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Lista 1 de C´ alculo III – A – 2007-1 1 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matem´ atica GMA - Departamento de Matem´ atica Aplicada C´ alculo III –A– LISTA 1 - 2007-1 Integral dupla em retangulares. Integral dupla em polares. Aplica¸ c˜ oes geom´ etricas. Calcule as integrais dos exerc´ ıcios 1. a 4. 1. ZZ R xe xy dxdy, onde R = [0, 2] × [0, 1] 2. Z π/2 -π/2 Z 3 cos θ 0 r 2 sen 2 (θ)drdθ 3. Z 2 1 Z x 2 0 e y/x dy dx 4. ZZ R y 2 x 2 +1 dy dx, onde R = (x, y) ∈ R 2 ;0 ≤ x ≤ y ≤ 1 Nos exerc´ ıcios 5. e 6. para a regi˜ ao R dada decomponha ZZ R f (x, y) nas duas poss´ ıveis ordens de integra¸ c˜ ao. 5. R ´ e a regi˜ ao limitada pelas curvas x 2 - y 2 =1 e 3x =2y 2 . 6. R ´ e a regi˜ ao que n˜ ao contˆ em a origem e ´ e limitada pelas curvas y 2 - x 2 =1 e x 2 + y 2 = 9. Nos exerc´ ıcios 7. e 8. inverta a ordem de integra¸ c˜ ao. 7. Z 1 0 Z y+2 y 2 f (x, y) dx dy 8. Z 1 0 Z 1-y - √ 1-y 2 f (x, y) dx dy Nos exerc´ ıcios 9. a 11. calcule o volume do s´ olido limitado pelas superf´ ıcies de equa¸ c˜ oes dadas. 9. 3x +2y + z =6, x =0, y =0, z =0 10. x 2 + y 2 = b 2 ,y + z = a e z =0, onde a ≥ b> 0. 11. x =0, y =0,z =0, x + y =1 e z =1 - y 2 . 12. Use integral dupla para calcular a ´ area das regi˜ oes delimitadas pela curvas x =4 - y 2 ,x + y +2=0.. Calcule as integrais dos exerc´ ıcios 13. e 14. pela invers˜ ao da ordem de integra¸ c˜ ao. 13. Z 1 0 Z 1 y e -3x 2 dx dy 14. Z 4 0 Z 2 √ x sen y 3 dy dx 15. Z 1 0 Z 1 √ x p 1+ y 3 dy dx Use coordenadas polares para calcular as integrais dos exerc´ ıcios 16. a 20. 16. ZZ R e x 2 +y 2 dx dy, R = (x, y) ∈ R 2 ;1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 e - x ≤ y ≤ x 17. ZZ R dx dy 2 - x 2 - y 2 , R = (x, y) ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 1 18. Z a 0 Z a y p a 2 - x 2 dx dy 19. Z 4 -4 Z √ 16-x 2 - √ 16-x 2 e -x 2 -y 2 dy dx 20. Z 3 1 Z y 0 1 p x 2 + y 2 dx dy
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Lista 1 de Calculo III – A – 2007-1 1
Universidade Federal FluminenseEGM - Instituto de Matematica
GMA - Departamento de Matematica Aplicada
Calculo III – A –
LISTA 1 - 2007-1
Integral dupla em retangulares.
Integral dupla em polares.
Aplicacoes geometricas.
Calcule as integrais dos exercıcios 1. a 4.
1.
∫ ∫
Rxexydxdy, onde R = [0, 2] × [0, 1]
2.
∫ π/2
−π/2
∫
3 cos θ
0
r2 sen2(θ)drdθ
3.
∫
2
1
∫ x2
0
ey/xdy dx
4.
∫∫
R
y2
x2 + 1dy dx,
onde R ={
(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
}
Nos exercıcios 5. e 6. para a regiao R dada decomponha
∫∫
Rf(x, y) nas duas possıveis ordens de
integracao.
5. R e a regiao limitada pelas curvas x2 − y2 = 1 e 3x = 2y2.
6. R e a regiao que nao contem a origem e e limitada pelas curvas y2 − x2 = 1 e x2 + y2 = 9.
Nos exercıcios 7. e 8. inverta a ordem de integracao.
7.
∫
1
0
∫ y+2
y2
f(x, y) dx dy 8.
∫
1
0
∫
1−y
−
√1−y2
f(x, y) dx dy
Nos exercıcios 9. a 11. calcule o volume do solido limitado pelas superfıcies de equacoes dadas.
9. 3x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0 10. x2 + y2 = b2, y + z = a e z = 0, onde a ≥ b > 0.
11. x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1 e z = 1 − y2.
12. Use integral dupla para calcular a area das regioes delimitadas pela curvas x = 4− y2, x + y + 2 = 0..
Calcule as integrais dos exercıcios 13. e 14. pela inversao da ordem de integracao.
13.
∫
1
0
∫
1
ye−3x2
dx dy 14.
∫
4
0
∫
2
√
xsen y3 dy dx 15.
∫
1
0
∫
1
√
x
√
1 + y3 dy dx
Use coordenadas polares para calcular as integrais dos exercıcios 16. a 20.
16.
∫∫
Rex2+y2
dx dy, R ={
(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 16 e − x ≤ y ≤ x
}
17.
∫∫
R
dx dy
2 − x2 − y2, R =
{
(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 1
}
18.
∫ a
0
∫ a
y
√
a2 − x2 dx dy
19.
∫
4
−4
∫
√
16−x2
−
√
16−x2
e−x2−y2
dy dx
20.
∫
3
1
∫ y
0
1√
x2 + y2dx dy
Lista 1 de Calculo III – A – 2007-1 2
21. Calcule
∫ ∫
D
√
x2 + y2 dx dy, sendo o semicırculo D = (x, y) ∈ R2; (x − 1)2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0
22. Calcule o volume do solido que nao contem a origem e e limitado pelo grafico de z = 4 − r2, pelocilindro r = 1 e pelo plano z = 0.
23. Calcule o volume do solido interior a esfera z2 + r2 = 16 e ao cilindro r = 4 cos θ.
24. Calcule a area da regiao R ={
(x, y) ∈ R2; x2 + (y − 1)2 ≤ 1, x2 + y2 ≥ 1
}
25. Calcule o volume da regiao do espaco no primeiro octante, compreededida entre os cilindros x2+y2 = a2
e x2 + z2 = a2, a constante positiva.
26. Calcule o volume do elipsoide x2 + y2 + 4z2 ≤ 4.
27. Calcule a area da regiao R ={
(x, y) ∈ R2; 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 1
}
.
RESPOSTAS DA LISTA 1
1. e2 − 3 2.12
53. e2 −
3
24.
π
12−
1
6+
1
6ln 2
5.
∫
1
0
∫
√3x/2
−
√3x/2
f(x, y) dy dx +
∫
2
1
∫
√3x/2
√
x2−1
f(x, y) dy dx +
∫
2
1
∫
−
√
x2−1
−
√3x/2
f(x, y) dy dx =
=
∫
√
3
−
√
3
∫
√y2+1
2y2/3
f(x, y) dx dy
6.
∫
2
−2
∫
−
√
x2+1
−
√
9−x2
f(x, y) dy dx +
∫
2
−2
∫
√
9−x2
√
x2+1
f(x, y) dy dx =
∫
−
√
5
−3
∫
√9−y2
−
√9−y2
f(x, y) dx dy +
∫
−1
−
√
5
∫
√y2
−1
−
√y2−1
f(x, y) dx dy +
∫
√
5
1
∫
√y2
−1
−
√y2−1
f(x, y) dx dy +
∫
3
√
5
∫
√9−y2
−
√9−y2
f(x, y) dx dy
7.
∫
1
0
∫
√
x
0
f(x, y) dy dx +
∫
2
1
∫
1
0
f(x, y) dy dx +
∫
3
2
∫
1
x−2
f(x, y) dy dx
8.
∫
0
−1
∫
√
1−x2
0
f(x, y) dy dx +
∫
1
0
∫
1−x
0
f(x, y) dy dx
9. 6
10. πab2 − 3
11.5
12
12.56
3
13.e3 − 1
6e3
14.1 − cos(8)
3
15.2
9(2√
2 − 1)
16.π
4(e16 − 1)
17. π ln 2
18.a3
3
19. π(
1 − e−16)
20. 2 ln(√
2 + 1)
21.16
9
22.9π
2
23.128
3
(
π −4
3
)
24.π
3+
√3
2
25.2a3
3
Lista 1 de Calculo III – A – 2007-1 3
26.16π
327.
5π
6+ 1 −
√3
