SOLu<;Ao(a) Se y = sen 0 = f(O), entao

dy = f(O) dO = cos 0 dO

Quando utilizamos derivadas ou diferenciais de fun~6estrigonometricas de angulos, devemos empregar a medida emradianos. Por isso, fazemos

dy = ( COS} ) ( 1~0 ) = ( ~ )( 1~0 ) = 3~0 = 0,0087

(b) Empregando a formula (3.31) de aproxima~ao linear comx = 0 e y = sen 0, temos

sen (8 + tl8) = sen 0 + dy

Fazendo 0 = 60', <'.8 = 1', e dy = 0,0087 (veja a parte (a»,obtemos

13=2+0,0087

= 0,8660 + 0,0087 = 0,8747

Utilizando uma calculadora, obtemos sen 61' = 0,8746,com 4 decimais. Logo, 0 erro decorrente do emprego de apro-xima~ao linear e da ordem de 0,0001.

Pode-se perguntar: Por que utilizar diferenciais no Exemplo3 quando uma calculadora e mais eficiente e da resultados maisprecisos? A resposta e que nosso objetivo era 0 de demollstraro uso de diferenciais em um problema elemental'. Achar 0 valornumericode sen 61·.e secundario. Freqiientemente agimos assimem matematica para ilustrar novos conceitos. AJem dissodevemos ter em menie que ha certos tipos de problema em qu~as diferenciais sao mais eficientes do que as ealculadoras.

o pr6ximo exemplo ilustra 0 usa de diferenciais na esti-mativa de erros que podem ocorrer em razao de aproxima~ao d9medidas. Conforme indicado na solu~ao, e importante eonsidd,rar primeiro formulas gerais que envolvem as varidveis em jogo.As variaveis nao devem ser substitufdas por valores especfficossenao nos estagios finais da solu~o.

Mede-se como 12 em 0 raio de urn balao esferico, com erromaximo de ± 0,06 em. Aproxime 0 eno maximo no calculo dovolume da esfera.

Come<;amos considerando as f6rmulas gerais que envolvem raioe v~ume. Assim, chamando

x = valor medido do raiodx = t.x = eno maximo em x

e supondo t.x positivo, tern os

x - t.x s raio exato s x + t.x

Se tlx:e negativo, pod cmos usar I t.x I em lugar de tlx. A Figura3.28 ilustra a se~ao transversa do balao, indicando 0 eno posslvelt.x. Se 0 volume V do baHio e calculado com auxflio do valor

medido x, enllio V = ~ 1U3.

Seja tlV a varia~ao de V conespondente a tlx. Podemosinterpretar tl V como 0 erro no edleulo do volume ocasionadopelo erro t.x. Aproximamos <'.V por meio de dV como segue:

tl V = dV = (Dx V)dx = 4rr.x2 dx

Finalmente, atribufmos valores especfficos a xed>:. Se x = 12 C

se tlx = dx = ± 0,06 em, entao

Assim, 0 eno maximo no calculo do volume devido ao erro nilmedida do raio e aproximadamente ± 109 cm3.

A medida do"raio no Exemplo 4 aclisou 12 em, com errumaximo de 0,06 em. A razao de 0,06 para 12 e ehamada errumedio na medida do raio. Assim

'd' ± 0,06 0 005erro me 10 =12= ± ,

A significa<;ao deste numero e que 0 erro na medida do ra i~)em media, 0,005 em por em. 0 erro pereell(ual e definido CUll,n

o erro medio multiplicado por 100%. Em nosso caso,

erro percentual = (± 0,005) x (100%) = ± 0,5%

Damas a seguir a defini~ao geral destes conceitos.

, ,fit U'" , ;Im ~ f II;Hf'II I" Allllifl i U '" J. J--'--------------------

Em terroos de diferenciais, se w represenla uma mensura-c;iio com erro possivel de dw, enlao 0 erro medio e (dw)/w.Naturalmente, se dw e uma aproximar;iio do erro em w, entao(dw)/w e uma aproximar;iio do erro medio. Estas observac;6essao ilustradas no proximo exemplo.

o raio de urn balao esferico e 12 em, com eITOmaximo de medidade ± 0,06 em. Aproxime 0 eITO medio e 0 erro percentual noealculo do valor do volume.

(Ver Figura 3.28). Seja x a medida do raio do balao e I!:.x 0 erromaximo em x. Denotemos por V 0 volume ealculado e por I:iVo erro em V causado por I!:.x. Aplicando a Definic;ao (3.32)(i) aovolume V ~ j ;cy3, vem

,. I:iV dV 4~ dr 3 dxerro medlO = - ~ - ~ ~ __V Vi jnx3 x

No caso especial x ~ 12 e dx = ±O,06, oblemos

'd' 3(± 0,06) 0015crro me 10 ~ 12 = ± ,

Pela Definic;ao (3.32)(ii)

erro percentual ~ (± 0,015) x (100%) = ± 1,5%

Assim, em media, ha urn erro de ± 0,015 por cm3no calculo dovolume. Note que is to conduz a urn erro percentual de ± 1,5%do volume.

Uma baleia e a\istada pela tripulac;ao de urn navio, que estimaseu eomprimento L em 10 m, com um erro maximo possivel de0,6 m, Sabe-se que 0 peso W (em toneladas metricas) estarelacionado com L pel a formula W = 0,005823 L3,18. Usediferenciais para aproximar

(a) 0 erro na estimativa do peso (a menos de 0,1 ton.metr.);

(b) os erros medio e pereentual.

SOLu<;AoDenotemos por I:iL 0 erro na estimativa de L, e seja I:iW 0 errocorrespondente no ealeulo do valor de W. Esses erros podem seraprox'imados por dL e dW.

(a) Aplkando a Definic;ao (3.28) temos

I:iW ~ dW = (0,005823)(3,18)L 2.18dL

I:iW ~ (O,005823)(3,18)(10)2.18(± 0,06) ~ ± 1,7 tons. metricas

(b) Peia Definic;ao (3.32)(i),

I:iW dlV (O,005823)(3,lS)L 2,I8dLerro 'medio = W ~lV ~ (O,005823)L 3,18 ":

3,18 d.L..L

'd' 3,18(±0,6) 019erro me 10 ~ 10 ~ ± ,

Pela Definic;ao (3.32)(ii),

erro percentual ~ (±O,19) x (100%) ~ ±19%

As estimativas da tensao vertical do vento tern grandeimportancia para os pilolos de aeronaves durante as decolagense as aterrissage~s. Admitindo que a velocidade do vento v a umaaltura I acirna do solo e dad a por v = f(h), onde f e uma func;aodiferenciavel, entao a tensiio vertical (escalar) do vento edefinida como dv/dh (taxa instantiinea de variac;ao v ern rela<;aoa h). Como e impossivel saber a velocidade do vento v a cadaaltura h, a tensao do vento deve ser estimada por meio de apenasurn numero finito de valores funcionais. Consideremos a situa<;aoilustrada na Figura 3.29, on de sao dadas apenas as velocidadesdo vento Vo e VI as alturas ho e hi' respectivamente. Uma esti-

mativa da tensiio do vento a altura hi' pode ser dad a pela formulaaproximada

dV] VI - Vodh h_h,~ hI -ho

Pode-se empregar tambem a relac;ao empfrica

na qual 0 expoente P e determinado pela observac;ao e dependede varios fatores. Para ventos fortes, costuma-se tomar 0 valor

P=t·

Suponha que 11 altura de 6 m acima do solo a velocidade dovento seja de 45 km/h. Com base na discussao precedente (comP = t), estime a tensao vertical do vento a 60 m acima do solo.

Com a notagao anterior, fagamos

!lo = 60, Vo = 45

Resolvendo (vr/vl) = (hr/hl)P em relac;ao a VI e substituindovalores, obtemos .

Assim, a uma altura de 60 m, a tensao vertical do vento e deaproximadamente 0,31 (kmlh)/m.

Exercs. 1-4: (a) Estabele~a f6rmulas gerais parabye dy (b) Se, para os valores dados de a e !'u, xvaria de a para a +!'u, ache os valores de liy e dy.

1 Y = 2x2 - 4x + 5; a = 2, !'u = - 0,2

,2 Y =x3 - 4; a =-1, !'u = 0,1

'3 y = I/x~ a =3, lix = 0,3fl. •. ·.0',1 . 1

a =0, !'u = - 0,03'4y=--'. 2+x'

Exeres. 5-10: Determine (a) liy, (b) dy e(e) dy - by.

;5y =4 - 9x

. 7 y=3x2+Sx-2(1'-

6 Y = 7x + 12

8 Y = 4 - 7x - 2".2

10 Y = l/x2

Exercs. 11-18: Ache uma aproxima~ao linear paraJ(b) se a variavel independente varia de a para b.

ilJ(x) = 4xS - 6x4 + 3x2 - 5; a = I, b = 1,03

12 f(x) = -3x3 + 8x-7;. a=4, b = 3,96:::113 f(x) = x4; a = 1, b =0,98

14 f(x) = xl - 3xJ + 4x2 - 5; a =2, b = 2,01

~,~fee) = 2 sen 0 + eos 0; a =30·, b=27·

16 f(ljl) = csi.:ljl + cot ljl; a =45·, b=46·:::,i, I .~.

17 f(a) = see a; a =60·, b=62"

18 f(~) = tg ~; a =30· b-28"~.

19 (a) Se f(x) = sen (Ig x -'I)/estabele~a uma equa-@] ~ao (aproxiinada) da tangente ao grafteo de

',,,', fern (2,5, f(2,S», usando 0 Exercfcio 51 dad.· Se~lio 3.2.

t;:, (b) Aproxinle f(2,6) por .heio da equa~~ obtida;':r" 'em·(a). .' .... ; '.' ..

(e) Use (3.31)eomx = 2,5 para aproximar f(2,6).

(d) Compare as duas aproxima~6es obtidas em(b) e (c).

20 (a) Se f(x) ~ x3 + 3x2 - 2x + 5, ache uma equa-@] gao (aproximada)' da tangente. ao gnifico de

f em (0,~>!(0,1)':

(b) Use a equa~ao obtida em (a) para aproximarf(0,43).

(e) Use (3,31) com x = 0,4 para aproximarf(0,43).

(d) Compare as duas aproxima~6es (b) e (c).

Exercs. 21-24: Denotemos por x uma mensura~ocom erro maximo !'u. Aproxime, por meio de dife-renciais, 0 erro medio e 0 erro pereentual no valorcaJculado de y.

21 y=3x1; x=2, lix = ±0,01

22 y=x3 + Sx; x-I, Ax= ±O,I

23 y=4vx +3x; x •.•4, lix = ±0,2

24 y=6~; x-8, !'u = ±0,03

25 Se A = 3x2 -x, determine dA para x = 2 edx - 0,1.

26 Se P = 61'})3 + 12, determine dP para 1 = 8 edl = 0,2.

27 Se y - 42 e 0 erro maximo pereentual em x e±IS%, obtenha uma aproxima~lio do erro mediomaximo emy.

28 Se z - 40q-;; e 0 erro medio maximo dewe ± 0,08, obtenha uma aproxima~ao do erromedio maximo em z.

29 SeA = 15 ~ e 0 erro medio maximo tolwlvelem A deve ser ± 0,04, determine 0 erro mediomaximo toleravel em s. .

30 Se S = IOni e 0 erro pereentual maximo lolera-vel em S deve ser ±10%, determine 0 eHOpercentual maximo toleravel em x.

31 0 raio da lampa de urn po~o circular e estimadoem 40 em, com erro maximo de 0,15 em. COIllauxilio de diferenciais, estime 0 erro maximo 110

ciJculo da area de urn lado da lampa. Aproximcos eHOSmedio e percelltual.

32 0 eompiimcnto do lado de urn azulejo quadradoe de 30 em, com erro' maximo de ±O,IS em. Pur

III '" ,I ,111'1, II' III , ,'/11'" " effO IlIflximu IIU"11111 Iltl II II till "'"kjll, OiJlcllha uproxi-

"' '" Ih'~ IIIII~ III tllli " PCI' clIllIIII.

l'ill hili, 1"11 11111II tI,' till'U1'llciais, 0 IIl1menloIII 111111111II, 1111111,1'0,I IIClIlIlI'filllenlodecuda

I I 111111II, 101'111 1"11" 10,'1 CIlI, Qual aII, II I ~IIln till vIII'"11"?

'I 1111111111II I _II' I II 1'/,1 sClldu infilldo com gas.I III 111111'tI, .1 Ir"HIl'IIIls, al'mxillle 0 uumento da .I II 1111.lIp' II I, do ""I (I 'Iualldu 0 diallletroIIlhllh 11111'111111,01 Ill,

111111111It1 Ih 1111111,'ISII ICIll II fOflllato de urn'111I,ltllltllllll III11dl' 1"" '"11 lriangulo equilatero,I II 1111111111111111110till hllsc C de 5 m, com erro

III .111111tI 0,01 Ill, cafelll<: II afea do lado,Use,,1/111111II ~ 1'"'" milimilf (l Cfm maximo no cal-,"111 "IIIIIX 1'"10 ",,"mcdio e 0 efro percentua!.

""11111111'1liiN "III Illedilh,s de dirnens6cs de gran-,I, .111I" ~II"N,Olll'""wl"l'f.l', podelllief efeito grave111'1'" vlllillll"S \',dellilldos, Urn silo tern a forma

Ih 11111I IlIllto .'Ii '111111'encilllado pol' urn hemis-I 1'" illll"" II., dlilldm C cxnlamente 15 metros.111'11111"IIII'III11dll cil' ",,1' 'renein da base e estima:1111'III 111,". ,',1111 'lln dc :1:0,15cm = :1:0,15m.I "ii 1I1i II v"lillll' dn silo C IISCdiferenciais para• 1111111'"1111III XIIlIOno dilculo, Aproxime 0 eno1111" Ij I n t1lHi lOll' '1I111nl.

/(1([:".~,.••••• 'I·.,

!/,- '~:.\~,,

" 1\ III Ii, 'I"r V",," de urn dep6sito vai formandoIIl1ln 1'111111I' IIi 'II cujn allura e sempre igual ao11I11I 1111\ (',111 l:crlo instante, 0 raio e 10 em,"1"I1XIIII", 1'01',"eio de difel'enciais, a varia~ao do11111''1"11 I'III1SI:IlIlIn varia~ao de 2 cm3 no volumeJill 1'111110

III 1111'" 1Ip,1I11!is\\sc"'es tern os lados iguais com~ 'Ill "lIdll, Se 0 flllglJlo 0 entre esses lados

11111111'11111tic 31)" para 33', use diferenciais paraI'I""K 111111II vlll'inc;iiu da area do triangulo.

39 A lei de atra~ao gravitacional de Newton .afirmaque a for~a F de atra~ao entre duas partfculas de

'. mass~s ml e m2 e dada -POI'F'= G;III;"'~;i,o~deG e uO!a co~st~~te ,e s .ea distariCia, entr~ aspartfeulas. Se s = 20 cm, use diferenciais paraaproximar 'a varia~ao' de s que aume'nte F em10%,

40 A f6rinula T = 2.nIiii relaciona 0 comprimentoI de urn pendulo com seu periodo T; g e umaconstante gravitaciona!. Que varia~ao percentualdo comprimento I corresponde a urn aumento de30% no periodo Ti

41 A constric;ao de arteriolas e uma das' causas depressao elevada. Verificou-se experimentalmenleque, quando 0 sangue flui pOI' uma arterlola decomprimento fixo; a diferenc;a de pressao entreas duas extremidades da arteriola e inversamenteproporcional i qu~rtapotencia do raio, Se 0' raiode uma arteriolu diminlli de 10%, ealcule, pOI'meio de diferenciais, a variac;ao percentual nadif~renc;a de pressao. ..

42 A resistencia eletrica R de urn fio e diretamenteproporcional ao seu comprimento e inversamenteproporcional ao quadrado do seu diametro, Se 0eomprimento e fixo, qua'l deve ser a precisao damedida do diametro (em termos de erro percen-tual) para manter 0 erro percentual de R entre-3% e 3%?

43 Se urn objelo pesando W quilos e puxado ao longode urn plano horizontal pOI' uma forc;a aplicuda auma corda amarrada ao objeto e se a corda fazurn angulo 0 com a horizontal, entao a magnitudeda forc;a e dad a por

F(O)- llW~l sen 0 + cos e'

onde J.l e uma constante chamada eoeficiente defricc;ao. Suponhamos uma caixa de 40 kg puxadaao longo do assoalho, e que ~l = 0,2, Se e"variade 45" para 46", use diferenciais para aproximara variac;ao na forc;a que deve ser aplicada,

44 Mostraremos mais adiante, no segundo volume,que, se urn projetil e lanc;ado com velocidadeinicial vo a urn angulo a com a horizontal, suaaltura maxima h e 0 a!cance R sao dados pOI'

vii sen2 a 2vi1 sen a cos ah=--- e R=-----

2g g

Suponhamos vo = 30 rn/s e g = 9,S m/s2, Se aaumenta de 30" para 30"30', estime, pOI' meio dediferenciais, as variac;6es em heR.

45 Em urn ponto situ ado a 6 m da base de urn poste,o angulo de elevac;ao do topo do poste acusa umamedida de 60", com erro posslvel de :1:15". Usediferenciais para aproximar 0 erro na alturaca!culada do poste,

46 Urn laborat6rio espacial circunda a terra a umaaltura de 240 km, Quando urn astronauta olhapara 0 horizonte, 0 angulo da figura e de 65,S",com urn erro maximo possivel de :to,S", Usediferenciais para aproximar 0 erro no ca!culo doraio da terra feito pelo astronauta,

.'j:fCA

~, 240 km

47 A Grande Piramide' do Egito tern uma basequadrada de 230 m (veja a figura), Para estirnara altura h da piramide, urn observador se eolocano ponto medio de 'um dos lados e olha para 0vert ice da piramide, 0 angulo de elevac;ao obser-va do <jJ e 52". Qual deve ser a precisao destamedida para que 0 erro em h fique entre -1 m e1m?

48 Quando urn foco luminoso percorre uma traj~toC,ria semicircuiar, confonne a figura, a i1umina\lchiE na superficie e inversamente proporcional aoquadrado da distancia s do foco e diretam'entepropol'cional ao co-seno do iingulo 0 entre adirec;ao do fluxo luminoso e a nonnal 11superficie,Se 0 diminui de 21" para 20" e s e const'1J1te,aproxime, pOI' meio de diferenciais, 0 aumentopercentual da iluminancia,

49 A lei de Boyle afirma que, se a temperatura econstante, a pressao p e 0 volume v de urn gasconfinado estao relacionados pela formulapv = c (c constante) ou, equivalentemenle,p = clv, com v '" 0, Mostre que dp e dv estaoligados pel a formula p dv + v dp = O.

50 Na eletricidade a lei de Ohm afirma queI a VIR, onde I e a corrente (em ampere), Ve aforc;a eletromotriz (em volts) eRe a resistencia(em ohms). Mostre que dI e dR estao reJacionadospel a formula R dl + I dR a 0,

51 A area A de urn quadrado de lado s e dad a pOI'A =i, Se s e aumenlado de lis, ilustre dA eM - eM geometricamente.

52 0 volume V de urn cubo de aresta s e dado pOI'V = s3, Se s e aumentado de !J.s, ilustre dV e !J.V- dV geometricamente,

As regras de deriva<;ao obtidas em se<;6es anteriores tern objetivolimitado porque s6 podem ser usadas para somas, diferen<;as,produtos e quocientes queenvolvem.\JI, sen x, cos x, 19x etc. Naohi regra que possa ser aplicada diretamellte a express6es comosen 2x ou 'l/x2 + 1. Note que

Dx

sen 2x •• cos 2x

pois, aplicando a identidade sen 2x = 2 sen x cos x e a regra doproduto,

Dxsen2x=Dx(2senx cosx)

= 2Dx (senx cosx)

= 2[sen x (Dx cos x) + cos x (Dx sen x)]

= 2[ sen x (-sen x) + cos x (cos x)]

= 2( -sen2 x + cos2 x)

=2cos 2~

Como essas manipula<;6es sao bastante trabalhosas, vamosprocurar urn metoda mais direto para achar a derivada dey = sen 2x. A chave consiste em' encarar y como uma fun<;aocomposta de x. Assim, para fun<;6es f e g,

se y = f(u) e ~ = 8(x), enlao y = f(g(x)),

desde que g(x) esteja no dominio de f. A fun<;ao dada pory = f(g(x)) e a fun<;ao composta fog definida na Se<;ao 1.2. Noteque y = sen 2x pode ser expiessa desta forma porque

se y = sen u e II = 2x, entao y = sen 2x

Se pudermos achar uma regra geral para diferenciar y = f(g(x)),entao, como caso especial, podemos aplica-Ia a y = sen 2x e, naverdade, a y = sen g(x) para qualquer fun<;ao diferenciavel g.

Para ter uma ideia do lipo de regr~ que advira, voltemosas equa<;6es

~=f'(u), : =g'(x), e ~=(fog)'(x)

E importante notar que dy/du e a derivada em rela<;ao a u quandoy e considerado como fun<;ao de u e que dy/dx e a derivada emrela<;ao a x quando y e considerado como uma fun<;ao (compos-ta) de x. Se considerarmos 0 produto

Ex dudu dx

e tratarmos as derivadas como quocientes de diferenc.iais, cnlaoo produto sugere a seguinte regra:

Ex = Ex du = f(u)g'(x)dx du dx

Note que esta regra cOllduz a derivada correta de y = sen 2x,pois, se escrevermos

y = sen u e u= 2x

e aplicarmos a regra, obteremos

dv Ex du== - = (cos u)(2) = 2 cos u = 2 cos 2xdx du dx

Conquanto nao tenhamos provado que esta regra e valida,ela toma plausivei 0 pr6ximo teorema. Supomos as variavcisescolhidas de tal forma que a fun<;ao fog seja definida, e quese g tern derivada em x, entao f tern derivada em g(x).

, Seja lix urn incremento tal que tanto x COJ;110 x + lix estcjam 110

dominio da fun<;ao composta. Como Y = f(g(x)), 0 incrcmentocorrespondente de y e dado por

t>y = f(g(x + lix)) - f(g(x))

Se a fun~ao coni posta tern derivada em x, cntao, por (3.27),

Ex = lim Qxdx .•••-0 lix

Consideremos 'emseguida u = g(x) e seja D.u 0 incrclll 'nlO

.de u q_~e,c()rres~?~~e a ~; isto e,t>u = g(x + lix) - g(x)

g(x + &").; g(x) + lJ.u = u + lJ.u

podemos expressar a formula lJ.y = f(g(x + &"» - f(g(x» como

lJ.y = f(u + lJ.u) - f(lI)

EJ:.=f(lI)= lim ~du 6.<-0 lJ.1I

du '() I' lJ.1I-=g X = 1m-dx 6.<-0&"

Suponhamos que exist a urn intervalo aberto I con tendo xtal que, sempre que x + lJ.x esta em I e lJ.x •• 0, entao lJ.1I•• 0.Nesse caso, podemos escrever \

EJ:.= lim 0'.. = Jim (~lJ.1I) = (Iim 0'..) (Iim lJ.U)dx 11.,-0 lJ.x 6.<-0 lJ.1I lJ.x 11.,-0 lJ.x 11.,-0 lJ.x .

desde que os Jimites existam. Como g e difereneiavel em x, econtinua em x. Logo se lJ.x ~ 0, entao g(x + lJ.x) tende para g(x)e, port anto, lJ.u -+ 0. Segue-se que a ultima formula de limitepode ser escri la

EJ:. _ (Iim ~) (Jim lJ.1I)dx - 6.-0 lJ.u 11.,-0 lJ.x

= (~) (:) = f(lI)g'(x) = f(g(x»g'(x)

que e 0 que queriamos provar.

Em muitas aplicac;iies da regra da cadeia, 1I = g(x) tern apropriedade de que, se lJ.x •• 0, eotao lJ.u •• 0, 0 que supusemosno inkio do paragrafo precedeote. Se g nao satisfaz eslapropriedade, enlao todo intervalo aberto con tendo x con tern urnnumero x + lJ.x, com lJ.x •• 0, tal que lJ.u = 0. Nesle caso, nossademonstrac;ao nao e valida, pois lJ.u aparece em urn denom"fiiador.Para construir uma demonslrac;ao que leve em conta fuoc;iiesdesle tipo, sao necessarias tecnicas adicionais. No Ape1ldice Ifenconlra-se lIIna demo1lslrm;ao comp/ela da regra da cadeia.

Determinar ~ se y = {Ii e 1I = x2 + 1.

Regra da Potencia parafunyoes (3.34)

Nao podemos achar dy/dx utilizando formulas prcvias de dife-renciaC;,ao, todavia, aplicando a regra da eadeia (3.33), tern os

, . EJ:.= EJ:.du = (1. U-1n)(2x) = ~. dx dll a'( 2 {Ii

No Exemplo 1, a func;ao composla era dada por uma po-tencia de XZ + 1. Como as potencias de func;6es ocorrem comfrequencia no calculo, e conveniente estabeJecer uma regra geralde diferenciac;ao que possa ser apJicada a tais casos. No quesegue admitiremos que 11 seja urn numero racionaJ qualquer, guma func;ao diferenciiivel, e que nao ocorram zeros no denomi-~dor.Veremos mais adiante que esla regra pode ser aplicadapara qualquer numero realn.

.. . ",

ou equivale~temente;. --_ .._~~.... '~"'-':"-:-":"'.~'~'~:;~':;:"

- D~ [g(x)]" = ll[g(X)J"-1 Dxg(x)

DEMONSTRAGAo

0:. EJ:.dll .= -=nu"-ID lI=ll[g(x)]"-ID g(x)at du dx x x

EXEMPLO 2

Determinar f(x) se f(x) = (xl- 4x + 8)7

Aplicando a regra da patencia (3.34) com u = x5 - 4x + 8 eJl =7, temos

f(x) = Dx (xs - 4x + 8f= 7(xs - 4x + 8)6 Dx (xS - 4x + 8)

= 7(xS - 4x + 8)6 (5x4::- 4)

Determinar : se y = (4x'! + ~ _ 7)3

Escrevendo y = (4x'! + fix - 7>-3 e aplicando a regra da potenciacom u = 4x'! + fix - 7 e n = -3, temos

= -3(4x'! + fix _7)-4 ~ (4x'! + fix-7)

= -3(4x'! + fix -7)-4(8x + 6)

--6(4x + 3)= (4x'! + fix _7)4'

Escrevendo f(x) = (5x'!-x + 4)1/3e aplicando a regra da potenciacom u = 5x'!-x + 4 en =~, obtemos

f(x) =t(5x'!-x + 4)-2I3D. (5x'!-x + 4) (

= (~) (5x'!-~ + 4)213 (lOx -1)

10x-1= 3 V(5x'!-x+4)'

EXEMPLO 5

Determinar F '(z) se F(z) = (2z + 5)3(3z _1)4

Aplicando primeiro a regra do produto, em seguida a regra dapotencia e fatorando 0 result ado, obtemos

F '(z) = (2z + 5)3 D. (3z _1)4 + (3z _1)4 D, (2z + 5)3

= (2z + 5)3 . 4(3z -1)3(3) + (3z - 1)4 . 3(2z + W(2)

= 6(2z + 5)2(3z - 1)3[2(2z + 5) + (3z - 1)]

= 6(2z + 5j2(3z - 1)3(7z + 9)

EXEMPLO 6

Determinar y' se y = (3x + 1)6 V2x - 5

SOLUc;AoComo y = (3x + 1)6(2x - 5)112,temos, pelas regras do produto eda potencia

y' = (3x + 1)6i(2x - 5)-112(2)+ (2x - 5)1I26(3x + 1)5(3)

= (3~ + 18(3x + 1)5 ';2x - 5v2x-5

(3x + 1)6 + 18(3x+ 1)5(2x - 5)V2x-5

. (3x ~ 10)5(39x - 89)= V2x-5

o pr6ximo exemplo e interessante porque ilustra 0 falo deque, ap6s aplicar a regra- da potencia a [g(x)]', pode ser necessario~plica-la nova~ente para achar g'(x).

EXE~PLO 7

Deterrninar f(x) se f(x) = (7x + -..Ix'! + 6)4

f(x) = 4(7x +yxl+ 6)3 Dx (7x + v7+6)

= 4(7x + vxr+6)3 [Dx (7x) +Dx v7+6]

Aplicando novamente a regra da potencia, temos

Dx ..f7+6 = [)x(xl + 6)1/2 = ~(xl + 6tl/2 Dx (x2 + 6)

1 (2x)=_x_2vxr+6 fXl+6

f(x) = 4(7x + R+6)3 (7 + ,;/+ 6 )

Como outra aplical;3o da regra da cadeia, demonstra-se 0

seguinte.

,Sc:u = g(x)t; ~g-e '~iie!~~ci~Vtel; e?l~oT;,',:'_ ,,:,,,'.::;:';.~·.'t:·(;::"-J··:t.(.)t;~J.~~~.?;'...:.~Hi~l'~:~·~_~~..;.l(·:;:·~:':<·->';:~~~... :" /! •• ',,,:. ~l

Dxs~nu';;(cosu)Dxli Dxcos'u;'(-senu)D~'I/'"''': ·:-'.:::_-,/(}j-:10;.,LlC~~·.,- -' I, _: ~ :;. ;'1':: .r~,.~"'~:;~~'"

Dxtgu=(secZII)Dxu'" DxColu=(-eseZII)Dxu':-..•. ·1•..•:J\r-··;+,.-7fE~:.:'···.(···;littK; ". ',' _ ",' . ":' _~'-..~,.T, ':

Dx sec'u" (see lI,'tg II)Dx u ' Dx csc I/'';;'(-esc II eof iI) Dxll'. . ,., .;; ..•. '.,. '~; r,· ',." ,. " .

Fazendo y = sen II, enlao, por (3.25)

~=eoslldl/

Aplicando a regra da cadeia (3.33), obtemos

~ = ~ du = COS II D IIdx du dx x

As formulas reslantes podem ser obtidas de maneira analoga.

Note que 0 Teorema (3.25) e 0 caso especial do Teorema(3.35) com 11= X.

Aplicando a f6rmula para Dx cos II do Teorema (3.35) comII =5i' lemos

= [-sen (5x3)] Dx (5i')

= [-sen (5i')] (15i')

= -15i' sen (5i')

Para achar D;y, diferenciamos Dx y = -15x1 sen (5x3).

Usando a regra do produto e 0 Teorema (3.35), obtemos

~y = -15i' Dx sen (5x3) + sen (5x3) Dx(-15A2)

= -15x1 'cos (5x3) Dx (5x3) + [sen (5x3)](-30x)

= -:-15x1[cos (5x3)](15x1) - 30x sen (5x3)! ,.... .

= -225x4 cas (5x3) - 30x sen (5x3)

EXEMPLO 9

Achar f'(x) se f(x) = Ig3 4x

Note primeiro que f(x) = ti 4x = (tg 4X)3. Aplicando a regra doproduto com II = Ig 4x e n = 3, Iemas

Em seguida, pelo Teorema (3.35),

Dx Ig 4x = (see2 4x) Dx (4x) = (see2 4x)(4) = 4 sec2 4x

Assim f'(x) = (3 tg2 4x)(4se2 4x) = 12 tg2 4x sec2 4x.

Escrevendo y ~ (sen 6x)II' e aplicando a regra da potencia,obtemos

Em seguida, pelo Teorema (3.35),

Dx sen Ii\: = (cas 6x) Dx (6x) ~ (cos 6x)(6) ~ 6 cas 6x

. COllseqiientemente,

y' ~ ~ (sen 6x)-112 (6 cos 6x)

3 cas 6x 3 cos 6x~ (sen 6X)112 ~ "'sen 6x

A Figura 3.30 exibe a grMico de y ~ cos 2x + 2 cas x parao s x s 2Jl. Determine as pontos em que a tangente e horizontal.

A tangente e horizontal quando seu coeficiente angular DxY e0, isto e, se

Aplicando a f6rmula do angulo duplo sen 2x = 2 sen x cas x,temos

ou, equivalentemente,

Assim, au

0, 1t, 21[, 'ht/3, 41t/3.

As duas solu~iies x ~ 0 e x ~ 2",' nos dizem que as tangentes sachorizontais nos pontos extremos do intervalo [0, 2n]. As solu-<;iiesrestantes 2lt/3, 1te 41t/3 sao as coordenadas-x dos pontos P,Q e R nlostrados na Figura 3.30. Usando y ~ cos 2x + 2 cosx,vemos que as tangentes horizontais ocorrem nos pontos

Se quisermos apenas solu<;iies aproximadas, entao, a menos deum decimo, obtemos

. dExercs. 1-6: Use a regra da eadeia para aehar ~ e

expresse a resposta em termos de x.

Y = II';~.J.i. :

2 y=~;

y = tg 311; II = x'6 y = 1/sen 1/; 1/= x3

...' Exercs. 7:62: Calcule a derivada ..\

7 f(x) = (x2 -3x + 8)3I~l.l : .

8. f(x) = (4x3 + 2x' -x - 3)2

9 g(x) = (8x - 7)-5

'io k(x) = (5x2 - 2x + 1)-3

x.~lJ(x)= (x2 _1)4

x'-3x'+ 1}~. g(x) ~ (2x + 3)'

13 f(x) = (8x3 - 2x2 + X - 7)5 ..rl' _ .. : ,.,,; .·14,g(w)= (wI-8w' + 15)4

.' '~', ,'.,. '. . .

15 F(v) = (17v _ 5)1.000

16 S(I) = (4t5 - 3t3 + 21)-2

17 'N(x) = (& - 7)3(8x2 + 9)2

18 f( ••.) ~ (2~ - 3w + 1)(3w + 2)4

6

19 g(Z)=(Z2~~)3

20 5(1) = (31 + 4)61-7

21 k(r) = ~8fJ + 27

22 h(z) = (222 - 9z + 8)-m

523 F(v) = \fyS _ 32

~ ~-4w+3og(w) = w3!2.

2x+327 li(x) = o,f4x' +9

29 k(x) = sen (xl + 2)

31 li(O) = cos5 30

33 g(z) = see (21 + 1)2

35 li(s) = cot (sJ - 25)

124 k(s) = o,f3s _ 4

30 f(1) = cos (4 - 3r)

32 g(x) = sen4 (,r3)

34 k(z) = ese (z2 + 4)

36 f(x) - tg (2x' + 3)

1/11 1.1""1,,, "", (/"'II1/1',rI" iI_I_'"_II'_i,_,,,__ C...,,"J'-',_3 _

II 1(') , OI~ ( " ') , ('liS :Ix

II I III) I ~,J I'll

H II) ,'till 'II

/1(11) 11'11 n,llI

N(l) ('HIll 't\ ,'OS 5x)~

jll h(II') ~ \ \/'1 ~,"

I 1t.'11 'hv

I(,)~I",' 7 \ S 'c3 2<

"(Iii) ~ (11\ 7'" S 'e 2.W

1(('~IHi;, 'x

A(II) ~ 1\",1 v.1 -HiT

II .(1) V "II 1/ cosii"

I (,)-V,", IgV?+T

/I "(.II) _ "01411',fll' "\

II AI(,) ~ I"'c v'1x+J

III III \) - vII , 'sc· 3x

38 g(w) ~ tg3 6w

40 M(x) c see (l/x2)

42 G(s) ~ s cse (S2)

46 p(v) c sen 4v csc 4v

48 g(r) = sen(2r + 3)4

50 fIx) = sec 2x1 + tg 2x

60 F(s) = v'cse 2s

62 f(t) - sen2 21v'eos 21

I ~lll"~, (,,1.6H: (II) Delermine equa,6es da langente, 1111 1111111,"1 It" gr['fieo da equa,ao em P, (b)11,1, ,,,III1l' II 'oorrlellada·x no gratieo em que a1111111 lit" h," i,olliai.

(,\ " (.1, K•..• 3)"; P(2,81)

It! "- ( , 1)"'; P(l,l)

(I I' ~ (, ~f P(l,32)

'1(1 I' - v),.' ,:"1'; P(-l,V3)

(,I I' - II , Sell Jx; P(O, 0)

loll " - \ , ('os 2T; P(O, 1)

I "II'~,M·74: Calcu!c a primeira e a segunda de-i1vlltlllll,

70 k(s) = (s2 + 4)213

72 fIx) = ~lOx + 7

Exercicios 75-76: Use diferenciais para obter uma~proxill1a,ao do valor.

75 'V'65 (Sugeslao: Tomar y = ~)

76 m77 Se urn objeto de massa m tern veloeidade v, enlao

sua energia sinetiea K e dada por K _ ~ mv2, Se

ve fun,ao do tempo I, use a regra da eadeia paraestabeleeer uma formula para dK/dt.

78 Ao ser infJado um baliio esferico, seu raio r efun,ao do tempo I. Se V e 0 volume do balao,use a regra da cadeia para estabelecer umaformula para dV/dl,

79 Ao ser lan,ada no espa,o uma nave espacial, 0

peso de urn astronauta decresce ale alingir urnestado de imponderabiJidade. 0 peso W de urnastronauta de 150 lb a uma altitude de x quiJ6-metros acima do nivel do mar e dado por

(6400 )2

W= 150 6400+x

Se a nave se afasla da terra a razao de 6 km/s, aque taxa decresee W quando x = 1.000 km?

80 A rela,ao comprimento-peso de certo peixe doPacifico e dada por W = 10,375 L3, onde Leocomprimenlo em melros eWe 0 peso emquilogramas, A taxa de crescimenlo do compri-mento dL/dl e dada por 0,18 (2 - L), onde I e 0tempo em anos,

(a) Eslabele,a uma formula para a taxa de cres-cimento no peso dW/dl em terrnos de L.

(b) Use a formula em (a) para estimar a taxa docrescimenlo do peso de urn peixe que pesa20 quiJogramas.

81 Se K(x) = f(g(x» e se f(2) = -4, g(2) c 2,f'(2) = 3 e g'(2) = 5, determine k(2) e k'(2),

82 Sejam p, q e r fun,6es tais que p(z) = q(r(z». Ser(3) = 3, q(3) = -2, ,,(3) = 4 e q'(3) = 6, determinep(3) e p'(3).

83 Se ](1) = g(h(l)) e se f(4) = 3, g(4) = 3, "(4) = 4,1'(4) = 2 e g'(4) = -5, calcule "'(4).

84 Se II(X) = v(w(x») e se ~{O)= -1, w(O) = 0,11(0)= -I, v'(O) = -3, e "'(0) = 2, calcule w'(O).

@]85 Seja" = f 0 gllma funt;ao diferenciavel. A tabelaa seguir reJaciona alguns valores de f e g, Use 0

Exercicio 51 da Se,ao 3.2 para obter uma apro-xima,ao de h'(l, 12).

@]86 Seja" = jog um~ funt;ao diferendavei, As tabe-las seguintes relacionam alguns vaJores de f e g.Use 0 Exercicio 51 da Sec,ao 3,2 para obler umaaproximat;ao de h'(-2).

-8,46000

-8,46000

87 Se f e diCerenciavel, use a regra da cadeia paraprovar que

(a) se f e par, entao I' e impar

(b) se f e impar, enlao I' e par.

Use funt;6es polinomiais para dar exempJos de(a) e (b).

88 Use a regra da cadeia, a formula da dcriva,aopara Dx sen II, junlo com as identidades

cosx=sen(~-x) e senx=cos(~-x)

para obler a formula para Dx cos x

89 ()S 'pinipedes saouma subordem,dos mam([eros',:carn(voros ,aquaticos;'tais como foeas e morsas,

cujos pes evoluem para nadadeiras. A rela,aocomprimento-peso durante 0 cresci menlo fetal edada por W = (6 x 1O-5)L2,74, ondeL e 0 compri-mento em centimetros eWe 0 peso em quilogra-mas.

(a) Use a regra da cadeia para estabelecer umaformula para a taxa de crescimenlo no pesoem rela<;ao ao tempo t.

, (b) Se 0 peso de uma foca e de 0,5 kg e varia arazao de 0,4 kg por mes, qual a laxa devaria,ao do comprimento?

90 A formula para a expansao adiabatica do ar epvlA _ c, onde pea pressao, v 0 volume e c umaconstante. Estabele<;auma formula para a taxa devaria.,ao da pressao em rela.,ao ao volume.

91 A area da superffcie curva de urn cone circularrelo de altura h e raio da base r e dada porS = 1U' v;r:;:;;r. Para urn certo cone, r = 6 em. Aaltura e medida em 8 centfmetros, com urn erromaximo de medida de ±O,l centimetros.

(a) Calcule S a partir das medidas e use diferen-ciais para estimar 0 erro maximo no calculo,

92 0 perfodo T de urn pendulo simples de compri-menlo I pode ser calculado pela formulaT = 21tIlii, onde g e uma constanle gravitacio-nal. Use diferenciais para obter uma aproxima,iioda varia,ao de I que resulte em urn aumenlo de1% em T.

", '/I· .',

, .....•..•:....'~.: _ ....•.

Os gnlficos de f e g sac os sernidrculos superior e inferior,respectivarnente,do drculo uniUirio(veja a Figura 3.31(i) e (ii)).Para achar outras fun"oes implicitas, podemos considerar urnnumero arbitrario a entre -1 e 1 e defin/. a fun"ao k por

\

"';1-2 se-1 xsa

k(x) =-"';1-2 sea xsl

(i) (ii) (iii)

costumamos dizer que y e uma fum;ao explicita de x, poispodemos escrever

y = f(x) com f(x) = 2x2 - 3

42-2y= 6

define a mesma fun"ao f, pois, resolvendo em rela"ao ay, temos

-2y = -42 + 6, ou y = 22- 3

:ara ,o.caso 42- 2y = 6, dizemos que y (ou f) e uma fun<;iioImphclta de x, ou que f e a definida implieilamenle pela equa"ao.Substituindo y por f(x) em 4x2 - 2y = 6 obtemos

4.•.2 - 2f(x) = 6

42-2(22-3)=6

42- 42 + 6 = 6

A Figura 3.31(iii) da urn esbo"o de k. Note que h:l umadescontinuidade tipo saito em x = a. A fun<;ao k e definidaimplicitamente pela equa"ao 2 + 1= 1, pois

••.2 + [k(x)f = 1

A ultima equa<;aoe uma identidade, pois e valida, para todo xno d~mi~io d.e.f- Esta e urna caracteristica de toda fun"ao f~efm!~a Imphcltarnente por uma equa"ao em x e y; isto e, f Iilmphezta se e somenle se a substitui/.;lio de y por J(x) eonduz' aum.a identidade. Como (x, f(x)) e urn ponto do grafico de f, at11~m~afirma"ao implica que 0 grafteo da fulll;lio imp/(cilaeomelde com uma parle do (ou lodo 0) grafteo da equar;iio.

. No proximo exemplo mostrarernos que uma equa"ao em xe y pode defmir mais de uma fun"ao implicita.

para todo x no dominie de k. Dando a a diferentes valores,podemos obter tantas fun"oes implicitas quantas quisermos.Muitas outras fun"oes sac definidas implicitamente por••.2 + y2 = 1, e 0 grafico de cada urna e uma parte do gr:lfico daequa"ao.

Quantas fun¢es distintas sac definidas implicitamente pelaequa"ao 2 + y2 = I?

para todo x no dominio de f; todavia, nao existe uma maneira6bvia para resolver em rela"ao a y em termos de x de forma aobter f(x). E possive! dar condi"oes sob as quais uma fun"iioimplicita existe e e diferenciavel em pontos do seu dominio;entretanto a dernonstra"ao exige metodos mais avan"ados e ~omitida. Nos exemplos que seguem admitiremos que a equac;aodada em x e y define ul1)'!fun~o difereilciavel f tal que se y 6substituido por f(x), a equa~o se toma uma identidade para todox no dominio de f. Pode~se"entaoachar a derivada de f pelo

o grafico de 2 + y2 = 1 e 0 cfrculo unitario com centro naorigem. Resolvendo em rela"ao a y em termos de x, obtemos

y=±v'1- .•2~

Duas fun"oes f e g definidas implicitamente pela equa"ao sao

f(x) = vr=xr e g(x) =-vr=xr

mClodo ua dircrcncia~ao implicita, segundo 0 qual diferencia-IlIUS cada Icrmu ua cqua~ao em rela~ao a x.

I

Au aplicar a diferencia~ao implicita, e muitas vezes neces-s~rio considerar Diy') para alguma fun~ao desconhecida y dex, t1igamos y ~ f(x). Pela regra da potencia (3.34) corn y = 11,

potlcmos escrever D.(yn) em qualquer uma das seguintes formas:

D (yO) = /1'1' -I D y ~ /1'1' -1y' = 1Iy" - I~l.• f • f ~

Como a varia vel dependenle y representa a expressao f(x), eeS.l'ellcia[ multiplicar nyn -I pela derivada y' aD difereociarmos yel11rela<;ao a x. Assim,

Supondo que a equa~ao l + 3y - 4.i' ~ 5x + 1 defina, implicita-mente, uma fun~ao diferenciavcl f lal que y = f(x), determinesua derivada.

Consideramos y como urn simbolo que denota f(x) e a equa~aocomo uma identidade para todo x no dominio de f. Como asderivadas de ambos os membros sao iguais, ob!emos:

D. (y4 + 3y - 4.i') = D. (5x + 1)

D, (y4) + D. (3y) -D. (4xl) = D. (5x) +D, (1)

41 y' + 3y' - 12r = 5 + 0

, 12\"2 + 5y ~ 41 +3 '

desde que 4y' + 3 '" O. Assim, se y = fix), enUio

. 12~ +5f (x) = 4(f(x))J + 3

'. As duas iiltimas equa<;6es na solu~ao do Exemplo 2evideneiam .uma desvantagem da uliliza~ao do metodo dadiferencia~ao implicita: a f6rmula de y' (ou f' (x» pode conler apr6pria expressao y (ou f(x». Mesmo assim, essas f6rinulaspodem ser muito iiteis para a analise de f e seu grafico.

No proximo exemplo utilizamos a diferencia<;ao implicitapara determinar 0 coeficiente angular da langente em urn pontop(a, b) do grafico de uma equa<;ao. Em problemas desle tipoadmitirernos que a equa<;ao define uma fun~ao implicita f cujografico coincide com 0 grafico da equa<;1iopara lodo x em algurninterValoaberto contendo d. Note que, como p(a, b) e urn pontodo grafico, 0 par ordenado (0, b) deve ser uma solu~ao da

. cqua~ao ..

Determine 0 coeficiente angular da langente ao grafico de

y4 + 3y - 4xl = 5x + 1

o ponto P(l, -2) esta no grafico, pois fazendo x = 1 e y = -2,vem

o coeficieote angular da tangente em P(l, -2), e 0 valor daderivada y' quando x = 1 e y = -2. A equa~ao dada e a mesmaque a do Exemplo 2, onde obtivcmos y' = (1~ + 5)/( 4y3 + 3).Subslituindo x por 1 e y por -2 obtemos 0 seguinte, ondey'](I,-2) denota 0 valor de y' quando x = 1 e y = -2:

Se y = f(x), onde f e definida implicitamente pel a equa~ao.~ +l = 1, determine y'.

SOLuGAoNo Exemplo 1 mostramos que ha urn numero' ilimitado defun~6es implicitas definidas por x2+ y2 = 1. Tal como no

y' =-~ se y '" 0y

Exemplo 2, diferenciamos ambos os membros da equa<;ao emrela<;ao a x, obtendo

Agrupando os termos que contem y' e transpondo os outrostermos para 0 membro direito da equa<;ao, temos:

Dx (x2) + D)y2) =Dx (1)

2x+2yy' = 0

, 5- 3r + 2xy - 4ry = 12xy2-r

12xy2-r '"O.

o metoda da diferencia<;ao impHcita da a derivada dequalquerfun<;ao diferenciavel definida por uma equa<;ao em duasvariaveis. Por exemplo, a equa<;ao x2 +i = 1 define muitasfunct6es implicitas (veja 0 Exemplo 1). Pelo Exemplo 4, 0coeficiente angular da tangente no ponto (x,y) em qualquer doS-.,graficos da Figura 3.31 e dado por y' = -x/y, desde que a derivadaexista.

Diferenciando ambos os membros da equa<;ao em rela<;ao a x cusando a regra do produto, obtemos

DxY =r Dx (seny) + (seny)D)r)

Como y = I(x) para alguma functao (impHcita) I, temos, pdoTeorema (3.35),

Diferenciando ambos os membros da equactao em rela<;ao a xtemos Usando esta equactao e 0 fato de que Dx (r) = 2x, pod mON

reescrever a primeira equactao da nossa solu<;ao como

Como y denota I(x) para alguma functao f, deve-se aplicar aregrado produto a Dx (4~y3) eDx (x2y). Assim

DxY = (r cos y) DxY + (sen y)(2x),

y , = (r cos y)y' + 2x sen y

Dx (4~y3)= 4x Dx (y3) + r Dx (4x)

= 4x(3y2y') + r(4)

= 12xy')!' + 4r

Dx (x')!) =~:ZDxY+ yDx (r)

= x')! , + y(2x)

Substituindo essas express6es na primeira equactao da soluctao ediferenciando os out~os term os, obtemes

Finalmente, resolvemos em rela<;ao a y' como segue:

y , - (r cos y)y' = 2x ;en y

(1_x2 cosy)y' = 2x seny

2x senY'=1-x2cosy

No proximo exemplo calcularemos a dcrivadll S 'l\II,lIIU tliuma fun<;ao impHcita.

EXEMPLO 7 .

.Cai~~le},sei+3y-4xl=5x+ 1

A equac;ao ja foi estudada no Exemplo 2, na qual verificamosque

, lU + 5Y = 41 +3

"=D (y') =D (12r + 5)Y • • 41 + 3

Aplicamos agora a regni do quociente, diferenciando implicita-mente como segue:

(41 + 3)(24x)- (IU + 5).121

(41 + 3)-

(41 + 3j2(24x) - 12/(IU + 5)l(41 + 3)3

1,", I lij:i\ulllilindoqneaequa~aodetennineumalilili. "illl"Il'lIri"vcl f lal que y = f(x), calcule y '.

Iii' I \,1 _ III

~,' ,)' II'~_()

tl,'lil,,),I.\,yJ+2x=O

9 x2+vxy =7

11 senz 3y = x + y - 1

10 2t-vxy + y3 = 16

12 x = sen (xy)

14 y2 +) =xz'secy

15 y2 = x cosy

17 x2 + ';sen y - yl = 1

16 X)' = tgy

18 sen vy - 3x = 2

Exercs. 19-22: Dau-se a equa~ao de uma curvac1assica e seu gr8rico, para conslantes posilivasa e b. (para maiores delalhes consulte qualquer livrode geornelria analitica.) Determine 0 coeficienteangular da tangenle no ponto P, para os valores dadosde a e b.

22 Cone/wide de Nicomedes:(y - a)l(xz + y2) = b2yl;

Exercs. 23-28: Determine 0 coeficiente angular datangente ao griifico da equa<;ao em P.

23 xy + 16 = 0

24 y2_4x2=5;

P(-2,8)

P(-I,3)

P(2,-3)

P(I,21I:)

P(2,3)

Exercs. 29-34: Admitindo que a equa~ao defina urnafun<;ao [ tal que y = [(x), ca1cule y", se existir.

30 5x2 - 2y2 = 4

32 x2y3 = 1

34 cosy = x

Exercs. 35-38: Quanlas func;6es irnplfcitas sao defi-nidas pela equa~ao?

35 XI + y4 - 1 = 0

/37 x2 + y2 + 1 = 0

39 Mostre que a equa<;ao i = x define urn niirneroinfinilo de fun<;6es implfcitas.

40 Use a diferencia~ao implfcila para rnoslrar que,

se Pc urn ponto do circulo x2 +i = i,entao atangente em P e perpendicular a OP.

41 Suponha que 3x2 - x2y3 + 4y = 12 defina urnafun~iio diferenciavel 1 tal que y = f(x). Se1(2) = 0, ulilize diferenciais para aproxirnar avaria<;ao de I(x) se x varia de 2 a 1,97.

42 Suponha que x3+xy +l = 19 determine umafun~ao diferenciiivel f tal que y = f(x). SeP(1,2) e urn ponto do griifico de f, aproxime,por meio de diferenciais, 0 valor b da coordena-da-y do ponto Q(l,l; b) do gnifico.

@ 43 Suponha que x2 + xy3 _ 4,0764 determine umafun~ao diferenciavel f tal que y = f(x).

(a) Se P(1,2; 1,3) e Q(1,23; b) estao no gnifico,use (3.31) para aproximar b.

(b) Aplique 0 metodo de (a), com Q(1,23; b),para obter uma aproxima~ao da coordenada-yde R(l,26; c). (Este processo, conhecido

como Metodo de Euler, pode ser repetidopara obter aproxima~6es de outros pontos dografico.)

~ Suponha que sen x + y cos y = -2,395 defina umafun~o diferenciavel f tal que y - f(x).

(a) Se p(2,1; 3,3) e uma aproxima~ao de urnponto do griifico de f, use (3.31) para obteruma aproxima~ao da coordenada-y deQ(2,12; b).

(b) Aplique 0 metodo de (a), com Q(2,12; b),para obter uma aproxima~ao da coordenada-yde R(2,14; c).

Por (3.7)(ii), podemos interpretar as derivadas dxldl e dyldlcomoas taxas de varia~ao de x e y em rela~ao a I. Como casu especial,se f e g sao fun~6e!> positivas para pontos que se movem emuma rela coordenda, entao dtldl e dyldl sao as velocidades dessespontos (veja (3.2». Em outras situa~6es essas derivadas pode~representar taxas de varia~o de quantidades ffsicas. .

Em certas aplica~6es, x e y podem eslar relacionadas poruma equa~ao como x2 - i -2x + 7/ - 2 = O.

Diferenciando est a equa~ao implicitamente em relal;iio aI,oblemos

d d d d d d. - (r) -- (I) -- (2x) +- (7/) -- (2) =- (0)

dt dl dt dl dt dl

Aplicando a regra da potencia (3.34) com I como varhivelindependente, temos

As derivadas dxldl e dyldl sao chamadas taxas relacionadas,porque estao relacionadas por uma equa~ao. Tal equa~ao podeser usada para achar uma das taxas, quando se conhece a outra.Os exemplos seguintes dao varias itustra~6es.

Duas variaveis x e y sao fun~6es de uma variavel t e estao ligadaspeta equa~ao

f-2j'+5x= 16

Se dxldl = 4 quando x = 2 e y = -1, determine dyldl.

Diferenciemos implicitamente a equa~ao em reta~ao a I comosegue:

d d d d- (f) -- (2y2) + -d (5x) = -d (16)dl dl I I

dx dv dx3r--4y=+5-=0

dl dl dl

(3x2 + 5) dx = 4y tJJ:dt dl

tJJ:_ 3x2 + 5 dxdl - 4y dl.

A ultima equa~ao e uma formula geral que relaciona dx/iltdyldt. Para 0 casu especial dxldl = 4, x = 2 e y = -1, oblemo~

tJJ:=3(2f+5.4=_17dt 4(-1)

Vma escada de 6 m de comprimento esta apoiada em unHI pilr'lIvertical. Se a base da escada come~a a deslizar horizontall1l 'IIte,11 razao de 0,6 mis, com que velocidade 0 topo da escada per 'oroa parede, quando esta a 4 rn do solo?

Comecemos por esbo~ar a posi~ao geral da escada confOl111 11Figura 3.32, onde x denota a distancia da base da paretic 1111{da escada e y denota a dislancia do solo ao 10po da c~ 'iltl I,

Consideremos a seguir 0 problema abaixo, que envolve aslaxas de varial;ao de x e y .em relal;ao a t:

dxdt ~ 0,6 mls

~ quando y ~ 4 m

Pode-se obler uma equal;ao relacionando x eye aplicandoo leorema de Pilagoras ao lriangulo relangulo formado pelaparede, pelo solo e pela escada (veja a Figura 3.32). Obtemos

x2+l~36

Diferenciando ambos os membros da equal;ao implicitamenleem relal;ao a t, lemos:

d , d(y,) d( )-(r)+- - ~_..36dt dt dt

dx dy2-.: di + 2y dt' ~ 0

!!y. x ,hdt ~-y dt

desde que y •• O.

A lIltima equal;ao e uma formula geral relacionando as duaslaxas de varial;ao dxldt e dy/dl. Consideremos entao 0 casoespecial y ~ 4. 0 valor correspondente de x pode ser dado por

x2 + 42 ~ 36 ou x2 ~ 20

Assim, x ~ VJ15 quando y •. 4. Levando em conla esses valoresna formula de dy/dt, obtemos

dy ~ _ VJ15 (0 6) = _ 0 67 mlsdt 4' ,

Eis algumas diretrizes para resolver problemas de laxasrelacionadas do lipo ilustrado no Exemplo 2.

Diretrlzes para resolver ,.problemas de taxas .relaclonadas (3.36) ······lti~;;'J~~~~~~;~~~;;i~~~

:-.J3}'&creve'j: todcis" os fatos conhecidos, expressando as.'. '.'·;'~'ta~~,"'C' h~cidas'\e''iles~0I1hecidas' 'c~moc i:Ier'ivadas' das '

···fl~llllil'i~~~~~;;"Um erro comum consiste em antecipar a introdw;iio de

valores numericos espeC£ficos para as taxas e quantidadesvariaveis. Tenha em mente que se deve, primeiro, obter umaformula geral que relacione as taxas de varial;ao, em urn instantearbilrario t. Os valores nunll!ricos s6 devem ser introdllzidos 110

estcfgio final do processo de resohlfiio do problema,

A 1h 0 navio A esta a 25 mil has ao sui do navio B. Se 0 navioA esla navegando para 0 oeste a razao de 16 milh e 0 navio Besta navegando para 0 sui a razao de 20 milh, determine a razaona qual varia a dislancia enlre os navios a 1h30 min.

Denotemos por to numera de horas ap6s 1h, Na Figura 3.33, Pe Q san as posil;oes dos navios a Ih, x e y san os numeros demilhas por eles percorridas em t horas, e z e a distancia enlre osnavios apos t horas. Nosso problema pode ser enunciado comosegue:

:~16milh e ~~20mi/h e

didt quando t ~ ~ Iz

Aplicando 0 teorema de Pitagoras ao trifmgulo da Figura3.33, obtemos a seguinte equal;ao geml ligando as variaveis x,y e z:

Diferenciando implicitamente em rela«;ao ate aplicando asregras da potencia e da cadeia, obtemos

d d dIii (r) ~ Iii (r) + Iii (25 - yj2

2z ~~ ~ 2x ~ + 2(25 -y) (O-~)dz - dx (y )ft

z dt =x dt + - 25 dt

A Ih30 min. os navios viajaram meia hora e

Z2 = 64 + 225 = 289, ou Z = V289 = 17

Levando em conta a ultima equa«;ao que envolve dz/dt, temos

17 ~ = 8(16) + (-15)(20)

dz 172dt =-17=-1O,12milh.

a sinal negativo indica que a distlincia entre os navios estiidiminuindo 11 Ih30 min.

autro metoda de resolu«;ao consi.ste em escrever x = 16t,Y = 20t, e -

z = [r + (25 - yj2r12 = [256P + (25 - 20tj2PI2

Pode-se entao achar a derivada dz/dt, e a substitui«;ao de t por~ dii a taxa de varia«;ao desejada.

Urn tanque tern a forma de urn cone circular reto invertido, com4 de altura e 2 m de raio da base. Se a iigua entra no tanque 11razao de 0,001 m3/min, calcule apriiximada,mente a razao na qual-0 nivel da iigua estii sub indo quando a profundidade e de 1 m.

Come«;amos fazendo urn esbo«;o da situa«;ao (Figura 3.34), comr denotando 0 raio da superffcie de iigua quando a profundidadee II. Note que tanto r como II sao fun«;6es do tempo t.

Em seguida:

~~ = 0,001 m3/min

dlldi quando II = 1 m

a volume V de iigua no tanque correspondente a profun-didade II e

Esta formula de V relaciona V, r e II. Antes de diferencimimplicilamente em rela«;ao a t, expressemos V em termos de umaunica variiivei. Atentando para a Figura 3.34 e utilizandosemelhan«;a de trilingulos, obtemos

IIau r=-

2

1 (h)2 1V = - n - h = - nll33 2 12'

Diferenciando implicitamente a Ultima equa«;ao em rela«;ao a tobtemos a seguinte relac;ao geral entre as taxas de varia«;ao deV e de II no instante t:

dV = lrrN dlldt 4 dt

dh 4 dVdi = nh2 di

Finalmente, fazendo II = 1 e dV/dt = 0,001 m3/min, obtemos

dlz 4 .-d = -( )2' (1) = 1,27 nnlmm

t nIl·I>o,ooi

Urn farol girat6rio faz uma revoluc;ao em 15 segundos. a farolestii a 60 m do ponto mais proximo P em uma praia retilfnca.Determin-e a raz30' na qual urn taio de luz do farol esta scmovendo aolongo da praia em urn ponto a 150 m de P.

:- ••!l. L

A Figura 3.35 e urn diagrama do problema. B denola a posi~aodo farol e ljl e 0 angulo entre BP e 0 raio de luz ate 0 ponto Sna praia a x unidades de P.

Como 0 farol faz 4 revolu~6es por minuto, 0 angulo ljlvaria11 raz30 de 4.2n: radianos pOT minuto; isto e, dljl/dt ~ 8n. Dotriangulo PBS temos:

tgljl=~ 60

~ = 60 see2ljl ~~ = (60 see2ljl)(8n) ~ 480 see2ljl

Se x = 150, BS = v602 + 1502 = Y26,100 ~ 10V26f c

see ljl= 10Y26f = V26f60 6

dx 261 .Logo, dt ~ 480 n see ljl= 480 n 36 = 3.480 •••10.933 rn!mm

A Figura 3.36 mostra urn painel solar de 3 m de largura equipadocom urn ajustador hidraulieo. A mcdida que 0 sol se eleva, 0painel e ajuslado automaticamentc de modo que os raios do solineidarn perpcndieularmenle nele.

(a) Determine a rela~ao entre a taxa dy/dt 11 qual 0 painel deveser abaixado e a taxa dB/dt 11 qual 0 angulo de ine]jna~aodos raios au menta.

SOLuQAo(a) Denotando ljl 0 angulo BAC da Figura 3.36, entao,.

pela geometria plana, ljl=90'-B=~n-B. Como

dljl/dt = dO/dt, ljl deeresee a mesma razao 11 qual ljl eresee.

No triangulo BAC, vemos que

.Lsen ljl= 10'

ou y = 30 sen ljl~ 30 sen (~n - B)

Difereneiando implieitamente em rela~ao ate usando aidentidade cos(~ n - 0) = sen 0 vem

El = 3 eos (In - B) (0 - dO) = _ 3 sen B dOdt , dt dt

(b) Transformando em radianos: IS' = 15(lt/180) = n/12 rd.Fazendo dB/dt = n/12 rd/h e B = 30' = n/6 na expressao dedy/dt, obtemos

El = _ 3 (1) (.2!...) = ~ •••-0393 mlhdt 2 12 8' .

Execs. 1-8: Adrnita que tadas as varhiveis sejamfun,6es de t.

1 S 7 dte A = x- e dr = 3 quando x = 10,

d. dw

etenmne d!'

5 Se x2 + 31 + 2y = 10 e ~ = 2 quando x = 3 e

delennine dA.dt y = -1, determine ~7'dz dS2 Se S = z3 e -d = - 2 quando z = 3, delermine-.

t dt

3 Se V = _5p3f2 e dV = -4 quando V = -40,de

quando x = -2 e y = 1, determine ~.dt

determine tiEdt'

7 Se 3x2y + 2t = -32 e !fft = -4 quando x = 2 edP

4 Se P = 3/w e di = 5 quando P = 9,. dx

Y ~ -3, determIne dr'

8 Se _X2y2 - 4y ~ -44 e !!:! = 5 quando x = -3 edr

2 d. tJl'-

y = , etennme dr'\

9 Ao ser aquecida uma chapa circular de melal, seudiametro varia 11razao de 0,01 em/min. Delermi-ne a taxa 11qual a area de uma das faces variaquando 0 diametro esla em 30 em.

10 Urn ineendio em urn campo aberto se alastra emfonna de drculo. a raio do dreulo aumenla 11razao de 1 mlmin. Detennine a taxa 11qual a areaineendiada esta aumentando quando 0 raio e de20m.

11 Gas esla sendo bombeado para urn balao esferieo11razao de 0,1 m3/min. Ache a taxa de varia<;aodo raio quando este e de 0,45 m.

12 Suponha que uma bola de neve (esferica) estejase derretendo, com 0 raio decrescendo 11razaoconstante, passando de 30 em para 20 cm em 45minulos. Qual a varia<;ao do volume quando 0

raio esta com 25 cm?

13 Uma escada de 6 m de comprimenlo esta apoiadaem uma parede vertical. Se a base da eseadacome<;a a deslizar horizontaJmente 11razao de1 mis, com que velocidade 0 topo da eseadapercorre a parede, quando csta a 2,5 m aeima dosolo?

14 Uma pessoa parte do ponto A em dire<;aoleste a3 mls. Um minuto depois, outra pessoa parte deA em dire<;ao norte a 2,5 m/s. A que taxa esta'variando a distaneia entre elas 1 minuto ap6s apartida da segunda pcssoa?

15 Uma luz esta no alto de urn poste de 5 m. Ummenino de 1,6 m se afasta do poste 11razao de1,2 mls. A que taxa se move a ponta de suasombra quando ele esta a 6 m do poste? A quetaxa aumenta 0 comprimento de sua sombra?

16 Um homem em urn cais puxa urn bote por umaeorfa amarrada 11proa do mesmo a 0,5 m acimado nivel da agua e passando por uma poliasimples localizada na beira do cais a 2,5 m acimado nivel da agua, Se ele puxa a corda 11razao de0,5 mIs, com que velocidade 0 bote esta se .aproximando do cais quando a proa esta a 8 mde distancia de urn ponto direlamente abaixo dapolia?

17 A parte superior de urn siRNem a fonna de umhemisferio de 1,5 m de raio' e eSla revestidaunifonnemente de uma camada de gelo. SC--{espessura da camada de gelo decresce 11razao de0,6 cm/h, 'qual a taxa'de varia<;aodo volume degelo quando a camada tern 5 em de espessura?

18 A areia que vaza de urn dep6sito fonna uina pilhaconica cuja altura e sempre igual ao raio. 'Se aaltura da pilha aumenta 11razao de 15 c:m/min,delennine a laxa 11qual a areia esta escoandoquando a altura da pilha e 25 cm.

19 Uma pessoa que solta urn papagaio segura a cordaa 1,5 m do solo; a corda e liberada 11razao de0,6 mls na medida em que 0 papagaio se movehorizontalmenlea uma altura de 33,5 m. Supondoque a corda fique sempre lensa, detennine a taxa11qual 0 papagaio esta se movendo no instanteem que foram Iiberados 38 m de corda.

'I'"

" 20 Urn balao de ar quente sobe verticalmente 11r:i' medida que uma corda, amarrada 11sua base, er:',liberada 11razao de 1 mlm. 0 carretel que libera

a cordaesla a 6,5 m da platafonna onde ospassageiros embarcam (veja a figura). A que taxao baJao esta subindo quando tiverem sido Iibera-dos 150 m da corda?

,.,

, ,., ;~;.~J;,-.:.:': ..•.

.~;,!;.~:;;~~~"

21 A lei de Boyle para gases confinados afirma que,,'" se a temperatura pennaneee constante, entao.:. pv = C, onde pea pressao, v 0 volume e e uma"'.,constante. A, cerlo instante, 0 volume e;<;'.l,2:J0·cm3, a pressao i de 206 k/cm2 e a pressao'; ',decresce 11razaq de 1 kmlcm2. Em que taxa estai;>,varando 0 volume nesse instante? '

22 Urn cabo de 30 m de comprimento e 10 cm dediametro e submergido em agua do mar. Emvirtude da corrosao, a area da superficie do cabodecresce 11razao de 4.500 cm2/ano. Ignorando acorrosao nas extremidades do cabo, ache a taxa11qual 0 diametro esla diminuindo.

23 As extremidades de um cacho de 2,5 m de campri-mento slio triiingulosequilateros cujos lados tern 60em de comprimento (veja a figura). Se a agua estaentrand~no cocho 11razao de 142 Vmin, detemlinca taxa em que 0 nivel da agna esta subindo quandoa profundidade da agua e de 20 em.

.\ .60cm ~\

\2,5m

--~~

24 Fa<;a0 Exerdcio 23 no casu de as extremidllcl 'Sdo cocho terem a foima do graftco cley - 2x cntreos pontos (-1, 2)'e (1, 2).

25 A area de urn triangulo equilatero cleeres'c brazao de 4 cm2/min. Detennine a taxa na qUlll0

comprimento do lado esta variando quando a ~rclldo triangulo e 200 cm2. '

26 Gas escapa de urn balao esferico 11razao (I0,28 m3/h. Qual a taxa de varia<;fio do rllioquando 0 volume esta em 11 m3?

27 Jnga-se uma pedra em u~ Jago, produzindo Ollth.circulares cujos raios aurnentaJTI a uma ru, 1I

conslante de 0,5 m/seg. A que taxa esta aUI'''OIitando a circunferencia de uma onda quando 0 rllll!e de 4 m?

28 a campo de certojogo tcm a forrna de L11l1qLllldlllllude 20 m de lado. Um dos vertices e 0 pOllIO1Ipartida, e os nutros san as bases. Se LIllijoulIlilliesta correndo da segunda para a tcrecim bll~o II

8 mis, a que taxa 'sua distfincia da origem Ntvarian do quando ele esta a 6 rn da tcrccim h", '/

I) Olllllilio dois resist ores RI, e Rz sao ligados em11111111010(vcja a figura a seguir), a resistencia total/I cllI~[lpela equa~ao lIR '= (i/RI) + (I/Rz). Se/II I' Uj, cslao aumentando as taxas de 0,01 ohm/s, lI,m, ohm/s respectivamente, a que taxa varia R1111IInllllllCCIlIqueR] = 30 ohms eRz e 90 ohms?

III 1\ I .l11l1lndn expansao adiabatica do ar e111,1.'1. C, ondc pea pressao,'v 0 volume e e C1111111wllshante. Em certo instante a pressao c'Ill lIllI/'III' e estii aumentando a razao de2 -\ tllli/ nl por segundo. Se, no mesmo instante," vllilime C de 60 em3, determine a taxa deVIIIIII~I" ~o volume,

\ I Sl~tllII 11IIIqUCesferico de raio a contem agua a

1111111prol'lIll1Jidade miixima h, entao 0 volume VI 2"" ~",1I1l110tanque C dado por V = 3" rrh (3a - h),

:i1l1'0llhIlIllOSque urn tanque esferieo de 5 m deIll" cslcjn sendo enchido a razao de 4 m3/min,I) 11I1I1lal'roxima~ao da taxa a qual 0 nivel de/llill sl~ slibindo quando h = 1,5 m.

\ 1111"'p6,ilo csferico estii recoberto uniforme-III\,nl' por lima camada de gelo de 5 cm de11"1'"slIrn. ;... medida que 0 gelo derrete, a taxa1111'111111n volume de gelo diminui e diretamente1""1"11'ional i\ taxa em que a area da superficie11,'\"'S 'C, Mostre que 0 diametro extemo esta",'c'Il'S 'cndo a uma taxa constante.

\ \ 1)11h'lrn de 11mrochedo 60 m acima de urn lago11111III'nillO deixa cair uma pedra e, dois segundosIll' II, Ii 'ixa cair outra pedra da mesma posi~ao.I>I/IC'1I111IItaxa na qual a distancia entre as pedrasVIIIIIItlllnllile 0 proximo segundo, (Admita que aIII"' II 'i" percorrida em I segundos por urn objetoIIIqllcda livre e 4,9 t2 m.)

\,1 11"," vllrn ~e mctal lem a forma de urn cilindro, II'lIll1rreio. 1\0 ser aquccida a vara, seu com-I" IIIC"'OIlIlInenla de 0,005 cm/min e seu diame-1111111""'1I1ade 0,002 cm/min. Qual a taxa deVIIIIIl~nOdo volllme da vara quando seu compri-III 11111C de '10 cm e seu diametro 3 cm?

35 Urn aviao estii voando a uma velocidade con'stan~..:, te'de580 km/h~ subindo a urn lingulo' de 45·.';". No momento em que ,ele estii a uma alhira de'

3,2 Ian,' passa diretamente sobre uina torre' de "controle·no'solo. Aehe'a taxa 'de·varia~ao da' ;distancia do aviao a to~e urn minuto mais tarde . .f:.

(Ignore a altura da torre.),"

36 Uma rodovia Norte-Sui A e urna rodovia Leste-Oeste B se cruzam em urn ponto P. As 10 horas':;da manha urn hutomovel passa por P em dire~ao ':,norte pela rodovia A a uma velocidade de'"80 kmIb. No mesmo instante, urn' aviao voando i.i·"

para leste a 320 km/h, a altitude de 8.500 m, esta ;.diretamente acima do Ponto da rodovia B a···..160 km a oeste de P. Se 0 autom6vel e 0 aviaomantem constantes as suas velocidades e dire· .,~oes, qual a taxa de varia~o da distancia entre>eles as 10h15 min da manha? ". ' ,

37 Uma ta~a de papel contendo agua tern a formade urn tronco de cone circular, reto 15 cm de 'altura e 3 cm e 6 em de raios das bases inferior Ue superior, respectivamente. Se a agua vaza iiil :'ta~a a razao de 50 em31b,'qual a taxa de redu~ao "do nivel da agua 'quando a profundidade da'~gua '.na taxa e de 10 cm? (0 volume V de urn tronco .de cone circular reto de altura h e bases a e b cV = 11th(a2 + b2 + ab)),

38 Uma piscina tem a forma retangular com 20 01

de comprimento e 10 m de largura. 0 fundo dapiscina varia uniformemente de 1,20 m a 2,70 mpor uma distilOcia horizontal de 12 m, pemlane-cendo constante dai por diante, (A ilustra~aomostra 0 corte transversal da piscina.) Se apiscina estii sendo enchida de agua a razao de50 IImin, aproxime a taxa de eleva<;aodo myelda iigua quando a altura desta na parte maisprofunda e 1,20 m.

39 Urn aviao a uma altitude de 3.000 m voa emvelocidade constante segundo uma reta que 0

levarii a passar diretamente acima de um obser-vador no solo, Se, em dado instante, oobservadornota que 0 lingulo de eleva~ao do aviao e 60' eesta aumentando a raziio de I' por segundo,determine a velocidade do aviao.

40 No Exercicio 16, seja a oangulo que a corda faz' .. com a hol1zontal.'Dete'mine anizAo a' qual a

, .varia quando Be 30'. ' ..','".

41 Urn triangulo isosceles tern os lados iguais com15 cm cada urn. Se 0 lingulo a entre eles varia arazao de 2' por minuto, detennine.a varia~ao daarea do triangulo quando a e3(r,

42 Uma escada de 6 m de comprimento est a apoiada.em uma parede. Se a base"da escada co~e~a adeslizar horizontalmente. it,' r~ao de 0,6 m' porsegundo, qual a taxa de varia~ao' do' 'angulo entrea escada e 0 solo quando 0 topo da escada estaa 3 m do solo?

43 A figura aim:se~i~'~ posi~~'orel~iiva da pist~ de',' um'aeroporto e de~inaiorii: de controle de 6 mii, de'·al~ra.' Acab~ci:ira'da' pi~lh:~tii'a umai' distancia de 906 m da base da torie': iSe urn aviao:: atinge a~bl~cidad~~e'160knilh ipos percorrer'; 100 In dapista,deiermine u~;a 'aproxim,a~~o da- taxa na qual esta aiim'eniando'a distaitcia entre 0

aviao e a torre de controle.I

44 A velocidade do som no ar a O'C (ou 273·K) ede aproximadamente 360 mis, mas essa veloci-dade aumenta na medida em que a temperaturase eleva. Se Tea temperatura em 'K, a velocidadedo som v a essa te'mperatura e dada porv e v//273. Se a temperatura aumenta a razao de3'C por hora, de uma aproxima~ao da taxa naqual a velocidade do som esta aumentando quan-do T = 30'C (ou 303'K).

45 Urn aviao voa a velocidade e altitude conslantessegundo uma reta que 0 levara a passar direta-mente sobre uma esta~ao de radar no solo. Noinstanle em que 0 aviao esta a 18.000 m acimada esta~ao, urn observador na esta~ao nota que 0

lingulo de·el~v~~a({deia.~iaei:~30:~eesiriru~::~;.';rtando a razao d~O,5:Pi?r segundo. ;D,ei~nnine' a

velocidad~;d~.~~~,r.r;r<~;;;:';':: "i::::;, .46 Urn missil e lan~ado verticalmente, de urn ponto

que cst a a 8 kin de uma i:sta~o de raStreamento;e a mesma altura desta. Durante, os prirrieiros 20segundos de voo, seu angulo d'ee1eva~iiqe variaa razao constante de 2' po'r segundo, 'D,etemlinea velocidade do missil quando 0 angttlo deeleva~ao e 30'. '. .' . . ,~

47 A figura mostra a montagem do pedal d~.,umabicicleta de 70 cm (28 pols).'Determlne ~'rei;i~aoenlre a velocidade angular dO/dl (em rd/s) damontagem do pedal e a velocidade da bicic1eta(em kmlh). .

48 Urn foco luminoso de 100 velas esta localizado6 m acima de urn palco (veja a figura a seguir),A iluminancia E(em pes/vela) na pequena areailuminada do palco e dada por E = (l cos o)li,onde I e a intensidade da luz, S a distancia que aluz deve percorrer e 0 0 angulo indicado. Deter-mine a rela~ao entre a taxa de varia~ao deiluminancia dE/dl e a taxa de varia~iio dO/dt.

49 Urn pelldu/o cOllico consiste de uma massa III

presa a uma corda de comprimento fixo /, quepercorre um circuJo de raio r a velocidade y (vejafigural· Quando a velocidade da massa aumenta,aumentam tambem 0 raio reo angulo 6. Sabendoque y2 ; rg tg 6 (g e a constante gravitacional),determine a rela~ao entre as taxas

(a) du/dt I' d6/dl

_ (b) .~u/dt I' dr/dl

50 A agua pinga de urn filtro cOnico de papel emuma ta~a, conform I' a figura. Sejam x a altura daagua no filtro, I' y a altura da agua na ta~a.

':'Deterrninea reia~ao eDtre dy/dt I' dx/dl quando'se poem 15 cm3 de agua no filtro.

1-,

!~::'

IQ] 51 0 DavioA navega para 0 norte e 0 navioS navegapara 0 oeste. Utilizando urn plano coordenado xy,o radar registra as coordenadas (em km) de cadanavio a interval os de _1,25 minutos, conformetabelas abaixo. Determine aproximadamente ataxa (em km/h) 11 qual a distancia entre os Daviosesta variando quando t ; 5.

....,.-..:,2,50 3,75 5,00t(min) 1,25

NavioA: x(laD) 1,77 1,77 1,77 1,77y(k~) 2,71 3,03 3,35 3,67

t(IJii~) 1,25 2,50 3,75 5,00NavioB: x(iqUf 5,24 5,52 5,80 6,08

j(brif 1,24 1,24 1,24 J,24

IQ] 52 Duas variaveis x e y sao fun~oes de uma variavelt e eSlao relacionadas pel a formula

Se dy/dt- 3,68 quando x - 1,71 e y_ 3,03, deter-'. mine uma aproxima~ao do valor correspond en Ie

de dx/dl. "

3:9' EXERCicIOS DE REVISAo

. ~:iercs. 1-2: CalculI' f'(x) diretamente a partir dadefilli~ao de derivada.

• t - 69 G(x) = -Z--)4

:i,:'." (3x -1

,;'4!'(r) = (r2 - rZ)-Z

'-, :. . 5~:P $(X) = V\3X+2jf

(8s2 _ 4)4

t~~s)= 1-l)3

:'1 ii·.,17 F(x) = (x" + 1)5 (3x + 2)3

:ii~'k(z) = [ZZ + (ZZ + 9)ln]ln~ "1.' I ' •

" 19 k(s) = (15Z - 3s + 1)(9s - 1)4

16 h(t) = v6t + 5

f(w)= V3W2

10 H(x) = (3xl; 1)4

(w-l)(w-3)16 g(w) - (w + 1)(w + 3)

. rz;;;s23f(w)~V~

'i 24 Set) = -.ft!'+I+l \'41- 9

25 g(r) = VI + cos 2r 26 ~z) ~ csc (~) + se~ z

27 f{x) = senZ (4il) 28 H(I) -h + seD 3t)3

29 h(x)-(secx+tgx)5 30 K(r)- ~,.J+csc6r

31 f(x) = xZ cot 2x 32 P(6) := 6z tgZ (8)2

33 K(e);' sen 2e1 + cos 2e

134 g(t) = 1 + cosz 2u

35 g(x) = (cos Vi -sen ~

x 37 G(u)=~36 f(x) = 2x + secz x cot u + 1

sen <I>

38 k(<I»= cos <I> - sen <I>

39 F(x) = sec 5x tg 5x seD 5x

40 H(z) = VsenVz 41 gee) = tg4 ( W)42 f(x) = csc3 3x cotZ 3x

Exercs. 43·48: Admitindo que a equa~ao defina limafun~o diferenciavel f tal que y - f(x), determine y '.

43 5x3 - 2xZyz + 4y3 - 7 = 0

44 3xz_xyz +y-I = 1

45VX+1

46yz-Vx;+3x=2v'Y+l=y

47 xyZ = sen(x + 2y) 48 Y = cot(xy)

Exercfcios 49-50: Determine equa~oes da tangenllJe da normal ao grafico de f em P.

449 Y - 2x- vx ;

50 xZy - y3 = 8;

51 Ache a coordenada-x de todos os ponlos dografico de y = 3x - cos 2x DOSqnais a tangenle 6perpendicular 11 reta 2x + 4y = 5.

52 Se f(x) = sen 2x - cos 2x para 0" X" 2n, deler-mine as coordenadas-x dos ponlos do gnlfico df nos quais a langenle e horizontal.

Exercs. 53-54: Determine y " y ", e y '''.

53 Y = 5x3 + 4vx 54 Y = 2xz - 3x - cos 5x

55 Sex2 + 4xy -l = 8, calculI' y " por difercncill~ II

implfcila.

56 Se f(x) = x3 -xl - 5x + 2, determine

(a) as coordenadas-x dos pontos do gr{tlien (Iem que a tangente c paralela 1\ r'llI POI

At--3, 2) I' 8(1, 14).

'(b) 0 valor de f" em cada zero de f,

/I '10 }I ~ ,~./(. '1 I), delermine dye lIse sell valor111111111111\"1111111IIproxima~ao de y quando x variaII, ll'"11 1,91l. Qual (; a varia~ao ex ala de y?

Ij 1111Iti" d \ '"llrinlgulo equilatero e estimado em1111111,,'11111'lrO maximo de ±0,08 em, POI' meio,II Ililolrl,dllis, eslime 0 eno maximo no caicuio,III • II II" I.lAngulo. Obtenha uma aproxima~aoIltl "" pr,ceullllI\.

II '., •• 1,'1 • vr+T e r = 13+ 12+ J, aplique aIIjlll tin \'lId ·ill pllra calcular dsldl em 1=1.

III I /(.)-).).'! li-x".1 eg(x)=x5+4x3+2x,"' ,I 1"II'lIdlll, para aproximar a varia~ao em

CI\. ) 11"1111(10 varia de -1 a -1,01.

I. 1\11' 1Iltll, I'll' m 'io de difereneiais uma aproxi-

1I111~II I II III do V64,2.II' • "1","1"1 J C N fll,,~6es tais que f(2) = -1,

1'( J). II, J"(). -2, g(2) = -3, g'(2) = 2 e''(1). I, ('III ule pan. x = 2;

(11)( I IH)' (1o)(2f - 3g)"(e) (fg)'

(,I) /( )" (,,) (~)' (I) (;)"

1,1 I .11111111Iix'lI '('llI R7 dll Se~ao 3.6. Sejam / uma1iI1I~III fllllllll e f! "ma fUfI(;ao par tais queI \). I, f'(.I). 7, g(3) = -3 e g'(3) = -5. Cal-1111,(I" 1/)'( I) , VI 0 /)'(3).

n I It 111111III lIl1d' 0 grafico de / tern tangenteVI ,,11111,," 1'''"111 tie I'eversiio.

(II) /(1)- 1(. I 1)113_4(II) 1(') •. (1 8) /3_1

III 'iln /(' • (7r_I)3• I 3.lx - 61

x,,2x<2

1,,111111IIr s\' J diferenci:\vcl em 2.

1./ ,\ II I,ll' SI!'IIIII 1I\lIt/,nla"" afirtna que a energiao,tilllllil !'lItilidll p'" lima unidade de area de_"1"1111I '"'gOI . dllda pOI' R ~ kT4, onde ReaIII II d, "' "', \I pll! IIlIidade de area, TeaII 1111'11111111'11"III ("K) eke IIlIla conslante. Se 0

'"" ti, ""'",.II'"~ III de r c de 0,5%, determineII lllll jllll\ l'lIlllal I 'slIllanlc no ca1culo do valorlit /I

68 Sejam V e S 0 volume e a area da superffcieesferica de urn baHio. Se 0 di~metro e de 8 em ea. volume aumenta em 12 cm3, aproxime, parrneio de diferenciais, a varia~iio de S,

69 Urn cone circular reto tern altura h = 8 m e 0 raior da base esta aumenlando. Ache a taxa devaria~ao da area de sua superffcie S em rela~aoa r quando r ~ 6 m,

70 A inlensidade de i1umina~ao de urna fonte lumi-nosa e inversamente proporcional ao quadrado dadistiincia da fonte. Se urn estudante esta Iraba-lhando em uma mesa que csta a cerIa distiinciado foco, delermine, por meio de diferenciais, avaria~ao percentual na distiincia que aumenta em10% a intensidade.

71 As extremidades de urn cocho de agua horizontalde 8 m de comprimento siio trapczios is6scelesde bases de 2 m elm. A altura do cocho e de0,6 m. Se 0 nlvel da agua esta subindo a razaode 0,1 em/min, quando a profundidade da agua ede 0,3 m, com que velocidade a agua estaentrando no cocho?

72 Dois carros se aproximarn de urn cruzamenlo deduas eslradas perpendiculares. 0 carro A viaja a20 kmlh e 0 carro B a 40 kmlh. Se, em certoinstante,A est a a 0,25 km do cruzarnento e B estaa 0,5 km do mesmo, determine a taxa de aproxi-ma~ao dos dois carras naqueJe instante.

73 A lei de Boyle afirrna que pv = c, onde peapressao, v 0 volume e c uma conslante. Estabele~alima formula para a laxa de varia~iio de p emrela,ao a v.

74 Uma pontc esta a 6 m acima de urn rio e emilOgulos retos com ele. Um hornem em urn trema 60 kmIh pass a pelo centro da ponte no rnesmoinstante em que outro homern em urn barco amotor passa sob 0 centro da ponte a 20 kmlh (vejaa figura). Com que velocidade os doi!l. homensestiio se afastando urn do outro 10 segundo's maislarde?

75 Urna roda-gigante tem 30 m de diamelro e atinge33 m acima do solo (veja a figura). Cada revolu-~iio da roda leva 30 segundos.

(a) Expresse a distiincia II de urn assenlo emrela~ao ao solo, eomo fun~ao do tempo I (emsegundos), se 1=0 corresponde ao instanteem que a assenlo est a na base.

(b) Se urn assento esta se elevando, qual a taxade varia~o d~ distiincia M quando II = 16 m?

76 Urn pistao esta anexado a urn virabrequill1 confor-me a figura. A haste de conexao AB tern 15 cm decomprimento e 0 raio do virabrequim tern 5 em.

(a) Se 0 virabrequim faz <luas rota~6es por se-gundo no sentido anti-horado, estabe,e~a' for-mulas para a posi~ao do ponlo II aos tsegundos apos A ter as coordenadas (2,0).

(b) Estabele~a uma formula para a posi~iio doponto B no instante I.

(c) Com que velocidade B esla se movendoquando A tem coordenadas (0,2)?