Recife, 2010Matemtica DiscretaFrancisco Flvio Modesto de AndradeUniversidade Federal Rural de PernambucoReitor: Prof. Valmar Corra de AndradeVice-Reitor: Prof. Reginaldo BarrosPr-Reitor de Administrao: Prof. Francisco Fernando Ramos CarvalhoPr-Reitor de Extenso: Prof. Paulo Donizeti SiepierskiPr-Reitor de Pesquisa e Ps-Graduao: Prof. Fernando Jos FreirePr-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo FerreiraPr-Reitora de Ensino de Graduao: Prof. Maria Jos de SenaCoordenao Geral de Ensino a Distncia: Prof Marizete Silva SantosProduo Grfca e EditorialCapa e Editorao: Allyson Vila Nova, Rafael Lira e Italo AmorimReviso Ortogrfca: Marcelo MeloIlustraes: Diego AlmeidaCoordenao de Produo: Marizete Silva SantosSumrioApresentao ........................................................................................4Captulo 1 - Funo: uma ferramenta importante ..............................61.1 O que funo? ...........................................................................71.2 Domnio e Contradomnio .............................................................71.3 Funo Injetora .............................................................................91.4 Funo Sobrejetora ....................................................................101.5 Funo Bijetora ...........................................................................101.6 Funo Inversa ........................................................................... 111.7 Funo Composta ......................................................................131.8 Sequncia ...................................................................................16Captulo 2 - Recurso: um mtodo de defnio .............................242.1 O que recurso? ......................................................................242.2 Recurso ....................................................................................24Captulo 3 - Teoremas e Tcnicas de Provas ...................................413.1 O que um teorema? .................................................................413.2 Estratgias de Provas .................................................................43Captulo 4 - Princpio de Induo Finita ...........................................49Consideraes Finais .........................................................................63ApresentaoCaro (a) cursista,Seja bem-vindo (a) ao terceiro mdulo de Matemtica Discreta!Aofnalizaradisciplina,abordaremos,nesteterceirofascculo,algunstemas relevantes em aplicaes nas reas de informtica, como funo, recurso, teoremas e tcnicas de provas e o princpio de induo matemtica.No primeiro captulo, voc estudar as funes. Estudaremos as funes injetoras, sobrejetoras,bijetoraseafunoinversa.Apresentaremosexemplosdefunes utilizadasnainformticataiscomosequnciasnumricas,afunomodeafuno hash.No segundo captulo, voc descobrir o que uma defnio recursiva ou indutiva. Seroapresentadosexemplosdesequnciasefunesdefnidasrecursivamente, objetivando introduzir o conceito de um algoritmo recursivo.No terceiro captulo, voc ter oportunidade de conhecer diversas tcnicas de provas de proposies matemticas, muito teis na resoluo de problemas da disciplina.Por fm, no quarto captulo ser abordado o princpio de induo matemtica que usado quando se quer provar afrmaes sobre propriedades dos nmeros naturais.Esperamosquevoctenhabomproveitonesteterceirofascculo,estudandocom afnco os assuntos e realizando todos os exerccios propostos.Bons estudos!6Matemtica DiscretaCaptulo 1 - Funo: uma ferramenta importanteDisponvel em http://www.ipea.gov.brA fgura acima representa o grfco de uma funo que relaciona o percentual da renda total do Brasil auferido em 2004 pelos x% dos brasileirosdemenorrenda.Constata-sequearendatotaldos60% demenorrendarepresentouapenas20%darendatotaldopase que 60% da renda total correspondem a 20% dos brasileiros de maior renda. Esta curva chamadaCurva de Lorenze faz parte da prova doENADEqueexaminouosestudantesdoscursosdasreasde computao e informtica no ano de 2008.Oconceitodefuneslargamenteempregadoemtodosos ramos de atividade, por isso comum os testes de avaliao conter questes versando sobre o assunto.Nocasodacomputaoeinformtica,asuaimportnciatorna-se clara quando queremos associar a cada elemento de um conjunto umelementoparticulardeoutroconjunto.Destaforma,podemos defnirsequnciasesomas,estabelecerrelaesdecausaeefeito, processarinformaesdosmaisdiferentestipos,almdeestimaro tempo necessrio para que um computador realize uma determinada tarefa num determinado algoritmo.7Matemtica Discreta1.1 O que funo?Sejam A e B dois conjuntos. Uma funo de A em B a associao de exatamente um elemento de B a cada elemento de A. As seguintes notaes so usadas:f: A B, se f uma funo de A em B.f(a) = b, se b o nico elemento de B associado pela funo f ao elemento a de A.1.2 Domnio e ContradomnioSe f uma funo de A em B, diz-se que A o domnio de f e B o contradomnio de f. Se f(a) = b, diz-se que b a imagem de a por f. Chama-se tambm de imagem de f o conjunto de todas as imagens dos elementos de A, denotado por Im(f). Se f uma funo de A em B, diz-se que f mapeia A em B.A fgura acima apresenta uma funo cujo domnio A = { 1, 4, 7 } econtradomnioB={1,4,6,7,8,9,12}econjuntoimagem Im(f) = { 6, 9, 12 }.Apresentaremosaseguirexemplosdefunes,amaioria empregada em construes nas reas de computao.Exemplo 1. Consideremos que f seja uma funo que associa um nmero a cada um dos cursos de uma faculdade, de modo que esse nmerorepresenteademanda(relaocandidato/vaga)paracada umdosseuscursosnoVestibularde2009.Sedomniodafunof oconjuntoC={Administrao,Direito,SistemadeInformao, Fonoaudiologia,Fisioterapia,Psicologia,RelaesInternacionais, Turismo}. O contradomnio o conjunto dos nmeros reais. Podemos escrever,porexemplo,f(Direito)=7,8;f(Administrao)=2,6; f(Fisioterapia) = 7,4 ; f(Psicologia) = 5,4 e f(Sistemas de Informao) = 2,0, 8Matemtica Discretaf(RelaesInternacionais)=1,4,f(Fonoaudiologia)=1,7,f(Turismo) 2,4.Exemplo2.SejaSoconjuntodetodasaspessoasdoRecife cadastradasnaReceitaFederaleToconjuntodetodososCPF. A funo f: S T associa cada pessoa x ao seu CPF y.Exemplo3.SefumafunodeZparaZqueassociaacada inteirooseuquadrado.Nestecaso,f(x)=x2,ondeodomnioo conjunto dos nmeros inteiros, assim como o contradomnio conjunto dos nmeros inteiros. A imagem de f constituda de todos os inteiros no negativos.Exemplo4.Emlinguagensdeprogramao,domnioeo contradomnio das funes so sempre especifcados. Tomemos por exemplo a declarao de uma funo em Pascal seguinte:function QUAD (x: real): realElaespecifcaqueodomniodafunoQUADoconjuntodos nmeros reais e o contradomnio o conjunto dos nmeros reais.Exemplo5. Adefniodefunoincluifunodemaisdeuma varivel.Podemosterumafunof:A1xA2xA3B,queassociaa cadaternodoprodutocartesianoA1xA2xA3umelementodeB.Por exemplo, f : Z x N x {1, 2} Z, dada porf(x, y, z) = xy +z . Podemos escrever: f(-4, 3, 1) = (-4)3 + 1 = -64 + 1 = -63.Exemplo 6. A funo cho f(x) = x associa a cada nmero real x o maior inteiro menor ou igual a x. A funo teto g(x) = x( associa a cada real x o menor inteiro maior ou igual a x. Ambas so funes deRemZ.Comoexemplo,temos:f(2,35)=2,35=2,f(0,9)=0, g(4,78) = 4,78( = 5 e g(-1,3) = -1.Exemplo7.Considerexumnmeroreal.Ovalorinteirodex, denotadoporINT(x),convertexemuminteirodeletandoaparte fracionria de x. uma funo de R em Z. Exemplos: INT(7,85) = 7 INT(-4,9) = -4.Exemplo 8. O valor absoluto de um nmero real x, denotado por ABS(x)defnidocomoomaiordosvaloresentrexex.uma funo de R em R+. Pois, ABS(-3) = 3, ABS(4,7) = 4,7 e ABS(0) = 0.Exemplo 9. Dado um inteiro positivo m, a funo f : N Ndefnida por f(x) = resto da diviso euclidiana de x por m, m > 0, ser denotada por f(x) = xmod m. tambm chamada funo mod m.9Matemtica DiscretaPor exemplo, para m = 5, temos que:f(7) = 7mod 5 = 2,f(2) = 2mod 5 = 2,f(13) = 13mod 5 = 3,f(8) = 3,f(10) = 10mod 5 = 0,f(5) = 5mod 5 = 0.1.3 Funo InjetoraUma funo f dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, x y ento f(x) f(y), para quaisquer x e y do domnio de f.Figura 1 Figura 2O grfco mostrado na fgura acima esquerda, ilustra uma funo defnida no conjunto A em B. Como elementos diferentes do domnio a funo tem imagens diferentes, ento f injetora. A fgura acima direitailustraumafunonoinjetora,poisexistemdoiselementos diferentes com a mesma imagem.Exemplo10. Afunof:NemNtalquef(n)=2numafuno injetora, pois se n1 n2 ento. Mas a funo f(x) = x2, defnida emZ,noinjetora,poissetomarmosx=-2ex=2,obteremos f(2) = f(-2) = 4.Exemplo 11. A funo f: N em N, tal que f(n) = nmod 3 uma funo que no injetora, pois, existem diferentes valores de N com a mesma imagem. De fato, f(0) = 0, f(3) = 0, f(6) = 0, f(1) = 1, f(4) = 1, f(9) = 1, f(2) = 2, f(5) = 2, f(11) = 2.10Matemtica Discreta1.4 Funo SobrejetoraUma funo f de A em B dita sobrejetora se, e somente se, para cada elemento bB existe um elemento aA tal que f(a) = b.Figura 3 Figura 4O grfco da fgura acima esquerda ilustra uma funo de A em B. Como para cada um dos trs elementos do contradomnio B faz parte doconjuntoimagemdef,afunosobrejetora.Ogrfcoacima direitailustraumafunoquenosobrejetora,poisexistem elementos no conjunto B que no so imagem de nenhum elemento de A.Observequeafguraesquerdaogrfcodeumafuno sobrejetora, mas no injetora!1.5 Funo BijetoraUma funo dita bijetora se ela injetora e sobrejetora.Figura 6Ogrfcoacimarefere-seaumafunofdeX={a,b,c,d}em Y={A,B,C,D},comf(a)= A,f(b)=B,f(c)=Cef(d)=D.Como cada valor do domnio a funo tem um valor diferente de imagem e como cada um dos elementos do contradomnio faz parte do conjunto 11Matemtica Discretaimagem da funo, ele ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ou seja, bijetora.Outro exemplo de funo bijetora pode ser construdo considerando como domnio um grupo de pessoas e como contradomnio o conjunto dasimpressesdigitaisdessaspessoas.impossvelqueduas pessoascompartilhemexatamenteasmesmasimpressesdigitais. Alm disso, todas as impresses digitais pertencem a no mais que uma pessoa.1.6 Funo InversaSejafumafunobijetorade AemB. Afunoinversadef afunoqueassociaaumelementobBumnicoelementoaA talquef(a)=b.Estafunorepresentadaporf-1.Nessecaso escrevemos f-1(b) = a.A fgura abaixo ilustra a funo inversa da funo f de X = {a, b, c, d} em Y = {A, B, C, D}, com f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C e f(d) = D.Assim, temos f-1(A) = a, f-1(B) = b, f-1(C) = c e f-1(D) = d.Figura 7Exemplo 12. A funo mod tem muitas aplicaes em Matemtica DiscretaeCinciadaComputao.Umadasmaisimportantes aplicaes envolve a criptologia, que trata do estudo das mensagens secretas. Uma das formas de escrever mensagens secretas associar uma letra do nosso alfabeto a outra letra. Por exemplo, cada letra do nosso alfabeto (que contm 26 letras) est associada a sua posio noalfabeto.Porexemplo,aletraAocupaaposio0,aletraBa posio1ealetraE,aposio4,demodoqueZocupaaposio 25.12Matemtica Discretaa b c d e f g h i j k l m0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n o p q r s t u v w x y z13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25Assim,podemosconstruirumamensagemsecretapormeioda troca de uma letra que ocupa a posio p pela letra que ocupa a 3 posio aps a letra p. Assim:Afunodefnidaporf(p)=(p+3)mod26temaaodecifrara mensagempormeiodatrocadaletradeposioppelaletraque ocupa a posio representada pelo nmero (p + 3)mod 26.Se quisermos enviar a seguinte mensagem O SPORT EST EM ALTA, faramos a seguinte mensagem codifcada:17 21 18 17 20 22 7 21 22 3 7 15 3 14 22 3R V S R U X H V X D H P D O W DAoreceberamensagem,paradecodifcar,oreceptorusariaa funo inversa de f, dada porf-1(p) = (p-3)mod 26. De modo que f-1(17) = (17 - 3)mod 26 = 14mod 26 = 14f-1(21)=(21-3)mod26=18e,assimpordiante,demodoquea mensagem decifrada seria:14 18 15 14 17 19 4 18 19 0 4 12 0 11 19 0O S P O R T E S T E M A L T A13Matemtica DiscretaUmafunoinjetora,masnosobrejetora,noinversvel,poisno temoscomoassociarcadaelementodocontradomniocomoelemento correspondentenodomnio.Istoocorreporqueparaalgunspontosdo contradomnio, esta associao no existe, conforme pode ser observado na fgura 4.Analogamente, uma funo sobrejetora, mas no injetora, no inversvel, poispelomenosparaumpontodocontradomnio,teremosdoispontos correspondentes, conforme pode ser observado na fgura 3.1.7 Funo CompostaConsidere a funo g de A em B e a funo f de B em C, a funo compostadefegacomposiodasfunesfeg,escritafog, defnida de A em C, como:(f o g) (x) = f (g(x))A fgura abaixo ilustra o conceito de composio de funes f e g.Exemplo 13. Sejam f e g as funes do conjunto dos inteiros no conjunto dos inteiros, defnidas como: f(x) = 5x + 2e g(x) = -2x + 4. Qual a composio f o g? E g o f?(f o g) (x) = f (-2x + 4) = 5(-2x + 4) + 2 = -10x + 20 + 2 = -10x + 22(g o f) (x) = g(5x + 2) = -2(5x + 2) + 4= -10x 4 + 4 = -10xExemplo14.Nesteexemplo,recordaremosarepresentaode nmerosnasbasesdecimal,binriaehexadecimal.Considerea funo f defnida no conjunto dos nmeros naturais escritos na base g(x)f(x)f(g(x))14Matemtica Discretadecimalporf(x)=xbase2eg(x)=xbase16.Afunocompostaf(g(x)) transformaumnmeronaturalescritonabasedezemumnmero natural na base dois. Assim:para x = 21base 10, temos f(g(21base 10)) = f(15base 16) = 10101base 2.para x = 10base 10, temos f(g(10)) = f(A) = 1010base 2.para x = 200base 10, temos f(g(200)) = f(C8) = 11001000base 2.Exemplo 15. Se quisermos armazenar e recuperar informaes de forma efciente em termos de espao de armazenamento e de tempo de recuperao, podemos supor que os dados estejam armazenados emumatabelaeusarachavedeidentifcao(porexemplo,a matrculadealunos,CPF,RG,etc).Quandoonmerodeentradas identifcadaspelaschavesmuitosuperioraonmeroderegistros efetivamentearmazenados(comoocadastrodeclientesdeuma empresa usando o CPF como chave), como podemos proceder, sem queissoresulteemumespaodearmazenamentoexcessivamente grande?Suponha que o conjunto das chaves identifcveis C = {k1, k2, k3, ... , km}, n seja o nmero de entradasna tabela e que m seja possivelmente muitomaiorquen,podemosdefnirumafunohash:C{1,2,3, ...,n},ditofunodeendereamento,funoderandomizaoou funo de hashing, da seguinte forma:hash (k)= (kmod n) + 1Considereumachavedeidentifcaonumricaconstituda denmerosentre0e1000eumatabeladearmazenamentocom entradas de 1 a17. Assim, a funo de hash que podemos defnir hash (k)= (kmod 17) + 1Abaixoapresentamosumconjuntodevaloresdechaveseos correspondentesendereosdearmazenamento,calculadospela funo hash:Chave k 365 634 2178 7615 730 974 2065 1222 3417Endereo 9 6 3 17 17 6 9 16 1Afunoidealaquelaquegeraparacadachaveumendereo diferente, isto , uma funo injetiva, de modo que se k1 k2 se tenha f(k1) f(k2).15Matemtica DiscretaA funo hash, acima defnida, no injetora, de modo que pode gerar omesmoendereoparachavesdiferentes,correndoassimcolises naalocaodosdados.Observequehash(365)=hash(2065)=9, hash(7615) = hash(730) = 17. Para se obter o efeito de uma funo injetoranoclculodoendereamentoseroutilizadosmtodos detratamentodecolisesquesoestudadosemprofundidadena disciplina Estruturas de Dados.Exemplo16.Existemvriosmtodosdetratamentodecolises. Um deles chama-se endereamento aberto. Nesse caso, necessrio que m > n e consiste em procurar sucessivos endereos alternativos para o novo registro at que um endereo livre seja encontrado. Usa-se uma funo hi(k) com i variando de 0 at n-1:hi(k) = ((k)mod n + f(i))mod n onde f(i) pode ser f(i) = i,f(i) = i2, etc.Setomarmoshi(k)=((k)mod7+i)mod7teremosumendereamento aberto com teste linear. Para armazenar sequencialmente os registros com chaves {33, 44, 63, 66, 84, 93} teremos:k i hi(k) = (kmod 7 + i)mod 7Situao33 0 hi(33) = (33mod 7 + 0)mod 7 = (5 + 0)mod 7 = 5mod 7 = 5 ok44 0 hi(44) = (44mod 7 + 0)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2mod 7 = 2 ok63 0 hi(63) = (63mod 7 + 0)mod 7 = (0 + 0)mod 7 = 0mod 7 = 0 ok66 0 hi(66) = (66mod 7 + 0)mod 7 = (3 + 0)mod 7 = 3mod 7 = 3 ok84 01hi(84) = (84mod 7 + 0)mod 7 = (0 + 0)mod 7 = 0mod 7 = 0hi(84) = (84mod 7 + 1)mod 7 = (1 + 0)mod 7 = 1mod 7 = 1Colisook93 012hi(93) = (93mod 7 + 0)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2mod 7 = 2hi(93) = (93mod 7 + 1)mod 7 = (2 + 1)mod 7 = 3mod 7 = 3hi(93) = (93mod 7 + 2)mod 7 = (2 + 2)mod 7 = 4mod 7 = 4ColisoColisookOs dados sero alocados nos seguintes endereos:0 1 2 3 4 5 663 84 44 66 93 3316Matemtica Discreta1.8 SequnciaUmasequnciaumafunodefnidaemumsubconjuntodos nmeros naturais com imagens num subconjunto dos nmeros reais. AimagemdeumnmeronaturalndenotadaporF(n).Usamosa notao {F(n)} para descrever uma sequncia. O termo F(n) o termo de ordem n ou termo geral da sequncia (defnio fechada).Exemplo 17. Considere a sequncia cujo termo geral F(n) = 1n. AlistadostermosdasequnciaF(1)=1,F(2)= 12,F(3)= 13, F(4) = 14, F(5) = 15.Exemplo 18.a)Os cinco primeiros termos da sequncia defnida porA(n) = 2 + 3(n-1) so:A1 = 2, A2 = 5, A3= 8, A4= 11, A5 = 14.Observequetrata-sedeumaProgresso Aritmtica(PA)cujo termo inicial 2 e razo r = 3.Lembre-seque,umaP.A.determoinicialA1erazor,tem termo geral A(n) = A1 + (n-1).rb)Os cinco primeiros termos da sequncia defnida porA(n) = 3. 2n-1 so:A1 = 3, A2 = 6, A3 = 12, A4 = 24, A5 = 48.Trata-se de uma Progresso Geomtrica (PG) cujo termo inicial 3 e razo q = 2.17Matemtica DiscretaRecorde que, uma PG de termo inicial A1 e razo q, tem termo geral A(n)= A1.qn-1.Exemplo19.CalcularostermosA1,A2,A3eA4dasseguintes sequncias {An} cujo termo geral Na, n 1, defnido por:a) An = n2b) An = 1 + 10nc) An = (-1)n.nd) An = 2n + 1e) An = n!f) An = 2 + 3(n-1)Soluo:a) 1, 4, 9, 16b) 11, 101, 1001, 10001c) -1, 2, -3, 4d) 3, 5, 9, 17e) 1, 2, 6, 24f) 2, 5, 8, 11Exemplo20.Escreverumadefniofechada(outermogeral) para as seguintes sequncias numricas:a) 19, 14, 9, 4, ...b) 400, 200, 100, 50, ...c) 17, 27, 37, 47, 57, ...d) 7, 97, 997, 9997, ...e) 2, -2, 2, -2, 2, ...f) 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ...g) 1, 3, 6, 10, 15, ...h) 1, 2, 5, 10, 17, ...Soluo:a) A(n) = 24 5n , n 118Matemtica Discretab) A(n) = 14002n, n 1c) A(n) = 7 + 10n, n 1d) A(n) = 10n - 3, n 1e) A(n) = (-1)n + 1 . 2, n 1f) A(n) = 12 1 n , n 1g) A(n) = ( 1)2n n +, n 1h) A(n) = 1 + (n - 1)2, n 1Aprenda Praticando: Exerccios Propostos 1.1Agora com voc... Apresentamos vrios exerccios sobre funo. Vocdeveprocurarsolucion-losecasotenhaalgumadifculdade discuta com seus colegas nos chats que foram formados. Alm disso, procure orientao dos professores executores e tutores da disciplina nos fruns de discusso.Apresentaremos as respostas dos exerccios de nmeros pares.1.Verifcar se cada uma das funes defnidas abaixo injetora, sobrejetora e bijetora:a) f : {1, 2, 3} {a, b, c} f = {(1,a), (2,b), (3,c)}b) g : {1, 2, 3} {a, b, c, d} g = {(1,a), (2,b), (3,c)}c) h ; {1, 2, 3} {1, 2, 3} h = {(1, 2) , (2,1), (3,2)}d) p : N N p (j) = j2 + 2e) m : N N m(x) = (x)mod 5f) q : N N q(j) = 1 se j mparq(j) = 0 se j parg) r : N {0, 1} r(j) = 1 se j mparr(j) = 0 se j parh) t : {0, 1, 2, 3, ..., 6} {0, 1, 2, 3, ..., 6}t(x) = (3x)mod 719Matemtica Discretai) f : Z Z tal que f(x) = 10 + xj) f: N N tal que f(x) = 10 + xk) g: Z Z tal que f(x) = x/2 se x pare f(x) = (x - 1)/2 se x impar.l) f: N Z tal que f(x) = - x/2 se n pare f(x) = (x + 1)/2 se x impar.2.Determine quais das seguintes funes de R em R so bijetoras. Apresente a funo inversa, quando existir.a)f(x) = 3x + 4b)f(x) = -3x2 + 7c)f(x) = (x+1) / (x2+2)d)f(x) = x5 1e)f(x) = x3.ParacadaumadasfunesbijetorafdeRemR,encontrea inversa f-1.a)f(x) = 2xb)f(x) = x3c)f(x) = (2x + 4)/34.Dumafrmulaexplcitaparaumafunodoconjuntodos inteiros Z com imagens no conjunto dos inteiros Z tal que seja:a)injetora e no sobrejetora.b)sobrejetora e no injetora.c)injetora e sobrejetora.d)no injetora e no sobrejetora.5.Sejam f, g: N N, defnidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 3xCalcule o seguinte:a)f o gb)g o fc)f o f20Matemtica Discretad)g o ge)f o g o ff)g o g o f6.Sejam f e g as funes do conjunto dos inteiros no conjunto dos inteiros, defnidas como: f(x) = 5x + 2 e g(x) = -2x + 4. Qual a composio de f o g e g o f?7.AsfunesaseguirsoaplicaesdeRemR.Fornea equaes que descrevam as funes compostas g o f e f o g para cada item.a)f(x) = 6x3 , g(x)= 2xb)f(x) = x( , g(x) = x8.AsfunesaseguirsoaplicaesdeRemR.Fornea equaes que descrevam as funes compostas g o f e f o g para cada item.a)f(x) = (x-1)/2, g(x) = 4x2b)f(x) = 11xx+, g(x) = 11xx+9.Para cada uma das seguintes funes de Hash, abaixo, mostre comoosdadosseriaminseridosnaordemdadasupondo inicialmenteclulasvazias.Usetratamentodecoliseso endereamento aberto com teste linear.a)Hash(x) = (xmod 11 + i)mod 11, clulas indexadas de 0 a 10, dados: 53, 13, 281, 743, 377, 20, 10, 796.b)Hash(x) = (xmod 17 + i)mod 17 clulas indexadas de 0 a 16, dados: 714, 631, 26, 373, 775, 906, 509, 2032, 42, 4, 136, 1028.10. Armazenar sequencialmente os registros com chaves {33, 44, 65, 66, 84, 93} numa tabela hash de tamanho 7 com tratamento de colises endereamento aberto com teste quadrtico, dado por hi(k) = (kmod 7 + i2)mod 7, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.21Matemtica DiscretaRespostas dos Exerccios Propostos 1.12.a) f(x) = 3x + 4 bijetora e a funo inversa f-1(x) = 43x .b) f(x) = -3x2 + 7 no uma funo injetora, pois, f(2) = f(-2) = -5. Alm disso, no sobrejetora em R. De fato, no existe xR, tal que f(x) = 10.c) f(x) = (x+1) / (x2+2) no sobrejetora. Por exemplo, no existe xR,talquef(x)=1.Seexistisse,teramos,(x+1)/(x2+2)=1, ou seja, x2 + 2 = x + 1, que acarreta x2 - x + 1 = 0. Esta equao no tem soluo real, pois = b2 - 4ac = -3.d) f(x) = x5 1 bijetora. A inversa f-1(x) = 51 x + .e)f(x)=xnoinjetoranemsobrejetora.Observeque f(1,3) = f(1,4) = 1 e que no existe xR tal que f(x) = 0,5.4.a) f(x) = 3x + 1 se x 0, f(x) = 3x + 2 se x < 0 b) f(x) = x2 se x > 0, f(x) = -x2 + 8, se x 0.c) f(x) = 2x + 1 se xZd) f(x) = x2 + 2 se xZ6.(f o g)(x) = f(-2x + 4) = 5(-2x + 4) + 2 = -10x + 20+ 2 = -10x + 22 (g o f) (x) = g (5x + 2)=-2(5x + 2) + 4= -10x 4 + 4 = -10x8.a) g(f(x)) = g(12x ) = 2214 ( 1)2 xx| | |\ . = f(g(x)) = f(4x2) = 24 12x b) g(f(x)) = g(11xx+) = 1111111 xxxxx+++= f(g(x)) = f(11xx+) = 111111 xxxxx+++=22Matemtica Discreta10.k i h(k) = (kmod 7 + i2)mod 7Situao33 0 h(33) = (33mod 7 + 02)mod 7 = (5 + 0)mod 7 = 5 ok44 0 h(44) = (44mod 7 + 02)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2 ok65 01h(65) = (65mod 7 + 02)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2h(65) = (65mod 7 + 12)mod 7 = (2 + 1)mod 7 = 3Colisook66 01h(66) = (66mod 7 + 02)mod 7 = (3 + 0)mod 7 = 3h(66) = (66mod 7 + 12)mod 7 = (3 + 1)mod 7 = 4Colisook84 0 h(84) = (84mod 7 + 02)mod 7 = (0 + 0)mod 7 = 0 ok93 012h(93) = (93mod 7 + 02)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2h(93) = (93mod 7 + 12)mod 7 = (2 + 1)mod 7 = 3h(93) = (93mod 7 + 22)mod 7 = (2 + 4)mod 7 = 6ColisoColisookOs dados sero alocados nos seguintes endereos:0 1 2 3 4 5 684 44 65 66 33 93ConclusoNoprimeirocaptulodestefascculo,vocaprendeusobreas funes,comopodemserutilizadasemaplicaesdainformticae computao. Em particular, conheceu a funo mod e a funo hash, queseroempregadasemaplicaesdadisciplinaEstruturade Dados.Saiba MaisVoc poder aprender muito mais sobre funes, consultando os seguintes livros e sites:23Matemtica DiscretaGERSTING,JudithL.FundamentosMatemticosparaa Cincia da Computao. Traduo Valria de Magalhes Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemtica Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004.SCHEINERMAN,EdwardR.MatemticaDiscreta:uma introduo.TraduodeAlfredoAlvesdeFarias.SoPaulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.Orientaes de EstudosO exemplo 12 deste captulo versou sobre processos de transmisso de informaes de forma segura, como por exemplo, informaes de dados fnanceiros pela internet. Nesse processo, usamos uma chave de codifcao. Da, a informao codifcada e enviada ao receptor. Aoreceb-la,oreceptorpodedecodifc-lausandoumachavede decodifcao.Nosistemacriptogrfcocomchavepblica,achavede decodifcao pode ser obtida da chave de decodifcao. O sistema criptogrfco com chave pblica inventado por R. L. Rivest, A. Shamir eL.Adlemanusaafunomodealgunsconceitosdateoriados nmeros inteiros.Sevocteminteressenoassunto,leiaoslivrosacimaindicados quetratamdoassuntodeumaformamuitosimplesevisiteos seguintes sites:http://www.upis.br/revistavirtual/Cavalcante_%20Teoria%20dos%20N%FAmeros%20e%20Criptografa_2005_UPIS.pdf http://www.infowester.com/criptografa.phphttp://domenico-deri.sites.uol.com.br/exemplos.html http://www.penta.ufrgs.br/gere96/segur/cripto_.htm24Matemtica DiscretaCaptulo 2 - Recurso: um mtodo de definio2.1 O que recurso?Afguraacimaumtringuloequiltero.Noseuinterior,maior tringulo equiltero branco de lado L1 tem em cada um de seus lados, vrtices de um tringulo equiltero de lado L2 = 12L. Por sua vez, cada tringulo equiltero de lado L2, tem em cada um dos seus lados, vrtices de tringulos equilteros de lados L3 = 22L, e assim sucessivamente. De modo que a fgura mostra uma sucesso de tringulos equilteros de lados Ln = 12nL, onde o lado de cada tringulo metade do lado do tringulo anterior. Essa uma fgura construda por recorrncia!Faremos agora uma defnio de recurso.2.2 RecursoUmadefnionaqualoitemqueestsendodefnidoaparece como parte da defnio chamada defnio recursiva ou indutiva. Isto , o item defnido por meio de uma regra que permite calcular qualquer caso do item em funo do item ou dos itens anteriores. Assim, uma defnio recursiva constituda de duas partes:a)Um passo inicial, onde alguns casos simples do item que est sendo defnido so dados explicitamente e,b)Umpassoindutivoourecursivo,ondeosoutroscasosdo item que est sendo defnido so dados em termos dos casos anteriores.25Matemtica DiscretaComopodemosfazerusodeumadefniorecursiva?Podemos usar recurso para defnir funes ou operaes, algoritmos, conjuntos e sequncias.Lembre-se:Toda defnio recursiva constituda por duas partes. A primeira parte do passo inicial, onde sero fornecidos os dados iniciais do item que se defne. Asegundaparteopassorecursivo,ondefeitadeformarecorrenteo calcule dos demais itens em termos dos itens anteriores.Exemplo1.Umasequnciadefnidarecursivamente, explicitando-seseuprimeirovalor(ouseusprimeirosvalores)e,a partirda,defnindo-seoutrosvaloresnasequnciaemtermosdos valores iniciais.A sequncia 3, 6, 12, 24, ... defnida recursivamente por:Passo inicial: A(1) = 3Passo Recursivo: A(n) = 2 . A(n-1), para n 2O clculo do 5 termo se faz assim:A(5) = 2 . A(4)A(4) = 2 . A(3)A(3) = 2 . A(2)A(2) = 2 . A(1)A(1) = 3A(2) = 2 . 3 = 6A(3) = 2 . 6 = 12A(4) = 2 . 12 = 24A(5) = 2 . 24 = 48Exemplo 2. A sequncia 2, 5, 8, 11, 14, ... defnida recursivamente por:Passo inicial: A(1) = 2Passo recursivo: A(n) = A(n-1) + 3, para n 2ParacalcularrecursivamenteoquintotermoA(5)procedemos assim:26Matemtica DiscretaA(5) = A(4) + 3A(4) = A(3) + 3A(3) = A(2) + 3A(2) = A(1) + 3A(1) = 2A(2) = 2 + 3 = 5A(3) = 5 + 3 = 8A(4) = 8 + 3 = 11A(5) = 11 + 3 = 14Exemplo 3. A sequncia de Fibonacci defnida recursivamente por:Passo inicial: F(1) = 1, F(2) = 1Passo recursivo: F(n)= F(n-1) + F(n-2), n 3 constituda dos termos 1, 1, 2, 3, 5, 8 ,13, 21, 34, ...Calcule recursivamente F(6).F(6) = F(5) + F(4)F(5) = F(4) + F(3)F(4) = F(3) + F(2)F(3) = F2) + F(1)F(2) = 1F(1) = 1F(3) = 1 + 1 = 2F(4) = 2 +1 = 3F(5) = 3 + 2 = 5F(6) = 5 +3 = 8Exemplo 4. Uma funo pode ser defnida por recursividade. Por exemplo,afunoMDCcalculaomximodivisorcomumdedois inteiros positivos, pode ser defnida assim:MDC(x, y) = y se x y e xmod y = 0MDC(x, y) = MDC(y,x) se x < yMDC(x, y) = MDC(y, xmod y) caso contrrio.O clculo do MDC de x = 72 e y = 20 se processa dessa maneira:27Matemtica DiscretaMDC (72, 20) = MDC(20, 12) = MDC (12, 8) = MDC(8, 4) = 4Exemplo5.Recursoemprogramaorefere-seaum procedimento ou funo que chama a si mesmo, um mdulo recursivo. Paraalgunstiposdeproblemasummdulorecursivopossibilita solues mais simples e naturais, conforme exemplo seguinte: {Funorecursivaparamultiplicaodedoisinteiros.Efetuaa multiplicao por somas sucessivas.}funo multiplica (m, n: inteiro): inteiro{Executa multiplicao utilizando somas sucessivas.Entrada: dois operandos m e n e assume que n > 0Sada: Retorna m * ninicio {multiplica}se n = 1 entomultiplica : = msenomultiplica : = m+ multiplica (m , n 1);fm {multiplica}Observao:Paradefnirummdulorecursivo,precisamos identifcardoiselementos:opassorecursivoeacondiode parada. No exemplo citado, a condio de parada satisfeita quando n = 1, enquanto o passo recursivo aparece na linha multiplica: = m + multiplica (m, n 1) onde aparece a funo chamando ela mesma.Deummodogeral,ummdulorecursivosegueoalgoritmo seguinte:se entoResolvasenoDivida o problema num caso mais simples utilizando recurso.No exemplo acima, qual o valor de sada para m = 5 e n = 4?multiplica(5,4)=5+multiplica(5,3) multiplica(5,3)=5+multiplica(5,2)multiplica(5,2)=5+multiplica(5,1) multiplica(5,1)=5multiplica(5,2)=5=5=10 multiplica(5,3)=5+10=15multiplica(5,4)=5+15=2028Matemtica DiscretaExemplo 6. Fornea uma defnio recursiva para cada uma das seguintes sequncias:a)7, 97, 997, 9997, ...b)sequncia T(n) de nmeros triangulares:T(1) = 1 T(2) = 3 T(3) = 6 T(4) = 10n = 1 n = 2 n = 3 n = 4c)231 um nmero triangular?d)Quais os nmeros triangulares entre 200 e 300?a)A sequncia 7, 97, 997, 9997, ... tem termo geral A(n) = 10n 3, com n 1. Logo, podemos escrever A(n-1) = 10n-1 -7, de modo que:10 . A(n-1) = 10(10n-1 3) = 10n 30 = (10n 3) - 27 = A(n) 27.Assim, A(n) = 10.A(n-1) + 27 para n 2, A(1) = 7 a defnio recursiva da sequncia.b)ObservequeT(1)=1,T(2)=T(1)+2,T(3)=T(2)+3,logo T(n) = T(n-1) + n , para n 2.A defnio recursiva T(1) = 1, T(n) = T(n-1) + n,n 2.c)Uma frmula fechada para T(n) T(n) = 22n n + para n 1 (Prove). Assim, para 231 seja um nmero triangular, devemos encontrar n tal que 231 = 22n n +. Isto , n2 + n - 462 = 0. Resolvendo a equao,temosquen= 1 1 1848 1 432 2 + =. Assim, T(21) = 231.d)231, 253, 276 e 300.Exemplo 7. A funo cho f(x) = x associa a cada nmero real x o maior inteiro menor ou igual a x. Defnimos a sequncia T por:T(1) = 129Matemtica DiscretaT(n) = 2 . T ( n/2 ) para n 2.Vamos calcular recursivamente T(73).T(73) = 2 . T( 73/2 ) = 2 . T(36) =T(36) = 2 . T ( 36/2 ) = 2 . T(18) =T(18) = 2 . T ( 18/2 )= 2 . T(9) T(9) = 2 . T ( 9/2 ) = 2 . T (4) T(4) = 2 . T ( 4/2 ) = 2 . T(2) T(2) = 2 . T ( 2/2 ) = 2 . T(1)T(1) = 1T(2) = 2 . 1 = 2T(4) = 2 . 2 = 4T(9) = 2 . 4 = 8T(18) = 2 . 8 = 16T(36) = 2 . 16 = 32T(73) = 2 . 32 = 64Exemplo8.ConsidereoseguintealgoritmorecursivoemCque ordena os elementos de uma lista L= [L(1), L(2), L(3), ... , L(j)] onde j o comprimento da lista:Lista ORD (lista L, int J)if (J == 1) {return L; A lista est ordenada, imprima a lista.}else if (J > 1) {Procure o ndice I entre 1 e J do maiorelemento tal que L(I) > L(J)Troque L(I) por L(J)return ORD(L, J-1);}Simule a sada para a entrada L= [2, 7, 4, -3, 8, 5] e j = 6Soluo:ORD([2, 7, 4, -3, 8, 5], 6) = [2, 7, 4, -3, 5, 8]ORD([2, 7, 4, -3, 5, 8], 5) = [2, 5, 4, -3, 7, 8]ORD([2, 5, 4, -3, 7, 8], 4) = [2, -3, 4, 5, 7, 8]ORD([2, -3, 4, 5, 7, 8], 3) = [2, -3, 4, 5, 7, 8]30Matemtica DiscretaORD([2, -3, 4, 5, 7, 8], 2) = [-3, 2, 4, 5, 7, 8]ORD([2, -3, 4, 5, 7, 8], 1) = [-3, 2, 4, 5, 7, 8]Exemplo9.ConsidereafunoFdefnidanoconjuntodos nmeros naturais do seguinte modo:F(1) = 1F(n) = n + F(n-1) para n 2. Vamos calcular F(5).F(5) = 5 + F(4) = 5 + 4 + F(3)= 5 + 4 + 3 + F(2) = 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + F(1)= 5 + 4 + 3 + 2 + 1= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.VocpercebeuqueF(n)asomadetodososnmerosinteiros positivos menores ou iguais a n? Assim, F(n) = 1nii== 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n.31Matemtica DiscretaAprenda Praticando: Exerccios Propostos 2.1Chegou a sua vez! Apresentamos vrios exerccios sobre recurso. Vocdevetentarsolucion-losecasotenhaalgumadifculdade, discutacomseuscolegasnoschatsqueforamformados.Procure orientaodosprofessoresexecutoresetutoresdadisciplinanos fruns de discusso, caso persistam dvidas.Apresentaremosaseguirrespostadosexercciosdenumerao par.1.Nosexercciosseguintes,calcularoquintotermodas sequncias dadas:a)A(1) = 10, A(n) = A(n-1) + 10, para n 2.b)A(1) = 1, A(n) = 1.( 1) A n , para n 2.c)B(1) = 1, B(n) = B(n-1) + n2, para n 2.d)A(1) = 1, A(n) = A(n-1) + 1n, para n 2.e)P(1) = 1, P(n) = n2.P(n-1) + (n-1), para n 2.f)D(1) = 3, D(2) = 5, D(n) = (n-1).D(n-1) + (n-2).D(n-2), para n 3. 2.Calculerecursivamenteosextotermodecadaumadas sequncias defnidas abaixo:a)A(1) = 1, A(n) = A(n-1) + 2, n 2.b)A(1) = 1, A(n) = 3.A(n-1), n 2.c)A(1) = 2, A(n) = [A(n-1)]2, n 2.d)A(1) = 91, A(n) = A(n-1) + 9.10n, n 2.e)A(1) = 3, A(n) = -2.A(n-1), n 2.f)A(1)= 3, A(n) = 3.A(n-1) + 7, n 2.3.Fornea uma defnio recursiva para:a)a progresso geomtrica com termo inicial 7 e razo 3.32Matemtica Discretab)a progresso aritmtica com termo inicial -12 e razo 5.c)o fatorial n!, n 1.d)o produto de dois nmeros inteiros positivos.e)o MDC de dois nmeros naturais a e b, a < b.f)a sequncia 5, 9, 13, 17, ...g)a sequncia 4, 2, 1 ,, , ...h)a sequncia a, 2a + b, 3a + 2b, 4a + 3b, ...i)a sequncia a, 2a - b, 3a - 2b , 4a - 3b, ...j)a sequncia An= 3n - 1 com n > 0k)a sequncia A(n) = n2com n > 0l)a sequncia A(n) = n2 + n + 1m) a sequncia 1, -1, 1, -1, ...n)a diviso de dois inteiros positivos.o)a sequncia 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,,,...0! 0! 1! 0! 1! 2! 0! 1! 2! 3!+ + + + + +p)a sequncia 2, 92, 992, 9992, ...4.Uma quantia de 500 unidades monetrias foi investida em uma conta remunerada a uma taxa de juro composto anual de 10%. Descreva a defnio recursiva para P(n), a quantia na conta no incio do n-simo ano. 5.A sequncia de nmeros 16, 144, ..., 304, ..., ..., 768, 1232, 2000 umasubsequnciafnitaobtidadasequnciadeFibonacci. Descubra os termos que esto faltando.6.Que valor computado pelo seguinte algoritmo, para um valor de entrada especifcado?int F(int n) {if (n == 1)return 1elsereturn n + 2*F(n-1);}Qual o valor de sada para a entrada n = 6?33Matemtica Discreta7.Que valor computado pelo seguinte algoritmo, para um valor de entrada especifcado?int MDC( int a, int b) {if a = 0return belsereturn MDC (bmod a, a)}Qualovalordesadaparaa=20eb=72?Qualovalorde sada para a = 232 e b = 432?8.Que valor computado pelo seguinte algoritmo, para um valor de entrada especifcado?int FIB (int n) {if (n == 0)return 0else if (n == 1)return 1elsereturn = FIB(n-1) + FIB(n-2);}Qual o valor de sada para n = 6?9.A funo teto g(x) = x( associa a cada real x o menor inteiro maior ou igual a x. Defnimos uma sequncia T por:a)T(1)= 1b)T(n) = 2 . T ( n/2( ) para n 2.Calcule recursivamente T(85).10. Defnimos a sequncia FACT da seguinte forma:FACT (0) = 1. FACT (n+1) = (n+1) . FACT (n), para n 0.Escreva os seis primeiros termos de FACT.11. Considere a relao de recorrncia dada por:Y0 = 1, Yn+1 = 1 22nnYY| | |\ .+, onde n 0.Essa relao produz uma sequncia de valores tais que pode ser usado para aproximar2com qualquer grau de preciso.34Matemtica Discreta12. Considere a sequncia defnida recursivamente por:F(1) = 1 e F(n) = 1( 1) 1 F n +, para n > 1.a)Ache os valores dos seis primeiros termos dessa sequncia.b)Observe o numerador de cada um dos termos da parte (a). Que sequncia formam?13. Que valor computado pelo seguinte algoritmo para um valor de entrada especifcado?int Q(int a, int b) {if a < b return 0elsereturn Q(a-b, b) + 1;}QualovalordesadaparaQ(15,2)?EparaQ(5,5)?E Q(5861,7)?14. Considere o seguinte algoritmo recursivo:int MAX (int A, int B) {if (A == 0) or (B == 0)return A + Belsereturn MAX(A-1, B-1) + 1;}Calcule o valor de retorno para a entrada A = 7 e B = 13?15. Considereoseguintealgoritmorecursivoqueordenaos elementos de uma lista L= [L(1), L(2), L(3), ... , L(j)] onde j o comprimento da lista:Lista ORD(lista L, int J) {if (j == 1)return L //A lista est ordenada. Imprima a lista. else if j > 1 //Procure o ndice I entre 1 e J do maior elemento tal que L(I) > L(J)//Troque L(I) por L(J)return ORD(L, J-1)}Simule a sada para a entradaL = [10, 7, 9, 5, 0, -5, -2] e j = 7.35Matemtica Discreta16. Considere o seguinte algoritmo recursivo.int COMB(int n, int p) {if (n == p) or (p == 0 )return 1elsereturn COMB(n-1, p-1) + COMB(n-1, p);}Calcule o valor de sada para a entrada de n = 6 e p = 3.O que calcula COMB para quaisquer inteiros no negativos n e p?17. Asfgurasabaixomostramquantospedaosobtemoscomn cortes numa pizza:D uma defnio recursiva para o nmero de pedaos P(n) em funo do nmero de cortes n.Resp. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4P(n) = 2 P(n) = 4 P(n) = 7 P(n) = 11Defnio recursiva P(1) = 2 P(n) = P(n-1) + n,para n 218. Fornea uma defnio fechada e uma defnio recursiva para cada uma das seguintes sequncias:a)9, 99, 999, 9999, ...b)sequncia P(n) de nmeros pentagonais:...n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5P(1) = 1 P(2) = 5 P(3) = 12 P(4) = 22 P(5) = 536Matemtica Discreta19. Acheumadefniofechada(frmula)paraasseguintes sequncias defnidas recursivamente por:Resultados importantes que podem ser usados:A soma dos termos de uma PA: Sn = 1( )2 na a n +A soma dos termos de uma PG: Sn = 1( 1)1na qqa)S(1) = 1, S(n) = 3.S(n-1) + 1 , n 2b)S(1) = 1, S(n) = 2 S(n-1), n 2.c)S(1) = 1, S(n) = 3.S(n-1) + n, n 2d)S(1) = 0, S(2) = 1, S(n)= ( 1) ( 2)2S n S n + , n 220. Considere o seguinte algoritmo recursivo:Funo F(n: inteiro): inteiroSe n < 5 entoRetorne 3*xSeno Retorne 2*F(n-1) + 7Fim SeFimCalcular F(4), F(5), F(12).21. Considere o seguinte algoritmo recursivo:Funo F(n: inteiro, m: inteiro): inteiroSe n < m entoRetorne -3Seno Retorne F(n-m, m+3) + mFim SeFimCalcular F(2,7), F(5,3) e F(15,3).37Matemtica DiscretaRespostas dos Exerccios Propostos 2.12.a) 11b) 243c) 4.294.967.296d) 9999991e) -64f) 5234.P(0) = 500P(n) = 1,1.P(n-1), n 1.38Matemtica Discreta6.1878.810. 1, 2, 6, 24, 120, 72012. a) 1, 1 2 3 5 8, , , ,5 2 3 8 13b) Formas a sequncia de Fibonacci.14.MAX(7,13)=MAX(6,12)+1 MAX(6,12)=MAX(5,11)+1MAX(5,11)=MAX(4,10)+1 MAX(4,10)=MAX(3,9)+1MAX(3,9)=MAX(2,8)+1 MAX(2,8)=MAX(1,7)+1 MAX(1,7)=MAX(0,6)+1 MAX(0,6)=6 MAX(1,7)=7 MAX(2,8)=8MAX(3,9)=9 MAX(4,10)=10MAX(5,11)=11 MAX(6,12)=12MAX(7,13)=13A funo MAX retorna o maior valor entre A e B.16. a) 20b) O algoritmo retorna C 18. a)S(n)=10n1,paran1umadefniofechadaparaa sequncia 9, 99, 999, 9999, ...Uma defnio recursiva : S(1) = 1, S(n) = 10.S(n-1) + 9, para n 2b) Observe que:P(1) = 139Matemtica DiscretaP(2) = 5 = 1 + 4 = P(1) + 4P(3) = 12 = 1 + 4 + 7 = P(2) + 7P(4) = 22 = 1 + 4 + 7 + 10 = P(3) + 10P(5) = 35 = 1+ 4 + 7 + 10 + 13 = P(4) + 13...P(n)=P(n-1)+3n2,poisasequncia1,4,7,10,13,... uma PA de razo 3 e termo inicial 1, de modo que an = 1 + (n-1).3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2Assim, a defnio recursiva :P(1) = 1, P(n) = P(n-1) + 3n -2 , para n 2A defnio fechada obtida anloga:P(1) = 1P(2) = 5 = 1 + 4P(3) = 12 = 1 + 4 + 7P(4) = 22 = 1 + 4 + 7P(5) = 35 = 1+ 4 + 7 + 10 + 13...P(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ...(3n-2).Observe que P(n) a soma dos termos de uma P.A. de termo inicial 1 e razo 3, logo P(n) = 2(1 3 2). (3 1) 32 2 2 n n n n n n + = = , para n 1.20. F(4) = 12F(5) = 2.F(4) + 7 = 2(12) + 7 = 31F(6) = 2.F(5) + 7 = 62 + 7 = 69ConclusoVoc conheceu no segundo captulo deste fascculo o mtodo da recurso. Ele usado na defnio de funes, sequncias, algoritmos 40Matemtica Discretaediversosoutrosprocedimentoscomputacionais.Aprendeucomo formularumalgoritmorecursivoemaplicaesdainformticae computao.Saiba MaisVoc poder aprender muito mais sobre recurso, consultando os seguintes livros e sites:GERSTING,JudithL.FundamentosMatemticosparaa Cincia da Computao. Traduo Valria de Magalhes Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemtica Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004.SCHEINERMAN,EdwardR.MatemticaDiscreta:uma introduo.TraduodeAlfredoAlvesdeFarias.SoPaulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.41Matemtica DiscretaCaptulo 3 - Teoremas e Tcnicas de Provas3.1 O que um teorema?Voc lembra o Teorema de Pitgoras, no ? A fgura acima ilustra muitobemoqueesseteoremaafrma: Asomadosquadradosdos catetos de um tringulo retngulo igual ao quadrado da hipotenusa. Defnimosumteoremacomoqualquerafrmaodeclarativa sobrematemtica,paraaqualexisteumaprova.Afrmaescuja veracidade no se pode garantir so chamadas de conjecturas.Os teoremas em geral so expressos sob a forma se P ento Q (PQ)ondePeQpodemrepresentarsentenascompostas.Na afrmao se P ento Q, P chamado de hiptese e Q a concluso. PodemosescreverteoremastambmnaformaP Qondesel: PseesomenteseQ.RecordequeP Qequivalentea (P Q) (Q P). Por exemplo, considere a afrmao Se x e y so nmeros pares ento x + y tambm um nmero par. Aqui, a hiptese P x e y so nmeros pares e a concluso Q a soma x + y um nmero par. O teorema afrma que, se x e y so ambos pares ento, x + y um nmeropar. Asentenanoexcluiapossibilidadedex+yserpar quando x ou y no for par. Na verdade, se x e y no so pares ento x + y par. A nica circunstncia em que a afrmao falsa quando P verdadeira (x e y pares) e Q falsa (x + y mpar).42Matemtica DiscretaNuma afrmao P Q podemos ter a condio P verdadeira ou falsaeacondioQverdadeiraoufalsa.SeaafrmaoPQ verdadeira temos o seguinte:Hiptese P Concluso Q P QV (x = 2, y = 4) V (x + y = 6) possvelV (x = 2, y = 4) F (x + y = 7) impossvelF (x = 3, y = 5) V (x + y = 8) possvelF (x = 2, y = 5) F (x + y = 7) possvelExemplo 1. Como podemos escrever afrmaes sob a forma Se P ento Q? Veja os exemplos:a)O produto de um inteiro mpar e um inteiro par par. Se x um inteiro mpar e y um inteiro par ento x.y um inteiro par.b)O quadrado de um inteiro mpar mpar. Se x um inteiro mpar ento x2 impar.c)O quadrado de um inteiro primo no primo. Se x um nmero primo ento x2 no primo.d)A soma de um inteiro par com um mpar par. Se x par e y mpar ento x + y mpar.Exemplo 2. Suponha uma conjectura P Q e queremos mostrar quefalsa.Devemosencontrarumcontra-exemplo,ouseja,uma situaoemquePverdadeiraeQfalsa.Nocasodaafrmao Sexumnmeroprimoentoxmpar.Claramentetrata-sede uma proposio falsa. Basta escolher x = 2.Noexemploacima,vimosquequandoqueremosrefutaruma conjectura,umcontra-exemplosufciente.Masparaprovaruma afrmao,emgeral,muitosexemplosnoprovamasuposio. Anicaexceodessasituaoocorrequandoumaafrmao feitasobreumconjuntofnito.Nessecaso,podemosverifcarsea proposio verdadeira para todos os elementos do conjunto.Nocasodaassero:Seuminteiroentre2e13divisvelpor 4entotambmdivisvelpor2,elapodeserprovadaverdadeira quandomostramosqueverdadeiraparacadaumdosnmeros inteirosentre2e13.claroquenopodemosusaromesmo procedimentoparaprovarquetodonmerointeirodivisvelpor4 tambm divisvel por 2.43Matemtica Discreta3.2 Estratgias de ProvasDiversas formas podem ser usadas para provar uma assero do tipo Se P ento Q. Abordaremos algumas delas.3.2.1 Prova DiretaQuando voc quer provar que uma proposio P Q verdadeira deve-se supor que a hiptese P verdadeira e deduzir que a concluso Q verdadeira.Exemplo 3. Provar: Se x e y so inteiros pares ento x + y par.Prova:Suponha que x e y so inteiros pares (Hiptese). Isto signifca que x e y so ambos divisveis por 2. Logo, existem inteiros m e n tais que x = 2.m e y = 2.n. Como x + y = 2 . m + 2 . n= 2 . (m + n), conclumos que existe um inteiro c = m + n tal que x + y = 2.c.Portanto x + y divisvel por 2. Logo, x + y par (Concluso).Exemplo4.Seuminteirodivisvelpor6entoeletambm divisvel por 3.Prova:Sejaxuminteirodivisvelpor6.Entoexisteuminteiro ktalquex=6.k.Pondo6=3.2,podemosescrever x = (3 . 2) . k = 3 . (2 . k).Como2.kuminteiroeescrevendo2.k=m,temosque x = 3.m, com m inteiro. Logo, x divisvel por 3.Exemplo 5. Se x um inteiro par ento y = x + 5 inteiro mpar.Prova:Assumimos que x um inteiro par. Ento existe um inteiro n tal que x = 2 . n. Como y = x + 5 ento y = 2 . n + 5 = 2n + 4 + 1 = 2 . (n+2) + 1. Pondo n + 2 = m, temos que y = 2 . m + 1, onde m um inteiro. Consequentemente, y um nmero mpar.Exemplo6.Asomadeuminteirocomoseuquadradoum nmero par. Pondo na forma P Q temos: Se x um nmero inteiro ento x + x2 par.44Matemtica DiscretaProva:Seja x um nmero inteiro.Se x par, ento x = 2 . n e x2 = (2 . n)2 = 4 . n2, de modo que x + x2 = 2 . n + 4 . n2 = 2(n + 2n2). Pondo m = n + 2n2, temos que x + x2 = 2m. Consequentemente x + x2 par.Sexmpar,x=2.n+1paraalguminteiron.Assim, x + x2 = 2n + 1 +(2n + 1)2 = 2.n + 1 + 4n2 + 4.n + 1 = 4n2 + 6.n + 2 = 2(2n2 + 3n + 1). De modo que x + x2 = 2.m, onde m o inteiro 2n2 + 3n + 1. Consequentemente x + x2 par.3.2.2 Prova IndiretaVocdevelembrarquenofascculo1provamosalgumas equivalnciasentreproposies.UmadelasfoiquePQ logicamente equivalente a Q P.A tabela seguinte mostra isso!P Q P Q Q P Q PV V V F F VV F F V F FF V V F V VF F V V V VAssim,umasegundaestratgiadeprovateminicioquando assumimos que a concluso Q falsa e, ento mostrar que a hiptese P falsa.A afrmao Q P chamada de contra-positiva da afrmao P Q. A prova indireta tambm chamada de contra-positiva.Exemplo 7. Formularemos contra-positiva Q P das seguintes proposies P Q:a)P Q: Se x mpar, ento x2 mpar. Q P: Se x2 no mparentoxnompar.Equivalentementepodemos escrever: Se x2 par ento x par.b)Se n um inteiro mpar ento 3n + 5 um inteiro par. P Q: Se x inteiro mpar ento 3x + 5 um inteiro par.Exemplo 8. Use a prova indireta para provar a seguinte proposio P Q: Se x um nmero par, ento x + 3 mpar.45Matemtica DiscretaA contra-positiva Q P Se x +3 no mpar, ento x no par. Isto , se x + 3 par, ento x mpar.Inicialmente,suponhaquex+3par.DessemodoexistenZ talquex+3=2n.Assim,x=2n3=2n4+1=2(n-2)+1. Consequentementex=2.m+1,ondem=n-2inteiro.Logox mpar.Exemplo 9. Prove pela contra-positiva que, se o quadrado de um inteiro par ento x par.A contra-positiva de n2 par n par n mpar n2 mpar.Assuma que n = 2x + 1 com x inteiro.Ento n2 = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 = 2(2x2 + 2x) + 1 = 2.p + 1, onde p = 2x2 + 2x inteiro. Assim, n2 mpar.3.2.3 Prova por contradio (Reduo ao absurdo)Suponhamos que queremos provar P Q. Sabemos, porm, que (P Q) Falso. Assim, para provarmos P Q, admitimos P e no Qemostraremosqueissoimplicaalgofalso.Vejatabela-verdade abaixo:P Q P Q Q P Q F (P Q) FalsoV V VF F F VV F F V V F FF V V F F F VF F V V F F VExemplo 10. Se x um nmero par, ento x + 3 mpar. Aqui, x um nmero par a hiptese P e a concluso Q x + 3 mpar.Admitimos P e no Q. Isto , suponhamos que x um nmero par e que x + 3 par.Ento, x = 2.n e x + 3 = 2.m para inteiros n e m. Assim, por um lado x = 2.n e por outrox = 2.m 3 = 2.m 4 + 1 = 2.(m-2) + 1, isto x par e x mpar, o que uma contradio. Assim x + 3 impar.Exemplo 11. O conjunto dos nmeros primos infnito.Suponhaqueoconjuntodosnmerosprimossejafnito.Ento existem n primos, a saber: p1, p2, p3, ... , pn.46Matemtica DiscretaConsidereonmerox=p1,p2,p3,... ,pn+1.Onmeroxno divisvel por nenhum dos primos p1, p2, p3, ... , pn (deixa resto 1). Logo, xmaisumprimoalmdosnprimosexistenteinicialmente.Oque uma contradio. Logo, verdadeira a proposio de que existem infnitos primos.Aprenda Praticando: Exerccios Propostos 3.11.Fornea um contra-exemplo para:a)Se x um inteiro par e y um inteiro mpar ento o produto x.y impar.b)Se um nmero inteiro primo ento o seu quadrado primo.2.Fornea uma prova direta das seguintes afrmaes:a)A soma de dois inteiros mpares par.b)A soma de um inteiro mpar e um par mpar.c)O produto de dois inteiros consecutivos par.d)O quadrado de um inteiro par divisvel por 4.3.Dumaprovadiretaparaasseguintesproposiesou apresente um contra-exemplo.a)O produto de quaisquer trs inteiros consecutivos par.b)A soma de quaisquer trs inteiros consecutivos par.c) O produto de um inteiro pelo seu quadrado par.d)A soma de um inteiro com o seu cubo par.e)Se x um inteiro primo ento x + 4 primo.f)Seaebsointeirostaisqueadividebebdivideaento a = b.g)Se x um inteiro positivo ento x2 + x + 41 primo.4.Prove por contradio que:a)A soma de dois inteiros negativos um inteiro negativo.47Matemtica Discretab) Se x um nmero real tal que x > 0 ento 1x > 0c)Seasomadedoisnmerosprimosprimoentoumdos primos deve ser 2.d)Se x diferente de zero, ento x2 positivo.e)Se n um inteiro tal que 3.n + 2 par, ento n par.5.Prove ou d um contra-exemplo: a)Sexeysonmerosirracionaisentooprodutox.y irracional.b)Se n um inteiro positivo qualquer, ento 2n + 1 primo.c)Se n um inteiro positivo, ento n2 79n + 1601 primo.6.Provequeoquadradodeuminteiroparuminteiropar, usando:a)prova direta.b)prova indiretac)prova por contradio.7.Prove que se n um inteiro mpar ento n3 + 5 um inteiro par, usando:a)prova diretab)prova por contradioc)prova pela contra-positiva.8.Prove ou d um contra-exemplo:Se x e y so inteiros primos ento x.y + 1 primoConclusoAofnaldesteterceirocapitulo,vocaprendeusobretcnicasde provas de teoremas. Dentre elas, destacamos a prova direta, a prova pela contra-positiva, prova por contradio e aprendeu a fornecer um contra-exemplo de uma proposio falsa.48Matemtica DiscretaSaiba MaisCaso voc queira aprofundar seus conhecimentos sobre tcnicas de provas, consulte os seguintes livros.GERSTING,JudithL.FundamentosMatemticosparaa Cincia da Computao. Traduo Valria de Magalhes Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemtica Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004.SCHEINERMAN,EdwardR.MatemticaDiscreta:uma introduo.Traduode Alfredo AlvesdeFarias.SoPaulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.49Matemtica DiscretaCaptulo 4 - Princpio de Induo FinitaOPrincpiodeInduoFinitaumatcnicafrequentemente usada para demonstrar proposies sobre nmeros inteiros positivos do tipo nN*, nN* P(n), onde P(n) uma propriedade relativa aos nmeros inteiros positivos n. Algumasvezesnosdefrontamoscomafrmaesenvolvendoos nmeros naturais, tais como:1.P(n) : A soma dos n primeiros nmeros mpares n2.1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n22.P(n):Asomadosnprimeirosnmerosinteirospositivos ( 1)2n n +.1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n = ( 1)2n n +3. P(n): 22n - 1divisvel por 3, n 1, nNParaverifcarsetaisafrmaessoverdadeirasparaqualquer inteiro n 1, no basta testar a veracidade das frmulas substituindo valoresespecfcosparan.Pormaisqueasigualdadesganhem credibilidade, no poderemos garantir sua validade para algum valor de n que no tenha sido testado. Vejamos alguns exemplos:Exemplo1.Calculandoovalornumricodaexpresso P(n) = n2 n + 17 em vrios casos particulares de nmeros inteiros positivos n os resultados encontrados so sempre nmeros primos? 50Matemtica DiscretaVejamos:Para n = 1, temos P(1) = 12 1 + 17 = 17 (primo)Para n = 2, temos P(2) = 22 2 + 17 = 19 (primo)Para n = 3, temos P(3) = 9 3 + 17 = 23 (primo)Para n = 4, temos P(4) = 16 4 + 17 = 29 (primo)...Podemosafrmarque,paratodonmerointeiropositivon,P(n)umnmeroprimo?claroqueno!Continuando o clculo at n = 16 encontraremos sempre nmeros primos, porm, para n = 17 encontramos que P(17) = 172 - 17 + 17 = 172 = 17 . 17 que no primo, pois divisvel por 17.Ento, P(n) = n2 n + 17 no primo para todo inteiro positivo n.Exemplo 2. Ao somar os n primeiros nmeros mpares positivos. O que encontramos?Se tentarmos valores pequenos de n obtemos:S1 = 1 = 12S2 = 1 + 3 = 22S3 = 1 + 3 + 5 = 32S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 42S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 72 fcil observar que obtemos quadrados como soma. Na verdade, pelosexemplos,asomadosnprimeirosnmerosmparespositivos Sn = 1 + 3 + 5+ + 7 + ... + (2n-1) = n2. Mas a observao vlida apenas para os sete primeiros valores de n. Ser que isso vlido para todos os valores de n? Como podemos provar essa afrmao?51Matemtica DiscretaA demonstrao de que uma propriedade P, relativa aos nmeros naturais, verdadeira para todo numero natural n 1, pode ser feita pelo mtodo que chamamos de Princpio de Induo Finita, que pode ser enunciado assim:SejaP(n)umaproposioquequeremosprovarqueverdadeiraparatodo nmero natural n 1. Se provarmos que:a) P(1) verdadeira.b) Se P(k) verdadeira implica que P(k+1) verdadeira, k 1 ento, a proposio P(n) verdadeira, para todo inteiro n 1.Para melhor entender o princpio de induo fnita vamos utilizar a metfora do domin. Se voc tem uma longa fla de domins em p e voc puder assegurar que:1.O primeiro domin cair quando se aplica uma fora sufciente na pea do domin.2.Sempre que uma pea de domin cair, a pea vizinha tambm cair.Ento voc pode concluir que todas as peas de domin cairo.Como na prtica o principio de induo fnita? Alguns exemplos mostraro isso.52Matemtica DiscretaExemplo3.QueremosprovarqueaproposioP(n)seguinte verdadeira para todo numero natural n 1P(n): 1 + 3 + 5 + 7 ... + (2n - 1) = n.Parte 1. Devemos provar que P(1) verdadeira, isto : 1 = 12 1 = 1Parte2.SupondoqueP(n)verdadeiraparan=k,devemos mostrar que P(n) verdadeira para n = k + 1.P(k) verdadeira signifca que 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k2. Devemos mostrarqueP(k+1)tambmverdadeira,isto,devemosmostrar que:P(k+1): 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1) -1 = (k+1)2Como1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1) -1 =[1 + 3 + 5 + ... + 2k -1] + 2(k+1) -1 =k2 + 2k +1 = (Hiptese)(k+1)2Logo,peloPrincpiodeInduoFinita,afrmulavaleparatodo n 1.Exemplo 4. Provar que 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n = ( 1)2n n +, n 1.Parte 1. Vamos provar que P(I) verdadeira. De fato, 1 = 1.(1 1)2+ 1 = 1.(2)2 1 = 1.Parte 2. Suponha que P(n) seja verdadeira para n = k, isto , que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k = ( 1)2k k +.Queremos provar que P(k+1) verdadeira, isto , que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k + (k+1) = ( 1)( 2)2k k + +.Como 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k + (k+1) =[1 + 2 + 3 + 4 + ... + k] + (k+1) =53Matemtica Discreta( 1)2k k + + (k+1) = (Por hiptese)( 1) 2( 1)2k k k + + + =( 1)( 2)2k k + +Logo,peloPrincpiodeInduoFinita,afrmulavaleparatodo n 1.Exemplo 5. Mostre que a proposio P(n): 22n - 1 divisvel por 3, n 1, nN verdadeira.Parte 1. Devemos provar que P(1) verdadeira, isto , que para n = 1, 22.1 1 divisvel por 3 (mltiplo de 3).De fato, 22.1 1 = 22 1 = 4 1 = 3 (mltiplo de 3).Parte 2. Suponha que P(n) seja verdadeira para n = k, isto , que 22k - 1 mltiplo de 3.Ento 22k - 1= 3.m para algum inteiro m.Quero provar que P(n) verdadeira para n = k+1. Ou seja, quero provar que 22(k+1) - 1 mltiplo de 3.Como 22(k+1) - 1 = 22k+2 - 1 = 22k . 22 1= 22k . 4 - 1 = 22k . 3 + 22k - 1= 3. 22k + 22k -1 =3. 22k + 3.m= 3(22k + m) mltiplo de 3.Logo,peloPrincpiodeInduoFinita,afrmulavaleparatodo n 1.Exemplo 6. P(n): 2n n+1, nNParte 1. Para n = 0, tem-se que: 20 0+11 1 verdadeiro.Parte2.DevemosmostrarqueP(n)verdadeiraparan=k+1 sempre que P(n) verdadeira para n = k.Ou seja, que 2k+1 k+2 sempre que 2k k +1Ora, 2k+1 = 2. 2k 2(k+1) = (hiptese)2k + 2 k + 254Matemtica DiscretaLogo,peloPrincpiodeInduoFinita,afrmulavaleparatodo n 1Exemplo7.SejaS(n)otermogeraldeumasequnciatalque S(1) = 2 e S(n) = 3*S(n-1) - 1 para n > 1.a)Escreva os cinco primeiros termos de S.b)Mostre por induo que S(n) = 3 12n+Soluo: a) S(1)= 2,S(2) = 3.S(1) - 1 = 3.2 - 1 = 5,S(3) = 3.S(2) - 1 = 3.5 - 1 = 14,S(4) = 3.S(3) - 1 = 3.14 - 1 = 41,S(5) = 3.S(4) - 1 = 3.41 - 1 = 122 b) Queremos provar que S(n) = 3 12n+Parte 1. Para n = 1, temos que S(1) = 13 1 422 2 += = .Parte2.SuponhaqueS(k)= 3 12k+,queremosprovarque S(k+1) = 13 12k++.Ora, pelo passo recursivo temos queS(k+1) = 3.S(k) 1 = 3.3 12k+ - 1= 1 1 13 3 3 3 2 3 112 2 2 k k k + + ++ + + = = .Exemplo 8. Prove por induo matemtica que 23n 1 divisvel por 7, n 1, nN.Parte 1. claro que para n = 1, 23.1 1 = 8 1 = 7 divisvel por 7.Parte 2. Suponha que para um inteiro k 1, 23k 1 seja divisvel por 7, ou seja, que existe inteiro m tal que 23k 1 = 7m.Queremos provar que 23(k+1) 1 divisvel por 7, isto , que existe inteiro p tal que 23(k+1) 1 = 3p.55Matemtica DiscretaDe fato, 23(k+1) 1 = 23k + 3 1= 23k. 23 1 = 23k.8 - 1= (23k. 7) + (23k 1)Como 23k. 7 divisvel por 7 e 23k 1 divisvel por 7 por hiptese, ento23(k+1)1divisvelpor7,tendoemvistasersomadedois nmeros divisveis por 7.Assim, podemos escrever 23(k+1) 1 = 23k. 7 + 7m = 7(23k + m)= 7p, com p = 23k + m.Exemplo 9. Uma sequncia F(n) defnida recursivamente assim: F(1) = 3, F(n) = F(n-1) + n, para n>1.a)Quais os cinco primeiros termos de F?b)Use induo para provar que F(n) = 242n n + +, n 1a)F(1) = 3,F(2) = F(1) + 2 = 3 + 2 = 5,F(3) = F(2) + 3 = 5 + 3 = 8F(4) = F(3) + 4 = 8 + 4 = 12,F(5) = F(4) + 5 = 12 + 5 = 17.b)F(n) = 242n n + +, n 1Queremos provar que a frmula d os termos da sequncia 3, 5, 8, 12, 17, ...Parte1. Para n = 1 temos queF(1) = 21 1 4 632 2 + += = , a frmula est correta.Parte2.SuponhaqueF(k)= 242k k + +,queremosprovarque F(k+1) = 2( 1) ( 1) 42k k + + + +.Ora, pela defnio recursiva temos que F(k+1) = F(k) + k+1, logo, podemos escrever:F(k+1) = 242k k + + + k + 156Matemtica Discreta= 24 2 22k k k + + + + + 22 1 1 42k k k + + + + ++ 2( 1) ( 1) 42k k + + + +.Est completa a prova por induo.Aprenda Praticando: Exerccios Propostos 4.11.Nosexercciosseguintes,useainduomatemticapara demonstrarqueosresultadosabaixoindicadossovlidos para qualquer inteiro positivo n. (n 1)a)2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n2b)2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)c)1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n(2n - 1)Nossa, Pedrinho! Por que voc est descalo com um tempo desses? que o armazm do meu pai est em balano...E como no d pra contar tudo s com os dedos das mos...Eu venho descalo, esse o meu computador!57Matemtica Discretad)1 + 3 + 6 + ... + n(n 1) ( 1)( 2) 2 6n n n + + +=e)4 + 10 + 16 + ... + (6n - 2) = n(3n + 1)f)5 + 10 + 15 + ... + 5n = 5n(n 1)2+g)12 + 22 + 32 + ... + n2 = ( 1)(2 1)6n n n + +h)13 + 23 + 33 + ... + n3 = 2 2( 1)4n n+i)12 + 32 + 52 + ... + (2n - 1)2 = (2 1)(2 1)3n n n +j)1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n 1)(2n 7)6+ +k) 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 1 ( 1)nn n n+ + + + =+ +l) 1 1 1 1 ... 5.7 1.3 3.5 (2 1).(2 1) n n+ + + + + = 2 1nn+m) 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 12.Noexerccioanterior,escrevasobaformadesomatrio,o primeiro membro de cada uma das igualdades.3.Provepormeiodeinduomatemticaqueassentenas seguintes so verdadeiras para todo inteiro n 1.a)32n + 7 divisvel por 8b)7n - 2n divisvel por 5c)13n - 6n divisvel por 7d)25n + 1 + 5n + 2 divisvel por 274.Considere a sequncia S(n) defnida recursivamente por:S(1) = 1, S(n) = 2*S(n-1) + 1 para n > 1.Mostre por induo que S(n) = 2n 1, para n 1.5.Seja S(n) o termo geral de uma sequncia tal que:S(1) = 2 e S(n) = 3*S(n-1) 1 para n > 1.a)Escreva os cinco primeiros termos de Sb)Mostre por induo que S(n) = 3 12n+58Matemtica Discreta6.Descobrir e provar por induo uma frmula para An = 1101n ( ( com n 1.7.A sequncia D(n) defnida assim:D(1) = 2, D(2) = 5, D(n) = 5.D(n-1) - 6.D(n-2), para n > 2.a)Escreva os cinco primeiros termos da sequncia.b)Mostre por induo que D(n) = 2n-1 + 3n-1 para n 1.Respostas dos Exerccios Propostos 4.12.a) 1(4 2)nii=c) 1(4 3)nii=e) 1(6 2)nii=g) 21nii=i) 21(2 1)nii=k) 11( 1)nii i=+m) 1.(!)nii i=4. Para provar que S(n) = 2n 1, para n 1, provaremos inicialmente que a frmula vlida para n = 1.De fato S(1) = 21 1 = 1.Agora, suponha que a frmula vlida para um inteiro k 11. Isto , S(k) = 2k 1. Queremos provar que S(k+1) = 2k+1 1.Ora, pelo passo recursivo, temos queS(k+1) = 2.S(k) + 1 = 2. (2k 1) + 1 = 2k+1 + 2 1 = 2k+1 + 1.59Matemtica Discreta6.A1 = 11101 ( ( = 1101 ( ( ,A2 = 1101 ( ( .1101 ( ( = 1201 ( ( ,A3 = 1201 ( ( .1101 ( ( = 130 1 ( ( ...Conjectura: An = 1 n01 ( ( , n 1Prova por induo: Para n = 1, A1 = 1101 ( ( .Suponha Ak = 1 k01 ( ( , queremos provar que Ak+1 = 1 k 101 ( ( +. Ora, Ak+1 = 1 k 101 ( ( + = Ak. A = 1 k01 ( ( . 1101 ( ( = 1 k 101 ( ( +. Est provado por induo que An = 1 n01 ( ( , n 1.Concluso Aofnalizarestefascculo,vocteveoportunidadedeconhecer maisummtododeprovadeproposiesrelativasaosnmeros naturais:oprincpiodeinduofnita.Vocaplicaressemtodo quando quiser garantir que um algoritmo ou sua implementao est correta.Saiba MaisOPrincpiodeInduoFinitausadotambmnacorreode algoritmos. Por exemplo, queremos saber se o procedimento descrito pelo fuxograma abaixo termina para quaisquer que sejam os valores dos dados de entrada.60Matemtica DiscretaOalgoritmodeEuclidesusadonoclculodoMximoDivisor Comum entre dois inteiros positivos m e n, conforme fgura seguinte.Mostrar que o procedimento acima termina para quaisquer valores dosdadosdeentrada,equivaleamostrarqueSenopasso2do procedimentoosvaloresdexeysointeiros,entoospassos2, 3e4seroexecutadosapenasumnmerofnitodevezes,comos clculos terminando no passo 4.Faremos a prova por induo sobre o valor de y.Parte 1. Se y = 1, ento aps o passo 2, r = 0. Assim, os passos 2, 3 e 4 so executados uma nica vez e o clculo termina no passo 4.Parte2.Suponhamosqueaproposioverdadeirapara qualquer x > 0 e qualquer y, tal que 1 y < k, e mostraremos que ela verdadeira para y = k.61Matemtica DiscretaPordefnioderestodadivisodenmerosinteirospositivos, teremos depois da execuo do passo 2, 0 r < k. Se r = 0, a execuo termina, numa nica vez. Se r > 0, com a execuo dos passos 3 e 4, teremos x = k e y = r, e a execuo volta ao passo 2. Assim, pela hiptese de induo, os passos 2, 3 e 4 sero executados um nmero fnitopdevezes,comosclculosfnalizandonopasso4.Demodo que, ao todo teremos p + 1 execues para y = k. Conclumos ento que o algoritmo termina para quaisquer valores das entradas.Casovocqueiraconhecermaissobreoprincpiodeinduo fnita, notadamente em provas de correo de algoritmos, consulte as seguintes obras.GERSTING,JudithL.FundamentosMatemticosparaa Cincia da Computao. Traduo Valria de Magalhes Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemtica Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004.SCHEINERMAN,EdwardR.MatemticaDiscreta:uma introduo. Traduo de Alfredo Alvesde Farias. So Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.62Matemtica DiscretaReferncias ABE, J. M. Teoria Intuitiva dos Conjuntos. So Paulo: Makron, 199, 266p.GERSTING, J L. Fundamentos Matemticos para a Cincias da Computao. 3 ed., Rio de Janeiro: LTC 1993; 512p.LIPSCHUTZ,S,LIPSON,M.L.TeoriaeProblemasde MatemticaDiscreta.2ed.,PortoAlegre:Bookman,2004, 511p.MENEZES,P.B.MatemticaDiscretaparaComputaoe Informtica. Porto Alegre: Editora Sagra Luzzatto, 2004; 272p.PINTO, S. J. Tpicos de Matemtica Discreta. Departamento de Matemtica: Universidade de Aveiro, 1999;122pROSEN, K. H. Discrete Mathematics and its Applications. 4 ED., New York: WCB/McGraw-Hill, 1999, 654p.SCHEINERMAN, E. R. Matemtica Discreta: Uma Introduo. So Paulo: Thomson, 2003, 523p. http://www.interaula.com/matweb/alegria/fbon//seqfb1.htmhttp://www.upis.br/revistavirtual/Cavalcante_%20Teoria%20dos%20N%FAmeros%20e%20Criptografa_2005_UPIS.pdf http://www.infowester.com/criptografa.phphttp://domenico-deri.sites.uol.com.br/exemplos.html http://www.penta.ufrgs.br/gere96/segur/cripto_.htmhttp://www.ipea.gov.br63Matemtica DiscretaConsideraes FinaisAofnaldessefascculovocaprendeusobreasfunes,oque recursividade,comoosteoremaspodemserprovadosusando algumas tcnicas de provas e conheceu o princpio de induo fnita, empregadoquandosedesejaverifcaraveracidadedeproposies relativasaosnmerosinteiros.Emtodosessesassuntos,foram abordadosexemplosrelacionadossreasdeInformticae Computao. Espero que voc utilize esses mtodos matemticos na soluo de problemas de outras disciplinas do curso.