na gura 3.18 so peas de madeira 6 c a c cm 6 cm e 6 cm 12 cm, respectivamente. Sendo as tenses normais admiss o veis de 12 MPa a trao e 8 MPa a compresso, calcular o valor admiss da carga P . ca a vel Resposta (P = 60, 8KN ).111 000B 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 0 111 000 45 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 0 111 000 45 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 C 111 000

A P

Figura 3.18: Figura do exerc 13 cio 14. As barras da trelia representada na gura 3.19 so de madeira com sees retanc a co gulares 60 mm L (BC) e 60 mm 1,4L (AC). Calcular L para tenses normais o admiss veis de 12 MPa a trao e 8,5 MPa a compresso. ca a Resposta (L = 73 mm).111 000B 111 000 111 000 111 000 111 000 0 111 000 111 000 30 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 0 111 000 60 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 A 111 000

C 60 KN

Figura 3.19: Figura do exerc 14. cio 15. As barras AB e BC da trelia da gura 3.20 comprimento de 3,0 m e rea de c a seo A. Especicados x = 220 MPa e E = 210 GPa, calcular o valor de A e o ca 50

correspondente valor do deslocamento vertical da articulao C. ca 2 Resposta (A = 170,45 mm e L = 5,23 mm).

A

B

1.80m

C

45KN

Figura 3.20: Figura do exerc 15 cio 16. Na trelia da gura 3.21, as barras so de ao (E = 210 GPa) com tenses admiss c a c o veis de 210 MPa (trao) e 166 MPa (compreesso). As reas das sees transversais ca a a co so 400 mm 2 (BC) e 525 mm 2 (AC). Calcular o valor admiss de P e os valores a vel correspondentes das tenses normais e deformaes nas barras. o co Respostas: P = 52,19 kN. Barra AC: x = 166 MPa e L = 3,95mm. Barra BC: x = 174,8 MPa e L = 3,33mm.111 000B 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 A

C P

3,00m

4,00m

Figura 3.21: Figura do exerc 16 cio 17. Uma haste de ao (E = 210 GPa) de 100 m de comprimento, suspensa verticalmente, c suporta uma carga de 55 kN concentrada na sua extremidade livre, alm de seu e peso prprio (a massa espec o ca do ao 7.850 Kg/m). Para uma tenso normal c e a admiss de 120 MPa, dimensionar a haste (seo circular, dimetro em nmero vel ca a u inteiro de mm) e calcular o alongamento previsto. Resposta (D = 25 mm ; L = 55,22 mm) 18. Calcular a rea da seo transversal em cada trecho da barra da gura 3.22 , sujeita a ca ` carga P = 45 kN, alm do seu peso prprio. So dados os valores da tenso a e o a a admiss e da massa espec vel ca em cada trecho. 51

AB (ao) 120 MPa; 7.800 kg/m; c BC (lato) 80 MPa; 8.300 kg/m; a Resposta (AB = 382 mm e BC = 570 mm) ;A 10m B1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000

12m C F

Figura 3.22: Figura do exerc 18 cio 19. A haste de ao da gura 3.23 suporta uma carga axial F , alm de seu prprio peso. c e o Os dimetros so d1 = 18 mm em AB e d2 = 22 mm em BC. Dados a massa a a espec ca 7.850 Kg/m3 , o mdulo de elasticidade longitudinal 210 GPa e a tenso o a normal admiss vel 150 MPa, calcular o valor mximo admiss a vel da carga F e o correspondente alongamento total. Representar os correspondentes diagramas de esforos normais e de tenses normais. c o Resposta (F = 30,18 kN, L= 477 mm)111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000

C

400m B 400m A F

Figura 3.23: Figura do exerc 19 cio 20. A haste de ao suspensa verticalmente suporta uma carga axial F = 15 kN na sua c extremidade, alm de seu prprio peso. H uma reduo do dimetro no trecho AB, e o a ca a conforme indicado na gura 3.24. Dados x = 120 MPa, E = 210 GPa e massa espec ca = 8 t/m, pede-se dimensionar a haste (calcular os dimetros em nmero a u inteiro de mm) e calcular o alongamento total. Representar a variao da tenso ca a normal ao longo do comprimento (x (x)). Resposta (DAB = 15 mm, DBC = 18 mm, L = 366 mm); 21. Uma haste de ao suspensa verticalmente tem 1.200 m de comprimento e suporta c uma carga P em sua extremidade. Calcular o valor admiss de P e o corresponvel dente alongamento total da haste, se : 52

C 500m B

1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000

x

300m A F

Figura 3.24: Figura do exerc 20 cio O dimetro constante e igual a 25mm. a e So quatro segmentos de 300 m, com dimetros 16mm, 19 mm, 22 mm e 25 a a mm. Considere x = 100 MPa, E = 210 GPa e = 7850 kg/m Resposta: P = 2, 847 kN e L = 302, 3 mm; P = 15, 371 kN e L = 482, 5 mm; 22. Calcular o deslocamento vertical do vrtice de um cone apoiado na base e sujeito e somente a ao de seu prprio peso, sendo a altura igual a L, o peso espec c o co e o mdulo de elasticidade E. o Resposta (L = L2 /6E); 23. Uma estaca uniforme de madeira, cravada a uma profundidade L na argila, suporta uma carga F em seu topo. Esta carga internamente resistida pelo atrito f ao e longo da estaca, o qual varia de forma parablica , conforme a gura 3.25. Calcular o o encurtamento total da estaca, em funo de L, F , A (rea da seo transversal) e ca a ca E (mdulo de elasticidade). oF1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000

x

f

L

f= kx 2

F

Figura 3.25: Figura do exerc 23 cio Resposta (L = F L/4AE); 53

24. Uma estaca de madeira cravada no solo, como mostra a gura, cando solicitada e por uma carga F = 450 kN, axial, no seu topo. Uma fora de atrito f (kN/m) c equil bra a carga F . A intensidade da fora de atrito varia com o quadrado da c distncia z, sendo zero no topo. Dados E = 1, 4 104 MPa , L = 9 m e D = 30 a cm, determinar o encurtamento da estaca e representar os diagramas (f z , N z e z z).F1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000

f

z Lf

D

Figura 3.26: Figura do exerc 24 cio Resposta: L=-3,069 mm

54

W = T dW = T d

(3.58) (3.59) (3.60)

onde o deslocamento angular, em radianos. Como potncia trabalho por unidade e e e de tempo: P = Unidades no SI: Potncia (P ): watt (1W = 1 Nm/s). e Velocidade angular = 2f : rad/s. Freqncia f : hertz = Hz ue Torque (T): Nm. Se a potncia for expressa em cavalos-vapor (CV) ou horse-power (hp), ento os fatores e a de converso para W so, respectivamente: a a 1 CV = 736 W e 1 hp = 746 W (3.62) dW d =T = T dt dt (3.61)

3.2.5

Exerc cios

1. Dimensionar o eixo de uma mquina, de 9 m de comprimento, que transmite 200 a ue CV de potncia, dados = 21 MPa e G = 85 GPa a uma freqncia de 120 rpm, e e calcular o correspondente deslocamento angular, adotando: Seo circular cheia. Resposta: (D = 142 mm, = 0, 03107 rad); ca Seo anular com d/D = 0,5. ca Resposta: (D = 145 mm, = 0, 03048 rad); 2. Calcular o momento de torque mximo admiss a vel e o correspondente ngulo de a toro em um eixo de comprimento de 2 m dados adm = 80 MPa e G = 85 GPa e ca seo: ca Circular, D = 250 mm; Resposta: (T = 245,4 KNm e = 0,01506 rad); Anular, com d = 150 mm e D = 250 mm; Resposta: (T = 213,4 KNm e = 0,01504 rad); 3. Um eixo de ao, seo circular com D = 60 mm, gira a uma freqncia de 250 c ca ue rpm. Determine a potncia (em CV) que ele pode transmitir, dado = 80 MPa. e Resposta: (P =120,7 CV) 4. Dimensionar um eixo de seo circular que transmite a potncia de 1800 CV a uma ca e rotao de 250 rpm, para uma tenso admiss ao cisalhamento de 85 MPa e para ca a vel um ngulo de rotao de 1 grau para um comprimento igual a 20 vezes o dimetro. a ca a Dado o mdulo de elasticidade transversal de 80 GPa. Resposta: (D = 195 mm) o 59

5. Determine a razo entre os pesos P1 e P2 (por unidade de comprimento) de dois a eixos de mesmo material e sujeitos a um mesmo torque, sendo o eixo-1 de seo ca circular cheia e o eixo-2 de seo anular com d/D = 0,75. Resposta: (P 1/P 2 = ca 1,7737) 6. Calcular os dimetros externo e interno de um eixo de ao sujeito a um torque de a c 25 KNm, de modo que a tenso mxima de cisalhamento seja 84 MPa e o ngulo a a a de toro seja de 2, 5 graus para um comprimento de 3 m. Dado G = 84 GPa. ca Resposta: (D = 137,5 mm e d = 110,5 mm); 7. No eixo representado na gura 3.32, calcular a tenso mxima em cada trecho e o a a ngulo de toro C x A, dados: T1 = 6 KNm, T2 = 8 KNm. a ca AB alum nio, D1 = 100 mm, G1 = 28 GPa; BC lato, D2 = 60 mm, G2 = 35 GPa; a Resposta: (AB = 71,3 MPa, BC = 141,5 MPa e = 0,1318 rad)11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00

A T21,0m

B T10,60m

C

Figura 3.32: Figura do exerc 7 cio 8. No eixo representado na gura 3.33, calcular a tenso mxima em cada trecho e o a a ngulo de toro CxA. T1 = 6 KNm, T2 = 9 KNm, G = 84 GPa, D = 100 mm em a ca AB e D = 76 mm em BC. Resposta: (AB = 15,3 MPa, BC = 69,6 MPa e = 0,01163 rad)

T2

T1

A1,0m

B

0,7m

C

Figura 3.33: Figura do exerc 8 cio 9. O eixo da gura 3.34 tem seo circular com 50 mm de dimetro, movimentado ca a e pela polia em C a uma rotao de 200 rpm e movimenta duas mquinas em A (40 ca a CV) e B (25 CV). Calcular a tenso mxima em cada trecho e o ngulo de toro a a a ca BxA, dado G = 80 GPa. Resposta: (AC = 57,3 MPa, CB = 35,8 MPa e = 0,01611 rad) 10. No exerc 9, qual deveria ser a razo entre os dimetros D1 em AC e D2 em CB cio a a de modo que a tenso mxima nos dois trechos seja a mesma. Resposta: (R = 1,17) a a 60

A

C

B

1,5m

1,5m

Figura 3.34: Figura do exerc 9 cio 11. Um eixo de ao (veja gura 3.35), dimetros D1 = 80 mm em AB e D2 = 60 mm c a em BC, est sujeito a dois torques iguais a T nas sees B e C. Dado o mdulo de a co o elasticidade transversal de 82 GPa, a tenso tangencial admiss de 102 MPa e o a vel ngulo de toro CxA admiss 0, 08 rad, calcular o valor mximo admiss de a ca vel a vel T. Resposta. (T = 3, 913 KNm)T T

A1,0m

B1,5m

C

Figura 3.35: Figura do exerc 11 cio 12. Calcular o valor mximo admiss do torque T e os valores correspondentes das a vel tenses mximas e do ngulo de toro CxA, dados D = 50 mm em AB e D = o a a ca 50mm e d = 30 mm em BC, a tenso admiss = 80 MPa e o valor de G = 80 a vel GPa. Resposta: (T = 1,709 KNm, AB = 55,7 MPa, BC = 80MPa e = 0,001065 rad)111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 11 00 111111111 000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 90 cm 11 00 11 00 11 00 11 00

1,8 T

T

A

B60cm

C

Figura 3.36: Figura do exerc 12 cio

61