SEL 0410 – Eletricidade e Magnetismo 1° semestre de 2011 Lista de exercícios n° 1 (Eletrostática – Potencial Elétrico) Professor: João Bosco A. London Junior

Eletrostática – Lei de Coulomb 1) Em cada vértice de um triângulo eqüilátero de lado igual a “l” existe uma carga “q”. Determine o módulo da força que atua sobre qualquer uma das três cargas em função de “l”, de “q” e de “ε0”.

Resposta: 20

2

4.3 lqF πε=

2) Uma certa carga “Q” deve ser dividida em duas: “q” e “Q-q”.Qual a relação entre “Q” e “q”, para que a repulsão Coulombiana entre as partes seja máxima?

Resposta: Qq21

=

3) Duas cargas positivas iguais, “Q”, estão fixas e separadas por uma distância 2a. A força sobre uma pequena carga teste positiva, “q”, a meio caminho entre as duas, é nula. Deslocando-se a carga teste de uma pequena distância, seja (a) em direção a uma das cargas fixas, ou (b) perpendicularmente à reta que une essas cargas, determine a direção da força sobre “q”. O equilíbrio será estável ou instável, em cada um dos casos? Resposta: (a)Em direção à posição original: estável (b)Para longe da posição original: instável. 4) Uma carga pontual “Q1 = 2mC”, está localizada, no vácuo, em P1(-3;7;-4), enquanto que a carga “Q2 = -5 mC se localiza em P2(2;4;-1). Determine a força que age em: (a)Q2; (b)Q1.

Resposta: (a) KNazayax .956,0.956,0.594,1 −+− ;

(b) KNazayax .956,0.956,0.594,1 +− .

5) Para a configuração de cargas mostrada na Figura 1, calcule a força que atua sobre q1.

Campo Elétrico – Lei de Coulomb

6) A distância entre duas cargas puntiformes nCq 121 += e nCq 122 −= é igual a 0,10m, conforme indicado na figura 2 (esse conjunto de duas cargas iguais de sinais diferentes recebe o nome de Dipolo Elétrico). Determine o campo elétrico produzido por q1, e o campo elétrico produzido por q2 e o campo elétrico resultante (a) no ponto “a”; (b) no ponto “b”; e (c) no ponto “c”. Resposta: (a) axCNxE a )/108,9( 4= ; (b) axCNxEb )/102,6( 4−= ; (c) axCNxcE )/109,4( 3=

15 cm

10 cm θ

q3

q2q1

Onde: q1= -1x10-6C q2= 3x10-6C q3= -2x10-6C θ = 300

Figura 1

7) Um condutor de forma de anel com raio “a” possui uma carga “Q” distribuída uniformemente ao longo dele (figura 3). Determine o campo elétrico em um ponto “P” situado sobre o eixo do anel a uma distância “x” de seu centro.

Resposta: axxQE 2

041πε

=

8) A figura 4 mostra uma parte de uma linha infinita de cargas, cuja densidade linear (isto é, a carga por unidade de comprimento, medida em C/m) tem o valor constante + λ. Calcule o campo a uma distância y da linha. Resposta: yE

02πελ=

Lei de Gauss 4) Uma esfera de raio “R” está imersa num campo elétrico uniforme de módulo E. Estime: (a) o fluxo elétrico total através da esfera, (b) o fluxo para a parte da esfera na qual o vetor E entra na esfera, (c) o fluxo para a parte da superfície em que o vetor E sai da esfera. Resposta: (a) 0; (b) ER2π− , (c) ER2π . 5) Faz-se uma separação de cargas num condutor originalmente descarregado, pela aproximação de um bastão carregado positivamente, como mostra a figura 5. Que se pode dizer, partindo da Lei de Gauss, a respeito do valor do fluxo “φE” para cada uma das cinco superfícies fechadas apresentadas? Suponha que a carga negativa no condutor seja igual, em módulo, à carga positiva existente no bastão. Resposta: Considerando + q a carga no bastão φS1 = q / ε0; φS2 = - q / ε0; φS3 = q / ε0; φS4 = 0; φS5 = q / ε0; 6) A figura 6 mostra uma carga puntiforme de 1 x 10-7 C, no centro de uma cavidade esférica de 3 cm de raio existente num pedaço de metal descarregado. Use a Lei de Gauss para obter o valor do campo elétrico no ponto “a”, eqüidistante entre a carga e a superfície, e no ponto “b”. Resposta: 4 x 106 N / C, Zero. 7) Uma esfera não condutora, de raio “a”, é colocada no centro de uma casca esférica condutora, de raio interno “b” e raio externo “c”, como na figura 7. Uma carga +Q está distribuída uniformemente através da esfera interior (densidade “ρ” , C/m3). A casca externa tem carga – Q. Calcule E(r), (a) dentro da esfera (r < a); (b) entre a esfera e a casca (a < r < b); (c) dentro da casca (b < r < c); (d) fora da casca (r > c); (e) Quais são as cargas que surgem na superfície interna e externa da casca?

Resposta: (a) ra

QE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 3

04πε;(b)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= 24 0r

QEπε

; (c) Zero; (d) Zero;(e) Interna – Q; externa zero.

8) Determine o campo elétrico a uma distância “r” de um plano infinito com uma densidade superficial de cargas constante “+ σ” (carga por unidade de área, C/m2). Resposta:

02εσ=E

9) Duas placas metálicas paralelas possuem densidades superficiais de cargas uniformes, +σ e -σ, respectivamente, localizadas em suas superfícies internas. Qual o valor de “E” para pontos (a) à esquerda das placas, (b)entre elas, (c)à direita das placas? Considere apenas pontos afastados das bordas e cuja distância às placas é pequena, comparada com as dimensões das mesmas. Resposta: (a)Zero, (b)

0εσ=E para a direita, (c)Zero.

10) Duas extensas placas isolantes, uniformemente carregadas com a mesma densidade superficial +σ, estão dispostas paralelamente uma à outra. Qual o valor de “E” para pontos (a) à esquerda das placas, (b) entre elas, (c) à direita das placas? Considere apenas pontos afastados das bordas e cuja distância às placas é pequena, comparada com as dimensões das mesmas. (sugestão: O valor de E num ponto qualquer é a soma vetorial dos campos elétricos devido a cada uma das placas separadamente). Resposta: (a)

0εσ=E para a esquerda,(b)E = 0, (c)

0ε

σ=E para a direita.

11) A seção reta do condutor indicado na figura 8 possui uma carga total de +3nC. A carga no interior da cavidade, isolada do condutor, é igual a –5nC. Qual deve ser a carga existente em cada superfície (interna e externa) do condutor? Resposta: Interna q = +5nC, externa q = -2nC.

Potencial Elétrico – Energia Potencial 12) A densidade de carga de uma superfície plana é σ = 1 x 10-7 C/m2. Qual a separação entre duas

superfícies equipotenciais correspondentes a uma diferença de potencial de 5 Volts? Resposta: 0,89 mm.

• q = -5nC +

++

+

++

+++

+

+

+

Figura 8

• • q1 q2

• •

• c

a b

13 cm 13 cm

4 cm 6 cm 4 cm

Figura 2

P

x

y

a α

Figura 3

dQ ds

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

• P

y

dx

Figura 4

• + q •

• b

a

Figura 6

a

b c

Figura 7 Casca esférica condutora

+ + + + +

_ _ _ _ _

+ + + + +

S1 S2

S3

S5

S4

Figura 5

13) Um ponto P1 está a uma distância “r1 = 2 m” de uma carga “q = 800 pC”. Outro ponto P2 está a

uma distância “r2 = 5 m” da mesma carga “q”. (a) Calcule o potencial elétrico na metade da distância entre P1 e P2. (b) Determine a diferença de potencial "V1-V2", onde V1 é o potencial elétrico no ponto P1 e V2 é o potencial elétrico no ponto P2.

Resposta: (a) 2,06 V; (b) V1 - V2 = 2,16 V. 14) Seja uma carga puntiforme q = 1 x 10-6 C. Considere os pontos diametralmente opostos A e B,

distantes de q, respectivamente, 2 m e 1 m, como mostra a figura 9. (a) Qual o valor da diferença de potencial VA - VB? (b) Repita o cálculo para os pontos A e B da figura 10.

Resposta: (a) - 4500 V; (b) O mesmo que (a) porque o potencial é uma quantidade escalar. 15) Três cargas iguais estão dispostas nos vértices de um triângulo equilátero de lado igual a "L". (a)

Calcule a energia necessária para retirar uma das cargas do triângulo e transportá-la até uma distância infinita. (b) Encontre a energia potencial eletrostática deste sistema de cargas, (c) Se forças externas deslocassem cada uma das três cargas da posição de equilíbrio inicial até que a distância mútua entre as três cargas se tornasse infinita, qual seria o trabalho total realizado por estas forças?

Resposta: (a) Lq

0

2

2πε ; (b) Lq

0

2

43

πε ; (c) Lq

0

2

43

πε .

16) Qual a energia potencial elétrica do sistema de cargas formado por 4 cargas dispostas nos vértices de um quadrado de lado igual a 1 m? Sendo: q1 = +1x10-8 C, q2 = -2x10-8 C, q3 = +3x10-8C e q4 = +2x10-8 C.

Resposta: - 6,4 x 10-7 J. 17) Duas cargas q = + 2 x 10-6 C estão fixas no espaço e separadas pela distância d = 2 cm, como está

indicado na figura 11. (a) Qual é o potencial elétrico no ponto C? (b) Traga uma terceira carga q = + 2 x 10-6 C muito lentamente do infinito até C. Quanto trabalho terá que efetuar? (c) Qual é a energia potencial U da configuração, quando a terceira carga se encontra no ponto desejado?

Resposta: (a) 2,5 x 106 V; (b) 5,1 J; (c) 6,9 J. 18) Qual o potencial no centro de um quadrado de lado igual a 1m? Suponha que q1 = +1x10-8 C, q2 =

-2x10-8 C, q3 = +3x10-8C e q4 = +2x10-8 C estão dispostas nos vértices do quadrado. Resposta: 509,10 volts.

• q

• B

• A

Figura 9

• q

B •

• A

Figura 10 Figura 11

• q

• O

• C

• q

½ d

½ d ½ d