Livro de ..calculo 3

Sumário

Aula 1: Integrais Duplas 11

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares . . . . . . . . 12

1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados 14

1.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Propriedades das Integrais Duplas . . . . . . . . . . 19

1.7 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 30

Aula 2: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 33

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas . . . . . 34

2.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


Aula 3: Algumas Aplicações da Integral Dupla 47

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . 52

3.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


Aula 4: Integrais triplas 63

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais . . . . 64

4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Li-

mitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.6 Propriedades das Integrais Triplas . . . . . . . . . . 68

4.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


Aula 5: Mudança de Variáveis em Integrais tríplas 83

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas . . . . . . 84

5.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


Aula 6: Algumas Aplicações das Integrais tríplas 105

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla . . . . . . . . 110

6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


Aula 7: Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3

123

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2 Curvas em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de

Curvas em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo . . . 128

7.5 Independência do Caminho . . . . . . . . . . . . . . 130

7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha . . . . . 133

7.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142


Aula 8: Integrais de Superfícies 145

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.2 Superfícies em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3 Área de Superfícies em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . 147

8.4 Momento de massa e Momento de Inércia de Super-

fícies de Casca Fina em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . 151

8.5 Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . 155

8.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164


Aula 9: Teorema de Green e Teorema de Stokes 167

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.3 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.4 Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões 175

9.5 Verificação do Teorema de Green . . . . . . . . . . 178

9.6 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.7 Aplicação do Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . 183

9.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


Aula 10: Teorema de Divergência 189

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.3 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.4 Estendendo o Teorema da Divergência . . . . . . . . 194

10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Divergência . . 196

10.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202


AULA

1Integrais Duplas

META:

Apresentar integrais duplas de funções de valores reais e domínio

em R2.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:

Definir a integral dupla de funções de valores reais e domínio em

R2.

Calcular algumas integrais duplas de funções de valores reais e do-

mínio em R2.

PRÉ-REQUISITOS

Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-

mínio em R, da disciplina Cálculo I.

Integrais Duplas

1.1 Introdução

Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o

tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma

extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida

como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla

é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma

variável e considerando as demais como constantes. É o que de-

nominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes

próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas

aulas.

1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares

Começamos por considerar uma função f definida em um do-

mínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formal-

mente f : [a, b]× [c, d] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R

coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que

dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, con-

sideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . ,

xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d} onde

como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 <

· · · < xm e y0 < y1 < · · · < yk < yk+1 < · · · < yn.

Desta forma cada um dos Ij = [xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] pe-

quenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj −xj−1 e ∆yk =

yk−yk−1, respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para

o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto carte-

siano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região

R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤

12

Cálculo III AULA

1

Figura 1.1: Partição de R = [a, b]× [c, d]

j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada

por ∆Ajk = ∆xj∆yk. Como tanto ∆xj quanto ∆yk são dife-

rentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também di-

ferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por:

|P | = max1≤j≤m1≤k≤n

(∆Ajk), que corresponde a maior área entre todos os

pequeno retângulo.

Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre

domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj , ζk) ∈BIOGRAFIA

Georg FriedrichBernhard Riemannnasceu em Breselenz,Reino de Hanôver,17 de Setembro de1826 e morreu emSelasca, Itália, 20 deJunho de 1866, foi ummatemático alemão,com contribuiçõesfundamentais para aanálise e a geometriadiferencial. Wikipedia

[xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo e definimos a se-

guinte soma de Riemann:

Smn =m∑j=1

n∑k=1

f(ξj , ζk)∆Ajk

A integral dupla da função f(x, y) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫Rf(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:

∫ ∫Rf(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

13

Integrais Duplas

Figura 1.2: Soma de Riemann para f(x, y) em R = [a, b]× [c, d]

1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangula-

res Limitados

Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R

onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-

meçamos por considerar uma função F definida em um domí-

nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal

que D ⊂ R e F (x, y) =

f(x, y) , (x, y) ∈ D

0 , (x, y) /∈ D. Formalmente

F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). Usando

a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas pa-

ralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos re-

tângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios re-

tangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por

14

Cálculo III AULA

1P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições

P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm =

b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Do mesmo

modo definimos a norma da partição por: |P | = max1≤j≤m1≤k≤n

(∆Ajk)

onde ∆Ajk = ∆xj∆yk, ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1. To-

mamos um ponto (ξj , ζk) ∈ [xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno

retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função

estendida F (x, y):

Smn =m∑j=1

n∑k=1

F (ξj , ζk)∆Ajk

A integral dupla da função f(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, deno-

tada∫ ∫

Df(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:

∫ ∫Df(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retân-

gulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais

têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes

estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj , ζk) = 0.

1.4 Interpretação Geométrica

Quando a função f(x, y) é positiva na região R, como a da

(Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do

prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente

pela superfície z = f(x, y) e quanto maior for o refinamento da par-

tição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar

a integral dupla∫ ∫

Rf(x, y)dxdy como o volume do prisma sólido

15

Integrais Duplas

Figura 1.3: Partição para F (x, y) em R = [a, b]× [c, d]

reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície

z = f(x, y).

1.5 Integrais Iteradas

Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla

a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma

integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o

cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o vo-

lume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente

por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos

f(x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos

o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos

o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no

16

Cálculo III AULA

1

Figura 1.4: A(x), x fixo, integramos em relação a y

volume do citado prisma.

V =∫ b

aA(x)dx

Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva

f(x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como

vimos em Cálculo I A(x) =∫ d

cf(x, y)dy.

O volume do prisma pode ser então escrito como:

V =∫ b

a

[∫ d

cf(x, y)dy

]dx

.

Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando

os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos

o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no

volume do citado prisma.

17

Integrais Duplas

Figura 1.5: A(y), y fixo, integramos em relação a x

V =∫ d

cA(y)dy

Da mesma forma como vimos em Cálculo I A(y) =∫ b

af(x, y)dx.

O volume do prisma pode ser então escrito como:

V =∫ d

c

[∫ b

af(x, y)dx

]dy

.

Como o volume dado pelas duas expressões é o mesmo temos que:

∫ d

c

[∫ b

af(x, y)dx

]dy =

∫ b

a

[∫ d

cf(x, y)dy

]dx

ou seja a ordem em que as integrais simples são executadas não

altera o resultado final da integração dupla em domínios retangu-

lares. Este procedimento e conhecido como integrais iteradas.

18

Cálculo III AULA

11.6 Propriedades das Integrais Duplas

Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de-

monstração, alguma das propriedades das integrais duplas. Caso

desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades,

recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio-

grafia abaixo.

Propriedade 1.1. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores

reais integrável em D e c ∈ R, então vale:

∫ ∫Dcf(x, y)dxdy = c

∫ ∫Df(x, y)dxdy

Propriedade 1.2. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de

valores reais integráveis em D, então vale:

∫ ∫D

(f + g)(x, y)dxdy =∫ ∫

Df(x, y)dxdy +

∫ ∫Dg(x, y)dxdy


reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:

∫ ∫Df(x, y)dxdy ≥ 0

Propriedade 1.4. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de va-

lores reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y),∀(x, y) ∈ D,

então vale:

∫ ∫Df(x, y)dxdy ≥

∫ ∫Dg(x, y)dxdy

Propriedade 1.5. Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores

reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um

19

Integrais Duplas

número finito de curvas em R2, então vale:

∫ ∫Df(x, y)dxdy =

∫ ∫Af(x, y)dxdy +

∫ ∫Bf(x, y)dxdy

OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line-

aridade” do operador integral dupla. As terceira e quarta pro-

priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta

propriedade é denominada “aditividade”.

1.7 Alguns Exemplos

Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem-

plos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de

integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que

a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e

neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta.

Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem,

a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto

é, na integral∫ ∫

Rf(x, y)dxdy primeiramente integramos na va-

riável x e depois na variável y. Já na integral∫ ∫

Rf(x, y)dydx

primeiramente integramos na variável y e depois na variável x.

Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla so-

bre domínios retangulares. A saber:

Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig.

1.6) dada por f(x, y) = exp(−x− y) e determine a integral dupla

I =∫ ∫

Rf(x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤

1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}.

20

Cálculo III AULA

1

Figura 1.6: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = exp(−x− y)

SOLUÇÃO:

Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a

região R dada, segundo a ordem de integração:

I =∫ 1

0

∫ 1

0exp(−x− y)dxdy

Lembrando que: exp(−x− y) = exp(−x) exp(−y) temos:

I =∫ 1

0

∫ 1

0exp(−x) exp(−y)dxdy

Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y

como uma constante:

I =∫ 1

0

(− exp(−x)

∣∣∣10

)exp(−y)dy

Substituindo os limites de integração temos:

I =∫ 1

0(− exp(−1)− (− exp(−0))) exp(−y)dy

Efetuando os cálculos temos:

I =∫ 1

0(1− exp(−1)) exp(−y)dy

Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável:

I = (1− exp(−1))(− exp(−y)

∣∣∣10

)Substituindo os limites de integração temos:

I = (1− exp(−1)) (− exp(−1)− (− exp(−0)))


21

Integrais Duplas

I = (1− exp(−1))2 �

OBS 1.2. Daremos aqui um método prático para determinar os

limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re-

tangular da forma: D.

Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando

as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D.

Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento

de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento

AB na Fig. 1.7)

Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na

Figura 1.7: Determinação prática dos limites para D

direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D

marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).


direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D

marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).

Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-

22

Cálculo III AULA

1mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a

variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento

entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),

ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.

Nossa integral será efetuada assim:


∫ b

a

∫ b(x)

a(x)f(x, y)dydx

Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig.

1.8) dada por f(x, y) = y(3x− x2 − y) e determine a integral du-

pla I =∫ ∫

Rf(x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das

curvas y = 0 e y = 3x− x2.

Figura 1.8: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = x.y

SOLUÇÃO:

Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os

limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x− x2 (Fig. 1.9).

Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos

os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e

b(x) = 3x− x2.

23

Integrais Duplas

Figura 1.9: Limites para o domínio D

A integral passa a ser escrita como:

I =∫ ∫

f(x, y)dxdy =∫ 3

0

∫ 3x−x2

0y(3x− x2 − y)dydx

Operando no integrando fazendo o produto por y temos:

I =∫ 3

0

∫ 3x−x2

0(y(3x− x2)− y2)dydx

Passo 3 efetuando a integração em y temos:

I =∫ 3

0(y2

2(3x− x2)− y3

3)∣∣∣3x−x2

0dx

Substituindo os limit3es de integração temos:

I =∫ 3

0((3x− x2)2

2(3x− x2)− (3x− x2)3

3)dx

Efetuando as simplificações teremos:

I =∫ 3

0

(3x− x2)3

6dx

Expandindo o binômio de Newton temos:

I =16

∫ 3

0(27x3 − 27x4 + 9x5 − x6)dx

Passo 4 efetuando a integração em x temos:

I =16

(27x4

4− 27

x5

5+ 9

x6

6− x7

7)∣∣∣30

Substituindo os limit3es de integração temos:

I =16

(2734

4− 27

35

5+ 9

36

6− 37

7)

Efetuando os cálculos, garantido muito trabalho, temos:

24

Cálculo III AULA

1I =

729280

�

1.8 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão

natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se

por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área

sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla

pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função

a ser duplamente integrada.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:

Integração Dupla: Domínios retangulares

Considerando uma função f : R 7→ R onde R = {(x, y) ∈ R2|a ≤

x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2. Podemos cobri-lo com

uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b]×

P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xn = b}

e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , ym = d} são partições

dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A ma-

lha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤ j ≤

n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj∆yk onde ∆xj = xj − xj−1

e ∆yk = yk − yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij =

[xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] respectivamente. Defini-se a norma da

partição por: |P | = max1≤j≤n1≤k≤m

(∆Ajk). Toma-se um ponto (ξj , ζk) ∈

25

Integrais Duplas

[xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte

soma de Riemann:

Snm =n∑j=1

m∑k=1

f(ξj , ζk)∆Ajk

A integral dupla da função f(x, ) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫Rf(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:∫ ∫

Rf(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Snm

Integração Dupla: Domínios não Retangulares

Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R

onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-

meçamos por considerar uma função F definida em um domí-

nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal

que D ⊂ R e F (x, y) =

f(x, y) , (x, y) ∈ D

0 , (x, y) /∈ D. Formalmente

F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). A partir

daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da inte-

gral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a integral

dupla de uma função f(x, y) em um domínio não retangular D por:

∫ ∫Df(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

onde: Smn =∑m

j=1

∑nk=1 F (ξj , ζk)∆Ajk. é a soma de Riemann

para F (x, y)

Integrais Iteradas

As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =

26

Cálculo III AULA

1[a, b]× [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram

o valor da integral dupla, que pode ser representada por:

∫ d

c

[∫ b

af(x, y)dx

]dy =

∫ b

a

[∫ d

cf(x, y)dy

]dx

.

Propriedades das Integrais Duplas

As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades

das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma

extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as

seguintes propriedades:

Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores


∫ ∫Dcf(x, y)dxdy = c

∫ ∫Df(x, y)dxdy

Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores

reais integráveis em D, então vale:

∫ ∫D

(f + g)(x, y)dxdy =∫ ∫

Df(x, y)dxdy +

∫ ∫Dg(x, y)dxdy


reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:

∫ ∫Df(x, y)dxdy ≥ 0

27

Integrais Duplas

Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valo-

res reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D,

então vale:

∫ ∫Df(x, y)dxdy ≥

∫ ∫Dg(x, y)dxdy

Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores


número finito de curvas em R2, então vale:


∫ ∫Af(x, y)dxdy +

∫ ∫Bf(x, y)dxdy

Determinação dos Limites de Integração

Para determinar os limites de integração em uma integral dupla

sobre domínio não retangular da forma: D seguimos os seguintes

passos:


as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D.

Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento


AB na Fig. 1.7)


direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D


28

Cálculo III AULA

1Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na

direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D



mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a

variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento

entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),

ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.



∫ b

a

∫ b(x)

a(x)f(x, y)dydx

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na in-

tegração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma in-

tegral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas

formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A

segunda transformando o domínioD do integrando em um domínio

de forma geométrica mais simples.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais du-

plas.

ATIV. 1.1. Seja f : [−1,+1]× [−1,+1] 7→ R dada por f(x, y) =

29

Integrais Duplas

x2 + y2. Determine a integral dupla∫ ∫

Rf(x, y)dxdy.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão

de guia.

ATIV. 1.2. Seja f : D ⊂ R2 7→ R dada por f(x, y) = x2 + y2,

onde D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1− x2}.

• Determine os limites da integral dupla∫ ∫

Df(x, y)dxdy,

• esboce a região de integração e

• calcule a integral dupla∫ ∫

Df(x, y)dxdy.



de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros

Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.

LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume

2, Editora Harbra, 1994.

STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-

GAGE Learning, 2009.

SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume

2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.

THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,

30

Cálculo III AULA

12003.

KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard

Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora

McGraw-Hill do Brasil, 1971.

BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.

31

AULA

2Mudança de Variáveis emIntegrais Duplas

META:

Introduzir mudança de variáveis em integrais duplas de funções de

valores reais e domínio em R2.

OBJETIVOS:


Calcular o jacobiano de aplicações de R2 em R2.

Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em

R2 utilizando mudança de variáveis.

Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em

R2 em coordenadas polares.

PRÉ-REQUISITOS


mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas

polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01.

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

2.1 Introdução

Caros alunos a segunda aula do nosso curso de Cálculo III

tem com o tema “Mudança de Variáveis em Integrais Duplas”. As

vezes, na integral dupla∫ ∫

Df(x, y)dxdy, dada a natureza ou de

HISTÓRIA

O teorema de mu-dança de variáveisem integrais duplasfoi primeiro propostopor Euler quando eledesenvolveu a noçãode integral dupla em1769. Usado porLegendre, Laplace eGauss, foi primeira-mente generalizadopara n variáveis porMikhail Ostrogradskiem 1836, resistiu auma demonstraçãomais rigorosa por longotempo (cerca de 125anos). E foi satisfató-riamente demonstradopor Elie Cartan emuma série de artigosnos anos 1890.

f(x, y) ao do seu domínio D, fica mais fácil integrar se fizermos

uma mudança nas variáveis de integração, como quando D é uma

disco, um semi-disco, um setor circular ou mesmo uma faixa de

disco, usando-se o sistema de coordenadas polares de modo geral

a integral dupla é mais fácil de se determinar que em coordenadas

cartesianas.

2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Caros alunos começaremos revendo mudança de variáveis em

integrais simples. Considere uma função f : [a, b] 7→ R. A idéia

é mudar a variável inicial x para uma nova variável ξ relaciona-

das por x = g(ξ), onde g(ξ) é uma função biunívoca estritamente

crescente ou estritamente decrescente em [a, b]. Isto garante que

podemos inverter a mudança de variáveis.

Seja F (x) uma anti-derivada de f(x) tal que F ′(x) = f(x). Então,

da regra da cadeia temos:d

dξF (g(ξ)) = F ′(g(ξ))g′(ξ) = f(g(ξ))g′(ξ).

Integrando com respeito a ξ temos:∫d

dξF (g(ξ))dξ =

∫f(g(ξ))g′(ξ)dξ

Das propriedades da integral temos:

F (g(ξ)) + C =∫f(g(ξ))g′(ξ)dξ

Como x = g(ξ) temos:

F (x) + C =∫f(g(ξ))g′(ξ)dξ

34

Cálculo III AULA

2Como F (x) é uma primitiva de f(x) a primeira expressão é a in-

tegral indefinida de f(x) com respeito a x e temos:∫f(x)dx =

∫f(g(ξ))g′(ξ)dξ

Que representa a mudança de variáveis em uma integral simples.

Para integrais definidas, se c = g(a) e d = g(b) então:∫ b

af(x)dx =

∫ d

cf(g(ξ))g′(ξ)dξ

A expressão acima funciona bem quando g(ξ) é crescente neste

caso a < b e c < d. Porém, no caso de g(ξ) decrescente (g′(ξ) < 0)

pois neste caso a < b e d < c e portanto o limite inferior da se-

gunda integral não conhecide com o limite inferior do intervalo da

imagem de g(ξ) o mesmo acontecendo com o limite superior. Neste

caso, usando as propriedades da integral simples temos:∫ b

af(x)dx = −

∫ c

df(g(ξ))g′(ξ)dξ

De outra forma escrevemos:∫ b

af(x)dx =

∫ c

df(g(ξ))|g′(ξ)|dξ.

e operaremos os limites inferiores e superiors das integrais como os

limites inferiores e superiores dos domínios (intervalos) e a expres-

são acima vale tanto pra g(ξ) crescente quanto decrescente. VamosOBSERVAÇÃO

heurística heu.rís.ti.casf (gr heuristiké) 1Ciência ou arte do pro-cedimento heurístico.2 Método de ensinoque consiste em queo educando chegue àverdade por seus pró-prios meios. 3 Ramoda ciência histórica queconsiste na pesquisados documentos dopassado.

agora diretamente ao assunto dando uma argumentação heurística

para a expressão da mudança de variáveis em integrais duplas.

Para isto, consideremos a integral dupla∫ ∫

Df(x, y)dxdy sobre

uma região D ∈ R2 do plano (x, y) e a transformação (x, y) =

T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja a imagem do

domínio D′ do plano (u, v) (podemos expressar este fato como

D = T (D′)). Mais especificamente podemos escrever: x = x(u, v)

e y = y(u, v) tomando uma partição para o domínio D′ no plano

(u, v) cobrindo-o com pequenos retângulos e usando a transforma-

ção T podemos levar o pequeno retângulo A′jk na pequena figura

35


plana Ajk = T (A′jk) (ver Fig 2.1 e Fig 2.2). A área do pequeno

retângulo no plano (u, v) é ∆A′jk a área da pequena figura Ajk no

plano (x, j), e ai é que reside a argumentação heurística, será apro-

ximada pela área do paralelogramo formado pelos vetores∂T

∂v∆vk

e∂T

∂u∆uj e pelas linhas tracejadas (paralelas aos respectivos veto-

res). Do calculo vetorial temos:∂T

∂u∆uj =

∂x

∂u∆uj~i+

∂y

∂u∆uj~j + 0~k.

∂T

∂v∆vk =

∂x

∂v∆vk~i+

∂y

∂v∆vk~j + 0~k

Vistos como vetores de R3 e a área do paralelogramo (ver Vetores

e Geometria Analítica) dada pelo módulo do seguinte produto ve-

torial:

∆Ajk =∣∣∣∂T∂u

∆uj ×∂T

∂v∆vk

∣∣∣.Fazendo o cálculo do produto vetorial temos:

∂T

∂u∆uj ×

∂T

∂v∆vk = det

~i ~j ~k

∂x

∂u∆uj

∂y

∂u∆uj 0

∂x

∂v∆vk

∂y

∂v∆vk 0

Fazendo os cálculos temos:∂T

∂u∆uj ×

∂T

∂v∆vk =

(∂x∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

)∆uj∆vk~k.

Tomando o módulo da expressão acima, para a área de Ajk, temos:

∆Ajk ≈∣∣∣∂x∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

∣∣∣∆uj∆vk.A expressão dentro do módulo é o determinante de uma matrix

2 × 2 conhecida como jacobiano da transformação x = x(u, v) e

y = y(u, v) e denotado:

∂(x, y)∂(u, v)

= det

∂x

∂u

∂y

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

=∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u.

Como a área do pequeno retânguloA′jk é dada por ∆A′jk = ∆uj∆vk

temos:

∆Ajk ≈∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣∆A′jk.

36

Cálculo III AULA

2

Figura 2.1: Plano (u, v) Figura 2.2: Plano (x, y)

O que nos leva a considerar a seguinte fórmula para a mudança de

variáveis em integrais duplas:∫ ∫Df(x, y)dxdy =

∫ ∫D′f(x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣dudv.Que representa a mudança de variáveis na integral dupla pela

transformação (x, y) = T (u, v).

OBS 2.1. Para o caso particular da mudança de variáveis do sis-

tema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas

polares (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x(r, ϑ) =

r cos(ϑ) e y = y(r, ϑ) = r sin(ϑ), o jacobiano é dado por:

∂(x, y)∂(r, ϑ)

= det

∂x

∂r

∂y

∂r∂x

∂ϑ

∂y

∂ϑ

= det

cos(ϑ) sin(ϑ)

−r sin(ϑ) r cos(ϑ)

= r.

Portanto o jacobiano da transformação∂(x, y)∂(r, ϑ)

= r a mudança de

variáveis na integral dupla toma a forma:∫ ∫Df(x, y)dxdy =

∫ ∫D′f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ.


limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re-

tangular da forma: D em coordenadas polares.

37


Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando

as curvas que limitam a região D.

Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado

na direção positiva (Fig. 2.3)

Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (di-NOTA

Por convenção amedida de ângulo temsinal positivo quando odeslocamento é feito nadireção anti-horária,direção contrária aomovimento dos pon-teiros do relógio e temsinal negativo quandoo deslocamento é feitona direção horária,direção do movimentodos ponteiros dorelógio.

reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando


o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3).

Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ

(direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar-

cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3).

Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio

~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função

α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite

superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio

~rrr(ϑ) sai da região D.



∫ β

α

∫ β(ϑ)

α(ϑ)f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ

38

Cálculo III AULA

22.3 Alguns Exemplos

Caros alunos, nesta seção ilustraremos, com dois exemplos, a

mudança de variáveis em integrais duplas. A rigor, trataremos

apenas de exemplos em coordenadas polares.

Exemplo 2.1. Determinar a integral dupla∫ ∫

Df(x, y)dxdy onde

D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x2 + y2 ≤ 1} e f(x, y) =

exp(−x2 − y2). O domínio da função representa um quarto de

disco (Fig 2.4).

Figura 2.4: Gráfico do exemplo 1

SOLUÇÃO:

Passo 1 Como o domínio D é um quarto de disco, o mais ade-

quado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar

o método prático de determinação dos limites da integral dupla

em coordenadas polares (Fig 2.5) e verificar que: α = 0, β =π

2,

α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 1.

Neste caso podemos descrever o domínio como: D′ = {(r, ϑ) ∈

R2|0 ≤ r ≤ 1∧0 ≤ ϑ ≤ π/2}. E como x = r cos(ϑ) e y = r sin(ϑ) e

39



o módulo do jacobiano da transformação é dado por:∣∣∣∣∂(x, y)∂(r, ϑ)

∣∣∣∣ = r.

Quanto a variável r varia no intervalo [0, 1] independentemente de

ϑ e a variável ϑ varia no intervalo [0, π/2] ( a variação de ângulo no

primeiro quadrante). Podemos reescrever a integral dupla como:

I =∫ ∫

Df(x, y)dxdy =

∫ 1

0

∫ π/2

0f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdϑdr Subs-

tituindo f(x, y) temos:

I =∫ 1

0

∫ π/2

0exp(−(r cos(ϑ))2 − (r sin(ϑ))2)rdϑdr

Efetuando as simplificações temos:

I =∫ 1

0

∫ π/2

0exp(−r2)rdϑdr

Passo 2 Integrando primeiramente na variável ϑ e como o inte-

grando não depende de ϑ temos:

I =∫ 1

0exp(−r2)ϑ

∣∣∣π/20rdr


I = π/2∫ 1

0exp(−r2)rdr

Passo 3 A última integral (variável r) podemos efetuar por mu-

dança de variáveis pondo ξ = r2 deste modo temos: dξ = 2rdr

ou seja rdr = −12dξ e os limites r

1

0e ξ

1

0. Daí, a integral

40

Cálculo III AULA

2passará a forma:

I = π/4∫ 1

0exp(−ξ)dξ

Cuja integração é fácil e da forma:

I = π/4− exp(−ξ)∣∣∣10

Efetuando os cálculo temos:

I =π

4(1− exp(−1)) �

Vamos agora, diretamente ao nosso segundo exemplo. Trata-se de

uma curva já conhecida de vocês (Cálculo II) a lemniscata.

Exemplo 2.2. Determinar a área da região D, a parte da lemnis-

cata, r =√

cos(2ϑ), que situa-se no primeiro quadrante. ver parte

cinza da (Fig 2.6).


SOLUÇÃO:

Passo 1 Como o domínio D é um quarto de uma lemniscata, o

mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Pode-

mos usar o método prático de determinação dos limites da integral

dupla em coordenadas polares (Fig 2.7) e verificar que: α = 0,

41


β =π

4, α(ϑ) = 0 e β(ϑ) =

√cos(2ϑ).


Neste caso podemos descrever o domínio como: D′ = {(r, ϑ) ∈

R2|0 ≤ ϑ ≤ π/4 ∧ 0 ≤ r ≤√

cos(2ϑ)}. E como, neste exemplo,

queremos calcular área temos que f(x, y) = 1 e em coordenadas

polares podemos escrever na forma da seguinte integral dupla:

A =∫ ∫

Ddxdy =

∫ π/4

0

∫ √cos(2ϑ)

0rdrdϑ

Integrando em r temos:

A =∫ π/4

0

r2

2

∣∣∣√cos(2ϑ)

0dϑ


A =∫ π/4

0

(√cos(2ϑ)

)22

dϑ

Simplificando o integrando temos:

A =∫ π/4

0

cos(2ϑ)2

dϑ

Integrando na variável ϑ temos:

A =sin(2ϑ)

4

∣∣∣π/40


A =sin(π/2)− sin(0)

4Portanto:

A =14

�

42

Cálculo III AULA

2OBS 2.3. Caros alunos, é muito importante neste ponto uma revi-

são cuidadosa e detalhada dos dois exemplos dados acima. Efetuar

uma mudança de varáveis em integrais duplas não é tão simples

quanto efetuar uma mudança de variáveis em integrais simples.

2.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a mudança de variáveis em integrais

dupla, nos permite, facilitar o cálculo das ditas integrais quando

trabalhamos com domínios de integração de geometrias específicas,

como a induzida pelas coordenadas polares.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 02 constam os seguintes tópicos:


Consideramos a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio

D do plano (x, y) seja transformado no domínio D′ do plano (u, v)

(D = T (D′)) e mais especificamente x = x(u, v) e y = y(u, v).

Definindo o jacobiano da transformação, denotado∂(x, y)∂(u, v)

, por:

∂(x, y)∂(u, v)

= det

∂x

∂u

∂y

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

=∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u.

Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en in-

tegrais duplas:

43



∫ ∫D′f(x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣dudv.Sistema de Coordenadas Polares

Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de co-

ordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares no

cálculo de integrais duplas temos:

(x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x(r, ϑ) = r cos(ϑ) e

y = y(r, ϑ) = r sin(ϑ).

Vale a seguinte transformação de variáveis:


∫ ∫D′f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ.

Determinação dos Limites de Integração em Coordena-

das Polares

Daremos aqui um método prático para determinar os limites de

integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular

da forma: D em coordenadas polares.

Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando

as curvas que limitam a região D.

Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado

na direção positiva (Fig. 2.3)

Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (di-

reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando

o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3).

Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ

(direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar-

cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3).

Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio

44

Cálculo III AULA

2~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função

α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite

superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio

~rrr(ϑ) sai da região D.



∫ β

α

∫ β(ϑ)

α(ϑ)f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplica-

ções da integral dupla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo

do centro de massa de perfis planos bem como no cálculo de seus

momentos de inércia.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões.

ATIV. 2.1. Determine a área da parte da cardióide r(ϑ) = 1 +

cos(ϑ) que fica acima do eixo dos x (Fig 2.8) que está em cinza.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os

exemplos acima, eles lhe servirão de guia.

ATIV. 2.2. Determine a área entre a cardióide r(ϑ) = 1+cos(ϑ) e

o círculo r(ϑ) = 1 acima do eixo do x (Fig 2.9) que está em cinza.


exemplos acima, eles lhe servirão de guia.

45


Figura 2.8: Atividade 1 Figura 2.9: Atividade 2











2003.





46

AULA

3Algumas Aplicações daIntegral Dupla

META:

Apresentar algumas aplicações das integrais duplas de funções de


OBJETIVOS:


Determinar área, massa, centro de massa, momento de massa e

momento de inércia de figuras planas usando integrais duplas de

funções de valores reais e domínio em R2.

PRÉ-REQUISITOS


mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas

polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01 e aula 02.

Algumas Aplicações da Integral Dupla

3.1 Introdução

Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III

com o tema “Algumas Aplicações das Integrais Duplas”. Dentre as

inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo

pouco tempo que dispomos. Veremos apenas como usar as inte-

grais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua

distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade.

Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET

3.2 Preliminares

Consideraremos uma região D ⊂ R2 finita, com uma distri-

buição de densidade mássica superficial (massa por unidade de

superfície) %(x, y),∀(x, y) ∈ D.

Determinação da massa

Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida

em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤

y ≤ d} tal que D ⊂ R e Φ(x, y) =

%(x, y) , (x, y) ∈ D

0 , (x, y) /∈ D.

Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P =

P [R] = P [a, b]×P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b]

e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm = b}

e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Tomamos um

ponto (ξj , ζk) ∈ [xj−1, xj ] × [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo

e definimos a seguinte soma de Riemann:

Smn =m∑j=1

n∑k=1

Φ(ξj , ζk)∆Ajk.

48

Cálculo III AULA

3A massa da regiãoD, denotadam(D), será a integral dupla da fun-

ção %(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, denotada∫ ∫

D%(x, y)dxdy

será então definida como o seguinte limite:

m(D) =∫ ∫

D%(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

.

OBS 3.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a

seguinte soma de Riemann:

Smn =m∑j=1

n∑k=1

g(ξj , ζk)Φ(ξj , ζk)∆Ajk

onde g(ξj , ζk) é a aceleração da gravidade no ponto (ξj , ζk). E o

peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral dupla:

p(D) =∫ ∫

Dg(x, y)%(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

.

Determinação do Momento de Massa

Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa

de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y).

Para calcular o momento de massa de um pequeno retângulo com

relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξjΦ(ξj , ζk)∆Ajk. O

momento de massa total em relação ao eixo y para a região D será

aproximado pelo limite da soma de Riemann:

Smn =m∑j=1

n∑k=1

ξjΦ(ξj , ζk)∆Ajk

.

O momento de massa da região D em relação ao eixo y será dada

49


pelo limite:

My(D) =∫ ∫

Dx%(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

.

De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D

em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann:

Smn =m∑j=1

n∑k=1

ζkΦ(ξj , ζk)∆Ajk

.

O momento de massa da região D em relação ao eixo x será dada

pelo limite:

Mx(D) =∫ ∫

Dy%(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

.

Determinação do Centro de Massa

O centro de massa de uma região plana D ⊂ R2 finita, com uma

distribuição de densidade mássica superficial %(x, y), ∀(x, y) ∈ D,

é o ponto (x, y) definido por:

x =My(D)m(d)

=

∫ ∫Dx%(x, y)dxdy∫ ∫

D%(x, y)dxdy

y =Mx(D)m(d)

=

∫ ∫Dy%(x, y)dxdy∫ ∫

D%(x, y)dxdy

Determinação do Momento de Inércia


50

Cálculo III AULA

3de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y).

Para calcular o momento de inércia de um pequeno retângulo com

relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξ2jΦ(ξj , ζk)∆Ajk. O

momento de inércia total em relação ao eixo y para a região D será

aproximado pelo limite da soma de Riemann:

Smn =m∑j=1

n∑k=1

ξ2jΦ(ξj , ζk)∆Ajk

.

O momento de inércia da região D em relação ao eixo y será dada

pelo limite:

Iy(D) =∫ ∫

Dx2%(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

.

De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D

em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann:

Smn =m∑j=1

n∑k=1

ζ2kΦ(ξj , ζk)∆Ajk

.

O momento da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite:

Ix(D) =∫ ∫

Dy2%(x, y)dxdy def= lim

|P |→0Smn

.

O momento de inércia em relação a origem é dado pela seguinte

integral dupla:

51


I0(D) =∫ ∫

D(x2 + y2)%(x, y)dxdy

.

3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla

Faremos duas aplicações da integral dupla ao cálculo do centro

de massa de duas figuras planas. Na primeira usaremos o sistema

de coordenadas cartesiano. Na segunda usaremos uma mudança

de variáveis para o sistema de coordenadas polares.

Vamos aos nossos exemplos.

Exemplo 3.1. Para o primeiro exemplo desejamos determinar o

centro de massa de uma região triangular D dada pela interseção

das retas x = 0, y = 0 e a reta que passa pelos pontos (0, a) e

(b, 0) com a, b > 0 (Fig 3.1), cuja densidade superficial de massa

é constante %(x, y) = %.


52

Cálculo III AULA

3SOLUÇÃO:

Começaremos por determinar os limites de integração inspecio-

nando a (Fig 3.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b(1− x

a

).

Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec-

tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D)

e My(D) respectivamente.

Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla:

m(D) =∫ ∫

D%(x, y)dxdy =

∫ a

0

∫ b(1−x/a)

0%dydx

Integrando em y temos:

m(D) = %

∫ a

0y∣∣∣b(1−x/a)0

dx


m(D) = %

∫ a

0b(1− x

a

)dx

Integrando em x temos:

m(D) = %b(x− x2

2a)∣∣∣a

0


m(D) = %b(a− a2

2a)

Simplificando temos:

m(D) = %ab

2Passo 2 calcular o momento de massa Mx(D) dado pela integral

dupla:

Mx(D) =∫ ∫

D%(x, y)ydxdy

Substituindo os limites temos:

Mx(D) =∫ ∫

D%(x, y)ydxdy =

∫ a

0

∫ b(1−x/a)

0%ydydx

Integrando em y teremos:

Mx(D) =∫ a

0%y2

2

∣∣∣b(1−x/a)0

dx


Mx(D) =∫ a

0

(b(1− x/a))2

2dx

Simplificando o integrando temos:

53


Mx(D) = %

∫ a

0

(b22− b2x

a+b2x2

2a2

)dx

Integrando em x teremos:

Mx(D) = %(b2x

2− b2x2

2a+b2x3

6a2

)∣∣∣a0


Mx(D) = %(b2a

2− b2a2

2a+b2a3

6a2

)Simplificando as frações temos:

Mx(D) = %b2a

6Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral

dupla:

My(D) =∫ ∫

D%(x, y)xdxdy

My(D) =∫ ∫

D%(x, y)xdxdy

Substituindo os limites temos:

My(D) =∫ ∫

D%(x, y)xdxdy =

∫ a

0

∫ b(1−x/a)

0%xdydx

Integrando em y teremos:

My(D) =∫ a

0%xy

∣∣∣b(1−x/a)0

dx


My(D) =∫ a

0%bx(1− x

a

)dx

Integrando em x teremos:

My(D) = %b(x2

2− x3

3a)∣∣∣a

0


My(D) = %b(a2

2− a3

3a)

Simplificando as frações temos:

My(D) = %ba2

6Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas:

x =My(D)m(D)

e y =Mx(D)m(D)

.

Usando os resultados anteriores temos:

54

Cálculo III AULA

3x =

%ba2

6

%ab

2

e y =%b2a

6

%ab

2Simplificando temos:

x =a

3e y =

b

3�

Como segundo exemplo usaremos uma região em que o sistema de

coordenadas polares facilita os cálculos.

Exemplo 3.2. Para o segundo exemplo desejamos determinar o

centro de massa de uma região D dada pelo quarto da coroa cir-

cular de raio interno a e raio externo b que situa-se no primeiro

quadrante (Fig 3.2), cuja densidade superficial de massa é cons-

tante %(x, y) = %.


SOLUÇÃO:


nando a (Fig 3.2) e verificando que 0 ≤ ϑ ≤ π/2 e a ≤ r ≤ b.

Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec-

tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D)

e My(D) respectivamente.

55


Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla:

m(D) =∫ ∫

D%(x, y)dxdy =

∫ π/2

0

∫ b

a%rdrdϑ


m(D) =∫ π/2

0%r2

2

∣∣∣badϑ


m(D) = %

∫ π/2

0

(b22− a2

2)dϑ

Integrando em ϑ temos:

m(D) = %(b2

2− a2

2)ϑ∣∣∣π/20


m(D) =14%π(b2 − a2)

Passo 2 calcular o momento de massa Mx(D) dado pela integral

dupla:

Mx(D) =∫ ∫

D%(x, y)ydxdy

Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que

y = r sin(ϑ) temos:

Mx(D) =∫ ∫

D%(x, y)ydxdy =

∫ π/2

0

∫ b

a%r sin(ϑ)rdrdϑ


Mx(D) = %

∫ π/2

0sin(ϑ)

r3

3

∣∣∣badϑ


Mx(D) = %

∫ π/2

0sin(ϑ)

(b33− a3

3)dϑ


Mx(D) = %(b3

3− a3

3)(− cos(ϑ))

∣∣∣π/20


Mx(D) = %(b3

3− a3

3)(− cos(π/2)−− cos(0))


Mx(D) =13%(b3 − a3)

Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral

dupla:

56

Cálculo III AULA

3My(D) =

∫ ∫D%(x, y)xdxdy

My(D) =∫ ∫

D%(x, y)xdxdy

Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que

x = r cos(ϑ) temos:

Mx(D) =∫ ∫

D%(x, y)ydxdy =

∫ π/2

0

∫ b

a%r cos(ϑ)rdrdϑ


Mx(D) = %

∫ π/2

0cos(ϑ)

r3

3

∣∣∣badϑ


Mx(D) = %

∫ π/2

0cos(ϑ)

(b33− a3

3)dϑ


Mx(D) = %(b3

3− a3

3)(sin(ϑ))

∣∣∣π/20


Mx(D) = %(b3

3− a3

3)(sin(π/2)− sin(0))


Mx(D) =13%(b3 − a3)

Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas:

x =My(D)m(D)

e y =Mx(D)m(D)

.

Usando os resultados anteriores temos:

x = y =

13%(b3 − a3)

14%π(b2 − a2)

Levando em conta que b3 − a3 = (b− a)(b2 + ba+ a2) e b2 − a2 =

(b− a)(b+ a) temos:

x = y =

13%(b− a)(b2 + ba+ a2)

14%π(b− a)(b+ a)


x = y =4

3π.b2 + ba+ a2

b+ a�

57


3.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da

integral dupla, dentro da área da física destacamos, entre outras,

algumas das mais importantes que são: a determinação da massa

de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de

densidade, o cálculo do momento de massa de uma região plana

limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o mo-

mento de inércia de uma região plana limitada por curvas, dada

sua distribuição de densidade e o cálculo do centro de massa de

uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de

densidade.

RESUMO

Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia

Dada uma regiãoD ∈ R2 plana limitada com distribuição de densi-

dade superficial %(x, y) podemos calcular a massa deD, o momento

de massa em relação ao eixo x, o momento de massa relativo ao

eixo y, o momento de inércia em relação ao eixo x, o momento de

inércia relativo ao eixo y e momento de inércia relativo a origem,

denotados respectivamente m(D), Mx(D), My(D), Ix(D), Iy(D)

e I0(D), pelas integrais duplas:

m(D) =∫ ∫

D%(x, y)dxdy

Mx(D) =∫ ∫

D%(x, y)ydxdy

My(D) =∫ ∫

D%(x, y)xdxdy

Ix(D) =∫ ∫

D%(x, y)y2dxdy

58

Cálculo III AULA

3Iy(D) =

∫ ∫D%(x, y)x2dxdy e

I0(D) =∫ ∫

D%(x, y)(x2 + y2)dxdy

Centro de Massa

Podemos também calcular o centro de massa, denotado (x, y) usando

as seguintes fórmulas:

x =My(D)m(d)

=

∫ ∫Dx%(x, y)dxdy∫ ∫

D%(x, y)dxdy

y =Mx(D)m(d)

=

∫ ∫Dy%(x, y)dxdy∫ ∫

D%(x, y)dxdy

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos as integrais triplas. Primeira-

mente definindo-as para funções de domínios retangulares através

do limite de somas de riemann estendendo a definição para funções

definidas em domínios não retangulares porém limitados.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades dois problemas de determinação do

centro de massa.

ATIV. 3.1. Determine o centro de massa da região D dada pela

interseção das retas y = 0, x = 1 e y = ax2 (Fig 3.3) região em

cinza.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as

59


Figura 3.3: Atividade 1 Figura 3.4: Atividade 2

demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso

coordenadas cartesianas.

ATIV. 3.2. Determine o centro de massa da região D dada pelo

semi-círculo superior x2 + y2 = a2 (Fig 3.4) região em cinza.


demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso

coordenadas polares.










60

Cálculo III AULA

3THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,

2003.





61

AULA

4Integrais triplas

META:

Apresentar integrais triplas de funções de valores reais e domínio

em R3.

OBJETIVOS:


Definir integral tripla e calcular algumas integrais triplas de fun-

ções de valores reais e domínio em R3.

PRÉ-REQUISITOS


mínio em R, da disciplina Cálculo I.

Integrais triplas

4.1 Introdução

Caros alunos a quarta aula do nosso curso de Cálculo III com o

tema “Integrais Triplas”. Bem como a integral dupla, vista na nossa

primeira aula, a integração tripla, em essência, é uma extensão

natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como

limite de somas de Riemann. Na prática, a integração tripla é dadaHISTÓRIA

A primeira técnicasistemática documen-tada para o cálculode integrais triplas nocálculo de volume foio método da exaustãode Eudoxus cercade 370AC. O maioravanço no cálculode integrais triplasveio do Iraque, noséculo 11, na figurade Ibn AL-Haythan(conhecido na Europapor Alhazen ). En-quanto resolvia o queficou conhecido como“Problema de Alhazen”(um problema de ótica)ele calculou o volumede um parabolsóideusando um método deindução. Wikipédia.

por três integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável

e considerando as demais como constantes. É o que denominamos

de integrais interadas. As características e detalhes próprios das

integrais triplas serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas

três aulas.

4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípe-

dais

Começamos por considerar uma função φ definida em um do-

mínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤

d ∧ e ≤ z ≤ f}. Formalmente φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R.

Usando a imaginação, pensemos em R retalhada por uma rede

de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em

pequenos paralelepípedos. Oficialmente, consideraremos três par-

tições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] =

{y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1,

. . . , zk, zk+1, . . . , zn = f} onde como visto em Cálculo I temos:

x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl, y0 < y1 < · · · < yj <

yj+1 < · · · < ym e z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn. Desta

forma cada um dos pequenos subintervalos Ii = [xi−1, xi], Jj =

64

Cálculo III AULA

4[yj−1, yj ] e Kk = [zk−1, zk] têm comprimentos ∆xi = xi − xi−1,

∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1, respectivamente. Definimos,

agora, a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] =

P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b],

P [c, d] e P [e, f ]. Os planos retalham a região R em uma série de pe-

quenos paralelepípedos Vijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]× [zk−1, zk], 1 ≤

i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralele-

pípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk. Como tanto ∆xi quanto

∆yj quanto ∆zk são diferentes de zero, o volume de cada pequeno

paralelepípedo é também diferente de zero. Podemos então definir

a norma da partição por: |P | = max1≤i≤l1≤j≤m1≤k≤n

(∆Vijk), que corresponde

ao maior volume entre todos os pequenos paralelepípedos.

Pausa para respirar que já vamos definir a integral tripla sobre do-

mínios paralelepípedais. Para isto tomemos um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈

[xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk] em cada pequeno paralelepípedo

e definimos a seguinte soma de Riemann:

Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk

A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R,

denotada∫ ∫ ∫

Rφ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-

guinte limite:

∫ ∫ ∫Rφ(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn

65

Integrais triplas

4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralele-

pípedais Limitados

Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→

R onde D é limitado não paralelepipedal, começamos por con-

siderar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal

R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal

que D ⊂ R e Φ(x, y, z) =

φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D

0 , (x, y, z) /∈ D. Formal-

mente Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R é uma extensão da função

φ(x, y, z). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma

rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem

R em pequenos paralelepípedos e procedemos como na integral

tripla sobre domínios paralelepípedais, considerando a uma parti-

ção para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] ×

P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ]

onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] =

{y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1,

. . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}. Do mesmo modo definimos a norma

da partição por: |P | = max1≤i≤l1≤j≤m1≤k≤n

(∆Vijk) onde ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk,

∆xi = xi − xi−1, ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1. Tomamos

um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk] em cada

pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann

para a função estendida Φ(x, y, z):

Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk

66

Cálculo III AULA

4A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3,

denotada∫ ∫ ∫

Dφ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-

guinte limite:∫ ∫ ∫Dφ(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

Observem que, semelhante ao caso das integrais duplas, apenas os

pequenos paralelepípedos cujo ponto escolhido pertence ao domínio

D ⊂ R3, contribuem para a soma de Riemann os demais têm

contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão

fora de D ⊂ R2 e portanto Φ(ξi, ζj , ηk) = 0.

4.4 Interpretação Geométrica

Quando a função φ : D ⊂ R3 7→ R é constante e igual a um

(φ(x, y, z) = 1,∀(x, y, z) ∈ D) e a região domínio D é limitada,

vemos que a soma de Riemann aproxima o volume da região D e

quanto maior for o refinamento da partição de R3 ⊃ R ⊃ D melhor

será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral tripla∫ ∫ ∫Ddxdydz como o volume da região D ⊂ R3.

4.5 Integrais Iteradas

Dada uma função φ : R 7→ R onde R = [a, b]× [c, d]× [e, f ], do

mesmo modo que na integral dupla, valem as integrais interadas:

1.∫ ∫ ∫

Rφ(x, y, z)dxdydz =

∫ b

a

[ ∫ d

c

[ ∫ f

eφ(x, y, z)dz

]dy]dx

2.∫ ∫ ∫


∫ b

a

[ ∫ f

e

[ ∫ d

cφ(x, y, z)dy

]dz]dx

67

Integrais triplas

3.∫ ∫ ∫


∫ d

c

[ ∫ b

a

[ ∫ f

eφ(x, y, z)dz

]dx]dy

4.∫ ∫ ∫


∫ d

c

[ ∫ f

e

[ ∫ b

aφ(x, y, z)dx

]dz]dy

5.∫ ∫ ∫


∫ f

e

[ ∫ d

c

[ ∫ b

aφ(x, y, z)dx

]dy]dz

6.∫ ∫ ∫


∫ f

e

[ ∫ b

a

[ ∫ d

cφ(x, y, z)dy

]dx]dz

Em outras palavras, quando o domínio da integral tripla é parale-

lepipedal a ordem de integração não importa.

4.6 Propriedades das Integrais Triplas

Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de-

monstração, alguma das propriedades das integrais triplas. Caso

desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades,

recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio-

grafia abaixo.



∫ ∫ ∫Dcf(x, y, z)dxdydz = c

∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz

Propriedade 4.2. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de

valores reais integráveis em D, então vale:

∫ ∫ ∫D

(f + g)(x, y, z)dxdydz =∫ ∫ ∫

Df(x, y, z)dxdydz

+∫ ∫ ∫

Dg(x, y, z)dxdydz

68

Cálculo III AULA

4Propriedade 4.3. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores

reais integrável em D tal que f(x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então

vale:

∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz ≥ 0

Propriedade 4.4. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valo-

res reais integráveis em D tais que f(x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈

D, então vale:

∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz ≥

∫ ∫ ∫Dg(x, y, z)dxdydz

Propriedade 4.5. Seja f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores


número finito de superfícies em R3, então vale:

∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫Af(x, y, z)dxdydz

+∫ ∫ ∫

Bf(x, y, z)dxdydz

OBS 4.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line-

aridade” do operador integral tripla. As terceira e quarta pro-

priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta

propriedade é denominada “aditividade”.

4.7 Exemplos

Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem-

plos e, vamos aqui fazer exatamente isto. Ilustrar o conceito de

integral tripla com dois exemplos. Antes porém, vale observar

69

Integrais triplas

que a na prática uma integral tripla equivale a três integrais sim-

ples e neste caso uma pergunta fica no ar. Qual das duas variá-

veis x, y ou z integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é

dada pela propria expressão da integral tripla. Isto é, na integral∫ ∫ ∫Rf(x, y, z)dxdydz primeiramente integramos na variável x,

depois na variável y e por último na variável z. Já na integral∫ ∫ ∫Rf(x, y, z)dzdydx primeiramente integramos na variável z,

depois na variável y e por último na variável x.

Exemplo 4.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] 7→ R

dada por f(x, y) = x2 + y2 + z2 e determine a integral tripla

I =∫ ∫

Rf(x, y, z)dxdydz sobre a região R = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤

x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.

SOLUÇÃO:

Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a

região R dada, segundo a ordem de integração:

I =∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x2 + y2 + z2)dxdydz

Passo 2 integraremos na variável x considerando as variáveis y e

z como constantes:

I =∫ 1

0

∫ 1

0

(x3

3+ y2x+ z2x

)dydz


I =∫ 1

0

∫ 1

0

(13

3− 03

3+ y2(1− 0) + z2(1− 0)

)dydz


I =∫ 1

0

∫ 1

0

(13

+ y2 + z2

)dy

Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x

como constante:

70

Cálculo III AULA

4I =

∫ 1

0

(13y +

y3

3+ z2y

) ∣∣∣10dz


I =∫ 1

0

(13

(1− 0) +13

3− 03

3+ z2(1− 0)

)dz


I =∫ 1

0

(13

+13

+ z2

)dz

Passo 4 último passo, integraremos na variável z:

I =(

13z +

13z +

z3

3

) ∣∣∣10


I =(

13

(1− 0) +13

(1− 0) +13

3− 03

3

)Efetuando os cálculos temos:

I =13

+13

+13

= 1 �



limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não re-

tangular da forma: D.


as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região

71

Integrais triplas

D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada

D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior

e b(x) curva superior, como na AULA01.

Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento


r na Fig. 4.1)

Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na di-

reção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗


Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na di-

reção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗



mento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção

positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a fun-

ção a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o

limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o

segmento de reta sai da região D∗.

Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o

segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orien-

tado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z

será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra

na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto

da superfície onde o segmento de reta sai da região D.


∫ ∫ ∫Df(x, y)dxdy =

∫ b

a

∫ b(x)

a(x)

∫ b(x,y)

a(x,y)f(x, y, z)dzdydx

72

Cálculo III AULA

4Vamos diretamente para um segundo exemplo de integral dupla

sobre domínios não retangulares. A saber:

Exemplo 4.2. Considere a função f : D ⊂ R3 7→ R dada por

f(x, y) = xyz e determine a integral dupla∫ ∫

Df(x, y, z)dxdydz

sobre a região D = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 ∧ 0 ≤

z ≤ 1}, (Fig. 4.2).

Figura 4.2: Domínio D para o exemplo 2

SOLUÇÃO:

Passo 1 faremos o desenho das superfícies que determinam os

limites para a região D. A saber x = 0, x = 1, y = x2, x = 0 e

z = 1 (Fig. 4.2).

Usando o processo prático exposto acima determinamos os limi-

tes de integração. A saber: a = 0, b = 1, a(x) = 0, b(x) = x2,

a(x, y) = 0 e b(x, y) = 1.

I =∫ 1

0

∫ x2

0

∫ 1

0xyzdzdydx

Passo 2 integraremos na variável z considerando a variável y

73

Integrais triplas

e x como uma constante:

I =∫ 1

0

∫ x2

0

(xyz2

2

∣∣∣10

)dydx


I =∫ 1

0

∫ x2

0

(xy

12

2− xy02

2))dydx


I =12

∫ 1

0

∫ x2

0xydydx

Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x

constante temos:

I =∫ 1

0xy2

2

∣∣∣x2

0dx


I =12

∫ 1

0

(x

(x2)2

2− x02

2

)dx


I =14

∫ 1

0x5dx

Integrando , finalmente , na variável x temos:

I =14

(x6

6

∣∣∣10

)Substituindo os limites de integração temos:

I =14

(16

6− 06

6

)Efetuando os cálculos temos: I =

124

�

4.8 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a integral tripla é uma extensão

natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I e também

uma extensão natural do conceito de integral dupla, vista em nossa

primeira aula do curso de Cálculo III. E se por um lado a integral

simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita por

74

Cálculo III AULA

4função positiva f(x) em um domínio [a, b] e a integral dupla pode

ser vista como o volume de um prisma reto limitado superiormente

pela a superfície descrita por uma função positiva f(x, y) e limitado

inferiormente pelo domínio [a, b] × [c, d], a integral tripla só tem

interpretação geométrica no caso simples em que f(x, y, z) = 1.

Neste caso a integral tripla representa o volume da região limitada

D ⊂ R3.

RESUMO

Integração Tripla: Domínios Paralelepipedais

Considerando uma função φ definida em um domínio paralelepi-

pedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f}.

Podemos dividir R em pequenos paralelepípedos considerando os

planos paralelos ao planos cartesianos gerados pela partição P =

P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições

P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . ,

xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] =

{z0 = e, z1, . . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}. Os planos retalham a região

R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1, xi] ×

[yj−1, yj ] × [zk−1, zk], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume

de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk.

A norma da partição fica estabelecida como: |P | = max1≤i≤l1≤j≤m1≤k≤n

(∆Vijk).

Toma-se um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk]

em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de

Riemann:

75

Integrais triplas

Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk

A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R,

denotada∫ ∫ ∫

Rφ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-

guinte limite:∫ ∫ ∫Rφ(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn

Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limi-

tados

Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→ R

onde D é não paralelepipedal limitado, começamos por conside-

rar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R =

{(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal que

D ⊂ R e Φ(x, y, z) =

φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D

0 , (x, y, z) /∈ D. Formalmente

Φ : [a, b]× [c, d]× [e, f ] 7→ R é uma extensão da função φ(x, y, z).

A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição

da integral tripla em domínios paralelepipedais. Podemos definir

a integral tripla de uma função φ(x, y, z) em um domínio não re-

tangular D por:

∫ ∫ ∫Dφ(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn

onde Slmn =∑l

i=1

∑mj=1

∑nk=1 Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk é a soma de Rie-

mann para Φ(x, y, z.

Integrais Iteradas

As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =

[a, b]× [c, d]× [e, f ] a ordem de execução das integrais simples não

76

Cálculo III AULA

4alteram o valor da integral tripla, que pode ser representada por:

1.∫ ∫ ∫


∫ b

a

[ ∫ d

c

[ ∫ f

eφ(x, y, z)dz

]dy]dx

2.∫ ∫ ∫


∫ b

a

[ ∫ f

e

[ ∫ d

cφ(x, y, z)dy

]dz]dx

3.∫ ∫ ∫


∫ d

c

[ ∫ b

a

[ ∫ f

eφ(x, y, z)dz

]dx]dy

4.∫ ∫ ∫


∫ d

c

[ ∫ f

e

[ ∫ b

aφ(x, y, z)dx

]dz]dy

5.∫ ∫ ∫


∫ f

e

[ ∫ d

c

[ ∫ b

aφ(x, y, z)dx

]dy]dz

6.∫ ∫ ∫


∫ f

e

[ ∫ b

a

[ ∫ d

cφ(x, y, z)dy

]dx]dz

Propriedades das Integrais triplas

As integrais triplas são, de certo modo, semelhantes às proprie-

dades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase

que uma extensão natural destas. As integrais triplas têm, entre

outras, as seguintes propriedades:



∫ ∫ ∫Dcf(x, y, z)dxdydz = c

∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz


reais integráveis em D, então vale:

∫ ∫ ∫D

(f + g)(x, y, z)dxdydz =∫ ∫ ∫

Df(x, y, z)dxdydz

+∫ ∫ ∫

Dg(x, y, z)dxdydz

77

Integrais triplas


reais integrável em D tal que f(x, y, z) ≥ 0,∀(x, y, z) ∈ D, então

vale:

∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz ≥ 0


reais integráveis em D tais que f(x, y, z) ≥ g(x, y, z),∀(x, y, z) ∈

D, então vale:

∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz ≥

∫ ∫ ∫Dg(x, y, z)dxdydz

Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores


número finito de superfícies em R3, então vale:

∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫Af(x, y, z)dxdydz

+∫ ∫ ∫

Bf(x, y, z)dxdydz

Determinação dos Limites de Integração para Integrais

Triplas

Daremos aqui um método prático para determinar os limites de

integração em uma integral tripla sobre domínio não retangular da

forma: D.


as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região

D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada

78

Cálculo III AULA

4D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior

e b(x) curva superior, como na AULA01.

Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um seg-

mento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y

(segmento r na Fig. 4.1)

Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na

direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de

D∗ marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1).

Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na

direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗


Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o

segmento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na di-

reção positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a

função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e

o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde

o segmento de reta sai da região D∗.

Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o

segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orien-

tado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z

será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra

na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto

da superfície onde o segmento de reta sai da região D.

79

Integrais triplas


∫ ∫ ∫Df(x, y)dxdy =

∫ b

a

∫ b(x)

a(x)

∫ b(x,y)

a(x,y)f(x, y, z)dzdydx

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na in-

tegração tripla. O objetivo da mudança de variáveis em uma in-

tegral tripla será a de facilitar esta integração de uma de duas

formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A

segunda transformando o domínioD do integrando em um domínio

de forma geométrica mais simples.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais trí-

plas.

ATIV. 4.1. Seja f : [−1,+1]× [−1,+1]× [−1,+1] 7→ R dada por

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Determine a integral tripla:∫ ∫ ∫Rf(x, y, z)dxdydz.



de guia.

ATIV. 4.2. Seja f : D ⊂ R3 7→ R dada por f(x, y, z) = 1, onde

D = {(x, y, z) ∈ R3|x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1− x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1− x2}.

80

Cálculo III AULA

4• Esboce a região de integração

• Determine os limites da integral tripla:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz

• Calcule a integral tripla∫ ∫ ∫

Df(x, y, z)dxdydz.



de guia.











2003.





81

AULA

5Mudança de Variáveisem Integrais tríplas

META:

Introduzir mudança de variáveis em integrais triplas de funções de


OBJETIVOS:


Calcular integrais triplas de funções de valores reais e domínio em

R3 utilizando mudança de variáveis.

PRÉ-REQUISITOS


mínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R3, de coorde-

nadas polares da disciplina Cálculo II e integrais triplas aula 04.

Mudança de Variáveis em Integrais tríplas

5.1 Introdução

Caros alunos o problema da mudança de variáveis em integrais

triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variá-

veis em integrais duplas. Analogias a parte, o fato de do espaço R3

ter uma dimensão a mais que o R2, traz um esforço algébrico adi-

cional ao tratamento geral da mudança de variáveis em integraisHISTÓRIA

O teorema de mu-dança de variáveis emintegrais tríplas foiprimeiro proposto porLagrange em 1773 eusado por Legendre,Laplace e Gauss, eprimeiramente ge-neralizado para nvariáveis por MikhailOstrogradski em 1836,resistiu a uma demons-tração mais rigorosapor longo tempo (cercade 125 anos). Efoi satisfatóriamentedemonstrado por ElieCartan em uma sériede artigos nos anos1890.

triplas. Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis

em integrais tripla que correspondem aos: sistemas de coordenadas

cilíndricos e sistema de coordenadas esféricos.

5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas

Vamos considerar a integração de uma função f : D ⊂ R3 7→

R onde (x, y, z) ∈ D e conseqüentemente, ∀(x, y, z) ∈ D temos

f(x, y, z) ∈ R. Consideraremos também, uma transformação T :

D ⊂ R3 7→ D′ ⊂ R3, biunívoca de modo que D = T−1(D′),

∀(u, v, w) ∈ D′, (x, y, z) = T−1(u, v, w) ∈ D. Trocando em miú-

dos: x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w). E suponhamos

as funções contínuas e deriváveis e seu jacobiano, denotado J , de-

finido por: J(x, y, z

u, v, w

)ou

∂(x, y, z)∂(u, v, w)

:

J

(x, y, z

u, v, w

)=∂(x, y, z)∂(u, v, w)

= det

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∂w

.

Suponhamos uma partição de D′ feita partindo de planos para-

lelos aos planos coordenados vw (u constante), uw (v constante) e

uv (w constante). Denotando ui+1 = ui + ∆ui, vj+1 = vj + ∆vj e

84

Cálculo III AULA

5wk+1 = wk+∆wk, destacamos o pequeno paralelepípedo indexado

por ijk, (Fig 5.1). Suponhamos que

Figura 5.1: Elemento de vo-

lume em D′


lume em D

este pequeno paralelepípedo de volume ∆V ′ijk = ∆ui∆vj∆wk seja

mapeado por T−1 em um subdomínio em D de volume ∆Vijk (Fig

5.2). Seja: P = P (u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)).

Os segmentos de reta (u, vj , wk), (ui, v, wk) e (ui, vj , w) come-

çando no ponto (ui, vj , wk) são mapeados por T−1 em P (u, vj , wk)

P (ui, v, wk) P (ui, vj , w) ver (Fig 5.2).

No subdomínio Vijk ⊂ D traçamos os vetores tangentes∂P

∂u∆ui,

∂P

∂v∆vj e

∂P

∂w∆wk, ver (Fig 5.3). Em seguida traçamos segmentos

de reta paralelos aos vetores tangentes completando um paralele-

pípedo em D, ver (Fig 5.4), cujo volume admitiremos aproxima-

damente igual ao ∆Vijk (esta é a argumentação heurística). Este

volume é dado por:

∆Vijk ≈∣∣∣∣∂P∂u∆ui ×

∂P

∂v∆vj •

∂P

∂w∆wk

∣∣∣∣ .

85


Levando em conta que:

∂P

∂u=∂x

∂u~i~i~i+

∂y

∂u~j~j~j +

∂z

∂u~k~k~k

∂P

∂v=∂x

∂v~i~i~i+

∂y

∂v~j~j~j +

∂z

∂v~k~k~k

∂P

∂w=∂x

∂w~i~i~i+

∂y

∂w~j~j~j +

∂z

∂w~k~k~k

e calculando o produto vetorial mixto teremos:


lume em D′


lume em D

∂P

∂u∆ui×

∂P

∂v∆vj•

∂P

∂w∆wk = det

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∂w

∆ui∆vj∆wk

Daí, levando em conta a expressão do jacobiano em R3, dada

acima, temos:

∆Vijk ≈∣∣∣∣ ∂(x, y, z)∂(u, v, w)

∣∣∣∣∆ui∆vj∆wkO que nos leva à seguinte expressão para a mudança de variáveis

em integrais triplas:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫D′F (u, v, w) |J | dudvdw

86

Cálculo III AULA

5onde: F (u, v, w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) e J é o jaco-

biano J = J

(x, y, z

u, v, w

).

5.3 Alguns Exemplos

Nesta seção veremos dois exemplos de integrais triplas com

mudança de variáveis. No primeiro aplicaremos a mudança de va-

riáveis dada pelo sistema de coordenadas cilíndricas e no segundo

o sistema de coordenadas esféricas

Primeiramente veremos um exemplo em coordenadas cilíndricas.

Antes porém, veremos como determinar os limites de integração

em coordenadas cilíndricas.

Figura 5.5: Coordenadas ci-

líndricas 1


líndricas 2

Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no

plano xy (ver Fig. 5.5).

Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗. Atravessar

a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.6).

87


À medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela

forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite

inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da

variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].

Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a

região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r

entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o

ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para

a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].

Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável

r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas pola-

res e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8). O

ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ)

para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite

superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)].


líndricas 3


líndricas 4

Podemos agora encarar o nosso primeiro exemplo onde colocaremos

88

Cálculo III AULA

5em prática a determinação dos limites de integração em coordena-

das cilíndricas.

Exemplo 5.1. Considere o sólido gerado pela intersecção das su-

perfícies: z = y + a, (plano) x2 + y2 − 2ay = 0, (cilindro) e z = 0,

(plano) (Fig 5.9) e determine seu volume.

Figura 5.9: Superfícies do

exemplo 1

Figura 5.10: Interseção das

superfícies do exemplo 1

SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig

5.10) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na

(Fig 5.11) as superfícies que compõem o sólido separadas no es-

paço.

Usaremos para o caso o sistema de coordenadas cilíndricas, dada

pela transformação: (x, y, z) 7→ (r, ϑ, z) onde x = r cos(ϑ), y =

r sin(ϑ) e z = z. O jacobiano da transformação é dado por:

89



J = J

(x, y, z

r, ϑ, z

)= det

∂x

∂r

∂y

∂r

∂z

∂r∂x

∂ϑ

∂y

∂ϑ

∂z

∂ϑ∂x

∂z

∂y

∂z

∂z

∂z

Efetuando as derivadas parciais temos:

J = det

cos(ϑ) sin(ϑ) 0

−r sin(ϑ) r cos(ϑ) 0

0 0 1

Fazendo as contas do determinante temos:

J = r

Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos, vistos acima,

para determinação dos limites de integração de uma integral tripla

no sistema de coordenadas cilíndricas.

Passo 1: Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem

como sua projeção sobre o plano xy (superfícieD∗), (ver Fig 5.10).

A projeção sobre o plano xy (superfície D∗), conhecide com a su-

perfície inferior do sólido, sendo o disco dado por x2+y2−2ay ≤ 0.

90

Cálculo III AULA

5Passo 2: Os limites para r e ϑ são determinados emD∗ do mesmo

modo que para coordenadas polares em R2. Neste caso 0 ≤ ϑ ≤ 2π

e para r temos: que r vai de zero até a borda de D∗ que é dada

por x2 + y2 − 2ay = (r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2 − 2ar sin(ϑ) = 0.

Daí, r2 − 2ar sin(ϑ) = r(r − 2a sin(ϑ)) = 0 Simplificando temos:

0 ≤ r ≤ 2a sin(ϑ).

Passo 3: Para determinar os limites para z. Por cada par

(r, ϑ) ∈ D∗, traçamos uma reta paralela ao eixo z orientada no

sentido positivo do eixo z atravessando o sólido. O limite inferior

de z é o ponto onde a reta entra no sólido e o limite superior o

ponto onde a reta sai do sólido. Neste caso: 0 ≤ z ≤ a + x ou

como x = r cos(ϑ) temos: 0 ≤ z ≤ a+ r cos(ϑ).

Daí, o cálculo do volume de D será dado pela integral:

V ol(D) =∫ 2π

0

∫ 2a sin(ϑ)

0

∫ a+r sin(ϑ)

0rdzdrdϑ

Integrando na variável z temos:

V ol(D) =∫ 2π

0

∫ 2a sin(ϑ)

0rz∣∣∣a+r sin(ϑ)

0drdϑ


V ol(D) =∫ 2π

0

∫ 2a sin(ϑ)

0r(a+ r sin(ϑ)− 0)drdϑ

Fazendo as contas temos:

V ol(D) =∫ 2π

0

∫ 2a sin(ϑ)

0(ar + r2 sin(ϑ))drdϑ

Integrando em na variável r temos:

V ol(D) =∫ 2π

0(ar2

2+r3

3sin(ϑ))

∣∣∣2a sin(ϑ)

0dϑ

91


Substituindo o limite superior pois, o limite inferior por ser r = 0

não contribui, temos:

V ol(D) =∫ 2π

0(a

(2a sin(ϑ))2

2+

(2a sin(ϑ))3

3sin(ϑ))dϑ


V ol(D) =∫ 2π

0(2a3 sin2(ϑ) +

8a3 sin4(ϑ)3

)dϑ

Reescrevendo temos:

V ol(D) = 2a3

∫ 2π

0sin2(ϑ)dϑ+

8a3

3

∫ 2π

0sin4(ϑ)dϑ

Das tabelas de integrais temos:∫sinn(αu)du = −α sinn−1(αu) cos(αu)

an

+(n− 1n

)∫sinn−2(αu)du∫

sin2(αu)du =u

2− sin(2αu)

4α

Dai, temos:∫sin2(ϑ)dϑ =

ϑ

2− sin(2ϑ)

4∫sin4(ϑ)dϑ = −sin3(ϑ) cos(ϑ)

4+

34

∫sin2(ϑ)dϑ

= −sin3(ϑ) cos(ϑ)4

+34

(ϑ

2− sin(2ϑ)

4

)Podemos agora calcular as integrais. Para a integral de sin2(ϑ)

temos: ∫ 2π

0sin2(ϑ)dϑ =

ϑ

2− sin(2ϑ)

4

∣∣∣2π0

= +2π2− sin(4π)

4

−02

+sin(0)

4= π

92

Cálculo III AULA

5Para a integral de sin4(ϑ) temos:∫ 2π

0sin4(ϑ)dϑ =

(−sin3(ϑ) cos(ϑ)

4+

34

(ϑ

2− sin(2ϑ)

4

)) ∣∣∣2π0

= +(−sin3(2π) cos(2π)

4+

34

(2π2− sin(4π)

4

))−(−sin3(0) cos(0)

4+

34

(02− sin(0)

4

))=

3π4

Substituindo no cálculo de V ol(D) temos:

V ol(D) = 2πa3 +8a3

33π4

= 4πa3 �

Em nosso segundo exemplo utilizaremos coordenadas esféricas, An-

tes porém, veremos como determinar os limites de integração em

coordenadas esféricas.

Figura 5.12: Coordenadas es-

féricas 1


féricas 2



93


Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗. Atravessar

a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.13).

Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela

forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite

inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da

variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].

Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar


féricas 3


féricas 4

a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ

com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que

começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida

em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com

o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da

variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável

ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].

Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável

r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com

o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma ângulo ϕ

94

Cálculo III AULA

5com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig. 5.15). O

ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(ϑ, ϕ)

para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite

superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)].

Podemos agora encarar o nosso segundo exemplo onde colocaremos

em prática a determinação dos limites de integração em coordena-

das esféricas.

Exemplo 5.2. Considere o sólido gerado pela interseção das su-

perfícies: z =√x2 + y2 (cone), z =

√a2 − x2 − y2 (esfera)(Fig

5.16) e determine seu volume.

Figura 5.16: Superfícies de

exemplo 2

Figura 5.17: Interseção das

superfícies de exemplo 2

SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig

5.17) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na

(Fig 5.18) as superfícies que compõem o sólido separadas no es-

paço.

95



Usaremos para o caso o sistema de coordenadas esféricas, dada

pela transformação: (x, y, z) 7→ (r, ϑ, ϕ) onde x = r cos(ϑ) cos(ϕ),

y = r sin(ϑ) cos(ϕ) e z = r sin(ϕ). O jacobiano da transformação

é dado por:

J = J

(x, y, z

r, ϑ, z

)= det

∂x

∂r

∂y

∂r

∂z

∂r∂x

∂ϑ

∂y

∂ϑ

∂z

∂ϑ∂x

∂ϕ

∂y

∂ϕ

∂z

∂ϕ

Efetuando as derivadas parciais temos:

J = det

cos(ϑ) cos(ϕ) sin(ϑ) cos(ϕ) sin(ϕ)

−r sin(ϑ) cos(ϕ) r cos(ϑ) cos(ϕ) 0

−r cos(ϑ) sin(ϕ) −r sin(ϑ) sin(ϕ) r cos(ϕ)

Fazendo as contas do determinante temos:

J = r2 sin(ϕ)

Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos na determina-

ção dos limites de integração de uma integral tripla no sistema de

96

Cálculo III AULA

5


coordenadas esféricas expostos acima.

Passo 1: Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem

como sua projeção sobre o plano xy (superfície D∗), ver (Fig

5.19). A projeção sobre o plano xy (superfície D∗), é dada por

x2 + y2 ≤ a2.

Passo 2: Os limites para a variável ϑ são determinados em D∗

como em um sistema de coordenadas polares. No caso como D∗ é

um disco de raio√a

2temos que: 0 ≤ ϑ ≤ 2π.

Passo 3: Os limites para a variável ϕ são determinados em D

do seguinte modo: para cada valor fixo de ϑ, em D∗, cortamos o

domínio D por um plano que passa no eixo z e forma ângulo ϑ com

o eixo x. Traçamos uma reta M que passa na origem, pertence ao

plano ϑ e atravessa o domínio D. O ângulo ϕ é o ângulo formado

por M e o eixo z positivo. Para o caso o menor valor é ϕ = 0,

quando M conhecide com o eixo Z e o maior valor de ϕ em D

é quando M conhecide com a geratriz do cone z =√x2 + y2 e

ϕ =π

4.

Passo 4: Os limites para a variável r são determinados em D

97


do seguinte modo: para cada par fixo ϑ, ϕ) percorremos a reta

M partindo da origem. O limite inferior de r é o ponto onde a

reta entra em D e o limite superior o ponto onde M sai de D.

Para o nosso caso: 0 ≤ r ≤ a (a reta sai na superfície da esfera

z =√a2 − x2 − y2.

Podemos determinar o volume de D pela integral tripla:

V ol(D) =∫ 2π

0

∫ π/4

0

∫ a

0r2 sin(ϕ)drdϕdϑ

Integrando primeiramente na variável r temos:

V ol(D) =∫ 2π

0

∫ π/4

0

r3

3

∣∣∣a0

sin(ϕ)dϕdϑ


V ol(D) =∫ 2π

0

∫ π/4

0

(a3

3− 03

3

)sin(ϕ)dϕdϑ


V ol(D) =a3

3

∫ 2π

0

∫ π/4

0sin(ϕ)dϕdϑ

Integrando na variável ϕ temos:

V ol(D) =a3

3

∫ 2π

0− cos(ϕ)

∣∣∣π/40dϑ


V ol(D) =a3

3

∫ 2π

0(− cos(π/4) + cos(0)) dϑ


V ol(D) =a3

32−√

22

∫ 2π

0dϑ

Integrando na variável ϑ temos:

V ol(D) =a3

32−√

22

ϑ∣∣∣2π0

98

Cálculo III AULA

5Substituindo os limites de integração temos:

V ol(D) =a3

32−√

22

(2π − 0)

Finalmente, simplificando temos:

V ol(D) =πa3(2−

√2)

3�

5.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que algumas vezes é conveniente fazer

uma mudança nas variáveis de integração em uma integral tripla,

para facilitar o cálculo da mesma. Vimos em particularmente duas

mudanças de variáveis são muito importantes e correspondem aos:

sistema de coordenadas cilíndricas e sistema de coordenadas esfé-

ricas.

RESUMO

Para o nosso resumo da aula 05 necessitamos algumas consi-

derações iniciais para tratar da mudança de variáveis em integrais

triplas. A saber:

Consideramos a transformação (x, y, z) = T (u, v, w) tal que o do-

mínio um ponto do domínio D ⊂ R3, (x, y, z) seja transformado

no ponto (u, v, w) do domínio D′ ⊂ R3, (D = T (D′)) e mais

especificamente x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w). De-

finindo o jacobiano da transformação, denotado J , J(x, y, z

u, v, w

)ou

∂(x, y, z)∂(u, v, w)

, por:

99


J

(x, y, z

u, v, w

)=∂(x, y, z)∂(u, v, w)

= det

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∂w

Mudança de Variáveis em Integrais Triplas

Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en in-

tegrais duplas:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫D′F (u, v, w) |J | dudvdw

onde: F (u, v, w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) e J é o jaco-

biano J = J

(x, y, z

u, v, w

).

Sistema de Coordenadas Cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas, dado pela transformação:

(x, y, z) 7→ (r, ϑ, z) onde x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ) e z = z. O

jacobiano da transformação é dado por: J = r e a integral tripla

pela expressão:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫D′F (r, ϑ, z)rdzdrdϑ

onde: F (r, ϑ, z) = f(r cos(ϑ), r sin(ϑ)z)

Sistema de Coordenadas esféricas

O sistema de coordenadas esféricas, que é dado pela transformação:

(x, y, z) 7→ (r, ϑ, ϕ) onde x = r cos(ϑ) cos(ϕ), y = r sin(ϑ) cos(ϕ)

e z = r sin(ϕ). O jacobiano da transformação é dado por: J =

r2 sin(ϕ) e a integral tripla pela expressão:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫D′F (r, ϑ, ϕ)r2 sin(ϕ)drdϕdϑ

onde: F (r, ϑ, ϕ) = f(r cos(ϑ) cos(ϕ), r sin(ϑ) cos(ϕ), r sin(ϕ))

100

Cálculo III AULA

5Determinação dos Limites para Integração em Coorde-

nadas Cilíndricas

Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas

cilíndricas utiliza-se os seguintes passos:



Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗. Atra-

vessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig.

5.6). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ

que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o

limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior

da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].


a região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r

entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o

ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para

a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].

Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da va-

riável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas

polares e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8).

O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ)

para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite

superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)].

101


Determinação dos Limites para Integração em Coordena-

das Esféricas

Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas

esféricas utiliza-se os seguintes passos:



Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗. Atra-

vessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig.

5.13). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ

que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o

limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior

da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].


a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ

com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que

começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida

em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com

o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da

variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável

ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].

Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da va-

102

Cálculo III AULA

5riável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo

ϑ com o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma

ângulo ϕ com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig.

5.15). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior

α(ϑ, ϕ) para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o

limite superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)].

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplica-

ções da integral tripla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo

do centro de massa e momentos de inércia de sólidos gerados por

intersecções de superfícies em R3.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades dois problemas envolvendo mudança

de variáveis em integrais triplas.

ATIV. 5.1. Determine o volume do sólido formado pela intersec-

ção das superfícies z = 0, z = 1 + x2 + 3y2 e x2 + y2 = 1.


primeiro exemplo e use o sistema de coordenadas cilíndricas.

ATIV. 5.2. Seja D ⊂ R3 a região formada pela intersecção das

superfícies z = 0 e x2 + yh2 + z2 = 1 e f : R3 7→ R dada por

103


f(x, y, z) = z. Determine a integral tripla∫ ∫ ∫

Df(x, y, z)dxdydz.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o se-

gundo exemplo e use o sistema de coordenadas esféricas.











2003.





104

AULA

6Algumas Aplicaçõesdas Integrais tríplas

META:

Apresentar algumas aplicações das integrais triplas de funções de


OBJETIVOS:


Determinar o volume, o centro de massa momento de massa e o

momento de inércia de alguns sólidos em R3.

PRÉ-REQUISITOS


mínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R3, coordenadas

polares da disciplina Cálculo II, coordenadas cilíndricas, coordena-

das esféricas e integrais duplas aula 04 e aula 05.

Algumas Aplicações das Integrais tríplas

6.1 Introdução

Caros alunos, nossa sexta aula tem como objetivo introduzir

algumas aplicações da integral tripla. Em particular veremos como

calcular a massa de uma região D ⊂ R3 dada sua distribuição

de densidade, bem como calcular, para a mesma, seu centro de

gravidade e momentos de massa. É um bocado de cálculo, mais

chegaremos lá.

6.2 Preliminares

Consideraremos uma região D ⊂ R3 finita, com uma distribui-

ção de densidade (massa por unidade de volume) % : D 7→ R+ i.e.

%(x, y, z) > 0,∀(x, y, z) ∈ D.

Determinação da massa

Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida

em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤

b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal que D ⊂ R e Φ(x, y, z) = %(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D

0 , (x, y, z) /∈ D. Considerando a uma partição para

o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ],

o produto cartesiano de partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde

P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b},x0 < x1 < · · · <

xi < xi+1 < · · · < xl, P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym =

d}, y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < ym e P [e, f ] = {z0 =

e, z1, . . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}, z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 <

· · · < zn. Tomamos um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]×

[zk−1, zk] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte

106

Cálculo III AULA

6soma de Riemann:

Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.

A massa da região D, denotada m(D), será a integral integral

tripla da função %(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3, dada por∫ ∫ ∫D%(x, y, z)dxdydz e definida como o seguinte limite:

m(D) =∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

OBS 6.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a

seguinte soma de Riemann:

Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

g(ξi, ζj , ηk)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk,

onde g(ξi, ζj , ηk) é a aceleração da gravidade no ponto (ξi, ζj , ηk).

E o peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral tri-

pla:

p(D) =∫ ∫ ∫

Dg(x, y, z)%(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

Determinação dos Momentos de Massa


de uma região D ⊂ R3 limitada com distribuição de densidade

%(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D. Para calcular o momento de massa de

um pequeno paralelepípedo com relação ao plano coordenado yz

tomamos o seguinte produto ξiΦ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk. Aqui ξi repre-

senta uma aproximação da distância do pequeno paralelepípedo

∆ξi∆ζj∆ηk ao plano coordenado yz. O momento total em relação

ao plano yz para a região D será aproximado pelo limite da soma

de Riemann:

107


Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

ξiΦ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.

O momento de massa da regiãoD em relação ao plano yz, denotado

Myz(D), será dado pela integral tripla∫ ∫ ∫

Dx%(x, y, z)dxdydz

definida pelo limite:

Myz(D) =∫ ∫ ∫

Dx%(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D

em relação ao plano xz tomando-se a seguinte soma de Riemann:

Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

ζjΦ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.

O momento de massa da regiãoD em relação ao plano xz, denotado

Mxz(D), será dado pela integral tripla∫ ∫ ∫

Dy%(x, y, z)dxdydz


Mxz(D) =∫ ∫ ∫

Dy%(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

E o momento de massa da regiãoD em relação ao plano xy tomando-

se a seguinte soma de Riemann:

Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

ηkΦ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.

O momento de massa da região D em relação ao plano xy, deno-

tadoMxy(D), será dado pela integral tripla∫ ∫ ∫

Dz%(x, y, z)dxdydz


Mxy(D) =∫ ∫ ∫

Dz%(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

Determinação dos Momentos de Inércia


de uma região D ⊂ R3 limitada com distribuição de densidade

%(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D. Para calcular, aproximadamente, o mo-

mento de inércia de um pequeno paralelepípedo com relação a uma

108

Cálculo III AULA

6reta r, tomamos o seguinte produto d2(ξi, ζj , ηk)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk,

onde d(ξi, ζj , ηk) representa a distância do ponto (ξi, ζj , ηk) à reta

r. Em particular a distância do ponto (ξi, ζj , ηk) ao eixo x é

dada por: d(ξi, ζj , ηk) =√ζ2j + η2

k e o momento de inércia do

pequeno paralelepípedo em relação ao eixo x será aproximado por:

(ζ2j +η2

k)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk. O momento de inércia total em relação

ao eixo x para a região D será aproximado pelo limite da soma de

Riemann:

Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

(ζ2j + η2

k)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.

O momento de inércia da região D em relação ao eixo x, denotado

Ix é dado pela integral∫ ∫ ∫

D(y2 +z2)%(x, y, z)dxdydz calculada

pelo limite:

Ix(D) =∫ ∫ ∫

D(y2 + z2)%(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D

em relação ao eixo y tomando-se a seguinte soma de Riemann:

Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

(ξ2i + η2k)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.

O momento de inércia da região D em relação ao eixo y, denotado

Iy é dado pela integral∫ ∫ ∫

D(x2 +z2)%(x, y, z)dxdydz calculada

pelo limite:

Iy(D) =∫ ∫ ∫

D(x2 + z2)%(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

Também chega-se ao momento de inércia da região D em rela-

ção ao eixo z tomando-se a seguinte soma de Riemann: Slmn =l∑

i=1

m∑j=1

n∑k=1

(ξ2i + ζ2j )Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.

O momento de inércia da região D em relação ao eixo z é dada pela

integral∫ ∫ ∫

D(x2 + y2)%(x, y, z)dxdydz calculada pelo limite:

109


Iz(D) =∫ ∫ ∫

D(x2 + y2)%(x, y, z)dxdydz def= lim

|P |→0Slmn.

Determinação do Centro de Massa

O centro de massa de uma região D ⊂ R3 finita, com uma dis-

tribuição de densidade mássica %(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D, é o ponto

(x, y, z) definido por:

x =Myz(D)m(d)

=

∫ ∫ ∫Dx%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz

,

y =Mxz(D)m(d)

=

∫ ∫ ∫Dy%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz

e

z =Mxy(D)m(d)

=

∫ ∫ ∫Dz%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz

.

6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla

Faremos duas aplicações da integral tripla. A primeira refere-se

ao cálculo do centro de massa de de um sólido gerado pela intersec-

ção de superfícies, usando o sistema de coordenadas cartesiano. A

segunda trata-se da determinação da massa e do momento de inér-

cia Iz de um sólido gerado pela intersecção de superfícies, usando

o sistema de coordenadas cilíndricas. Vamos aos nossos exemplos.

Exemplo 6.1. Considerando a intersecção das superfícies: x = 0,

x = a, y = 0, y = x2, z = 0 e z = x2, (Fig 6.1), determinar sua

massa e seu centro de massa levando en conta uma distribuição de

densidade constante %(x, y, z) = %.

110

Cálculo III AULA

6


SOLUÇÃO:


nando a (Fig 6.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ x2 e

0 ≤ z ≤ x2.

Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os res-

pectivos momentos de massa com relação ao planos yz, xz e xy,

respectivamente.

Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral tripla:

m(D) =∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz =

∫ a

0

∫ x2

0

∫ x2

0%dzdydx

Integrando em z temos:

m(D) =∫ a

0

∫ x2

0%z∣∣∣x2

0dydx


m(D) =∫ a

0

∫ x2

0%(x2 − 0)dydx


m(D) = %

∫ a

0

∫ x2

0x2dydx


m(D) = %

∫ a

0x2y∣∣∣x2

0dx

111



m(D) = %

∫ a

0x2(x2 − 0)dx


m(D) = %

∫ a

0x4dx

Finalmente, integrando em x temos:

m(D) = %x5

5

∣∣∣a0


m(D) = %(a5

5− 05

5)


m(D) = %a5

5

Passo 2 determinar o momento de massa relativo ao plano yz

Myz(D), dada pela integral tripla:

Myz(D) =∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)xdxdydz =

∫ a

0

∫ x2

0

∫ x2

0%xdzdydx


Myz(D) =∫ a

0

∫ x2

0%xz

∣∣∣x2

0dydx


Myz(D) =∫ a

0

∫ x2

0%x(x2 − 0)dydx


Myz(D) = %

∫ a

0

∫ x2

0x3dydx


Myz(D) = %

∫ a

0x3y∣∣∣x2

0dx


Myz(D) = %

∫ a

0x3(x2 − 0)dx


Myz(D) = %

∫ a

0x5dx


112

Cálculo III AULA

6Myz(D) = %

x6

6

∣∣∣a0


Myz(D) = %(a6

6− 06

6)


Myz(D) = %a6

6

Passo 3 determinar o momento de massa relativo ao plano xz

Mxz(D), dada pela integral tripla:

Mxz(D) =∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)ydxdydz =

∫ a

0

∫ x2

0

∫ x2

0%ydzdydx


Mxz(D) =∫ a

0

∫ x2

0%yz∣∣∣x2

0dydx


Mxz(D) =∫ a

0

∫ x2

0%y(x2 − 0)dydx


Mxz(D) = %

∫ a

0

∫ x2

0x2ydydx


Mxz(D) = %

∫ a

0x2 y

2

2

∣∣∣x2

0dx


Mxz(D) = %

∫ a

0x2((x2)2

2− 02

2)dx


Mxz(D) = %

∫ a

0

x6

2dx


Mxz(D) = %x7

14

∣∣∣a0


Mxz(D) = %(a7

14− 07

14)


Mxz(D) = %a7

14

113


Passo 4 determinar o momento de massa relativo ao plano xy.

Como a região D tem simetria com relação às variáveis y e z, e a

distribuição de densidade também (por ser constante) temos que

Mxz(D) = Mxy(D). De qualquer forma vamos verificar:

Mxy(D) =∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)zdxdydz =

∫ a

0

∫ x2

0

∫ x2

0%zdzdydx


Mxy(D) =∫ a

0

∫ x2

0%z2

2

∣∣∣x2

0dydx


Mxz(D) =∫ a

0

∫ x2

0%((x2)2

2− 02

2)dydx


Mxz(D) = %

∫ a

0

∫ x2

0

x4

2dydx


Mxz(D) = %

∫ a

0

x4

2y∣∣∣x2

0dx


Mxz(D) = %

∫ a

0

x4

2(x2 − 0)dx


Mxz(D) = %

∫ a

0

x6

2dx


Mxz(D) = %x7

14

∣∣∣a0


Mxz(D) = %(a7

14− 07

14)


Mxz(D) = %a7

14

Passo 5 determinar o centro de massa (x, y, z) da região D, A

saber:

114

Cálculo III AULA

6x =

Myz(D)m(d)

=%a6

6

%a5

5

=5a6,

y =Mxz(D)m(d)

=%a7

14

%a5

5

=5a2

14e

z =Mxy(D)m(d)

=%a7

14

%a5

5

=5a2

14.

Vamos rapidinho ao nosso segundo exemplo.

Exemplo 6.2. Considerando a interseção das superfícies: x = 0,

x2 + y2 = b2, z = 0 e z = a, (Fig 6.2), determinar sua massa e

seu momento de inércia Iz(D), relativo ao eixo z, levando en conta

uma distribuição de densidade constante %(x, y, z) = %.


SOLUÇÃO:


nando a (Fig 6.2) e verificando que −b ≤ x ≤ +b, 0 ≤ y ≤

+√b2 − x2 e 0 ≤ z ≤ a. Observemos que para este caso é mais ade-

115


quado usar o sistema de coordenadas cilíndrico, dado pela trans-

formação (x, y, z) 7→ (r, ϑ, z) onde: x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ),

z = z e os limites de integração passam a: 0 ≤ r ≤ b, 0 ≤ ϑ ≤ π e

0 ≤ z ≤ a.

Em segundo, calcularemos a massa da região D, m(D) e o mo-

mento de inércia Iz(D), relativo ao eixo z, respectivamente.

Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral tripla:

m(D) =∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz =

∫ π

0

∫ b

0

∫ a

0%rdzdrdϑ


m(D) =∫ π

0

∫ b

0%z∣∣∣a0rdrdϑ


m(D) =∫ a

0

∫ x2

0%(a− 0)rdrdϑ


m(D) = %a

∫ π

0

∫ b

0rdrdϑ


m(D) = %a

∫ π

0

r2

2

∣∣∣b0dϑ


m(D) = %a

∫ π

0

(b22− 02

2)dϑ


m(D) = %ab2

2

∫ π

0dϑ

Finalmente, integrando em ϑ temos:

m(D) = %ab2

2ϑ∣∣∣π0


m(D) = %ab2

2(π − 0)


m(D) = %πab2

2

116

Cálculo III AULA

6Passo 2 Levando em conta que: x2+y2 = (r cos(ϑ))2+(r sin(ϑ))2 =

r2, determinar o momento de inércia Iz(D), relativo ao eixo z, dada

pela integral tripla:

Iz(D) =∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)(x2+y2)dxdydz =

∫ π

0

∫ b

0

∫ a

0%r2rdzdrdϑ


Iz(D) =∫ π

0

∫ b

0%z∣∣∣a0r3drdϑ


Iz(D) =∫ a

0

∫ x2

0%(a− 0)r3drdϑ


Iz(D) = %a

∫ π

0

∫ b

0r3drdϑ


Iz(D) = %a

∫ π

0

r4

4

∣∣∣b0dϑ


Iz(D) = %a

∫ π

0

(b44− 04

4)dϑ


Iz(D) = %ab4

4

∫ π

0dϑ

Finalmente, integrando em ϑ temos:

Iz(D) = %ab4

4ϑ∣∣∣π0


Iz(D) = %ab4

4(π − 0)


Iz(D) = %πab4

4

6.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da

integral tripla, algumas das mais importantes são: dada uma região

117


D ⊂ R3 e sua distribuição de densidade volumétrica de massa

%(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D, as determinação da massa m(d), dos seus

momentos de massa Myz relativo ao plano yz, Mxz relativo ao

plano xz e Mxy relativo ao plano xy, dos momentos de inércia Ix

relativo ao eixo x, Iy relativo ao eixo y e Iz relativo ao eixo z.

RESUMO

O nosso resumo de hoje constará de uma série de fórmulas

para os cálculo da massa, momento de massa, momento de inér-

cia e centro de gravidade de regiões D ∈ R3 limitadas no es-

paço dada sua distribuição de densidade volumétrica de massa

%(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D. No corpo do texto temos umas pequenas

argumentações heurísticas de como chegar a tais fórmulas, usando

partições e somas de Riemman.

Dada uma região D ∈ R3 limitada com distribuição de densi-

dade volumétrica de massa %(x, y, z) podemos calcular:

A Massa da região DDD

m(D) =∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz.

O Momento de Massa de DDD em Relação ao Plano yzyzyz

Myz(D) =∫ ∫ ∫

Dx%(x, y, z)dxdydz.

O Momento de Massa de DDD em Relação ao Plano xzxzxz

Mxz(D) =∫ ∫ ∫

Dy%(x, y, z)dxdydz.

118

Cálculo III AULA

6O Momento de Massa em Relação ao Plano xyxyxy

Mxy(D) =∫ ∫ ∫

Dz%(x, y, z)dxdydz.

O Momento de inércia de DDD em Relação ao eixo xxx

Ix(D) =∫ ∫ ∫

D(y2 + z2)%(x, y, z)dxdydz.

O Momento de inércia de DDD em Relação ao eixo yyy

Iy(D) =∫ ∫ ∫

D(x2 + z2)%(x, y, z)dxdydz.

O Momento de inércia de DDD em Relação ao eixo zzz

Iz(D) =∫ ∫ ∫

D(x2 + y2)%(x, y, z)dxdydz.

O Centro de Massa (x, y, z)(x, y, z)(x, y, z) de DDD

x =Myz(D)m(d)

=

∫ ∫ ∫Dx%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz

,

y =Mxz(D)m(d)

=

∫ ∫ ∫Dy%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz

e

z =Mxy(D)m(d)

=

∫ ∫ ∫Dz%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫

D%(x, y, z)dxdydz

.

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula passaremos a estudar funções vetoriais

fff : C ⊂ R3 7→ R3 onde C é uma curva no espaço R3, dada para-

metricamente por: x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b]. Não

estaremos, como no Cálculo II, interessados na geometria intrín-

119


seca das curvas e sim na contribuição de sua geometria no cálculo

de integrais de campos de vetores definidos sobre tais curvas.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades os seguintes problemas:

ATIV. 6.1. Considerando a interseção das superfícies: x = 0,

x = a, y = 0, y = x2, z = 0 e z = x2, (Fig 6.1), determinar seu

momento de inércia Iz relativo ao eixo z, levando em conta uma

distribuição de densidade constante %(x, y, z) = %.


primeiro exemplo, ele lhe servirá de guia.

ATIV. 6.2. Considerando a intersecção das superfícies: x = 0,

x2 +y2 = b2, z = 0 e z = a, (Fig 6.2), determinar seu momento de

massaMyz relativo ao plano yz, levando em conta uma distribuição

de densidade constante %(x, y, z) = %.


segundo exemplo, ele lhe servirá de guia.








120

Cálculo III AULA

6SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume



2003.





121

AULA

7Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3R3R3

META:

Apresentar integrais de funções vetoriais definidas sobre curvas em

R3.

OBJETIVOS:


Definir integrais de funções vetoriais definidas sobre curvas em R3

e calcular integrais de algumas funções vetoriais definidas sobre

curvas em R3.

PRÉ-REQUISITOS


mínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores

e Geometria analítica e curvas em R3 da disciplina Cálculo II.

Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3

7.1 Introdução

Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Funções Vetori-

ais sobre Curvas” tem um forte sabor de física pois, veremos coisas

como: calculo do trabalho de uma força (função vetorial) ao longo

de uma trajetória (curva) ou fluxo de um campo de vetores atra-

vés de uma curva (o termo fluxo é tipicamente da física). Isto,

não quer dizer que vocês tenham que se empenhar nos aspectos

físicos, devendo apenas ater-se aos aspectos matemáticos que são

os objetivos de nossa aula.

7.2 Curvas em R3R3R3

Nesta seção faremos uma pequena recapitulação sobre curvas

em R3, que vocês já viram em Cálculo II. Será um breve resumo

onde estaremos recapitulando as definições e principais resultados.

Consideremos uma curva C ⊂ R3 dada parametricamente por:

x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b] ou em sua forma vetorial

~r~r~r(t) = x(t)~i~i~i+ y(t)~j~j~j + z(t)~k~k~k.

O vetor tangente unitário à C é dado por:

~T~T~T (t) =∣∣∣∣d~r~r~r(t)dt

∣∣∣∣−1 d~r~r~r(t)dt

A velocidade e a aceleração de uma partícula seguindo a curva C,

com movimento dado por ~r~r~r(t), no instante t são dadas por:

124

Cálculo III AULA

7~v~v~v(t) =

d~r~r~r(t)dt

=dx(t)dt

~i~i~i+dy(t)dt

~j~j~j +z(t)dt~k~k~k

~a~a~a(t) =d2~r~r~r(t)dt2

=d2x(t)dt2

~i~i~i+d2y(t)dt2

~j~j~j +d2z(t)dt2

~k~k~k

O comprimento de arco da curva C ⊂ R3 parametrizada por x =

x(t), y = y(t) e z = z(t), no intervalo [a, t] é dado por:

s(t) =∫ t

a

√(dx(t)dt

)2

+(dy(t)dt

)2

+(dz(t)dt

)2

dt

Podemos inverter s = s(t) como t = t(s) e descrever a curva

C ⊂ R3 parametrizada por comprimento de arco x = x(t(s)),

y = y(t(s)) e z = z(t(s)).

A curvatura de C é definida por:

k(s) =

∣∣∣∣∣d~T~T~T (s)ds

∣∣∣∣∣e pode ser calculada usando-se a fórmula:

k(t) =1|~v~v~v(t)|

∣∣∣∣∣d~T~T~T (t)dt

∣∣∣∣∣O vetor normal unitário é definido por:

~N~N~N(t) =

∣∣∣∣∣d~T~T~T (t)dt

∣∣∣∣∣−1

d~T~T~T (t)dt

O vetor binormal à curva C ⊂ R3 é definido por:

~B~B~B(t) = ~T~T~T (t)× ~N~N~N(t)

Finalmente a torção da curva C ⊂ R3 é definida por:

125


τ(s) = −d~B~B~B(s)ds

• ~N~N~N

7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de

Inércia de Curvas em R3R3R3

Muito embora o cálculo da massa, momento de massa e centro

de massa de uma curva C ⊂ R3 não envolva integração de funções

vetoriais, começaremos por aqui.

Seja C ⊂ R3, uma curva contínua e lisa, parametrizada por com-

primento de arco e % : C ⊂ R3 7→ R+, a densidade linear de massa

de C onde: ∀(x, y, z) ∈ C, %(x, y, z) > 0.

Definição 7.1. A massa de C ⊂ R3, denotada m(C), é definida

por:

m(C) =∫C%(x, y, z)ds

Definição 7.2. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano

yz, denotada Myz(C), é definido por:

Myz(C) =∫C%(x, y, z)xds


xz, denotada Mxz(C), é definido por:

Mxz(C) =∫C%(x, y, z)yds


xy, denotada Mxy(C), é definido por:

Mxy(C) =∫C%(x, y, z)zds

126

Cálculo III AULA

7Definição 7.5. O centro de Massa de C ⊂ R3 é dado por (x, y, z),

onde:

x =Myz(C)m(C)

=

∫C%(x, y, z)xds∫

C%(x, y, z)ds

y =Mxz(C)m(C)

=

∫C%(x, y, z)yds∫

C%(x, y, z)ds

z =Mxy(C)m(C)

=

∫C%(x, y, z)zds∫

C%(x, y, z)ds

Definição 7.6. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo

x, denotada Ix(C), é definido por:

Ix(C) =∫C%(x, y, z)(y2 + z2)ds


y, denotada Iy(C), é definido por:

Iy(C) =∫C%(x, y, z)(x2 + z2)ds


z, denotada Iz(C), é definido por:

Iz(C) =∫C%(x, y, z)(x2 + y2)ds

OBS 7.1. Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x =

x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa

relativo aos planos yz, xz e xy, momento de inércia relativo aos

eixos x, y e z respectivamente pode ser calculados por:

127


m(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))|~v~v~v(t)|dt

Myz(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))x(t)|~v~v~v(t)|dt

Mxz(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))y(t)|~v~v~v(t)|dt

Mxy(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))z(t)|~v~v~v(t)|dt

Ix(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))(y2(t) + z2(t))|~v~v~v(t)|dt

Iy(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))(x2(t) + z2(t))|~v~v~v(t)|dt

Iz(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))(x2(t) + y2(t))|~v~v~v(t)|dt

7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e

Fluxo

Consideremos um campo de vetores ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 e uma

curva C ⊂ D contínua e suave.

Definição 7.9. Definimos o fluxo integral de escoamento do campo

vetorial ~F~F~F ao longo da curva C ⊂ R3 por:

Φ(F,C) =∫C

~F~F~F • ~T~T~Tds

OBS 7.2. Quando a curva é simples e fechada, o fluxo integral de

escoamento é denominado de circulação e escrevemos:

Φ(F,C) =∮C

~F~F~F • ~T~T~Tds

OBS 7.3. Se a curva C ⊂ D ⊂ R3 é parametrizada por: x = x(t),

y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b]. Podemos interpretar o campo

128

Cálculo III AULA

7vetorial ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 como um campo de força no espaço,

a curva C ⊂ D ⊂ R3 como uma trajetória, a parametrização da

curva C ⊂ D ⊂ R3 dada por x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b]

como o movimento de uma partícula seguindo a trajetória C e o

fluxo integral de escoamento como o trabalho executado pela força

~F~F~F ao longo de C e dado por:

T (F,C) =∫ b

a

~F~F~F (x(t), y(t), z(t)) • ~T~T~T (t)dt

OBS 7.4. Se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente por:

~r~r~r = x(t)~i~i~i+y(t)~j~j~j+z(t)~k~k~k, t ∈ [a, b], e o campo vetorial ~F~F~F : D ⊂ R3 7→

R3 representado por: ~F~F~F = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j + f3(x, y, z)~k~k~k,

onde f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais, o fluxo

integral de escoamento pode ser escrito como uma das três formas:

T (F,C) =∫C

~F~F~F • d~r~r~r

T (F,C) =∫C

(f1dx+ f2dy + f3dz)

T (F,C) =∫ b

a

(f1dx(t)dt

+ f2dy(t)dt

+ f3dz(t)dt

)dt

Consideraremos, agora o caso particular de uma curva plana C ⊂

D ⊂ R2 simples e fechada e de um campo vetorial ~F~F~F : D ⊂ R2 7→

R2. Interpretaremos o campo vetorial ~F~F~F como o campo de veloci-

dade de um fluido que atravessa a região D ⊂ R2.

Definição 7.10. Definimos o fluxo de F através de C por:

φ(F,C) def=∮C

~F~F~F • ~N~N~Nds

onde: ~N~N~N é a normal unitária exterior a C.

129


7.5 Independência do Caminho

Consideremos um campo vetorial ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3, dois

pontos A,B ∈ D e um caminho C ⊂ D ligando o ponto A ao ponto

B. O trabalho realizado para mover uma partícula do ponto A ao

ponto B ao longo da trajetória C, dado por∫ B

A

~F~F~F • ~dr~dr~dr de modo

geral depende do caminho C que liga os dois pontos. Porém, para

alguns campos vetoriais este trabalho depende apenas dos pontos

A e B.

Definição 7.11. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial e

dois pontos A,B ∈ D. Se∫ B

A

~F~F~F • ~dr~dr~dr é a mesma ∀C ⊂ D para-

metrizada por: x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b] tal que

A = C(a) e B = C(b) dizemos que ~F~F~F é um campo conservativo

em D.

Vamos em seguida definir um operador diferencial vetorial muito

importante denominado gradiente, A saber:

Definição 7.12. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de

valores reais. Definimos o gradiente de f , denotado ∇f , como o

campo vetorial ∇f : D ⊂ R3 7→ R3 dado por:

∇f def=∂f

∂x~i~i~i+

∂f

∂y~j~j~j +

∂f

∂z~k~k~k

Quando um campo vetorial pode ser dado pelo gradiente de um

campo escalar, dizemos que o campo escalar é uma função poten-

cial para o campo vetorial. A saber:

Definição 7.13. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial e

f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de valores reais tais que

130

Cálculo III AULA

7~F~F~F = ∇f então f é dita uma função potencial para o campo vetorial

~F~F~F em D

Daqui por diante consideraremos C uma curva lisa i.e. constituída

por um número finito de curvas simples unidas pelas extremidades

e D um conjunto aberto e conexo i.e. dado qualquer ponto de D

existe uma bola de centro no ponto inteiramente contida em D e

dado dois pontos quaisquer deD o segmento de reta que os une está

inteiramente contido em D. Consideraremos o campo vetorial ~F~F~F :

D ⊂ R3 7→ R3 dado por ~F~F~F = f1(x, y, z)~i~i~i+f2(x, y, z)~j~j~j+f3(x, y, z)~k~k~k

onde f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais contínuas

e com derivadas de primeira ordem contínuas.

Teorema 7.1. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 dado por ~F~F~F = f1(x, y, z)~i~i~i+

f2(x, y, z)~j~j~j+ f3(x, y, z)~k~k~k onde f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções

de valores reais contínuas e com derivadas de primeira ordem con-

tínuas em uma região D ⊂ R3 aberta e conexa do espaço. Então

existe uma função f : D ⊂ R3 7→ R contínua e diferenciável em

D ⊂ R3 tal que ~F~F~F = ∇f =∂f

∂x~i~i~i+

∂f

∂y~j~j~j +

∂f

∂z~k~k~k se somente se ~F~F~F for

um campo conservativo.

PROVA: Provaremos aqui a suficiência do teorema i.e. Se existe

uma função f : D ⊂ R3 7→ R contínua e diferenciável em D ⊂ R3

tal que ~F~F~F = ∇f =∂f

∂x~i~i~i+

∂f

∂y~j~j~j+

∂f

∂z~k~k~k então ~F~F~F é um campo conser-

vativo.

Suponha dois pontos A,B ∈ D e uma curva C ⊂ D parametrizada

por ~r~r~r(t) = x(t)~i~i~i + y(t)~j~j~j + z(t)~k~k~k, t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e

B = C(b). Ao longo da curva C f é uma função f(x(t), y(t), z(t))

derivável com relação a t e levando em conta a regra da cadeia

temos:

131


df

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt+∂f

∂z

dz

dtPor outro lado o gradiente de f e a derivada do vetor posição ~r~r~r

com relação a t são dados por:

∇f =∂f

∂x~i~i~i+

∂f

∂y~j~j~j +

∂f

∂z~k~k~k

d~r~r~r

dt=dx

dt~i~i~i+

dy

dt~j~j~j +

dz

dt~k~k~k

Fazendo o produto escalar de ∇f pord~r~r~r

dtao longo de C temos:

∇f • d~r~r~r

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt+∂f

∂z

dz

dt

Como ~F~F~F = ∇f ao longo de C temos:

~F~F~F • d~r~r~r

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt+∂f

∂z

dz

dt

O trabalho realizado por ~F~F~F ao longo da curva C do ponto A até o

ponto B é dado por:∫C

~F~F~F • d~r~r~r =∫C

~F~F~F • d~r~r~r

dtdt

Aproveitando as equações acima podemos escrever:∫C

~F~F~F • d~r~r~r =∫C

(∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt+∂f

∂z

dz

dt

)dt∫

C

~F~F~F • d~r~r~r =∫ b

a

df

dtdt∫

C

~F~F~F • d~r~r~r = f(x(b), y(b), z(b))− f(x(a), y(a), z(a))

Portanto∫C

~F~F~F • d~r~r~r é independente do caminho C pois, depende

apenas dos valores de f nos pontos A e B, provando assim que ~F~F~F

é um campo conservativo. Caros alunos deixamos como desafio a

prova da necessidade. Novamente vocês podem recorrer aos livros

de Cálculo Avançado.

Temos outro teorema que caracteriza campos vetoriais conservati-

vos. A saber:

Teorema 7.2. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial dado

por: ~F~F~F = f1~i~i~i + f2

~j~j~j + f3~k~k~k, cujas funções componentes f1, f2, f3 :

132

Cálculo III AULA

7D ⊂ R3 7→ R tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas.

Então ~F~F~F é conservativo se, somente se∂f1

∂y=∂f2

∂x,∂f1

∂z=∂f3

∂xe

∂f2

∂z=∂f3

∂y

PROVA: Novamente vamos provar a suficiência. Se ~F~F~F é conser-

vativo, existe f : D ⊂ R3 7→ R tal que:

~F~F~F =∂f

∂x~i~i~i+

∂f

∂y~j~j~j +

∂f

∂z~k~k~k.

Em outras palavras: f1 =∂f

∂x, f2 =

∂f

∂ye f3 =

∂f

∂z.

Daí temos:∂f1

∂y=

∂2f

∂y∂xe∂f2

∂x=

∂2f

∂x∂y.

Da continuidade das derivadas parciais de f1 e f2 temos:∂f1

∂y=∂f2

∂x. De forma semelhante temos:

∂f1

∂z=

∂2f

∂z∂xe∂f3

∂x=

∂2f

∂x∂z.


∂z=∂f3

∂x.

E finalmente:∂f2

∂z=

∂2f

∂z∂ye∂f3

∂y=

∂2f

∂y∂z.


∂z=∂f3

∂y.

Deixamos a demonstração da necessidade para vocês. Novamente

consultem livros de Cálculo Avançado.

Na proxima seção, veremos como determinar o campo potencial

quando ele existe, utilizando um exemplo.

7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha

Veremos agora três aplicações das integrais de linha de campos

vetoriais sobre curvas no espaço.

133


Exemplo 7.1. Calcular o trabalho realizado pelo campo de força

F : R3 7→ R3 dado por ~F~F~F (t) = z~i~i~i + 0~j~j~j + xy~k~k~k ao longo da hélice


C ⊂ R3 dada por ~r~r~r = a cos(t)~i~i~i + a sin(t)~j~j~j + bt~k~k~k, t ∈ [0, 4π] (ver

Fig. 7.1 ).

SOLUÇÃO: Derivando o vetor posição ~r~r~r(t) com relação a t te-

mos:

d~r~r~r(t)dt

= −a sin(t)~i~i~i+ a cos(t)~j~j~j + b~k~k~k

O campo de força ~F~F~F ao longo da curva C ⊂ R3 é dado por:

~F~F~F (t) = bt~i~i~i+ 0~j~j~j + a2 sin(t) cos(t)~k~k~k

Fazendo o produto escalar de ~F~F~F (t) pord~r~r~r(t)dt

temos:

~F~F~F (t) • d~r~r~r(t)dt

= −bat sin(t) + ba2 sin(t) cos(t)

Calculando o trabalho realizado pela força ~F~F~F (t) ao longo da curva

134

Cálculo III AULA

7C temos:

T (~F~F~F ,C) =∫C

~F~F~F (t) • d~r~r~r(t)

=∫C


dt

=∫ 4π

0(−bat sin(t) + ba2 sin(t) cos(t))dt

= ba(− sin(t) + t cos(t)) +ba2

2sin2(t)

∣∣∣4π0

= ba(− sin(4π) + 4π cos(4π)) +ba2

2sin2(4π)−

−(ba(− sin(0) + 0 cos(0)) +ba2

2sin2(0))

= 4πba

E agora sem demora o segundo exemplo.

Exemplo 7.2. Calcular o trabalho realizado pelo campo de força

constante F : R3 7→ R3 dado por ~F~F~F = K~i~i~i+Ky~j~j~j+K~k~k~k ao longo da


curva C ⊂ R3 da intersecção da esfera (x−a)2+(y−a)2+(z−a)2 =

a2 e do plano x− z = 0 (ver Fig. 7.2 ).

SOLUÇÃO: Primeira coisa a fazer é obter uma parametriza-

ção para a curva

(x− a)2 + (y − a)2 + (z − a)2 = a2

x− z = 0. Como a

135


curva C ⊂ R3 pertence a reta podemos eliminar z = y na equação

da esfera e temos:

2(x−a)2+(y−a)2 = a2, podemos propor como parametrização sa-

tisfazendo a equação acima: y = a+ a sin(t) e x = a+√

22a cos(t).

Como z = x temos:

z = a+√

22a cos(t).

Resumindo temos a seguinte parametrização para a intersecção da

esfera como plano dados:x = a+

√2

2a cos(t)

y = a+ a sin(t) ∀t ∈ [−π,+π]

z = a+√

22a cos(t)

.

Podemos escrever o vetor posição ~r~r~r como:

~r~r~r = (a+√

22a cos(t))~i~i~i+ (a+ a sin(t))~j~j~j + (a+

√2

2a cos(t))~k~k~k. Deri-

vando o vetor posição ~r~r~r(t) com relação a t temos:

d~r~r~r(t)dt

= −√

22a sin(t)~i~i~i+ a cos(t)~j~j~j −

√2

2a sin(t)~k~k~k

Ao longo da curva C ⊂ R3 o campo de força é dado por:

~F~F~F (t) = K~i~i~i+Ka(1 + sin(t))~j~j~j +K~k~k~k.

Fazendo o produto escalar de ~F~F~F (t) pord~r~r~r(t)dt

temos:


= −√

22Ka sin(t) +Ka2(1 + sin(t)) cos(t)−

−√

22Ka sin(t)

= −√

2Ka sin(t) +Ka2(1 + sin(t)) cos(t)

Calculando o trabalho realizado pela força ~F~F~F (t) ao longo da curva

136

Cálculo III AULA

7C temos:

T (~F~F~F ,C) =∫C

~F~F~F (t) • d~r~r~r(t)

=∫C


dt

=∫ +π

−π(−√

2Ka sin(t) +Ka2(1 + sin(t)) cos(t))dt

= (√

2Ka cos(t)−√

22Ka2(1 + sin(t))2)

∣∣∣+π−π

= 0

Vejamos mais um exemplo. Desta vez veremos como determinar a

função potencial para um campo conservativo.

Exemplo 7.3. Seja ~F~F~F : R3 7→ R3 um campo vetorial conservativo

dado por: ~F~F~F = yz~i~i~i + (xz + 1)~j~j~j + xy~k~k~k. Determine sua função po-

tencial.

SOLUÇÃO: Primeiramente testaremos se o campo vetorial ~F~F~F é

um campo conservativo, usando a condição necessária e suficiente

dada por:∂f1

∂y=∂f2

∂x,∂f1

∂z=∂f3

∂xe∂f2

∂z=∂f3

∂y.

Como para o ~F~F~F dado f1 = yz, f2 = xz + 1 e f3 = xy temos:∂f1

∂y= z =

∂f2

∂x,∂f1

∂z= y =

∂f3

∂xe∂f2

∂z= x =

∂f3

∂y.

A condição está satisfeita e ~F~F~F é um campo vetorial conservativo e

podemos procurar o f : R3 7→ R tal que:

~F~F~F = ∇f =∂f

∂x~i~i~i+

∂f

∂y~j~j~j +

∂f

∂z~k~k~k.

De onde tiramos:

∂f

∂x= f1 = yz

∂f

∂y= f2 = xz + 1

∂f

∂z= f3 = xy

137


Integrando a primeira equação∂f

∂x= yz com relação a x temos:

f = xyz + g(y, z) pois daí tiramos∂f

∂x= yz.

Temos agora que determinar o g(y, z) de modo que a segunda equa-

ção sejam satisfeita.

Derivando f = xyz + g(y, z) com relação a y temos:∂f

∂y= xz +

∂g

∂y.

Comparando com a segunda equação∂f

∂y= xz + 1 temos:

∂g

∂y= 1.

Integrando com relação a y temos:

g(y, z) = y + h(z) pois daí tiramos∂g

∂y= 1.

Podemos reescrever f comos:

f = xyz + y + h(z).

Temos agora que determinar o h(z) de modo que a terceira equa-

ção sejam satisfeita.

Derivando f = xyz + y + h(z) com relação a z temos:∂f

∂y= xy +

dh

dz.

Comparando com a terceira equação∂f

∂z= xy temos:

dh

dz= 0.

Logo h(z) = K é uma constante que podemos sem perda de gene-

ralidade fazer igual a zero e f passa a ter a forma final:

f(x, y, z) = xyz + y

7.7 Conclusão

Na aula de hoje, vimos como integrar campos vetoriais (funções

vetoriais) ao longo de curvas no espaço e no plano. Que, essenci-

almente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais

138

Cálculo III AULA

7como circulação e fluxo sobre curvas estão intimamente ligados à

Física.

RESUMO

Seja C ⊂ R3, uma curva contínua e lisa, parametrizada por

comprimento de arco e % : C ⊂ R3 7→ R+, a densidade linear de

massa de C onde: ∀(x, y, z) ∈ C, %(x, y, z) > 0.

Massa

A massa de C ⊂ R3, denotada m(C), é definida por:

m(C) =∫C%(x, y, z)ds

Momento de Massa relativo aos planos yzyzyz, xzxzxz e xyxyxy.

O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano yz, xz e xy de-

notados Myz(C), Mxz(C) e Mxy(C) são definidos respectivamente

por:

Myz(C) =∫C%(x, y, z)xds

Mxz(C) =∫C%(x, y, z)yds

Mxy(C) =∫C%(x, y, z)zds

Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x(t), y =

y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa relativo aos

planos yz, xz e xy, respectivamente pode ser calculados por:

139


m(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))|~v~v~v(t)|dt

Myz(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))x(t)|~v~v~v(t)|dt

Mxz(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))y(t)|~v~v~v(t)|dt

Mxy(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))z(t)|~v~v~v(t)|dt

Centro de Massa.

O centro de Massa de C ⊂ R3 é dado por (x, y, z), onde:

x =Myz(C)m(C)

=

∫C%(x, y, z)xds∫

C%(x, y, z)ds

y =Mxz(C)m(C)

=

∫C%(x, y, z)yds∫

C%(x, y, z)ds

z =Mxy(C)m(C)

=

∫C%(x, y, z)zds∫

C%(x, y, z)ds

Momento de Inércia relativo aos eixos xxx, yyy e zzz.

O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixos x, y e z deno-

tados Ix(C), Iy(C) e Iz(C) são definidos respectivamente por:

Ix(C) =∫C%(x, y, z)(y2 + z2)ds

Iy(C) =∫C%(x, y, z)(x2 + z2)ds

Iz(C) =∫C%(x, y, z)(x2 + y2)ds

140

Cálculo III AULA

7Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x(t), y =

y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b], o momento de inércia relativo aos eixos

x, y e z, respectivamente pode ser calculados por:

Ix(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))(y2(t) + z2(t))|~v~v~v(t)|dt

Iy(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))(x2(t) + z2(t))|~v~v~v(t)|dt

Iz(C) =∫ b

a%(x(t), y(t), z(t))(x2(t) + y2(t))|~v~v~v(t)|dt

Fluxo Integral de Escoamento.

Seja um campo de vetores ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 e uma curva C ⊂ D

contínua e suave. Definimos o fluxo integral de escoamento do

campo vetorial ~F~F~F ao longo da curva C ⊂ R3 por:

Φ(F,C) =∫C

~F~F~F • ~T~T~Tds

Alternativamente se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente

por: ~r~r~r = x(t)~i~i~i + y(t)~j~j~j + z(t)~k~k~k, t ∈ [a, b] e o campo vetorial ~F~F~F :

D ⊂ R3 7→ R3 por: ~F~F~F = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j + f3(x, y, z)~k~k~k,

com f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais, o fluxo

integral de escoamento pode ser escrito como:

T (F,C) =∫C

~F~F~F • d~r~r~r

T (F,C) =∫C

(f1dx+ f2dy + f3dz)

T (F,C) =∫ b

a

(f1dx(t)dt

+ f2dy(t)dt

+ f3dz(t)dt

)dt

Campo Conservativo.

Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial, dois pontosA,B ∈ D.

141


Se∫ B

A

~(~(~(F ) • ~dr~dr~dr é constante ∀C ⊂ D parametrizada por: x = x(t),

y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e B = C(b) dizemos

que ~F~F~F é um campo conservativo em D.

Gradiente.

Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de valores reais.

Definimos o gradiente de f , denotado ∇f , como o campo vetorial

∇f : D ⊂ R3 7→ R3 dado por:

∇f def=∂f

∂x~i~i~i+

∂f

∂y~j~j~j +

∂f

∂z~k~k~k

Função Potencial.

Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial e f : D ⊂ R3 7→ R

uma função derivável de valores reais tais que ~F~F~F = ∇f então, f é

dita uma função potencial para o campo vetorial ~F~F~F em D

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos, essencialmente, integração

de funções reais e campos vetoriais (funções vetoriais) sobre su-

perfícies S ⊂ R3. Veremos também como calcular área, massa,

momento de massa e centro de massa de superfícies.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades os seguintes problemas envolvendo

integração de campos vetoriais sobre curvas no espaço.

142

Cálculo III AULA

7ATIV. 7.1. Seja ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial dado por: ~F~F~F (x, y, z) =

y(2xyz2 + exy)~i~i~i+ x(2xyz2 + exy)~j~j~j + 2x2y2z~k~k~k:

• Mostre que campo vetorial ~F~F~F é conservativo.

• Determine uma função potencial f : R3 7→ R tal que ~F~F~F =

∇f .


problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia.

ATIV. 7.2. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial dado por:

~F~F~F (x, y, z) = y~i~i~i+ z~j~j~j + b~k~k~k, b 6= 0 e C ⊂ R3 a curva no espaço dada

por ~r~r~r(t) = a cos(t)~i~i~i + a sin(t)~j~j~j + c~k~k~k, ∀t ∈ [0, 2π], a, c > 0. Deter-

mine o trabalho realizado por ~F~F~F ao longo da curva C.


problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia.










143



2003.





144

AULA

8Integrais de Superfícies

META:

Apresentar integrais de funções definidas sobre superfícies em R3.

OBJETIVOS:


Definir integrais de funções definidas sobre superfícies em R3 e

calcular algumas integrais de funções vetoriais definidas sobre su-

perfícies em R3.

PRÉ-REQUISITOS


mínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores

e Geometria analítica e superfícies em R3.

Integrais de Superfícies

8.1 Introdução

Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Superfícies” tem,

como a nossa aula anterior “Integrais de Funções Vetoriais sobre

Curvas em R3”, um sabor de física. Desde a determinação da

massa, momento de massa e centro de massa de uma superfície

até a determinação do fluxo de um campo vetorial através de uma

superfície. Da mesma forma que na aula anterior, vocês devem

ater-se apenas aos aspectos matemáticos da matéria abordada.

8.2 Superfícies em R3R3R3

Bom, vamos começar, bem do começo, com algumas formas de

representação de superfícies. A primeira forma de representação

de uma superfície é considerar uma função f : D ⊂ R3 7→ R e

tomar um ponto c ∈ Img(f) da imagem de f . Desta forma, de

modo geral, f(x, y, z) = c representa uma superfície S ⊂ R3.

Exemplo 8.1. Sejam a, b, c > 0 e f : R3 7→ R dada por: f(x, y, z) =x2

a2+y2

b2+z2

c2. Desta forma f(x, y, z) = d representa elipsóides para

valores positivos de d.

Outra forma de representação de uma superfície é através de uma

parametrização. Representar S ⊂ R3 por: x = x(u, v), y = y(u, v)

e z = z(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b]× [c, d].

Exemplo 8.2. Tomando o exemplo anterior podemos parametri-

zar os elipsóides por: x = a√d cos(u) cos(v), y = b

√d sin(u) cos(v)

e z = c√d sin(v), ∀(u, v) ∈ [−π,+π]× [−π,+π].

146

Cálculo III AULA

88.3 Área de Superfícies em R3R3R3

Vamos usar nesta seção uma argumentação heurística objeti-

vando encontrar uma fórmula para determinação da área de uma

superfície S ⊂ R3. A argumentação baseia-se na possibilidade

(ver, Fig. 8.1 ) de determinar a área de uma superfície através

de uma integração dupla sobre sua projeção (sombra) no plano

D ⊂ xy. Suponhamos que a projeção da superfície S ⊂ R3 dada

Figura 8.1: Superfície S ⊂ R3 e sua projeção D

por: z = f(x, y) sobre o plano xy seja a região D ⊂ xy e seja

D ⊂ R ⊂ xy um retângulo do plano xy paralelo aos eixos coor-

denados e que contenha a região D (ver, Fig. 8.2 ). Podemos

subdividir R em pequenos retângulos (através de partições como

vimos em nossa primeira aula) ∆ij de área ∆xi∆yj . Podemos

aproximar (ai está a argumentação heurística) a pequena área da

superfície S, denotada ∆σij cuja projeção é o pequeno retângulo

∆ij pela parte do plano tangente a S no ponto (xi, yj , f(xi, yj)),

denotada ∆Pij , que tem a forma de um paralelogramo, (ver, Fig.

8.2 ) cuja projeção no plano xy é também o pequeno retângulo

∆ij . A área de ∆Pij é, de modo geral, maior que a área de ∆ij

147

Cálculo III AULA

8aproxima a área de S. Um refinamento da partição de D ⊂ xy me-

lhora a aproximação e podemos então (argumentação heurística)

escrever:

Are(S) =∫ ∫

D

1| cos(ϕ)|

dxdy

Para uma superfície dada por f(x, y, z) = c, temos |∇f • ~p~p~p| =

|∇f |.|~p~p~p|.| cos(ϕ)| e como |~p~p~p| = 1 portanto:

Are(S) =∫ ∫

Sdσ =

∫ ∫D

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Por outro lado podemos estender a argumentação e determinar a

integral de uma função g : D ⊂ R3 7→ R definida sobre a superfície

S ⊂ R3 na forma:∫ ∫Sg(x, y, z)dσ =

∫ ∫Dg(x, y, z))

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Vamos a um exemplo para ilustrar os conceitos acima expostos.

Exemplo 8.3. Considere a superfície S ⊂ R3 do espaço dada por

z = a+x2 +y2, cuja projeção no plano xy é a região D ⊂ xy dada

por x2 + y2 ≤ b2 e determine sua área (ver Fig. 8.3).

SOLUÇÃO: Deixamos como a primeira atividade mostrar que:

Figura 8.3: Parabolóide z = a+ x2 + y2

149


se a superfície é dada por z = f(x, y) projetada no plano xy em

D ⊂ xy sua área é dada por:

Are(S) =∫ ∫

D

√(∂f

∂x

)2

+(∂f

∂y

)2

+ 1dxdy

Como z = f(x, y) = a+ x2 + y2 temos:

∂f

∂x= 2x

∂f

∂y= 2y

Daí, substituindo na expressão da área temos:

Are(S) =∫ ∫

D

√(∂f

∂x

)2

+(∂f

∂y

)2

+ 1dxdy

=∫ ∫

x2+y2≤b2

√(2x)2 + (2y)2 + 1dxdy

Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ),

para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x2+y2 ≤ b2

os seguintes limites r =

b

0e ϑ =

2π

0e podemos reescrever

a integral dupla como:

Are(S) =∫ 2π

0

∫ b

0

√(2r cos(ϑ))2 + (2r sin(ϑ))2 + 1rdrdϑ

=∫ 2π

0

∫ b

0

√4r2 cos2(ϑ) + 4r2 sin2(ϑ) + 1rdrdϑ

=∫ 2π

0

∫ b

0

√4r2 + 1rdrdϑ

Fazendo a mudança de variáveis z = 4r2 + 1 temos:dz

dr= 8r e os

limites de integração r =

b

0passa a z =

4b2 + 1

1e podemos

150

Cálculo III AULA

8reescrever a integral dupla como:

Are(D) =∫ 2π

0

∫ 4b2+1

1

√zdzdϑ

Integrando primeiro em z depois em ϑ temos:

Are(D) =∫ 2π

0

∫ 4b2+1

1

√zdzdϑ

=∫ 2π

0

√z3∣∣∣4b2+1

1dϑ

=23

∫ 2π

0(√

(4b2 + 1)3 − 1)dϑ

=23

(√

(4b2 + 1)3 − 1)ϑ∣∣∣2π0

=4π3

(√

(4b2 + 1)3 − 1)

8.4 Momento de massa e Momento de Inércia

de Superfícies de Casca Fina em R3R3R3

Seja uma superfície S ⊂ R3 de casca fina dada por f(x, y, z) = c

e com densidade superficial % : S ⊂ R3 7→ R, a massa, o momento

de massa em relação aos planos yz, xz e xy são dados, respectiva-

mente, por:

m(S) =∫ ∫

S%(x, y, z)dσ =

∫ ∫D%(x, y, z)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Myz(S) =∫ ∫

S%(x, y, z)xdσ =

∫ ∫D%(x, y, z)x

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Mxz(S) =∫ ∫

S%(x, y, z)ydσ =

∫ ∫D%(x, y, z)y

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Mxy(S) =∫ ∫

S%(x, y, z)zdσ =

∫ ∫D%(x, y, z)z

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

151


O centro de massa, denotado (x, y, z), é dado por:

x =Myz(S)m(S)

=

∫ ∫D%(x, y, z)x

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA∫ ∫D%(x, y, z)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

y =Mxz(S)m(S)

=

∫ ∫D%(x, y, z)y

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA∫ ∫D%(x, y, z)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

z =Mxy(S)m(S)

=

∫ ∫D%(x, y, z)z

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA∫ ∫D%(x, y, z)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z são dados,

respectivamente, por:

Ix(S) =∫ ∫

D%(x, y, z)(y2 + z2)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Iy(S) =∫ ∫

D%(x, y, z)(x2 + z2)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Iz(S) =∫ ∫

D%(x, y, z)(x2 + y2)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Vamos ilustrar com um exemplo.

Exemplo 8.4. Considere a casca fina descrita pela superfície S ⊂

R3 dada pela parte do cone x2 + y2− z2 = 0 que situa-se acima do

plano z = 0 e e abaixo do plano z = a, cuja densidade é constante

e igual a % e determine seu centro de massa (ver Fig. 8.4).

SOLUÇÃO: Em primeiro lugar determinaremos a massa da casca

fina, levando em conta que a projeção de S ⊂ R3 no plano xy é a

região circular D ⊂ xy dada por: x2 + y2 ≤ a2.

Para o caso f(x, y, z) = x2+y2−z2 = 0 e ~p~p~p = ~k~k~k. daí, seu gradiente

será:

152

Cálculo III AULA

8

Figura 8.4: Cone x2 + y2 − z2 = 0

∇f = −2x~i~i~i− 2y~j~j~j − 2z~k~k~k

E temos:

|∇f • ~p~p~p| = 2z

|∇f | =√x2 + y2 + z2 =

√2x2 + 2y2

A massa da casca fina será:

m(S) =∫ ∫

D%|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

=∫ ∫

x2+y2≤a2

%

√2x2 + 2y2

2zdxdy

= %

√2

2

∫ ∫x2+y2≤a2

√z2

zdxdy

= %

√2

2

∫ ∫x2+y2≤a2

dxdy


para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x2+y2 ≤ a2


a

0e ϑ =

2π


153


a integral dupla como:

m66(S) = %

√2

2

∫ 2π

0

∫ a

0rdrdϑ

= %

√2

2

∫ 2π

0

r2

2

∣∣∣a0dϑ

= %a2√

24

∫ 2π

0dϑ

= %

√2

4ϑ∣∣∣2π0

= π%a2√

22

Para determinar o centro de massa temos que determinar apenas

Mxy pois, pela simetria da superfície e como % é constante temos

que x = y = 0.

O momento de massa Mxy da casca fina será:

Mxy(S) =∫ ∫

D%z|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

=∫ ∫

x2+y2≤a2

%z

√2x2 + 2y2

2zdxdy

= %

√2

2

∫ ∫x2+y2≤a2

zdxdy

= %

√2

2

∫ ∫x2+y2≤a2

√x2 + y2dxdy


para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x2+y2 ≤ a2


a

0e ϑ =

2π


154

Cálculo III AULA

8a integral dupla como:

Mxy(S) = %

√2

2

∫ 2π

0

∫ a

0

√(r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2rdrdϑ

= %

√2

2

∫ 2π

0

∫ a

0

√r2 cos2(ϑ) + r2 sin2(ϑ)rdrdϑ

= %

√2

2

∫ 2π

0

∫ a

0

√r2rdrdϑ

= %

√2

2

∫ 2π

0

∫ a

0r2drdϑ

= %

√2

2

∫ 2π

0

r3

3

∣∣∣a0dϑ

= %a2√

26

∫ 2π

0dϑ

= %

√2

6ϑ∣∣∣2π0

= π%a3√

23

O valor de z será dado por:

z =Mxy(S)m(S)

=π%a3√

23

π%a2√

22

=2a3

8.5 Superfícies Parametrizadas

Nesta seção veremos como calcular integrais de superfícies para

superfícies parametrizadas.

Seja uma superfície lisa S ⊂ R3 parametrizada por: x = x(u, v),

y = y(u, v) e z = z(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] onde x, y e z

possuem derivadas contínuas com relação a u e a v. Podemos

representar a superfície pelo vetor posição ~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i +

y(u, v)~j~j~j + z(u, v)~k~k~k. Representaremos as derivadas do vetor r com

relação a u e a v respectivamente por ~r~r~ru , ~r~r~rv. Consideraremos em

R = [a, b] × [c, d] as quatro retas u = u0, u = u0 + ∆u, v = v0 e

155


v = v0 + ∆v u = u0 + ∆u e denotamos ∆uv o pequeno retângulo

formado pela intersecção das quatro retas (ver Fig. 8.5). O pe-

Figura 8.5: Domínio da parametrização

queno retângulo ∆uv é mapeado pela parametrização no pequeno

elemento de área ∆σuv sobre a superfície S. O paralelogramo for-

mado pelos vetores ∆u~r~r~ru e ∆v~r~r~rv aproximam (por falta) o elemento

de área ∆σuv (ver Fig. 8.6). A área do paralelogramo é dada por:

Figura 8.6: Elemento de área ∆σuv em S.

|∆u~r~r~ru ×∆v~r~r~rv| = |~r~r~ru ×~r~r~rv|∆u∆v.

A suposição de que S é uma superfície lisa garante que o produto

vetorial ~r~r~ru × ~r~r~rv não é o vetor nulo e portanto a área do pequeno

156

Cálculo III AULA

8paralelogramo também não é nula. Podemos então fazer um par-

tição da região R do plano uv e mapeando-a pela parametrização

sobre a superfície S. Aproximando cada ∆σuv pela área do para-

lelogramo associado podemos aproximar a área de S pela soma de

Riemann: ∑u

∑v

|~r~r~ru ×~r~r~rv|∆u∆v.

Fazendo ∆u e ∆v tenderem a zero independentemente, a conti-

nuidade das derivadas ~r~r~rv do vetor posição garante que a soma de

Riemann aproxime-se da integral dupla que dá a área Are(S) da

superfície S i.e.

Are(S) =∫ b

a

∫ d

c|~r~r~ru ×~r~r~rv|dudv.

Esta argumentação heurística nos permite estender os conceitos

acima desenvolvidos para definir a integral de uma função f : S ⊂

R3 7→ R definida sobre a superfície S da seguinte forma:

Definição 8.1. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida para-

metricamente por ~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i+ y(u, v)~j~j~j+ z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈

[a, b]× [c, d] e f : S ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais definida

sobre S então, a integral de f sobre S será:∫ ∫Sf(x, y, z)dσ def=

∫ b

a

∫ d

cf(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|~r~r~ru×~r~r~rv|dudv.

Um conceito, vindo da Física, muito importante é o do fluxo de

um campo vetorial através de uma superfície no espaço. Como

exemplo temos o fluxo de massa (massa por unidade de tempo por

unidade de área) de um fluido que é calculado através do seu campo

de velocidade e da sua densidade de massa. Vamos à definição:

Definição 8.2. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa no espaço e

~F~F~F : S ⊂ R3 7→ R3 uma função de valores vetoriais. Definimos o

157


fluxo de ~F~F~F através de S, denotado φ(~F~F~F ), por:

φ(~F~F~F ) def=∫ ∫

S

~F~F~F (x, y, z) • ~n~n~ndσ.

Onde n é a normal unitária em S.

OBS 8.1. Alternativamente, se S ⊂ R3 é lisa e definida parame-

tricamente por ~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i + y(u, v)~j~j~j + z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈

[a, b] × [c, d] e ~F~F~F : S ⊂ R3 7→ R3 uma função de valores vetoriais.

O fluxo de ~F~F~F através de S, é dado por:

φ(~F~F~F ) =∫ b

a

∫ d

c

~F~F~F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) • ~n~n~n|~r~r~ru ×~r~r~rv|dudv.

Como podemos calcular o vetor normal por ~n~n~n =1

|~r~r~ru ×~r~r~rv|·(~r~r~ru×~r~r~rv)

a integral para o fluxo do campo vetorial ~F~F~F através da superfície

S pode ser reescrita como:

φ(~F~F~F ) =∫ b

a

∫ d

c

~F~F~F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) • (~r~r~ru ×~r~r~rv)dudv.

Vejamos um exemplo envolvendo a determinação do fluxo de um

campo vetorial através de uma superfície no espaço.

Exemplo 8.5. Determine o fluxo do campo vetorial ~F~F~F : R3 7→ R3

dado por ~F~F~F (x, y, z) = z~i~i~i+ z~j~j~j + xy~k~k~k através da superfície do para-

bolóide z = a2 − x2 − y2, que fica acima do plano z = 0 (ver Fig.

8.7).

SOLUÇÃO: Começaremos por parametrizar a superfície do pa-

rabolóide fazendo x = v cos(u), y = v sin(u) e z = a2 − v2. Desta

forma o vetor posição para a superfície fica expresso por:

~r~r~r(u, v) = v cos(u)~i~i~i+ v sin(u)~j~j~j + (a2 − v2)~k~k~k.

158

Cálculo III AULA

8

Figura 8.7: Parabolóide z = a2 − x2 − y2.

As derivadas parciais do vetor posição ~r~r~r com relação a u e a v são:

~r~r~ru = −v sin(u)~i~i~i+ v cos(u)~j~j~j + 0k

~r~r~rv = cos(u)~i~i~i+ sin(u)~j~j~j − 2v~k~k~k

Podemos calcular ~r~r~ru ×~r~r~rv operacionalmente por:

~r~r~ru ×~r~r~rvop= det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i~i~i ~j~j~j ~k~k~k

−v sin(u) v cos(u) 0

cos(u) sin(u) −2v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Calculando o determinante temos:

~r~r~ru ×~r~r~rv = −2v2 sin(u)~i~i~i+ 2v2 sin(u)~j~j~j − v~k~k~k

O campo vetorial ~F~F~F sobre a superfície pode ser escrito como:

~F~F~F (u, v) = (a2 − v2)~i~i~i+ (a2 − v2)~j~j~j + v2 sin(u) cos(u)~k~k~k.

Fazendo o produto escalar do campo vetorial ~F~F~F por ~r~r~ru×~r~r~rv temos:

~F~F~F•(~r~r~ru×~r~r~rv) = −2v2(a2−v2) sin(u)+2v2(a2−v2) sin(u)−v3 sin(u) cos(u)

159


Simplificando e calculando o fluxo do campo vetorial ~F~F~F sobre a

superfície S temos:

φ(~F~F~F ) =∫ a

0

∫ +π

−π−v3 sin(u) cos(u)dudv

=∫ a

0−v3 sin2(u)

2

∣∣∣+π−πdv

=12

∫ a

0−v3(sin2(+π)− sin2(−π))dv

= 0

8.6 Conclusão

Na aula de hoje, vimos como integrar funções definidas so-

bre uma superfície no espaço. Funções escalares de valores reais

ao longo de superfícies no espaço com as quais podemos determi-

nar área, massa, momento de massa, centro de massa momento

de inércia de uma superfície representando uma casca fina. Vi-

mos também como calcular integrais de campos vetoriais (funções

vetoriais) definidos sobre uma superfície no espaço, que essenci-

almente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais

como o fluxo através de superfícies estão intimamente ligados à

Física.

RESUMO

Caros alunos, em nossa aula de hoje, sobre integrais de fun-

ções definidas sobre superfícies no espaço, tanto funções escalares

quanto campos vetoriais o conteúdo visto pode ser resumido como:

160

Cálculo III AULA

8Área de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3

Sejam S ⊂ R3 uma superfície dada por f(x, y, z) = c cuja projeção

em um dos planos coordenados seja D e ~p~p~p a normal a D. A área

da superfície S é dada por:

Are(S) =∫ ∫

Sdσ =

∫ ∫D

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Integral de Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3

Sejam S ⊂ R3 uma superfície dada por f(x, y, z) = c cuja projeção

em um dos planos coordenados seja D e ~p~p~p a normal a D e g : D ⊂

R3 7→ R uma função de valores reais cujo domínio é a superfície S.

A a integral de g sobre a superfície S é dada por:∫ ∫Sg(x, y, z)dσ =

∫ ∫Dg(x, y, z)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Massa e Momento de Massa de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3

Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade

superficial % : S ⊂ R3 7→ R+ então, a massa, momento de massa

relativo aos planos coordenados yz, xz e xy, são dados respectiva-

mente por:

m(S) =∫ ∫

S%(x, y, z)dσ =

∫ ∫D%(x, y, z)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Myz(S) =∫ ∫

S%(x, y, z)xdσ =

∫ ∫D%(x, y, z)x

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Mxz(S) =∫ ∫

S%(x, y, z)ydσ =

∫ ∫D%(x, y, z)y

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Mxy(S) =∫ ∫

S%(x, y, z)zdσ =

∫ ∫D%(x, y, z)z

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Centro de Massa de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3


161


superficial % : S ⊂ R3 7→ R+ então, O centro de massa da casca

fina, denotado (x, y, z), é dado por:

x =Myz(S)m(S)

=

∫ ∫D%(x, y, z)x

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA∫ ∫D%(x, y, z)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

y =Mxz(S)m(S)

=

∫ ∫D%(x, y, z)y

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA∫ ∫D%(x, y, z)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

z =Mxy(S)m(S)

=

∫ ∫D%(x, y, z)z

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA∫ ∫D%(x, y, z)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Momento de Inércia de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3


superficial % : S ⊂ R3 7→ R+ então, os momentos de inércia com

relação aos eixos x, y e z são dados, respectivamente, por:

Ix(S) =∫ ∫

D%(x, y, z)(y2 + z2)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Iy(S) =∫ ∫

D%(x, y, z)(x2 + z2)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Iz(S) =∫ ∫

D%(x, y, z)(x2 + y2)

|∇f ||∇f • ~p~p~p|

dA

Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície

S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3

Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa no espaço e ~F~F~F : S ⊂ R3 7→ R3

uma função de valores vetoriais. Definimos o fluxo de ~F~F~F através

de S, denotado φ(~F~F~F ), por:

φ(~F~F~F ) def=∫ ∫

S

~F~F~F (x, y, z) • ~n~n~ndσ.

162

Cálculo III AULA

8Onde n é a normal unitária em S.

Área de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3 Parametrizada

Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por

~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i+ y(u, v)~j~j~j+ z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈ [a, b]× [c, d] então,

a área de S será:

Are(S) =∫ b

a

∫ d

c|~r~r~ru ×~r~r~rv|dudv.

Integral de Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3 Parametrizada

Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por

~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i + y(u, v)~j~j~j + z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e

f : S ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais definida sobre S

então, a integral de f sobre S será:∫ ∫Sf(x, y, z)dσ def=

∫ b

a

∫ d

cf(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|~r~r~ru×~r~r~rv|dudv.

Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície

S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3 Parametrizada

Se S ⊂ R3 é lisa e definida parametricamente por~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i+

y(u, v)~j~j~j + z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈ [a, b]× [c, d] e ~F~F~F : S ⊂ R3 7→ R3 uma

função de valores vetoriais. O fluxo de ~F~F~F através de S, é dado por:

φ(~F~F~F ) =∫ b

a

∫ d

c

~F~F~F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) • ~n~n~n|~r~r~ru ×~r~r~rv|dudv.

Como podemos calcular o vetor normal por ~n~n~n =1

|~r~r~ru ×~r~r~rv|·(~r~r~ru×~r~r~rv)

a integral para o fluxo do campo vetorial ~F~F~F através da superfície

163


S pode ser reescrita como:

φ(~F~F~F ) =∫ b

a

∫ d

c

~F~F~F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) • (~r~r~ru ×~r~r~rv)dudv.

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos dois importantíssimos teore-

mas do Cálculo. São eles o “Teorema de Green” e “Teorema de

Stokes”. Dizem respeito a integração de campos vetoriais ao longo

de curvas fechadas no plano (caso do teorema de Green) e de curvas

fechadas no espaço (caso do teorema de Stokes).

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões:

ATIV. 8.1. Seja S ⊂ R3 uma superfície dada por z = f(x, y)

cuja projeção no plano xy é D ⊂ xy. Mostre que sua área pode

ser dada por:

∫ ∫D

√(∂f

∂x

)2

+(∂f

∂y

)2

+ 1dxdy


demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.

ATIV. 8.2. Seja uma casca fina dada pela superfície S ⊂ R3 des-

crita por f(x, y, z) = a2 − x2 − y2 − z2 = 0, y < 0 e z > 0 (ver

Fig. 8.8) e determine seu centro de gravidade.

164

Cálculo III AULA

8

Figura 8.8: 1/4 da esfera x2 + y2 + z2 = a2

Comentário: Observe que a superfície tem simetria e como a

densidade é constante temos: x = 0 e y = −z.











2003.




165



166

AULA

9Teorema de Greene Teorema de Stokes

META:

Apresentar o teorema de Green e o teorema de Stokes e algumas

de suas aplicações.

OBJETIVOS:


Enunciar o teorema de Green e o teorema de Stokes e determinar

o fluxo rotacional de um dado campo vetorial.

PRÉ-REQUISITOS


mínio em R, da disciplina Cálculo I, aula 07 e aula 08.

Teorema de Green e Teorema de Stokes

9.1 Introdução

Caros alunos, nosso tema de hoje: “Teorema de Green e Te-

orema de Stokes", visa apresentar dois dos mais importantes te-

oremas do Cálculo, envolvendo integrais de linha. O teorema de

Green, converte integrais de linha de curvas fechadas no plano em

integrais duplas e o teorema de Stokes, que é uma generalização do

teorema de Green, converte integrais d linha de campos vetoriais

sobre curvas fechadas no espaço em integrais de superfície.

9.2 Preliminares

Antes de partirmos para a demonstração do teorema de Green

é necessária a introdução de alguns conceitos, que estabelecerãoBIOGRAFIA

George Green nasceuem Sneinton, condadode Nottinghamshire 14de Julho de 1793 e mo-erreu em Nottingham,31 de Maio de 1841,foi um matemático efísico inglês. Na suaobra Essay on theApplication of Mathe-matical Analysis to theTheory of Electricityand Magnetism (1828)introduziu a noção defunção potencial noestudo dos camposmagnéticos. O teoremade Green, que demons-trou em 1828 facilitoubastante o estudo dasfunções. Wikipedia

a definição de dois novos operadores diferenciais vetoriais. O pri-

meiro deles é o conceito de “densidade de fluxo em um ponto”.

Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial (velocidade de es-

coamento de um fluido) onde: ~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j,

Figura 9.1: Fluxo de ~F~F~F através do Retângulo

f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Consi-

deremos um pequeno retângulo contido em D com vértices em:

168

Cálculo III AULA

9(x, y), (x + ∆x, y), (x, y + ∆y) e (x + ∆x, y + ∆y) (ver Fig. 9.1

). A taxa com que ~F~F~F atravessa as arestas do retângulo são:

em cima : ~F~F~F (x, y + ∆y) •∆x~j~j~j = f2(x, y + ∆y)∆x

em baixo : ~F~F~F (x, y) • (−∆x)~j~j~j = −f2(x, y)∆x

à direita : ~F~F~F (x+ ∆x, y) •∆y~i~i~i = f1(x+ ∆x, y)∆y

à esquerda : ~F~F~F (x, y) • (−∆y)~i~i~i = −f1(x, y)∆y

O fluxo total através das arestas do retângulo é:

(f1(x+ ∆x, y)− f1(x, y))∆y + (f2(x, y + ∆y)− f2(x, y))∆x

Como podemos escrever as seguintes aproximações: f1(x+∆x, y)−

f1(x, y) ≈ ∂f1

∂x∆x e f2(x, y + ∆y) − f1(x, y) ≈ ∂f2

∂x∆y temos a

seguinte aproximação para o fluxo de ~F~F~F através das arestas do

retângulo:∂f1

∂x∆x∆y +

∂f2

∂y∆y∆x

Dividindo pela área do retângulo, que é dada por: ∆x∆y teremos

uma aproximação para a densidade de fluxo de ~F~F~F no retângulo.

∂f1

∂x+∂f2

∂y

Agora vamos à argumentação heurística em que fazemos ∆x e ∆y

tenderem a zero e podemos definir a densidade de fluxo do campo

vetorial ~F~F~F no ponto (x, y).

Definição 9.1. Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde:

~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i+f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e

deriváveis emD. Definimos a densidade de fluxo do campo vetorial

169


~F~F~F no ponto (x, y), denominado divergente de ~F~F~F , denotado Div~F~F~F

ou ∇ • ~F~F~F por:

∇ • ~F~F~F def=∂f1

∂x+∂f2

∂y

Completaremos com “densidade de circulação em um ponto” os

dois novos conceitos necessários ao estabelecimento do teorema de

Green. Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial (velocidade

de escoamento de um fluido) onde: ~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i+ f2(x, y)~j~j~j,

Figura 9.2: Circulação de ~F~F~F ao longo do Retângulo

f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Considere-

mos um pequeno retângulo contido em D com vértices em: (x, y),

(x + ∆x, y), (x, y + ∆y) e (x + ∆x, y + ∆y) (ver Fig. 9.2 ). A

soma das taxas de escoamento dos quatro lados do retângulo mede

a circulação de ~F~F~F no sentido anti-horário. As taxas de escoamento

ao longo de cada lado do retângulo são dadas por:

em cima : ~F~F~F (x, y + ∆y) • (−∆x~i~i~i) = −f1(x, y + ∆y)∆x

em baixo : ~F~F~F (x, y) •∆x~i~i~i = f1(x, y)∆x

à direita : ~F~F~F (x+ ∆x, y) •∆y~j~j~j = f2(x+ ∆x, y)∆y

à esquerda : ~F~F~F (x, y) • (−∆y)~j~j~j = −f2(x, y)∆y

170

Cálculo III AULA

9O escoamento total ao longo das arestas do retângulo é:

(f2(x+ ∆x, y)− f2(x, y))∆y + (−f2(x, y + ∆y) + f2(x, y))∆x

Como podemos escrever as seguintes aproximações: f1(x+∆x, y)−

f1(x, y) ≈ ∂f1

∂x∆x e f2(x, y + ∆y) − f1(x, y) ≈ ∂f2

∂x∆y temos a

seguinte aproximação para o escoamento de ~F~F~F ao longo das arestas

do retângulo:∂f2

∂x∆x∆y − ∂f1

∂y∆y∆x

Dividindo pela área do retângulo, que é dada por: ∆x∆y teremos

uma aproximação para a densidade da circulação de ~F~F~F no retân-

gulo.∂f2

∂x− ∂f1

∂y

Fazendo ∆x e ∆y tenderem independentemente a zero podemos

definir a densidade de circulação no ponto (x, y) por:

Definição 9.2. Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde:

~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contí-

nuas e deriváveis em D. Definimos a componente ~k~k~k da densidade

de circulação do campo vetorial ~F~F~F no ponto (x, y), denominado

rotacional de ~F~F~F , denotado Rot~F~F~F ou ∇× ~F~F~F por:

(∇× ~F~F~F ) •~k~k~k def=∂f2

∂x− ∂f1

∂y

9.3 Teorema de Green

O teorema de Green pode ser exposto de duas formas na pri-

meira diz que o fluxo exterior de um campo vetorial através de

171


uma curva fechada simples no plano é igual a integral dupla do di-

vergente do campo vetorial sobre a região D limitada pela curva,

i.e.

∮C

~F~F~F • ~n~n~nds =∫ ∫

D

(∂f1

∂x+∂f2

∂y

)dxdy

Na outra forma diz que a circulação no sentido anti-horário de um

campo de força ao longo de uma curva simples e fechada no plano

é igual a integral dupla da componente ~k~k~k do rotacional do campo

vetorial sobre a região D limitada pela curva.

∮C

~F~F~F •~t~t~tds =∫ ∫

D

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dxdy

Vamos agora e sem muita demora à demonstração do teorema de

Green.

Teorema 9.1. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial dado

por: ~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são

contínuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple,

fechada tal que retas paralelas aos eixos coordenados não a cortem

Figura 9.3: Teorema de Green

172

Cálculo III AULA

9em mais que dois pontos e Seja R a região limitada por C então:

∮Cf1dx+ f2dy =

∫ ∫R

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy

PROVA: Observando a Fig. 9.3 vemos C formada por duas

parte orientadas dadas por:

C1 : y = g1(x) a ≤ x ≤ b

C2 : y = g2(x) b ≥ x ≥ a

Tomando um ponto arbitrário x ∈ (a, b) podemos integrar∂f1

∂yem

relação a y nos limites y = g1(x) até y = g2(x). A saber:

∫ g2(x)

g1(x)

∂f1

∂ydy = f1(x, y)

∣∣∣g2(x)

g1(x)= f1(x, g2(x))− f1(x, g1(x))

Podemos então integrar este resultado na variável x nos limites

x = a até x = b e temos:

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∂f1

∂ydydx =

∫ b

a(f1(x, g2(x))− f1(x, g1(x)))dx

= −∫ a

b(f1(x, g2(x))dx−

∫ b

af1(x, g1(x)))dx

= −∫C2

f1dx−∫C1

f1dx

= −∮Cf1dx

Que podemos reescrever como:

∮Cf1dx =

∫ ∫R−∂f1

∂ydxdy

Por outro lado, observando a Fig. 9.4 a curva C pode ser dada

por:

173


C1 : x = h1(y) c ≤ y ≤ d

C2 : x = h2(y) d ≥ y ≥ c

Figura 9.4: Teorema de Green

Tomando um ponto arbitrário y ∈ (c, d) podemos integrar∂f2

∂xem

relação a x nos limites x = h1(y) até x = h2(y). A saber:

∫ h2(y)

h1(y)

∂f2

∂xdx = f2(x, y)

∣∣∣h2(y)

h1(y)= f2(h2(y), y)− f2(h1(y), y)

Podemos então integrar este resultado na variável y nos limites

y = c até y = d e temos:

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

∂f2

∂xdxdy =

∫ d

c(f2(h2(y), y)− f2(h1(y), y))dy

=∫ d

cf2(h2(y), y)dy +

∫ c

df2(h1(y), y)dy

= −∫C2

f2dy −∫C1

f2dy

=∮Cf2dy

Que podemos reescrever como:

174

Cálculo III AULA

9∮Cf2dy =

∫ ∫R

∂f2

∂xdxdy

Adicionando os dois resultados temos:

∮Cf1dx+ f2dy =

∫ ∫R

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy �

9.4 Estendendo o Teorema de Green para Ou-

tras Regiões

Caros alunos, muito embora a demonstração acima do teorema

de Green comportem um grande número de curvas, muitas outras

não se enquadram na categoria que goza da propriedade de que

toda reta

Figura 9.5: Curva Figura 9.6: Partição

paralela aos eixos coordenados a cortem em no máximo dois pon-

tos É o caso da curva dada na Fig. 9.5 visto que retas paralelas

ao eixo x podem corta-la em até 4 pontos na parte de cima da

curva. Nestes casos podemos estender o teorema de Green com o

seguinte procedimento: Traçamos retas unindo pontos específicos

da curva C como na Fig. 9.6 os pontos A, B e D de modo que

175


as curvas formadas pela união de C1 com a reta AB bem como

a união da curva C2 com a reta BD e a curva C3 com as retas

DB e BA orientadas todas no sentido anti-horário contornando as

regiões R1 R2 e R3, respectivamente. As curvas acima descritas

todas satisfazem a condição da demonstração do teorema de Green

acima i.e. toda reta paralela aos eixos coordenados as cortam em

apenas dois pontos. Desta forma aplicando o teorema de Green a

cada uma das curvas temos:

∮C1

f1dx+ f2dy +∫AB

f1dx+ f2dy =∫ ∫

R1

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy∮

C2

f1dx+ f2dy +∫BD

f1dx+ f2dy =∫ ∫

R2

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy∮

C3

f1dx+ f2dy +∫BA

f1dx+ f2dy +∫DB

f1dx+ f2dy =∫ ∫R3

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy

Adicionando todas as equações e levando em conta que:

∫AB

f1dx+ f2dy = −∫BA

f1dx+ f2dy∫BD

f1dx+ f2dy = −∫DB

f1dx+ f2dy,

temos:∫C1∪C2∪C3

f1dx+ f2dy =∫ ∫

R1∪R2∪R3

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy

E como C = C1∪C2∪C3 e R = R1∪R2∪R3 podemos finalmente

escrever que para a curva C da Fig. 9.5 vale o teorema de Green:

∫Cf1dx+ f2dy =

∫ ∫R

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy.

176

Cálculo III AULA

9Uma outra categoria de regiões que não satisfaz a exigência da

demonstração do teorema de Green são regiões R com buracos

Figura 9.7: Curva Figura 9.8: Partição

como a da Fig. 9.7 onde a curva C∗ que define a região do buraco

está orientada no sentido horário. Uma solução está na partição

dada na Fig. 9.8 onde repartimos R em oito sub-regiões R1 a

R8 da seguinte forma: R1 limitada pelas curvas C1, A2A3 e A3A1,

R2 limitada pelas curvas C2, A4A6, C9 e A3A2, R3 limitada pelas

curvas C3, A5A6 e A6A4, R4 limitada pelas curvas C4, A7A9, C10

e A6A5, R5 limitada pelas curvas C5, A8A9 e A9A7, R6 limitada

pelas curvas C6, A10A12, C11 e A9A8, R7 limitada pelas curvas

C7, A11A12 e A12A10, R8 limitada pelas curvas C8, A1A3, C12 e

A12A11. Em cada uma das oito regiões o teorema de Green pode

ser aplicado individualmente e levando em conta que as integrais

ao longo dos segmentos de reta se anulam mutuamente podemos

escrever para a região R que:

∫Cf1dx+ f2dy +

∫C∗f1dx+ f2dy =

∫ ∫R

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy

Podemos então relaxar um pouco as exigências do teorema de

177


Green e reformula-lo como:

Teorema 9.2. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial dado

por: ~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são

contínuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple,

fechada e Seja R a região limitada por C então:

∮Cf1dx+ f2dy =

∫ ∫R

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy

9.5 Verificação do Teorema de Green

Caros alunos, nesta seção faremos uma verificação do teorema

de Green. A saber:

Exemplo 9.1. Considere a campo vetorial ~F~F~F : R2 7→ R2 dado por

~F~F~F (x, y) = − y

x2 + y2~i~i~i +

x

x2 + y2~j~j~j e a região com buraco limitadas

pelos círculos (ver Fig. 9.9):

Figura 9.9: Verificação do teorema de Green

178

Cálculo III AULA

9C1 : x = b cos(t) y = b sin(t) t ∈ [0, 2π]

C2 : x = a cos(t) y = −a sin(t) t ∈ [0, 2π]

onde a < b, C1 é percorrida no sentido anti-horário e C2 no sen-

tido horário. Verificar o teorema de Green para os dados campo

vetorial e região.

SOLUÇÃO: Como o campo vetorial ~F~F~F (x, y) = −x2y~i~i~i+ xy2~j~j~j te-

mos suas componentes dadas por f1(x, y) = −x2y e f2(x, y) = xy2

e temos as derivadas∂f1

∂ye∂f2

∂xdadas por:

∂f1

∂y=

(x2 + y2)(−1)− (−y)(2y)(x2 + y2)2

=x2 − y2

(x2 + y2)2

e

∂f2

∂x=

(x2 + y2)(+1)− (−x)(2x)(x2 + y2)2

=x2 − y2

(x2 + y2)2

Portanto∂f1

∂y=∂f2

∂xe temos:

∫ ∫R

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dxdy = 0

Calculando a integral de linha em C1 temos:

179


∮C1

f1dx+ f2dy =∮C1

1x2 + y2

(xdx− ydy)

=∫ 2π

0

b2 cos2(t) + b2 sin2(t)b2 cos2(t) + b2 sin2(t)

dt+

=∫ 2π

0dt

= t∣∣∣2π0

= 2π

E calculando a integral de linha em C2 temos:

∮C2

f1dx+ f2dy =∮C1

1x2 + y2

(xdx− ydy)

= −∫ 2π

0

a2 cos2(t) + a2 sin2(t)a2 cos2(t) + a2 sin2(t)

dt+

= −∫ 2π

0dt

= −t∣∣∣2π0

= −2π

Temos então que:

∮C1

f1dx+ f2dy +∮C2

f1dx+ f2dy = 0

E o teorema de Green é verificado:

∮C1

f1dx+ f2dy +∮C2

f1dx+ f2dy =∫ ∫

R

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dxdy �

180

Cálculo III AULA

99.6 Teorema de Stokes

Caros alunos, nesta seção trataremos do Teorema de Stokes,

que é uma generalização do Teorema de Green. Porém, devido a

dificuldade das técnicas usada em sua demonstração e que escapam

ao escopo deste curso, nos limitaremos a apresenta-lo e fazer umaBIOGRAFIA

Sir George GabrielStokes nasceu emSkreen, Condando deSligo, 13 de Agostode 1819 e morreuem Cambridge, 1 deFevereiro de 1903,foi um matemático efísico irlandês que sedistinguiu pelas suascontribuições na dinâ-mica de fluidos (porexemplo, as equaçõesde Navier-Stokes),na óptica e físicamatemática (Teoremade Stokes). Wikipedia

aplicação do mesmo.

Começamos por estender o conceito de densidade de circulação

(rotacional). Como vimos anteriormente a componente ~k~k~k da densi-

dade de circulação de um campo vetorial bi-dimensional ~F~F~F (x, y) =

f1(x, y)~i~i~i+ f2(x, y)~j~j~j é dada por:∂f2

∂x− ∂f1

∂y. Em dimensão três, a

densidade de circulação (rotacional) é um vetor normal ao plano

de circulação cuja direção satisfaz a regra da mão direita. A taxa

de rotação do fluido é medida pelo módulo do vetor rotacional.

Vamos à definição:

Definição 9.3. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 uma campo vetorial

tridimensional dado por: ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j +

f3(x, y, z)~k~k~k onde f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções contínuas e

com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O rotacional

de ~F~F~F , denotado Rot~F~F~F ou ∇× ~F~F~F , é definido por:

∇× ~F~F~Fdef=(∂f3

∂y− ∂f2

∂z

)~i~i~i+

(∂f1

∂z− ∂f3

∂x

)~j~j~j +

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)~k~k~k

Vamos agora enunciar o Teorema de Stokes que nos diz que sob

certas condições a circulação de um campo vetorial ao longo da

borda de uma superfície S ⊂ R3 no sentido anti-horário com rela-

ção ao campo de vetores normais a S é igual a integral de superfície

do componente normal do rotacional.

181


Teorema 9.3. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridi-

mensional cujas componentes são contínuas e têm derivadas parci-

ais de primeira ordem contínuas e S ⊂ D ⊂ R3 uma superfície lisa

com borda C ⊂ D ⊂ R3 lisa então, a circulação do campo vetorial

~F~F~F ao longo da borda C de S, no sentido anti-horário em relação

aos vetores normais unitários de S é igual a integral de superfície

da componente normal do rotacional i.e.:

∮C

~F~F~F • d~r~r~r =∫S

(∇× ~f~f~f) • ~n~n~ndσ

OBS 9.1. Se duas superfícies orientadas diferentes S1 e S2 tem a

mesma borda C as integrais de superfície da componente normal

do rotacional de um campo vetorial que atravessa ambas são iguais:

∫S1

(∇× ~f~f~f) • ~n~n~ndσ =∫S2

(∇× ~f~f~f) • ~n~n~ndσ

OBS 9.2. Se C é uma curva lisa do plano xy, orientada no sentido

anti-horário e R a região de xy delimitada por C o vetor normal a

R é ~n~n~n = ~k~k~k. Daí, temos:

∇× ~F~F~F • ~n~n~n = ∇× ~F~F~F •~k~k~k =∂f2

∂x− ∂f1

∂y

E o teorema de Stokes pode ser escrito como:

∮C

~F~F~F • d~r~r~r =∫ ∫

R

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dxdy

Que é o teorema de Green. Daí, se diz que o teorema de Green é

um caso particular do teorema de Stokes.

182

Cálculo III AULA

99.7 Aplicação do Teorema de Stokes

Caros alunos, nesta seção faremos uma aplicação do teorema

de Stokes. A saber:

Figura 9.10: Verificação do teorema de Stokes

Exemplo 9.2. Considere a campo vetorial ~F~F~F : R3 7→ R3 dado por

~F~F~F (x, y) = (yz + xz)~i~i~i + (xz + x)~j~j~j + (xy − y2/2)~k~k~k e a Curva C na

qual o plano z = a > 0 corta o cone z =√x2 + y2 (ver Fig. 9.10)

e determine a circulação de ~F~F~F ao longo de C.

SOLUÇÃO: Para determinação da circulação de ~F~F~F ao longo de C

usaremos o teorema de Stokes. Percorrer C no sentido anti-horário

visto de cima corresponde a tomar a normal ~n~n~n ao cone apontando

para dentro.

O cone pode ser parametrizado por:

~r~r~r(r, ϑ) = ar cos(ϑ)~i~i~i+ ar sin(ϑ)~j~j~j + ar~k~k~k,∀r ∈ [0, 1], ∀ϑ ∈ [0, 2π]

As derivadas parciais ~r~r~rr e ~r~r~rϑ são dadas por:

183


~r~r~rr = a cos(ϑ)~i~i~i+ a sin(ϑ)~j~j~j + a~k~k~k

~r~r~rϑ = −ar sin(ϑ)~i~i~i+ ar cos(ϑ)~j~j~j + 0~k~k~k

Daí, o produto vetorial ~r~r~rr ×~r~r~rϑ pode ser calculado como:

~r~r~rr ×~r~r~rϑ = det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i~i~i ~j~j~j ~k~k~k

a cos(ϑ) a sin(ϑ) a

−ar sin(ϑ) ar cos(ϑ) 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Daí, temos:

~r~r~rr ×~r~r~rϑ = −ar cos(ϑ)~i~i~i− ar sin(ϑ)~j~j~j + ar~k~k~k

Como, para uma superfície parametrizada temos:

∫ ∫S

~F~F~F • ~n~n~ndσ =∫ b

a

∫ d

c(∇× ~F~F~F ) • (~r~r~ru ×~r~r~rv)dudv

Calculando o rotacional de ~F~F~F temos:

∇× ~F~F~F = det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i~i~i ~j~j~j ~k~k~k

∂

∂x

∂

∂t

∂

∂z

yz + xz xz + x xy − y2/2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Daí, temos:

∇× ~F~F~F = −y~i~i~i+ x~j~j~j +~k~k~k

E como ∇× ~F~F~F (x, y, z) = −y~i~i~i+ x~j~j~j +~k~k~k temos:

184

Cálculo III AULA

9∇× ~F~F~F • (~r~r~ru ×~r~r~rv) = +a2r2 cos(ϑ) sin(ϑ)− a2r2 cos(ϑ) sin(ϑ) + ar

= ar

E podemos calcular a integral de superfície como:

∫ ∫S

~F~F~F • ~n~n~ndσ =∫ 2π

0

∫ 1

0ardrdϑ = aπ

Usando o teorema de Stokes para calcular a circulação temos:

∮C

~F~F~F • d~r~r~r =∫ ∫

S(∇× ~F~F~F ) • ~n~n~ndσ = aπ �

9.8 Conclusão

Na aula de hoje, vimos dois grandes teoremas do Cálculo. O

teorema de Green que relaciona o fluxo exterior através de uma

curva lisa do plano de um campo vetorial com a integral dupla

do divergente do campo vetorial sobre a região delimitada pela

curva. O teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um

campo de vetores tridimensional ao longo da borda de uma super-

fície no espaço com a integral de superfície da componente normal

do rotacional do campo vetorial.

RESUMO

No nosso resumo de hoje constam as seguintes definições e te-

oremas:

185


Densidade de Fluxo de um Campo Vetorial Bi-dimensional

Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde: ~F~F~F (x, y) =

f1(x, y)~i~i~i+f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis

em D. Definimos a densidade de fluxo do campo vetorial ~F~F~F no

ponto (x, y), denominado divergente de ~F~F~F , denotadoDiv~F~F~F ou∇•~F~F~F

por:

∇ • ~F~F~F def=∂f1

∂x+∂f2

∂y

Densidade de Circulação de um Campo Vetorial Bi-di-

mensional

Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde: ~F~F~F (x, y) =

f1(x, y)~i~i~i+f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis

em D. Definimos a componente ~k~k~k da densidade de circulação do

campo vetorial ~F~F~F no ponto (x, y), denominado rotacional de ~F~F~F ,

denotado Rot~F~F~F ou ∇× ~F~F~F por:

∇× ~F~F~Fdef=

∂f2

∂x− ∂f1

∂y

Teorema de Green

Sejam ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial dado por: ~F~F~F (x, y) =

f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e derivá-

veis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple, fechada e Seja R a

região limitada por C então:

∮Cf1dx+ f2dy =

∫ ∫R

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y))dxdy

Rotacional

Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 uma campo vetorial tridimensional dado

por: ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i+f2(x, y, z)~j~j~j+f3(x, y, z)~k~k~k onde f1, f2, f3 :

186

Cálculo III AULA

9D ⊂ R3 7→ R são funções contínuas e com derivadas parciais de

primeira ordem contínuas. O rotacional de ~F~F~F , denotado Rot~F~F~F ou

∇× ~F~F~F , é definido por:

∇× ~F~F~Fdef=(∂f3

∂y− ∂f2

∂z

)~i~i~i+

(∂f1

∂z− ∂f3

∂x

)~j~j~j +

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)~k~k~k

Teorema de Stokes

Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional cujas

componentes são contínuas e têm derivadas parciais de primeira

ordem contínuas e S ⊂ D ⊂ R3 uma superfície lisa com borda

C ⊂ D ⊂ R3 lisa então, a circulação do campo vetorial ~F~F~F ao

l.ongo da borda C de S, no sentido anti-horário em relação aos

vetores normais unitários de S é igual a integral de superfície da

componente normal do rotacional i.e.:

∮C

~F~F~F • d~r~r~r =∫S

(∇× ~f~f~f) • ~n~n~ndσ

PRÓXIMA AULA

Na próxima aula estudaremos outro importante teorema do

Cálculo atribuído ao Matemático alemão Johann Carl Friedrich

Gauss resumidamente denominado de “Teorema da Divergência”.

ATIVIDADES


ATIV. 9.1. Sejam ~F~F~F : R2 7→ R2 o campo vetorial bi-dimensional

dado por: ~F~F~F (x, y) = y~i~i~i+0~j~j~j e R ⊂ R2 a região limitada pelo círculo

187


C ⊂ R2 dado por: x2 + y2 = a2. Verifique o teorema de Green

para este campo vetorial e esta região.


texto e as verificações acima, elas lhe servirão de guia.

ATIV. 9.2. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensional

dado por: ~F~F~F (x, y) = x2~i~i~i + x~j~j~j + z~k~k~k e R ⊂ R2 a região limitada

pela elipse C ⊂ R2 dado por: a2x2 + y2 = a2. Use o teorema de

Stokes e determine a circulação do campo ~F~F~F ao longo da curva C

no sentido anti-horário quando vista de cima.


texto e as verificações acima, elas lhe servirão de guia.











2003.





188

AULA

10Teorema de Divergência

META:

Apresentar o teorema de Gauss e algumas de suas aplicações.

OBJETIVOS:


Enunciar o teorema de Gauss.

Determinar o divergente de um campo vetorial e determinar o fluxo

de um campo vetorial através de uma superfície fechada em R3.

PRÉ-REQUISITOS


mínio em R, da disciplina Cálculo I e aula 08.

Teorema de Divergência

10.1 Introdução

Caros alunos terminamos aqui nosso curso de Cálculo III com o

tema “Teorema da Divergência”, atribuído ao Matemático alemãoBIOGRAFIA

Johann Carl Frie-drich Gauss nasceu emBraunschweig, 30 deAbril de 1777 e morreuem Göttingen, 23 deFevereiro de 1855,foi um matemático,astrônomo e físicoalemão. Conhecidocomo o príncipe dosmatemáticos. Muitosconsideram Gauss omaior gênio da históriada matemática. Seu QIfoi estimado em cercade 240. Wikipedia

Johann Carl Friedrich Gauss e mais tarde atribuido também ao

Matemático russo Mikhail Vasilievich Ostrogradsky. O teorema

de Gauss, ou teorema da divergência, relaciona uma integral tripla

num sólido D ⊂ R3 com a integral sobre a superfície S ⊂ R3 que

é fronteira deste sólido.

10.2 Preliminares

Como preliminares precisaremos apenas estender a definição

de divergente de um campo vetorial bi-dimensional, visto na aula

anterior, para o divergente de um campo vetorial tridimensional.

Vamos logo à tarefa.

Definição 10.1. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial

tridimensional dado por ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j +

f3(x, y, z)~k~k~k tal que suas componentes f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R

sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem

contínuas em D. Definimos o divergente de ~F~F~F , denotado Div~F~F~F ou

∇ • ~F~F~F , por:

∇ • ~F~F~F def=∂f1

∂x+∂f2

∂y+∂f3

∂z

Exemplo 10.1. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 o campo vetorial tridi-

mensional dado por ~F~F~F (x, y, z) = x2yz~i~i~i + xy2z~j~j~j + xyz2~k~k~k. O seu

divergente será:

190

Cálculo III AULA

10∇ • ~F~F~F =

∂

∂x(x2yz) +

∂

∂y(xy2z) +

∂

∂z(xyz2)

= 2xyz + 2xyz + 2xyz

= 6xyz

10.3 Teorema da Divergência

Caros alunos, nesta seção vamos estudar a transformação de

certas integrais de volume em integrais de superfícies que é o aná-

logo no espaço do teorema de Green (em sua forma divergente)

estudado na aula anterior. Como condições impostas primeira-

mente ao campo vetorial ~F~F~F é que ele tenha componentes contínuas

e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas o que já

basta para o nosso propósito. Quanto a região D ⊂ R3, deseja-

mos que ela seja regular e suave, tenha fronteira S ⊂ R3 regular

e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e

Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave

e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas

projeções cortem S em no máximo dois pontos Uma tal região

será aqui chamada de região simples. Um exemplo de tal região é

a limitada pela esfera x2 + y2 + z2 = a2. Vamos ao enunciado e a

demonstração do teorema da divergência.

Teorema 10.1. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial




191


contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave

tal que sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, que

suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano

xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas

paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cor-

tem S em no máximo dois pontos (ver Fig. 10.1) então:

Figura 10.1: Teorema da divergência

∫ ∫ ∫D∇ • ~F~F~Fdxdydz =

∫ ∫S

~F~F~F • ~n~n~ndσ

PROVA: Quando projetamos uma região regular e simples D no

plano xy, sua fronteira S consiste de duas partes S1 e S2 dadas

pelas funções: z1(x, y) e z2(x, y) respectivamente (ver Fig. 10.1).

Seja f3(x, y, z) uma função contínua com derivadas parciais de pri-

meira ordem contínuas em D. Então:

∫ ∫ ∫D

∂f3

∂zdV ol =

∫ ∫Sxy

dxdy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

∂f3

∂zdz

192

Cálculo III AULA

10Integrando e substituindo os limites temos:

∫ ∫ ∫D

∂f3

∂zdV ol =

∫ ∫Sxy

f3(x, y, z2(x, y))dxdy −

−∫ ∫

Sxy

f3(x, y, z1(x, y))dxdy

Seja ~n~n~n = nx~i~i~i+ny~j~j~j+nz~k~k~k a normal a S em cada ponto (x, y, z) ∈ S

apontando para fora de D e seja γ o ângulo entre ~n~n~n e ~k~k~k desta

forma temos: ~n~n~n •~k~k~k = nz = cos(γ).|~n~n~n|.|~k~k~k| i.e. cos(γ) = nz em S2 e

cos(γ) = −nz em S1. Daí, e do fato de que dxdy = cos(γ)dσ onde

dσ é o elemento de área em S, temos:

∫ ∫Sxy

f3(x, y, z2(x, y))dxdy =∫ ∫

S2

f3nzdσ

e também:∫ ∫Sxy

f3(x, y, z1(x, y))dxdy = −∫ ∫

S1

f3nzdσ

Daí, e da expressão anterior temos:

∫ ∫ ∫D

∂f3

∂zdV ol =

∫ ∫S2

f3nzdσ +∫ ∫

S1

f3nzdσ

=∫ ∫

S2∪S1

f3nzdσ

Como S = S2 ∪ S1 temos:

∫ ∫ ∫D

∂f3

∂zdV ol =

∫ ∫Sf3nzdσ

De forma análoga, usando as projeções de D sobre os planos coor-

denados yz e xz podemos deduzir que:

193


∫ ∫ ∫D

∂f1

∂xdV ol =

∫ ∫Sf1nxdσ

e também:

∫ ∫ ∫D

∂f2

∂ydV ol =

∫ ∫Sf2nydσ

Somando as três equações acima temos:

∫ ∫ ∫D

(∂f1

∂x+∂f2

∂y+∂f3

∂z

)dV ol =

∫ ∫S

(f1nx+f2ny+f3nz)dσ

Como ~F~F~F = f1~i~i~i+ f2

~j~j~j + f3~k~k~k temos:

~F~F~F • ~n~n~n = f1nx + f2ny + f3nz

∇ • ~F~F~F =∂f1

∂x+∂f2

∂y+∂f3

∂z

E temos então:

∫ ∫ ∫D∇ • ~F~F~FdV ol =

∫ ∫S

~F~F~F • ~n~n~ndσ �

10.4 Estendendo o Teorema da Divergência

Caros alunos, muito embora a demonstração acima do teorema

da divergência comportem um grande número de regiões D, muitas

outras não se enquadram na categoria que goza da propriedade de

ser uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fron-

teira S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano

xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de

R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados

194

Cálculo III AULA

10

Figura 10.2: Teorema da divergência

que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pon-

tos. È o caso da região dada pela Fig. 10.2. Observando porém,

que se a região D puder ser decomposta em um número finito de

sub-regiões simples, podemos escrever o teorema da divergência

em cada uma das sub-regiões e somar o resultado, de forma que

para a região D o teorema continue válido. Desta forma podemos

enunciar uma forma mais ampla do teorema da divergência. A

saber:

Teorema 10.2. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial




contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave

tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões sim-

ples e sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, então:


∫ ∫S


195


10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Di-

vergência

Caros alunos, nesta seção faremos algumas aplicações do teo-

rema da divergência. A primeira é no calculo do fluxo exterior de

um campo vetorial tridimensional, a segunda no cálculo do fluxo

exterior do campo elétrico gerado por uma carga pontual através

de uma superfície fechada em cujo interior encontra-se a carga elé-

trica e a terceira na redução da forma integral da lei de balanço de

massa à sua forma diferencial pontual.

Exemplo 10.2. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensi-

onal dado por: ~F~F~F (x, y) = x~i~i~i+y~j~j~j+z~k~k~k e D a região delimitada pela

esfera x2 +y2 +z2 ≤ a2. Determine o fluxo exterior de ~F~F~F dado por∫ ∫S

~F~F~F • ~n~n~ndσ através da superfície da esfera.

Vamos ao calculo do fluxo exterior de um campo vetorial tridimen-

sional.

SOLUÇÃO: Do teorema da divergência temos:

∫ ∫S

~F~F~F • ~n~n~ndσ =∫ ∫ ∫

D∇ • ~F~F~FdV ol

Portanto basta calcular a integral tripla sobre a região da esfera

do divergente de ~F~F~F .

Como ~F~F~F (x, y) = x~i~i~i+ y~j~j~j + z~k~k~k seu divergente será:

∇ • ~F~F~F =∂

∂x(x) +

∂

∂y(y) +

∂

∂z(z)

= 3

196

Cálculo III AULA

10Daí, temos:

∫ ∫S

~F~F~F • ~n~n~ndσ =∫ ∫ ∫

D3dV ol

= 3∫ ∫ ∫

DdV ol

= 4πa3 �

Vamos ao cálculo do fluxo exterior do campo elétrico gerado por

uma carga pontual através de uma superfície S ⊂ R3 em cujo in-

terior encontra-se a carga elétrica.

Exemplo 10.3. O campo elétrico gerado por uma carga elétrica

pontual q localizada na origem é dado por:

~E~E~E =q

4πε0|~r~r~r|3~r~r~r

Como ~r~r~r = x~i~i~i+y~j~j~j+z~k~k~k, colocando φ = |~r~r~r| =√x2 + y2 + z2 temos:

~E~E~E =q

4πε0~F~F~F

onde ~F~F~F =1φ3~r~r~r.

Podemos escrever o vetor ~F~F~F em suas componentes como:

~F~F~F =x

φ3~i~i~i+

y

φ3~j~j~j +

z

φ3~k~k~k

Calculando as derivadas parciais das componentes de ~F~F~F temos:

∂

∂x

(x

φ3

)=φ3 − 3xφ2∂φ

∂xφ6

197


Como φ = |~r~r~r| =√x2 + y2 + z2 temos:

∂φ

∂x=

x√x2 + y2 + z2

=x

φ

Logo:

∂

∂x

(x

φ3

)=φ3 − 3x2φ

φ6

De modo análogo temos:

∂

∂y

(y

φ3

)=φ3 − 3y2φ

φ6

e também:

∂

∂z

(z

φ3

)=φ3 − 3z2φ

φ6

Somando as três equações temos:

∂

∂x

(x

φ3

)+

∂

∂y

(y

φ3

)+

∂

∂z

(z

φ3

)=

3φ3 − 3(x2 + y2 + z2)φφ6

=3φ3 − 3φ2φ

φ6

= 0

Logo como:

∇ • ~F~F~F =∂

∂x

(x

φ3

)+

∂

∂y

(y

φ3

)+

∂

∂z

(z

φ3

)= 0

E também como ∇ • ~E~E~E =q

4πε0∇ • ~F~F~F temos:

∇ • ~E~E~E = 0

198

Cálculo III AULA

10Tomando D∗ como a região entre S e uma esfera centrada na

origem Sa e cujo raio a seja suficiente para que S permaneça no

interior da esfera eaplicando o teorema da divergência temos:∫ ∫S∪Sa

~E~E~E • ~n~n~ndσ =∫ ∫ ∫

D∗∇ • ~E~E~EdV ol = 0

Logo o fluxo de ~E~E~E através de S no sentido que se afasta da origem

é o mesmo que o fluxo de ~E~E~E através de Sa no sentido que se afasta

da origem.

Como fluxo de ~E~E~E através de Sa no sentido que se afasta da origem

éq

ε0temos:

∫ ∫S

~E~E~E • ~n~n~ndσ =q

ε0�

Como última aplicação veremos como reduzir da forma integral

para a forma diferencial pontual a equação de balanço de massa

conhecida como Lei de Lavoisier.

Sejam D ⊂ R3 uma região regular e suave do espaço e ~v~v~v : D ⊂

R3 7→ R3 um campo de velocidade de um fluido cuja densidade de

massa é dada por % : D ⊂ R3 7→ R+ e que preenche D. Em sua

forma integral o balanço de massa estabelece que ∀D∗ ⊂ D ⊂ R3

regular e suave com fronteira S∗ regular e suave vale:

d

dt

∫ ∫ ∫D∗%dV ol +

∫ ∫S∗%~v~v~v • ~n~n~ndσ = 0

onde a primeira integral representa a variação total da massa den-

tro da região D∗ e a segunda representa a variação de massa que

penetra em D∗ pela superfície S∗.

Usando o teorema da divergência temos:

d

dt

∫ ∫ ∫D∗%dV ol +

∫ ∫ ∫D∗∇ • (%~v~v~v)dV ol = 0

199


Daí, tomando regiões D∗ que não variem com o tempo

d

dt

∫ ∫ ∫D∗%dV ol =

∫ ∫ ∫D∗

∂%

∂tdV ol

E podemos reformular a equação de balanço de massa para a forma:

∫ ∫ ∫D∗

(∂%

∂t+∇ • (%~v~v~v)

)dV ol = 0

Como a integral acima vale ∀D∗ ⊂ D ⊂ R3 podemos dividi-la

por V ol(D∗), usar o teorema do valor médio para integrais, fazer

V ol(D∗) tender a zero e concluir que:

∂%

∂t+∇ • (%~v~v~v) = 0

Que a forma diferencial pontual da equação de balanço de massa.

10.6 Conclusão

Na aula de hoje, vimos um importante teorema do Cálculo

denominado “Teorema da Divergência” atribuído aos Matemáticos

Gauss e Ostrogradsky. Tem forte conotação física e é utilizado para

reduzir as leis de conservação de sua forma integral para forma

diferencial pontual.

RESUMO

No nosso resumo de hoje constam as seguintes definições e te-

oremas:

200

Cálculo III AULA

10Divergente de um Campo Vetorial Tridimensional

Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado

por ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i+f2(x, y, z)~j~j~j+f3(x, y, z)~k~k~k tal que suas

componentes f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham

derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D. Definimos

o divergente de ~F~F~F , denotado Div~F~F~F ou ∇ • ~F~F~F , por:

Div~F~F~Fdef=

∂f1

∂x+∂f2

∂y+∂f3

∂z

Teorema da Divergência: Forma Restritiva




derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3

uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira

S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy,

Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2

com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados

que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pon-

tos então:


∫ ∫S


Teorema da Divergência: Forma mais Ampla



201



derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3

uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida

em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira

S ⊂ R3 seja regular e suave, então:


∫ ∫S


ATIVIDADES


ATIV. 10.1. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensional

dado por: ~F~F~F (x, y) = x2~i~i~i−2xy~j~j~j+ 3xz~k~k~k e D ⊂ R3 a região limitada

pela esfera x2 + y2 + z2 ≤ a2 e z ≥ 0 (acima do plano z = 0). Use

o teorema da divergência e determine o fluxo exterior através da

fronteira da região D.


texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia.

ATIV. 10.2. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensi-

onal dado por: ~F~F~F (x, y) = x~i~i~i + y~j~j~j + z~k~k~k e suponha que a região

D ⊂ R3 seja uma região do espaço regular e suave tal que possa

ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fron-

teira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave,. Mostre que o volume

V ol(D) da região D é dado pela fórmula:

V ol(D) =13

∫ ∫S


202

Cálculo III AULA

10.


texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia.











2003.





203

Livro de ..calculo 3

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