7/23/2019 Lista2- Vibracoes

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Lista + Memorial de Clculo - Lista 2 - Vibraes Mecnicas

Aluno: Gabriel de Sousa Rangel dos Santos - UnED Itagua - 2015.2

Exerccio 1

k1 k2 2 kassociao de molas em paralelo nas laterais esquerdae direita

Aplicando a 2a Lei :

-m z

..

2 kz B

2 2 kz B

2 I

IGx ..

2 kz B2

B2

2 kz B2

B2

II

mz..

4 kz 0

IGx ..

kB2 0

m 0

0 IGx z

..

..

4 k 0

0 kB2 z

0

0

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z(t)=Z

jt

A matriz K diagonal, com todos os elementos fora da diagonal sendo termos nulos, o que indica

que ambos os modos de vibrao so desacoplados. Assim, podemos calcular as frequncias

naturais dos modos diretamente das respectivas equaes.

m 8; k 100000; igy 0.1133; L 0.5; igx 0.04; B 0.3;

Modo 1

12

4 k

mrad/s

11 Sqrt4 k m N

223.607

z(t)=1

0

Modo 2

22

kB2

IGxrad/s

21 Sqrtk B ^ 2 igx

474.342

z(t)=0

1

Exerccio 2

k3 k4 2 kassociao de molas em paralelo nas partes frontal e traseira

2 Lista2- Vibracoes.nb

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Aplicando a 2a Lei :

-m z..

2 k

z

2 L

5

2 k

z

3 L

5

I

IGy ..

2 kz B2

B2

2 kz B2

B2

II

mz..

4 kz 2

5kLz 0

IGy ..

2

5kLz

26

5kL2 0

m 0

0 IGyz

..

..

4 k 2

5

kL

2

5kL

26

5kL2

z

00

Sabemos que det2M

K

)=0

o SolveDet w ^ 2 m, 0, 0, igy

4 k, 2 5 k L, 2 5 k L, 26 5 k L ^ 2 0, w

w 1071.35,w 222.706,w 222.706,w 1071.35

Frequncia natural do primeiro modo12 w . o3

222.706

Frequncia natural do segundo modo

22 w . o4

1071.35

Modo 1

Solvem 12^2 z1 2 5 k L 1 0, z1

z1 0.0504053 1

z (t)=0, 0504

1

Lista2- Vibracoes.nb 3

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Modo 2

Solvem 22^2 z2 2 5 k L 2 0, 2

2 459.119 z2

z (t)=1

459, 12

Exerccio 3

Neste caso, preciso considerar o sistema tridimensionalmente, e cada mola contribui com umafora de magnitude diferente.

Foras nas molas:

mola 1: F1= kz B2 2 L

5

mola 2: F2= kz B2 2 L

5

mola 3: F3= kz B2 2 L

5

mola 4: F4= kz B2 2 L5

Aplicando a 2a Lei :

-m z..

F1 F2 F3 F4 I

IGx ..

F1B

2 F2

B

2 F3

B

2 F4

B

2II

IGy ..

F1 2 L5 F22 L

5 F3 3 L5 F4

3 L

5 III

4 Lista2- Vibracoes.nb

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m 0

0 IGx

0 0

0

0

IGy

z ..

..

..

4 k 0

0 B2

2 kL

50

2 kL

5

0

26

5kL2

z

0

0

0

Matriz das massas

M Transposem, 0, 0, 0, igx, 0, 0, 0, igy

8, 0, 0,0, 0.04, 0,0, 0, 0.1133

M MatrixForm

8 0 0

0 0.04 0

0 0 0.1133

Matriz de rigidez

K Transpose4 k, 0, 2 k L 5, 0, B^2, 0, 2 k L 5, 0, 26 k L ^ 2 5

400 000, 0, 20 000.,0, 0.09, 0,20 000., 0, 130 000.

K MatrixForm

400 000 0 20 000.

0 0.09 020 000. 0 130 000.

Determinao das frequncias dos 3 modos

U SolveDet ^ 2 M K 0, , WorkingPrecision MachinePrecision

1071.35, 222.706, 1.5, 1.5, 222.706, 1071.35

1 . U5

222.706

3 . U6

1071.35

OBS. : 2 a frequncia natural de vibrao da 2a equao,

que est desacopladadepende somente de.2 . U4

1.5

Lista2- Vibracoes.nb 5

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Determinao dos modos de vibrao

Z1 1, 0, ; Z2 0, 1, 0; Z3 z, 0, 1;

R1 1 ^ 2 M K.Z1; R3 3 ^ 2 M K.Z3;

S SolveR11 0; R12 0;

R13 0, , WorkingPrecision MachinePrecision

0.160797

novo . S1

0.160797

Z1subst 1, 0, novo

1, 0, 0.160797Z2subst 0, 1, 0

0, 1, 0

R SolveR31 0; R32 0;

R33 0, z, WorkingPrecision MachinePrecision

z 0.00227729

znovo z . R1

0.00227729

Z3subst znovo, 0, 1

0.00227729, 0, 1

Determinao da Matriz Z

Z TransposeZ1subst, Z2subst, Z3subst

1, 0, 0.00227729,0, 1, 0, 0.160797, 0, 1

Determinao da Matriz de massa reduzida

Mr TransposeZ.M.Z

8.00293, 0., 1.86656 1014,0., 0.04, 0., 1.86656 1014, 0., 0.113341

6 Lista2- Vibracoes.nb

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Mr MatrixForm

8.00293 0. 1.86656 1014

0. 0.04 0.

1.86656 1014 0. 0.113341

Mrmod 8.00293, 0, 0, 0, 0.04, 0, 0, 0, 0.113341

8.00293, 0, 0,0, 0.04, 0,0, 0, 0.113341

Normalizao pela massa

S1 Solvec1^2 8.00293 1, c1

c1 0.353489,c1 0.353489

c1novo c1 . S12

0.353489

S2 Solvec2^2 0.04 1, c2

c2 5.,c2 5.

c2novo c2 . S22

5.

S3 Solvec3^2 0.113341 1, c3

c3 2.97034,c3 2.97034

c3novo c3 . S32

2.97034

Determinao de Ze K

Z

Transposec1novo Z1subst, c2novo Z2subst, c3novo Z3subst

0.353489, 0., 0.00676432,0., 5., 0., 0.0568399, 0., 2.97034

K Z .K.Z

49 598., 0., 9.69749 1010,0., 2.25, 0., 9.74978 1010, 0., 1.1478 106

49598.0044192315`, 0.`, 9.697487257653847`*^-10, 0.`, 2.25`, 0.`,

9.74978320300579`*^-10, 0.`, 1.1478032294337738`*^6

49 598., 0., 9.69749 1010,0., 2.25, 0., 9.74978 1010, 0., 1.1478 106

K

MatrixForm

49 598. 0. 9.69749 1010

0. 2.25 0.

9.74978 1010 0. 1.1478 106

Lista2- Vibracoes.nb 7

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q Z

.M

2.82791, 0., 0.00643996,0., 0.2, 0.,0.0541145, 0., 0.33654

q MatrixForm

2.82791 0. 0.00643996

0. 0.2 0.

0.0541145 0. 0.33654

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