Lista 4 de Álgebra

Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

1. Veri�que quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada.

(a) (Z−,+)

(b) (Z+, ·)(c) P = {x ∈ Z/ x é par }, adição(d) I = {x ∈ Z/ x é ímpar }, multiplicação

(e) A = {−2, −1, 0, 1, 2}, adição(f) B = {−1, 1}, multiplicação

(g) (Z2,△), onde (a, b)△(c, d) = (ac, bd)

2. Mostre que o conjunto E = {a+ b√2 ∈ R∗/ a, b ∈ Q} é um grupo multiplicativo abeliano.

3. Considere o conjunto dos números reais munido da operação x ∗ y = x + y − 3. Mostre que (R, ∗) é um

grupo abeliano.

4. No conjunto C∗ está de�nida uma operação △ tal que a△b = |a| · b. Mostre que esta operação não de�ne

uma estrutura de grupo sobre C∗.

5. Sejam A um conjunto não vazio e RA o conjunto das aplicações de A em R. De�nimos uma �adição� e

uma �multiplicação� em RA da seguinte maneira: para toda f, g ∈ RA

(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ A

(f · g)(x) = f(x) · g(x), ∀x ∈ A.

Mostre que (RA,+) é grupo. Por que (RA, ·) não é grupo, em geral?

6. Sejam S um conjunto, (G,△) um grupo e f : S → G uma aplicação bijetora. Para cada x, y ∈ S de�na o

produto x ∗ y = f−1(f(x)△f(y)). Mostre que essa multiplicação de�ne uma estrutura de grupo sobre S.

7. Sejam (G, ∗) e (J,△) grupos quaisquer. Mostre que G×J tem estrutura de grupo em relação à lei de�nida

por:

(x, y) ⊥ (a, b) = (x ∗ a, y△b), ∀x, a ∈ G e ∀y, b ∈ J.

8. Construa a tábua da operação ∗ sobre G = {e, a}, sabendo que (G, ∗) é um grupo.

9. Construa a tábua da operação ∗ sobre G = {e, a, b}, sabendo que (G, ∗) é um grupo.

10. Complete a tabela abaixo, sabendo que G = {e, a, b, c} é um grupo em relação a esta operação.

* e a b c

e e a b c

a a

b b c

c c e a

1

11. Sejam as aplicações F1, F2, F3, F4 de R2 em R2 de�nidas da seguinte maneira: F1(x, y) = (x, y),F2(x, y) = (−x, y), F3(x, y) = (x,−y) e F4(x, y) = (−x,−y). Se G = {F1, F2, F3, F4}, mostre que

(G, ◦) é um grupo. Além disso, determine F ∈ G tal que F1 ◦ F2 ◦ F ◦ F3 = F−14 .

12. Construa a tábua de um grupo G = {e, a, b, c, d, f}, de ordem 6, sabendo que:

(I) G é abeliano; (IV) a ∗ c = b ∗ b = d;(II) o neutro é e; (V) a ∗ d = b ∗ c = f ;(III) a ∗ f = b ∗ d = e; (VI) c ∗ d = a.

13. Sejam G um grupo multiplicativo qualquer e a, b, c ∈ G.

(a) Prove que (abc)−1 = c−1b−1a−1.

(b) Determine x ∈ G tal que abcxb = c.

14. Veri�que se são subgrupos:

(a) {1+2m1+2n / m, n ∈ Z}, de (Q∗, ·)

(b) {cos θ + i sin θ/ θ ∈ Q}, de (C∗, ·)(c) {z ∈ C/ |z| = 1}, de (C∗, ·)

15. Sabendo que Q− {1} é um grupo relativamente a operação ∗ de�nida por: x ∗ y = x+ y − xy, veri�quese A = {0, ±2, ±4, · · · } é um subgrupo deste grupo.

16. Mostre que as matrizes do tipo

(cos a sin a− sin a cos a

), com a ∈ R, constituem um subgrupo do grupo

multiplicativo das matrizes reais e inversíveis de ordem 2.

17. O conjunto Rn, para todo n ∈ Z, n ≥ 1, é de�nido da seguinte forma Rn = {(a1, a2, · · · , an)/ ai ∈ R}.

(a) Mostre que Rn tem uma estrutura de grupo para adição assim de�nida:

(a1, a2, · · · , an) + (b1, b2, · · · , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, · · · , an + bn).

(b) Veri�que se são subgrupos de (Rn,+) :

i. H1 = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn/ a1 + a2 + · · ·+ an = 0}ii. H2 = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn/ a1 ∈ Z}iii. H3 = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn/ a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an}

18. Determine todos os subgrupos do grupo aditivo Z4.

19. Prove que se H1 e H2 são subgrupos de um grupo G, então H1 ∩H2 é um subgrupo de G.

20. Prove que se H1 e H2 são subgrupos de um grupo G, então H1 ∪H2 é um subgrupo de G se, e somente

se, H1 ⊂ H2 ou H1 ⊃ H2.

21. Mostre que H ⊂ Z é subgrupo aditivo de Z se, e somente se, existem ∈ H de modo que H = {km/ k ∈ Z}.

22. Seja G um grupo e a um elemento de G. Prove que N(a) = {x ∈ G/ ax = xa} é um subgrupo de G.

23. Sejam G um grupo e H um subgrupo. Seja x ∈ G e seja xHx′ o subconjunto de G formado por todos os

elementos xhx′ com h ∈ H. Mostre que xHx′ é um subgrupo de G.

24. Sejam (G, ∗) um grupo, a um elemento de G e σa : G → G a aplicação tal que σa(x) = a ∗ x ∗ a′. Mostre

que o conjunto de todas as aplicações σa com a ∈ G, ou seja, o conjunto

I(G) = {σa : G → G/ σa(x) = a ∗ x ∗ a′ : a ∈ G},

é um grupo com a composição de aplicações.

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