Liv Ro Varia Vel Complex A

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“LIVROM˜1” 2006/4/27 page 1 alculo em uma uma vari´ avel complexa Marcio G. Soares
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    Calculo em uma

    uma variavel complexa

    Marcio G. Soares

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    Para Cristina

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    Prefacio

    Esse pequeno texto e orientado para um curso de graduacao ou de nive-lamento, introduzindo o basico e o minimamente essencial da teoria defuncoes de uma variavel complexa. Nosso ponto de vista ao escreve-loteve por foco discorrer sobre topicos da Teoria de Cauchy da maneiramais elementar possvel, sem prejuizo do mnimo de rigor necessarioao entendimento correto de alguns resultados sobre funcoes holomor-fas. Os pre-requisitos exigidos sao um curso usual de Calculo Real (umae duas variaveis), um curso, tambem usual, de Geometria Analtica eAlgebra Linear e um pouco de treino na leitura de argumentos de cu-nho matematico. Com o objetivo de torna-lo um texto o mais indepen-dente possvel, alguns conceitos relativos ao Calculo Real sao revistos noCaptulo 2, onde tambem e revisto o Teorema de Green. E inevitavel,levando em conta a nossa proposta para essas notas, que uns poucosresultados sejam admitidos sem demonstracao. Quanto a esses, nossaescolha recaiu sobre o Teorema de Jordan, o Criterio de Convergenciade Cauchy e o Teorema dos Compactos Encaixantes. Finalmente, enten-demos que deveriamos apresentar pelo menos um resultado nao obvioe ilustrativo do ambiente complexo; escolhemos o teorema de caracte-rizacao dos biholomorfismos do disco unitario.

    Quanto ao texto propriamente dito, nossa pretensao foi a de escre-ver um que exigisse algum trabalho do professor ao ministrar um cursosobre o assunto. O publico alvo pode ser uma turma de estudantes deEngenharia, ou de graduacao em Matematica ou Fsica e, para cadauma dessas, o conteudo deve ser trabalhado de maneira distinta. Nanossa experiencia, perante uma turma de Engenharia a apresentacao doassunto deve enfocar exemplos que ilustrem os resultados e nao prio-ritariamente as demonstracoes. Da a exigencia sobre o professor poiscabe a ele, e nao ao texto, elaborar os exemplos interessantes para opublico em questao. E claro que exemplos ilustrativos sobre cada assuntotratado sao apresentados, porem esses sao, propositalmente, em numeroessencial. Uma razao para tal e que um excesso de exemplos no textoinduz o estudante a se concentrar mais neles do que nos resultados. Alemdisso, e sempre melhor exemplificar respondendo a`s duvidas dos alunosao inves de pretender saber a priori quais serao elas (uma atitude que

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    pode significar para eles um curso desinteressante). Ja para alunos deMatematica ou de Fsica recomendamos uma abordagem mais rigorosa.O texto possibilita isso, inclusive apresenta alguns resultados para seremtrabalhados, pelos alunos, na forma de seminarios (citamos o apendice doCaptulo 4, a demonstracao completa do teorema de Laurent, o teoremade Casorati-Weierstrass, o teorema de Rouche, o Lema de Schwarz esuas consequencias). Quanto aos exerccios, esses variam desde muitosimples a dificeis e compete ao professor escolher aqueles mais adequadosaos seus alunos e propor outros. Evitamos apresentar longas listas deexerccios repetitivos pois o bom aluno tende a querer fazer todos eles,o que muitas vezes significa perda de tempo. Optamos tambem por naoapresentar aplicacoes a` Fsica ou Engenharia, pois essas demandariamdiscorrer longamente sobre topicos alheios ao objetivo central do textoe, alem disso, sao vistas em disciplinas tpicas dessas areas, ja com aroupagem inerente a elas.

    Marco de 1999

    Para essa 4a edicao, algumas pequenas correcoes e modificacoes fo-ram feitas, o unico destaque sendo a introducao da secao 5 do Captulo6, sobre uma interpretacao dinamica do resduo.

    Janeiro de 2006

    Marcio G. SoaresDep. Matematica

    ICEx - UFMG

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    Conteudo

    Captulo 1: Numeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

    1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    2 O corpo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Representacao polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    Captulo 2: Calculo no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1 Domnios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2 Limites, continuidade e diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    Captulo 3: Funcoes Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1 Funcoes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

    3 A derivada complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    4 Funcoes holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    5 A exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    6 O logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    7 Potencias arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

    8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    Captulo 4: Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    1 Sequencias e series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    2 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    Apendice: O raio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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    Captulo 5: Teoria de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

    1 Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932 Os teoremas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1073 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    Captulo 6: Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    1 A expansao de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312 Classificacao de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1433 Resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484 O teorema de Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525 Uma interpretacao dinamica do resduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566 Calculo de integrais utilizando resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    Captulo 7: Aplicacoes Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    1 Preservacao de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752 A esfera C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1813 Transformacoes de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1834 Aplicacoes conformes entre domnios de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875 Aplicacoes conformes do disco no disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

    Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

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    Numeros Complexos

    1 Introducao

    O que e um numero complexo? O adjetivo complexo e infeliz, her-dado de epocas nas quais a abstracao envolvida na compreensao dessesnumeros era considerada elevada. Atualmente sabemos que o conceitode numero real exige nvel de abstracao equivalente e, para exemplificarisso, comecamos trabalhando a mais basica ilustracao que se pode darsobre numeros complexos : a solucao da equacao

    X2 + 1 = 0 ou, o que da no mesmo, X2 = 1.

    Sabemos que sobre R nao ha solucao e somos forcados a definir umnumero i, satisfazendo i2 = 1, que resolve a equacao. Agora, oupostulamos a existencia desse numero(isso e feito em Cap. 1 Secao 2)ou invocamos a Algebra Linear elementar e saimos em busca de um entede natureza geometrica que seja a solucao procurada. Se assim fizermose olharmos para essa equacao sob a forma

    X X = I

    onde X e uma matriz 2 2 com coeficientes reais, I =(

    1 00 1

    )e e

    o produto de matrizes, entao podemos achar a solucao

    i =

    (0 11 0

    )

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    2 Numeros Complexos Cap. 1

    que geometricamente corresponde a` rotacao de um angulo reto (pi

    2ra-

    dianos) no plano R2, no sentido anti-horario.

    Como podemos ver essa rotacao i =

    (0 11 0

    )como um numero

    dentro de um conjunto que amplia o conjunto R dos reais?Primeiramente note que se ao numero real a associamos a matriz

    aI = a

    (1 00 1

    )=

    (a 00 a

    )entao temos que a` soma a + c = c + a fica

    associada a matriz(a 00 a

    )+

    (c 00 c

    )=

    (c 00 c

    )+

    (a 00 a

    )=

    (a+ c 0

    0 a+ c

    )e ao produto ac = ca corresponde(

    a 00 a

    )(c 00 c

    )=

    (c 00 c

    )(a 00 a

    )=

    (ac 00 ac

    )

    ou seja, as matrizes da forma

    (a 00 a

    )se comportam exatamente da

    mesma maneira que os numeros reais em relacao a` soma e ao produto(em linguagem mais sofisticada isso quer dizer que R e isomorfo ao corpo

    cujos elementos sao as matrizes

    (a 00 a

    )onde a R).

    Ampliamos entao o conjunto R considerando as matrizes 2 2 daforma

    aI + bi = a

    (1 00 1

    )+ b

    (0 11 0

    )

    =

    (a 00 a

    )+

    (0 bb 0

    )=

    (a bb a

    )onde a, b R. Chamamos os numerosda forma aI+0i = aI de reais eos da forma 0I + bi = bi de imaginarios. Um numeroda forma aI + bie chamado numero complexo.

    Definimos as operacoes entre numeros complexos a partir da soma edo produto de matrizes. Assim, a soma e comutativa e dada por

    (aI + bi) + (cI + di) =

    (a bb a

    )+

    (c dd c

    )

    =

    (a+ c (b+ d)b+ d a+ c

    )= (a+ c)I + (b+ d)i

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    Secao 1 Introducao 3

    com elemento neutro 0I + 0i =

    (0 00 0

    )e simetrico (aI + bi) = aI

    bi =

    (a bb a

    )e o produto e dado por

    (aI + bi).(cI + di) =

    (a bb a

    )(c dd c

    )

    =

    (ac bd (ad+ bc)ad+ bc ac bd

    )= (ac bd)I + (ad+ bc)i

    com elemento identidade 1I + 0i =

    (1 00 1

    ). Observe que

    (aI + bi).(cI + di) =

    (a bb a

    )(c dd c

    )

    =

    (c dd c

    )(a bb a

    )= (cI + di).(aI + bi)

    e o produto e comutativo.Para obter o inverso multiplicativo lembramos que uma matriz qua-

    drada e invertvel se, e somente se, o seu determinante e nao nulo e que

    det

    (a bb a

    )= a2 + b2 se anula apenas para a = b = 0. Portanto, um

    numero complexo aI+bi tem um inverso multiplicativo desde que a 6= 0ou b 6= 0, isto e, aI + bi 6= 0I + 0i e nesse caso

    (aI + bi)1 =(a bb a

    )1=

    1

    a2 + b2

    (a bb a

    )

    =

    a

    a2 + b2b

    a2 + b2ba2 + b2

    a

    a2 + b2

    =a

    a2 + b2I +

    ba2 + b2

    i.

    Como a soma e o produto de matrizes quadradas sao operacoes as-sociativas e alem disso vale a distributividade do produto em relacao a`soma, conclumos que todas essas propriedades sao validas para a somae o produto de numeros complexos e da vem que o conjunto

    {aI + bi : a, b R}

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    4 Numeros Complexos Cap. 1

    e um corpo, chamado corpo dos numeros complexos e representadopor C.

    Vamos agora simplificar a notacao. Vimos que fazer corresponder

    ao numero a R a matriz diagonal(a 00 a

    )nao introduziu nenhuma

    modificacao no que diz respeito a` soma e ao produto. Por outro lado,com essa identificacao i2 = i i = I corresponde ao numero real 1.Logo, podemos simplesmente omitir o Iem aI + bi e associar i2 a1, lembrando sempre das formulas para a soma e para o produto denumeros complexos. Com isso em mente escrevemos

    C = {a+ bi : a, b R}mas, como o produto e comutativo, temos bi = ib e tambem podemosescrever um numero complexo a + bi como a + ib. Observe que somosnaturalmente levados a colocar i =

    1.Pois bem, o que fizemos ate agora foi resolver a equacao X2 = 1

    e a partir da obtivemos o corpo C dos complexos. E se tivessemosconsiderado uma outra equacao polinomial? Teriamos obtido um outrocorpo, talvez mais complexo? A resposta e nao e constitui uma paginaimportante da Matematica. Ela foi dada por Carl Friedrich Gauss, ma-tematico alemao que na sua tese de doutoramento em 1799 demonstrouo Teorema Fundamental da Algebra, segundo o qual qualquer equacaopolinomial sobre o corpo C tem solucao. Nos ocuparemos da demons-tracao desse teorema mais adiante, apos desenvolvermos os instrumentosanalticos necessarios.

    2 O corpo C

    2.1 Definicao.1 Um numero complexo z e um par ordenado de nume-ros reais z = (x, y) satisfazendo as seguintes regras de manipulacaopara a soma e o produto:

    (1) z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).

    (2) z1z2 = (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + y1x2).A soma e o produto tem as seguintes propriedades:

    1Essa definicao e devida ao matematico irlandes William R. Hamilton e apareceuem 1837, embora muito anteriormente varios matematicos ja houvessem trabalhadocom numeros complexos como pontos no plano.

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    Secao 2 O corpo C 5

    (3) comutatividade: z1 + z2 = z2 + z1 e z1z2 = z2z1.

    (4) associatividade: (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) e (z1z2)z3 = z1(z2z3).

    (5) (0, 0) e elemento neutro aditivo: z + (0, 0) = z para todo z com-plexo.

    (6) (1, 0) e identidade multiplicativa: z(1, 0) = z para todo z com-plexo.

    (7) todo z = (x, y) tem um simetrico aditivo, o numeroz = (x,y),ou seja, (x, y) + (x,y) = (0, 0).

    (8) todo z = (x, y) 6= (0, 0) tem um inverso multiplicativo, o numero(x

    x2+y2, yx2+y2

    ), ou seja, (x, y)

    (x

    x2+y2, yx2+y2

    )= (1, 0).

    (9) distributividade do produto em relacao a` soma:

    z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.

    Todas essas propriedades decorrem de (1),(2) e do fato de que elassao validas para a soma e o produto de numeros reais. Um conjuntomunido de uma soma e de um produto para os quais valem (3) a (9) echamado um corpo. Conclumos que os numeros complexos formam umcorpo, que e representado pelo smbolo C.

    O numero complexo (x, 0) e identificado com o numero real x (ob-serve que, como (x1, 0)+(x2, 0) = (x1+x2, 0) e (x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0),essa identificacao e perfeitamente lcita). Dessa maneira o corpo R dosnumeros reais e visto como um subconjunto de C.

    O numero complexo (0, 1) e chamado de unidade imaginaria e repre-sentado pelo smbolo i. A propriedade notavel que o numero i satisfaze a seguinte:

    i2 = ii = (0, 1)(0, 1) = (0.0 1.1, 0.1 + 1.0) = (1, 0) = 1

    e nesse sentido podemos escrever i =1. Agora, (y, 0)(0, 1) = (0, y)

    e da

    (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = x+ yi,

    levando em conta a identificacao acima. Mas, ja que o produto e comu-tativo temos yi = iy e todo numero complexo z = (x, y) tambem pode

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    6 Numeros Complexos Cap. 1

    ser escrito como z = x + iy. Ambas notacoes serao adotadas de agoraem diante. Entre outras utilidades elas simplificam as manipulacoes comnumeros complexos. Por exemplo, para efetuar um produto usamos asregras algebricas usuais juntamente com i2 = 1:

    (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

    = x1x2 y1y2 + i(x1y2 + y1x2).Em particular, (x1 + iy1)(x1 iy1) = x12 + y12.Usamos essa igualdade para expressar quocientes de numeros com-

    plexos na forma x+ yi. Por exemplo, para reduzir

    (2 + 3i) + (1 + 7i)2 + 4i

    a` forma x+ yi, comecamos simplificando o numerador :

    (2 + 3i) + (1 + 7i)2 + 4i

    =1 + 10i

    2 + 4i.

    Em seguida reduzimos o denominador a um numero real multipli-cando numerador e denominador por

    2 4i:(

    1 + 10i2 + 4i

    )(2 4i2 4i

    )=

    (1 + 10i)(

    2 4i)2 + 16

    =

    2 + 40 + (10

    2 4)i

    18

    =

    2 + 40

    18+

    10

    2 418

    i.

    Ja sabemos que se o produto de dois numeros reais e nulo entao umdeles e nulo. Vamos usar esse resultado e mostrar que o mesmo ocorrepara numeros complexos, isto e, se z1, z2 C e z1z2 = 0 entao z1 = 0 ouz2 = 0. De fato, suponha z1 6= 0 e escreva z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2.Temos x1 6= 0 ou y1 6= 0 e (x1 +iy1)(x2 +iy2) = 0. Multiplicando ambosos lados dessa igualdade por x1 iy1 ficamos com

    0 = (x1 iy1)[(x1 + iy1)(x2 + iy2)]= [(x1 iy1)(x1 + iy1)](x2 + iy2)= (x1

    2 + y12)(x2 + iy2)

    = (x12 + y1

    2)x2 + i(x12 + y1

    2)y2

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    Secao 2 O corpo C 7

    e necessariamente

    (x12 + y1

    2)x2 = 0 e (x12 + y1

    2)y2 = 0.

    Como x12 + y1

    2 6= 0 pois z1 6= 0 temos x2 = 0 e y2 = 0 o que diz quez2 = 0 (a afirmativa acima e verdadeira num corpo qualquer).

    Tambem sabemos que o corpo R e ordenado, isto e, dados dois reaisx 6= y temos que ou x < y ou y < x. Segue do fato de R ser ordenadoque o quadrado de qualquer numero real nao nulo e positivo. Ja nocorpo C nao e possvel introduzir uma relacao de ordem compatvel coma adicao e a multiplicacao. Isso decorre da existencia do numero i quesatisfaz i2 = 1 (veja os exerccios desse captulo).

    Dado o numero complexo z = (x, y) = x+ iy chamamos ao numeroreal x de parte real de z e ao numero real y de parte imaginaria de z eescrevemos

    x = Re(z) , y = Im(z).

    Re(z) e Im(z) sao as coordenadas do ponto z no plano R2, ao qualchamaremos de plano complexo C sempre que considerarmos seus pontoscomo numeros complexos.

    O valor absoluto ou modulo de um numero real x, |x|, e definidocomo a distancia de x a 0, isto e, |x| =

    x2. Analogamente, definimos o

    modulo de um numero complexo z = x+ iy como a distancia do pontoz = (x, y) a` origem (0, 0) do plano complexo:

    |z| =x2 + y2 =

    Re(z)2 + Im(z)2.

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    8 Numeros Complexos Cap. 1

    Ja que o modulo de z foi definido a partir da nocao usual de distanciaentre pontos no plano, todas as suas propriedades se transportam ime-diatamente para o modulo, como por exemplo a desigualdade triangular:

    |z1 + z2| |z1|+ |z2| z1, z2 C.

    Por outro lado, uma vez que o corpo C consiste do plano R2 munidode uma multiplicacao conveniente, podemos obter mais propriedades domodulo introduzindo a operacao de conjugacao:

    2.2 Definicao. Dado o numero complexo z = x+ iy o conjugado de ze o numero complexo z = x iy.

    Note que z significa, geometricamente, a reflexao de z em torno doeixo horizontal (veja figura).

    A conjugacao e importante porque, entre outras informacoes, nos dizque:

    zz = (x+ iy)(x iy) = x2 + y2 = |z|2.Alem disso e facil verificar:

    x = Re(z) = 12(z + z),

    y = Im(z) = 12i(z z) = i2 (z z), z e real se e somente se z = z, z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1 z2.

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    Secao 3 Representacao Polar 9

    Usando a ultima dessas igualdades obtemos

    |z1z2|2 = z1z2z1z2 = z1z2z1 z2 = z1z1z2z2 = |z1|2|z2|2

    ou seja,

    |z1z2| = |z1||z2|.

    3 Representacao Polar

    Como um numero complexo e definido por um par ordenado de numerosreais, temos imediatamente que um tal numero esta identificado com umponto do plano cartesiano.

    Uma outra identificacao, muito util, e obtida atraves das coordenadaspolares (r, ). Recordemos que se (x, y) 6= (0, 0) e um ponto do planoentao a coordenada r desse ponto e sua distancia a` origem e a coordenada e o angulo determinado pelo segmento de reta que une o ponto a` origeme o semi-eixo positivo dos x, medido no sentido anti-horario (lembramosde uma vez por todas que medimos angulos em radianos).

    As coordenadas cartesianas e polares estao relacionadas por (vejafigura):

    x = r cos

    y = r sen

    Logo, um numero nao nulo z = x+ iy = (x, y) se escreve

    z = r cos + ir sen = r(cos + i sen ),

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    10 Numeros Complexos Cap. 1

    onde r =x2 + y2 = |z|. Esta e a chamada representacao polar ou

    forma polar de um numero complexo.

    Qualquer valor de para o qual a igualdade acima se verifica e cha-mado um argumento de z e usaremos a notacao = arg(z). Observeque nao e unico ja que, se a igualdade e verdadeira para um valor de ,tambem o e para +2kpi, k um numero inteiro arbitrario, mas podemosdeterminar de maneira unica exigindo, por exemplo, que 0 < 2piou que pi < pi.

    Exemplificando, os numeros da forma yi com y > 0 tem a repre-sentacao polar

    yi = y(cospi

    2+ i sen

    pi

    2).

    Ja os da forma x+ ix com x < 0 se escrevem

    x+ ix =

    2x(cos5pi

    4+ i sen

    5pi

    4) =

    2x(1

    2+ i

    12

    ).

    Sejam agora z e w dois numeros complexos nao nulos com repre-sentacoes polares

    z = r(cos + i sen )

    w = (cos+ i sen )

    A representacao polar do produto zw e

    zw = r(cos + i sen )(cos+ i sen )

    = r[(cos cos sen sen ) + i(cos sen + sen cos)]= r[cos( + ) + i sen ( + )]

    usando as formulas de adicao para o seno e o co-seno.

    Ja sabiamos que |zw| = |z||w| e o que conclumos de novo a partirda igualdade acima e que arg(zw) = arg(z) + arg(w), ou seja, um argu-mento do produto de dois numeros complexos e a soma dos argumentosdesses numeros. A funcao logaritmo tambem satisfaz uma propriedadeanaloga e veremos mais adiante que a representacao polar esta intima-mente relacionada com ela.

    Faca z = w no exemplo acima e obtenha

    z2 = r2[cos(2) + i sen (2)].

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    Secao 3 Representacao Polar 11

    Essa igualdade e sugestiva e nos induz a dizer que

    zn = rn(cos + i sen )n = rn[cos(n) + i sen (n)]

    qualquer que seja n N, uma afirmativa verdadeira, conhecida comoformula de De Moivre. Uma demonstracao imediata dessa formula podeser feita por inducao (o leitor deve faze-la), mas vamos nos concentrarnuma de suas aplicacoes, a extracao de raizes.

    Se z0 e um numero complexo, uma raiz n-esima (ou de ordem n) dez0 e um numero complexo z satisfazendo

    zn = z0.

    Para resolver essa equacao escreva ambos os membros na forma polar:

    z0 = r0(cos 0 + i sen 0)

    e

    z = r(cos + i sen ).

    Como

    zn = rn[cos(n) + i sen (n)]

    ficamos com

    zn = rn[cos(n) + i sen (n)] = r0(cos 0 + i sen 0) = z0.

    Primeiramente note que |zn| = |z|n = |z0|, ou seja, rn = r0 o que fornecer = r0

    1/n e a igualdade acima fica reduzida a

    cos(n) + i sen (n) = cos 0 + i sen 0.

    Como dois numeros complexos sao iguais se e somente se suas partesreais e suas partes imaginarias sao iguais temos:

    (*) cos(n) = cos 0e sen (n) = sen 0

    Usando que as funcoes seno e co-seno sao periodicas de periodo 2pi,conclumos que n = 0 + 2jpi, j Z, e da

    =0 + 2jpi

    n=0n

    +2jpi

    nj Z.

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    12 Numeros Complexos Cap. 1

    Quantos valores de fornecendo solucoes distintas de () podemosencontrar? Note que se fixamos j entao

    cos(0n

    +2jpi

    n

    )= cos

    (0n

    +2(j + n)pi

    n

    )e

    sen(0n

    +2jpi

    n

    )= sen

    (0n

    +2(j + n)pi

    n

    )logo, fazendo j = 0, 1, . . . , n 1 obtemos precisamente n solucoes

    1 =0n, . . . , j =

    0n

    +2(j 1)pi

    n, . . . , n =

    0n

    +2(n 1)pi

    n.

    Portanto as raizes n-esimas de z0 sao:

    zj = r01/n

    [cos

    (0n

    +2(j 1)pi

    n

    )+ i sen

    (0n

    +2(j 1)pi

    n

    )]

    onde 1 j n.Por exemplo, as raizes cubicas de 1 = cos 0 + i sen 0 sao

    z1 = 1,

    z2 = cos2pi

    3+ i sen

    2pi

    3=12

    + i

    3

    2

    z3 = cos4pi

    3+ i sen

    4pi

    3=12 i

    3

    2.

    Observe que z22 = z3 pois arg(z2

    2) = 2 arg(z2) = arg(z3). Escrevendoz2 = temos que essas raizes sao ,

    2 e 3 = 1.

    Mais geralmente, as raizes n-esimas de 1 sao

    zj = cos

    (2(j 1)pi

    n

    )+ i sen

    (2(j 1)pi

    n

    ), 1 j n.

    Novamente, arg(z2k) = k arg(z2) = arg(zk+1) para 2 k n 1, ou

    seja, z2k = zk+1 e fazendo = z2 = cos

    2pin + i sen

    2pin conclumos que as

    raizes de ordem n de 1 sao , 2, . . . , n1 e n = 1. Note que, comopontos no plano C, elas sao os vertices de um polgono regular de n ladosinscrito no crculo de centro 0 e raio 1.

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    Secao 4 Exerccios 13

    4 Exerccios

    1) Reduza a` forma x+ iy:

    (1 5i)2 4i; i(1+ i)+2; (3+ i)(1 11i); (

    2 i

    5)(

    5+ i

    2).

    2) Reduza a` forma x+ iy:

    3 4i2i

    ;2 + 5i

    1 + i3;(2 2i)2

    1 + i;z ziz zi .

    3) Faca um esboco e identifique os seguintes conjuntos:

    |z| = |z 2|; |z| = |z 1|; a|z| = |z 1|, a R, a 6={

    0

    1.

    4) Faca um esboco e identifique os seguintes conjuntos:

    Re(z) = Im(z 1); Im(z 1) = |z + 1|; |z| = |z 1|.

    5) Mostre que ||z1| |z2|| |z1 z2|.6) Deduza a desigualdade |z1 + z2 + z3| |z1|+ |z2|+ |z3|.7) Mostre que, se z2 6= z3, entao z1z2 + z3

    |z1|||z2| |z3|| .8) Resolva as equacoes:

    z z = 1; z + zi = 2 + i; z + 2z = 1 i.

    9) Mostre que |z1 + z2| < |1 + z1z2| desde que |z1| < 1 e |z2| < 1.10) Encontre todas as solucoes das equacoes:

    z2 = 1 i

    3; z5 = 1; z3 = 1; z7 = (1 + i).

    11) Seja P (x) = ax2 + bx + c um polinomio de grau 2 com coeficientesreais e suponha que = b2 4ac < 0. Entao, as solucoes da equacao

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    14 Numeros Complexos Cap. 1

    P (x) = 0 sao numeros complexos com parte imaginaria nao nula. Sez1 e z2 sao essas solucoes, mostre que z2 = z1. Mais geralmente, seP (x) = anx

    n + an1xn1 + + a1x+ a0 e um polinomio de grau n > 0arbitrario, com coeficientes reais, e se z0 C e tal que P (z0) = 0, entaotem-se que P (z0) = 0.

    12) Considere a equacao az2 + bz+ c = 0, onde a, b, c C. Deduza umaexpressao para as suas raizes.

    13) Deduza a formula

    1 + z + z2 + + zn1 = zn 1z 1 , z 6= 1.

    14) Use o exerccio anterior para mostrar que, se 6= 1 satisfaz a equacaon = 1, entao

    1 + + 2 + + n1 = 0.

    15) Demonstre a formula de De Moivre

    (cos + i sen )n = cosn + i sen n.

    16) Use o exerccio anterior e deduza

    cos 2 = cos2 sen 2sen 2 = 2 sen cos

    cos 3 = cos3 3 cos sen 2sen 3 = 3cos2 sen sen 3.

    17) Use o exerccio 15 para deduzir expressoes para sen 4 e para cos 4.

    18) Calcule (2 + i)(3 + i) e deduza a igualdade

    pi

    4= arctan

    1

    2+ arctan

    1

    3.

    19) Calcule (5 i)4(1 + i) e deduza a igualdadepi

    4= 4 arctan

    1

    5 arctan 1

    239.

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    Secao 4 Exerccios 15

    20) Mostre que tres pontos a, b e c no plano sao colineares se, e somentese

    det

    1 a a1 b b

    1 c c

    = 0

    21) Uma ordem num corpo K consiste em dar um subconjunto K+ deK tal que:

    (i) se x, y K+ entao x + y K+ e xy K+ (K+ e chamado oconjunto de elementos positivos) e

    (ii) dado x K entao apenas uma das possibilidades se verifica: oux K+, ou x = 0 ou x K+.

    Segue da que o quadrado de qualquer elemento nao nulo de K epositivo. De fato, se x K+ entao x2 K+ por (i). Por outro lado,se x K+ entao (x)2 = (x)(x) = x2 K+, por (i) novamente.Conclua que o corpo C nao pode admitir uma ordem.

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    Calculo no Plano

    1 Domnios

    Discutiremos brevemente os conceitos topologicos necessarios ao estudodo calculo de funcoes de uma variavel complexa. Esclarecemos que aabordagem apresentada aqui e ingenua e faz apelo a` intuicao. O leitorinteressado numa versao rigorosa deve consultar 1.

    Sejam z0 = (x0, y0) um ponto do plano complexo C e a um numeroreal positivo. O conjunto D(z0, a) formado pelos pontos z do planosatisfazendo

    |z z0| < ae chamado disco aberto ou simplesmente disco de raio a e centro z0. Jao conjunto D(z0, a) formado pelos pontos tais que

    |z z0| a

    e chamado disco fechado de raio a e centro z0. O crculo de raio a ecentro z0, notado D(z0, a), consiste precisamente dos pontos a` distanciaa de z0, ou seja, dos pontos z satisfazendo |z z0| = a. Observe queD(z0, a) e formado pelos pontos de D(z0, a), chamados de pontos inte-riores a D(z0, a) e pelos pontos do crculo D(z0, a), chamados pontosde fronteira de D(z0, a).

    Um subconjunto U do plano e um conjunto aberto se a seguintecondicao e satisfeita: dado qualquer ponto z em U podemos encontrarum real positivo a tal que o disco de centro z e raio a esta inteiramente

    1Elon Lages Lima - Espacos Metricos - Projeto Euclides - IMPA

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    Secao 1 Domnios 17

    contido em U . O conjunto vazio e aberto, por definicao. Essa nocaonos diz que se z e um ponto do aberto U , entao podemos nos mover pelomenos uma pequena distancia em qualquer direcao a partir de z semsair do conjunto. Um subconjunto V do plano e um conjunto fechado seo seu complemento C \ V e aberto e dizemos que V e limitado se todosos seus pontos estao a uma distancia finita da origem, ou seja, se existirum numero positivo R tal que |z| < R qualquer que seja z V .

    Por exemplo, o plano C e aberto, bem como o e um disco D(z0, a),onde z0 e a sao quaisquer. Tambem e aberto o conjunto {z C : Im(z) >0 e Re(z) > 0}. Ja um conjunto consistindo de um unico ponto {z0} efechado, bem como um disco fechado D(z0, a), onde z0 e a sao quaisquer.Observe que o plano C tambem e fechado, ja que o seu complemento,o conjunto vazio, e aberto, por definicao . Um crculo D(z0, a) e umconjunto fechado.

    Se U e um subconjunto do plano e z C, dizemos que z e ponto defronteira de U se todo disco de centro em z contem pontos de U e docomplemento de U . A fronteira de U e o conjunto formado pelos pontosde fronteira e sera notada U . Por outro lado, se existir um disco decentro z e raio positivo inteiramente contido em U , entao z e chamadoponto interior a U . Finalmente, dizemos que z e ponto de acumulacaode U , se vale a seguinte propriedade: qualquer que seja a > 0, o discoD(z, a) contem pelo menos um ponto de U distinto de z.

    Exemplificando, D(z0, a) e a fronteira tanto de D(z0, a) quanto deD(z0, a). Todo ponto z D(z0, a) e ponto interior tanto a D(z0, a)quanto a D(z0, a). Mais geralmente, todo ponto de um conjunto abertoU e ponto interior a U . Qualquer z D(z0, a) e ponto de acumulacaode D(z0, a) e de D(z0, a). A semi-reta (x, 0), x 0, juntamente coma semi-reta (0, y), y 0, constituem a fronteira de {z C : Im(z) >0 e Re(z) > 0}.1.1 Definicao. Um caminho suave em C e uma aplicacao

    : J Ccom derivada contnua em todos os pontos de J , onde J R e umintervalo da forma J = [a, b], a < b.

    Algumas palavras sobre essa definicao. Lembramos que dar umaaplicacao : J C significa dar duas funcoes reais x : J R ey : J R, as coordenadas de . Para cada t J esta associado o pontodo plano (t) = (x(t), y(t)) = x(t) + iy(t) e, a` medida que t percorre

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    18 Calculo no Plano Cap. 2

    o intervalo J , o vetor (t) descreve o caminho. A imagem (J) e umacurva no plano C a qual, por abuso de linguagem, tambem chamaremosde caminho. Os pontos (a) e (b) sao chamados ponto inicial e pontoterminal do caminho , respectivamente. Se (a) = (b) dizemos que e um caminho fechado. A derivada ou velocidade de em t (a, b) e ovetor (t) = x(t) + iy(t). Ja nos extremos do intervalo temos apenasderivadas laterais, isto e,

    (a) = limh0h>0

    (a+ h) (a)h

    e

    (b) = limh0ha

    (t) = (a) e limtbt

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    Secao 1 Domnios 19

    medida que t [a, b] cresce. Podemos inverter o sentido de percursodefinindo o caminho reverso de , , por

    (t) = (a+ b t) , a t b.

    O conjunto de pontos do plano descrito por esses dois caminhos e omesmo, porem os pontos inicial e terminal de um sao os pontos terminale inicial do outro, respectivamente.

    Os reversos dos caminhos (t) = ((1 t)x1 + tx2, (1 t)y1 + ty2),0 t 1, (t) = (x0 + a cos t, y0 + a sen t) e (t) = (a cos t, b sen t),0 t 2pi, sao, respectivamente:

    (t) = (tx1 + (1 t)x2, ty1 + (1 t)y2), 0 t 1,(t) = (x0 + a cos(2pi t), y0 + a sen (2pi t)) , 0 t 2pi e(t) = (a cos(2pi t), b sen (2pi t)) , 0 t 2pi.

    Consideraremos agora uma classe mais ampla de caminhos em C.

    1.2 Definicao. Um caminho suave por partes em C e uma colecaofinita de caminhos suaves 1 : [a1, b1] C, 2 : [a2, b2] C, . . . ,n : [an, bn] C, satisfazendo: i(bi) = i+1(ai+1) para 1 i n 1.

    Usaremos a notacao 1 2 n quando nos referirmos a cami-nhos suaves por partes. Como para caminhos suaves, dizemos que umcaminho suave por partes e fechado se 1(a1) = n(bn), isto e, o pontoinicial do primeiro caminho da colecao coincide com o ponto terminal doultimo. Observe que um caminho suave e, em particular, um caminhosuave por partes.

    Por exemplo, o triangulo de vertices (0, 0), (1, 0) e (1, 1) e dado pelosseguintes caminhos (veja figura):

    1(t) = (t, 0) t [0, 1],2(t) = (1, t) t [0, 1],3(t) = (t, t) t [0, 1].

    Esse triangulo fica descrito pelo caminho fechado, suave por partes, 1 2 3 .

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    20 Calculo no Plano Cap. 2

    Dado um caminho suave por partes, = 1 2 n, podemosnormaliza-lo e ve-lo como um caminho : [0, 1] C. Para fazer isso,dividimos o intervalo [0, 1] em n intervalos,

    [0,

    1

    n

    ],

    [1

    n,2

    n

    ], . . .

    [j 1n

    ,j

    n

    ], . . .

    [n 1n

    , 1

    ]

    e, para cada um desses, definimos uma bijecao suave

    rj :

    [j 1n

    ,j

    n

    ] [aj , bj ] por

    rj(t) = n(bj aj)t j(bj aj) + bj .

    Os caminhos j(rj(t)), 1 j n, sao suaves e o ponto inicial de j(rj(t))coincide com o ponto terminal de j1(rj1(t)). Dessa maneira, o ca-minho original pode ser visto como definido no intervalo [0, 1].

    Dizemos que um caminho suave por partes e fechado (normalizadocomo acima) e simples, se a aplicacao : [0, 1] C que o define einjetiva, exceto pelos pontos 0 e 1, ou seja, (0) = (1), (t) 6= (0),0 < t < 1 e (t1) 6= (t2) se 0 < t1 6= t2 < 1. Isso quer dizer que ocaminho nao possui auto-intersecoes. Apresentamos agora um conceitode muita utilidade:

    1.3 Definicao. Uma curva de Jordan suave por partes e um caminhosuave por partes, fechado e simples.

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    Secao 1 Domnios 21

    Um teorema devido a Jordan nos diz que: uma curva de Jordan suavepor partes divide o plano R2 em exatamente dois abertos disjuntos,um deles limitado e o outro ilimitado, sendo a fronteira comum dessesdois abertos. Esse resultado, embora de facil intuicao, e de demons-tracao nada trivial e trabalhosa e exemplifica a diferenca entre desenhoe Matematica.

    1.4 Definicao. Se : [a, b] C e um caminho suave, seu compri-mento e definido por:

    `() =

    ba

    |(t)|dt.

    Se (t) = (x(t), y(t)) entao a expressao do comprimento de fica

    `() =

    ba

    x(t)2 + y(t)2dt.

    Se e um caminho suave por partes, = 1 2 n, entao

    `() = `(1) + `(2) + + `(n).

    Para o caminho (t) = (cos t, sen t), 0 t 2pi, temos `() = 2pi0

    ( sen t)2 + (cos t)2dt = 2pi0 dt = 2pi.

    `() e a distancia efetiva percorrida pelo ponto (t) R2, quando tvaria de a ate b. Cabe dizer que o comprimento de um caminho suave

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    22 Calculo no Plano Cap. 2

    nao e, em geral, o comprimento da curva ([a, b]), imagem do inter-valo [a, b] pela aplicacao . Isso se deve a que, ao percorrer ([a, b]),o ponto (t) pode varrer varias vezes um mesmo trecho. O leitor temuma ilustracao desse fato considerando o caminho (t) = (cos 2t, sen 2t),0 t 2pi.1.5 Definicao. Um subconjunto nao vazio U C e chamado umdomnio se U e aberto e se, dados dois pontos quaisquer p e q em U ,existe um caminho suave por partes, inteiramente contido em U , cujospontos inicial e terminal sao , respectivamente, p e q.

    Ingenuamente podemos dizer que, um domnio U e um conjuntoaberto constituido de um unico pedaco.

    Exemplos de domnios sao C, C = C\{0}, C\Z, D(z0, a), qualqueranel {z C : a < |z z0| < b}. Ja C \ R e D(1, 1/2) D(i, 1/2) nao osao (justifique).

    2 Limites, Continuidade e Diferenciabilidade

    Nessa secao recordaremos brevemente alguns conceitos do Calculo, quedizem respeito a aplicacoes f : A R2, onde A e um subconjunto abertodo plano. No que se segue vamos considerar tais aplicacoes em termosdas variaveis reais x e y, ja que as propriedades que nos interessamdizem respeito a` proximidade entre pontos do plano e, assim sendo, aestrutura complexa de R2 e irrelevante. Alem disso, por simplicidade,vamos considerar apenas aplicacoes definidas em subconjuntos abertosdo plano.

    A nocao de limite associado a uma aplicacao pode ser descrita infor-malmente por: dizemos que (a, b) e o limite de f quando (x, y) tende a(x0, y0), se f(x, y) esta arbitrariamente proximo de (a, b) quando (x, y)esta suficientemente proximo de (x0, y0). A notacao para essa frase e:

    lim(x,y)(x0,y0)

    f(x, y) = (a, b).

    De maneira rigorosa, devemos exigir que o ponto (x0, y0) seja um pontode acumulacao do domnio de f e, com isso em mente temos

    2.1 Definicao. (a, b) e o limite de f quando (x, y) tende a (x0, y0) se,dado qualquer numero > 0, e possvel encontrar um numero positivo de tal modo que, sempre que 0 < |(x, y) (x0, y0)| < se tem |f(x, y)(a, b)| < .

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    Secao 2 Limites, Continuidade e Diferenciabilidade 23

    Observe que uma aplicacao f : A R2, onde A R2 e aberto, seexpressa atraves de componentes, f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) onde u ev sao funcoes definidas em A e tomando valores em R. Portanto, dizerque lim

    (x,y)(x0,y0)f(x, y) = (a, b) equivale a dizer que

    lim(x,y)(x0,y0)

    u(x, y) = a

    e que

    lim(x,y)(x0,y0)

    v(x, y) = b

    Um exemplo simples consiste em considerar a funcao

    f(x, y) =

    {(0, 0) se (x, y) 6= (0, 0)(1, 0) se (x, y) = (0, 0)

    E imediato que

    lim(x,y)(0,0)

    f(x, y) = (0, 0).

    Observe que, nesse exemplo,

    lim(x,y)(0,0)

    f(x, y) 6= f(0, 0).

    Aplicacoes mais manejaveis sao aquelas para as quais se tem que

    lim(x,y)(x0,y0)

    f(x, y) = f(x0, y0).

    Essas sao chamadas contnuas, formalmente definidas por

    2.2 Definicao. Sejam A R2 um aberto e f : A R2 uma aplicacao.Dizemos que f e contnua no ponto (x0, y0) A se

    lim(x,y)(x0,y0)

    f(x, y) = f(x0, y0).

    Se f e contnua em todos os pontos de A, dizemos que f e contnuaem A.

    Uma outra classe interessante de aplicacoes e formada pelas que ad-mitem derivadas parciais, isto e

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    24 Calculo no Plano Cap. 2

    2.3 Definicao. Seja f : A R2, A um subconjunto aberto de R2. ftem derivada parcial em relacao a x no ponto (x0, y0) A se o limite

    limh0

    f(x0 + h, y0) f(x0, y0)h

    existe. Analogamente, f tem derivada parcial em relacao a y no ponto(x0, y0) A se o limite

    limk0

    f(x0, y0 + k) f(x0, y0)k

    existe.

    Caso as derivadas parciais em relacao a x e a y existam, elas saonotadas

    f

    x(x0, y0) e

    f

    y(x0, y0)

    respectivamente. Em termos das coordenadas u e v de f temos

    f

    x(x0, y0) =

    (u

    x(x0, y0),

    v

    x(x0, y0)

    )e

    f

    y(x0, y0) =

    (u

    y(x0, y0),

    v

    y(x0, y0)

    ).

    Suponha agora que as derivadas parciais de f em relacao a x e a yexistam em todos os pontos (x, y) de A. Temos entao definidas duasaplicacoes

    (x, y) 7 fx

    (x, y) e (x, y) 7 fy

    (x, y).

    Caso essas aplicacoes sejam contnuas em A, dizemos que f e umaaplicacao suave em A. Note que se f = (u, v) e suave em A, entaoas funcoes

    u

    x(x, y),

    u

    y(x, y),

    v

    x(x, y) e

    v

    y(x, y).

    sao contnuas em A, e reciprocamente.Por exemplo, a aplicacao

    f(x, y) =

    ( yx2 + y2

    ,x

    x2 + y2

    )

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    Secao 3 O Teorema de Green 25

    e suave em R2 \ {(0, 0)} ef

    x(x, y) =

    (2xy

    (x2 + y2)2,y2 x2

    (x2 + y2)2

    )

    f

    y(x, y) =

    (y2 x2

    (x2 + y2)2,

    2xy(x2 + y2)2

    ).

    3 O Teorema de Green

    Um instrumento fundamental de que necessitaremos e o Teorema deGreen, tambem conhecido como Teorema de Stokes no plano. Comecamosentao considerando os ingredientes que compoem esse resultado.

    Seja f : U R2, f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), onde U R2 e umdomnio, uma aplicacao com derivadas parciais

    f

    x=

    (u

    x,v

    x

    )e

    f

    y=

    (u

    y,v

    y

    )contnuas em todos os pontos de U .

    3.1 Definicao. Se : [a, b] U e um caminho suave em U , (t) =(x(t), y(t)), definimos a integral de f ao longo de (ou integral de linhade f ao longo de ) por:

    f :=

    udx+ vdy :=

    ba

    [u(x(t), y(t))x(t) + v(x(t), y(t))y(t)

    ]dt.

    Se 1 2 n e um caminho suave por partes em U , a integral def ao longo desse caminho e definida por :

    12nf :=

    1

    f +

    2

    f + +n

    f.

    Por exemplo, se f(x, y) =( yx2+y2

    , xx2+y2

    )e e o caminho (t) =

    (cos t, sen t), 0 t 2pi entao :f =

    2pi0

    [ sen t sen t+ cos t cos t]dt =

    2pi0

    dt = 2pi.

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    26 Calculo no Plano Cap. 2

    Se f(x, y) = (x2, y2) e o caminho e o caminho suave por partes dadopor = 1 2 3 4, onde 1(t) = (1, t), 2(t) = (t, 1), 3(t) =(1,t) e 4(t) = (t,1), para 1 t 1, entao :

    1234f =

    11t2dt

    11t2dt

    11t2dt+

    11t2dt = 0.

    As integrais de linha sao sensveis a` orientacao ou sentido de percursodo caminho, isto e, se denota o caminho reverso de entao

    f =

    f.

    De fato, se : [a, b] U e dado por (t) = (x(t), y(t)) temos que(t) = (x(a+ b t), y(a+ b t)) e da

    f =

    ba [u(x(a+ b t), y(a+ b t))x(a+ b t)] dt

    +

    ba [v(x(a+ b t), y(a+ b t))y(a+ b t)] dt.

    Fazendo a substituicao s = a+ b t essa integral fica ab

    [u(x(s), y(s))x(s) + v(x(s), y(s))y(s)

    ]ds =

    f.

    Para enunciarmos o teorema de Green necessitamos ainda do conceitode compatibilidade de orientacao entre um subconjunto do plano e suafronteira.

    3.2 Definicao. Suponha que U R2 e um domnio e seja V Uum subconjunto fechado e limitado, cuja fronteira V consiste de umnumero finito de curvas de Jordan suaves por partes e tal que V \ Ve um domnio. Para cada uma dessas curvas, adotamos o sentido depercurso para o qual o interior de V esta sempre a` esquerda quando apercorrermos. Nessas condicoes, dizemos que V e V tem orientacaocompatvel .

    Essa nocao sera muito util nesse texto e sugerimos que o leitor atenha sempre em mente.

    Por exemplo, se U = R2 e V = D(0, a), cuja fronteira e o crculoD(0, a), entao devemos percorrer esse crculo no sentido anti-horario.

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    Secao 3 O Teorema de Green 27

    Ja para o conjunto V abaixo (U = R2 novamente), V = 123.Para que a orientacao seja compatvel, 1 deve ser percorrido no sentidoanti-horario e 2, 3 ambos no sentido horario.

    Finalmente temos o

    3.3 Teorema de Green. Sejam U R2 um domnio e f : U R2uma aplicacao suave. Seja V U um subconjunto satisfazendo: (i) Ve fechado e limitado, (ii) a fronteira V de V consiste de um numerofinito de curvas de Jordan suaves por partes, V = 1 n, e (iii)V \V e um domnio. Suponha que V e V tem orientacao compatvel.Entao, escrevendo f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), temos que

    V

    f =

    V

    udx+ vdy =

    V

    (v

    x uy

    )dxdy.

    Demonstracao: Antes de mais nada,V

    f significa a soma

    1

    f + +n

    f

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    28 Calculo no Plano Cap. 2

    sobre todas as curvas de Jordan que compoem a fronteira de V , orien-tadas compativelmente com V .

    A demonstracao completa desse resultado exige mais instrumentaldo que temos a disposicao (veja 2) porem, podemos demonstra-lo numaversao simples e ilustrativa de situacoes gerais o bastante para a maioriadas aplicacoes de que necessitaremos. Essa versao e: vamos supor queV pode ser dado, simultaneamente, das seguintes maneiras:

    (I) V = {(x, y) : a x b, g1(x) y g2(x)} onde g1 e g2 saofuncoes cujos graficos sao curvas suaves por partes, e

    (II) V = {(x, y) : c y d, h1(y) x h2(y)} onde h1 e h2 saofuncoes cujos graficos sao curvas suaves por partes.

    Exemplos simples de conjuntos que podem ser dados simultanea-mente nas formas (I) e (II) sao: discos fechados D(z0, a), poligonosregulares e quadrantesfechados de aneis

    {z C : a |z z0| b, Re(z) Re(z0), Im(z) Im(z0)}.

    Convidamos o leitor a pensar em subconjuntos do plano que podemser divididos em regioes satisfazendo (I) e (II) e a aplicar o teorema aelas, convencendo-se assim da generalidade da demonstracao nesse casosimples.

    Para V dado na forma (I), a fronteira consiste dos quatro caminhos

    1(t) = (t, g1(t)), a t b2(t) = (b, t), g1(b) t g2(b)3(t) = (t, g2(t)), a t b4(t) = (a, t), g1(a) t g2(a)

    Para que V e V tenham orientacao compatvel devemos ter

    V = 1 2 3 4

    (veja figura a seguir)

    2Alcides Lins Neto, Funcoes de uma variavel complexa, Projeto Euclides, IMPA

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    Secao 3 O Teorema de Green 29

    Agora, V

    udx =

    1

    udx+

    2

    udx+

    3

    udx+

    4

    udx

    mas, para 2 e 4 temos x(t) = 0 e portanto as integrais de linha sao

    nulas ao longo desses caminhos. Ficamos entao comV

    udx =

    1

    udx+

    3

    udx.

    Essas se expressam por

    1

    udx =

    ba

    u(t, g1(t))dt e

    3

    udx = ba

    u(t, g2(t))dt

    e temos V

    udx =

    ba

    [u(t, g1(t)) u(t, g2(t))] dt.

    Por outro lado,

    V

    u

    ydxdy =

    ba

    g2(x)g1(x)

    u

    ydydx

    =

    ba

    [u(x, g2(x)) u(x, g1(x))] dx

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    30 Calculo no Plano Cap. 2

    e, trocando x por t nessa ultima expressao, concluimos que

    (III)

    V

    udx =

    V

    uydxdy.

    Ja para V dado na forma (II), a fronteira consiste dos caminhos

    1(t) = (t, c), h1(c) t h2(c)2(t) = (h2(t), t), c t d3(t) = (t, d), h1(d) t h2(d)4(t) = (h1(t), t), c t d

    e, para que V e V tenham orientacao compatvel devemos ter

    V = 1 2 3 4(veja figura abaixo)

    Como anteriormente,V

    vdy =

    1

    vdy +

    2

    vdy +

    3

    vdy +

    4

    vdy,

    mas, para 1 e 3 temos y(t) = 0 e portanto as integrais de linha sao

    nulas ao longo desses caminhos. Ficamos entao comV

    vdy =

    2

    vdy +

    4

    vdy.

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    Secao 4 Exerccios 31

    Essas se expressam por

    2

    vdy =

    dc

    v(h2(t), t)dt e

    4

    vdy = dc

    v(h1(t), t)dt

    e temos V

    vdy =

    dc

    [v(h2(t), t) v(h1(t), t)] dt.

    Por outro lado,

    V

    v

    xdxdy =

    dc

    h2(y)h1(y)

    v

    xdxdy =

    dc

    [v(h2(y), y) v(h1(y), y)] dy

    e, trocando y por t nessa ultima expressao, obtemos

    (IV)

    V

    vdy =

    V

    v

    xdxdy.

    Finalmente, como o conjunto V que estamos considerando pode ser dadosimultaneamente nas formas (I) e (II), temos que valem (III) e (IV).Somando essas expressoes ficamos com

    V

    f =

    V

    udx+ vdy =

    V

    (v

    x uy

    )dxdy. ut

    4 Exerccios

    1) Nesse exerccio, z0 e um numero complexo arbitrario. Esboce osconjuntos abaixo, diga se sao fechados, abertos (ou nenhum deles), es-boce sua fronteira, diga quais sao domnios e quais sao limitados:

    (i) Re(z) Re(z0).(ii) Im(z0) > Re(z).(iii) Re(z2) 1.(iv) Im(zz0) > 0.(v) |z z0| < |z z0|.

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    32 Calculo no Plano Cap. 2

    (vi) |z z0| |z z0|.(vii) 1 < |z z0| 3.(viii) Im(z2) 1.

    2) Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira e descrita por umacurva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e de umaaplicacao que a descreva.

    (i) V = {z C : |z| 1,Re(z) 12}.(ii) V = {z C : 12 |z| 1,Re(z) 0}.(iii) V = {z C : 13 |z| 1,Re(z) Im(z) 0}.

    3) CalculeV

    f onde V e cada um dos conjuntos do exerccio anterior

    (V e V tem orientacao compativel) e

    f(x, y) =

    ( yx2 + y2

    ,x

    x2 + y2

    ), f(x, y) =

    (x

    x2 + y2,

    yx2 + y2

    ).

    4) CalculeV

    xndy eV

    yndx, onde n 1 e V e (i) o quadrado [0, 1] [0, 1], (ii) o disco D(0, 1) (V e V tem orientacao compativel).

    5) Seja V como no enunciado do teorema de Green. Mostre que a areade V e dada por

    V

    xdy.

    6) Use 5 para calcular a area de V = {(x, y) : x2/a2 + y2/b2 1} e deV = {(x, y) : 1 x2 y2 9, 1 xy 4}.7) Calcule

    V

    (x2 y2)dx+ 2xydy

    e V

    2xydx+ (y2 x2)dy

    onde V e (i) o retangulo delimitado pelas retas y = x, y = x + 4,y = x+ 2 e y = x, (ii) V = {(x, y) : 1 x2 y2 9, 1 xy 4} (Ve V tem orientacao compativel).

    8) Calcule V

    ydx (x 1)dy(x 1)2 + y2

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    Secao 4 Exerccios 33

    onde V e a regiao limitada pelos crculos x2 +y2 = 3 e (x 1)2 +y2 = 9,onde V e V tem orientacao compativel.

    9) Calcule V

    x2ydx x3dy(x2 + y2)2

    onde V e a regiao interior a` elipse x2/4+ y2/9 = 1, orientada no sentidoanti-horario.

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    Funcoes Holomorfas

    1 Funcoes Complexas

    A nocao de funcao complexa envolve naturalmente a consideracao de 2variaveis reais. De fato, em linguagem corrente, uma funcao complexada variavel complexa z e uma correspondencia f que associa ao numero zum unico numero complexo w, chamado a imagem de z por f , w = f(z).Por outro lado, como z = x + iy = (x, y), tambem podemos dizer queuma tal funcao associa ao par (x, y) R2 o par w = (u(x, y), v(x, y)) =u(x, y) + iv(x, y) = f(x, y) R2. Um exemplo e f(z) = z + c ondec = a + ib. A expressao dessa funcao em termos de x e y e f(x, y) =(x+a, y+b). Agora, a estrutura multiplicativa que faz de R2 o corpo C,ou seja, que torna C um espaco vetorial de dimensao 1 sobre si mesmo,reserva surpresas quanto a` expressao das funcoes complexas em geral.Considere por exemplo

    f(z) = Re(z) Im(z) = x y = x y + 0i.Nao e possvel expressar o numero complexo x y + 0i somente emtermos de z, de modo explcito. Forcosamente a variavel z = xiy deveaparecer na expressao de f e ficamos com

    f(x+ iy) =z + z

    2 z z

    2i.

    Isso vem do fato que f e uma funcao de C em si mesmo e C, comoespaco vetorial sobre R, tem dimensao 2. Da a aparicao, em geral, davariavel z, independente de z como variavel real, na expressao dessas

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    Secao 2 Limites e Continuidade 35

    funcoes. Nosso interesse primordial e o estudo das funcoes complexasnas quais a variavel z nao intervem, isto e, que nao dependem de z.Uma condicao para que isso ocorra e dada pelas chamadas Condicoes deCauchy-Riemann, que veremos adiante.

    No que se segue escreveremos f(z) = u(x, y)+iv(x, y) para enfatizarque as funcoes que consideraremos, apesar de serem funcoes da variavelcomplexa z, se expressam em termos das variaveis reais x e y.

    2 Limites e Continuidade

    A nocao de limite associado a uma funcao da variavel complexa z consistesimplesmente numa traducao da Definicao 2.1 para esse contexto. A fimde evitar generalidade exagerada, sejam A um subconjunto aberto de Ce f : A C uma funcao de z.2.1 Definicao. Dado um numero z0 A, dizemos que o numero w0 Ce o limite de f quando z A tende a z0 se, dado qualquer numero > 0, e possvel encontrar um numero > 0 tal que, se z A satisfaz0 < |z z0| < , entao |f(z) w0| < . Se esse for o caso, escrevemos

    limzz0

    f(z) = w0.

    Em linguagem corrente, isso quer dizer que |f(z) w0| fica tao pe-queno quanto se queira, desde que z esteja suficientemente proximo dez0.

    Um exemplo imediato consiste em mostrar que limzz0

    f(z) = z0, onde

    f(z) = z. De fato, como |z z0| = |z z0| tome = na definicaoacima.

    Uma propriedade que decorre da Definicao 2.1 e a unicidade do li-mite, isto e, se lim

    zz0f(z) = w0 e lim

    zz0f(z) = w1 entao w0 = w1. De fato

    temos que, para 0 < |z z0| < vale |f(z) w0| < e |f(z) w1| < .Logo,

    |w0 w1| |f(z) w0|+ |f(z) w1| < 2.Como e arbitrario, concluimos que w0 = w1.

    Observe que, escrevendo f(z) = u(x, y) + iv(x, y), onde u e v saofuncoes das variaveis reais x e y entao, se existe lim

    zz0f(z) = w0 e w0 =

    u0 + iv0, temos que existem os limites

    lim(x,y)(x0,y0)

    u(x, y) e lim(x,y)(x0,y0)

    v(x, y)

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    36 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    e esses sao iguais alim

    (x,y)(x0,y0)u(x, y) = u0

    elim

    (x,y)(x0,y0)v(x, y) = v0.

    De fato,

    |z z0| = |(x, y) (x0, y0)| = |(x x0, y y0)|

    e

    |f(z)w0| = |(u(x, y), v(x, y)) (u0, v0)| = |(u(x, y) u0, v(x, y) v0)|.

    Agora,|u(x, y) u0| |f(z) w0|

    e|v(x, y) v0| |f(z) w0|.

    Logo,

    |(x x0, y y0)| < |f(z) w0| <

    |u(x, y) u0| < e

    |v(x, y) v0| < .

    A reciproca desse fato e deixada como exerccio.As propriedades do limite de uma funcao complexa sao similares a`s

    do limite de uma funcao real de uma variavel, pois tudo que necessitamossao a existencia de uma distancia e a estrutura de corpo. Da vem aseguinte

    2.2 Proposicao. Sejam A C um aberto e f1 : A C, f2 : A Cduas funcoes complexas. Fixe um ponto z0 A. Se lim

    zz0f1(z) = w1 e

    limzz0

    f2(z) = w2 entao:

    (i) limzz0

    cf1(z) = cw1 onde c e qualquer numero complexo.

    (ii) limzz0

    (f1(z) + f2(z)) = w1 + w2.

    (iii) limzz0

    f1(z)f2(z) = w1w2.

    (iv) se w1 6= 0 entao limzz0

    1f1(z)

    = 1w1 .

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    Secao 2 Limites e Continuidade 37

    Demonstracao: Vamos mostrar apenas a propriedade (iii). As demaisficam por conta do leitor interessado. Temos

    |f1(z)f2(z) w1w2| = |f1(z)f2(z) f1(z)w2 + f1(z)w2 w1w2|.Pela desigualdade triangular

    |f1(z)f2(z) f1(z)w2 + f1(z)w2 w1w2| |f1(z)||f2(z) w2|+ |w2||f1(z) w1|.

    Agora, como existe o limite limzz0

    f1(z) temos que |f1(z)| e limitado sez esta suficientemente proximo de z0. De fato, basta tomar = 1 paraobter um 1 tal que |f1(z)| < |w1|+ 1 para 0 < |z z0| < 1. Portanto,

    |f1(z)f2(z) w1w2| < (|w1|+ 1)|f2(z) w2|+ |w2||f1(z) w1|.Como a expressao no lado direito da desigualdade fica tao pequenaquanto se queira para 0 < |z z0| suficientemente pequeno, o resul-tado se segue. ut

    Como no caso real, o conceito de funcao contnua e dado por

    2.3 Definicao. Sejam A C um aberto e f : A C uma funcaocomplexa. Dizemos que f e contnua no ponto z0 A se lim

    zz0f(z) =

    f(z0). Se f satisfaz essa propriedade em todos os pontos de A, dizemosque f e contnua em A.

    Um exemplo de funcao contnua em C e f(z) = z. Ja f(z) = 1z econtnua em C.

    Antes de enunciarmos algumas propriedades das funcoes complexascontnuas, recordemos o conceito de composicao de funcoes: se f : AC e g : B C sao funcoes definidas nos abertos A e B, respectivamente,e tais que a imagem f(A) esta contida em B, tem sentido a expressaog(f(z)) para z A. A composta de f e g e, por definicao, a funcao

    g f : A Cz 7 g(f(z)).

    Com isso em maos temos a

    2.4 Proposicao. Sejam A e B abertos e f1 : A C, f2 : A C eg : B C funcoes complexas, com f1(A) B. Suponha que f1 e f2 saoambas contnuas em z0 A e que g e contnua em f1(z0). Entao:

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    38 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    (i) as funcoes cf1 : A C, f1 + f2 : A C, f1.f2 : A C saocontnuas em z0, onde c e um numero complexo qualquer.

    (ii) se f1(z0) 6= 0 entao a funcao 1f1 : A C e contnua em z0.(iii) a funcao g f1 : A C e contnua em z0.

    Demonstracao: (i) e (ii) ficam a cargo do leitor. Para mostrar (iii)escolha > 0. Entao, existe g > 0 tal que

    0 < |w f1(z0)| < g = |g(w) g(f1(z0))| < .

    Agora, correspondendo a g temos um numero f1 > 0 tal que

    0 < |z z0| < f1 = |f1(z) f1(z0)| < g.

    Da,0 < |z z0| < f1 = |g(f1(z)) g(f1(z0))| < . ut

    Por exemplo, h(z) = 1z e contnua em C pois e a composicao de f(z) = 1z

    com g(z) = z.

    3 A Derivada Complexa

    Aqui comeca a diferenca entre aplicacoes f : A R2 e funcoes com-plexas f : A C. A razao disso esta na estrutura multiplicativa de C,ausente em R2. A derivada de uma funcao real de uma variavel real noponto x0 e definida como limite do quociente de Newton

    limxx0

    f(x) f(x0)x x0 = f

    (x0).

    Sobre C esse quociente tem sentido, ao passo que sobre R2 nao, ja quenao podemos dividir vetores. Com isso em mente temos a

    3.1 Definicao. Sejam A C um aberto, z0 um ponto de A e f : A Cuma funcao complexa. Se existir o limite

    limzz0

    f(z) f(z0)z z0

    esse e chamado a derivada de f(z) no ponto z0 e notado f(z0).

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    Secao 3 A Derivada Complexa 39

    Vamos dar dois exemplos ilustrativos da derivada complexa. Consi-dere as funcoes f(z) = z2 e g(z) = z, ambas definidas em todo C. Aprimeira delas tem derivada em todos os pontos de C, ao passo que asegunda nao tem derivada em ponto algum! De fato,

    f(z) f(z0)z z0 =

    z2 z02z z0 = z + z0

    e portanto

    f (z0) = limzz0

    f(z) f(z0)z z0 = limzz0 z + z0 = 2z0.

    Ja para g temos

    g(z) g(z0)z z0 =

    z z0z z0 =

    (z z0)2|z z0|2

    =

    (x x0 + i(y0 y)

    )2(x x0)2 + (y0 y)2

    =(x x0)2 (y0 y)2 + 2i(x x0)(y0 y)

    (x x0)2 + (y0 y)2.

    Agora, vamos fazer z se aproximar de z0. Como estamos no plano,podemos faze-lo de uma infinidade de maneiras. Entao, se z e da formaz = (t+ x0) + iy0 a expressao acima se reduz a

    (t+ x0 x0)2 (y0 y0)2 + 2i(t+ x0 x0)(y0 y0)(t+ x0 x0)2 + (y0 y0)2 =

    t2

    t2

    ao passo que, se z e da forma z = x0 + i(t+ y0), entao

    (x0 x0)2 (y0 t y0)2 + 2i(x0 x0)(y0 t y0)(x0 x0)2 + (y0 t y0))2 =

    t2t2.

    Ja se z tem a forma z = (t+ x0) + i(t+ y0), ficamos com

    (t+ x0 x0)2 (y0 t y0)2 + 2i(t+ x0 x0)(y0 t y0)(t+ x0 x0)2 + (y0 t y0)2

    =2it22t2

    = i.

    Portanto, o quociente g(z)g(z0)zz0 assume o valor constante 1 ao longoda reta y = y0, assume o valor constante 1 ao longo da reta x = x0 e

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    40 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    assume o valor constantei ao longo da reta yy0 = xx0. Concluimos,da definicao de limite, que lim

    zz0g(z)g(z0)zz0 nao existe.

    3.2 Proposicao. Se f e derivavel em z0 entao f e contnua em z0.

    Demonstracao: Temos

    limzz0

    (f(z) f(z0)) = limzz0

    f(z) f(z0)z z0 (z z0) = f

    (z0) 0 = 0.

    Logo, limzz0

    f(z) = f(z0). ut3.3 Proposicao. Se f e g sao derivaveis em z0, entao tambem o sao cf(c um numero complexo qualquer), f + g, fg e 1f (desde que f(z0) 6= 0)e valem:

    (i) (cf)(z0) = cf (z0)(ii) (f + g)(z0) = f (z0) + g(z0)(iii) (fg)(z0) = f(z0)g(z0) + g(z0)f (z0)

    (iv)(

    1f

    )(z0) = f

    (z0)f(z0)2

    .

    Demonstracao: (i),(ii) e (iii) ficam para o leitor. Quanto a (iv) temos

    1f(z) 1f(z0)z z0 =

    f(z0)f(z)f(z)f(z0)

    z z0 =1

    f(z)f(z0)

    f(z) f(z0)z z0 .

    Logo,

    limzz0

    1f(z) 1f(z0)z z0 = limzz0

    1f(z)f(z0)

    f(z) f(z0)z z0 =

    f (z0)f(z0)2

    . ut

    Quanto a` composicao de funcoes temos a regra da cadeia:

    3.4 Proposicao. Sejam f : A C e g : B C com f(A) B. Se fe derivavel em z0 e g e derivavel em f(z0), entao g f e derivavel em z0e

    (g f)(z0) = g(f(z0))f (z0).

    Demonstracao: Ponha w0 = f(z0) e defina a funcao h por

    h(w) =

    {g(w)g(w0)ww0 g(w0) se w 6= w0

    0 se w = w0

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    Secao 3 A Derivada Complexa 41

    h esta definida num disco aberto centrado em w0 e e contnua em w0pois, como g e derivavel em w0, lim

    ww0h(w) = h(w0) = 0. Alem disso,

    limzz0

    (h f)(z) = h(f(z0)) = h(w0) = 0, ja que f e contnua em z0. Sew 6= w0 vale a seguinte relacao

    g(w) g(w0) = (h(w) + g(w0))(w w0)

    que tambem e claramente verdadeira para w = w0. Troque w por f(z)na relacao acima:

    g(f(z)) g(f(z0)) = (h(f(z)) + g(f(z0)))(f(z) f(z0)),

    divida por z z0g(f(z)) g(f(z0))

    z z0 =(h(f(z)) + g(f(z0))

    )f(z) f(z0)z z0 ,

    tome o limite z z0 e obtenha

    (g f)(z0) = g(f(z0))f (z0). ut

    Vejamos as implicacoes da existencia de f (z0) quando consideramosa funcao f : A C como uma aplicacao f : A R2, dependente dasvariaveis reais x e y.

    Escreva f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) ez0 = x0 + iy0 = (x0, y0). Para facilitar a leitura colocamos u(x, y) = u,v(x, y) = v, u(x0, y0) = u0 e v(x0, y0) = v0. O quociente de Newton le-se

    f(z) f(z0)z z0 =

    u+ iv (u0 + iv0)x+ iy (x0 + iy0)

    =[(u u0) + i(v v0)][(x x0) i(y y0)]

    (x x0)2 + (y y0)2

    =(u u0)(x x0) + (v v0)(y y0)

    (x x0)2 + (y y0)2

    + i(v v0)(x x0) (u u0)(y y0)

    (x x0)2 + (y y0)2 .

    Vamos fazer z tender a z0. Como o limite f(z0) existe, obteremos o

    mesmo resultado qualquer que seja a direcao de aproximacao. Assimsendo, vamos considerar inicialmente a aproximacao ao longo da reta

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    42 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    y = y0, isto e, colocamos z = x + iy0 e fazemos x tender a x0. Nessascondicoes a expressao acima assume a forma

    f(z) f(z0)z z0 =

    [u(x, y0) u(x0, y0)] + i[v(x, y0) v(x0, y0)]x x0

    =u(x, y0) u(x0, y0)

    x x0 + iv(x, y0) v(x0, y0)

    x x0 .

    Portanto (reveja a definicao2.3 do Captulo 2),

    f (z0) = limzz0

    f(z) f(z0)z z0

    = limxx0

    u(x, y0) u(x0, y0)x x0 + i limxx0

    v(x, y0) v(x0, y0)x x0

    =u

    x(x0, y0) + i

    v

    x(x0, y0).

    Tome agora z tendendo a z0 ao longo da reta x = x0, isto e, facaz = x0 + iy. Nesse caso

    f(z) f(z0)z z0 =

    [v(x0, y) v(x0, y0)] i[u(x0, y) u(x0, y0)]y y0

    =v(x0, y) v(x0, y0)

    y y0 iu(x0, y) u(x0, y0)

    y y0e concluimos que

    f (z0) = limzz0

    f(z) f(z0)z z0

    = limyy0

    v(x0, y) v(x0, y0)y y0 i limyy0

    u(x0, y) u(x0, y0)y y0

    =v

    y(x0, y0) iu

    y(x0, y0).

    Ora, temos entao que

    f (z0) =u

    x(x0, y0) + i

    v

    x(x0, y0)

    e

    f (z0) =v

    y(x0, y0) iu

    y(x0, y0)

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    Secao 3 A Derivada Complexa 43

    e acabamos de mostrar a

    3.5 Proposicao. (Condicoes de Cauchy-Riemann).1 Se a funcaof(z) =u(x, y) + iv(x, y) tem derivada no ponto z0 = x0 + iy0 entao

    u

    x(x0, y0) =

    v

    y(x0, y0) e

    v

    x(x0, y0) = u

    y(x0, y0). ut

    Observacao: Uma deducao rapida dessas equacoes e a seguinte: vimos,no Captulo 1, que um numero complexo a+ bi esta identificado com amatriz (

    a bb a

    ).

    Como f e derivavel em z0, temos que, considerando f como aplicacaoreal, ela tambem e derivavel em (x0, y0) com matriz jacobiana

    ux(x0, y0)

    uy (x0, y0)

    vx(x0, y0)

    vy (x0, y0)

    .

    Essa matriz representa entao um numero complexo e portanto, e daforma acima. ut

    A recproca da proposicao 3.5 e falsa, isto e, se as componentes u ev de uma funcao complexa satisfazem as condicoes de Cauchy-Riemannnum ponto z0, nao e verdade que f seja derivavel em z0. Um exemplo e

    f(z) =

    {0 + 0i se xy = 0

    1 + 0i se xy 6= 0

    Essa funcao tem todas as derivadas parciais na origem e essas valem 0,logo as condicoes de Cauchy-Riemann sao satisfeitas em 0. Porem, comonao e contnua nao pode ser derivavel em 0.

    Uma condicao para que valha a recproca e dada pela

    3.6 Proposicao. Seja f : A C, A C aberto, f(z) = u(x, y) +iv(x, y), uma funcao complexa tal que as derivadas parciais ux ,

    uy ,

    vx ,

    vy existem em A e sao contnuas no ponto z0 = x0 + iy0 A. Se as

    1Essas condicoes ja eram conhecidas por DAlembert em 1752, 37 anos antes donascimento de Cauchy.

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    44 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    condicoes de Cauchy-Riemann sao satisfeitas em z0, entao f e derivavelem z0.

    Demonstracao: Comecamos mostrando o seguinte

    Lema. Seja F : A R, A R2 aberto, uma funcao admitindo deriva-das parciais em A, que sao contnuas no ponto (x0, y0) A. Entao

    F (x, y) F (x0, y0) = (x x0)(F

    x(x0, y0) +H(x x0, y y0)

    )

    + (y y0)(F

    y(x0, y0) +K(x x0, y y0)

    ).

    onde

    lim(x,y)(x0,y0)

    H(x x0, y y0) = 0

    e

    lim(x,y)(x0,y0)

    K(x x0, y y0) = 0.

    Demonstracao do Lema. Ponha x = x0 + h e y = y0 + k e escrevaF (x0+h, y0+k)F (x0, y0) = F (x0+h, y0+k)F (x0, y0+k)+F (x0, y0+k) F (x0, y0). Invocando o teorema do Valor Medio para funcoes reaisde uma variavel temos que existe um numero 0 < t < 1 tal que

    F (x0 + h, y0 + k) F (x0, y0 + k) = hFx

    (x0 + th, y0 + k).

    Como Fx e contnua em (x0, y0), a diferenca

    H(h, k) =F

    x(x0 + th, y0 + k) F

    x(x0, y0)

    tende a zero para (h, k) (0, 0). Logo,

    (1) F (x0 + h, y0 + k) F (x0, y0 + k) = h(F

    x(x0, y0) +H(h, k)

    ).

    Analogamente,

    F (x0, y0 + k) F (x0, y0) = kFy

    (x0, y0 + tk)

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    Secao 3 A Derivada Complexa 45

    para algum 0 < t < 1 e a diferenca

    K(h, k) =F

    y(x0, y0 + tk) F

    y(x0, y0)

    tende a zero para (h, k) (0, 0). Portanto,

    (2) F (x0, y0 + k) F (x0, y0) = k(F

    y(x0, y0) +K(h, k)

    ).

    Somando (1) e (2) temos o lema. utPara demonstrar a proposicao aplicamos o lema a`s componentes u e

    v de f para escrever

    f(z) f(z0) = u(x, y) u(x0, y0) + i(v(x, y) v(x0, y0))

    = (x x0)(ux

    (x0, y0) +H1

    )+ (y y0)

    (u

    y(x0, y0) +K1

    )

    + i

    [(x x0)

    (vx

    (x0, y0) +H2

    )+ (y y0)

    (v

    y(x0, y0) +K2

    )].

    Usando as condicoes de Cauchy-Riemann ficamos com

    f(z) f(z0) = (z z0)(ux

    (x0, y0) + iv

    x(x0, y0)

    )+ (H1 + iH2)(x x0) + (K1 + iK2)(y y0)

    e dividindo por z z0f(z) f(z0)

    (z z0) =u

    x(x0, y0) + i

    v

    x(x0, y0)

    + (H1 + iH2)x x0z z0 + (K1 + iK2)

    y y0z z0 .

    Para concluir a demonstracao basta mostrar que

    limzz0

    [(H1 + iH2)

    x x0z z0 + (K1 + iK2)

    y y0z z0

    ]= 0.

    Agora, x x0z z0 1 e

    y y0z z0 1

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    46 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    (lembre-se de que, ao passarmos ao limite sempre assumimos z 6= z0!).Logo,

    limzz0

    {|H1 + iH2|

    x x0z z0+ |K1 + iK2|

    y y0z z0}

    limzz0

    (|H1 + iH2|+ |K1 + iK2|) = 0.

    ut

    A proposicao acima mostra que a funcao f(z) = zz e derivavel ape-nas na origem. De fato, ux = 2x,

    uy = 2y,

    vx = 0 e

    vy = 0. Logo, como

    as derivadas parciais sao contnuas e as condicoes de Cauchy-Riemannvalem apenas em 0 temos f (0) = 0.

    Uma formulacao alternativa das condicoes de Cauchy-Riemann e aseguinte: recorde que x = z+z2 e y =

    zz2i . Logo, escrevendo

    f = u(x, y) + iv(x, y) = u

    (z + z

    2,z z

    2i

    )+ iv

    (z + z

    2,z z

    2i

    )

    temos, pela regra da cadeia

    f

    z=u

    x

    x

    z+u

    y

    y

    z+ i

    (v

    x

    x

    z+v

    y

    y

    z

    ).

    ou seja,f

    z=

    1

    2

    u

    x 1

    2i

    u

    y+ i

    (1

    2

    v

    x 1

    2i

    v

    y

    ).

    Com isso em maos, verifica-se imediatamente que as condicoes de Cauchy-Riemann sao satisfeitas no ponto z0 se, e somente se, vale

    3.5 bis. (Condicoes de Cauchy-Riemann). fz (z0) = 0. ut

    4 Funcoes Holomorfas

    Finalmente podemos definir nosso principal objeto de estudo:

    4.1 Definicao. Seja f : A C, A C aberto, uma funcao complexa.f e holomorfa em A se f (z) existe para todo ponto z A.

    Observe que, por 3.5 bis, dizer que f e holomorfa em A e o mesmo quedizer que fz (z) = 0 em todos os pontos do aberto A. Isso esclarecea

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    Secao 4 Funcoes Holomorfas 47

    afirmativa feita no incio desse captulo, de que uma funcao e holomorfaquando nao depende da variavel z.

    A Proposicao 3.6 fornece um criterio (condicao suficiente) para iden-tificar uma funcao holomorfa: se f = u + iv e as derivadas parciais deu e de v existem, sao contnuas e satisfazem as condicoes de Cauchy-Riemann em A, entao f e holomorfa em A. Muito mais forte e o teoremade Loomann-Menchof 2, que afirma que, se f e contnua e as deriva-das parciais de u e de v existem e satisfazem as condicoes de Cauchy-Riemann em todos os pontos de A, entao f e holomorfa em A.

    Por exemplo, um polinomio

    P (z) = anzn + + a1z + a0, n N, an 6= 0,

    e holomorfo em todo o plano C. Para ver isso basta mostrar que ummonomio f(z) = zm e holomorfo e utilizar a proposicao 3.2. Ora, e facilver que

    zm z0mz z0 = z

    m1 + zm2z0 + zm3z20 + + zzm20 + zm10 .

    Alem disso, f(z) = zm e contnua em todo ponto do plano (veja exerc-cios), logo

    f (z0) = limzz0

    f(z) f(z0)z z0 = mz

    m10

    e concluimos que f (z) = mzm1 qualquer que seja z C. Da vem que

    P (z) = nanzn1 + + a1.

    Ja que polinomios sao holomorfos, as funcoes racionais, isto e, quocientesde polinomios f(z) = P (z)Q(z) , tambem o sao em todos os pontos para

    os quais Q nao se anula (veremos adiante que um polinomio se anulaapenas num numero finito de pontos). Observe tambem que, pela regrada cadeia, a composta de funcoes holomorfas e holomorfa.

    4.2 Definicao. Uma funcao complexa f , definida em todo C e que eholomorfa em C e chamada funcao inteira. Um ponto singular de umafuncao complexa f (ou singularidade de f) e um ponto z0 tal que existeum disco D(z0, r) no qual f e holomorfa exceto no ponto z0.

    2A prova desse resultado pode ser encontrada em R. Narasimhan, Complex Ana-lysis in One Variable; Birkhauser (1985)

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    48 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    Por exemplo, funcoes constantes e polinomios sao funcoes inteiras.Quanto aos pontos singulares, 0 e o unico ponto singular de f(z) = 1z , 1e i sao os pontos singulares de f(z) = 1(z1)(zi) ao passo que f(z) = znao possui pontos singulares pois nao e derivavel em ponto algum.

    Um exemplo importante de funcao inteira e

    5 A Exponencial

    5.1 Definicao. A funcao exponencial e definida por

    exp(z) = ex(cos y + i sen y).

    Primeiramente observe que exp(z) esta definida para todo z C.Alem disso suas componentes sao

    u(x, y) = ex cos y

    v(x, y) = ex sen y

    e temos

    u

    x= ex cos y

    u

    y= ex sen y

    v

    x= ex sen y

    v

    y= ex cos y

    e se cumprem as condicoes de Cauchy-Riemann. Da continuidade des-sas derivadas parciais concluimos que exp(z) e holomorfa em todo C e,portanto, e uma funcao inteira. Alem disso sua derivada e dada por

    exp(z) =u

    x(x, y) + i

    v

    x(x, y)

    = ex(cos y + i sen y) = exp(z).

    Antes de mais nada note que se z e real, z = x + 0i, entao exp z = ex.Por outro lado,

    | exp z| = ex

    (cos y)2 + ( sen y)2 = ex

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    Secao 5 A Exponencial 49

    para todo z. Como ex > 0 obtemos

    exp z 6= 0.Agora, recordando a representacao polar

    (I)

    exp z1 exp z2 = ex1(cosx1 + i sen y1)e

    x2(cosx2 + i sen y2)

    = ex1ex2(cos (x1 + x2) + i sen (y1 + y2))

    = e(x1+x2)(cos (x1 + x2) + i sen (y1 + y2))

    = exp (z1 + z2)

    e

    (II)

    1

    exp z=

    1

    ex(cos y + i sen y)

    =1

    ex(cos y i sen y)

    = ex(cos (y) + i sen (y))= exp (z).

    Por (I) e (II)

    exp z1exp z2

    = exp z1 exp (z2) = exp (z1 z2).

    Invocando (I),(II) e usando inducao

    (III) (exp z)n = exp(nz) qualquer que seja n Z.Ate agora, as propriedades da exponencial complexa coincidiram comas da exponencial real. As diferencas comecam na extracao de raizes(recorde a formula do Captulo 1), pois se n e um inteiro positivoentao, para cada z C existem n numeros complexos w(z) satisfa-zendo w(z)n = exp z. Esse e um exemplo do que chamamos de funcaomultiforme. De fato,

    (IV)

    (exp z)1n = [ex(cos y + i sen y)]

    1n

    = (ex)1n

    [cos

    (y + 2jpi

    n

    )+ i sen

    (y + 2jpi

    n

    )]

    = ex

    n

    [cos

    (y + 2jpi

    n

    )+ i sen

    (y + 2jpi

    n

    )]

    = exp

    (z + 2piij

    n

    )para 1 j n.

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    50 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    Segue de (III) e (IV) que, se m Z e n N

    (exp z)mn =

    {(exp z)

    1n

    }m= exp

    [mn

    (z + 2piij)]

    para 1 j n.

    Outra diferenca entre as exponenciais complexa e real e que exp z eperiodica, de perodo imaginario 2pii, pois

    exp (z + 2pii) = ex(cos (y + 2pi) + i sen (y + 2pi))

    = ex(cos y + i sen y) = exp z.

    Geometricamente, isso quer dizer que a imagem das retas verticais x =x0 pela exponencial sao circulos centrados em 0, de raio e

    x0 . Ja as retashorizontais y = y0 sao enviadas por exp em semi-retas emanando daorigem.

    Quanto a` conjugacao temos

    exp z = ex(cos y + iseny)

    = ex(cos y i sen y) = ex(cos (y) + i sen (y)) = exp z

    e portanto| exp z|2 = exp z exp z = exp z exp z.

    Uma outra propriedade fundamental da exponencial complexa e que elaassume qualquer valor complexo nao nulo, ou seja, exp : C C esobrejetiva. Para ver isso seja w = w1 + iw2 6= 0 e considere a equacao

    exp z = ex(cos y + i sen y) = w1 + iw2.

    Ora, isso e simplesmente uma representacao polar de w e concluimosque x = log |w| (logaritmo natural) e que y e um argumento de w.

    Suponha agora que z e imaginario, z = iy. Entao

    exp z = exp (iy) = cos y + i sen y.

    Essa igualdade fornece uma maneira conveniente de expressar a formapolar de um numero complexo, pois w = r(cos + i sen ) se escreve

    w = r exp (i).

    Alem disso, como exp (x+ 0i) = ex, as propriedades da exponencialnao sao conflitantes com as notacoes usuais para potencias do numero

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    Secao 6 O Logaritmo 51

    e = 2, 718281..., o unico numero real para o qual se tem log e = 1(logaritmo natural). Assim sendo introduzimos a notacao, devida aEuler,

    exp (i) = ei.

    Dessa maneira, a forma polar w = r(cos + i sen ) se le w = rei.Tambem convencionaremos escrever

    exp z = ez = ex+iy = exeiy.

    6 O Logaritmo

    No caso real, a funcao logaritmo e a inversa da funcao exponencial, istoe, um numero real y e o logaritmo do numero real positivo x, log(x) = y,se, e somente se, ey = x. No caso complexo temos um problema pois aexponencial complexa e periodica ez = ez+2piij , j Z. Assim sendo, epreciso certa cautela para inverte-la pois nao e possvel obter uma unicafuncao f satisfazendo

    exp (f(z)) = z

    porque, dada uma tal f , para a funcao g(z) = f(z) + 2piik, k Z,tambem vale que

    exp (g(z)) = exp (f(z) + 2piik) = exp (f(z)) exp 2piik = exp (f(z)).

    Dado z C, z 6= 0, queremos definir o logaritmo de z porse z = ew entao w = log z.

    Escreva z = rei, pi < pi e w = u+ iv. A expressao acima fica(1) rei = eu+iv = eu eiv.

    Primeiramente |z| = |eu+iv| fornece(2) r = eu

    e temos a unica solucaou = log r

    onde log e o logaritmo real. De (1) e (2) resulta que

    ei = eiv

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    52 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    e portanto

    v = + 2pin n Z.

    Logo,

    w = log z = log r + i( + 2pin)

    ou

    log z = log |z|+ i arg z.

    Essa igualdade deixa clara a natureza multiforme do logaritmo pois umnumero nao nulo z tem uma infinidade de argumentos. Para obtermosuma funcao, somos forcados a nos restringir a domnios em C nos quais oargumento possa ser determinado univocamente. Tais domnios podemser obtidos como se segue: tome uma semi-reta fechada emanando daorigem, L = {(t cos, t sen ) : 0 t R}, onde 0 < 2pi e ponha

    D = C \ L.

    Para todo z D temos precisamente um unico valor argz satisfazendo < arg < +2pi. Portanto podemos definir uma funcao, chamada umramo do logaritmo

    log : D C

    por

    log z = log |z|+ iargz.

    O ramo do logaritmo definido no domnio D0, obtido retirando-se de Co semi-eixo (x, 0), x 0, e chamado de ramo principal.

    Para o ramo principal temos pi < arg0z < pi e afirmamos que arg0ze uma funcao contnua em D0. Para ver isso considere os tes domnios

    U1 = {z : Im(z) > 0}U2 = {z : Re(z) > 0}U3 = {z : Im(z) < 0}

    Sua uniao U1 U2 U3 e D0.

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    Secao 6 O Logaritmo 53

    Se um numero complexo z esta em U1, entao seu argumento satisfaz0 < arg0z < pi. Escrevendo z = x+ iy temos que

    cos (arg0z) = xx2 + y2 =

    Rez

    |z|e podemos tomar

    arg0z = arccos

    (Rez

    |z|)

    que e uma funcao contnua (a inversa da funcao cos no intervalo (0, pi)tal que arccos (0) = pi2 ). No domnio U2 temos que

    pi2 < arg0z 0 para1 j k, entao log (z1 . . . zk) = log z1 + +log zk. Aqui, log e o ramoprincipal do logaritmo.

    22) Resolva as equacoes ez = 1, ez = 1 + i, ez = i, ez = 3i.23) O chamado paradoxo de Bernoulli e o seguinte:

    (z)2 = z2 2 log (z) = 2 log z log (z) = log z.

    Aonde esta o erro?

    24) Determine arg0z onde z e cada um dos numeros 1 + i, (1 + i)4,(

    32 + i

    )5. Calcule o logaritmo (ramo principal) desses numeros.

    25) Usando o ramo principal de z calcule 2

    2, 12

    2, (5i)1+i, 1i, 1i.

    26) Determine o ramo principal da funcaoz 1.

    27) Derive a funcao log (tanh z2).

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    58 Funcoes Holomorfas Cap. 3

    28) Mostre que a funcao exponencial ez e uma bijecao entre a faixainfinita {z : 0 < Im(z) < pi} e o semi-plano superior {z : Im(z) > 0}.29) Mostre que a funcao exponencial ez e uma bijecao do aberto {z :Re(z) < 0, 0 < Im(z) < pi} sobre o aberto {z : |z| < 1,Re(z) > 0}.30) Determine a imagem do domnio interior a um retangulo {z : a 0, 0 < arg(z) < pi/n} e o semi-plano superior {z :Im(z) > 0}. Determine a inversa dessa bijecao.

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    Series

    1 Sequencias e Series Numericas

    Series de potencias sao essenciais no estudo das funcoes holomorfas poisessas se expressam localmente como tais. Por sua vez, os ingredientesnecessarios a` compreensao das series de potencias sao sequencias e seriesnumericas. Comecamos entao com a

    1.1 Definicao. Uma sequencia numerica e uma funcao do conjunto dosnaturais N = {0, 1, 2, 3, . . . } em C,

    f : N C.

    O numero complexo f(n) e chamado n-esimo termo ou termo geral dasequencia.

    Dessa maneira, uma sequencia fica expressa atraves dos pontosf(0), f(1), . . . , f(n), . . . ou seja, atraves do conjunto imagem de f , {f(n)},(n N). Para simplificar a notacao, podemos tambem escrever umasequencia como a0, a1, . . . , an, . . . onde ai denota o numero f(i) e nota-la (ai). Exemplos de sequencias sao:

    1) uma sequencia constante a, a, a . . . , dada pela funcao constantef(n) = a qualquer que seja n N.

    2) os termos de uma progressao aritmetica a, a + r, a + 2r, . . . , a +nr, . . . constituem uma sequencia definida pela funcaof(n) = a+nr, oucujo termo geral e bn = a+ nr.

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    60 Series Cap. 4

    3) os termos de uma progressao geometrica a, ar, ar2, . . . , arn, . . .formam uma sequencia definida pela funcao f(n) = arn ou por bn = ar

    n.

    4) sequencias que sao definidas recursivamente, por exemplo, a0 =1, a1 = 2 e an = an1 + an2 para n 2. Nesse caso temos a0 = 1, a1 =2, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 8 etc.

    5) a sequencia formada pelos numeros primos p0 = 2, p1 = 3, p2 =5, p3 = 7, p4 = 11, . . . . Esse exemplo ilustra o fato de que muitasvezes uma sequencia, apesar de perfeitamente definida, nao pode terseu termo geral explicitado, ja que e impossvel obter uma formula paraesses numeros.

    A primeira pergunta a se fazer sobre uma sequencia e se ela e limitadaou nao. Mais formalmente, dizemos que (an) e limitada se podemosencontrar um numero positivo K tal que |ai| < K valha para todosos termos da sequencia. Isso quer dizer que os pontos ai estao todoscontidos no discoD(0,K), de centro 0 e raioK. (an) e dita ilimitada casocontrario, ou seja, quando dado qualquer numero positivo K, podemosencontrar um termo ai da sequencia satisfazendo |ai| > K. A sequenciaconstante e o`bviamente limitada, ja a sequencia dos numeros primos eilimitada (exerccio). Como sempre, o conceito fundamental associadoa uma sequencia numerica e o de limite. Da vem a

    1.2 Definicao. Um numero complexo a e o limite da sequencia (an)se os termos da sequencia ficam arbitrariamente proximos de a paran suficientemente grande, isto e, se dado qualquer numero positivo ,e possvel encontrar um numero natural n0 tal que, se n n0 entao|an a| < . Se a e o limite de (an) escrevemos

    limn an = a ou (an) a

    e dizemos que a sequencia (an) converge a a.

    Exemplos de sequencias convergentes sao:

    1) a sequencia constante an = a converge a a.

    2) a sequencia an =1n , n 1 converge a zero.

    3) an =1+in

    , n 1 converge a zero.Note que o limite de uma sequencia e unico, isto e, se lim

    n an = a elimn an = b entao a = b, pois

    |a b| = |a an + an b| |a an|+ |an b|

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    Secao 1 Sequencias e Series Numericas 61

    e as duas parcelas a` direita da desigualdade ficam arbitrariamente pe-quenas quando n cresce.

    Uma sequencia que nao possui limite e chamada divergente. Exem-plos de sequencias divergentes sao:

    1) an = (1)n, que adere aos pontos 1 e 1.2) an =

    n, uma sequencia ilimitada.

    3) an = sennpi2 , que adere aos pontos 0, 1 e 1.

    4) a sequencia (pn) dos numeros primos.

    Observe que, se uma sequencia e convergente entao ela e limitada.De fato, suponha (an) a. Tome = 1 e obtenha um numero n0 talque, para n n0, se tem |an a| < 1, ou seja, |an| < 1 + |a|. Agora,escolha K satisfazendo K max{|a0|, . . . , |an0 |, 1+|a|}. Tambem temosque, se (an) a entao (|an|) |a|, pois vale ||an||a|| |ana|. Alemdisso, dizer que (an) a e equivalente a dizer que lim

    n |an a| = 0(exerccio).

    Olhe agora para uma sequencia (zn) de numeros complexos. Essesse escrevem zn = an + ibn, onde (an) e (bn) sao sequencias de numerosreais. Afirmamos que (zn) w = a + ib se, e somente se, (an) ae (bn) b. Para ver isso, se (zn) w entao, dado > 0 podemosencontrar n0 tal que

    n n0 = |zn w| < .Agora, se z = x+ iy e um numero complexo