Lista de Exercícios 3 — Probabilidades 0303200Escola Politécnica, Ciclo Básico

1o semestre 2017

1) Um equipamento tem tempo de vida T com distribuição normal, valor esperado de 40 horas e desvio padrão10 horas. Considere um conjunto desses equipamentos, e suponha que os tempos de vida dos equipamentossão variáveis independentes. Suponha que um equipamento é instalado e usado até falhar, quando é entãosubstituído por um novo.a) Você compra 5 equipamentos, cada um ao custo de $100,00. Se os dois primeiros equipamentos utilizadosdurarem menos que 20 horas, o fornecedor lhe devolve o valor total pago ($500,00). Qual é a receita esperadado fornecedor?b) Assumindo que há 25 equipamentos em estoque, qual a probabilidade de se possa obter um tempo devida total superior a 1100 horas?

Resposta: a) 499,5; b) 0,0228.

2) Uma loja de automóveis de luxo tem a seguinte função de probabilidade do número de vendas por semana:

x 0 1 2 3P(X = x) 0,25 0,25 0,25 0,25

Considere um conjunto de N pessoas em que todas compraram automóveis. Para cada uma dessaspessoas que comprou automóvel, considere ainda o evento “a pessoa comprou blindagem”. Suponha queesses N eventos sejam independentes (dado que as N pessoas compraram automóveis). Suponha tambémque a probabilidade de uma pessoa comprar blindagem, dado que ela pertence ao grupo de pessoas quecomprou automóvel, é 0,60. Seja Y o número de compradores em uma semana que solicitaram blindagens.a) Determine a distribuição conjunta de X e Y .b) Determine P(X > Y ).c) Determine a função de probabilidade marginal de Y .

Resposta: a) Veja tabela abaixo; b) 0,456; c) P(Y = 0) = 0,406, P(Y = 1) = 0,342, P(Y = 2) = 0,198,P(Y = 3) = 0,054.

↓ y\x→ 0 1 2 30 0,25 0,1 0,04 0,0161 0 0,15 0,12 0,0722 0 0 0,09 0,1083 0 0 0 0,054

3) Uma faculdade de administração verificou, com base em sua experiência ao longo dos anos, que 1/3dos alunos ingressantes concluem o curso. Com base nessa hipótese aprova 450 alunos no vestibular, poisconsidera que o número ideal de alunos numa turma seja 150 alunos. Calcule a probabilidade de que maisde 160 dos 450 ingressantes conclua o curso (use aproximação pela normal).

Resposta: 0,1587 (usando normal de mesma esperança e variância).

4) A função densidade conjunta de variáveis aleatórias X e Y é

f(x,y) =

{2e−xe−2y para x ≥ 0, y ≥ 0,0 caso contrário.

a) Calcule P(X > 1,Y < 1).b) Calcule P(X < Y ).c) Calcule Cov(X,Y ).

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RESOLUÇÃO NA PÁGINA 06

Resposta: a) 1/e− 1/e3; b) 1/3; c) 0.

5) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson com parâmetros λ1 e λ2,calcule P(X = k|X + Y = n) para quaisquer números naturais k e n, com k ≤ n.

Resposta:(nk

)λk1λ

n−k2 /(λ1 + λ2)n.

6) Em uma lanchonete há apenas duas entradas, ambas para atendimento drive-through. Cada entradasitua-se em uma rua, com atendimento das 12 às 22 horas. Na rua A as chegadas de clientes obedecem auma distribuição de Poisson com taxa de 20 clientes por hora. Na entrada pela rua B, os clientes chegamtambém com distribuição de Poisson e taxa de 15 clientes a cada meia hora. As chegadas são independentes.Em um período de 15 minutos constatou-se que chegaram 17 clientes à lanchonete. Qual a probabilidade deque 7 clientes tenham chegado pela rua A?

Resposta: 0,19267 (use resposta da questão anterior).

7) A pontuação de Aldo no boliche é normalmente distribuída com esperança 170 e desvio padrão 20,enquanto a de Bruno é normalmente distribuída com esperança 160 e desvio padrão 15. Se ambos jogamum jogo cada, e supondo que as pontuações obtidas sejam independentes, determine:a) a probabilidade de que a pontuação de Bruno seja menor do que a pontuação de Aldo;b) a probabilidade de que o total de pontos supere 350.

Resposta: a) 0,6554; b) 0,2119.

8) Sejam duas variáveis aleatórias contínuas independentes X e Y sobre as quais sabe-se que E(X) = 10,σ(X) = 10, σ(Y ) = 10 e E(proposition) = 60. Define-se uma nova variável W dada por W = X2 + Y 2.Quanto vale E(W )?

Resposta: 336.

9) A tabela abaixo mostra a probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y .

y1 y2 y3 y4

x1 0,125 a 0,10 0,125x2 0,05 0,06 b 0,05x3 c 0,09 0,06 0,075

Para que as duas variáveis sejam independentes, quais os valores de a e b e c?

Resposta: 0,15, 0,04, 0.075.

10) Seja (X,Y ) uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidades é dada na seguinte tabela.

y1 = 1 y2 = 2 y3 = 3

x1 = 1 8k 6k 7kx2 = 2 5k 3k 6kx3 = 3 0 1k 4k

Para Z = XY , qual é a esperança condicional E(Z|Y = 2)?

Resposta: 3.

11) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas SEM reposição. Seja Xo número de bolas vermelhas e Y o número de bolas pretas. Calcular a covariância Cov(X,Y ).

Resposta: −9/25.

12) O eixo de um motor precisa ter um determinado comprimento e diâmetro; uma vez que o motor esteja

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montado, é possível medir o diâmetro do eixo, mas não o seu comprimento. Uma empresa produz eixos,cujos diâmetros e comprimentos estão distribuídos como descrito na tabela abaixo.

Diâmetro (↓) / Comprimento (→) 10 cm 11 cm 12 cm 13 cm5mm 0,01 0,02 0,05 0,016mm 0 0,05 0,4 0,057mm 0,02 0,03 0,02 0,048mm 0,05 0,1 0,1 0,05

Dado que para um certo motor montado notou-se que o eixo tem o diâmetroD = 6mm, qual é a probabilidadedo comprimento ser C = 12cm?

Resposta: 0,8.

13) Um criador de frangos compra pintinhos a R$0,10 cada um e ração a R$200,00 por tonelada. Vendeos frangos criados, prontos para o abate, por R$1,00/kg para o frigorífico. Cada frango come, durante suafase de crescimento, uma quantidade de ração segundo uma distribuição normal de esperança 10kg e desviopadrão 2kg, independentemente de seu peso final. O custo fixo de criação dos frangos é de R$0,10 por frango(água, energia elétrica, mão de obra, manutenção, etc...). Os frangos ficam prontos para o corte com umpeso médio de 2,5kg e variância de 0,09 kg2. Qual a probabilidade de um frango escolhido ao acaso dar lucroao produtor na hora da venda?

Resposta: 0,7257.

14) As variáveis aleatórias X e Y têm densidade conjunta

fXY (x,y) =

{x+ y, se 0 ≤ x,y ≤ 1,0, caso contrário.

a) Calcule a probabilidade de X < Y 2.b) Calcule a densidade marginal de X.c) X e Y são independentes? Justifique.d) Suponha que você saiba agora que ocorreu o evento A = {X = 0,5}. Qual é a probabilidade de B ={Y ≥ 0,5} dado A?

Resposta: a) 7/20; b) x+ 1/2 para 0 ≤ x ≤ 1; c) não; d) 5/8.

15) Considere duas variáveis X e Y , independentes, e ambas com distribuição geométrica com parâmetrop = 1/3. Considere também duas variáveis W = X + Y e Z = X − Y + 3.a) Obtenha P(W ≥ Z).b) Obtenha P(Z = 4|W = 3).c) Obtenha o valor de FW,Z(2,3) (F é a função de distribuição cumulativa).

Resposta: a) 4/9; b) 1/4; c) 23/81.

16) Dizemos que uma variável Z distribuição Gama com parâmetros α e β quando sua densidade é

f(z) =βα

Γ(α)zα−1e−βz,

para z > 0 (e igual a zero para outros valores de z), onde a função Γ(z) é:

Γ(z) =

∫ ∞0

uz−1e−udu.

Uma propriedade interessante dessa função é que Γ(z) = (z − 1)! para z inteiro. A distribuição Gama émuito usada em estatística e suas propriedades são diretamente ligadas a seus parâmetros; por exemplo, aesperança de Y é α/β e a variância de Y é α/β2.

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Considere uma variável aleatória X, com densidade conditional dado Y , ou seja f(X|Y ), igual a umadensidade exponencial com parâmetro Y . Considere também que Y tem distribuição Gama com parâmetrosα e β iguais a 2.

Obtenha a densidade condicional de de Y dado X = 1.

Resposta: densidade da distribuição Gama com parâmetros α = β = 3.

17) Considere duas variáveis aleatórias independentes X e Y , as duas com distribuição exponencial comparâmetro igual a 1.a) Qual é a probabilidade do evento X ≥ Y ?b) Considere a variável Z = 3X − 4Y . Qual é a variância de Z?

Resposta: a) 1/2; b) 25.

18) Em um experimento científico, a variável X mede a temperatura de um sistema, e tem distribuiçãonormal com esperança 1 e variância 16. A laboratório onde ocorre o experimento pode aguentar um sistemacom temperatura até um valor Y . Sabe-se que se X for maior que Y , o laboratório explodirá. Ocorreque Y também varia, e tem distribuição normal com esperança 6 e variância 9. As variáveis X e Y sãoindependentes. O experimento é um sucesso se X tem valor menor que zero.a) Qual a probabilidade do experimento ser um sucesso? [1.0]b) Qual a probabilidade do laboratório explodir? [1.5]

Resposta: a) 0,4013; b) 0,1587.

19) Considere duas variáveis aleatórias X e Y, independentes, sendo: E(X) = 1; E(Y ) = −2; E(X2) = 4;E(Y 2) = 6. Definem-se duas novas variáveis aleatórias U e Z, dadas por: U = Y − 2X e Z = 2Y +X.a) Encontre V (X), V (Y ) e Cov(X,Y ).b) Encontre V (U), V (Z), Cov(U,Z).

Resposta: a) 3, 2, 0; b) 14, 11, -2.

20) Duas variáveis contínuas aleatórias X e Y tem densidade de probabilidade expressa por:

fX,Y (x,y) =

{2(x+ y), 0 < x < y < 1;0 caso contrário.

a) Obtenha a função densidade de probabilidade marginal de X.b) Calcule a probabilidade P(X < 1/2).c) Obtenha a densidade condicional de Y dado X.

Resposta: a) 1 + 2x− 3x2 para 0 < x < 1; b) 5/8; c) 2(x+ y)/(1 + 2x− 3x2) para 0 < y < 1.

21) O tempo de vida de um componente elétrico é uma variável aleatória com distribuição exponenciale com valor médio de 50 horas. Quando o componente falha, é imediatamente substituído por um outrocomponente do mesmo tipo. Dispõe-se de 100 componentes iguais e independentes. Considere a aproximaçãode distribuição normal para o conjunto de componentes.a) Qual a probabilidade de que se ainda tenha em operação um componente depois de um total de 5250horas de operação?b) Considere o caso no qual o tempo de substituição do componente falho é uma variável aleatória, que segueuma distribuição uniforme entre 0 e 6h, com valor esperado 3h e variância 1/3 h2. Qual a probabilidade deque todos os 100 componentes já tenham falhado no instante 5500 horas?

Resposta: a) 0,3085; b) 0,6550.

22) Um médico considera que fumar influencia a probabilidade de uma pessoa ter câncer. Além disso,experimentos demonstram que a predisposição genética é relevante para o aparecimento de câncer. Denotepor X a variável aleatória que tem valor 1 se Maria fuma e 0 caso contrário. Denote por Y a variável aleatóriaque tem valor 1 se Maria tem predisposição genética e 0 caso contrário. Assuma a hipótese que fumar e terpredisposição genética são variáveis aleatórias independentes. Denote por Z a variável aleatória que tem valor1 se Maria tem câncer e valor 0 caso contrário. Estudos revelam que P (Z = 0|X = x, Y = y) = 1/(2x+y+1),

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P (X = 1) = 0,3, P (Y = 1) = 0,1.a) Obtenha a probabilidade de Maria ter câncer.b) Obtenha a probabilidade de Maria fumar dado que Maria tem predisposição genética.c) Obtenha a probabilidade de Maria ter predisposição genética dado que Maria tem câncer.

Resposta: a) 0,2375; b) 0.3; c) 0,242105.

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