8/2/2019 Lista1_parte2

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1a Lista de Exerccios - Parte 1

Algebra Linear

1. Discuta os seguintes sistemas lineares. Quando for possvel, resolva-os por escalonamento:

a)

x + y + 2z = 9

2y 7z = 17

3x + 6y 5z = 0

b)

x + y + z = 1

x y z = 2

2x + y + z = 3

c)

2x + y + 3z = 8

4x + 2y + 2z = 4

2x + 5y + 3z = 12

d)

3x y + 2z t = 0

3x + y + 3z + t = 0

x y z 5t = 0

e)

x + y + z = 4

2x + 5y 2z = 3

x + 7y 7z = 5

f)

x + y + z + w t = 0

x y z + 2w t = 0

2. Estabelecer a condicao que deve ser satisfeita pelos termos independentes (x, y, z e t), para

que sejam compatveis os sistemas:

a)

3a + 9b = x

6a + 18b = yb)

a + 2b = x

2a + b = y

a + b = z

c)

a + 3b = x

2a b = y

2a + b = z

3a + b = t

3. Determinar o valor de k, para que o sistema abaixo admita solucao nao trivial:

x y z = 0

x 2y 2z = 0

2x + ky + z = 0

4. Calcule os valores de m e n, para que as matrizes A e B sejam iguais:

a)A =

m2 40 n2 + 4

6 3

e B =

41 13

6 3

b)A =

7 8

4 m2

e B =

7 n3

4 10m 25

5. Dadas as matrizes: A =

2 3 8

4 1 6

, B =

5 7 9

0 4 1

e C =

0 9 8

1 4 6

, calcule:

a)A + B b)B + C c)A C d)X = 4A 3B + 5C e)X = 4C + 2A 6B

6. Dadas A =

2 1

0 3

e B =

3 4

5 2

, resolver:

2X Y = A

5X 6Y = A + B

7. Demonstre as propriedades que se seguem:

a)A, B Mmn(R), A + B = B + A

b)A Mmn(R) e , R, ()A = (A)

c)A, B Mmn(R) e R, (A + B) = A + B

d)A, B Mmn(R) e C Mnp(R), (A + B)C = AC + BC

e) R, A Mmn(R) e B Mnp(R), (AB) = (A)B = A(B)

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f)A, B Mmn(R), (A + B)t = At + Bt

g)A Mmn(R) e R, (At) = At

h)A Mmn(R) , (At)t = A.

8. Sejam A =

1 1 20 3 4

, B =

4 0 3

1 2 3

, C = 2 3 0 15 1 4 2

1 0 0 0

e D =

21

3

. Encontre, caso existam, os produtos: AB, AC, AD, DC, BC e CB.

9. Dadas A =

1 2 6

e B =

5 3 2

, obter ABt e BtA.

10. Obter todas as matrizes que comutam com A, isto e, encontre todas as matrizes B M2(R)

tais que AB = BA, se:

a)A =

3 1

3 1

b)A =

3 0

0 3

11. Mostre que se A =

2 3

1 4

, entao A2 6A + 5I2 = 0.

12. Mostre que toda matriz da forma

1 1

1

, com = 0, e solucao da equacao matricial

X2 = 2X.

13. Decida se cada informacao que se segue e falsa ou verdadeira. Se verdadeira, demonstre-a e se

falsa, de um contra-exemplo:

a) Se AB = AC e A = 0, entao B = C.

b) Para toda matriz quadrada A, A + At e simetrica.

c) Para toda matriz quadrada A, A At e anti-simetrica.

d) Para toda matriz A, AAt e simetrica.

14. Mostre que:

a) Se A, B Mn(R) sao inversveis, entao AB e inversvel e (AB)1 = B1A1.

b) Se A Mn(R) e inversvel e R \ {0}, entao A e inversvel e (A)1 = 1

A1.

15. Verifique se as seguintes matrizes sao inversveis e, em caso positivo, determine suas inversas:

a)

1 2

2 2

b)

1

2

3

2

3

2

1

2

c)

1 0 22 1 3

4 1 8

d)

1 2 1 4

2 0 0 5

1 6 3 7

0 2 0 1