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7/30/2019 Livi Fentrans

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Fundamentos de -*

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Fenmenos de TransporteUm Texto para Cursos Bsicos

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Fundamentos deFenmenos de Transportelm Tearo para Cursos Bsicos

CELSO POHLMANN LIVIDepartamento de Recursos Hdricos e Meio AmbienteEscola PolitcnicaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

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LTCEDITORA


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No interesse de difuso da cultura e do conhecimento, o autor e os editores envidaram o smmximo esforo paralocalizar os detentores dos direitos autorais de qualquer materialutilizado, dispondo-se apossveis aceitos posteriores caso, inadvertidamente,aidentificao ^de algumdeles tenha sido omitida. e

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Capa: Projeto combaseem ilustrao fornecida peloautor

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Direitos exclusivos para a lngua portuguesa 'Copyright2004 by Celso Pohlmann Livi ^LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A.Travessa do Ouvidor, 11 yRio de Janeiro, RJ CEP 20040-040 mTel.: 21-2221-9621Fax:21-2221-3202 ^ltc@ ltceditora.com.brwww.ltceditora.com.br

Reservados todos osdireitos. proibida a duplicaooureproduo deste volume, no todo ouemparte, ^sobquaisquerformas ou porquaisquermeios(eletrnico, mecnico, gravao, fotocpia, 3distribuio naWeb ou outros),


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PREFACIO

Denomina-se Fenmenos deTransporte amatria que compreendeo estudode mecnicados fluidos, de transmisso decalor e de transferncia de massa. Trata-se de uma matria deformao bsica dos cursos de engenharia. Fenmenos deTransporte consta docontedo programtico do Exame Nacional deCursos (Provo) do Ministrio daEducao.Verifica-se que diferentes fenmenos difusivos da mecnica dos fluidos, da transmisso de calor e da transfernciade massa podemser descritos por ummodelo matemtico comum, onde a diferena est nas grandezas fsicasenvolvidas e seus respectivos coeficientes de difuso, deforma queessesassuntospassaram a serestudadosconjuntamente com o nome de Fenmenosde Transporte.Este texto foi desenvolvido paraatender s necessidadesde uma disciplina introdutria, com durao de um semestre e situadano final do ciclo bsico dos cursos de engenharia, em que osalunos entram em contato pela primeiravezcomo assunto. Neste livro, o contedo est organizado

de forma a considerar, primeiro, alguns conceitos e umaformulao bsica para fenmenos de transporte, com aapresentao de um modelo matemtico comum que evidencia a analogia existente entre os processos difusivosunidimensionaisde transporte de momento (quantidade demovimento) linear, de calor e de massa. Aps, so desenvolvidos os tpicos de mecnicados fluidos, de transfernc ia d e calor e d e d il us o d e massa.Este Ivto no esgota o assunto, tratando somente daconceituaobsicae doestudo dostpicos fundamentaisque consideroadequado para uma disciplina introdutriasobreFenmenos deTransporte, destinadaa estudantesdeumcurso de graduao de engenharia. Esperoque o livrosejatilparaestudantes e professores. Considero, tambm,que osalunosde algumas habilitaes dasescolasde engenharia, tais como dos cursos de engenharia mecnica, naval e qumica, que necessitaro de conhecimento maisaprofundado sobre o assunto, cursaro, no ciclo profissional, outras disciplinas sobre mecnica dos fluidos, transferncia de calor e transporte de massa.NoCaptulo 1. apresento conceitose definies fundamenta i s .NoCaptulo 2, apresento conceitos e uma formulaobsica para fenmenos de transporte. Analiso, a partir de

uma abordagem fenomenolgica, processos difusivos unidimensionais onde ocorrem fluxos de momento linear, decalor e de massa, apresentando um modelo matemticocomum e mostrando a analogia existente entre esses processos difusivos unidimensionais de transferncia.No Captulo 3, trato dos fundamentos da esttica dosfluidos, abordando as noes bsicas do estudo da pressoesua variao emum fluido e a determinaodas foras depresso sobre superfcies planassubmersas.No Captulo 4, apresento uma descrio e a classificao de escoamentos.No Captulo 5, conceituo volume de controle e desenvolvo umaanlise de escoamentos na formulao de volume de controle com a aplicao de trs leis fsicas fundamentais: princpiode conservaoda massa, segunda leideNewton para o movimento e princpio de conservao daenergia. Estudo, tambm, a equao de Bernoullie noesbsicas sobre a perda de carga em escoamentos de fluidosreais em tubulaes.No Captulo 6. apresento uma introduo anlise diferencial de escoamentos, em que deduzo equaes diferenciaisque permitem a determinao das distribuiesdasgrandezas intensivas em estudo. Tendo em vista que estetexto se destina a uma disciplina introdutria sobre o assunto, trato mais da modelagem matemtica (formulao) dosproblemas eapresento solues somenteparacasossimples.NoCaptulo 7,conceituo transfernciade calore caracterizo os mecanismos de conduo, conveco e radiao,apresentandoas equaes que fornecem as densidades defluxo de calor.NoCaptulo8, estudoa determinao do fluxo de calore da distribuio de temperatura para casos de conduounidimensional e em regime permanente, sem gerao int er na de calor e meio com condutividade t rmica constante, em sistemascom geometria simples onde so conhecidasas temperaturas nocontorno. Estudo, tambm, problemas unidimensionais e em regimepermanente de conduo de calor em paredes compostas com conveco nocont o r n o .NoCaptulo9, apresento uma introduo conduode calorem regimetransiente, onde deduzoa equaodiferencial da conduo de calor. Estudo a formulao de


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VIU Prefc io

problemas deconduo decalor em regime no-permanentee tratoda resoluo da equaoda difusode caloratravsdomtodo de separao devariveis paraproblemas unidimens iona i s .NoCaptulo10,apresentoalgumas definies e conceitosbsicos de transporte demassa e estudoos fundamentosda formulao de problemas simples da difuso molecularcausadapor gradientes de concentrao de umcomponente numamistura binaria, mostrando alguns aspectosda analogia existente coma transferncia de calorpor conduo.NoApndice, apresentoum resumode noesbsicasde termodinmica e umaaplicao da anliseglobal dosistema para a transferncia de calor.Neste texto,adotoa terminologia de fluxo e de densidadede fluxo, de acordo coma RegulamentaoMetrolgicaeQuadro GeraldeUnidades deMedida, estabelecidospeloConselhoNacional de Metrologia, Normalizao e Qualidade IndustrialCONMETRO, naResoluo 01/82, queestabelece as seguintes definies:

Fluxo demassa, com unidade quilograma por segundo(kg/s), ofluxo demassa deummaterial que, emregime permanente atravsdeuma superfcie determinada, escoa amassade l quilograma domaterial em 1 segundo;Potncia oufluxo deenergia, com unidade watt (W), apotncia desenvolvida quandoserealiza, demaneira contnuae uniforme, o trabalho de 1pule em l segundo; eDensidade defluxo deenergia, com unidadewatt pormetroquadrado (W/m2), a densidade deumfluxodeenergia uniforme de 1watt, atravs deuma superfcie plana de l metroquadrado de rea, perpendicular direo depropagao daenergia.Agradeo aoSr.Oswaldo LuizWaltzJunqueirapelaconfeco dosdesenhos e aos professores EniseValentini eGilberto Fialho pelassugestes e teis discusses sobreoa s su n t o .

Riode Janeiro, julho de 2004Celso P. Livi

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''-^:- SUMRIO

1 CONCEITOS EDEFINIES FUNDAMENTAIS, 11.1 Introduo, 1p 1.2 Meio Contnuo, 11.2.1 Limite de Validade do Modelo de Meio Contnuo, 11.3 Massa Especficaem um Ponto, 21.4 Volume Especfico. Peso Especfico. Densidade Relativa, 21.5 Foras de Corpo e de Superfcie, 31.6 Tenso em um Ponto. Notao Indiciai para as Componentes daTenso, 31.7 Fluidos. Definio e Propriedades, 51.7.1 Definio de Fluido, 51.7.2 Algumas Propriedades dos Fluidos, 61.7.3 Fluidos Newtonianos, 61.7.4 Viscosidade, 61.8 Mdulo de Elasticidade Volumtrica. Compressibilidade, 81.9 Equao de Estado para um Gs Perfeito, 91.10 Energia Interna. Capacidade Trmica e Calor Especfico, 101.11 TensoSuperficial. Capilaridade, 10\ 1.12 Pressode Vapor. Ebulio. Cavitao, 121.13 Grandezas, Dimenses e Unidades, 121.14 Consideraes sobre a Terminologia, 121.15 Bibliografia, 13116 Problemas, 13

\ 2 CONCEITOS DE FENMENOS DE TRANSPORTE E ANALOGIA ENTRE OSPROCESSOS DIFUSIVOS UNIDIMENSIONAIS DE TRANSFERNCIA DEMOMENTO LINEAR, DE CALOR E DE MASSA, 152.1 Introduo, 152.2 Grandezas Extensivas e Intensivas. Campos, 152.3 Desequilbrio Locale Fluxos. Fenmenos de Transporte, 152.4 Transporte Difusivo de Momento Linear, 162.5 Transporte de Calor por Conduo, 182.6 Transporte de Massa por DifusoMolecular, 192.7 Equaes para as Densidades de Fluxos de Momento Linear, de Calor e de Massa, 222.8 Equaes da Difuso, 24. 2.9 Bibliografia, 292.10 Problemas, 29

3 FUNDAMENTOS DA ESTTICA DOS FLUIDOS, 313.1 Introduo, 313.2 Presso em um Ponto, 31


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Sumr io

3.3 Equao Bsica daEsttica dos Fluidos, 33 ^3.4 Variao da Presso em um Fluido em Repouso, 34 ^3.5 Variao da Presso em um Fluido com Movimento de Corpo Rgido, 363.6 Medidas de Presso. Barmetro de Mercrio eManmetro de Tubo em U, 39 ^3.7 Foras sobre Superfcies Planas Submersas, 41 ^3.8 Empuxo e Flutuao, 46 ^3.9 Bibliografia, 483.10 Problemas, 48 ^4 DESCRIO ECLASSIFICAO DE ESCOAMENTOS, 52 ^

4.1 Introduo, 52 ^4.2 Campo de Velocidade de Escoamento. Acelerao, 52 ^4.3 Descrio e Classificao de Escoamentos, 534.4 Bibliografia, 60 ^4.5 Problemas, 60 /%

5 INTRODUO ANLISE DE ESCOAMENTOS NAFORMULAO DE 'VOLUME DE CONTROLE, 61 ^5.1 Introduo, 615.2 Sistema e Volume de Controle, 61 J5.3 Vazo e Fluxo deMassa, 62 ^5.4 Equao Bsica daFormulao deVolume de Controle, 64 ^5.5 Princpiode Conservaoda Massa. Equaoda Continuidade, 665.6 Segunda Lei deNewton para oMovimento na Formulao de Volume deControle. Equao do ^

Momento Linear, 70 /m5.7 Equao do Momento Angular, 755.8 Princpio de Conservao da Energia na Formulao deVolume de Controle. Equaoda Energia, 78 '5.9 Equao de Bernoulli, 83 "^5.9.1 Equaode Bernoulli sem Dissipao de Energia Mecnica, 83 a5.9.2 PressesEsttica, Dinmicae de Estagnao (Total). Determinaoda Velocidade de Escoamentocom Tubos de Pitot, 86 /5.9.3 Equao deBernoulli com Perda de Carga (com Dissipao de Energia Mecnica), 89 "^5.10 Noes Bsicas sobre Perda de Carga nos Escoamentos de Fluidos Reais em Tubulaes, 93 ^5.11 Equao de Bernoulli Modificada paraSituaes comBombas eTurbinas,985.12 Bibliografia, 101 ^5.13 Problemas, 102 r%

6 INTRODUO ANLISE DIFERENCIAL DE ESCOAMENTOS, 1126.1 Introduo, 112Equao da Continuidade na Forma Diferencial, 1126.3 Equao Diferencial do Movimento de um Fluido. Equaes de Navier-Stokes, 113 ^6.4 Equao Diferencial deTransporte deCalor, 119 "^6.5 Formulao (Modelagem Matemtica) eSolues para Alguns Problemas Simples, 122 ^6.6 Bibliografia, 130 *6.7 Problemas, 130 ^

7 INTRODUO TRANSFERNCIA DE CALOR, 133 ^7.1 Introduo, 133 ^7.2 Conduo, 133 /_7.3 Conveco, 134

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rrSumrio xi

ip 7.4 Radiao, 1367.5 Mecanismos Combinados de Transferncia de Calor, 137* 7.6 Bibliografia, 1388 INTRODUO CONDUO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM

f REGIME PERMANENTE, 1398.1 Introduo, 1398.2 Conduo Unidimensional de Calor atravs de Parede de uma Camada, 139\^ 8.2.1 Parede Plana de uma Camada, 1398.2.2 Parede Cilndrica de uma Camada com Conduo na Direo Radial, 1428.3 Conduo Unidimensional de Calor, em Regime Permanente, atravs de Parede Composta comConveco no Contorno, 1468.3.1 Parede PlanaComposta, 1468.3.2 Parede Cilndrica Composta com Conduo na Direo Radial, 1498.4 Conceito de Resistncia Trmica, 1518.5 Raio Crtico de Isolamento, 1538.6 Bibliografia, 156P 8.7 Problemas, 156

9 INTRODUO CONDUO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE, 1619.1 Introduo, 1619.2 Equao da Conduo de Calor, 1619.3 Condies de Contorno e Inicial para aDifuso de Calor, 1649.3.1 Condio Inicial, 164v 9.3.2 Condies de Contorno, 1649.4 Soluo Analtica de um Problema Transientee Unidimensional de Difuso de Calor 1719.5 Bibliografia, 1759.6 Problemas, 17510 INTRODUO TRANSFERNCIA DE MASSA, 17810.1 Introduo, 17810.2 Lei de Fick para aDifuso Molecular de um Componente numa Mistura Binaria, 17810.3 Fluxos deMassa emMisturas Binrias, 18010.4 Equao Diferencial deTransporte deMassa de umSoluto numaMistura Binaria, 18110.5 Equao da Difuso de Massa, 1851*0.6 Bibliografia, 18810.7 Problemas, 188

APNDICE: NOES BSICAS DE TERMODINMICAEUMA APLICAO DA ANLISE GLOBAL DOSISTEMA PARA ATRANSFERNCIA DE CALOR, 190A.l Introduo, 190A.2 Sistema e Volume de Controle, 190A.3 Equilbrio Trmico. Lei Zero daTermodinmica, 190A.4 Temperatura. Termmetros e Escalas, 190A.5 Calor. Capacidade Trmica. Calor Especfico, 191A.6 Trabalho Realizado por um Sistema sobre a Vizinhana, 192A.7 PrimeiraLei da Termodinmica para um Sistema, 193A.8 PrimeiraLei da Termodinmica na Formulaode Volumede Controle, 194A.9 Alguns Casos Particulares da Primeira Lei daTermodinmica paraum Sistema, 197

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x i i Sumrio o/^)A. 10Teoria Cintica dos Gases, 197 ^A. 11 Segunda Lei daTermodinmica, 201 ^A. 12 Uma Aplicao daAnlise Global do Sistema para aTransferncia de Calor, 202A.13 Bibliografia, 204 "3

NDICE, 205


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p LISTADE SMBOLOS, GRANDEZAS FSICAS EIMUMMES^m'~rmZfci&&&i.:zl>:':ziiz$

s* A rea, m2f a acelerao, rn/2* Bi nmero de Biot

C capacidade trmica, j/C^ c calor especfico, l( ^concentrao do componente Adefinidacomo frao de massa

calor especfico a presso constante, V calor especfico avolume constante, y( dimetro, mcoeficiente de difuso molecular (difusividade de massa) docomponente Anamistura de componentes Ae B, m /densidade relativamdulo de elasticidade volumtrica, Paenergia interna, Jenergia total do sistema, Jenergia total especfica (por unidade de massa), j/rugosidade da superfcieda parede de um duto, mfora, Ndensidade de fluxo de uma grandezaextensiva genricafator de atritoacelerao da gravidade na superfcie da Terra, g= 9,81 r^2momento angular (quantidade demovimento angular), /carga totalcorrespondente energia mecnica disponvel noescoamento, mcoeficiente de transferncia de calor por conveco, /L.2 vcarga correspondente energia mecnica que transferida de umabomba paraum escoamento, mperda de carga num escoamento, mperda de carga distribuda, mperda de carga localizada ou acidental,mcarga correspondente energia mecnica que transferida de uraescoamento para uma turbina, msegundomomentode rea (momentode inrciade rea), m4momento de inrcia, kg-m2corrente eltrica, A

p CPs CV

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xiv Lista de Smbolos, Grandezas Fsicas e Unidades SI

t vetor unitrio na direo xJA densidade de fluxo de massa pordifuso molecular do componente A,em relao a um plano que semovek e /com avelocidade mssica mdia da mistura, ys.mi

j vetor unitrio na direo7k condutividade trmica, ^yLrrk constante de Boltzmann, k- 1,38XIO"23 j^k vetor unitrio na direo zL calor de transformao de fase (calor latente), y(Le nmero de LewisM massa, kgM torque (momento de uma fora), N-mm massa, kgth fluxo de massa, yiN nmero de molculas 1 / '*%NA densidade de fluxo de massa do componente Aem relao a um sistema decoordenadas fixo, y 2/S'm zaNA nmero de Avogadro, NA = 6.022X1023 mol"1n nmero de mols 1ri vetor unitrio normal superfcie ^P momento (quantidade de movimento) linear, k8,m/ "^Pr nmero de Prandtl ^p presso, Pa Q quantidade de calor, J ^Q vazo, m% ^Q fluxo (taxade transferncia)de calor,W *&q densidade de fluxo de calor, W/ 2 ^%R raio, m ^fl resistncia eltrica, lRe nmero de ReynoldsRT resistncia trmica, %yRu constante universal dos gases, R =8,314 V , v 0 u /moI-K ^r, 0, r coordenadas cilndricasr^ raio crtico de isolamento, mI> entropia, %rS.C. superfciede controleSc nmero de Schmidt 'T temperatura, K ^t tempo, s /%" energia interna especfica (por unidade de massa), j/ ^V velocidade, /s ^V volume, m3 ^

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ListadeSmbolos, GrandezasFsicas eUnidades SI xvp V.C. volume de controlef^ v volume especfico, mV/p W peso, N0s W trabalho, J^ W trabalhode cisalhamento, I

x, >', z coordenadas retangulares(Pp Letras Gregas

difusividade trmica, m /grandeza extensiva genricagrandeza intensiva correspondente grandeza extensiva genrica Bpeso especfico, ^y }quociente entreoscalores especficos molares a presso e a volume constanteseixo referencial, para a profundidade, contido em uma superfcie plana submersaviscosidade absoluta ou dinmica, Pasviscosidade cinemtica, m /ngulo, radmassa especfica, y 3concentrao do componente Adefinida como massa especfica, y 3tenso superficial, ^vlconstante de Stefan-Boltzmann, cr = 5,67X10"8 W/componente de tenso normal, Pacomponentede tenso cisalhante(tangencial), Pavelocidade angular, ra7

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Captulo 1

CONCEITOS EBEPlNJESte&M$;i>f\FUNDAMENTAIS j1.1 INTRODUO

No estudo de Fenmenos de Transporte, utilizaremos conceitos edefinies j estudados namecnica e na termodinmica, mas necessitaremos de outros ainda no vistos. Afinalidade deste captulo rever edesenvolver alguns conceitose definies fundamentais.1.2 MEIO CONTINUOAmatria tem uma estrutura molecular eexiste, normalmente, em trs estados: slido, lquido egasoso. Onmero demolculas normalmente existentes em um volume macroscpico enorme. Para termos uma idia da ordem de grandezado nmero de partculas envolvidas, em condies normais de temperaturaepresso existem cerca de IO19 molculas emum volume de 1cm3 de ar atmosfrico. Com esse nmero to grande de partculas praticamente impossvel adescriodo comportamento macroscpico da matria, como, por exemplo, oestudo do escoamento de um fluido, apartir domovimento individual de suas molculas.No que se refere aos problemas comuns de engenharia, geralmente estamos interessados no comportamento macros-cpico devido aos efeitos mdios das molculas existentes no sistema em estudo, e, sendo aabordagem microscpica(descrio apartir dos movimentos individuais das molculas) inconveniente, necessitaremos de um modelo mais ade-quado.No estudo da natureza ena soluo dos problemas encontrados na engenharia, em geral, esto presentes os princpios^ de idealizao e aproximao, ou seja, de modelagem. Adescrio dos fenmenos fsicos eaabordagem ea soluo dosproblemas podem ser esquematizadas da seguinte forma:

FENMENO FSICO(problema)FORMULAO EMODELAGEM(idealizao e aproximao)

SOLUO DO MODELOINTERPRETAO FSICA DO RESULTADO

Oconceito demeio contnuo uma idealizao damatria, ou seja, um modelo para oestudo deseu comportamentomacroscpico emque se considera umadistribuio contnuade massa.1.2.1 Limite de Val idade do Mode lo de Meio Con t nuoAvalidadedomodelode meiocontnuo depende das dimenses do sistema fsicoem estudo e do nmero de molculas existentes novolume considerado. Para ilustrarmos oassunto, consideremos um recipiente fechado contendo um gs.Apresso (fora por unidade derea) exercida pelo gs sobre aparede do recipiente, segundo a teoria cintica dos gases.decorre da freqncia de choques de suas molculas contra a parede. Evacuando-se progressivamente o gs. ou seja.

reduzindo-se progressivamente o nmero de partculas dentro do recipiente, observa-se quea presso decresce.


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2 Captulo UmEnquanto onmero de molculas for grande osuficiente para manter uma mdia estatstica definida, apropriedade ^presso sofre uma variao contnua. Entretanto, existe um volume abaixo do qual adiminuio no nmero de molculasproduz uma descontinuidade no valor da presso. Isso acontece quando olivre percurso mdio das molculas, isto , adistncia mdia percorrida pelas molculas entre duas colises sucessivas, for da mesma ordem de grandeza do menor ^comprimento significativo do sistema. Esse volume, em que ocorre essa descontinuidade no valor de uma propriedade do ^sistema, determina o limite de validade domodelo demeio contnuo.Omodelo de meio contnuo tem validade somente para um volume macroscpico no qual exista um nmero muito "1grande de partculas, ou seja, tem como limite de validadeomenor volume de matria que contm um nmero suficiente ^de molculas para manter uma mdia estatstica definida. Assim, as propriedades de um fluido, no modelo de meio con- _tnuo, tm um valor definido em cada ponto do espao, de forma que essas propriedades podem ser representadas porfunes contnuas da posio e do tempo. 1

1.3 MASSA ESPECFICA EMUM PONTO Âmassa especfica p, definida como amassa por unidade de volume, uma propriedade que ilustra bem oconceito de imeio contnuo. Por definio, considerando omodelo de meio contnuo, amassa especfica em um ponto dada por ^P= m % (131) 1AV^V AV ônde: - 1

Am a massa contida no volume AV; e yV omenor volume, em torno do ponto, que contm um nmero suficiente de molculas para que exista uma mdia êstatstica definida, ou seja, o limite de validade do modelo de meio contnuo. ^%Como exemplo ilustrativo, consideremos a massa especfica do ar em condies normais de temperatura e presso. _Para umelemento devolume macroscpico, pode-se considerar que existe um nmero constante demolculas. Fazendo 1ovolume tender azero, como as partculas possuem movimento aleatrio, para um elemento de volume infinitesimal, o ^nmero demolculas fica dependente dotempo, resultando emdescontinuidade novalor damassa especfica para volu-mes menores queV. AFigura 1.1 mostra um grfico damassa especfica emfuno dovolume do elemento devolume 'considerado, ilustrandoo limitede validade domodelo de meiocontnuo. ^

A l V ^

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Conceitos e Definies FundamentaisAdensidade relativa dde uma substncia Aexpressa oquociente entre amassa especfica dessa substncia Aeamassa especfica de uma outra substncia B, tomada como referncia. Por definio, adensidade relativa dada por

j_Pa

Geralmente, asubstncia de referncia para ocaso de lquidos a gua e, para ocaso de gases, oar. Adensidaderelativa independe do sistema de unidades, pois dada por um valor adimensional.1.5 FORAS DE CORPO EDE SUPERFCIEDe uma maneira geral, as foras podem ser classificadas em duas categorias: foras de corpo oude campo; e foras de superfcie ou de contato.As foras de corpo so aquelas que semanifestam atravs da interao com um campo eatuam sem anecessidade deumcontato entreas superfcies doscorpos. Exemplos: peso, devido ao campo gravitacional; fora eltrica, devido a umcampo eltrico; e^ fora magntica, devido a um campo magntico.

% Essas foras de corpo so proporcionais ao volume V* dos corpos. Por exemplo, opeso de um corpo de massamevolume V, com massa especfica p, no campo gravitacional terrestre com acelerao f, dado porW=IJjgdm=IJjgpdV (1.5.I)S m VAs foras de superfcie so aquelas que atuam sobre um sistema atravs de contato com a fronteira do mesmo. Exem- foras de atrito; foras devidas presso; e foras devidas s tenses cisalhantes nos escoamentos.Essas foras de superfcie so proporcionais rea da superfcie sobre aqual atuam.

1.6 TENSO EMUM PONTO. NOTAO INDICIALPARAASCOMPONENTES DA TENSOO conceito de tenso envolve umafora de contato e a rea da superfcie naqualatua. Um elemento dereatemorien-tao dada pelo vetor unitrio normal superfcie. As grandezas vetoriais necessitam daespecificao demdulo (valornumrico), de direo e de sentido. Considerando um sistema referencial, uma grandeza vetorial pode serespecificadapor trs componentes escalares, que so as projeesdesse vetor sobre os eixoscoordenados considerados.Consideremos umelemento derea AA em torno do ponto P sobre oqual atua um elemento de fora AF, conforme mostrado na Figura 1.2. A fora AF podeser decomposta em trs componentes escalares em relao ao sistema decoordenadas considerado. O elemento de rea AA tambm um vetor (tem mdulo igual rea doelemento AA, dire-o normal superfcie e sentido dedentro para fora do volume delimitado pela superfcie), de forma que tambm podeserdecomposto emtrscomponentes escalares segundo os eixos do sistema de referncia.Aespecificao das componentes da tenso, que tm adimenso de fora por unidade de rea, necessita da indicaoda direo da componente dafora e, tambm, da indicao da orientao da superfcie onde atua a tenso. Uma notaode duplo ndice fornece uma descrio conveniente para as componentes da tenso, representadas por Tit em que opri-meiro ndice identifica a direo da normal aoplano noqual a fora atua, e o segundo ndice fornece a direo da com-

'Adotamos o smbolo V para volume para evitar confuso com outras grandezas, tal como com avelocidade V.


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Captulo Um

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V* Figura1.2 Elemento dereaAAdeumasuperfcieondeatuaumelemento de fora AF.

ponente da fora ou da tenso, propriamente. Assim, as componentes da tenso com anotao indiciai podem ser definidas porT. = m L'> Mj-o AAf (1.6.1)

Considerando as componentes de foras que atuam em planos paralelos aos planos coordenados de um sistema decoordenadas retangulares, ou seja, em elementos de rea com normais nas direes x, ye z, tem-se que a Eq. (1.6.1)fornece as nove equaes escalares que definem as componentes da tenso, pois os ndices iejpodem assumir os valoresx,yez. Se os ndices forem iguais (i =j),tem-se uma componente de tenso normal representada por cr.., enquanto se osndices forem diferentes (i = j) tem-se uma componente de tenso cisalhante (tangencial), representada por r...Para um elemento derea AAX, com normal na direo x, sobre oqual atuam ascomponentes defora AFX, AFy eAF2nas direes x, ye z, respectivamente, resultam uma componente de tenso normal o^e duas componentes de tensocisalhante (tangencial) t^ e t,que so definidas pelas equaes, AF,tr = hm AAx-0 AA,

AFt = lim -aa*-o AArt = lim AF .^* -o AA

(1.6.2a)

(1.6.2b)(1.6.2c)

Da mesma maneira, considerando elementos derea AAy eAA., com normais nas direes yez, respectivamente, sodefinidas as componentes de tenso o~n, r^, t^, cra, rae t^.Atenso em um ponto especificada pelas nove componente s da matriz

T = (1.6.3)

conhecida como tensor tenso, cujo smbolo o~indica ascomponentes normais eTrepresenta ascomponentes cisalhantesda tenso. Consideremos o elemento de volume mostrado na Figura 1.3 paravisualizarmos as componentes da tensocom a notao indiciai, lembrando que essas nove componentes passam a atuar no mesmo ponto quando o volume doelemento de volume tende a zero.AFigura 1.3 apresenta as componentes de tenso com sinais positivos que atuam sobre os planos que tm vetores unitrios normais superfcie no sentido positivo dos eixos coordenados considerados. Deve-se lembrar deque ovetor normalsuperfcie tem sentido positivo de dentro para fora dovolume delimitado pela superfcie. Aconveno adotada aseguinte: uma componente de tenso positiva se ovetor normal superfcie sobre aqual a fora atua eacomponente da tensopropriamente tm, ambos, sentidos na direo positiva ou negativa dos eixos do sistema dereferncia; e uma componentede tenso negativa seovetor normal superfcie e a componente dafora que atua no plano tm sinais contrrios.Considerandoum elementode volume tetradrico, comtrs faces orientadas ao longo dosplanoscoordenados de umsistema de coordenadas retangulares, Cauchy demonstrou que com o conhecimento damatriz tenso, com as compo-

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Conceitos e Definies Fundamentais

r t*S Figura 1.3 Componentes da tensocom a notao indiciai.

nentes relativas s direes dos eixos coordenados, pode-se calcular a tenso, no mesmo ponto, relativa aqualquer outradireo. Considerando uma superfcie cuja orientao dada por um vetor unitrio normal ti expresso em termos deseus co-senos diretores a, bec em relao aos eixos de um sistema de coordenadas retangulares com vetores unitriosdirecionais i, j e k, de forma quen = ai +bj + ck

sendoa= n i; b = n j\ c = n k

ea2 + b2 + c2 = l

resulta que, pela relao de Cauchy, a tenso na direo n dada porf (w) = fnonde T amatriz tenso daEq. (1.6.3).

(1.6.4)(1.6.5)(1.6.6)

(1.6.7)

1.7 FLUIDOS. DEFINIO EPROPRIEDADES1.7.1 Defini o de F lu idoFluido asubstncia que se deforma continuamente sobaao de uma tenso cisalhante (tangencial), pormenor quesejaa tensode cisalhamentoaplicada.Os slidos e os fluidos apresentam comportamentos diferentes quando submetidos a uma tenso cisalhante. pois asforas de coeso interna so relativamente grandes nos slidos emuito pequenas nos fluidos. Um slido, quando submetido a um esforo cisalhante, resiste fora externa sofrendo uma deformao definida de um ngulo 9, desde que noseja excedido o limite de elasticidade do material.Os fluidos, com aaplicao deuma tenso cisalhante, sedeformam contnua e indefinidamente enquanto existir essa

df tenso tangencial, resultando uma taxa dedeformao -, pois ongulo dedeformao funo do tempo, 0= d(t). nolugar deum ngulo dedeformao caracterstico que ocorre no caso dos slidos. AFigura 1.4 ilustra adeformao sofridapor um slido eporum elemento devolume fluido causada pela aplicao de uma tenso cisalhante.

VV VVVVVVV V01/T A/ Slido/

vrrqeiiii

7 7 7 / / / / / / / / / /

Deformao 9 caracterstica

IV^VVVVVVVl^VV'0/'^ '2T7

/ .' Elemento/. ' fluido/ / / / / / / / 7T

Taxa de deformao^ Figura 1.4 Deformaode um slidoe de urr.e.emento fluido submetidos a tenses cisaihanres


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6 CAPfruLoUM ^1.7.2 Algumas Propriedades dos Fluidos 2

a) Os fluidos submetidos aesforos normais sofrem variaes volumtricas finitas. Quando essas variaes volumtricas _so muito pequenas, considera-se os fluidos incompressveis. Geralmente, os lquidos so incompressveis (desde que 1no estejam submetidos apresses muito elevadas), enquanto os gases so compressveis. ^b) Existindo tenso cisalhante, ocorre escoamento, ou seja, o fluido entra em movimento. , r. , *c) Os fluidos se moldam s formas dos recipientes que os contm, sendo que os lquidos ocupam volumes definidos e fapresentam superfcies livres, enquanto os gases se expandem at ocupar todo orecipiente. Essa moldagem nos lquidos ^deve-se ao escoamento causado pela existncia de componente cisalhante do peso dos elementos de volume do fluido. ^d) Para um fluido em repouso, atenso exclusivamente normal, sendo seu valor chamado de presso estticapque, 'emumponto, igual emqualquer direo, ou seja, /F- =' . =Oi. = -V "5Essa Eq. (1.7.2.1) uma formulao matemtica do Princpio de Pascal, que ser estudado no Captulo 3, Funda- ^mentosda EstticadosFluidos. ^1.7.3 Fluidos Newtonianos ^

De umamaneira geral, os fluidos so classificados como newtonianos eno-newtonianos. Essa classificao considera ârelao existente entre a tenso cisalhante aplicada ea taxa de deformao sofrida por um elemento fluido. Tem-se umfluido newtoniano quando a tenso cisalhante aplicada diretamente proporcional taxa de deformao sofrida por um ?elemento fluido. So classificados como fluidos no-newtonianos aqueles nos quais a tenso cisalhante aplicada no ^diretamente proporcional taxa de deformao sofrida por um elemento fluido. Agua eoar, por exemplo, so fluidos ^newtonianos. Estudaremos somente fluidos newtonianos.1.7.4 Viscosidade Âviscosidade apropriedade associada resistncia que o fluido oferece deformao por cisalhamento. De outramaneira, pode-se dizer que a viscosidade corresponde ao atrito interno nos fluidos devido, basicamente, s interaes întermoleculares, sendo, em geral, funo da temperatura. /Consideremos um elemento fluido infinitesimal, situado entreduas placas planas paralelas de grandes dimenses,que sofre uma deformao no intervalo de tempo dt, conforme mostrado na Figura 1.5. lAplaca superior est em movimento comvelocidade constante dVx, enquanto aplaca inferior permanece em repouso. Ôs fluidos reais (viscosos) apresentam a propriedade deaderncia s superfcies slidas com asquais esto emcontato,de forma que uma pelcula de espessura infinitesimal de fluido fica aderida nas placas. 'Est sendo aplicada uma fora dFx constante sobre aplaca superior, que possui uma superfcie de rea dA em contato ^com o fluido com normal nadireo y, demaneira que a tenso cisalhante aplicada ao elemento fluido dada por _

r =lim^V O-7-4-1) ^- ^ AA-0 AA *%e tem-se que ^

[taxa de deformao^ _ dd , .- . . ^do elemento fluido) dt a%dL av xI' ! -^- dFx

Elemento fluido no instante t f dd / de /^ Elemento fluidono instante r + d t~~J\ dy n^

//////////Xi//

7F 7 7 r

/rî

r^ b

Figura 1.5 Deformao deum elemento fluido infinitesimal soba aode tensocisalhante. /esh


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CoNCErros eDefinies Fundamenta is 7Da definio de fluido newtoniano, tem-se que a tenso de cisalhamento diretamente proporcional taxa de deformao, ou seja,

dd^ ^ (1.7.4.3)Devido propriedade de aderncia dos fluidos reais s superfcies slidas com as quais esto em contato, tem-se queavelocidade de escoamento junto da placa superior dVx, enquanto ofluido junto da placa inferior est em repouso, deforma que existe uma determinada distribuio (perfil) de velocidade de escoamento do fluido entre as duas placas. Comomais conveniente trabalhar com gradiente de velocidade de escoamento do que com taxa de deformao de um elemento fluido, vamos mostrar, a seguir, que a taxa de deformao igual ao gradiente de velocidade existente no escoas mento.Consideremos a Figura 1.5. Adistncia dL dada por

dL = dVxdt (1.7.4.4)O ngulo dedeformao sorrido no intervalo de tempo dt d$, de forma que tambm tem-se" dL = dyig(d6) (1.7.4.5)

mas como para pequenos ngulos pode-se considerar que a tangente do ngulo praticamente igual ao ngulo, resultadL=dydd (1.7.4.6)

Assim, tem-se que dVJt = dydd (1.7.4.7)de forma que

de dvxi=^r (1749)^ que, em termos do gradiente de velocidade de escoamento, pode serescritacomo

dVT-""t (17A10)onde ocoeficiente deproporcionalidade /x aviscosidade absoluta ou dinmica do fluido. Essa Eq. (1.7.4.10) conhecidacomo aLei de Newton para aViscosidade. O sinal negativo devido ao fato dequeo transporte demomento linear atravsdo fluido, nadireo y, ocorre no sentido contrrio ao gradiente de velocidade deescoamento edeque a tenso cisalhante corresponde densidadede fluxo de momentolinear, conforme ser explicado mais detalhadamente na seoTrans-porte Difusivo de Momento Linear, no Captulo 2.\ Os fluidos reais possuem viscosidade, em maior oumenorintensidade, de forma que, quandoem escoamento comgradientes de velocidade, apresentam fenmenos de atritoviscoso. Aviscosidade causada fundamentalmentepela co-eso intermolecular e pela transferncia de momento linear atravsdo fluido.Os lquidos semoldam aos recipientes que os contm, devido ao escoamento causado pela existncia decomponentescisalhantes do peso de seus elementos de volume. Aviscosidade a propriedade do fluido que determina a velocidadedesse processo demoldagem. Verifica-se que a gua semolda rapidamente a um recipiente, enquanto o processo demoldagem daglicerina a um recipiente muito mais lento, pois aviscosidade daglicerina muito maior do que ada gua,ou seja,a glicerina oferece uma resistncia maior deformao por cisalhamento.No escoamentolaminar, o fluido escoaem lminas paralelas e o atritoviscoso causa tenses cisalhantesentre essascamadas do fluido em movimento. Deve-se observar que somente ocorre manifestao deatrito viscoso, num escoamen-s to,quandoh deslocamentorelativo entre as partculasfluidas, ou seja,quandoexistegradientede velocidadena direotransversal ao movimento do fluido, que correspondea uma taxa de deformaodos elementos de volumedo fluido.


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Conceitos e Definies Fundamentais

Exemplo 1.1Anlise da compressibilidade da guat considerando uma situao em que aplicada uma variao de presso deuma atmosfera* ou. seja, dp = 101,3 kP sobre um volume d um metro cbico de gua*Para agua na temperatura de 25C, tem-se que E= 2,22 X IO9 Pa, de forma que avariao de volume daddV = =-45,6XIO"6 m3

por

E 22000Assim, aaplicao de uma variao de presso de uma atmosfera (101,3 kPa) sobre agua causa uma reduo em seuvolume de apenas uma parte em 22000, de forma que aconsiderao de um lquido como agua ser incompressvel uma aproximao bem razovel.1.9 EQUAO DE ESTADO PARA UM GS PERFEITO

Na termodinmica, as variveis usualmente utilizadas para descrever um sistema so apresso p, ovolume Vea tempe-ratura T. Em muitas situaes conveniente trabalhar com ovolume especficov(ou com amassa especfica p) no lugardo volume total V. Essas trs variveis de estadoV(ou vou p),peTno so independentes e, geralmente, uma variaoem uma das trs altera as demais. Uma relao analtica entre essas variveis chamada de equao de estado.Um gs perfeito, em que no existem foras de interao intermolecular de origem eletromagntica, com interaessomente atravs de colises entre as molculas, pode ser definido como uma substncia que satisfaz lei dos gases per-feitos ou ideais, que pode ser expressa atravs daequao deestado

pv= RT (1.9.1)onde:p a presso absoluta;v o volume especfico;fia constante do gs;eT a temperatura absoluta.Como o volume especfico definido como o inverso da massa especfica, a equao de estado de um gs perfeitopode ser escrita como

= RT (1.9.2)Ponde p a massaespecfica.No existe umgs perfeito; entretanto, osgases reais submetidos a presses bastante abaixo da presso crtica c atemperaturas bem acima da temperatura crtica, ou seja, distantes da fase lquida, geralmente podem serconsideradosgases perfeitos ou ideais.AEq. (1.9.2) tambmpodeser expressa da seguinte forma:

pV = mRT (1.9.3ionde:V o volume ocupadopelogs;em a massado gs.Aunidade da constante do gs Rpode ser determinada da equao de estado, sendo que. no SI, tem-se a presso cmpascal, amassa especfica em quilogramas por metro cbico e a temperatura em kelvin, de forma que

N-m3 _ N m _ Jun idade de R = m2 kg K kg K kg KAequao de estado de um gs perfeito tambm pode ser escrita em termos molares. Um mol aquantidade de matriade um sistema contendo tantas entidades elementares quantos forem os tomos existentes em 0,012 quilograma de car-


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10 Captulo Um

bono 12. Se n o nmero de mols existentes no volume V, amassa do gs dada porm= nM, ondeMa massa ^molecular dogs, de forma quea Eq. (1.9.3) pode serexpressa como ^pV = nMRT (1.9.4) /^Para os gases que se comportam como perfeitos, oproduto MR uma constante, representada por Ra, chamada de ^constante universal dos gases, de forma que Ru =MR, resultando ^pV =nRuT (1-9.5) ^Aconstante universal dos gases no SI dada por m^

R= 8,314-f- 1m o i * l\> /*%1.10 ENERGIA INTERNA. CAPACIDADE TRMICA E ^CALOR ESPECFICO ^

Aenergia interna deum sistema uma funo do estado termodinmico e inclui aenergia deatividade trmica (cintica) "^de suas molculas e, tambm, a energia das interaes intermoleculares. no sistema. Geralmente, a energia interna deuma substncia funo da temperatura e dapresso, sendo que, para um gs perfeito, pode-se considerar queeladepende somente da temperatura. Em geral, trata-se com variaes da energia interna entre dois estados trmicos. . ^Denomina-se capacidade trmica Cde um corpo oquociente entre aquantidade de calor fornecida ao corpp eo cor^ ^respondente acrscimo de temperatura. NoSI,a unidade de capacidade trmica joule porkelvin (J/K).Calor especfico cdeuma substncia a quantidade decalor que deve serfornecida para uma unidade demassa para ' jaumentar a sua temperatura em um grau. NoSI,a unidade de calor especfico joule por quilograma e por kelvin /m(J/kg K). Para definir completamente calor especfico, deve-se especificar ascondies segundo asquais o calor trans-ferido para o sistema. 'Define-se calor especfico avolume constante cv de uma substncia como a quantidade de calor recebido porunidade ^de massa e por unidade de temperatura quando o volumedo sistema permanece constante, ou seja,

1 S&] ^=- ? L


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(P(P

N

Conceitos eDefinies Fundamentais 11todos os lados por outras partculas idnticas, sendo, assim, atradas igualmente em todas as direes por suas vizinhas,enquanto as molculas que se encontram na superfcie tm partculas vizinhas iguais aelas somente do lado de dentro dlquido. Dessa forma, resulta que, na superfcie livre de um lquido, praticamente no existem foras que atraem asmolculas para fora do lquido. Assim, as molculas localizadas na superfcie livre sofrem uma fora de atrao de forapara dentro do lquido, resultando em uma pelcula com efeito de tenso ao longo do plano da superfcie.Agrandeza fsica associada aesse efeito atenso superficial, representada por cr. Considerando uma linha traada nasuperfcie livre, atenso superficial pode ser definida como afora por unidade de comprimento que atua perpendicularmente aessa linha e no plano da superfcie. No SI, aunidade de tenso superficial N/m. Atenso superficial decorredas foras de coeso intermolecular, de forma que ela diminui com oaumento da temperatura. Atenso superficial depende, tambm, do fluido que est sobre asuperfcie livre, sendo, geralmente, tabelada para ocaso de seroar o fluidosobreo lquido.Por causa da tenso superficial, asuperfcie livre de um lquido tende sempre a se contrair, de maneira que sua reaseja amenor possvel. Essa a razo pela qual as gotas de um lquido so esfricas, pois esta ageometria que apresentamenor rea de superfcie para igual volume. Outros efeitos da tenso superficial so o aumento da presso dentro degotas e dentro de jatos de lquidos com pequeno dimetro, ea agregao de material granular mido.Capilaridade onome dado ao fenmeno de um lquido se elevar num tubo capilar que est parcialmente imerso nolquido. Aelevao capilar depende da tenso superficial eda relao entre aadeso lquido-slido eacoeso do lquido.Um lquido que molha oslido (ngulo de contato d< tt/2, conforme oesquema da Figura 1.6), tem uma adeso maiorque acoeso e,nesse caso, observa-se que em funo da tenso superficial o lquido sobe dentro deum tubo capilar queestparcialmente imerso nolquido. Afora de tenso superficial atua ao longo dacircunferncia interna do tubo e tema direo dada pelo ngulo de contato dentre o lquido eo slido, conforme mostrado naFigura 1.6.

e \ fe-t/C/C/Ot^C/CxCt/t/C

Th> 1/C/C^t-ft/CytXC/tyOl Figura 1.6 Efeito de capilaridade para o caso

deum lquido qu e molha o slido.

Para lquidos que no molhamo slido, comoo mercrio, a tenso superficial causa um rebaixamento do menisconumtubo capilar. Pode-secalculara alturaque o lquido sobenum tubo capilarpara situaesem que soconhecidos ongulode contato entre o lquidoe o slidoe a tenso superficial.Exemp lo 1 .2

Determinea alturahacimado nveldoreservatrioemquea guaseelevanum tubo capilarde vidrocomdimetrointerno d = 2 mm, conforme mostrado na Figura 1.6.Considerando que, para o caso gua-vidro, o ngulode contato $ praticamente nulo, o problema resulta em umequilbrio de foras, na direo vertical, entre as foras de pesoe de tenso superficial:

yh = cnrd4yd

Para a gua na temperatura de 20C, sendo a = 0,074 N/m e y = 9810 N/m3, resultah = 0,015 m = 1,5 cm


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12 Captulo Um "'

1.12 PRESSO DEVAPOR. EBULIO. CAVITAO Ôs lquidos se vaporizam devido atividade molecular interna que causa a emisso de molculas atravs da superfcielivre. Asmolculas de vapor sobrea superfcie livre exercem uma presso parcial, chamadade presso devapor. A inten- /sidadedo movimento dasmolculas depende da temperatura,de forma quea pressode vaporaumenta como acrscimo ^%de temperatura. Define-se como presso de vapor saturado a presso de vapor paraa qualocorre umequilbrio na trocade molculas entre o lquido e o vapor. 'Aebulio consistena formao de bolhas de vapor no interior do lquido. Essas bolhas de vapor, que possuemmassa êspecfica menor que ado lquido, sedeslocam para asuperfcie livre produzindo a turbulncia caracterstica do processo ^deebulio. Aebuliode umlquidodepende da temperaturae tambmdapresso qual eleest submetido.Observa-se que um lquidoentra em ebulioa uma temperaturamaisbaixa quando submetidoa uma pressomenor. /Nos escoamentos de lquidos,, em funo d-algrha^doridies dinmicas* podem ocorrer presses menores que a ^pressode vapor do lquido, resultando na formao de bolhasde vapor. Cavitao o nome dado a esse fenmenodeformao de bolhas de vapor em certas regies do escoamento de um lquido em funo de algumas condies dinmi- ^cas. Essas bolhas de vapor geralmente se deslocam e acabam colapsando quando atingem regies doescoamento ondea ^presso maior que apresso de vapor.: " 'V''"-.- : VC. t.':; c >H' > ;t Âocorrncia de cavitao prejudica o funcionamento de algumas mquinas hidrulicas, taiscomo bombas e turbinas,podendo afetar tambm odesempenho dos hlices de navios e submarinos. Esse fenmeno de cavitao pode danificar ôs componentes desses equipamentos, alm deintroduzir vibraes indesejadas no sistema. Osdanos causados s super-


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f^

*

\

CONCETTOS EDEFINIES FUNDAMENTAIS 13Nacional de Metrologia, Normalizao eQualidade Industrial - CONMETRO n. 12, de 12 de outubro de 1988 tm-se as seguintes definies:Fluxo de massa, com aunidade quilograma por segundo (kg/s), ofluxo de massa de um material que, em regime permanente atravs de uma superfcie determinada, escoa amassa de 1quilograma do material em 1segundo;Fluxo de energia ou potncia, com aunidade watt (VV), apotncia desenvolvida quando se realiza, demaneira contnuae uniforme, o trabalho de 1joide em l segundo;Densidade de fluxo de energia, com aunidade watt por metro quadrado (W/m2), adensidade de um fluxo de energiaunifortne de lwatt, atravs de uma superfcie plana de l metro quadrado de rea, perpendiculardireo de propagao daenergia.Neste texto, trataremos com transferncia de algumas grandezas fsicas, tais como de massa, de quantidade de movimento (momento) linear ede calor, ou seja, trataremos com fluxos edensidades de fluxo dessas grandezas.,...Assim, de acordo com aregulamentao metrolgica brasileira, nos fenmenos de transferncia que estudaremos neste>texto, fluxo de uma grandeza aquantidade dessa grandeza que transferida por unidade de tempo atravs de uma superfcie perpendicular direo de propagao da grandeza, enquanto adensidade de fluxo de uma grandeza ofluxodessagrandeza por unidadede rea.

1.15 BIBL IOGRAFIABENNETT, C.O.&MYERS, J. E. Fenmenos de Transporte. McGraw-Hill doBrasil, So Paulo, 1978.FOX, R. VV. &MCDONALD, A. T. Introduo Mecnica dos Fluidos. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1988.INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAO EQUALIDADE INDUSTRIAL- INMETRO. Quadro Geralde Unidades de Medida. 1989.SHAMES, I.H.Mecnica dos Fluidos. Editora Edgard Blcher, So Paulo, 1973.SISSOM, L. E.&PITTS, D.R. Fenmenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1979.STREETER, V.L.&WYLIE, E. B.Mecnica dos Fluidos. McGraw-Hill do Brasil, So Paulo. 1982.TIMOSHENKO, S.P.History ofStrength ofMaterials. McGraw-Hill BookCompany, 1953.VENNARD, J. K. &STREET, R. L. Elementos deMecnica dos Fluidos. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1978.VVELTY, J. R.; VVICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat andMass Transfer. John VViley, 1976.

1.16 PROBLEMAS1.1 Os lquidos e os gases so fluidos, mas apresentamcaractersticas diferentes. Descreva aspropriedades quediferenciam os gases dos lquidos.1.2 Determine as dimenses das viscosidades absoluta (dinmica) e cinemtica.1.3 A Figurp J 7 mostra o esquema de um escoamento deguaentre duasplacasplanas horizontais de grandesdimenses e separadas por uma distncia d pequena. Aplaca inferior permanece em repouso, enquanto a placa superior

vx =1m/s

est em movimento comvelocidade Vx constante, de formaque resulta uma distribuio linear de velocidade de escoamento da gua. Sendo a viscosidade da gua fjL = 0,001Pa s, determine:a) o gradiente de velocidade de escoamento; eb) a tenso de cisalhamento na placa superior.Resp.: a) i- =200 s"1dy b) t = -0,2 Pa1.4 Considere a Figura 1.7 do problema anterior. Se. nolugarda gua, existeum leoe se necessria uma tensocisalhante de 40 Pa para que a velocidade da placa permanea constante, determine a viscosidade dinmica desseleo.Resp.: /xleo = 0,2 Pa s1.5 A Figura 1.8 mostra um esquema da distribuio develocidade para um escoamento laminar de um fluidonewtoniano, totalmente desenvolvido, num duto de seocircular de dimetro constante, dada por

Vr)=Vw -(;)'


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u Cap tu lo Um

onde:Vmx a velocidade mxima doperfil (distribuio), queocorre no centro da seo, eR o raio in te rno do du to .Sendo fi a viscosidade dinmica do fluido, determine:a) a distribuiode tensesde cisalhamento Tn noescoamen to ; eb)a fora porunidadede comprimentoqueoescoamentoexercesobre a parede do duto.Resp,a)T=Mfi2 b).i =4*p.V

*> z

Figura 1.8

1.6 A Figura 1.9mostra um esquema de um escoamentolaminar, totalmente desenvolvido e em regime permanente,deum fluido newtoniano, entre duas placas paralelas eestacionrias, de grandes dimenses e separadas de umadistncia hpequena. Adistribuio de velocidade deescoamento dada por

vx(y) = vmmDetermine a fora cisalhante, porunidade de rea, exercida pelo escoamento sobre a placa superior.

WWWW

Figura 1.9

1.7 Considerando que o mdulo de elasticidade volumtrica da gua E = 2,22 X IO9 Pa, determine a variao depresso necessria para reduzir o volume daguaem0,1%.Resp.:Ap= 2,22 X IO6 Pa1.8 Mostreque o mdulode elasticidade volumtrica E, expresso emfuno davariao damassa especfica, dado por

E=-4-dp-P

1.9 Considere oar,aonvel domar, compresso p = 101,3kPa e temperatura T = 20C. Sendo R = 287- ' mdetermine a massa especfica do ar.Resp.: ^ =1,2^-

nv

kg-K'

1.10 Determine a presso de2 kgde arque estoconfinados num recipiente fechado com volume igual a 160 litros,N -m temperaturade 25C, considerandoR = 287

Resp.:p= 1069 kPa kg-K

S$ K

^Q\

/%

J


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16 Captulo Dois

Neste texto que se destina acursos bsicos, vamos estudar somente os fundamentos do transporte difusivo de momento linear de calor ede massa. Nas prximas sees, vamos caracterizar esses fenmenos de transferncia para processos unidimensionaiseapresentar, apartir de uma abordagem fenomenolgica, um modelo comum eas equaes bsicasque descrevem esses fenmenos difusivos unidimensionais, apresentando aanalogia existente entre eles.7WC* ~"/l


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^' CoNCErros de Fenmenos deTransporte eAnalogia entre os Processos DifusivosUnidimensionais 17p Inicialmente, as placas eofluido esto em repouso. No instante de tempo t = 0, aplaca superior colocada emmovimento auma velocidade constante V0x, permanecendo aplaca inferior estacionaria. Devido propriedade deaderncia dos fluidos viscosos s superfcies slidas com as quais esto em contato, verifica-se que as lminas muitof delgadas de fluido em contato direto com as placas adquirem as suas velocidades, de maneira que, no instante der tempo t - 0, a lmina superior do fluido se move com velocidade Vfc, enquanto oresto do fluido ainda permaneceem repouso .If Para t> 0, observa-se que orestante do fluido entra progressivamente em movimento, ou seja, adquire momento^ linear na direo x.Ofluido adjacente lmina superior recebe momento linear proveniente da placa superior e, por suavez tambm transfere momento linear na direo xpara outra camada e, assim, sucessivamente, ocorre uma transfern-f cia de momento linear de camada em camada. Comoaplaca inferiorealmina de fluido em contato com aplaca perma-necem estacionrias, verifica-se que avelocidade de escoamento de cada camada progressivamente menor, de cimapara baixo, at ser nula. Dessa forma, desenvolve-se, durante um certo intervalo de tempo, uma distribuio (perfil) develocidade de escoamento Vx(y, t) em regime transiente, ou seja, dependente do tempo.Aps esse certo intervalo de tempo, para 55> 0, observa-se oestabelecimento de um perfil de velocidade de escoa-mento VJy) em regime permanente que, para esse caso com geometria plana, linear.Assim, observa-se um transporte de momento linear na direo x, que ocorre transversalmente ao escoamento, ouseja, na direoy, de cima para baixo, causado pelas tenses cisalhantes t, existentes entre as camadas de fluido nesseescoamento laminar. Nesse processo, h uma fase dependente do tempo na qual Vx = Vx (y, t), de forma que a lei de

Newton para a viscosidade (Eq. (1.7.4.10)) fica escrita como dvxT-=~flly~ (2A1)Essa Eq. (2.4.1) relaciona a tenso cisalhante com o gradiente develocidade existente num escoamento laminar deum fluido newtoniano.Osinal negativo devido ao fato de que ofluxo de momento linear ocorre no sentido contrrio aogradiente de velocidade de escoamento.Atenso cisalhante t^ pode serinterpretada como adensidade de fluxo de momento linear. Da segunda lei de Newtonpara o movimento tem-se que

^ d(mVx)Fx=^r (2A2)ou seja, a fora igual taxa devariao demomento linear em relao ao tempo. Atenso decisalhamento r definida

como

t = hmf- (2.4.3)de forma que a tenso cisalhante t^ fornece aquantidade de momento linear na direo x que cruza uma superfcie, nadireo y, por unidade de tempo e por unidade derea, isto , a tenso decisalhamento representa a densidade de fluxode momentolinear,de maneiraque ambas tm asmesmas dimenses:

[temio]Jf2Si]=M!L =ML-H->Lrea J lrmomento linear MLt'1 , . ,= ML~lr2Lrea x temP J LH

Assim, a existncia de gradiente de velocidade de escoamento causa um transporte difusivo de momento linear atra-vs do fluido, nadireo transversal aoescoamento. Consideremos a situao de regime permanente esquematizada na. Figura 2.1, na qual ofluido est em movimento na direox, em escoamento laminar, com uma distribuio de velocida-de Vx(y). Alm do movimento macroscpico na direo x, tem-se o movimento aleatrio das molculas, de forma queresulta uma transferncia de molculas entre as camadas. Cada molcula transporta seu momento linear na direo \correspondente camada de origem, demaneira que resulta um fluxo demomento linear na direo x transversalmenteaoescoamento (nadireoy)em funodogradientede velocidade -*-. Esseprocessodecorrente domovimento mo-dy

1 lecular aleatrio chamado dedifusivo, enquanto omovimento macroscpico dofluido costuma serdenominado convectivo.

n


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fj y18 Captulo Dois C rV2.5 TRANSPORTE DE CALOR PORCONDUOCalor pode ser definido como aforma de energia que transferida em funo de uma diferena de temperatura.Atransferncia de calor pode ocorrer por distintos mecanismos:jCimdii^g2..cqQveco e radiao. Aconduo se caracterizaquando otransporte de calor ocorre em um rio estacionrio, slido ou fluido, causadpla existncia de gradiente detemperatura.Aconveco acontece nos fluidos e se caracteriza pela transferncia de calor pelo movimento de massa fluida. Aradiao se caracteriza por uma transferncia de calor entre dois corpos pelas radiaes trmicas emitidas por suas superfcies. Estudaremos somente a conduo de calor.Consideremos um processo unidimensional de conduo de calor que ocorre atravs de uma placa plana de grandesdimenses e espessura dpequena, constituda de ummaterial slido homogneo, conforme mostrado no esquema daFigura 2.2.

Placa

Placa

y pr~~ / Placa )) i i A

-)

(a) Inicialmente,a placapossuitemperatura uniforme TQ

(b) No instante de tempo t = 0,a superfcie superior adquiretemperatura T,, enquanto ainferior mantida co mtemperatura TQ, ambasc o n s t a n t e s

(c) Para t > 0, desenvolvimentode perfilde temperaturaem regime transiente

(d) Para t 0, estabelecimentode um perfilde temperaturaem regime permanente

Figura 2.2 Desenvolvimento do perfilde temperaturaem uma placa plana de grandes dimensese espessurad pequena, constituda de ummaterial slidohomogneo, colocadaentre dois reservatriostrmicoscomtemperaturas Tx e T0 constantes.

/9 b

/^ b

^b


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r CoNCErros deFenmenos deTransporte eAnalogia entre osProcessos Difusivos Unidimensionais 19pp Inicialmente, aplaca toda est com temperatura uniforme T0. No instante de tempo t= 0, coloca-se aplaca entre doisreservatrios trmicos (que mantm temperaturas constantes, apesar de estarem recebendo ou cedendo calor), resultando que asuperfcie superior da placa adquire uma temperatura T,, enquanto asuperfcie inferiormantida tmperatu-

0, durante um determinado intervale de tempo observa-seodesenvolvimento de uma distribuio de tempe-* ratura T(y, t) em regime transiente, ou seja, dependente do tempo, que, para esse caso unidimensional, funo dey et


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20 Captulo Dois

onde:Am a massa contida no elemento de volume AV; e tV o menor volume, em torno deumponto, onde existe uma mdia estatstica definida. aAssim, para amistura binaria considerada, tem-se que ^concentrao do componente A: pA lim A (2.6.2) ÂV-*5V A V ^concentrao do componente B: p% = lim B (2.6.3) /%AV5V A V

,r i . i. AwA 4- AtnB ,~ , x /massa especfica da mistura: p = lim \l .bA)r AV-.6V AV ^resultando em ^P= Pa +Pb (2-6-5) Âs concentraes dos componentesAeB tambm podem ser definidas como uma frao demassa, daseguinte for- ^= *- (2.6.6) 1>A = P

cs =SL (2.6.7) ^P "*%Consideremos um processo unidimensional de transferncia de gua, pordifuso molecular, atravs de uma placa ^plana de cermica, homognea, de grandes dimenses e espessura dpequena, conforme mostrado no esquema da Fi- ^gura 2.3. 'Inicialmente, a placade cermica temsuassuperfcies emcontato comar seco, demaneira que existe umadistribui- ô nula de concentrao degua nacermica. ^No instante de tempo = 0 coloca-se gua sobre a placa, de forma quea cermica junto superfcie superior passa aapresentarumaconcentrao cAQ de gua. O restantedacermica aindaapresentaconcentrao nuladegua,nesse ins- /tantede tempo t = 0, pois a superfcie inferior da placa de cermica mantida secacoma incidncia de umjatode ar *%

seco.Para > 0, durante um determinado intervalo de tempo, observa-se o desenvolvimento de umadistribuio de con- 'centrao degua cA(y, t), emregime transiente, naplaca decermica. Âps esse determinado intervalo detempo, para t 0 fica estabelecido um regime permanente, resultando um perfil ^de concentrao de gua cA(y) que linear para essa geometria do sistema.Verifica-se, experimentalmente, que adensidade de fluxo de massa por difuso molecular diretamente proporcional 'ao gradiente de concentrao.Assim, para um processo unidimensional, genrico, de difuso molecular do componente Ânuma mistura binaria de componentesAeB, que tem uma fase dependente do tempo na qual cA = cA{y, t), tem-se ^j r "Pa ^}A.y--L>M (2.6.8) ydy

ou

onde:

r _ n d(pcA) ^h--~DAB~dy~


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pp

p

*

\

s

\

^

Conceitos de Fenmenos de Transporte eAnalogia entre os Processos Difusivos Unidimensionais 21As Eqs. (2.6.8) e(2 6.9) so expresses unidimensionais da lei de Fick para adifuso molecular do componenteAnuma mistura binaria de componentesAe fi, que pode ser escrita numa forma vetorial como

ouh = ~DAB VpA (2.6.10)]A=-DABf(pcA) (2.6.11)Osinal negativo nessas equaes que expressam a lei de Fick para adifuso devido ao fato de o fluxo de massaocorrer no sentido contrrio ao gradiente de concentrao, ou seja, adifuso molecular ocorre da regio de maior concentrao para aregio de menor concentrao. Omecanismo de transferncia de massa por difuso se origina no movimento molecular e, como no caso de gases, por exemplo, como aprobabilidade de uma molcula se dirigir em qualquer direo amesma, resulta um fluxo lquido do componente considerado da regio de maior concentrao para aregio demenor concentrao. Os fluxos de massa por difuso molecular so medidos em relao aum referencial que se movecom avelocidade mssica mdia da mistura que ser definida no Captulo 10.

Ar secoCermica

Perfil nulo deconcentrao de gua

Ar seco

/*0 guaCermica

Ar seco *

Ar seco

Ar seco

(a) Inicialmente, a placade cermicaapresenta um perfilnulode concentrao de gua

(b) i\o instantede tempot = 0.coloca-se gua sobre a superfciesuperiorda placade cermica

ic ) Para t > 0. desenvolvimentoda distribuiode concentrao degua C\{y. t ) em regime transiente

d) Para t > 0.estabelecimentode um perfilde concentraode guac K{y) em regimepermanente

Figura 2.3 Desenvolvimento dadistribuio deconcentrao degua emuma placa plana decermica, degrandes dimenses e espess;d pequena, aps ser colocada entre gua e arseco.


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22 Captulo Dois

Assim, aexistncia de um gradiente de concentrao de um componente numa mistura (soluo) causa um fluxo de ^massa por difuso molecular desse componente atravs da mistura (soluo). /^2.7 EQUAES PARA AS DENSIDADES DE FLUXOS DE MOMENTO ^

LINEAR, DECALOR EDEMASSA ^Nas sees anteriores descrevemos processos unidimensionais de transferncia difusiva de momento linear, de calor ede ^massa, tendo apresentado as seguintes equaes: ^a) Transfernciadifusiva de momento linear r M^


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*

\

s

\*.

CoNCErros de Fenmenos de Transporte eAnalogia entre os Processos Difusivos Unidimensionais 23onde DA B ocoeficiente de difuso molecular ouadifusividade de massa do componenteAna mistura de componentesNesses processos de transferncia por difuso, observa-se que aexistncia de desequilbrio na distribuio de umagrandeza intensiva, ou seja, aocorrncia de gradiente da grandeza intensiva, causa um fluxo da grandeza extensiva correspondente.As densidades de fluxos de momento linear, de calor ede massa so representadas matematicamente por equaes do

tipo/x=-C dip/3)dy (2.7.10)

sendo que:fy adensidade de fluxo dagrandeza extensiva nadireo y; ogradiente da grandeza intensiva correspondente, que cria a"fora motriz" causadora do processo difusivo; eC umaconstante de proporcionalidade chamada de coeficiente de difuso ou difusividade.Tem-se quepamassa especfica do meio eagrandeza intensiva /3 agrandeza extensiva correspondente por unida

de de massa, de forma que oproduto p/3 a grandeza extensiva por unidade de volume.Oquadro a seguir apresenta as equaes para as densidades de fluxos referentes aos processos unidimensionais detransporte difusivode momento linear, de calor e de massa.Grandeza

ex tens iva transfer ida Equao para a densidade defluxo da grandeza extensiva Caracter s t icas doprocesso consideradomomento linear ^ _ dVx d(pVx)T--^dy=-V dy escoamento laminarincompressvel

calor _._jl*T_ d(pcpT) _ d(pe)dy dy dy me io e s t ac ion r io comcalor especfico e massaespecfica constantesmassa U, uAB ^ ,b ^ mistura binaria em repouso,de componentesA e fi,com massa especfica p

c o n s t a n t e

A densidade de fluxo da grandeza extensiva proporcional ao gradiente da grandeza intensiva correspondente. Osprocessos unidimensionais de transferncia difusiva de momento linear, de calor e de massa so decorrentes dos movimentos moleculares e se caracterizam pelatendncia ao equilbrio das distribuies das grandezas intensivas. Tm-semecanismos semelhantes, nesses processos de transporte pordifuso molecular, em que os gradientes das grandezasintensivas criam "foras motrizes" que causam os fluxos dasgrandezas extensivas correspondentes. Esses trsfenmenosdifusivos unidimensionais podem ser descritos por um modelo matemtico comum. interessante compararas Eqs. (2.7.3).(2.7.7) e (2.7.9) com a Eq. (2.7.10). Observe quea diferena entre essas equaes est somente nasgrandezas fsicasenvolvidas e nos respectivos coeficientes de difuso.As difusividades trmica, demassa e demomento linear (viscosidade cinemtica) possuem amesma dimenso dada por

[p) = [a) = [DAB) = L2r> (2.7.11)e, no Sistema Internacional, tma unidademetroquadrado porsegundo (m2/s).Como essas difusividades possuem a mesma dimenso, resulta quequalquer quociente entreduas delas ser um parmetro adimensional que conveniente na anlise de situaes emque os dois fenmenos de transferncia ocorremsimultaneamente.


38/220

24 Cap tu lo Dois

Quando, no sistema em estudo, ocorrem transferncias simultneas de momento linear ede calor, tem-se oparmetroadimensional chamado de nmero de Prandtl, representado porPr,definido pora k (2.7.12)Onmero dePrandtl indica a intensidade relativa entre os processos de transporte difusivo demomento linear edecalor.Para os gases, onmero de Prandtl prximo da unidade. Para outros fluidos, ele varia muito, tendo, geralmente, valoreselevados para leos viscosos emuito baixos para metais lquidos.Quando ocorrem transferncias simultneas de momento linear e de massa, aparece oparmetro adimensional chamado de nmero de Schmidt, representado porSc,definido por

Sc ^ --

Le = aD, pcpD,A6

n n (27I3)>ab PDabO nmero de Schmidt indica a intensidade relativa entre osprocessos de transporte difusivo demomento linear e demassa.Quando, no sistema em estudo, ocorrem transferncias simultneas de calor e demassa, surge o parmetro adimensional chamado de nmerode Lewis, representado porLe,definido por

(2.7.14)O nmerode Lewis indica a intensidade relativa entre osprocessos de transportedifusivo de calor e de massa.Os processos simultneos de transferncia difusiva soditos similares quando oquociente entre suasdifusividades igual a um(unidade), de forma que asgrandezas envolvidas sotransportadas coma mesmaintensidaderelativa.

2.8 EQUAES DA DIFUSONos itens Transporte Difusivo deMomento Linear, Transporte deCalor porConduo e Transporte deMassa porDifusoMolecular, realizamos um breve estudo de fenmenos unidimensionais de transferncia difusiva de momento linear, de calor e de massa. Na fase dependente do tempo desses processos ocorrem fluxos das grandezas extensivas nadireo y atravs de um elemento de volume, com uma taxade variaoda grandeza extensiva dentro do elemento.Considerando os princpios de conservao, pode-se expressar o seguinte balano para uma grandeza extensivagenrica:

( fluxoda grandeza ^extensiva que entrano elemento de volume,

fluxo da grandezaextensiva que sa ido elemento de volume>

''taxa de variao da>grandeza extensivadentro do elemento (2.8.1)

Consideremos o elemento devolume mostrado na Figura 2.4,atravs doqual ocorrem fluxos de uma grandeza extensivagenrica, na J:.. ,,V> y, sendo que:f a densidade de fluxo da grandeza extensiva genrica; eG a grandeza extensiva genrica porunidadede volume.Esto ocorrendo as densidades de flaxos difusivos f\y ef\y+Sy no sentido negativo do eixo y, atravs das faces situadasnas coordenadas yey + Ay, respectivamente, causandouma taxa de variao da grandeza extensiva dentro do elemento,de formaque o balano expresso pela Eq. (2.8.1) ficasendo

dG-(/U)AxAz=-(A)AxAz+^L A*AyAzdt (2.8.2)Dividindo pelovolume AxAyAz, rearranjando os termose fazendo olimitequandoo volume doelementotende a zero,

obtm-selim j\y+ly f\y

AydGdt

(2.8.3)

l%

/*%b

^1

/%

/A

&$b*%fi%b

/*%


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^

ss

S

\s

rConceitos deFenmenos deTransporte eAnalogia entreosProcessos Difusivos Unidimensionais 25

Considerando a definio de derivada, tem-se

Figura 2.4 Esquema das densidadesde fluxosde umagrandezaextensiva genrica atravs de um elemento devolume.

d=dGdy dt (2.8.4)Substituindo/pelas densidades de fluxos dadas pelas Eqs. (2.7.3), (2.7.6) e (2.7.9) e G pela respectiva grandeza ex

tensiva por unidade de volume, resulta:a) Para momento linear:

ou

ddy d(pVx)r By dtddy ' d(pVt)' _ d(pVx)dtlta

dlVx _ 1 dV,Para os casos onde v e p so constantes, resulta

dy2 v dt

(2.8.5)

(2.8.6)

(2.8.7)

A soluo da Eq. (2.8.7), submetidas condies de contornoe inicial do problema, fornecea distribuio de velocidade Vx(y, ) para o escoamento considerado.Parao processo unidimensional de transferncia difusiva de momento linearesquematizado na Figura 2.1, tem-seaseguinte formulaomatemtica:Equao diferencial:

com as condies de contorno

e a condio inicial

d2Vx 1 dVx OSySd- = para 0

Vx (0, ) = 0 para

Vx(d,t) = VQ x para

V, (y, 0) = 0 para

>=0r >0

y = d >0

0 < y < dt = 0

(2.8.8)

(2.8.l.i

(2.Sbi


40/220

26 CaptuloDois

b) Para conduo de calor:

ou

d_dy

d_dy

ad(pcpT)dy

a d(pcpT)dy

d(pcpT)dt

d(pcpT)dt

Para casos onde a, pec so constantes, resultad2T_ I dTdy2 a dt

(2.8.11)

(2.8.12)

(2.8.13)Asoluo daEq.(2.8.13), que chamada deequao da difuso de calor, submetida scondies de contorno e inicialdoproblema, fornece a distribuio de temperatura T(y, t)para o problema de conduo de calor considerado.Para o processo unidimensional de transferncia difusiva de calor esquematizado na Figura 2.2, tem-se a seguinte

formulao matemtica:Equao diferencial:


e a condio inicial

d2T _ 1 dTdyz a dt pa r a

7(0, t) = T0 para

T(d,t) T, para

T{y, 0) = T0 para

=Sy0y = dt>0

0 < y < dt = 0

c) Para a difuso de massa numa mistura binaria:

ou

Sendo DAB e p constantes, resulta

d_dy

d_dy

-D d(pcA)dy _ d(pcA)dt

D, d(pcA) _ d(pcA)dty

dy1 DAR dt

{2.8.14)

(2.8.15a)

(2.8.15b)

(2.8.16)

(2.8.17)

(2.8.18)

(2.8.19)Asoluo daEq. (2.8.19), que chamada deequao da difuso de massa, submetida scondies decontorno e inicial do problema, fornece a distribuio de concentrao cA(y, t) do componente Anamistura considerada.Para o processo unidimensional de transferncia difusiva degua na placa de cermica esquematizado na Figura 2.3.

tem-se a seguinte formulao matemtica:

fl%

/ k

fWOb

/%

/%

-****

*^!K


41/220

CoNCErros deFenmenos deTransportee Analogia entre os ProcessosDifusivos Unidimensionais 27Equao diferencial:

com as condies de contorno2cA _ 1d f DAC

se a condio inicial

[0 < y< dLo (2-8-20)[y = 0cA (0,) = 0 para < (2.8.21a)

\ y = dcA{d,t) =c0 para j (2.8.21b)[0 < y < icA (y, 0) = 0 paia _ ; (2.8.22)

Comparando as Eqs. (2.8.8), (2.8.14) e (2.8.20) e suas correspondentes condies inicial e de contorno, verifica-seque as formulaes matemticas para esses processos unidimensionais de transferncia difusiva de momento linear, decalor e demassa so anlogas. As diferenas entre essas equaes esto nasvariveis dependentes envolvidas e nos res-^ pectivos coeficientes dedifuso para os fenmenos considerados.Essa analogia fica mais evidente com a utilizao de variveis adimensionais.Considerando as variveis adimensionaisr= t a8-23)y*=^ (2-8.24)t* =^r (2.8.25)d1

resulta, para oprocesso unidimensional de transferncia difusiva de momento linear esquematizado na Figura 2.1, a seguinteformulao matemtica:Equao diferencial*V* V* para .S >**' (2.8.26)dy*2 dt* [t*^0

com as condies de contornos [v* = 0V*(0, t*) =0 para \ \ (2.8.27a)s [t > 0

e a condio inicialV*(l,r*)=l para \\ \ (2.8.27b)r * > 0

0 < v* < 1VV,0)a0 para \ J (2.8.28)


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28 Captulo Dois

Considerando as variveis adimensionais y

y* =X (2.8.30)dt* = (2.8.31)d2resulta, para oprocesso unidimensional de transferncia difusiva de calor esquematizado na Figura 2.2, a seguinte formulao matemtica:Equaodiferencial:


e a condio inicial

0T*(l,t*)=l para {' * (2.8.33b)|t*> 0

|0


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b

S

CONCETTOS DE FENMENOS DE TRANSPORTE EANALOGIA ENTRE OS PROCESSOS DffUSIVOS UNIDIMENSIONAIS 29e a condio inicial

c*(y*, 0) = 0 para 0 < y* < 1t* = 0 (2.8.40)Assim, considerando sistemas que possuem amesma geometria e situaes fsicas tais que as condies iniciais ede

contorno dos problemas sejam similares, verifica-se que as formulaes matemticas para os processos unidimensionaisde transferncia difusiva de momento linear, de calor ede massa so diferentes somente nas variveis dependentes envolvidas e nos respectivos coeficientes de difuso.Com a utilizao de variveis adimensionais, verifica-se que a nica diferena entre as formulaes matemticasadimensionalizadas que descrevem esses fenmenos est nas variveis dependentes envolvidas, de forma qve as soluesdas equaes diferenciais (2.8.26), (2.8.32) e (2.8.38) so equivalentes e, assim, conclui-se que os processos difusivosunidimensionais de transferncia demomento linear, de calor e demassa so anlogos.Oestudo dessa analogia interessante para ilustrar como esses diferentes fenmenos fsicos podem ser descritos porummesmo modelo matemtico. Asequaesde difuso seroestudadas detalhadamente mais adiante, neste curso.2.9 B IBL IOGRAF IA

BENNETT, C.O .&MYERS, J. E. Fenmenos deTransporte. McGraw-Hill do Brasil, SoPaulo, 1978.BIRD, R. B.;STEWART, VV. &LIGHTFOOT,E. N.Transport Phenomena, JohnWiley, 1960.INCROPERA, F.P.&DEVVITT, D.P. Fundamentos deTransferncia deCalor edeMassa. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1992.SISSOM,L. E. & PITTS,D. R.Fenmenos de Transporte. GuanabaraDois,Riode Janeiro, 1979.WELTY, J. R.;VVICKS, C. E. &WILSON, R.E. Fundamentais ofMomentum, Heat andMass Transfer. JohnWiley, 1976.

2.10 PROBLEMAS2.1 Conceitue grandezas fsicas extensivas e intensivas.2.2 De uma maneira geral,pode-se associar uma grandezaextensiva a uma grandeza intensivacorrespondente. Classifique e indiqueos pares correspondentes da seguintelista de grandezasextensivase intensivas: energia, momentolinear, energia especfica, massa, massa de um soluto, aunidade (1), velocidade e concentrao.2.3 Conceitue campoegradiente de umagrandeza intensiva.2.4 A Figura 2.5 mostra um esquema de um escoamentolaminar de gua em regimepermanente, localizado entreduasplacashorizontais de grandes dimenses e separadaspor uma distncia y = 0,03 m. A placa superior est emrepouso, enquantoa inferiorest emmovimento comvelocidade Vx = 0,5 m/s, resultando um perfillinear de veloci-

/ / / / t j //////////vxM

\\\\\K\\ \ \ \ \ \ w >*

Figura 2.5

dade Vx{y) para o escoamento. Sendo a viscosidadeda guap.= 0,001 Pa s (para T = 20C), calcule a densidade defluxo de momento linear que ocorre nesse escoamento.Resp.:r^ = 0,017 N/m22.5 AFigura2.6 mostraum esquema de uma parede planacomespessuraL,constituda de ummaterialcomconduti-vidadetrmica K. Se est ocorrendo um fluxo de calor porconduo atravs da parede, em regime permanente, deforma que a distribuio de temperatura linear,conformemostrado na Figura2.6, determine:a) a distribuio de temperatura T(x) na parede;b) a densidade de fluxo de calor que atravessaa parede.Resp.:a)7X*)=T0-(To , Tl)x b) qx=(T0 - T, )

Figura 2.6


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3Q Cap tu lo Dois

2.6 Asegunda leida termodinmica trata do sentido dosprocessos naturais. AEq. (2.7.10) a equaomatemticacorrespondente aomodelo comumpara as densidades defluxos paraosprocessos de transportedifusivo unidimensional de momento linear, de calor e de massa. Discuta arelao dessemodelo de transfernciadifusiva coma segunda lei da termodinmica.2.7 Considere o processo unidimensional de transportedifusivo de momento linearem um fluido, esquematizadona Figura2.1. Na fase em regimepermanente, tm-se ascondies invariantes com o tempo, d forma que a placasuperiorest comvelocidadeconstante.Vx = V^,enquantoa placa inferior permanece em repouso. Determine; atravs da Eq. (2.8.8), a distribuio de velocidadeVx(y) emregime permanente.Resp.: Vx = Vn

2.8 Considere o processo unidimensional de transfernciadifusiva de calorem uma placa, esquematizado na Figura2.2.Na faseem regime permanente, tm-se as condiesinvariantes como tempo, de forma quea superfcie superiorda placa temtemperatura T, constante, enquanto a su-

perfcie inferiorda placa permanece com temperatura T0.Determine, atravs da Eq. (2.8.14), a distribuio de tem1peratura T{y) em regimepermanente.Resp, T(y)=TQ+^-j^y2.9 Considere o processo unidimensional de difuso deguaatravs de uma placade cermica,esquematizado naFigura 2.3.Nafaseem regime permanente, tm-seas condiesinvariantes como tempo,sendo que a cermicajunto superfcie superiorda placa temumaconcentraocA0de gua, enquantoa cermicajunto superfcie inferiorpermanececom concentraonula de gua. Determine, atravsda Eq. (2.8.20),a distribuio de concentraode guana cermicacA(y) em regimepermanente.Resp, cA(y)=-^y2.10 Considereo Problema 2.8. Determinea distribuiode temperatura T(y) paraa situao emquea superfcie inferior da placa mantida comtemperatura T0 igual a zero.Compare o resultado comas respostas dosProblemas 2.7e2.9.

jjp^

/%*%

i*^b

^

A^

-8 %


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r '

-

-

Captulo 3

FUNDAMENTOS DA ESTTICADOS FLUIDOS

> i

i

3.1 INTRODUONeste captulo, abordaremos as noes bsicas doestudoda presso e sua variao em um fluido e doestudodas forasde presso sobre superfcies planas submersas. Emum fluido em repouso noexistem tenses de cisalhamento, ou seja,a tenso exclusivamente normal. Os fluidos emmovimento de corpo rgido (onde todasas partculas mantmamesmaposio relativa) tambm no apresentam tenses cisalhantes, pois no existem gradientes develocidade no fluido. Assim, em todos ossistemas que estudaremos naestticados fluidos atuaro somente foras normais ssuperfcies devidas presso.

3.2 PRESSO EM UM PONTOExiste uma determinada presso em cada ponto de um fluido. Define-se presso como a fora normal por unidade derea em que atua, ou seja, a presso p num ponto o limite do quociente entre a fora normal e a rea em que atuaquandoa rea tende a zerono entorno do ponto:

p = lim AF..AA-0 AA [3.2.1)

Princpio de PascalApresso, num ponto de um fluido em repouso, a mesmaem qualquer direo. Assim, a pressoesttica uma grandeza escalar, j que possuiumvalornumricoe atua igualmente em qualquer direo.O princpio de Pascal pode serdemonstrado considerando-se umelemento devolume infinitesimal, de forma prismtica,isolado de uma massa fluida em repouso, conforme mostrado na Figura 3.1.Sobre o elemento de volume atuam dois tipos de foras: foras devidas s presses estticas exercidas pelofluido ao redor; e peso devidoao campo gravitacional.

FluidoP

Figura 3.1 Elemento de volume prismt ico isolado de uma massa fluida em repouso.


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32 CaptuloTrsComo ofluido est em repouso, aresultante das foras que atuam sobre oelemento deve ser nula, ou seja, acondio ^de equilbrio estabelece que ^]Tf=o v3-2-2) **Na direoxatuam somente foras de superfcie devidas s presses estticas representadas pelas componentes nor-maisde tenso& e aa,de forma que

YFX= o-^dydz - o-adsdzsena = 0 (3.2.3)Mas, tem-se que ds sena= dy (3.2.4)

de forma queo- dy dz - aa dy dz = 0 (3.2.5)

resultandoo- =o- (3.2.6)XX "Na direo ytem-se que, alm das foras de superfcie, devidas s presses estticas, atua tambm opeso do elemento, de maneira que

]5]Fy =o-yydxdz - adsdzcosa - pg^ =0 (3.2.7)Mas, tem-se que f

ds cosa = dx (3.2.8) '/ ^logo,

o-ndxdz- a^dxdz- pg J =0 (3.2.9) ^Dividindo pordxdz, tem-se que ^-o-H-pg^ =0 (3.2.10)

/%

/^sH

Apresso definida emumponto que seobtm fazendo o limite quando ovolume doelemento tende a zero, de forma que

resultando em ^aa = aiS (3.2.12) ^Assim, tem-se que ^

*- = *= a (3.2.13) ^conforme estabelece o princpio de Pascal, de forma que, para um fluido em repouso, sendo p a presso esttica, o ^tensor tenso dado pela matriz ^

-p 0 00 -p o0 0 -p (3.2.14) ^Pelo princpio dePascal, tem-se que a presso esttica, num ponto deum fluido emrepouso, transmitida igualmen

teem qualquer direo. Assim, apresso aplicada em um fluido incompressvel, contido em um recipiente fechado, sertflfV

AS b


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\

s

SS

Fundamentos da Esttica dos Fluidos 33transmitida integralmente atodos os pontos do fluido eparede do recipiente. Esse fenmeno da transmisso de pressonos fluidos incompressveis utilizado em diversos equipamentos hidrulicos, tais como prensas, freios emacacos hidrulicos.

3.3 EQUAO BSICA DA ESTTICA DOS FLUIDOSEm um fluido em repouso, submetido ao campo gravitacional, as nicas foras que atuam sobre um elemento fluido soopeso e as foras devidas s presses estticas. Tem-se, em princpio, que a presso p= p (x, y, z). Consideremos umelemento de volume AxAyAz, com faces paralelas aos planos coordenados de um sistema de coordenadas retangulares,isolado de um fluido em repouso com massa especfica p, conforme mostrado na Figura 3.2, na qual designamos aspresses que atuam sobre oelemento fluido deacordo com a coordenada deposio daface doelemento cbico sobre aqual atuaa presso.

FluidoP

/tV c

x+Ax

Figura 3.2 Elemento de volume isolado de um fluido em repouso comas presses estticas exercidas pelor e s tan t e do fluido.

O pesodo elemento fluido dado porW = pAxAyAz

A fora de superfcie resultante, devidas pressesestticas que atuam sobre o elemento, dada porK=(Pi - PUjAyAzi +[p\y - H,. jAvAz] +(p|s - pLjAxAy(3.3.1)

(3.3.2)Comoo fluidoest em repouso, a fora resultante que atua sobre umelemento de volumedeveser nula, ou seja. tem-se uma condio de equilbrio dada por

F =W+Fr =0 (3.3.3)de formaque

pgAxAyz +(p\x - pLjAyAzi +(p^ - r|,. jAvAcj +(p|: - p|i+jAxAy =0 (3. V4iDividindo pelovolume AxAyAz, rearranjando os termose fazendo o limitequandoo volume doelemento tende a zero

obtm-se

UmAx.,1..!:0 Ay J Azxh _ p~ , dp- , dp-vp = -f-i +^J +^ kd x d y d z

= pg (3.3 S.v -/

O termodo ladoesquerdo da Eq. (3.3.5) a definiodo gradiente de presso,em coordenadas retangulares,dadopor(3.3 (^


48/220

34" Captulo Trs de forma que a Eq. (3.3.5) podeser escrita como "^Vp =pg (3.3.7) ÊssaEq. (3.3.7) a equaobsicada esttica dos fluidos que dizque, para um fluidoem repouso,a taxa.devariaomxima dapressocoma distnciaocorrena direodovetorcampogravitacional. g.Considerandoo sistemade coorde- '

nadas retangulares mostrado naFigura 3.2, a Eq. (3.3.7) pode ser decomposta nas componentes escalares ^dpdx = Pgx

dpTy = Pgydpd z = Pgz

(3.3.8a)

(3.3.8b)

(3.3.8c) *%Por convenincia, escolhemos o referencial com oeixo yparalelo ao vetor g, deforma que gx 0, gy = gegz = 0, "%

resultando _dv-zr = 0 (3.3.9a) ^d x =~Pg (3.3.9b) "*v /%dp A ^3 = 0 (33.9c) A dz ^

Assim, das Eqs. (3.3.9), considerando um eixo yvertical com sentido positivo para cima, conclui-se que apresso varia ^somente em funo dey,demaneira quese pode escrever ,.dp- f = -pg (3.3.10)

eque os planos xz horizontais so planos isobricos, ou seja, pontos que esto mesma altura (ou profundidade) dentro /%do mesmo fluido possuem presses estticas iguais.3.4 VARIAO DA PRESSO EM UM FLUIDO EM REPOUSO JAvariao da presr-- .-m aaltura (ou profundidade) obtida por meio da integrao da equao bsica da esttica dos ^fluidos, que aplicvel para qualquer fluido em repouso. Opeso especfico y =pg pode ser constante ou varivel emfuno da variao da massa especficapdo fluido e, tambm, da variao do campo gravitacional. Estudaremos somente ^

casos em que aacelerao gravitacional pode ser considerada constante. â) Variao da Presso em um Fluido Incompressvel Ûm fluido incompressvel tem amassa especfica constante, de forma que aintegrao da equao bsica da esttica dos ^fluidos ficasimplificada.Tem-se que ^

Vp = pg (3-4.1)e, considerando um referencial com eixo yvertical, com sentido positivo para cima, resulta que a Eq. (3.4.1) fica sendo

&0 b

~f- =~Pg =constante (3.4.2) ^


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/fp* f

^

Fundamentos da Esttica dos Rudos 35Avariao da presso comaaltura determinada por meio da integrao da Eq. (3.4.2) com as condies de contornoadequadas. Considerando que apresso num nvel de referncia y0 pQ, determina-se apresso p{y) numa altura ycoma integrao da Eq. (3.4.2), de forma que

resultando emrHr) yI p = -\pgdy (3.4.3)

p(y) - Po = - pg(y - yo) (3.4.4)ou seja, adiferena depresso entre dois pontos, num fluido incompressvel, diretamente proporcional diferena dealturaentre esses dois pontos.Para os lquidos, geralmente mais conveniente a adoo de um referencial com um eixo h, paralelo ao vetor campogravitacional, com origem na superfcie livre e sentido positivo para baixo, conforme mostrado naFigura 3.3.

a tmS .L

i / t - t / c /e > z ' t / c / t / t^c Ig st , I - < ooi/ot/t/c yzszszszstszl sz.\ -t/C/I ^ /OOC / t / C ^C / t L / t / T ^ t ^ t /C t / t / t L /C ^ r

't^C/t/txt/ty^/tytxtxC/t^t/C^Xt^O'C*

Lquido/^^/C/C/t/C/t/tL/tl/C' / t ^yOt ./7 OtX-^^X^t^/L^C-C^^C^C,

Figura 3.3 Eixoreferencial adequado para a determinao da variao da presso num lquido.

Avariao da pressocoma profundidadepode ser determinada a partir da equaoVp = pf

que, com o eixo h considerado,fica sendodp

Considerando que

obtm-se

dh = PZ

para h = 0 tem-se p(0) = ptpara h = h tem-se p = p{h)

f dp= p.arum " dh

(3.4.5)

(3.4.6)

(3.4.-)

(3 .4 SI

resultandop{h)=pMm + Pgh


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36 Cap t u l o Trs

Para um fluido compressvel a massa especfica p no constante, de forma que necessrio express-la em funodeoutravarivel naEq.(3.4.10). Umarelao entreamassa especfica e a presso podeserobtidadaequaodeestadodogs ou por meiode dados experimentais.Para osgases, geralmente amassa especfica depende da presso e da temperatura. Noexiste umgs perfeito, entretantoosgasesreaissubmetidosa pressesbastanteabaixo dapressocrticae a temperaturasbemacimada temperaturacrtica, isto, distantes da fase lquida, tendem a obedecer lei dos gases ideais, que pode ser escrita como

onde:p a presso absoluta;p a massa especfica;fi a constante do gs; eT a temperatura absoluta.Assim, para um gsperfeito, tem-seque

resultando que a Eq. (3.4.10) pode serescritacomo

P=fiT

p=JLRT

P RT

(3.4.11)

(3.4.12)

(3.4.13)AEq. (3.4.13) introduz uma outra varivel, que a temperatura, demaneira que necessria uma relao adicional davariao da temperatura com a altura. Na atmosfera, por exemplo, a variao da temperatura com a altura depende dacamada considerada. Verifica-se que, na troposfera (definida como a camada entreo nvel domar at a altitude de 11km), a temperatura decresce linearmente com a altura, segundo uma taxa de aproximadamente 6,5C/km.

3.5 VARIAO DA PRESSO EMUM FLUIDO COMMOVIMENTO DE CORPO RGIDONo item Equao Bsica da Esttica dos Fluidos, deduzimos a Eq. (3.3.7), que descreve a variao da presso em umfluido em repouso. Quando um fluido est acelerado, mas em movimento de corpo rgido (onde todas as partculas mantm as mesmas posies relativas), de modo que no ocorre movimento relativo entre camadas adjacentes, ou seja, quando ofluido se movimenta sem deformao, de maneira que no existem tenses cisalhantes, avariao da presso podeser determinada com a aplicao da segunda lei de Newton para omovimento.Consideremos um elemento de volume AxAyAz, com faces paralelas aos planos coordenados de um sistema de coordenadas retangulares, isolado de um fluido com massa especfica pque se encontra com acelerao constante para adireita, conforme c->- -~'-ado na Figura 3.4.

FluidoP

T4*Ay

(* y. *)

y axI z+Az

ly +Ay

V

rAz

I x+Ax

Figura 3. 4 Elemento de volumeisoladode um fluidocomaceleraoI constan te .

/%

/SUS

rf^b^%(Wbt>b

"4%

/ ^ S


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p 'Fundamentos da Esttica dos Rudos 37

O pesodo elementode volume dadoporW =p AxAyAz g (3.5.1)

Designamos as presses que atuam sobre o elemento de acordo com a coordenada de posio da face do elementocbico, sobre aqual atua apresso, de forma que afora de superfcie resultante Fp, devida s presses estticas, dadapo r ?, =(Pi ~t+jAyAzT +(p|y - p\y^)xAzJ +(p\z - p|shjAxAy (3.5.2)Como o fluido est com acelerao a constante, aplicando-se a segunda leide Newton parao elemento de volume

resulta p=w+Fp =pAxAyAza (3.5.3)

ou seja,p(AxAyAz)| +(p\x - p|x+jAyAzT +(p\y - p\y+>)xAz] +

+ [p\, |.+

Livi Fentrans

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