1a. Lista de Exercıcios de MAT 3110

BMAC - IMEUSP - 1o. sem. 2010 - Turma 54

Profa. Maria Izabel Ramalho Martins

1. (Para que funcao de varias sentencas?) O calculo do imposto de renda de pessoa fısicado ajuste anual do ano/base de 2009 e ano calendario de 2010 e feito da seguinte forma: depoisde algumas deducoes sobre o total de rendimentos anuais, chega-se a um valor denominado base decalculo. Sobre a base de calculo aplica-se uma alıquota e, do resultado obtido, deduz-se uma parcela.A alıquota e a parcela dependem da base de calculo conforme a tabela abaixo:

base de calculo alıquotas parcela a deduzirate R$ 17.215,08 isento 0

acima de R$ 17. 215,08 e ate R$ 25. 800,00 7, 5% R$ 1. 291,00acima de R$ 25. 800,00 e ate R$ 34. 400,40 15 % R$ 3. 226,13acima de R$ 34. 400,40 e ate R$ 42. 984,00 22, 5% R$ 5. 806,00

acima de R$ 42. 984,00 27, 5% R$ 7. 955,00

Seja f(x) o valor do imposto devido quando a base de calculo for x reais. De uma expressao paraf(x) e esboce seu grafico. Qual o papel da parcela a deduzir?

2. Um loja compra camisetas a R$ 5,00 a unidade. A loja revende 100 camisetas por mes, cobrandoR$ 18,00 por unidade. Para estimular a venda, a loja planeja reduzir o preco de venda. Estima-seque para cada reducao de R$ 1,00 no preco, a loja vendera 25 camisetas a mais por mes. Expresseo lucro mensal L em funcao do preco a que as camisetas sao vendidas; desenhe o grafico e estime opreco de venda otimo.

3. Seja n > 1 um numero inteiro e a, b, x numeros reais. Mostre que

a. an−bn = (a− b) (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · ·+ a2 bn−3 + a bn−2 + bn−1) = (a− b)(∑n

j=1 an−j bj−1).

b. x− b =(

5√

x− 5√

b) (

5√

x4 +5√

x3 5√

b +5√

x2 5√

b2 + 5√

x5√

b3 +5√

b4).

c.(

3√

x + 1 − 3√

x) (

3

√(x + 1)2 + 3

√x + 1 3

√x +

3√

x2)

= 1.

d. Quando n e ımpar, an + bn = (a + b) (an−1 − an−2 b + an−3 b2 − · · ·+ a2 bn−3 − a bn−2 + bn−1) =

=(a + b)(∑n

j=1(−1)j−1an−j bj−1)

1

4. Usando o ex. 3, determine a expressao a ser colocada em (· · ·) para que a igualdade seja verdadeira.

a. x− 27 = ( 3√

x − 3) (· · ·). b. x2 + x =(√

2x2 + 1−√

x2 − x + 1)

(· · ·)

c. x4 =(

4√

x4 + 1− 1)

(· · ·) d. x + 2 =(

3√

x + 3√

2)

(· · ·)

5. Para cada uma das funcoes abaixo, determine o domınio e esboce seu grafico.

a. f(x) =√

x + 1 b. f(x) =1 + x

xc. f(x) =

√x2

d. f(x) =√−x e. f(x) = 3

√x f. f(x) = x− |x |

g. f(x) = |x2 − 1| h. f(x) = | cos x | i. f(x) = | 2x + 2 | − 2

j. f(x) = x3 − 3 k. f(x) =x3 − 2x− 4

x− 2l. f(x) =

{x2 + 1, se x < 1x + 1, se x ≥ 1

m. f(x) =

x2 − 1

x− 1, se x 6= 1

5, se x = 1n. f(x) =

x− 3

x2 − 9+ 2 o. f(x) = (x + 3)4 − 3

p. f(x) = tg x

6. Tente esbocar o graficos das funcoes:

a. y = x3 − x b. y = x3 − x2 c. f(x) =

{1, se x e racional0, se x e irracional

d. f(x) = sen1

x

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