UFABC - fevereiro/maio de 2011

Fenômenos Térmicos: segunda lista de exercícios

Esses problemas constituem um conjunto mínimo de exercícios que devemser resolvidos pelos estudantes para o acompanhamento adequado da segundaparte dessa disciplina. Também estão sendo propostos alguns problemasadicionais, marcados com ***, que representam desa�os para os estudantes!

Equipartição da energia; livre caminho médio

1. Considere n moles de um gás ideal constituído por moléculas com fgraus de liberdade ativos a uma dada temperatura T . Mostre que:

a) a energia interna total do sistema é Eint = fnRT/2;b) o calor especí�co molar a volume constante é cV = fR/2;c) o calor especí�co molar a pressão constante é cP = (f + 2)R/2.d) qual a razão γ = cP/cV ?

2. Um mol de oxigênio (O2) é aquecido a pressão constante a partir datemperatura T = 0 ◦C. Qual a quantidade de calor que deve ser adicionadaa esse gás para duplicar o seu volume? Suponha que as moléculas do gástenham rotações, mas que a temperatura não seja su�cientemente alta paraque elas também possam ter vibrações.

3. Suponha que 6 moles de um gás ideal diatômico, com rotação molecularmas sem oscilações, experimentem um aumento de temperatura de 120K emcondições de pressão constante.

a) Qual a quantidade de calor adicionada ao gás?b) Qual o aumento da energia interna do gás?c) Quanto trabalho realizado feito pelo gás?d) Calcule o aumento da energia cinética translacional desse gás.

4. Em um dado experimento um certo gás é mantido em uma câmaranuma pressão de 2× 10−6 mmHg e temperatura de 290K.

a) Calcule o número de moléculas por centímetro cúbico dentro da câmarasupondo que o gás seja ideal.

b) Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás sob essas condiçõesquando o diâmetro molecular for de aproximadamente 10−8 cm (raio deBohr).

1

5. Moléculas de hidrogênio, de 10−8 cm de diâmetro, escapam de umforno a uma temperatura de 4000 K e entram numa câmara contendo átomosde argônio, com diâmetro de 3×10−8 cm e densidade de 4×1019 atomos/cm3.

(a) Qual a velocidade típica das moléculas de hidrogênio que saem doforno?

(b) Qual a distância mínima de aproximação dos átomos de hidrogênio ede argônio (que podem ser considerados como esferas rígidas)?

(c) Qual o número inicial de colisões por unidade de tempo sofridas pelasmoléculas de hidrogênio?

Distribuição de velocidades; integrais gaussianas

6. Um certo gás com N partículas tem uma distribuição de módulo davelocidades p (v) dada por

p (v) =

cv0v, para 0 ≤ v ≤ v0,

c, para v0 ≤ v ≤ 2v0,cv0

(3v0 − v), para 2v0 ≤ v ≤ 3v0,

0, para v ≥ 3v0.

onde c e v0 são constantes.a) Expresse a constante c em termos de N e v0.b) Quantas moléculas têm velocidades entre 1, 5v0 e 2v0?c) Expresse a velocidade média das moléculas em termos de v0.d) Encontre a velocidade média quadrática, vmq, isto é, o valor médio do

módulo das velocidades ao quadrado.

7. *** Mostre que

I(a) =

ˆ +∞

−∞e−ax

2

dx =(πa

)1/2.

Sugestão: é mais fácil calcular o quadrado da integral, [I(a)]2, e fazer umatransformação nas duas variáveis de integração, digamos (x, y), para coorde-nadas polares, (r, θ), com r2 = x2 + y2.

Note que você pode considerar a como uma nova variável e tomar aderivada de I (a),

d

daI(a) =

d

da

ˆ +∞

−∞e−ax

2

dx =

ˆ +∞

−∞−x2e−ax2dx,

2

onde trocamos a ordem das operações de derivação e de integração, queatuam sobre variáveis distintas (como se diz, derivamos sob o sinal de inte-gração). Então ˆ +∞

−∞x2e−ax

2

dx =1

2a

(πa

)1/2.

Utilize esses resultados, e a distribuição de Maxwell-Boltzman,

Nv/N = 4π

[m

2πkBT

] 32

v2e− mv2

2kBT

para mostrar que

(a) v =

ˆ ∞0

vNv

Ndv =

√8kBT

πme

(b) v2 =

ˆ ∞0

v2Nv

Ndv =

3kBT

m.

8. Mostre que a velocidade mais provável de uma molécula de um gásobedecendo a distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzman é dada por

vmp =

√2kBT

m.

Observe que a velocidade mais provável corresponde ao ponto em que a in-clinação da curva da distribuição de velocidades é nula.

9. A baixíssimas temperaturas certos átomos podem apresentar um com-portamento bastante exótico, o que leva a uma nova forma de matéria con-hecida como condensado de Bose-Einstein. Experimentos de aprisionamentoe congelamento de átomos podem criar gases de rubídio, e outros átomos, combaixa densidade, a temperaturas da ordem de nanokelvins (1 nK = 10−9 K).Esses átomos são aprisionados e congelados em uma armadilha composta deum campo magnético e de lasers em câmaras de ultra-vácuo. Um dos méto-dos que são usados para medir a temperatura do gás armadilhado consisteem desligar a armadilha e medir o tempo que as moléculas levam para cairuma dada distância! Considere um gás de átomos de rubídio (de massa mo-lar M = 85, 47 g/mol) a uma temperatura de 120 nK. Calcule o tempo que

um átomo levaria, viajando com uma velocidade vmq =√v2, para cair uma

distância de 10 cm, nas seguintes condições:

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a) com o átomo se movendo diretamente para baixo;b) com o átomo se movendo diretamente para cima.Suponha que não haja colisões ao longo da trajetória.

Calor especí�co; expansão adiabática e livre

10. A pressão constante de 1 atm, o volume de 0, 002 mol de certo gásideal varia de 50 cm3 a 100 cm3 quando se adicionam 20, 9 J de energia naforma de calor.

(a) Qual a variação da energia interna desse gás?(b) Qual o valor do calor especício a volume constante? E do calor es-

pecí�co a pressão constante?

11. Um container armazena uma mistura de três gases não interagentes:n1 moles do primeiro gás com calor especí�co molar a volume constante CV 1,e assim por diante. Encontre o calor especí�co molar a volume constante damistura em termos dos calores especí�cos molares e das quantidades dos trêsgases separados.

12. Num gás diatômico ideal CV = 5R/2. Um mol desse gás tem pressãoP e volume V . Quando o gás é aquecido, sua pressão triplica e o volumeduplica. Se esse processo de aquecimento incluir dois passos, um deles apressão constante e o outro a volume constante, determine a quantidade decalor transferido para o gás.

13. Um gás ideal inicialmente à pressão p0 realiza uma expansão livre(adiabática, sem trabalho externo) até um volume �nal que é três vezes ovalor do volume inicial.

a) Qual é a pressão do gás depois da expansão livre?b) Suponha que o gás seja então comprimindo de forma lenta e adiabática

de volta ao seu volume inicial. A pressão depois da compressão é√

3p0. Essegás é monoatômico, diatômico ou poliatômico?

14. Um gás diatômico expande-se adiabaticamente até um volume 1.35vezes maior que seu volume inicial. A temperatura inicial é de 18 oC. En-contre a temperatura �nal.

15. Mostre que as seguintes relações valem para uma expansão reversíveladiabática de um gás ideal:

TV γ−1 = constante

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eTP

1γ−1 = outra constante.

Com isso, considere a bola de fogo da bomba de �ssão de urânio que consistede uma esfera de gás de 12 m de raio e temperatura de 310000 K, imedi-atamente após a detonação. Supondo que a expansão seja adiabática e quea bola de fogo permaneça esférica, estime o seu raio quando a temperaturafor de 3000 K (suponha que γ = 1, 4). Qual o valor do raio da bola de fogoquando a temperatura for 300 K?

16. *** Uma nuvem interestelar, constituída de um gás ideal, colapsacom seu raio R decrescendo de acordo com a expressão

R = 1013

(−t218

) 23

,

onde o tempo t é medido em anos. Note que t = 0 para R = 0 de modo que té sempre negativo. Essa nuvem colapsa isotermicamente, a uma temperaturade 12 K, até seu raio atingir 1013 m. Ela então se torna opaca, e o colapso apartir desse ponto se realiza adiabática (γ = 5/3) e reversivelmente. Quantosanos levará para a temperatura subir 1000 K medidos a partir do tempo emque a nuvem alcança um raio de 1013 m?

17. Uma câmara termicamente isolada contém n1 moles de gás hélio auma alta pressão P1 e a temperatura T1. A partir de determinado instante,aciona-se uma pequena válvula e o gás começa a escapar muito lentamentepara o ambiente da atmosfera, cuja pressão é P0. Mostre que a temperatura�nal dos n2 moles restantes na câmara é dada por

T2 = T1

(P0

P1

)1− 1γ

com n2 = n1

(P0

P1

) 1γ

.

Quais as hipóteses adicionais que estão sendo feitas para obter esse resultado?

18. *** Imagine que a troposfera do planeta Terra possa ser representadapelo modelo de um gás ideal, de massa molarM e razão de calores especí�cosCp/Cv = γ. A absorção da luz solar na superfície da Terra aquece a troposferaa partir da parte inferior, produzindo correntes verticais de convecção queestão continuamente misturando o ar. À medida que uma parcela de ar sobe,a sua pressão cai esse gás se expande. Essa parcela de ar realiza trabalho

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sobre suas vizinhanças, com diminuição de sua energia interna e decréscimode temperatura. Considere que esse processo de mistura do ar seja tão rápidoque posso ser considerado adiabático.

a) Mostre que a grandeza TP (1−γ)/γ tem um valor uniforme nas camadasda troposfera.

b) Diferenciando em relação à altitude y, mostre que a taxa de declínioatmosférico é dada por

d T

d y=T

P

(1− 1

γ

)dP

d y.

c) Uma camada inferior de ar deve sustentar o peso das camadas supe-riores. A partir da equação P = P0 − ρgy, onde P0 é a pressão na alturazero, ρ a densidade do ar e g a aceleração da gravidade, observe que o equi-líbrio mecânico da atmosfera requer que a pressão diminua com a altitude deacordo com a expressão diferencial

dP

d y= −ρg.

A profundidade da troposfera é pequena comparada ao raio da Terra, demodo que você pode considerar que a aceleração de queda livre seja uniforme.Mostre que a taxa de declínio atmosférico é dado por

d T

d y= −

(1− 1

γ

)Mg

R.

Entropia, segunda lei e máquinas térmicas

19. Determine a variação total de entropia quando um cubo de gelode 27 g, a −12 oC, é transformado a pressão constante em vapor d'água atemperatura de 115 oC.

20. Um iceberg de 100000 kg a −5 oC separa-se da calota polar e �utuapara longe no oceano, a 5 oC. Qual será a variação na entropia desse sistemadepois que o iceberg estiver completamente derretido? O calor especí�co dogelo é 2010 J/kg ◦C.

21. Um mol de hidrogênio gasoso é mantido no lado esquerdo de umrecipiente isolado termicamente, constituído por dois compartimentos iguais

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ligados por uma válvula. Inicialmente o compartimento do lado direito estátotalmente vazio. Liga-se então a válvula permitindo que o gás possa �uirpara o lado direito. Qual a variação total da entropia quando o sistemaatinge o estado de equilíbrio? Há alguma variação de temperatura?

22. Um mol de um gás ideal monoatômico é submetido ao seguinte ciclo:transformação isocórica (volume constante), com volume Vb = 10−3 m3, deum ponto a até o ponto b, onde a pressão é pb = 10 atm; expansão adiabáticado ponto b até o ponto c, onde o volume é Vc = 8Vb; transfomação isobárica,de c até a, fechando o ciclo. Calcule:

a) o calor adicionado ao gás no processo;b) o calor que o gás libera para o meio ambiente processo;c) o trabalho líquido realizado pelo gás e a e�ciência do ciclo.

23. Um mol de um gás monoatômico ideal, inicialmente à pressão de1 atm e com um volume de 0, 025 m3, é aquecido até um estado �nal compressão de 2 atm e volume de 0, 04 m3. Determine a variação da entropia dogás neste processo.

24. Considerando um refrigerador ideal de Carnot, mostre que o trabalhorealizado pelo motor, W , relaciona-se com o calor absorvido do reservatóriofrio, Qf , e as temperaturas dos reservatórios frio e quente, Tf e Tq, respecti-vamente, da seguinte forma

|W | = |Qf |Tq − TfTf

.

a) Qual o coe�ciente de rendimento para um refrigerador cujas bobinasde refrigeração estejam na temperatura de −13 oC, e o gás comprimido nocondesador tenha a temperatura de 26 oC?

b) Se o motor do refrigerador estiver trabalhando com potência de 200W , qual é a quantia máxima de calor que pode ser extraída do congelador

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em dez minutos quando a sua temperatura for de 270 K e a temperatura doexterior for de 300 K?

25. Uma máquina de Carnot funcionando entre as temperaturas T1 e T2(T1 > T2) fornece trabalho a um refrigerador de Carnot que trabalha entreas temperaturas T3 e T4 (T3 > T4). Encontre a razão entre o calor liberadopelo refrigerador para o reservatório na temperatura T3 e o calor absorvidodo reservatório à temperatura T1 pela máquina, isto é, |Q3|/|Q1|, em termosdas quatro temperaturas dadas.

26. Durante uma expansão adiabática reversível de um gás ideal, apressão e o volume obedecem a relação PV γ = constante. Mostre que otrabalho feito por um gás que se expande do estado (P1, V1) até o estado(P2, V2) é dado por

W =P1V1 − P2V2

γ − 1.

27. No ponto A de um ciclo de Carnot, 2, 34 moles de um gás idealmonoatômico têm uma pressão de 1400 kPa, volume de 10 litros e temper-atura de 720 K. Esse sistema expande-se isotermicamente até o ponto B, edepois continua se expandindo adiabaticamente até o ponto C, onde o seuvolume é de 24 litros. Uma compressão isotérmica leva o sistema ao pontoD, onde o volume passa a ser de 15 litros. Finalmente o gás volta ao pontoA através de um processo adiabático.

a) Determine todas as pressões, volumes e temperaturas desconhecidosna tabela abaixo

P (kPa) V (l) T (K)A 1400 10 720BC 24D 15

b) Encontre a energia adicionado pelo calor, o trabalho realizado pelamáquina e a mudança na energia interna para cada uma das etapas, A→ B,B → C, C → D, e D→ A.

c) Calcule o rendimentoWmaq/|Qabs|. Demonstre que ele é igual ao rendi-mento da máquina de Carnot.

28. Um mol de um gás ideal monoatômico é submetido ao seguinte ciclo:expansão isobárica à pressão p0, de um ponto a onde o volume é V0 até o

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ponto b onde volume é 4V0; transformação isocórica, do ponto b até o pontoc onde a pressão é 2p0; compressão do ponto c de volta ao ponto a.

a) Quanto trabalho é realizado pelo gás partindo de a até c na trajetóriaabc?

b) Quais são as mudanças na energia interna e na entropia indo de b atéc?

c) Quais são as mudanças na energia interna e na entropia quando serealiza o ciclo completo?

Expresse todas as respostas em termos da pressão p0, do volume V0 e datemperatura inicial T0 no ponto a.

29. Um sistema �uido com n moles de uma molécula com f graus deliberdade é submetido a um processo de aquecimento, passando de um estadoinicial (Pi, Vi) para um estado �nal (Pf , Vf ). Mostre que a variação daentropia do gás é dada por

∆S = nR ln

[(PfPi

)f/2(VfVi

) f2+1].

30. Em 1827, Robert Stirling, um clérigo escocês, inventou a máquina

de Stirling, para a qual desde então se encontraram muitas aplicações. Ocombustível é queimado externamente para aquecer um dos dois cilindros damáquina. Uma quantidade �xa de gás inerte move-se ciclicamente entre oscilindros, expandindo-se no cilindro quente e se contraindo no frio. A �guraabaixo representa um modelo para seu ciclo termodinâmico. Considere nmoles de um gás monoatômico ideal que está atravessando uma vez o ciclo,consistindo de dois processos isotérmicos às temperaturas 3Ti e Ti e de doisprocessos a volume constante. Determine, em termos de n, R e Ti, o calorlíquido transferido ao gás e a e�ciência da máquina.

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31. *** O ciclo de Otto na �gura abaixo modela a operação do motorde combustão interna de um automóvel. Uma mistura de vapor de gasolinae ar é injetada em um cilindro enquanto o pistão abaixa durante o curso O→ A da entrada. O pistão sobe para a extremidade fechada do cilindro paracomprimir adiabaticamente a mistura no processo A → B. O parâmetror = V1/V2 é a razão de compressão do motor. Em B a gasolina é in�amadapela vela; a pressão eleva-se rapidamente enquanto a gasolina se queima noprocesso B → C. No curso de potência C → D, os produtos da combustãose expandem adiabaticamente enquanto forçam o pistão para baixo. Os pro-dutos da combustão esfriam mais ainda em um processo isocórico D → A eno curso A→ O da exaustão, quando os gases de exaustão são eliminados docilindro. Suponha que um único valor da razão de capacidades calorí�cas γcaracteriza tanto a mistura ar-combustível quanto os gases de exaustão apósa combustão. Prove que o rendimento do motor é dado por

η = 1− r1−γ.

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Interpretação estatística da entropia; entropia do universo.

32. Considere o lançamento de três dados. Construa uma tabela com onúmero de microestados correspondentes a cada macroestado possível. Quaissão os macroestados mais prováveis? Em termos de entropia qual o macroes-tado mais desordenado? E o mais ordenado?

33. Duas quantidades iguais de água, de mesma massa m mas a tem-peraturas diferentes, T1 e T2, são misturadas adiabaticamente, a pressãoconstante. Mostre que a mudança de entropia no universo é dada por

∆Suniv. = 2mCP ln

(T1 + T2

2√T1T2

),

onde CP é o calor especí�co da água a pressão constante. Mostre tambémque

∆Suniv. > 0.

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