Livro Cálculo 1 - Completo

CálculoJonas Lachini

Jonas Lachini

CÁLCULO

Belo HorizonteNovembro de 2013

COPYRIGHT © 2013

GRUPO ĂNIMA EDUCAÇÃO

Todos os direitos reservados ao:

Grupo Ănima Educação

Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610/98. Nenhuma parte deste livro, sem prévia autorização por escrito da detentora dos direitos, poderá ser reproduzida ou transmitida, sejam quais

forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravações ou quaisquer outros.

EdiçãoGrupo Ănima Educação

Coordenação GeralAnderson Ceolin Soares

Coordenação PedagógicaCláudia Silveira da Cunha

Coordenação de Produção de MateriaisPatrícia Ferreira Alves

Designer InstrucionalCarla Cristini Justino de Oliveira

Carolina Coelis Gomides Débora Cristina Cordeiro Campos Leal Ediane Cardoso de Araujo Fernandes

Kênia da Silva Cunha CajahibaLaura Boaventura de MeloNaiara Xavier dos Santos

DiagramaçãoDaniele Bagno Tondato

Gleidson Franco

Capa e IlustraçãoAlexandre de Souza PazLeonardo Antonio Aguiar

RevisãoMariana Elizabeth da Silva Oliveira

Sandra Rocha Ribeiro

Normalização BibliográficaPatrícia Bárbara de Paula

CONHEÇA O AUTOR

Jonas Lachini é licenciado em Matemática,

com especialização em Metodologia de

Ensino e mestrado em Educação. Trabalha

como professor há mais de 40 anos, tendo

lecionado nos Ensinos Fundamental,

Médio, de Graduação e Pós-Graduação.

Atualmente, é professor da PUC Minas.

Nessa universidade, leciona Cálculo para

cursos presenciais de Engenharia.

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

Você está começando um programa de

estudos de Cálculo Diferencial e Integral.

É como um circuito que você deverá

percorrer para ir incorporando algumas

ideias que, embora antigas, estão na

base da tecnologia atual. A tarefa de

um profissional de qualquer área é

transformar ciência em tecnologia, ou

seja, transformar conhecimento em algo

útil para o desenvolvimento humano e

sustentado da sociedade.

Cada vez que for cumprir uma etapa deste

programa, lembre-se de que está fazendo

um grande investimento em você mesmo,

de longe seu maior capital! Lembre-se

também de que é você que precisará

estudar Cálculo; ninguém poderá fazer isso

por você. Pense em uma aula de ginástica:

você é quem faz a aula; o professor orienta!

Esse programa foi estruturado para ajudá-

lo a estudar; não é um programa fácil

porque não existem caminhos fáceis para

se trabalhar com o conhecimento!

As páginas do livro, do caderno ou da

internet podem servir de lembrete: a

palavra página vem de pagus, termo latino

utilizado para indicar o pedaço de terra,

cercado e cultivado por alguém ou por um

grupo de pessoas, com vistas a garantir

a própria subsistência. Uma página é o

terreno que você precisará cultivar para

garantir seu desenvolvimento como

profissional capaz de intervir no mundo de

maneira inteligente.

Estude com particular atenção os

exemplos. Use lápis e papel, sublinhe

partes do texto que julgar importantes,

assim como alguém que está cavando um

terreno ou examinando os detalhes de um

objeto. Ler é sinônimo de investigar!

Que você tenha pleno sucesso!

UNIDADE 1 002Funções e Modelos 003O que é uma função 004A função é uma fábrica de pares ordenados 005Várias maneiras de representar uma função 006

UNIDADE 2 014Funções lineares 015Como crescem os adolescentes 016O gráfico do crescimento de um adolescente 017Como achar uma fórmula para o crescimento de um adolescente 017A equação de uma reta 018Famílias de funções lineares 020

UNIDADE 3 027Funções quadráticas 028Construindo quadrados com varetas 029Viajando com uma laranja 030A fórmula e o gráfico de uma função quadrática 030As raízes ou os zeros de uma função quadrática 031O gráfico da função quadrática 032

UNIDADE 4 038Funções potências e funções polinomiais 039Funções potências 040Funções polinomiais 047

5678

UNIDADE 5 058Funções racionais 059Funções racionais 060Novas funções obtidas a partir de outras funções 064Noções sobre derivadas 067

UNIDADE 6 069Taxa de variação constante 070Crescimento e decrescimento de funções 071Taxa de variação constante 072

UNIDADE 7 078Derivada em um ponto 079Taxa de variação variável 080Taxa de variação média 081Derivada em um ponto ou taxa de variação instantânea 085Exercícios 090

UNIDADE 8 094Cálculo da Derivada 095Velocidade média e velocidade instantânea 096Taxa de variação média e taxa de variação instantânea 097A função derivada 101Duas derivada 103

REFERÊNCIAS 106

unidade 1007

CÁLCULO

FUNÇÕES E MODELOS

A Matemática estuda os aspectos quantitativos dos fenômenos. Um jeito de fazer isso

é por meio das funções; elas servem para ler e descrever situações e acontecimentos.

Durante todo o estudo de Cálculo, você estará lidando com funções. Vale a pena

saber trabalhar com elas!

As funções comparecem em praticamente todos os ramos da Matemática. Podemos mesmo

dizer que o Cálculo Diferencial e Integral, uma das obras mais brilhantes da humanidade, está

todo voltado para o estudo de funções. Durante este curso de Cálculo, lidaremos o tempo

todo com funções: as maneiras de representar uma função, o limite e a continuidade de uma

função, a derivada e a antiderivada de uma função.

Talvez você esteja acostumado a pensar que função é uma fórmula e não veja nenhuma

importância em saber ler tabelas ou gráficos e nem qual o domínio e a imagem de uma

função. É comum que gostemos mais de manipular expressões, de fazer contas e resolver,

de maneira mecânica, as questões que encontramos ou que nos são postas. Com a chegada

das calculadoras e dos computadores, a habilidade de fazer muitos cálculos passou a ter

menos importância; atualmente, mais vale conhecer bem os conceitos e saber quando e

como aplicá-los.

Nessa primeira parte, constituída de cinco capítulos, estudaremos o comportamento das

funções algébricas; usaremos, para isso, tabelas, fórmulas, gráficos e textos descritivos, que

unidade 1008

CÁLCULO

são as maneiras mais comuns de representar funções. Embora esses capítulos abranjam

conteúdos que você certamente já conhece, é bom que os estude de modo a melhorar a

percepção a respeito das funções: isso é fundamental para fazer um bom curso de Cálculo.

O QUE É UMA FUNÇÃO

Na linguagem do dia a dia, dizemos que

o preço de uma corrida de táxi está em

função da distância percorrida. Nesse

caso, a palavra função expressa a ideia de

que o conhecimento de um fato ou de um

valor (a distância percorrida) nos diz algo a

respeito de outro fato ou de outro valor (o

preço de uma corrida).

Em Matemática, estudamos os aspectos

quantitativos de um fenômeno; são

aspectos que podem ser medidos e

expressos por meio de números. Este é um

dos motivos pelos quais as funções mais

importantes, em Matemática, são aquelas

em que o conhecimento de um número

nos fornece informações sobre outro

número. Por exemplo, se conhecemos o

comprimento do lado de um quadrado,

podemos calcular a medida da área desse

quadrado; se soubermos a velocidade

de um carro, podemos estimar quanto

tempo levará para percorrer determinada

distância.

Muitas funções são utilizadas para

descrever fenômenos físicos ou situações

que acontecem em diversos campos da

ciência. Essas funções são chamadas

de modelos matemáticos porque servem

para representar com bastante precisão

o comportamento das grandezas que

interferem numa situação ou fenômeno.

Por meio de um exemplo, vamos estudar

o que é uma função. Descreveremos

também o que é o domínio e o que vem a

ser a variação ou a imagem de uma função.

Tente estudar com detalhes as situações

apresentadas neste texto; essa é uma

oportunidade para você aprender a ler

tabelas e gráficos, melhorar sua habilidade

de descrever situações e, sobretudo,

desenvolver sua capacidade de pensar,

que aqui é vista como a habilidade de

estabelecer relações.

Exemplo 1

De 10 a 20 de janeiro de 2010, foram

registradas em certa cidade as seguintes

temperaturas máximas:

unidade 1009

CÁLCULO

TABELA 1

Data

Temperatura (ºC)

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

23 25 25 26 28 25 22 24 26 28 28

Na Tabela 1, existe uma relação entre as

datas e as temperaturas máximas. A cada

dia, de 10 a 20 de janeiro, está associada

uma única temperatura máxima. Podemos

observar que, em um mesmo dia, ocorre

apenas uma temperatura máxima.

Este é um exemplo de função. Embora

não exista fórmula para a temperatura

(senão não precisaríamos dos institutos

de meteorologia), a temperatura satisfaz

a definição de função: cada dia t tem uma

única temperatura máxima m associada a

ele.

Uma grandeza m é uma função de outra

grandeza t se, a cada valor de t, estiver

associado um único valor de m. Quando

isso acontece, dizemos que m é o valor da

função ou a variável dependente, e que t é

a variável independente ou argumento da

função. Usando símbolos matemáticos,

escrevemos: m = ƒ(t) , em que ƒ é o nome da

função.

O domínio de uma função é o conjunto dos

possíveis valores da variável independente.

Nesse exemplo, o domínio é o conjunto dos

dias do período de 10 a 20 de janeiro de 2010.

Fonte: Elaborada pelo autor.

Em linguagem matemática, escrevemos:

D (ƒ) = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

A variação ou a imagem de uma função

é o conjunto dos valores efetivamente

assumidos pela variável dependente.

Nesse exemplo, a imagem é o conjunto dos

valores da temperatura máxima registrados

no período de 10 a 20 de janeiro de 2010.


Im (ƒ) = {22, 23, 24, 25, 26, 28}

A FUNÇÃO É UMA FÁBRICA DE PARES ORDENADOS

Podemos considerar uma função como

uma máquina que fabrica pares ordenados

de números ou de elementos. No exemplo

da Tabela 1, quando colocamos nessa

máquina t = 10 , obtemos m = ƒ(10) = 23;

formamos, assim, o par ordenado (10,

23). Com base nessa ideia, a função é

um conjunto de pares ordenados e, nesse

exemplo da tabela, temos:

F = {(10,23), (11,25), (12,25), (13,26), (14,

28), (15,25), (16,22), (17,24), (18,26), (19,28),

(20,28)}

A tecla ou x de uma calculadora é um

exemplo de função como máquina de fazer

unidade 1010

CÁLCULO

pares ordenados: quando pressionamos a

tecla ou x e damos o input 16, aparecerá

no visor o output 4. Assim, a calculadora

forma o par ordenado (16, 4), ou seja, (16,

16 ). De modo geral, a máquina x fabrica

pares ordenados (x, x ). Na notação

funcional, escrevemos: ƒ(x) = x .

Já tivemos oportunidade de observar que

este operador ou x só pode ser usado

para x ≥ 0. Assim, se digitarmos -9 e, na

sequência, acionarmos o operador ou x ,

a calculadora vai escrever error , indicando

que saímos do domínio da função.

O processo de formar pares ordenados

pode ser representado também por meio de

um diagrama de flechas, como na Figura 1.

1

5

7

2

8

16

FIGURA 1


Nesse diagrama, o conjunto A é o domínio

da função: D(ƒ) = {1,5,7} . De cada elemento

de A sai uma única flecha; isso significa

que um elemento de A está associado a um

único elemento de B. Assim, por exemplo,

ƒ(5) = 8 . Observe também que nenhum

elemento de A é desprovido de flecha.

O conjunto B é o contradomínio da função:

CD(ƒ) = {2, 8, 16}. A um mesmo elemento

de B pode chegar mais de uma flecha; isso

significa que um elemento de B pode ser

imagem de mais de um elemento de A. O

conjunto B pode ter elementos aos quais

não chega nenhuma seta, ou seja, pode

existir elemento de B que não seja imagem

de nenhum elemento de A. O conjunto

dos elementos de B aos quais chega pelo

menos uma flecha é a imagem da função.

No exemplo, temos: Im(ƒ) = {2, 8}. Observe

que sempre o conjunto-imagem é um

subconjunto de B.

De modo geral, o número de elementos

ou de pares ordenados de uma função é

muito grande, o que torna inviável escrever

todos eles; devido a isso, utilizam-se

duas outras formas de representação: os

gráficos e as fórmulas. As fórmulas usadas

para representar funções são também

chamadas de equações, leis de associação

ou leis de formação.

VÁRIAS MANEIRAS DE REPRESENTAR UMA FUNÇÃO

As funções podem ser representadas de

maneiras diferentes. Assim, a função que

fornece as temperaturas máximas em

função do tempo, que foi representada

por meio da Tabela 1, também pode ser

unidade 1011

CÁLCULO


Nesse gráfico, estão representados os pares

ordenados que constituem a função. O gráfico

é formado por pontos separados e cada um

deles representa um elemento da função: F =

{(10, 23), (11,25), (12, 25), (13, 26), (14, 28), (15,

25), (16, 22), (17,24), (18,26), (19,28), (20,28)}

O primeiro termo de cada um desses pares

é medido sobre o eixo horizontal onde

normalmente são colocados os valores do

domínio da função; o segundo termo de

cada um desses pares é medido sobre o eixo

vertical, onde normalmente são colocados os

valores do contradomínio da função.

Nos exemplos seguintes, vamos representar

funções por meio de uma tabela, de um

gráfico, de uma fórmula e da descrição verbal.

São essas as quatro maneiras mais usuais

de se representar uma função. Em geral,

existe a maneira mais adequada para se

representar uma função, dependendo do uso

que se precisa fazer dela. Assim, por exemplo,

o padrão dos batimentos cardíacos de uma

representada pelo Gráfico 1.

GRÁFICO 1

pessoa é mais facilmente observado em

um eletrocardiograma, que é o gráfico de

uma função, e a distribuição de renda no

Brasil fica melhor evidenciada por meio de

um gráfico em forma de pizza.

Exemplo 2

Quando uma bola é chutada para cima, a

altura da bola depende do tempo decorrido

desde o momento do chute.

a) Esse fato pode ser representado por

meio da seguinte tabela de valores.

TABELA 2


Tempo t (em segundos)

Altura ƒ (t) (em metros)

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0 6,25 10,00 11,25 10,00 6,25 0

Na Tabela 2, estão indicados sete dentre os

infinitos pares ordenados que constituem

a função: (0, 0), (0,5; 6,25), (1,0; 10,00), (1,5;

11,25), (2,0; 10,00), (2,5; 6,25) e (3,0; 0). Os

elementos da primeira linha da tabela são

do domínio da função; os elementos da

segunda linha são do contradomínio da

função.

A representação de uma função por meio

de uma tabela é muito utilizada para indicar

as medidas obtidas em experimentos

científicos.

b) Podemos, também, usar um gráfico para

representar essa função.

unidade 1012

CÁLCULO


GRÁFICO 2

Para construir o Gráfico 2, foram plotados

em um sistema de coordenadas cartesianas

três dos pares ordenados da tabela: (0, 0),

(1,5; 10,25) e (3,0; 0). A seguir, esses pontos

foram ligados por meio de uma curva

contínua, traçada sem tirar o lápis do papel

(ou mantendo o mouse pressionado). Fazer

um traço contínuo sugere que, para qualquer

instante considerado entre 0 e 3 segundos,

existe uma altura correspondente para a bola

chutada. O traço contínuo é uma invenção

engenhosa da matemática para representar

fenômenos que ocorrem, aparentemente,

sem dar saltos.

c) Para efeito de manipulação algébrica e de

análise matemática, essa função pode ser

representada pela fórmula.

ƒ (t) = - 5t2 + 15t

A descrição de uma função por meio de uma

fórmula é a mais resumida delas; na fórmula,

utilizamos uma linguagem codificada.

Quando escrevemos ƒ(t) = 5t2 + 15t, estamos

escrevendo uma frase completa por meio de

símbolos matemáticos: o primeiro membro

da equação, ƒ(t), é o sujeito da frase; o

sinal de igualdade, = (é igual a), é o verbo e

o segundo membro da equação, - 5t2 + 15t,

é o predicativo. Em geral, a fórmula de uma

função é conseguida por meio de muitas

experimentações feitas com o fenômeno

físico que se pretende descrever ou modelar.

d) Além disso, uma função pode ser

representada por meio de descrição verbal.

O fenômeno apreciado nesse exemplo pode

ser descrito verbalmente, como feito a

seguir:

“Quando uma bola é chutada para o alto, a

sua altura em relação ao solo é a função

do tempo decorrido desde o momento do

chute, ou o instante inicial, até o momento

em que toca o solo, ou o instante final. No

caso em estudo, a altura da bola no instante

t = 0 é zero, no instante t = 1,5 é 11,25 e no

instante t = 3 volta a ser zero.”

Das quatro representações propostas para o

exemplo, as de mais fácil leitura são a tabela

e o gráfico. A de mais fácil manipulação

computacional é a fórmula. A descrição

verbal de uma função nem sempre consegue

explicitar todos os detalhes de um fenômeno;

existem situações que só conseguimos

descrever por meio de gráficos, tabelas

ou de fórmulas; isso significa que existem

unidade 1013

CÁLCULO

situações que só podem ser descritas por

meio da linguagem matemática.

Você pode entender melhor esta última

afirmativa se pensar que o computador é

um artefato matemático! Nos programas

para computadores, substituem-se

cores, sons e palavras por sequências

de números formados pelos algarismos

0 e 1; o computador compara e ordena

essas sequências numéricas de acordo

com o programado. Se é verdade que um

gesto vale mais que mil palavras, também é

verdade que uma equação matemática vale

por milhares de palavras.

Exemplo 3

Considere um tanque com 1200l de

capacidade e uma torneira que despeja

nele 40l de água por minuto. O volume de

água despejada é função do tempo em que

a torneira ficar aberta.

a) O fenômeno de enchimento do tanque

em função do tempo pode ser descrito por

meio da tabela a seguir:

TABELA 3



Tempo t (em minutos)

Volume ѵ (em litros)

0 1 2 3 ... 29 30

0 40 80 120 ... 1160 1200

b) Por meio de um gráfico, a função fica

assim descrita:

c) Por meio de uma fórmula, podemos

escrever:

ƒ(t) = 40t, 0 ≤ t ≤ 30

As variáveis ѵ e t se relacionam pela

igualdade ѵ = 40t, com 0 ≤ t ≤ 30 . Para cada

valor atribuído à variável t, corresponde um

único valor para a variável ѵ. A relação ѵ=40t

é a lei de associação ou a lei de formação

da função.

d) Uma possível descrição verbal dessa

função é a seguinte:

O volume de água despejado no tanque é

função do tempo decorrido desde o instante

em que a torneira foi aberta. A torneira é

aberta quando o tanque está vazio e

despeja no tanque 40 litros a cada minuto.

Como a capacidade do tanque é de 1200

litros, serão necessários 30 minutos para

que essa torneira encha completamente o

tanque.

GRÁFICO 3

unidade 1014

CÁLCULO

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Orientações:

A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução dos exercícios propostos ou das questões de atividades.

Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação.

Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema.

1) Um radar eletrônico flagra certo automóvel andando a 108 km/h em uma avenida de Belo

Horizonte, às duas horas da manhã. Considerando que o carro se manteve nessa mesma

velocidade por 1 minuto:

a) construa uma tabela que relacione a distância percorrida por ele em função do tempo

no intervalo entre 02:00 e 2:01;

b) escreva uma fórmula que expresse a relação entre a distância percorrida (em metros)

e o tempo (em segundos) para o carro nesse intervalo de tempo;

c) esboce o gráfico da função obtida no item anterior.

Solução

a) Começamos por expressar a velocidade em metros por segundo

Atribuindo valores ao tempo t e à distância D, temos a tabela a seguir:

==1h

108 km3600 s

108000 m 30 m/s

unidade 1015

CÁLCULO

TABELA 4

Tempo (s)

Distância (m)

0 10 20 30 40 50 60

0 300 600 900 1200 1600 1800



b) Considerando que a cada segundo o carro percorre 30m, temos a seguinte equação

que relaciona a distância D com cada instante t do tempo:

D (t) = 30t, 0 ≤ t ≤ 60

c) O gráfico da função foi feito no winplot:

GRÁFICO 4

2) Certo estacionamento cobra R$7,00 por hora, mas possui uma promoção em que o cliente

pode comprar um selo no valor de R$60,00 com o qual passa a pagar apenas R$1,00 por hora.

Com base nessas informações:

a) escreva uma equação para cada situação de pagamento;

b) faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas;

c) através do gráfico determine a partir de quantos dias passa a ser vantajoso comprar o

selo promocional.

unidade 1016

CÁLCULO

Solução

a) Sendo f a função para situação normal e t o tempo em horas, temos:

ƒ(t) = 7t

Sendo g a função, quando se usa o selo, e t o tempo em horas, temos:

g(t) = 60 + t

b) O Gráfico 5 representa as duas funções.

GRÁFICO 5


c) Com base no gráfico, podemos concluir que, a partir da décima hora de uso do

estacionamento, comprar o selo promocional se torna mais vantajoso.

3) Uma caixa aberta em cima tem um volume de 12m3 . O comprimento da base é o dobro da

largura. O material da base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material das

laterais custa R$8,00 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em função da

largura da base.

Solução

Consideremos a caixa representada no diagrama ao lado, na qual a é a medida da largura da

base, 2a o comprimento e h a altura.

a 2a

h

unidade 1017

CÁLCULO

Assim, o custo total da caixa, em reais, é dado por:

C = (2a • a) 10 + 2a • h • 8 + 2 • 2a • h • 8 → C = 20a2 + 48ah

Por outro lado, o volume da caixa, em metros quadrados, é ѵ = 2a • a • h. Fazendo ѵ = 12,

obtemos 12 = 2a2h → h = 6

Substituindo este valor de h na equação do custo total, C = 20a2 + 48ah, temos:

C = 20a2 + 48ah • → C(a) = 20a2 + a

288

Portanto, a equação C(a) = 20a2 + a

288 expressa o custo C da caixa em função da largura a de

sua base.

d) O gráfico da função foi feito no winplot:

GRÁFICO 6

a2

a26


unidade 2019

CÁLCULO

Neste capítulo, estudaremos as funções lineares. Elas aparecem com bastante

frequência no dia a dia, como, por exemplo, no cálculo do custo de uma corrida de

táxi, que é proporcional à distância percorrida, e na conta de telefone, cujo valor é

proporcional ao tempo utilizado nas ligações.

As funções lineares são usadas para descrever situações nas quais o crescimento ou

o decrescimento da variável dependente é proporcional ao crescimento da variável

independente. Assim, dizemos que uma função é linear se qualquer variação na variável

independente provoca uma variação proporcional na variável dependente.

FUNÇÕES LINEARES

unidade 2020

CÁLCULO

COMO CRESCEM OS ADOLESCENTES

Em geral, as meninas crescem de 6 a 8

centímetros por ano entre os 12 e os 16

anos, enquanto os meninos crescem de 8

a 10 centímetros por ano, entre os 13 e os

18 anos. A Tabela 5 mostra a evolução da

altura de certo adolescente dos treze aos

dezoito anos.

TABELA 5

Idade

Altura (em centímetros)

13 14 15 16 17 18

131 140 149 158 167 176



Como, a cada ano, a altura aumenta 9cm,

podemos afirmar que a altura desse

adolescente é uma função linear de sua

idade, na fase dos 13 aos 18 anos.

A fração = 9114 - 13

140 - 131 indica que a altura

aumenta 9cm quando a idade aumenta 1

ano. Essa fração é chamada de taxa de

variação da altura em relação ao tempo.

GRÁFICO 6

Em Matemática, costuma-se representar a

taxa de variação de uma função por meio

da fração ∆x∆y

, em que o numerador ∆y

representa o incremento ou a variação da

variável dependente e o denominador ∆x

representa o incremento ou a variação da

variável independente. O símbolo ∆ é a letra

delta do alfabeto grego, correspondente

ao D do alfabeto latino, sendo usada para

indicar a diferença entre dois valores

da variável que o sucede; ∆y (leia-se

“delta y”), por exemplo, indica a diferença

y1 - y0; pode-se, pois, escrever: ∆y = y1 - y0 ou

∆y = ƒ(x1) - ƒ(x0). Incremento significa uma

variação que pode ser para mais ou para

menos; existe também o caso em que o

incremento da variável dependente é nulo,

situação característica de uma função

constante.

Na função linear, a taxa de variação é

sempre a mesma, quaisquer que sejam os

pontos ou pares ordenados considerados.

No exemplo que estamos estudando,

indicando a altura pela letra h e a idade

pela letra t, podemos escrever:

=149 - 13115 - 13∆t

∆h ==2

1819

A taxa de variação é sempre a razão

entre a variação da variável dependente

(numerador) e a variação da variável

independente (denominador). Para saber

qual é a unidade de medida dessa taxa de

variação, basta verificar qual é a unidade

unidade 2021

CÁLCULO

de medida de cada uma das variáveis nela

envolvidas. Nesse exemplo, temos:

= 9 centímetros 9 centímetros por ano1 ano∆t

∆h =

Observe que , nesse caso, significa dividido

por; de modo semelhante, quando dizemos

10% (dez por cento) estamos nos referindo

à taxa ou à fração 10010 .

O GRÁFICO DO CRESCIMENTO DE UM ADOLESCENTE

A relação existente entre a idade e a altura,

no exemplo que estamos estudando, é uma

função linear que pode ser representada

por meio do Gráfico 7.

GRÁFICO 7


Quando o domínio e o contradomínio

de uma função ƒ são subconjuntos do

conjunto de números reais R, dizemos

que ƒ é uma função real de variável real

ou, simplesmente, uma função real. Nesse

caso, podemos fazer uma representação

geométrica da função ƒ num sistema

de coordenadas cartesianas: no eixo

horizontal, assinalamos os valores da

variável independente e por eles traçamos

retas paralelas ao eixo vertical; no eixo

vertical, assinalamos os valores da variável

dependente e por eles traçamos retas

paralelas ao eixo horizontal; as interseções

dessas retas são os pares ordenados que

constituem o gráfico da função. Observe

que cada ponto do gráfico da função ƒ é um

par ordenado de números reais.

Podemos considerar o gráfico de uma

função como sendo a trajetória de um

ponto no plano cartesiano. No exemplo

que estamos estudando, a variável

independente t se desloca ao longo do

eixo horizontal da esquerda para a direita,

fazendo com que a variável dependente

h se mova para cima no eixo vertical.

Esse duplo movimento faz com que o par

ordenado (t, h) descreva a linha que é o

gráfico da função h = 131 + 9t.

COMO ACHAR UMA FÓRMULA PARA O CRESCIMENTO DE UM ADOLESCENTE

Podemos estabelecer uma fórmula que nos

dá a altura h, em centímetros, como função

da idade t, em anos, contados a partir de

13 (a idade de 13 anos correspondendo ao

unidade 2022

CÁLCULO

zero, ou seja, 13 é o início da contagem da

idade):

h = 131 + 9t.

A altura, que inicialmente é de 131cm,

aumenta 9cm a cada ano. O coeficiente

9 nos informa a taxa de crescimento da

altura; geometricamente, 9 é a inclinação

da reta de equação h = 131 + 9t; fisicamente,

é a taxa de variação da altura em relação à

idade, ou seja, 9 centímetros por ano.

GRÁFICO 8


A EQUAÇÃO DE UMA RETA

Encontrar a equação de uma reta ou a

fórmula da função linear é uma questão

que aparece com muita frequência em

problemas de Cálculo. Vale a pena dominar

bem esse assunto.

Uma função linear é dada pela fórmula

y = mx + b, sendo m e b números reais. Nessa

igualdade, y é a variável dependente e x é a

variável independente; m é a inclinação da

reta ou o coeficiente angular da reta ou a

taxa de variação de y em relação à variação

de x; b é o coeficiente linear da reta ou o

valor de y quando x é zero ou a interseção

vertical. Observe que, se m = 0, a equação

da reta fica sendo y = b, que é uma reta

horizontal. Se a reta não tiver inclinação,

sua equação assume a forma x = k, que é

uma reta vertical; lembre-se de que x = k

não é uma função.

Para chegarmos à fórmula ou à equação

de uma reta, precisamos determinar o valor

de m e o valor de b. Vamos considerar três

maneiras de resolver esse problema.

Exemplo 1

Determinar a equação da reta que passa

pelos pontos A = (-2,7) e B = (1,-4).

a) Cálculo de m (o coeficiente angular ou a

taxa de variação):

=m 7 - (-4)-2-1

==-311

311

-

b) Cálculo de b (interseção vertical ou

coeficiente linear):

Sabendo que m = - , podemos escrever

que a equação da reta é y = - x + b.

Como o ponto B = (1,-4) pertence a essa

=176 - 1315 - 0

==∆t∆h

545 9

unidade 2023

CÁLCULO

reta, temos a igualdade = .1+ b-4

,

obtida substituindo, na equação da reta, x

por 1 e y por – 4. Dessa igualdade, podemos

concluir que b = .

c) Equação da reta ou fórmula da função

linear:

Com os valores de m e de b calculados

anteriormente, a equação da reta fica

sendo: y= - 31

311 x

.

Exemplo 2


pelos pontos m = (2, 5) e P = (-3, 7).

Outra maneira de resolver esse problema

é considerar que os pontos m = (2, 5) e

P=(-3,7) pertencem à reta y = mx + b e que,

portanto, suas coordenadas verificam essa

equação. Assim, temos:

a) Se m = (2, 5) pertence à reta y = mx + b,

então, 5 = m • 2 + b , ou seja, 2m + b = 5 .

b) Se P = (-3, 7). pertence à reta y = mx + b,

então, 7 = m(-3) + b, ou seja, -3m + b = 7 .

c) Os valores de m e de b são a solução

do sistema de equações -3m + b = 7 2m + b = 5 , ou

seja, m = - 52 e b = -

529 .

d) Equação da reta ou fórmula da função

linear:

Exemplo 3


pelos pontos R = (2, 3) e S = (-4, -7).

Podemos resolver esse problema utilizando a

igualdade y - y1 = m( x - x1) , que é a equação

da reta com inclinação m e que passa pelo

ponto ( x1 - y1) . Para isso, procedemos do

seguinte modo:

a) Cálculo do coeficiente angular m:

35

610

4273

==++

=m

b) Equação da reta que passa pelo ponto R =

(2, 3) e tem inclinação m = 35

:

)2(35

3 = xy ou, na forma explícita,

Se ao invés do ponto R = (2, 3), utilizarmos

as coordenadas do ponto S = (-4, -7) e m = 35

,

chegaremos à equação

ou

, a mesma equação obtida com

as coordenadas de R.

Tal resultado tem por base a ideia da

geometria plana de que por dois pontos

passa uma única reta, ou seja, dois pontos

sempre são colineares.

Com os valores de m e de b calculados

anteriormente, a equação da reta fica sendo

529

52 += xy .

unidade 2024

CÁLCULO

FAMÍLIAS DE FUNÇÕES LINEARES

As funções lineares podem ser descritas

pelas fórmulas y = mx + b, y = mx ou y = b

Nessas fórmulas, as constantes m e b

são chamadas de parâmetros. Atribuindo

a esses parâmetros diversos valores,

podemos gerar famílias de funções.

A Figura 2 representa o que acontece com

uma reta y = mx à medida que fazemos o

parâmetro m assumir diferentes valores.

Essas retas formam uma família de funções

que têm uma característica comum: todas

elas passam pelo ponto (0, 0).

FIGURA 2



O parâmetro m é a taxa de variação da

função linear. Se m for positivo, a função

será crescente e seu gráfico será uma

reta inclinada para a direita (forma um

ângulo agudo com o semieixo horizontal

positivo); se m for negativo, a função será

decrescente e seu gráfico será uma reta

inclinada para a esquerda.

Na Figura 3, está representada outra família

de retas, obtida por meio da variação do

parâmetro b. São retas paralelas, ou seja,

retas que têm a mesma inclinação m = 1 .

FIGURA 3

Retas paralelas não verticais representam

funções lineares que têm a mesma taxa de

variação.

A família de retas representadas na Figura

4 é de retas horizontais. Também essa

família é obtida por meio da variação do

parâmetro b; as retas são paralelas e têm

inclinação m = 0 .

unidade 2025

CÁLCULO

FIGURA 4



Funções que têm taxa de variação m = 0

são funções constantes.

Na Figura 5, estão representadas retas

verticais. Apesar de constituírem uma

família de retas, elas não são funções.

FIGURA 5

Agrupar em famílias funções com

características comuns é um processo

utilizado na modelagem matemática.

Modelar um fenômeno, no Cálculo, significa

descrever esse fenômeno por meio de uma

função matemática. Para modelar um

fenômeno ou uma situação, escolhe-se

uma família de funções e, depois, por meio

de dados experimentais, ajustam-se os

parâmetros.

unidade 2026

CÁLCULO


Orientações:

A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução dos exercícios propostos ou questões de atividades.

Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação.


1) Para animar uma festa de formatura, o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$400,00, mais

R$90,00 por hora. Pelo mesmo serviço, o conjunto B cobra R$600,00, mais R$60,00 por hora.

Com base nessas informações:

a) escreva a fórmula do preço a ser pago ao conjunto A e a fórmula do preço a ser pago

ao conjunto B em função do tempo de duração da festa;

b) esboce o gráfico de cada uma dessas funções;

c) observando os gráficos, descreva o significado do ponto em que eles se interceptam.

Solução

a) Sendo t o tempo em horas e CA o preço em reais a ser pago ao conjunto A, podemos

escrever CA(t) = 400 + 90t.

De modo semelhante, sendo t o tempo em horas e CB o preço em reais a ser pago ao

conjunto B, temos: CB(t) = 600 + 60t.

Essas duas funções são lineares e o gráfico de cada uma delas é uma reta e ambas estão

definidas para t ≥ 0.

unidade 2027

CÁLCULO

b) Um esboço do gráfico de cada uma dessas funções está a seguir:

GRÁFICO 9


c) O ponto de interseção dos gráficos corresponde ao tempo t de duração da festa

para o qual o preço a ser pago a cada conjunto é o mesmo, ou seja, CA = CB . Assim,

400 + 90t = 600 + 60t; resolvendo essa equação, temos: t = 6h 40min. Se a festa durar

mais de 6h 40min, será mais barato contratar o conjunto B; caso a festa dure menos de

6h 40min, contratar o conjunto A será mais barato.

2) O custo de uma caixa de uvas frescas, numa viticultura, é de R$15,00, mas o preço cai

R$0,30 a cada dia. Obtenha o custo de uma caixa que já foi colhida há t dias.

Solução

O preço da caixa, em função do número de dias passados depois de colhidas as uvas pode

ser expresso por meio da Tabela 6:

TABELA 6

t (dias)

C(t) (reais)

0 1 2 3 ... ? ?

15,00 14,70 14,40 14,10 ... 0,30 0


Essa é uma função linear porque o preço diminui a uma taxa constante. Podemos determinar

a lei de associação dessa função:

unidade 2028

CÁLCULO

a) Cálculo do coeficiente angular ou da taxa de variação:

b) Equação da reta que passa pelo ponto (0, 15) e tem coeficiente angular m = -0,30:

y - 15 = - 0,30 (x - 0) ou, explicitando y, y = - 0,30x + 15

No problema que estamos resolvendo, a variável dependente é o custo C e a variável

independente é o tempo t. Assim a função custo é dada pela equação C(t) = - 0,30t + 15

O gráfico dessa função está representado abaixo:

GRÁFICO 10


Por meio da fórmula C(t) = - 0,30t + 15, fica fácil determinar em quantos dias a caixa de uvas perde

completamente seu valor. Basta fazer C(t) = 0 , condição que leva à igualdade 0 = - 0,30t + 15.

Resolvendo essa equação, obtemos t = 30,0

15

→ t = 50. Assim, podemos afirmar que, depois de

50 dias de colhidas as uvas, a caixa dessas frutas perde completamente seu valor.

3) Um carro parte do ponto P no instante t = 0 e viaja a 80km/h.

a) Escreva uma função y = d(t) para a distância que o carro percorre em t horas saindo

do ponto P.

b) Faça o gráfico de y = d(t).

c) Qual é o coeficiente angular do gráfico feito em (b) e qual sua relação com o carro?

d) Crie uma situação em que o coeficiente linear de y = d(t) valha 30.

unidade 2029

CÁLCULO

Solução

a) A distância percorrida pelo carro em t horas é uma função linear, dada por y = 80t , onde

y é a distância medida em quilômetros e t é o tempo, em horas.

b) O gráfico é uma semirreta com origem no ponto (0, 0) e está representado a seguir:

GRÁFICO 11



c) O coeficiente angular da reta y = 80t é 80 e corresponde à velocidade do carro, que é a

taxa de variação da distância em relação ao tempo.

d) Podemos considerar a função y = 30t que fornece a distância, y, percorrida por um

carro que parte do ponto P no instante t = 0 e anda a uma velocidade de 30km/h

4) Um círculo tem centro na origem e raio 5. Determine a equação da reta tangente a este

círculo no ponto (3, 4).

Solução

A figura abaixo representa a situação considerada no problema.

FIGURA 6

unidade 2030

CÁLCULO

Sejam m o coeficiente angular da reta tangente e m1 o coeficiente angular da reta que contém

o raio do círculo. Como a reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio que termina no

ponto de tangência, o coeficiente angular da reta tangente é:

m = 1

m1 , onde m1 = = 4

34 - 03 - 0 . Assim, m = - 4

3 e a equação da reta tangente ao círculo no

ponto (4, 3) , é y - 4 = - (x - 3) ou 3x + 4y - 25 = 0

unidade 3032

CÁLCULO

FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Neste capítulo, estudaremos a função quadrática ou função do segundo grau. Seu

gráfico é uma parábola, termo de origem grega que significa jogar longe (para –

longe, balein – jogar). Ela aparece na descrição da queda de corpos, no movimento

de projéteis, no estudo de ótica (lentes e espelhos) e de outros fenômenos.

Você já conhece esta função! É dela que vêm as equações e inequações do segundo grau, que

você estuda desde o Ensino Fundamental. É importante que você saiba manipular bem esta

função e, sobretudo, conheça bem o seu gráfico e suas propriedades.

unidade 3033

CÁLCULO

CONSTRUINDO QUADRADOS COM VARETAS

Um artesão constrói quadrados com

varetas cujos comprimentos, medidos em

centímetros, são números inteiros que

variam de um a dez centímetros. A medida

da área A de cada quadrado é função do

comprimento do seu lado l. Na Tabela 7

estão alguns valores do lado l e os valores

correspondentes da medida da área A.

TABELA 7

Idade

A (em centímetros quadrados)

1 2 3 4 5 ... 9 10

1 4 9 16 25 ... 81 100



Observando os valores dessa tabela,

podemos concluir que não se trata de uma

função linear porque a taxa de variação

da medida da área em relação à variação

do comprimento do lado não é constante.

Podemos verificar, por exemplo, que,

quando o comprimento do lado passa

de 2 cm para 3 cm, a medida da área do

quadrado passa de 4cm2 para 9cm2 ,

ou seja, ;

porém, quando o comprimento do lado

vai de 4 cm para 5cm, a medida da área

varia de 16cm2 para 25cm2, ou seja,

. Esses

valores mostram duas variações distintas

da função área: uma de cm1cm5 2

(centímetros

quadrados por centímetro) e outra de cm1cm9 2

.

A variação da área é proporcional à variação

do quadrado do comprimento do lado. Em

matemática, escrevemos: A = kl2 (onde k

é a constante de proporcionalidade). Como

o ponto (3, 9) pertence ao gráfico dessa

função, temos: 9 = k • 32 → k = 1 . Assim, a

função é dada pela fórmula: A = l2.

GRÁFICO 12

No Gráfico 12 da função A = l2 , cujo domínio

é D = {1, 2, 3,...,10} e cujo conjunto imagem

é Im = {1, 4, 9, 16, ..., 100} . Observe que esse

gráfico é constituído de pontos separados

porque no domínio da função aparecem

apenas números inteiros. Ligando esses

pontos por um traço contínuo, obtemos

uma curva que é o segmento de uma

parábola.

unidade 3034

CÁLCULO

VIAJANDO COM UMA LARANJA

Uma laranja é jogada verticalmente para

o alto, com velocidade de 15 metros por

segundo, no instante t = 0 . Sua altura h

(em metros) acima do solo, no instante

t (em segundos), é dada pela equação

h = - 5t2 + 15t .

O gráfico dessa função h é uma parábola

voltada para baixo. Observe, à esquerda

no Gráfico 13, a trajetória da laranja, que

só se movimenta na vertical e cai no

mesmo ponto do qual partiu. A parábola, à

direita na mesma figura, não é o gráfico da

trajetória, mas sim da altura h em função

do tempo t; em outros termos, a parábola

indica a variação da altura em relação à

variação do tempo.

GRÁFICO 13


As interseções do gráfico com o eixo

horizontal são obtidas fazendo-se h = 0 na

fórmula da função, ou seja, 0 = - 5t2 + 15t.

Resolvendo essa equação, temos t = 0

ou t = 3 . O movimento da laranja ocorre,

pois, entre t = 0 , instante em que a laranja

é jogada, e t = 3 , momento em que cai no

chão. Na metade de sua viagem, no instante

t = 1,5s , a laranja atinge o ponto mais alto:

h(1,5) = - 5 • (1,5)2 + 15 • 1,5 = 11,25m.

A laranja se encontra a 10 metros do chão

nos instantes t = 1s e t = 2s ; a altura é igual

a 5 metros para t = 0,38s e também para

t = 2,62s . Podemos observar que a taxa

de variação da altura h é positiva quando

a laranja está subindo e negativa quando a

laranja está descendo:

(velocidade média com que a laranja sobe);

(velocidade média com que a laranja desce).

As funções A = l2 e h = - 5t2 + 15t são

exemplos de funções quadráticas, também

chamadas de funções do segundo

grau porque o maior grau da variável

independente é dois.

A FÓRMULA E O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

De modo geral, a função quadrática tem a

forma y = ax + bx2 + c , onde a, b e c são

unidade 3035

CÁLCULO

números reais, com a ≠ 0 . O gráfico da

função quadrática é sempre uma parábola,

côncava para cima ou côncava para baixo.

O Gráfico 14 representa a função quadrática

y = x2 . O valor da variável dependente y

é proporcional ao valor do quadrado da

variável independente x.

GRÁFICO 14


Na Tabela 8, estão alguns valores de x e os

correspondentes valores de y; na terceira

linha, estão valores da variação ∆y para

uma variação ∆x = 1.

TABELA 8

x

y = x2

∆y

-3 -2 -1 0 1 2 3

9 4 1 0 1 4 9

-5 -3 -1 1 3 5


A taxa de variação xy

∆∆ é negativa

quando são tomados dois valores de y

correspondentes a valores de x à esquerda

da origem, fato que indica ser essa função

decrescente no intervalo (-∞, 0] ; por outro

lado, a taxa de variação xy

∆∆ é positiva , o

que mostra ser essa função crescente no

intervalo [0, ∞). Lembre-se de que ∆x é

sempre positivo.

AS RAÍZES OU OS ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Uma raiz ou um zero de uma função

y = ƒ(x) é o valor de x para o qual ƒ(x) = 0 .

Geometricamente, os zeros de uma função

são os valores de x em que o seu gráfico

cruza ou toca o eixo x (o eixo x é a reta

y = 0). Nem toda função tem gráfico que

toca ou cruza o eixo horizontal; portanto,

nem toda função tem zeros ou raízes. A

função y = x2 + 4, por exemplo, não tem

zeros.

O gráfico da função y = ax + bx2 + c , com

a ≠ 0, é uma parábola, quaisquer que

sejam os valores dos coeficientes a, b e c.

Quando a> 0 , a parábola se abre para cima

e existem três possibilidades para os zeros

dessa função e essas são mostradas na

Figura 7.

unidade 3036

CÁLCULO

FIGURA 7


Como já sabemos, as raízes da equação

quadrática y = ax2 + bx + c = 0 são dadas

pela fórmula.

As três possibilidades

mostradas na Figura 7 correspondem,

respectivamente, às condições algébricas:

b2 - 4ac > 0 (duas raízes reais distintas)

b2 - 4ac = 0 (uma raiz real dupla)

b2 - 4ac < 0 (sem raízes reais)

O ponto mais baixo do gráfico da função

quadrática é o vértice da parábola e suas

coordenadas são xv = - 2ab e yv =

4a (onde

b2 - 4ac).

Observe que yv = ƒ ( - 2ab )

O GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

O problema de construir o gráfico de uma

função quadrática dada por meio de sua

fórmula é bem simples (mesmo sem utilizar

uma calculadora), conforme podemos

verificar nos dois exemplos a seguir.

Exemplo 1

Esboce o gráfico da função ƒ (x) = 3x2 - 2x - 1.

a) Determinamos as coordenadas do

vértice:

b) Determinamos dois pontos da

parábola, um à esquerda do vértice e

outro à direita do vértice:

ƒ (-1) = 3(-1)2 - 2(-1) - 1 = 4 . O ponto (-1,

4) pertence ao gráfico de ƒ

ƒ (2) = 3 • 22 - 2 • 2 - 1 = 7. O ponto (2, 7)

pertence ao gráfico de ƒ.

c) Plotamos os pontos (-1, 4), (2, 7) e

( 31 , -

34 ), ligando-os por meio de

uma curva que tenha a forma de uma

parábola. A reta vertical que passa pelo

vértice é o eixo de simetria da parábola;

ela funciona como um espelho que

reflete à direita o traço desenhado

a sua esquerda e vice-versa. Veja o

unidade 3037

CÁLCULO

Gráfico 15.

GRÁFICO 15




Exemplo 2

Uma bola é atirada para cima do topo de

um edifício com 96 pés de altura, com

velocidade inicial de 16 pés por segundo.

Sua altura h (em pés) acima do solo, t

segundos após ser atirada, é dada pela

função h = 96 + 16t - 16t2 . Esboce o gráfico

da altura versus tempo.

a) Determinamos as raízes da função:

16t2 - 16t - 96 = 0 → 32

16 ± 80 → t = -2 ou t = 3.

b) Determinamos o vértice da parábola:

21

232

=+

=Vt (a abscissa do vértice é a

média aritmética das raízes)

hv = h(2

1) = 96 + 8 - 4 =100 (a ordenada do

vértice é h(tv ).

c) Plotando-se os três pontos determinados,

(-2, 0), (3, 0) e (2

1 , 100), e considerando-se

que o domínio dessa função é o intervalo

[0, 3 ], podemos esboçar o gráfico de h.

GRÁFICO 16

Também é bem simples o problema de

achar uma possível fórmula para a função

quadrática dada por meio de seu gráfico ou

de uma tabela de valores. Consideremos

dois exemplos.

Exemplo 3

Determine uma possível fórmula para a

função quadrática do Gráfico 17.

GRÁFICO 17

unidade 3038

CÁLCULO

a) No gráfico, aparecem as raízes da

função x = - 1 e x = 3 . Então, a função

é da forma y =a ( x + 1 ) ( x - 3 ) . Como

a parábola é côncava para baixo, a é

negativo.

b) Não há como calcular o valor

de a porque não foram dadas as

coordenadas de nenhum ponto fora do

eixo x. Assim o problema tem muitas

respostas.

c) Estimando que o gráfico corte o eixo

y no ponto (0, 4), podemos determinar

o valor de a, fazendo y(0) = 4 . Então,

temos: 4 = a ( 0 + 1) (0 - 3) → a = - 3

4 .

d) Assim, a função tem como fórmula

y= - 3

4 (x + 1) (x - 3) ou, efetuando o

produto, y = - .

Neste exemplo, a função quadrática é

dada por meio de um gráfico. No exemplo

seguinte, examinamos uma função do

segundo grau dada por meio de uma tabela.

Exemplo 4

Suponha que uma espaçonave, lançada

do solo, suba até uma altitude de 192 km,

e depois caia no mar, totalizando um voo

de 16 minutos. Determine a fórmula da

função que dá a altitude y (em quilômetros)

em função do tempo, t minutos após a

decolagem.

a) Com os dados do problema,

podemos fazer a seguinte tabela de

valores:

TABELA 9

t (em minutos)

y (em quilômetros)

0 8 16

0 192 0


b) Com os valores da tabela, podemos

escrever y = a(t - 0) (t - 16) e, considerando

que o ponto (8, 192) pertence à curva,

192 = a (8 - 0) (8 - 16) → a = -3.

c) Assim, a função tem como fórmula

y = -3(t - 0) (t - 16) ou, efetuando o

produto, y =-3t2 + 48ƒ, com 0≤ t ≤ 16.

unidade 3039

CÁLCULO


Orientações:

A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução das questões das atividades.

Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo correio acadêmico.


1) Na figura, estão os gráficos da reta r e da parábola y = x2 - 3x. Determine a equação da reta

r e o valor da ordenada b, sabendo que os pontos de interseção dessas curvas (a reta e a

parábola) são B = (-1, y1) e A = (2, y2).

FIGURA 8

Solução

Os pontos B(-1, y1) e A(2, y2) pertencem à parábola y = x2 - 3x . Portanto, y1 = (-1)2 - 3(-1) = 4 e

y2 = 22 - 3 • 2 = -2.

Assim, os pontos comuns à parábola e à reta r são (-1, 4) e (2, -2) . Então, r é a reta que passa

por esses dois pontos e, em consequência, seu coeficiente angular é e sua

equação é y - 4 = -2(x + 1) ou y = -2x + 2.


unidade 3040

CÁLCULO

Como o ponto (0, b) está sobre a reta r, temos: b = -2 • 0 + 2 → b =2 .

2) O gráfico da função ƒ(x) = ax2 + bx + c passa pelo ponto (5, 8) , tem vértice em (2, -1) e corta

o eixo das ordenadas no ponto (0, 3) . Com base nessas informações:

a) estabeleça a equação dessa função;

b) determine as suas raízes;

c) esboce seu gráfico.

Solução

a) Se o ponto (5, 8) pertence ao gráfico da função ƒ(x) = ax2 + bx + c , podemos escrever:

a • 52 + 5b +c = 8 → 25a + 5b + c = 8.

Como (2, -1) é o vértice da parábola ƒ(x) = ax2 + bx + c, 2 = - 2ab

→ b = -4a .

Já que o ponto (0, 3) pertence à parábola ƒ(x) = ax2 + bx + c , temos: a • 02 + b • 0 + c = 3 → c = 3 .

Usando as igualdades encontradas até aqui, podemos achar o valor dos parâmetros da

equação da parábola, conforme indicado a seguir:

Então, a equação da parábola é ƒ(x) = x2 - 4x + 3

b) Para determinar as raízes, resolvemos a equação:

x2 - 4x + 3 = 0 → x = 2

4 ± 2 → x = 1 ou x = 3

c) O gráfico da função ƒ(x) = x2 - 4x + 3 está a seguir:

GRÁFICO 18


unidade 3041

CÁLCULO

3) Escreva uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico aparece a seguir:

GRÁFICO 19


Solução

Supondo que a função tenha como raízes x = -2 e x = 3 , podemos afirmar que sua equação é

da forma f(x) = k(x + 2)(x - 3) , uma vez que a função é quadrática. Além disso, estimando que

o gráfico corte o eixo das ordenadas no ponto (0, 12) , temos: f(0) = 12 → k(0 + 2) (0 - 3) = 12

→ k = - 2.

Portanto, uma possível fórmula para a função representada nesse gráfico é ƒ(x) = -2x2 + 2x + 12.

unidade 4043

CÁLCULO

FUNÇÕES POTÊNCIAS E FUNÇÕES POLINOMIAIS

Começamos este capítulo com o estudo das funções potências. Preste atenção

na influência que o grau tem na função potência, no formato de seu gráfico, nos

fenômenos que é possível descrever com estas funções e no que ocorre quando a

variável independente assume valores muito grandes em módulo, negativos ou positivos.

A seguir, abordaremos as funções polinomiais. São as funções obtidas a partir das funções

potências. Observe como o termo de maior grau comanda as funções polinomiais e o que

ocorre quando a variável independente assume valores muito grandes em módulo, negativos

ou positivos. Reconhecer o formato dos gráficos dessas funções o ajudará a identificar os

fenômenos ou situações que é possível descrever com as mesmas.

unidade 4044

CÁLCULO

FUNÇÕES POTÊNCIAS

No estudo de Geometria, as funções

potência são utilizadas com bastante

frequência. A título de ilustração, podemos

considerar o perímetro P de um quadrado

como função do comprimento de seu lado

l; essa relação é dada pela fórmula P = 4l

e nos diz que o perímetro é diretamente

proporcional ao comprimento do lado ou

à potência um de seu lado l; significa, por

exemplo, que se dobrarmos a medida do

lado de um quadrado, seu perímetro será

duplicado, ou seja, será multiplicado por 21.

Também a área A de um quadrado é função

do comprimento de seu lado l e pode

ser expressa pela equação A = l2. Essa

igualdade nos diz que a área é diretamente

proporcional ao quadrado do comprimento

do lado; isso significa, por exemplo, que

se dobrarmos o lado de um quadrado, a

medida de sua área ficará quatro vezes

maior, ou seja, será multiplicada por 22.

De modo semelhante, o volume V de um

cubo é função do comprimento de sua

aresta l, função que tem a fórmula V = l3.

Essa equação estabelece que o volume

do cubo é diretamente proporcional ao

cubo de sua aresta; assim, por exemplo,

se dobrarmos a aresta de um cubo, seu

volume ficará oito vezes maior, ou seja, será

multiplicado por 23.

FUNÇÃO POTÊNCIAFunção potência é aquela na qual a

variável dependente é proporcional a

uma potência da variável independente.

As funções potência são uma importante

família de funções; elas aparecem em

muitas situações como as do item 4.1 e as

exemplificadas a seguir.

a) O volume V de uma esfera é proporcional

à terceira potência de seu raio r: V= 3

4�r3.

Desse modo, se dobrarmos o raio de uma

esfera, seu volume aumentará oito vezes:

V= 3

4

� (2r)3 = 8 •

3

4�r3.

b) A medida do lado l de um quadrado é

proporcional à potência 2

1 da medida de sua

área A: A = l1/2 ou A = √l. Se quadruplicarmos

a área de um quadrado, seu lado será

duplicado: l = (4A)1/2 = 2 • A1/2.

c) A Lei de Newton da Gravitação diz que a

força de atração gravitacional g sobre uma

massa unitária a uma distância r da Terra é

proporcional ao inverso da potência dois de

r: g = k • r2

1 , onde k é uma constante positiva.

Podemos escrever g = r2

k ou g = kr-2. Se

dobrarmos a distância r, o valor de g ficará

quatro vezes menor: g = k • .41

unidade 4045

CÁLCULO

A Tabela 10 mostra a influência de potências no valor das funções. Observe como essas

potências interferem na taxa de variação de cada função quando x varia de uma unidade.

TABELA 10

x y = x ∆1y y = x2 ∆2y y=x3 ∆3y



012345

11111

13579

012345

0149

1625

018

2764

125

17

193761

Na Figura 9, você pode observar o efeito das potências no gráfico das funções.

FIGURA 9

Em geral, uma função potência tem a forma y = ƒ(x) = kxp, em que k e p são constantes

quaisquer. Nos itens subsequentes, vamos comparar várias funções potências entre si. Se

possível, faça esse estudo comparativo usando uma calculadora ou um software (Yag, winplot)

para traçado de gráficos.

FUNÇÕES COM POTÊNCIAS INTEIRAS E POSITIVAS

Primeiramente, vamos considerar funções

do tipo y = xn, sendo n um número inteiro

positivo. Essas funções se dividem em

dois grupos: o de potências ímpares e o de

potências pares.

unidade 4046

CÁLCULO

Na Figura 10 estão os gráficos das funções

y = x, y = x3 e y = x5. São funções potências

ímpares de graus respectivamente iguais a

1, 2 e 3.

FIGURA 10



Toda função potência ímpar (y = x, y = x3

e y = x5 ,etc.) é crescente e seu gráfico é

simétrico em relação à origem. Também

podemos notar que o gráfico de toda

função potência ímpar da forma y = xn, com

n> 1 , é “retorcido” na origem; à esquerda

da origem, o gráfico tem concavidade

voltada para baixo e, à direita da origem,

o gráfico é côncavo para cima. Ainda

podemos verificar que os gráficos têm

pontos comuns em x = -1, x = 0 e x = 1;

para 0< x < 1 , o gráfico da função y = x5

está abaixo do gráfico de y = x3 que, por

sua vez, está abaixo do gráfico de y = x ;

quando x é maior do que 1, a ordem em

que estão os gráficos é outra: o gráfico de

y = x5 está acima do gráfico de y = x3 que,

por sua vez, está acima do gráfico de y = x .

As observações feitas anteriormente nos

gráficos podem ser comprovadas por

meio de desigualdades algébricas. Assim,

querendo comparar as funções y = x3 e

y = x5 , podemos investigar as soluções

da inequação x3 ≤ x5. Resolvendo essa

desigualdade, temos:

x3 ≤ x5 → x3 - x5 ≤ 0 → x3 (1 - x2) ≤ 0

→ -1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 1.

O resultado obtido algebricamente indica

que o gráfico de y = x3 está abaixo do

gráfico de y = x5 quando x estiver entre -1 e

0, bem como quando x for maior do que 1.

Consideremos agora as funções potências

pares. Na Figura 11 estão os gráficos

das funções y = x2, y = x4 e y = x6,

que são potências pares com graus

respectivamente iguais a 2, 4 e 6.

FIGURA 11

Toda função potência par (y = x2, y = x4,

y = x6 etc.) é decrescente para x pertencente

ao intervalo (-∞, 0] e é crescente para x

unidade 4047

CÁLCULO

pertencente ao intervalo [0, +∞). Com

isso, o gráfico tem a forma de U e é

simétrico em relação ao eixo y. Todas as

funções potências pares têm gráficos com

concavidade voltada para cima, enquanto

todas as funções potências ímpares (n > 1)

têm gráficos côncavos para baixo se x < 0 e

côncavos para cima se x > 0 .

A Figura 12 mostra um zoom feito no

gráfico de funções potências para valores

de x entre 0 e 1. Nesse intervalo, y = x é

maior que y = x2, que é maior que y = x3, e

assim por diante.

FIGURA 12



Os valores apresentados na Tabela 11

confirmam o que foi observado na Figura 12.

TABELA 11


Fonte: Elaborada pelo autor.x

y = x

y = x2

y = x3

y = x5

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

10,5

0,5

0,25

0,125

0,03125

3

3

9

27

81

2430,2

0,2

0,04

0,008

0,0032

2

2

4

8

16

320,8

0,8

0,64

0,512

0,32768

4

4

16

64

256

20241

1

1

1

1

5

5

25

125

625

3125

Na Figura 13, aparecem os gráficos de

funções potências para valores de x

maiores que 1. Podemos constatar que,

quanto maior a potência de x, mais rápido

cresce a função. Assim, o gráfico da função

y = x5 está acima do gráfico da função

y = x4 que é maior do que a função y = x2 .

FIGURA 13

O que foi constatado por meio dos gráficos

é confirmado pelos valores da Tabela 12.

TABELA 12

x

y = x

y = x2

y = x3

y = x4

y = x5

Para x > 1, as potências mais altas

crescem de maneira bem rápida e têm

valores comparativamente muito maiores.

Fazendo x = 1000 , por exemplo, x5 = 10005

unidade 4048

CÁLCULO

que é mil vezes maior do que x4 = 10004 .

Por outro lado, para valores de x entre zero

e um, as potências mais altas são bem

menores; fazendo x = 0,001 , por exemplo,

x5 = (0,001)5 é mil vezes menor do que

x4 = (0,001)4.

FUNÇÕES COM POTÊNCIA ZERO OU COM POTÊNCIAS INTEIRAS NEGATIVAS

A função y = x0 é a função constante

y = 1 e seu gráfico é uma reta horizontal.

Dizer que uma função é constante

significa dizer que, para qualquer valor da

variável independente, o valor da variável

dependente é sempre o mesmo. Assim,

se ƒ(x) = 1, podemos escrever ƒ(-5) = ƒ(�) =

ƒ(- √2) =1.

Usualmente, as potências negativas são

escritas de duas maneiras: y = x-1 é a

mesma função potência y = x1

; a fórmula

y = x-2 pode ser escrita na forma y = x2

1 .

Na Figura 14, estão os gráficos das funções

y = x1

e y = x3

1; na Figura 15, estão os gráficos

de y = x2

1 e y =

x4

1.

FIGURA 14

FIGURA 15



Para as potências negativas ímpares

(Figura 14), os gráficos são simétricos

em relação à origem, ao passo que as

potências negativas pares (Figura 15) têm

gráficos simétricos em relação ao eixo y.

Para valores de x maiores que um, o gráfico

da função y = x4

1 está abaixo do gráfico da

função y = x2

1 ; quando x está entre zero e

um, ocorre o contrário, ou seja, o gráfico

da função y = x4

1 está acima do gráfico da

unidade 4049

CÁLCULO

função y = x2

1 .

As funções com potências negativas são

usadas para modelar diversos fenômenos

ou situações, como a lei exibida no exemplo

a seguir.

Exemplo 1

A Lei de Boyle para um gás ideal estabelece

uma relação exata entre a pressão p

e o volume v, dado que a temperatura

permaneça constate: pv = k. Imagine,

por exemplo, uma quantidade fixa de

ar no interior do cilindro de um motor.

Movimentando-se os pistões, o volume

de ar diminui e a pressão aumenta ou,

reciprocamente, o volume aumenta e a

pressão diminui. Reescrevendo a Lei de

Boyle, temos: p = vk

ou p = kv-1. A relação

p = vk

equivale a dizer que p é inversamente

proporcional a v. Para valores positivos de

k, o gráfico da função p = vk

tem a forma

ilustrada a seguir.

GRÁFICO 20


Essa curva é conhecida como uma

hipérbole retangular. Por ser o valor da

pressão sempre maior do que zero, o Gráfico

20 apresenta apenas um ramo dessa

hipérbole. O eixo vertical é uma assíntota

da curva, mostrando que, à medida que o

volume tende para zero, a pressão tende

para infinito; o eixo horizontal também é

uma assíntota da curva, indicando que, à

medida que o volume tende para infinito,

a pressão tende para zero. Para indicar

que o volume tende para infinito, usa-se a

notação v→+∞ (lê-se v tende a infinito);

para indicar que a pressão tende para zero,

escrevemos p → 0 (lê-se p tende a zero).

Uma reta é assíntota de uma curva quando

a distância entre um ponto móvel da curva

e essa reta fica cada vez menor; significa

dizer que a distância entre um ponto móvel

da curva e a assíntota tende para zero.

FUNÇÕES COM POTÊNCIAS FRACIONÁRIAS

Observações feitas por biólogos têm

mostrado que o número de espécies

encontradas em uma ilha varia de acordo

com o tamanho da mesma. Sendo A a área

da ilha e N o número de espécies, tem-

se aproximadamente a função N = k

ou N = kA1/3, onde k é uma constante que

depende da região mundial em que se

encontra a ilha.

unidade 4050

CÁLCULO

A fórmula dessa função envolve uma

potência fracionária de A, que é a variável

independente. As funções potências

fracionárias são da forma y = kxm/n ou

y = k , com m e n inteiros, n > m e n ≠ 0.

Com frequência, restringimos o domínio

dessas funções para x ≥ 0 porque raízes em

que n é par não estão definidas para x < 0.

Muitas calculadoras não nos permitem

elevar um número negativo a uma potência

fracionária.

Na Figura 16, aparecem os gráficos das

funções y = x , y = x1/2 e y = x1/3.

FIGURA 16


Quando x está entre 0 e 1, o gráfico da

função y = x1/3 fica acima de y = x1/2 que,

por sua vez, fica acima de y = x. A Tabela 13

confirma essa observação.




x

0

0,25

0,49

0,64

0,81

1

x

1

25

49

64

81

100

y = x1/2

0

0,5

0,7

0,8

0,9

1

y = x1/2

1

5

7

8

9

10

y = x

0

0,25

0,49

0,64

0,81

1

y = x

1

25

49

64

81

100

y = x1/3 0

1

y = x1/3 1

TABELA 13

Para x > 1, a situação fica invertida: o gráfico

da função y = x1/3 fica abaixo de y = x1/2 que,

por sua vez, fica abaixo de y = x. A Tabela

14 confirma essa observação.

TABELA 14

Na Figura 17, estão os gráficos de y = x,

y = x2 e y = x1/2, com x≥ 0 .

FIGURA 17

unidade 4051

CÁLCULO

O gráfico de y = x2 cresce cada vez mais

depressa quando x aumenta; ele é côncavo

para cima. Enquanto isso, o gráfico de

y = x1/2 cresce cada vez mais devagar e é

côncavo para baixo. A taxa de crescimento

de y = x é sempre a mesma e seu gráfico

não tem concavidade. Mesmo assim,

essas três funções tendem para infinito à

medida que x aumenta.

FUNÇÕES POLINOMIAIS

As funções potências podem ser

multiplicadas por um escalar e os

resultados, somados. Por meio dessas

duas operações feitas sobre funções

potências com expoentes naturais –

multiplicação por um escalar e adição

– obtemos os polinômios ou as funções

polinomiais da forma y = anxn + an-1xn-1

+...+ a2x2 + a1x + a0, em que n é um número

natural, chamado grau do polinômio (desde

que an ≠ 0). A função linear y = mx + b é a

função polinomial y = a1x + a0 de grau um

ou do primeiro grau; a função quadrática y

= ax2 + bx + c é a função polinomial y = a2x2

+ a1x + a0 de grau dois ou do segundo grau.

O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL

A forma do gráfico de uma função

polinomial depende de seu grau. Na Figura

18 estão possíveis formas de gráficos de

polinômios com an positivo, ou seja, com o

coeficiente de an maior do que zero.

FIGURA 18



O gráfico de polinômio de grau 2 (à

esquerda) só dá uma “volta”; o de grau 3 dá

duas “voltas”; o de grau 4, três “voltas” e o

de grau 5, quatro “voltas”. De modo geral,

o gráfico do polinômio de grau n dá, no

máximo, (n - 1)voltas.

Na Figura 19 estão possíveis formas de

gráficos de polinômios com an negativo, ou

seja, com o coeficiente de xn menor do que

zero.

FIGURA 19

COMO ENCONTRAR A FÓRMULA DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL

Por meio de exemplos, vamos estudar

como fazer para encontrar a fórmula ou

a equação de uma função polinomial,

quando conhecemos seu gráfico ou uma

unidade 4052

CÁLCULO

tabela de valores.

Exemplo 2

Encontre uma possível fórmula para

o polinômio que o Gráfico 21 está

representando.

GRÁFICO 21


As interseções horizontais indicam os

zeros da função e sugerem que o polinômio

precisa ter os fatores (x + 3) e (x - 3). Então,

podemos escrever: ƒ(x) = k(x + 3) (x - 3)

Para encontrar k, usamos o fato de que

o gráfico de ƒ corta o eixo y no ponto de

ordenada 5, o que nos permite escrever

ƒ(0) = 5. Assim, temos: 5 = k(0 + 3)(0 - 3)

→ k = 95

. Portanto, ƒ(x) = 95

(x + 3) (0 - 3)

ou, efetuando o produto, ƒ(x) = 95

x2 + 5.

Outra maneira de resolver o problema é

considerar o gráfico como sendo o de

uma parábola côncava para baixo e cuja

equação é do tipo ƒ(x) = ax2 + c . Os pontos

(-3, 0), (3, 0) e (0, 5) pertencem ao gráfico de

ƒ; daí podermos escrever ƒ(-3) = 0, ƒ(3) = 0

e ƒ(0) = 5.

Portanto, temos o sistema de equações:

→ c = 5 e a = 95

.

Assim, uma possível fórmula do polinômio

é ƒ(x) = 95

x2 + 5.

Observe que g(x) = 815

x4 + 5 também

satisfaz às condições do problema: seu

gráfico tem concavidade voltada para baixo

e passa pelos pontos (-3, 0), (3, 0) e (0, 5).

Isso nos leva a afirmar que o problema tem

várias respostas e existem muitas funções

polinomiais cujo gráfico se assemelha ao

apresentado neste exemplo.

Exemplo 3

Encontre uma possível fórmula para a função

polinomial dada pela tabela de valores:

TABELA 15

x

ƒ(x)

-3 0 1 2

0 -12 0 0


Na Tabela 15, aparecem três zeros da

função, fato que sugere como possível

fórmula para o polinômio:

ƒ(x) = k(x + 3) (x - 1)(x - 2).

unidade 4053

CÁLCULO

Como (0, -12) é um ponto do gráfico, temos

ƒ(0) = -12. Em consequência, podemos

escrever k(0 + 3) (0 - 1)(0 - 2) = -12 → k = -2.

Assim, uma das possíveis fórmulas para

esse polinômio é:

ƒ(x) = -2(x + 3) (x - 1)(x - 2) ou, resolvendo o

produto, ƒ(x) = -2x3 + 14x -12.

Um esboço do gráfico de f está na Figura 20.

FIGURA 20



Exemplo 4

Encontre uma possível fórmula para o

polinômio cujo gráfico é apresentado na

Figura 21.

FIGURA 21

O gráfico se assemelha ao de um polinômio

cúbico, ou seja, pode ser o gráfico de uma

função polinomial de grau três, com zeros em

x = -3 e em x = 2. Em x = -3, o gráfico cruza o eixo

horizontal, ao passo que em x = 2, o gráfico toca

o eixo horizontal, mas não o cruza. Dizemos que

x = -3 é um zero simples ou uma raiz simples,

enquanto x = 2 é um zero de segunda ordem ou

uma raiz dupla da função.

Para encontrar uma fórmula para f, imagine

que seu gráfico estivesse um pouco mais

para baixo, de modo que f tivesse um zero

próximo de x = -3 (em x = -2,9 , por exemplo)

e dois zeros perto de x = 2 (por exemplo,

em x = 1,9 e em x = 2,1). Então, poderíamos

escrever ƒ(x) ≈ k(x + 2,9) (x - 1,9) (x - 2,1).

Agora, deslocando o gráfico de f para a posição

original, o zero x = -2,9 se desloca para x = -3; o

zero x = 1,9 vai para x = 2 e o zero x = 2,1 também

chega em x = 2. Assim, podemos escrever:

ƒ(x) = k(x + 3)(x - 2)(x - 2) ou ƒ(x) = k(x + 3) (x - 2)2 .

Não é possível calcular k porque não foram

dadas as coordenadas de outro ponto do

gráfico de f fora do eixo x. Podemos atribuir

a k qualquer valor positivo; com isso, iremos

alongar ou contrair o gráfico, sem alterar os

zeros da função.

Uma raiz dupla gera um fator repetido na

fórmula da função. Observe que, para x > 2, o

fator (x - 2)2 é positivo e, para x < 2, o fator

(x - 2)2 ainda é positivo. Isso significa que a

unidade 4054

CÁLCULO

função f não troca de sinal na vizinhança

de x = 2. Por outro lado, na vizinhança do

zero simples, x = -3, a função f muda de

sinal (no caso, passa de negativa para

positiva).

A VARIAÇÃO DE SINAL DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL

Em diversas situações, interessa-nos

saber como é a variação de sinal de uma

função. Estudar o sinal de uma função é

o mesmo do que determinar os valores da

variável independente para os quais essa

função ou a variável dependente é positiva

ou negativa; merecem atenção também

os zeros da função, valores da variável

independente nos quais podem ocorrer

mudanças de sinal da função.

Exemplo 5

A Figura 22 apresenta o gráfico da função

f definida por y = x3 - 4x, cuja fórmula pode

ser reescrita na forma de um produto

y = x(x + 2) (x - 2).

FIGURA 22


O gráfico de f e a forma fatorada indicam

que – 2, 0 e 2 são os zeros dessa função.

Os zeros ou as raízes de f dividem o eixo x

em quatro intervalos e, em cada um desses

intervalos, a função tem o sinal indicado na

Tabela 16.

TABELA 16

-2 0 2

-2 0 2

- + - +

- - + +

- + + +

- - - +

- + - +



Nos intervalos em que o gráfico de f está

abaixo de eixo x, o sinal de y é negativo (-);

nos intervalos em que o gráfico de f está

acima do eixo x , o sinal de y é positivo (+).

Podemos fazer o estudo da variação do

sinal de y combinando os sinais dos fatores

em que se decompõe a função polinomial.

Para y = x(x + 2) (x - 2), temos a Tabela 17.

TABELA 17

x

x + 2

x - 2

y=x(x+2)(x-2)

Exemplo 6

A Figura 23 apresenta o gráfico de

y = (x2 + 1) (3 - x) (x + 1) ou, na forma

expandida, ƒ(x) = -x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 3.

unidade 4055

CÁLCULO

FIGURA 23


Por inspeção do gráfico e da forma fatorada,

concluímos que a função f tem dois zeros:

x = -1 e x = 3. Esses zeros dividem o eixo x

em três intervalos e, em cada um deles, f

tem um sinal, conforme indicado na Tabela

18.

TABELA 18

-1 3+ - +


Reiterando o que foi dito no Exemplo 6, nos

intervalos em que o gráfico de f está abaixo

do eixo x, o sinal de y é negativo (-); no

intervalo em que o gráfico de f está acima

do eixo x, o sinal de y é positivo (+).

A Tabela 19 traz o estudo da variação de

sinal de f por meio da combinação de sinais

dos fatores presentes na lei de definição da

função.

TABELA 19

-2 0 2

+ + +

+ + -

- + +

- + -



x2 + 1

-x + 3

x + 1

y=(x2+1)(3-x)(x+1)

FAZENDO X AUMENTAR ARBITRARIAMENTE

Outro aspecto que interessa no estudo

de funções é saber o que acontece com

a variável dependente quando a variável

independente assume valores cada vez

maiores, negativos ou positivos. Nos

exemplos 6 e 7, abordados a seguir, vamos

estar atentos a esses fatos.

Exemplo 7

O gráfico de ƒ(x) = x3 - 4x + 2 está

representado na Figura 24 juntamente

com o gráfico de g(x) = x3.

FIGURA 24

Quando x é numericamente grande, ou seja,

quando x está bem para a esquerda ou bem

para a direita, os gráficos dessas funções

unidade 4056

CÁLCULO

ficam cada vez mais próximos. Significa que,

à medida que os valores de x aumentam, o

valor de y no gráfico de ƒ tende a ser igual ao

valor de y no gráfico de g.

A fórmula de ƒ pode ser reescrita:

ƒ(x) = x3 • (1 - x2

4 +

x3

2); nessa forma, podemos

observar que, para grandes valores de x,

a expressão entre parênteses está bem

perto de 1 e, portanto, y está bem perto

de x3. Usando símbolos matemáticos,

escrevemos:

(Lê-se: “limite de x3 - 4x + 2, quando x tende

para mais infinito, é igual a limite de x3,

quando x tende para mais infinito”.)

Essa frase nos diz que, para valores de

x numericamente grandes e positivos,

podemos trocar ƒ(x) = x3 - 4x + 2 pela função

g(x) = x3.

De modo semelhante, para valores de

x numericamente grandes e negativos,

podemos trocar ƒ(x) = x3 - 4x + 2 pela função

g(x) = x3. Usando a sintaxe matemática,

escrevemos:

O código ƒ(x) substitui a pergunta:

“De que valor se aproxima ƒ(x) quando x se

torna arbitrariamente grande?”.

Exemplo 8

Vamos observar os gráficos das funções

ƒ(x) = x4 e g(x) = x4 + 2x3 - 5x2 - 6x, que estão

nas três figuras a seguir.

FIGURA 25




Na Figura 26, estamos olhando o gráfico

bem de perto, os gráficos parecem muito

diferentes.

FIGURA 26

Quando nos afastamos um pouco,

mantendo a mesma janela, os gráficos

continuam parecendo bastante diferentes.

FIGURA 27

unidade 4057

CÁLCULO

Entretanto, quando olhamos de longe, na Figura 27, esses dois gráficos são muito parecidos.

Isso acontece porque o termo de maior grau, x4, domina os demais termos para valores

grandes de x.

Na Tabela 20 estão os valores das duas funções e as diferenças entre elas para x = -20,

x = -15, x = 15 e x = 20.

TABELA 20


x

ƒ(x) = x4

g(x) = x4 + 2x3 - 5x2 - 6x

ƒ(x) - g(x)

– 20

160 000

142 120

17 880

– 15

50 625

42 840

7 785

15

50 625

56 160

- 5 535

20

160 000

173 880

- 13 880

Apesar das diferenças serem grandes quando vistas na tabela, elas são muito pequenas se

comparadas à escala vertical (-104 a -105) e, por isso, não podem ser vistas no gráfico.

A observação dos gráficos da Figura 27 e dos valores da Tabela 20 nos permite escrever,

usando a simbologia matemática:

O símbolo x → ∞ indica que x tende para valores numericamente muito grandes, positivos

ou negativos.

unidade 5059

CÁLCULO

Começamos este capítulo com o estudo do comportamento de funções racionais.

Poderemos notar que, muitas vezes, fica mais fácil esboçar o gráfico de funções

quando, em vez de fazer uma tabela, observarmos alguns aspectos qualitativos da

função. Entre esses aspectos qualitativos, ocupam lugar de destaque os que se referem ao

comportamento da função para valores próximos dos zeros do denominador e os que indicam

o que acontece com a função quando a variável independente assume valores numericamente

muito grandes.

A seguir, estudaremos como podemos obter novas funções a partir de uma função dada.

Esse processo serve para abordar problemas que envolvem o deslocamento horizontal ou o

deslocamento vertical de uma função, quando seu gráfico está representado em um sistema

de coordenadas cartesianas.

FUNÇÕES RACIONAIS

unidade 5060

CÁLCULO

FUNÇÕES RACIONAIS

As funções racionais resultam da divisão

de polinômios e podem ser escritas na

forma ƒ(x) = q(x)p(x)

, com q(x) ≠ 0. Elas

têm certa semelhança com os números

racionais, números da forma x = qp

, em que

p e q são números inteiros, com q ≠ 0 . Em

ambos os casos, é preciso fazer a ressalva

de que o denominador é diferente de zero,

porque zero não pode ser divisor.

ASSÍNTOTAS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃOA palavra assíntota vem do grego e

significa “que não pode coincidir”. Uma

reta s chama-se assíntota de uma curva

C quando a distância entre a reta s e um

ponto que se move sobre a curva C se

aproxima de zero. Na Figura 28, estão retas

que são assíntotas das curvas dadas.

FIGURA 28


Frequentemente, o gráfico de uma função

racional apresenta assíntotas verticais,

assíntotas horizontais ou assíntotas

oblíquas. As assíntotas verticais ocorrem

nos valores de x que anulam o denominador.

As assíntotas horizontais ocorrem quando

f se aproxima de um determinado valor

numérico à medida que x tende para um

número arbitrariamente grande, positivo

ou negativo. As assíntotas oblíquas

ocorrem quando a diferença entre o grau

do numerador e o grau do denominador,

nessa ordem, for igual a um.

Como saber se existe assíntota horizontal?

Se o gráfico de uma função y = ƒ(x) se aproxima de uma reta horizontal y = c quando x assume valores muito grandes, positivos ou negativos, dizemos que a reta y = c é uma assíntota horizontal.


Se ƒ(x) → c, quando x → +∞ ou ƒ(x) → c, quando x → -∞, então y = c é uma assíntota horizontal.

Outro modo de escrever é:

Se ou , então y = c é uma assíntota horizontal.

unidade 5061

CÁLCULO

Como saber se existe assíntota vertical?

Se o gráfico de uma função y = ƒ(x) se aproxima de uma reta vertical x = d quando x assume valores muito próximos de d, pela direita ou pela esquerda, dizemos que a reta x = d é uma assíntota vertical.


Se ƒ(x) → +∞ ou ƒ(x) → -∞, quando x →

d+ ou x → d-, então x = d é uma assíntota vertical.

Outro modo de escrever é:

Se ou , então x = d é uma assíntota vertical.

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES RACIONAIS

Na sequência, analisamos o

comportamento de funções racionais, por

meio de exemplos.

Exemplo 1

A Figura 29 apresenta o gráfico da função

racional ƒ(x) = x2 - 4x2 - 9 . O gráfico da função

tem três ramos: um está à esquerda da reta

x = -2 e abaixo da reta y = 1; outro está à

direita da reta x = 2 e abaixo da reta y = 1;

o terceiro desses ramos está entre as

retas x = -2 e x = 2, é côncavo para cima e

seu ponto mais baixo é (0, 49

). O domínio

da função é D = - { -2, 2} e a variação é

Im = ] -∞, 1 [U [ 49

, +∞[ . À esquerda de zero,

a função é decrescente e, à direita de zero,

a função é crescente.

FIGURA 29


a) A equação da função na forma de

produto, ƒ(x) = x2 - 4x2 - 9

=

(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)

, nos

possibilita verificar que o denominador se

anula para x = -2 e para x = 2.

Os zeros do denominador sugerem a

existência de assíntotas verticais. No

gráfico, podemos observar que, quando

x se aproxima de -2 pela esquerda (ou

por valores menores do que - 2), o valor

de ƒ vai se tornando cada vez maior e

negativo. Usando símbolos matemáticos,

escrevemos:

= -∞

De modo análogo, quando x se aproxima

de -2 por valores maiores do que -2 (ou pela

direita de -2), o valor de ƒ vai se tornando

cada vez maior e positivo. Usando a

sintaxe matemática, escrevemos:

unidade 5062

CÁLCULO

= -∞

Esse comportamento da função para

valores muito próximos de -2 indica que

a reta x = -2 é uma assíntota vertical do

gráfico de ƒ.

Também a reta x = 2 é uma assíntota

vertical do gráfico de ƒ, conforme podemos

constatar na Figura 29 e por meio dos

limites:

= +∞ e = -∞

Considerar o comportamento de f, quando

x se aproxima de -2 ou de 2, mostrando

que as retas x = -2 e x = 2 são assíntotas

verticais, é de grande valia para o traçado

de um esboço do gráfico da função.

b) Para ver o que acontece quando x

assume valores grandes, positivos ou

negativos, vamos observar a Tabela 21:

TABELA 21

x


± 10

± 100

± 1000

0,94895

0,99949

0,99999

negativos, a função se

aproxima arbitrariamente da reta y = 1,

escrevemos: = 1.

De modo análogo, quando x tende

para valores numericamente grandes

e positivos, a função se

aproxima arbitrariamente da reta y = 1.

Usando a notação de limite, escrevemos:

No cálculo desses limites, levamos

em consideração que o numerador e o

denominador são funções polinomiais;

nesse caso, quando x → ±∞, somente as

potências mais altas realmente importam.

Assim, podemos escrever:

O comportamento de f, quando x se torna

arbitrariamente grande, indica que a reta

y = 1 é assíntota horizontal do gráfico

dessa função, aspecto que nos permite

fazer um esboço do gráfico sem recorrer a

tabelas de valores.

c) Os zeros do numerador dão origem às

interseções com o eixo horizontal. Fazendo

x2 - 9 = 0, obtemos os zeros do numerador:

x = -3 ou x = 3 . Então, os pontos (-3, 0) e

(3, 0) são as interseções do gráfico de f

com o eixo x.

À medida que x assume valores grandes,

negativos ou positivos, y se aproxima de 1.

Para indicar que, quando x tende para

valores numericamente grandes e

unidade 5063

CÁLCULO

Ao fazer x = 0, temos: ƒ(0) = 02 - 902 - 4

→ƒ(0) =

94

; assim, o ponto (0, 94

) é a interseção do

gráfico de f com o eixo vertical.

d) Para valores de x maiores do que 2 ou para

valores de x menores do que -2, o gráfico de ƒ

fica sempre abaixo de y = 1. Algebricamente,

podemos mostrar isso fazendo ƒ(x) < 1 , ou

seja, resolvendo a desigualdade 2 - 92 - 4

< 1 .

2 - 92 - 4

< 1→ 2 - 92 - 4

< 0 → < 0

→ < 0 → x < -2 ou x > 2

Para -2 < x < 2, o gráfico da função f está

acima de y = 94

, o que podemos mostrar

resolvendo a desigualdade 2 - 92 - 4

> 94

.

Exemplo 2

Vamos estudar, neste exemplo, as assíntotas

do gráfico da função ƒ(x) = , que está

apresentado na Figura 30.

FIGURA 30


obtida por meio da divisão do numerador

pelo denominador da função racional.

O que está entre parênteses indica que

a reta y = x + 1 é uma assíntota oblíqua

do gráfico de f. Tal aspecto pode ser

constatado algebricamente; para isso,

basta considerar que, quando x assume

valores arbitrariamente grandes, negativos

ou positivos, o termo 1x - 2

tende para zero,

ou seja, que

; assim, a distância

entre o gráfico de f e a reta y = x + 1 se

aproxima arbitrariamente de zero.

O denominador x - 2 se anula para x = 2, o

que sugere a existência de uma assíntota

vertical. Usando a notação de limite,

podemos escrever:

= -∞

e = ∞

Nesses limites, -ε indica um número

negativo arbitrariamente próximo de zero,

enquanto +ε indica um número positivo

tão próximo de zero quanto se queira.

Esses limites mostram que a reta x = 2 é

uma assíntota vertical do gráfico de f.

Exemplo 3

Na Figura 31 está o gráfico da função

f(x) = x2 + 3x

x2 + 1

A fórmula da função pode ser reescrita

na forma ƒ(x) = = (x + 1) + 1

x - 2,

unidade 5064

CÁLCULO

FIGURA 31

A análise do gráfico nos permite afirmar

que a reta y = 1 é uma assíntota do gráfico

da função f. Também podemos verificar

isso algebricamente por meio do limite:

O denominador dessa função racional não

tem zeros, o que faz com que não existam

assíntotas verticais. A função tem como

raízes x = -3 e x = 0; é negativa no intervalo

] -3, 0[ e positiva quando x está no intervalo

]- ∞, -3[ ou em ]0, +∞[ .

NOVAS FUNÇÕES OBTIDAS A PARTIR DE OUTRAS FUNÇÕES

Na função linear y = x, a variável

independente está elevada à potência um

(x = x1). Se multiplicarmos x pelo parâmetro

m obteremos a função y = mx; se, na mesma

função, trocarmos x por x + b, obteremos a

função y = x + b. De modo geral, podemos

perceber a função y = mx + b como uma nova

função obtida por meio de uma sequência

de operações sobre a função y = x. Assim,

por exemplo, a função y = 3x - 8 pode ser

vista como resultante de operações sobre

y = x:

1) Multiplicando x por 3, temos y1 = 3x .

2)Somando ( – 8 ) a 3x, temos y1= 3x - 8.

No gráfico, essas operações assumem

o aspecto de movimentos feitos com a

função y = x, conforme apresentado na

Figura 32.

FIGURA 32



unidade 5065

CÁLCULO

Na função y = x2, a variável independente

está elevada à potência dois. Ao multiplicar

x2 pelo parâmetro m, obteremos a função

y = mx2; se trocarmos x por x + n, obteremos

a nova função y = (x + n)2 ou y = x2 + 2nx + n2 .

De modo geral, podemos enxergar a função

y = ax2 + bx + c como uma nova função

obtida por meio de uma sequência de

operações sobre y = x2. Assim, por exemplo,

a função y = 3x2 - 6x + 2 pode ser vista como

resultante de operações sobre y = x2:

1) Multiplicando x2 por 3, temos y1 = 3x2.

2) Trocando x por x - 1, temos y2 = 3(x - 1)2,

ou seja, y2 = 3x2 - 6x + 3 .

3) Somando (- 1) a 3(x - 1)2, temos

y3 = 3(x - 1)2 - 1 ou y3 = 3x2 - 6x + 2.

Na Figura 33, aparecem essas operações

como movimentos feitos com o gráfico da

função y = x2.

FIGURA 33

Em geral, multiplicar uma função por uma

constante expande ou contrai seu gráfico

verticalmente. Podemos verificar isso




comparando os gráficos de y = x2, y = 3x2

e, y = 13

x2 representados, nessa ordem, na

Figura 34.

FIGURA 34

Um sinal negativo realiza uma reflexão do

gráfico em torno do eixo x. Um exemplo

desse movimento está na Figura 35, onde

aparecem os gráficos de y = x2 - 2x e

y = -(x2 - 2x) .

FIGURA 35

unidade 5066

CÁLCULO

Substituir x por x - a translada o gráfico

para a direita, em a unidades (ou para a

esquerda se a for negativo). Na Figura 36

estão, respectivamente, os gráficos das

funções y = , y = e y = .

FIGURA 36



Substituir y por y - b translada o gráfico

para cima, em b unidades (ou para baixo,

se b for negativo). O efeito dessa troca

pode ser visto na Figura 37 onde estão os

gráficos das funções y = x3 - x, y - 2 = x3 - x

e y + 2 = x3 - x.

FIGURA 37

unidade 5067

CÁLCULO

Nos três capítulos desta segunda parte da apostila, começamos o estudo de Cálculo.

Essa disciplina é um conteúdo de Matemática, usualmente chamado de Cálculo

Diferencial e Integral. Este cálculo é diferencial porque trata de questões relacionadas

à rapidez com que as coisas se movem, aumentam ou diminuem: como aumenta ou diminui,

por exemplo, a área de um quadrado, quando seu lado muda de valor; como aumenta ou

diminui o montante de uma aplicação à medida que o tempo passa. Por abordar questões que

envolvem certos tipos de somas que apresentam um número cada vez maior de parcelas, as

quais vão se tornando cada vez menores, este cálculo é também chamado de cálculo integral.

Quase todas as ideias e aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas geométricos,

apresentados de maneira simples na Figura 38.

FIGURA 38

NOÇÕES SOBRE DERIVADAS


unidade 5068

CÁLCULO

PROBLEMA 1

O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes: calcular a inclinação da

reta tangente ao gráfico da curva y = f(x) no ponto P.

PROBLEMA 2

O problema básico do cálculo integral é o problema das áreas: calcular a medida da área da

região limitada pelos gráficos de y = f(x), y = 0, x = a e x = b.

O problema da inclinação da tangente leva a medir a rapidez de variação de uma grandeza em

relação à variação de outra grandeza e conduz à ideia de derivada ou diferencial. Por sua vez,

o estudo da medida de áreas leva a considerar somas com muitas parcelas, que ficam cada

vez menores à medida que seu número aumenta, e conduz ao conceito de integral.

O problema do cálculo de áreas por meio de somas de infinitas pequenas parcelas foi utilizado

por Arquimedes (287 – 212 a.C.), a quem muitos historiadores atribuem a origem dos métodos

de integração. Também Kepler (1571 – 1630), Galileu (1564 – 1642) e Cavalieri (1598 – 1647),

entre outros, empregaram métodos semelhantes ao de Arquimedes para calcular áreas e

volumes. O problema envolvendo tangentes e curvas foi estudado no início do século XVII,

por Descartes (1596 – 1650) e Fermat (1601 – 1665).

Até a segunda metade do século XVII, os dois processos – o de calcular áreas e o de aproximar

curvas por meio de tangentes – foram estudados separadamente, como se diferenciação e

integração fossem questões independentes. A partir dos trabalhos de Newton (1642 – 1727)

e Leibniz (1646 – 1716), as relações de interdependência entre esses dois processos foram

reconhecidas, fazendo surgir uma nova disciplina, o Cálculo Diferencial e Integral.

Nesta parte da apostila, optamos por fazer uma apresentação do Problema 1, dando ênfase

às noções de derivada, explicadas de modo intuitivo, sem maiores compromissos com a

formalização. Consideramos que, após essa visão geral, estaremos mais bem preparados

para uma abordagem do Cálculo Diferencial, ficando em condições de compreender as

inúmeras aplicações dessa disciplina nas diferentes áreas científicas e tecnológicas.

unidade 6070

CÁLCULO

No estudo de Cálculo, vamos trabalhar com funções reais de variáveis reais, aquelas

que têm como domínio e como imagem um subconjunto de números reais.

Consideramos que as grandezas são representadas por números e que as relações

de interdependência entre grandezas são traduzidas matematicamente por funções.

Dizemos que uma grandeza y é uma função de outra grandeza x quando os valores de x e de

y estão relacionados de tal forma que a cada valor de x corresponde um único valor de y. Para

representar funções, utilizam-se tabelas, gráficos, descrições verbais ou, quando possível,

fórmulas matemáticas.

TAXA DE VARIAÇÃO CONSTANTE

unidade 6071

CÁLCULO

As funções se caracterizam pela maneira

de variar, ou seja, pela forma como crescem

ou decrescem. Quando conhecemos o

gráfico de uma função, fica fácil identificar

os intervalos nos quais essa função está

crescendo (aumentando) ou decrescendo

(diminuindo).

FIGURA 39

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES

A função representada na Figura 39 é

crescente no intervalo [a, b] e é decrescente

no intervalo [b, c]. Lembre-se de que x varia

sempre da esquerda para a direita. Assim,

dizemos que uma função é crescente se,

a um aumento no valor de x no intervalo

considerado, corresponder um aumento no

valor de y. Por outro lado, dizemos que uma

função é decrescente se, a um aumento

no valor de x no intervalo considerado,

corresponder uma diminuição no valor de y.

A Figura 40, onde estão seis funções,

sugere que existem diferentes formas de

crescimento ou de decrescimento.

FIGURA 40



As que estão à esquerda são crescentes no

intervalo [a, b]:

• z cresce cada vez mais

rapidamente;

• w cresce cada vez mais

lentamente;

• y cresce com uma rapidez

constante.

Já as funções da direita são decrescentes

no intervalo [c, d]:

• v decresce cada vez mais

rapidamente;

• u decresce cada vez mais

lentamente;

• t decresce com uma rapidez

constante.

Observe como ficaria a variação de cada

uma das funções que estão à esquerda na

Figura 41.

unidade 6072

CÁLCULO

FIGURA 41



Para indicar a rapidez com que uma função

cresce ou decresce, utilizamos a ideia de

taxa de variação, conceito que passamos

a estudar. Desde já, podemos ter em mente

que derivada é uma taxa de variação e a

inclinação de uma tangente.

A função linear y=mx+b é um modelo

matemático que serve para descrever a

interdependência entre duas grandezas

que são diretamente proporcionais. Nesse

tipo de relação, quando x varia de uma

unidade, a partir de um ponto qualquer, o

valor de y varia de unidades. Isso significa

que y varia a uma taxa constante, sempre

igual a m. O gráfico dessa função linear

TAXA DE VARIAÇÃO CONSTANTE

é uma reta ou um segmento de reta,

conforme podemos observar na Figura 42.

FIGURA 42

Na função linear y = mx + b, o número m

é a taxa de variação de y em relação a x.

Indicamos essa taxa de variação pela

fração ∆x∆y. Essa fração tem o nome de taxa

de variação porque seu numerador, ∆y,

indica a variação de y e seu denominador,

∆x, indica a variação de x. Tanto para y

quanto para x, a variação é a diferença

entre um valor final e um valor inicial.

Escrevemos isso da seguinte forma:

variação de y = ∆y = ƒ(x2) - ƒ(x1)

variação de x = ∆x = x2 - x1

taxa de variação de y em relação a

x = ∆x∆y =

ƒ(x2) - ƒ(x1) x2 - x1

.

No lugar da expressão taxa de variação,

podemos usar razão de variação ou

quociente de variação.

unidade 6073

CÁLCULO

Do exame atento da Figura 42 e com o uso da ideia de taxa de variação, podemos estabelecer

algumas conclusões a respeito da função linear y = mx + b :

• Quando m é positivo, a função é crescente para todo x; quando m é negativo, a

função é decrescente.

• Uma função é crescente quando sua taxa de variação é positiva; uma função é

decrescente se sua taxa de variação é negativa.

• Quando x aumenta 1 → y aumenta ou diminui m.

Quando x aumenta 2 → y aumenta ou diminui 2m.

Quando x aumenta k → y aumenta ou diminui k•m.

m = ∆x∆y

→ taxa de variação de y em relação a x.

m > 0 indica função crescente.

m < 0 indica função decrescente.

m = 0 indica função comstante

A taxa de variação da função linear y = mx + b é m = ∆x∆y

. Essa taxa de variação é constante,

ou seja, tem sempre o mesmo valor. Isso quer dizer que, quaisquer que sejam os valores de x1

e x2, ou seja, qualquer que seja o intervalo de variação de x, ƒ(x2) - ƒ(x1)

x2 - x1 =

∆x∆y

= m.

Pensando na Geometria, o gráfico de uma função linear é uma reta. Essa taxa de variação da

função linear y = mx + b, m = ∆x∆y , é a inclinação dessa reta. Chamada de coeficiente angular

da reta, essa inclinação pode ser calculada pela tangente trigonométrica do ângulo que a reta

forma com o eixo das abscissas, conforme indicado na Figura 43.

FIGURA 43

y = mx + b


unidade 6074

CÁLCULO

Exemplo 1

Em certa cidade, a quantia C, em reais, a ser paga por uma corrida de táxi de x quilômetros é

dada pela função C(x) = 7 + 4x. Com base nessas informações:

a) estabeleça a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de x1 = 3 a x2 = 8;

b) determine o custo de uma corrida de 12km;

c) calcule quantos quilômetros são percorridos quando uma corrida sai por R$49,00;

d) esboce o gráfico da função, supondo que seu domínio é [0, 20].

Solução

a) Para estabelecer a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de x1 = 3 a x2 = 8,

fazemos:

variação de C = ∆C = C(x2) - C(x1) = C(8) - C(3) = 39 - 19 = 20 reais.

variação de x = ∆x = x2 - x1 = 8 - 3 = 5 quilômetros

Assim, temos:

variação de C em relação a x = ∆x∆C = = 4R$/km

Nessa taxa de variação, o numerador é medido em reais e o denominador é medido em

quilômetros. Por isso a unidade de medida da taxa de variação é reais por quilômetro:

∆x∆C = 4R$/km.

b) Determinar o custo de uma corrida de 12 km significa determinar o valor da função

C(x) = 7 + 4x quando x = 12. Para isso, fazemos:

C(12) = 7 + 4 • 12 = 55 reais.

c) Calcular o número de quilômetros percorridos em uma corrida que custa R$49,00 significa

achar o valor de x para o qual C(x) = 49. Para isso, fazemos:

c(x) = 7 + 4x = 49 → 4x = 41 → x = 4

41 = 10,25 quilômetros.

d) A Figura 44 traz um esboço do gráfico de C(x) = 7 + 4x.

unidade 6075

CÁLCULO

FIGURA 44

Exemplo 2

Certa gráfica compra um sistema de

impressão por R$27.000,00. Após nove

anos, o sistema está obsoleto e não tem

mais nenhum valor comercial. Com base

nessas informações e supondo que a

depreciação desse sistema seja linear:

a) escreva uma equação que relacione

o valor v desse sistema e o tempo t

transcorrido após a compra;

b) estime o valor desse sistema após cinco

anos de uso;

c) estabeleça após quanto tempo o valor

do sistema será igual a 30% do valor de

compra;

d) esboce o gráfico da função obtida no

item (a).

Solução

a) A equação que relaciona o valor V desse

sistema e o tempo t transcorrido após a

compra é da forma: V(t) = at + b . Como o

valor de compra é R$27.000,00, podemos


escrever: v(0) = a • 0 + b= 27.000 →

b = 27.000 e, assim, v(t) = at + 27.000.

De acordo com o enunciado do problema,

o sistema tem valor zero após nove anos

de uso; assim, podemos escrever:

V(9) = 0 → a • 9 + 27.000 = 0 → a = -3.000

Desse modo, a equação é

V(t) = - 3.000t + 27.000.

b) O valor desse sistema, após cinco anos

de uso é:

V(5) = - 3.000 • 5 + 27.000 = 12.000 reais.

c) Para estimar após quanto tempo o valor

desse sistema será igual a 30% do valor

de compra, fazemos: 0,30 • 27.000 =

- 3.000x + 27.000 → x = 6,3 anos.

d) A Figura 45 traz o gráfico da função

V(t) = - 3.000x + 27.000.

FIGURA 45


unidade 6076

CÁLCULO

Na função V(t) = - 3.000x + 27.000, a taxa

de variação de V em relação a t é negativa

e é medida em reais por ano: ∆t∆V

= - 3.000

reais/ ano . Dizer que a taxa de variação

é negativa significa dizer que a função é

decrescente; nesse caso, significa que

o preço do sistema diminui R$3.000,00

quando o tempo aumenta de um ano.

Geometricamente, a taxa de variação

negativa indica que o coeficiente angular

da reta é negativo e que ela está inclinada

para a esquerda.

Exemplo 3

Primeiramente, determine a taxa de

variação da função representada na Figura

46. A seguir, estabeleça a equação dessa

função.

FIGURA 46


Solução

a) Esse gráfico, por ser uma reta, indica

que as grandezas x e y têm variações

proporcionais. Como, quando x aumenta

de 0 até 3, y aumenta de 5 até 17,

podemos escrever:

taxa de variação de y em relação a

x = 3 - 017- 5 =

312 = 4

b) A função representada é linear e sua

equação é da forma y = mx + b , em que

é a taxa de variação e b é o valor inicial de

y, ou seja, m = 4 e b = 5. Assim, a equação

dessa função é y = 4x + 5

Exemplo 4

Em certa residência, um botijão, que contém

13 kg de gás de cozinha, é comprado por

R$74,00, sendo consumido à razão de

0,5 kg por dia. Do valor total pago por esse

botijão, cerca de 30% (R$22,00) cobrem

os custos operacionais e os outros 70%

(R$52,00) se referem ao preço do gás nele

contido. Com base nessas informações:

a) escreva uma função M = ƒ(t) que forneça

a massa M de gás no botijão, medida em

quilogramas, após t dias de uso;

b) escreva uma função C = g(t) que

represente o gasto C, em reais, somente

com o gás, durante t dias de uso;

c) esboce em um mesmo sistema de

coordenadas os gráficos dessas duas

funções;

unidade 6077

CÁLCULO

d) determine as coordenadas do ponto de

interseção desses gráficos e escreva a

unidade de medida de cada uma dessas

coordenadas.

Solução

a) A massa M de gás no botijão, após t dias

de uso, é dada por: M(t) = - 0,5t + 13.

Nessa equação, a taxa de variação de

M em relação a t é - 0,5t kg/dia. O valor

negativo indica que a massa diminui de

quando t aumenta de 1 dia.

b) O custo C do gás consumido durante t

dias é dado por: C (t) = 2t . Nessa equação,

a taxa de variação de C em relação a t

é kg

4 reais •

dia0,5 kg = 2 reais/dia. Essa taxa

indica que o custo aumenta de R$2,00

quando t aumenta de 1 dia.

c) A Figura 47 traz um esboço dos gráficos

dessas funções:

FIGURA 47


d) O ponto de interseção desses gráficos

é P (5,2; 10,4). A unidade de medida

da abscissa 5,2 é dia; a unidade de

medida da ordenada 10,4 é reais quando

consideramos a função C(t) = 2t e é

quilogramas quando nos referimos à

função M(t) = - 0,5t + 13.

unidade 7079

CÁLCULO

As funções lineares da forma y = mx + b crescem ou decrescem a uma taxa de variação

constante. Isso quer dizer que as duas grandezas x e y, relacionadas por essa lei,

têm variações proporcionais, ou seja, que a taxa de variação de y em relação a x é

constante e, ainda, que o gráfico correspondente é uma reta de inclinação m.

DERIVADA EM UM PONTO

unidade 7080

CÁLCULO

TAXA DE VARIAÇÃO VARIÁVEL

Se duas grandezas x e y não têm variações

proporcionais, a lei que estabelece a

interdependência entre elas não é mais

da forma y = mx + b, a taxa de variação

de y em relação a x é variável e o gráfico

não é uma reta. Nesse caso, dizemos

que as grandezas x e y, relacionadas pela

lei y = ƒ(x) têm taxa de variação variável.

Na sequência, vamos observar algumas

dessas funções.

Exemplo 1

Consideremos que o valor V de uma ação,

medido em reais, varia ao longo do tempo t,

medido em meses, de acordo com a função

V(t) = t2 + 7. Essa função pode ser descrita

por meio da Tabela 22.

TABELA 22

t 0 1 2 3 4 5 6 7 L

t 0 1 2 3 4 5 6 7 ...

V 7 8 11 16 23 32 43 56 L

T 7,0 8,0 8,4 8,7 9,0 9,2 9,5 9,7 ...



Fonte: Elaborada pelo autor.Fonte: Elaborada pelo autor.

O gráfico de V(t) = t2 + 7 está na Figura 48.

FIGURA 48

Podemos observar que a variação de V por

unidade de t é positiva e aumenta à medida

que t aumenta. Em outros termos, o valor

dessas ações aumenta cada vez mais

depressa, ou seja, a função V(t) = t2 + 7

cresce cada vez mais rapidamente.

Isso que percebemos pelo exame do gráfico

pode ser descrito algebricamente por meio

de taxas de variação de V em relação a t:

= 1 real/ mês.

= 11 reais/ mês.

= 13 reais/ mês.

Exemplo 2

Consideremos que a temperatura T, medida

em graus centígrados, varie no decorrer do

tempo t, medido em horas, de acordo com

a função T(t) = t + 7. Essa função pode

ser descrita por meio da Tabela 23.

TABELA 23

O gráfico de T(t) = t + 7 está na Figura 49.

FIGURA 49

unidade 7081

CÁLCULO

Podemos observar que a variação de T por

unidade de t é positiva e diminui à medida que

t aumenta. A função T(t) = t + 7 cresce cada

vez mais lentamente. No gráfico, percebemos

que os “degraus” têm alturas cada vez

menores. Algebricamente, as taxas de

variação, embora permaneçam positivas, vão

diminuindo à medida que o tempo aumenta:

= 1 grau / hora.

= 0,3 grau / hora.

= 0,2 grau / hora.

Exemplo 3

Consideremos que a demanda Q de um

produto, medida em milhares de unidades

comercializadas, em função do preço p,

medido em reais, seja dada pela função

Q(p) = p2

+ 7, p > 0 Essa relação entre Q e p

pode ser descrita pela Tabela 24.

TABELA 24

p 1 2 3 4 5 6 7 ...Q 9,00 8,00 7,67 7,50 7,40 7,33 7,29 ...



O gráfico de Q(p) = p2

+ 7 está na Figura 50.

FIGURA 50

Podemos observar que a variação de Q

por unidade de p é negativa e tem valor

absoluto cada vez menor. Dito de outra

maneira, a função Q(p) = p2

+ 7 decresce

cada vez mais lentamente.

Esse decrescimento cada vez mais lento

pode ser visto nas taxas de variação:

= -1 milhar de

unidades/ real = -1.000 unidades/ real

= - 0,17milhar

de unidades/ real = -170 unidades/ real

= -0,04 milhar

de unidades/ real = -40 unidades/ real

TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

Nos exemplos do item anterior, estudamos

a variação da variável dependente quando

a variável independente varia de uma

unidade. Nos gráficos, os “degraus”

aparecem com larguras iguais e medindo

uma unidade. Nas taxas de variação

calculadas, o denominador é sempre 1.

Vamos examinar agora o que acontece com

a taxa de variação quando consideramos

intervalos maiores do que 1, ou seja,

unidade 7082

CÁLCULO

quando aumentamos a largura do “degrau”.

Essa análise nos levará ao conceito de taxa

de variação média.

Dados uma função qualquer y = ƒ(x) e um

intervalo I = [x1, x2], chamamos de taxa de

variação média de y em relação a x, quando

x varia de x1 até x2, com x2 > x1, à razão

ƒ(x2) - ƒ(x1) x2 - x1

.

Considerando y1 = ƒ(x1) e y2 = ƒ(x2), temos as

seguintes igualdades:

• variação de y = ∆y = y2 - y1 = ƒ(x2) - ƒ(x1)

• variação de x = ∆x = x2 - x1

• taxa de variação média de y em relação

a x = ∆x∆y = x2 - x1

y2 - y1

=

ƒ(x2) - ƒ(x1) x2 - x1

FIGURA 51

O exame atento do gráfico da Figura 51 nos

permite perceber o significado geométrico

da taxa de variação média.

• A taxa de variação média

corresponde à variação de y por

unidade de x, em média, entre x1 e x2.

• Podemos observar que essa razão

é a inclinação da reta que passa

pelos pontos (x1, ƒ(x1)) e (x2, ƒ(x2)).

• A taxa de variação média é a

taxa de variação da função linear

determinada pela reta que passa

pelos pontos (x1, ƒ(x1)) e (x2, ƒ(x2)) .

• A equação dessa reta é da forma

y - ƒ(x1) = ∆x∆y (x - x1).

Vamos detalhar essas ideias por meio de

exemplos.

Exemplo 4

Retomemos a função V(t) = t2 + 7, estudada

no Exemplo 1 do item anterior e cujo gráfico

está na Figura 52.

FIGURA 52



Entre os instantes t1 = 1 e t2 = 5, temos as

seguintes variações:

unidade 7083

CÁLCULO

variação de t = ∆t = 5 - 1 = 4 meses

variação de V = ∆V = V(5) - V(1) = 32 - 8 =

24 reais

taxa de variação média = Tm =

∆t∆V

5 - 1V(5) - V(1)

4 meses24 reais== = 6 reais/ mês

A taxa média encontrada, Tm = 6 reais/ mês ,

indica que, entre t1 = 1 e t2 = 5 , a variação do

valor V das ações por unidade de tempo t foi,

em média, igual a 6 reais. É como se, a cada

mês, o valor das ações aumentasse 6 reais.

Sob o aspecto gráfico, a taxa média

encontrada, ∆t∆V= 6, é a taxa de variação

da função linear determinada pela reta que

passa pelos pontos (1, 8) e (5, 32). Escrever

a equação dessa reta é escrever a equação

de uma reta que passa pelo ponto (1, 8) e

tem inclinação ∆t∆V= 6:

V - 8 = 6(t - 1) ou V = 6t + 2

Chegamos ao mesmo resultado ao escrever

a equação da reta que passa pelo ponto

(5, 32) e tem inclinação ∆t∆V= 6:

V - 32 = 6(t - 5) ou V = 6t + 2

Exemplo 5

Consideremos uma partícula que se desloca

em linha reta, de modo que sua posição

em relação a 10, marco inicial de seu de

seu movimento, seja dada pela função

S(t) = t2 + 10, sendo a distância S medida

em metros e o tempo t, em segundos.

A função S(t) = t2 + 10 pode ser descrita por

meio da Tabela 25.

TABELA 25

t 0 1 2 3 4 5 6 7 ...S 10 11 14 19 26 35 46 59 ...



A Figura 53 traz o gráfico da função

S(t) = t2 + 10.

FIGURA 53

Entre os instantes t1 = 1 e t2 = 6, temos as

seguintes variações:

variação de t = ∆t = 6 - 1 = 5 segundos

variação de S = ∆S = S(6) - S(1) = 46 - 11

= 35 metros

taxa de variação média = Tm =

∆t∆S

6 - 1V(6) - V(1)

5 segundos35 metros==

= 7m/s

A taxa média encontrada, Tm = 5 m/s, indica

que entre, t1 = 1 e t2 = 5, a variação do valor

da distância S percorrida pela partícula por

unidade 7084

CÁLCULO

unidade de tempo t foi, em média, igual a 5

metros.

Como ∆S é a variação da distância, medida

em metros, e ∆t é a variação do tempo,

medido em segundos, a taxa média de

variação ∆t∆S indica a velocidade média da

partícula, em metros por segundo. Desse

modo, podemos escrever:

velocidade média da partícula = ∆t∆S =

5 segundos35 metros

= 7 m/s.

Geometricamente ou, sob o aspecto

gráfico, a taxa média encontrada, ∆t∆S = 7,

é a inclinação da que passa pelos pontos

(1, 11) e (6, 46). A equação dessa reta é

S - 11 = 5(t - 1) ou S = 5t+ 6.

Exemplo 6

Consideremos um carro que, entre os

instantes t1 e t2, se desloca do marco

quilométrico S1 ao marco quilométrico S2,

segundo a equação da função posição

y = S(t), cujo gráfico está na Figura 54.

FIGURA 54



A taxa de variação média da posição em

relação ao tempo, ou seja, a velocidade

média desse carro é igual à velocidade que

ele deveria ter em movimento uniforme

para realizar o mesmo percurso. É como

se o carro “seguisse”, entre os instantes t1

e t2, a reta secante, em vez de “seguir” o

gráfico da curva y = S(t) .

Para indicar algebricamente a velocidade

média, escrevemos:

vm = ∆t∆S

= t2 - t 1

S2 - S1 =

A equação da reta que passa pelos pontos

(t1, ƒ(t1)) e (t2, ƒ(t2)) é da forma:

S - S(t1) = ∆t∆S

(t - t1) ou S - S(t1) = vm

(t - t1)

Exemplo 7

Consideremos uma função qualquer

y = ƒ(x), representada na Figura 55.

FIGURA 55

A partir das informações contidas nessa

figura, podemos estabelecer as seguintes

variações:

unidade 7085

CÁLCULO

∆y = ƒ(3 + h) - ƒ (3)

∆x = (3 + h) - 3 = h

Tm = ∆x∆y =

hf(3 + h) - f(3)

A reta de inclinação ∆x∆y e que passa

pelos pontos (3, ƒ(3)) e (3+ h, ƒ(3 + h)) tem

equação:

y - ƒ(3) = ∆x∆y (x - 3)

O gráfico de y = ƒ(x) em um intervalo pode

ter diferentes aspectos, conforme podemos

ver na Figura 56.

FIGURA 56


No entanto, podemos observar que, para

qualquer uma dessas funções, a taxa de

variação média, quando x varia de 3 até 8,

é a mesma: Tm = ∆x∆y = = = 2,4.

A unidade de medida dessa taxa de

variação média é a unidade de medida do

numerador sobre a unidade de medida de

denominador. Assim, por exemplo, se y for

medido em reais e x, em dias, temos:

Tm = = = 2,4 reais/ dia

A taxa de variação média de uma função

entre os pontos (x1, ƒ(x1)) e (x2, ƒ(x2)) é o

número real m = ∆x∆y = .

Esse número é a inclinação da reta y = mx + b, determinada por esses pontos.

A equação dessa reta é y - ƒ(x1) = ∆x∆y (x - x1).

A taxa de variação média nos fornece

informações sobre a rapidez com que a

função varia em um determinado intervalo.

Ela não nos informa sobre como a função

está variando em um ponto específico,

ou seja, ela não nos informa com que

rapidez a função y está aumentando ou

diminuindo para um determinado valor de

x. Utilizando o que foi visto no Exemplo

5, a taxa de variação média nos fornece a

velocidade média entre os instantes t1 e t2;

mas nada nos diz a respeito da velocidade

no instante t1 ou no instante t2 . É isso que

vamos estudar a seguir: o que vem a ser

velocidade instantânea ou taxa de variação

instantânea?

DERIVADA EM UM PONTO OU TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

A noção de taxa de variação instantânea

ou derivada em um ponto se fundamenta

na ideia de que uma curva pode parecer

uma reta nas proximidades de um ponto.

unidade 7086

CÁLCULO

Podemos perceber isso ao fazer um zoom

na parte do gráfico de uma curva que

contém o ponto P, conforme mostrado na

Figura 57.

FIGURA 57




Assim, a rapidez com que uma função

varia em um ponto pode ser associada à

taxa de variação da função y = mx + b que

melhor se aproxima da função dada no

ponto P(x0, ƒ(x0)).

RETA TANGENTEDe todas as retas que passam pelo ponto

P(x0, ƒ(x0)), a que mais se aproxima do

gráfico da curva y = ƒ(x) no ponto de

abscissa x0 é a reta tangente à curva nesse

ponto, conforme podemos observar na

Figura 58.

FIGURA 58

As situações apresentadas nos gráficos da

Figura 59 podem nos ajudar a perceber o

que significa dizer que uma reta é tangente

a uma curva em um ponto P.

FIGURA 59 – Situações em que a reta tangente ou não

r

PC

r

PC

rP

C

rP

C

rPC

P

Cr

A reta r é tangente à curva C no ponto P.

A reta r não é tangente à curva C no ponto P.

Por ora, tomamos essa noção intuitiva de

reta tangente para estudarmos as taxas de

variação de uma função qualquer.

unidade 7087

CÁLCULO

Para caracterizar a rapidez com que uma

função y = ƒ(x) varia em um ponto x0,

utilizamos a ideia de taxa de variação de

y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)). Essa taxa de

variação é a inclinação da curva y = ƒ(x)

no ponto (x0, ƒ(x0)). Também chamada de

taxa de variação instantânea de y = ƒ(x) no

ponto (x0, ƒ(x0)), essa taxa é a inclinação

da tangente ao gráfico da curva y = ƒ(x)

no ponto (x0, ƒ(x0)). Podemos verificar o

sentido gráfico dessas ideias na Figura 60.

FIGURA 60



DERIVADA EM UM PONTOA taxa de variação instantânea da função

y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)) é chamada

de derivada da função y = ƒ(x) no ponto

de abscissa x0. Seu valor é usualmente

indicado por ƒ'(x0) . (Lê-se: “efe linha de xis

zero”.)

Como fizemos para a taxa de variação

média, também associamos a taxa de

variação instantânea de uma função à

inclinação de uma reta, conforme indicado

no quadro a seguir.

A taxa de variação instantânea de y = ƒ(x)

no ponto x0 é o númeto real m = ƒ '(x0).

Esse número real é a inclinação da reta

y = mx + b, que é a reta tangente ao gráfico

da curva y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)).

A equação dessa reta tangente é y - ƒ '(x0)

= ƒ '(x0)(x - x0).

Para detalhar as ideias estudadas, vamos

considerar alguns exemplos.

Exemplo 7

Consideremos, na Figura 61 e na Figura

62, cada gráfico da função y = ƒ(x) e o

respectivo gráfico da reta tangente no

ponto (x0, ƒ(x0)).

FIGURA 61

Na Figura 61, a derivada ou a taxa de

variação de y = ƒ(x) é ƒ'(x0) = m.

Aqui temos ƒ'(x0) > 0.

unidade 7088

CÁLCULO

FIGURA 62




Na Figura 62, a derivada ou a taxa de

variação de y = ƒ(x) é ƒ'(x0) = m.

Aqui temos ƒ'(x0) < 0.

Exemplo 8

Consideremos uma partícula com

movimento não uniforme. A função posição

dessa partícula é dada pela função S = ƒ(t),

cujo gráfico está na Figura 63.

FIGURA 63

A velocidade em um movimento uniforme

é um valor constante; esse valor é a razão

constante da distância percorrida pela

partícula em cada unidade de tempo. Já em

um movimento não-uniforme, a velocidade

da partícula varia de um instante para

o outro. Assim sendo, entendemos por

velocidade da partícula no instante t1 a

velocidade que ela teria se seu movimento

se tornasse, a partir desse instante, um

movimento uniforme.

A velocidade da partícula no instante t1 é a

taxa de variação da posição S em relação

ao tempo t, ou seja, é a derivada de S em

relação a t no instante t1. Podemos, pois,

escrever:

v(t1) = S'(t1) ou v(t1) = m

Desse modo, podemos dizer que a

velocidade no instante t1 é a velocidade

do movimento uniforme que melhor se

aproximaria, nesse instante, do movimento

considerado. Graficamente, é como se a

partícula, a partir desse instante, em vez

de seguir o gráfico da função posição,

passasse a seguir o gráfico da reta

tangente S = mt + b.

Exemplo 9

Consideremos o gráfico de y = ƒ(x) na Figura

64 e as retas tangentes a esse gráfico nos

pontos x1, x2 e x3.

FIGURA 64

unidade 7089

CÁLCULO

Nos pontos de abscissas x1 e x3, a

taxa de variação de y = ƒ(x) é positiva

e as respectivas retas tangentes estão

inclinadas para a direita; no ponto de

abscissa x2, a taxa de variação de y = ƒ(x) é

negativa e a respectiva reta tangente está

inclinada para a esquerda.

Exemplo 10

Analisemos as funções da Figura 65 e

as tangentes a seus gráficos no ponto

(x0, ƒ(x0)).

FIGURA 65



Nessas duas funções, a taxa de variação

no ponto (x0, ƒ(x0)) é nula.

A derivada no ponto (x0, ƒ(x0)) vale zero, ou

seja, ƒ'(x0) = 0.

As tangentes aos respectivos gráficos são

horizontais: isso significa que a inclinação

dessas tangentes é zero. A equação de

cada uma dessas tangentes é y = ƒ(x0).

Exemplo 11

Examinemos os gráficos da Figura 66.

FIGURA 66

O gráfico da esquerda apresenta uma

função que não é contínua no ponto

(x0, ƒ(x0)).

Os dois outros gráficos são angulosos

(pontudos) nos respectivos pontos

(x0, ƒ(x0)).

Nesses três casos, não existe a derivada

nos respectivos pontos (x0, ƒ(x0)), ou seja,

não existe ƒ'(x0).

Para que exista derivada em (x0, ƒ(x0)),

é necessário que o gráfico admita uma

reta tangente nesse ponto. Isso ocorre

somente quando a curva for suave (não tem

alterações bruscas) no ponto considerado.

unidade 7090

CÁLCULO

Exemplo 12

Observemos os gráficos da Figura 67.

FIGURA 67


Não existe derivada dessas funções nos

respectivos pontos (x0, ƒ(x0)), porque a reta

tangente, em cada um desses pontos, é

vertical (paralela ao eixo y) e sua equação

não é da forma y = mx + b. Nos dois casos

apresentados na Figura 67, as retas

tangentes têm equação x = x0.

1. Primeiramente, construa uma tabela para

cada uma das funções dadas, indicando

os valores de y quando x assume valores

inteiros de 0 a 4; observe a variação de y

por unidade de variação de x no intervalo

considerado. A seguir, calcule a taxa de

variação média entre x1 = 1 e x2 = 4 para

cada uma delas.

a. y = 3x2 - 7

b. y = x3 + 7

c. y = x + 5

EXERCÍCIOS

d. y = x

2 + 5

e. y = 72 - 8x

2. Determine a velocidade média de um

carro entre as e as 8h e as 10h de um

dia, sabendo que às 8h ele estava

no quilômetro 50 e às 10h estava no

quilômetro 220 da mesma rodovia. Após

isso, responda às perguntas seguintes:

a. É possível afirmar que o carro não

ultrapassou os 85 km/ h? Justifique

sua resposta.

b. Supondo que durante esse percurso

o carro esteve parado durante 10

minutos, o que se pode afirmar

sobre sua velocidade máxima em

relação a sua velocidade média no

intervalo considerado? Justifique

sua resposta.

3. A inclinação do gráfico de uma função

y = ƒ(x) no ponto x0 é a inclinação da

reta tangente a esse gráfico no ponto

(x0, ƒ(x0)). Essa inclinação é a taxa de

variação da função y = ƒ(x) no ponto

(x0, ƒ(x0)) e essa taxa de variação

é chamada de derivada da função

y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)). Com base

nessa informação, determine o sinal da

derivada no ponto de abscissa x0 para

cada uma das funções cujos gráficos

aparecem a seguir.

unidade 7091

CÁLCULO

FIGURA 68




4. Dados os pontos de abscissas x1, x2,

x3, x4, x5, x6, x7, x8 e x9 que pertencem

ao gráfico de y = ƒ(x), determine o sinal

da derivada dessa função em cada um

desses pontos e indique os pontos onde

a derivada se anula.

FIGURA 69

5. O gráfico de y = ƒ(x) está representado

abaixo. Determine o valor da derivada

dessa função nos pontos de abscissas

x1 = 7 e x2 = 3 .

FIGURA 70

6. Determine a derivada de y = ƒ(x) no ponto

de abscissa x0, sabendo que a reta

tangente ao gráfico no ponto (x0, ƒ(x0)) é

paralela à reta y = 2x - 6.



unidade 7092

CÁLCULO


perpendicular à reta y = 5 - 3

1x.




paralela à reta que passa por A(2 , -3) e

B(1, -5).

9. Determine a equação das retas r e s,

tangentes ao gráfico de y = ƒ(x).

FIGURA 71




10. Determine a taxa de variação de cada

função y = ƒ(x) no ponto indicado e

escreva a equação da tangente de cada

uma delas nesse ponto.

FIGURA 72

11. Na figura, as retas r e s são tangentes à

curva de equação y = ƒ(x) e, além disso,

são paralelas à reta t, de equação

y = 3x + 9.

FIGURA 73

Com base nessas informações, determine

o valor da derivada dessa função em cada

um dos pontos assinalados.

unidade 7093

CÁLCULO

12. Calcule, nos pontos de abscissas

5, -5, 13 e -13, a derivada da função

y = ƒ(x), cujo gráfico é o semicírculo

representado.

FIGURA 74



13. Em cada caso, indique se existe ou

não, no ponto indicado, a derivada da

função representada.

FIGURA 75

unidade 8095

CÁLCULO

Até agora, calculamos a derivada de uma função em um ponto determinado por meio

da análise do gráfico. Para issso, consideramos a derivada de uma função y = ƒ(x) no

ponto (x1 ƒ(x1)) como a inclinação da reta tangente a seu gráfico e também como a

inclinação da curva nesse ponto. Examinar como é a inclinação de uma curva ou a inclinação

da tangente a essa curva em um ponto determinado pode ser feito quando a função é dada

por meio de uma tabela ou de seu gráfico.FIGURA 76

CÁLCULO DA DERIVADA


Estudaremos neste capítulo como podemos calcular a derivada de uma função y = ƒ(x) no ponto

(x1, ƒ(x1)) quando essa função é dada por meio de uma equação. Procuraremos, em outros

termos, responder à pergunta que está posta na Figura 76: como calcular m = ƒ'(x1)? Admitimos

que a reta tangente ao gráfico existe e que sua equação é da forma y = mx + b, sendo a = ƒ'(x1).

Vamos, pois, procurar um jeito de calcular o valor de m a partir da lei que define y = ƒ(x).

Como calcular ƒ'(x0) = m?

unidade 8096

CÁLCULO

VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Vamos analisar o caso de um carro em

movimento não uniforme. Queremos

determinar a velocidade do carro, em hm/h,

no instante t1. Essa é a velocidade que o

carro teria se seu movimento se tornasse

uniforme a partir do instante t1. Podemos

vizualizar isso no gráfico da Figura 77.

FIGURA 77

Se deixarmos transcorrer uma hora a partir

de t1 e constatarmos que, nesse intervalo,

o carro percorreu, por exemplo, 80 km,

isso não é suficiente para concluir que a

velocidade no instante t1 é de 80km/h.

Podemos, simplesmente, dizer que o carro

andou em velocidade média de 80km/h no

intervalo considerado. No intervalo de uma

hora, a velocidade média é o valor da fração

.

Durante essa hora, a velocidade em cada

instante pode ter variado bastante.

Para obter uma aproximação melhor da

velocidade do carro no instante t1, podemos

dividir uma hora em sessenta minutos e

observar a distância percorrida em um

minuto a partir de t1, sendo 1min = 601

h. No

intervalo de um minuto, contado a partir de

t1, a velocidade média é o valor da fração

.

Multiplicando a distância percorrida em um

minuto por 60, temos o percurso esperado

em uma hora, caso o carro continue com

a mesma velocidade observada durante

esse minuto. Essa situação vem ilustrada

na Figura 78.

FIGURA 78



unidade 8097

CÁLCULO

Obtemos uma aproximação ainda melhor

observando a variação da distância percorrida

em um segundo, a partir de t1, sendo 1s = 3600

1

h . No intervalo de um segundo, contado a partir

de t1, a velocidade média é o valor da fração

.

Multiplicando a distância percorrida em um

segundo por 3.600, obtemos o percurso

esperado em uma hora, caso o carro continue

a se deslocar com a mesma velocidade

observada durante esse segundo.

Obtemos uma aproximação mais precisa se,

dividindo uma hora em n pequenos intervalos,

observarmos a distância percorrida na

enésima parte da hora, a partir de t1, sendo

essa enésima parte igual a n

1h. No intervalo

de n

1 , contado a partir de t1, a velocidade

média é o valor da fração

.

Multiplicando a distância percorrida na

enésima parte de uma hora por n, obtemos

o percurso esperado em uma hora, caso o

carro continue a se deslocar com a mesma

velocidade observada durante essa enésima

parte.

Se considerarmos n suficiente grande,

podemos afirmar que a velocidade média

no intervalo n

1 é a velocidade no instante t1.

Podemos escrever:

v(t1).

Quanto menor o intervalo de tempo

considerado para, a partir dele,

fazermos a projeção do percurso que

seria realizado em uma hora, mais o

valor obtido se aproxima do valor da

velocidade no instante t1. Para efeito de

cálculo, usaremos a igualdade:

v(t1) , para n

arbitrariamente grande.

Usando a ideia de que a velocidade

no instante t1 é a derivada da função

posição, podemos escrever:

S'(t1) ≈ , para n


TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEAO processo utilizado para estimar a

velocidade do carro em um instante t1,

pode ser aplicado no caso de uma função

qualquer y = ƒ(x).

unidade 8098

CÁLCULO



Para calcular ƒ'(x1), podemos considerar,

inicialmente, a taxa de varição média

mostrada na Figura 79:

.

O valor obtido para essa taxa de variação

média pode diferir muito da derivada ƒ'(x1),

uma vez que a reta tangente no ponto (x1, ƒ(x1))

pode estar muito afastada do gráfico de y =

ƒ(x) no ponto de abscissa x1 + 1.

Para obter um valor aproximado da derivada,

podemos fazer x variar não de 1, mas de

n

1 , a partir de x1, e calcular a variação

correspondente de y = ƒ(x), conforme ilustrado

na Figura 80.

FIGURA 80

A taxa de variação média no intervalo n

1 é o

valor da fração:

.

Se considerarmos n suficiente grande,

podemos afirmar que a taxa de variação

média no intervalo n

1 é a taxa de variação

no ponto de abscissa x1, ou seja, é a

derivada da função y = ƒ(x) nesse ponto.

Escrevemos:

ƒ'(x1).

Quanto menor o intervalo considerado

para, a partir dele, fazermos a projeção

da variação da função y = ƒ(x) para cada

unidade de variação de x, mais o valor

obtido se aproxima do valor da taxa de

variação no ponto de abscissa x1, que é a

derivada ƒ'(x1).

No cálculo da derivada em um ponto,

usaremos a igualdade:

ƒ'(x1) =

, para n


FIGURA 79

Chamando de An a diferença ,

unidade 8099

CÁLCULO

ou seja, fazendo

= An

podemos escrever n • An ƒ'(x1).

Esse fato é apresentado na Figura 81.

FIGURA 81



A aproximação n • An ƒ'(x1) pode ser

percebida considerando-se a variação

proporcional da reta y = mx + b, tangente à

curva y = ƒ(x) no ponto (x1, ƒ(x1)):

m = ƒ'(x1) = → m = ƒ'(x1) = n• An

Quanto maior o valor de n, menor será o

intervalo n

1 e melhor será a aproximação

entre o o valor de m e o valor de ƒ'(x1).

Para obter o valor exato de ƒ'(x1), analisamos

o valor de n • An, procurando descobrir de

que valor n • An se aproxima quando n se

torna arbitrariamente grande.

Tentamos responder à pergunta: de que

valor se aproxima n • An quando n assume

valores arbitrariamente grandes?

Se, para valores de n cada vez maiores, os

valores de n • An se aproximam cada vez

mais de um valor fixo m, então ƒ'(x1) = m.


Por questão de economia, vamos fazer, na

expressão ƒ'(x1) n • ,

n

1 = h. Com essa troca, temos:

ƒ'(x1) n

1 • [ƒ (x1 + h) - ƒ(x1)] =

Podemos observar que, se n → ∞, h → 0.

Com isso, em vez de dizer que se torna

arbitrariamente grande, podemos dizer que

se torna bem próximo de zero.


Exemplo 1

Consideremos a função ƒ(x) = 3x2 + 7.

FIGURA 82

unidade 8100

CÁLCULO

Vamos calcular sua derivada em cada um

dos pontos de abscissas x1 = 2, x2 = -3 e x3 = 0

a) Cálculo de ƒ'(2) :

Usando a notação de limite, podemos

escrever:

Quanto mais o valor de h fica próximo de

zero, mais o valor de (12 + 3h) se aproxima de

12. Por isso, podemos concluir que ƒ'(2) = 12.

A reta tangente ao gráfico de ƒ(x) = 3x2 + 7,

no ponto de abscissa x1 = 2, tem inclinação

ƒ'(2) = 12 e passa pelo ponto (2, ƒ(2)) = (2, 19).

A equação dessa tangente é y - 19 = 12(x- 2)

ou y = 12x - 5.

ƒ(2) = 3 • 22 + 7ƒ(2 + h) = 3(2 + h)2 + 7 = 3 • 22 +12h + 3h2 + 7

ƒ(-3) = 3 • (-3)2 + 7ƒ(-3 + h) = 3(-3 + h)2 + 7 = 3 • (-3)2 -18h + 3h2 + 7

An = ƒ(2 + h) - ƒ(2) = 12h + 3h2

ƒ'(2) n

1 (12h + 3h2) = 12 + 3h

An = ƒ(-3 + h) - ƒ(-3) = -18h + 3h2

ƒ'(-3) n

1 (-18h + 3h2) = -18 + 3h


escrever:

Se o valor de h fica bem próximo de zero, o

valor de (-18 + 3h) fica muito próximo de -18.

Assim, podemos concluir que ƒ'(- 3) = -18.


no ponto de abscissa x2 = -3, tem inclinação

ƒ'(- 3) = -18 e passa pelo ponto (-3, ƒ(-3)) =

(-3, 34).

A equação dessa tangente é y - 34 =

-18(x + 3) ou y = -18x + 20.

b) Cálculo de ƒ'(-3):

unidade 8101

CÁLCULO

c) Cáclulo de ƒ'(0):


escrever:

Quanto mais o valor de h fica próximo de

zero, mais o valor de (3h) se aproxima de 0.

Assim, podemos concluir que ƒ'(0) = 0.


no ponto de abscissa x3 = 0, tem inclinação

ƒ'(0) = 0 e passa pelo ponto (0, ƒ(0)) = (0, 7).

A equação dessa tangente é y - 7 = 0(x - 0)

ou y = 7.

Exemplo 2

A altura de uma bola largada do alto de um

edifício, em relação à rua, é dada pela pela

função S(t) = -4,9t2 + 98, em que S é medida

em metros e t, em segundos.

Vamos calcular a velocidade dessa bola no

instante t1 = 3.

A velocidade no instante t1 = 3 é o valor

da derivada de S(t) = -4,9t2 + 98 nesse

instante.

An = ƒ(0 + h) - ƒ(0) = 3h2

ƒ'(0) ≈ n

1 (3h2) = 3h

ƒ(0) = 3 • 02 + 7ƒ(0 + h) = 3(0 + h)2 + 7 = 3h2 + 7

S(3) = -4,9 • 32 + 98S(3 + h) = -4,9(3 + h)2 + 98 = -4,9 • 32 -29,4h - 4,9h2 + 98

An = S(3 + h) - S(3) = -29,4h - 4,9h2

v(3) = S'(3) n

1 (-29,4h - 4,9h2) = -29,4 - 4,9h


escrever:

Quanto mais o valor de h se aproxima

de zero, mais o valor de (-29,12 - 4,9h) se

aproxima de -29,4.

Assim, podemos concluir que v(3) = S'(3)

= - 29,4m/s.

A FUNÇÃO DERIVADA

Nos itens anteriores, calculamos a

derivada da função y = ƒ(x) em um ponto

unidade 8102

CÁLCULO

de abscissa x = x1. Como resultado dessa

operação, encontramos o número real

ƒ'(x1) = m. Neste item, vamos calcular a

derivada de uma função em um ponto

qualquer de abscissa x. Como resultado

dessa operação, vamos encontrar uma

nova função, chamada função derivada.

Exemplo 3

Determinar a derivada de ƒ(x) = x3 em um

ponto genérico de abscissa x.

Como fizemos para um ponto de abscissa

determinada, fazemos para um ponto de

abscissa x:

ƒ(x) = x3

ƒ(x + h) = (x+ h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3

An = ƒ(x + h) - ƒ(x) = 3x2h + 3xh2 + h3

ƒ'(x) x1 n

1 (3x2h + 3xh2 + h3) = 3x2 + 3xh + h2


escrever:

Se o valor de h fica bem próximo de zero, o

valor de (3x2 + 3xh + h2) fica muito próximo

de 3x2. Assim, podemos concluir que

ƒ'(x) = 3x2.

A derivada de uma função em um ponto

genérico (x, ƒ(x)) é também uma função,

representada por ƒ'(x). Nesse caso que

estamos analisando, ƒ'(x) = 3x2 é a função

derivada da função ƒ(x) = x3

A Figura 83 apresenta o gráfico de cada

uma dessas funções.

FIGURA 83

O valor da função derivada ƒ'(x) em um

ponto qualquer é a inclinação da reta

tangente ao gráfico da função ƒ(x) . Assim,

no caso das funções da Figura 83, a


f’(x)

f’(x) = 3x2

y

x

0 x

f’(x)

f’(x) = 3x3

y

x0 x

unidade 8103

CÁLCULO

inclinação da reta tangente ao gráfico de

ƒ(x) = x3, no ponto (2, ƒ(2)) = (2, 8), é ƒ `(2)=

3 • 22 = 12.

A equação dessa reta tangente é y - 8 =

12(x - 2) ou y = 12x - 16.

Em geral, para calcular a derivada em um

ponto de abscissa x0, é melhor calcular,

primeiro, a derivada em um ponto qualquer,

de abscissa x , obtendo a função derivada

ƒ`(x). A seguir, calculamos o valor ƒ`(x0).

Isso ficará mais claro nos exemplos que

vêm a seguir.

Exemplo 4

A Figura 84 traz o gráfico da função

y = x3 - 3x e o de sua derivada y’ = 3x2 - 3.

FIGURA 84


Podemos observar que o gráfico da

derivada y’ = 3x2 - 3 está acima do eixo

horizontal no intervalo ]-∞, -1[ e no intervalo

]1, +∞[ ; nesses dois intervalos, a derivada

é positiva e, em consequência, a função

y = x3 - 3x é crescente.

No intervalo ]-1, 1[ , a derivada y’ = 3x2 - 3

é negativa (seu gráfico está abaixo do

eixo horizontal); nesse intervalo a função

y = x3 - 3x é decrescente.

DUAS DERIVADA

Nos estudos sobre a função y = ƒ(x),

feitos até agora, trabalhamos com duas

derivadas: a derivada em um ponto de

abscissa x1 e a derivada em um ponto

qualquer.

• A derivada em um ponto de

abscissa x1 é um número real m tal

que ƒ'(x1) = h

1 • [ƒ (x1 + h) - ƒ(x1)] = m,

quando h fica bem próximo de zero.

Ou, usando a notação de limite:

O número real m = ƒ'(x1) é sempre a

inclinação da reta tangente ao gráfico de

y = ƒ(x) no ponto (x1 ƒ(x1)).

A equação dessa reta tangente é

y - ƒ(x1) = m • (x - x1) ou y - ƒ(x1) = ƒ'(x1) • (x - x1)

Esse número real m = ƒ'(x1) é, também, uma

taxa de variação instantânea, formada

pela razão entre a variação da grandeza

unidade 8104

CÁLCULO

representada por e a variação da grandeza

representada por x.

• A derivada em um ponto qualquer

é uma função ƒ'(x) tal que

ƒ'(x) = h

1 • [ƒ (x + h) - ƒ(x)] , quando h fica bem

próximo de zero.

Ou, usando a notação de limite:

Dizemos que a função y = ƒ(x) é derivável

em um ponto de abscissa x se ƒ'(x),

nesse ponto, for um número real. Se isso

acontecer para todo ponto do domínio de

y = ƒ(x), dizemos que y = ƒ(x) é derivável em

todo seu domínio.

Em geral, as funções com as quais lidamos

no Cálculo são deriváveis em todo seu

domínio; algumas dessas funções não são

deriváveis em pontos isolados.

Podemos pensar que a derivada de y = ƒ(x)

é a função que associa a cada valor de do

domínio de y = ƒ(x) um único número real

ƒ'(x).

1. Primeiramente, esboce o gráfico da

função ƒ(x) = 5x2 - 3. A seguir calcule a

derivada dessa função nos pontos onde

x1 = 2, x2 = -2 e x3 = 0. Por fim, escreva a

equação da tangente ao gráfico de ƒ nesses

mesmos pontos.

2. Primeiramente, calcule a derivada no

ponto de abscissa x1 = 1, de cada uma

das funções ƒ(x) = x2 e g(x) = x3. Depois

disso, escreva a equação de cada uma das

tangentes a ƒ e g no ponto de abscissa

x1 = 1. Por fim, esboce os gráficos de ƒ e g

em um mesmo sistema de coordenadas e

trace as tangentes encontradas.

3. Calcule a derivada de cada uma das

funções no ponto de abscissa x1 ou t1:

a. ƒ(x) = -3x2 + 12; x1 = 7

b. g(x) = x2 -7x; x1 = 4

c. h(x) = 3x2 + 2x - 1; x1 = 4

d.ƒ(t) = 3t2; t1 = 5

e. g(t) = 3t2 + 7; t1 = 5

f. h(t) = 3t2 -7' t1 = 5

4. Calcule a derivada de cada uma das

funções em um ponto genérico de abscissa x:

a. ƒ(x) = 3x2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

unidade 8105

CÁLCULO

b. g(x) = 11 - x2

c. h(x) = x3 +5

5. Para cada uma das funções a seguir,

calcule a derivada ƒ'(x), esboce os gráficos

de ƒ(x) e de ƒ'(x) em um mesmo sistema e

compare essas duplas de gráficos:

a. ƒ(x) = x2

b. ƒ(x) = x2 + �

c. ƒ(x) = x2 - 1

6. Uma partícula desloca-se obedecendo à

função horária s(t) = 5t2 + 15t + 30, sendo

a distância medida em quilômetros e o

tempo, em horas. Determine a velocidade

dessa partícula no instante t = 3h.

7. A velocidade de uma partícula no

instante t é dada pela função v(t) = t2 + 2t - 8,

sendo a velocidade medida em metros por

segundo. Com base nessas informações:

a) determine a aceleração média dessa

partícula no intervalo 2 ≤ t ≤ 5 ;

b) determine a aceleração dessa partícula

em um instante t;

c) calcule a aceleração dessa partícula no

instante t = 3s.

O que vem depois

Na sequência do trabalho com o Cálculo

Diferencial e Integral, você terá possibilidade

de estudar regras práticas de derivação, o

que simplificará o aspecto operatório para

determinar derivadas. Você deverá abordar

novas funções, além das algébricas vistas

nesta apostila; são algumas das funções

transcendentes – as funções exponenciais,

as funções logarítmicas e as funções

trigonométricas. A mais disso, certamente

ficará entusiasmado ao perceber as inúmeras

aplicações das derivadas em problemas que

aparecem em quase todas as ciências e nas

diferentes tecnologias desenvolvidas e que

têm por base o Cálculo.

Para quem pretende ser um profissional

competente, vale a pena investir tempo no

estudo de Cálculo: é uma disciplina que ajuda

a ler e descrever fenômenos e situações,

encontradas no trabalho com tecnologias; é,

sobretudo, uma disciplina que pode ser decisiva

no aprender a pensar e a tomar decisões, duas

competências consideradas como as mais

importantes para o profissional do Século XXI,

de acordo com pessoas que atuam na área de

recursos humanos de empresas.

Agradecemos pelas críticas e sugestões, se

feitas no intuito de melhorar esta apostila e o

material disponibilizado no Curso. Para tanto,

deixamos à disposição o endereço eletrônico

[email protected].

unidade 8106

CÁLCULO

REFERÊNCIAS

HUGHES-HALLET, Deborah et al. Cálculo de

uma variável. Rio de Janeiro: LTC Editora,

2007.

LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H. Cálculo

com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC Editora,

2005.

MACHADO, Nilson José. Noções de Cálculo.

São Paulo: Scipione, 1988.

SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria

Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

Site “E-calculo”. Disponibiliza aulas de

cálculo. USP. Disponível em: <http://

ecalculo.if.usp.br/>. Acesso em: 05 fev.

2014.

Site “Khan Academy”. Disponibiliza aulas

de cálculo e outras disciplinas. Disponível

em: <http://www.khanacademy.org/>.

Acesso em: 05 fev. 2014.

SOUZA, Sérgio de Albuquerque. Usando o

Winplot [Tutorial]. Disponível em: <http://

goo.gl/3xngPw>. Acesso em: 05 fev. 2014.

STEWART, James. Cálculo. 6 ed. São Paulo:

Cengage Learning, 2010.

WINPLOT. Software gratuito. Aplicativo

computacional para a construção de

gráficos. Disponível em: <http://math.

exeter.edu/rparris/winplot.html>. Acesso

em: 05 fev. 2014.

www.animaeducacao.com.br

Livro Cálculo 1 - Completo

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