Livro de Calculo Diferencial e Integral I Derivda

download Livro de Calculo Diferencial e Integral I Derivda

of 152

  • date post

    03-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    7.433
  • download

    29

Embed Size (px)

Transcript of Livro de Calculo Diferencial e Integral I Derivda

GOVERNO DO ESTADO DO PAR UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PAR-UEPA LICENCIATURA EM MATEMTICA-CCSE DEPARTAMENTO DE MATEMTICA ESTATISTICA E INFORMTICA

Universidade do Estado do Par

Curso de Licenciatura Plena em Matemtica Pg.2

Uma breve histria do estudo da Derivada A derivada tem dois aspectos bsicos, o geomtrico e o computacional. Alm disso, as aplicaes das derivadas so muitas a derivada tem muitos papis importantes na matemtica propriamente dita, tem aplicaes em fsica, qumica, engenharia, tecnologia, cincias, economia e muito mais, e novas aplicaes aparecem todos os dias. A origem da derivada est nos problemas geomtricos clssicos de tangncia, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um crculo em qualquer ponto P perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287 -212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente sua espiral e Apolnio (cerca de 262-190 a.C.) descreveu mtodos, todos um tanto diferente, para determinar tangentes a parbolas, elipses e hiprboles. Mas estes eram apenas problemas geomtricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos no perceberam que nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas. Problemas de movimento e velocidade, tambm bsicos para nosso entendimento de derivadas hoje em dia, tambm surgiram com os gregos antigos, embora estas questes tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zeno (cerca de 450 a.C.) se apiam sobre dificuldades para entender velocidade instantnea sem ter uma noo de derivada. Na Fsica de Aristteles (384--322 a.C.), os problemas de movimento esto associados intimamente com noes de continuidade e do infinito (isto , quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes). Na poca medieval, Thomas Bradwardine (1295--1349) e seus colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforos para transformar algumas das idias de Aristteles sobre movimento em afirmaes quantitativas. Em particular, a noo de velocidade instantnea tornou-se mensurvel, pelo menos em teoria, hoje, a derivada (ou a taxa de variao) da distncia em relao ao tempo. Foi Galileu Galilei (1564--1642) quem estabeleceu o princpio que matemtica era a ferramenta indispensvel para estudar o movimento e, em geral, cincia: Filosofia (cincia e natureza) est escrita naquele grande livro o qual est diante de nossos olhos quero dizer o universo, mas no podemos entend-lo se no aprendermos primeiro a linguagem. O livro est escrito em linguagem matemtica. Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as propores clssicas de Euclides e propriedades das cnicas de Apolnio para estabelecer relaes entre distncia, velocidade e acelerao. Hoje, estas quantidades variveis so aplicaes bsicas das derivadas. O interesse em tangentes a curvas reapareceu no sculo 17 como uma parte do desenvolvimento da geometria analtica. Uma vez que equaes eram ento usadas para descreverem curvas, o nmero e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em pocas clssicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a idia de uma famliaApostila de Clculo Diferencial e Integral I

Universidade do Estado do Par

Curso de Licenciatura Plena em Matemtica Pg.3

inteira de curvas de uma s vez. Ele as chamou de parbolas superiores, curvas da forma y ! k n , onde k constante e n = 2, 3, 4, A introduo de smbolos algbricos para estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do clculo. Por outro lado, como concluses e resultados geomtricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocnio algbrico que geomtrico, os padres de rigor lgico que tinham sido iniciados pelos gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de clculo, e isto (entre outros fatores) levou a controvrsias espirituosas e at amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algbrico para determinar os pontos mais altos (mximos) e mais baixos (mnimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente curva tem inclinao zero. Ren Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importncia da tangente quando, em sua Geometria, escreveu E eu ouso dizer isto (encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente) no apenas o problema mais til e geral da geometria que conheo, mas at aquele que sempre desejei conhecer Descartes inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e ento a tangente a uma curva. Como resultado da traduo da Geometria de Descartes para o latim por Frans Van Schooten (1615 -1661) e as explicaes abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601--1652) e Johan Hudde (1628-1704), os princpios e benefcios da geometria analtica tornaram-se mais amplamente conhecidos. Em particular, Hudde simplificou a tcnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos mximos e mnimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629-1695). Ento, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou uma seqncia de etapas algbricas que produziu os pontos de inflexo de uma curva; veremos que isto requer a derivada segunda. Ren Franois de Sluse (1622--1685) desenvolveu uma tcnica algbrica que levou inclinao da tangente a uma curva. No final da dcada de 1650, havia grande correspondncia entre Huygens, Hudde, Van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de vrias curvas algbricas; Hudde e Sluse especialmente procuraram mtodos algbricos mais simples e padronizados que poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602--1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um mtodo mecnico para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclide. Mas o mtodo de Roberval no podia ser generalizado para incluir mais curvas. Isaac Newton (1642--1727) comeou a desenvolver o seu clculo de flxions entre os seus primeiro esforos cientficos em 1663. Para Newton, movimento era a base fundamental para curvas, tangentes e fenmenos relacionados de clculo e ele desenvolveu seus flxions a partir da verso de Hudde do procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta tcnica como um mtodo para encontrar a curvatura de uma curva, uma caracterstica que agora sabemos ser uma aplicao da derivada segunda. Em 1666, 1669Apostila de Clculo Diferencial e Integral I

Universidade do Estado do Par

Curso de Licenciatura Plena em Matemtica Pg.4

e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de clculo e estes manuscritos circularam entre um grande nmero de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas de clculo em pocas diferentes de sua vida cientfica, os trabalhos de Newton sobre clculo no foram publicados at 1736 e 1745. Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716) desenvolveu seu clculo diferencial e integral durante o perodo entre 1673 e 1676 enquanto vivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o mtodo de Sluse para encontrar tangente a curvas algbricas. Leibniz tinha pouca inclinao para desenvolver estas tcnicas e interesse ainda menor em fundamentaes matemticas (isto , lmites) i necessrias, mas ele aperfeioou as frmulas modernas e a notao para derivada no seu famoso artigo "New methods for maximums and minimums, as well as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable calculus for them" (Novos mtodos para mximos e mnimos, assim como tangentes, os quais no so impedidos por quantidades fracionrias e irracionais, e um clculo notvel para eles) de 1684. Aqui est o primeiro trabalho publicado em clculo e de fato a primeira vez que a palavra clculo foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser especialista em geometria, algum poderia simplesmente usar as frmulas de clculo de Leibniz. Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz inventaram o clculo. Como podemos ver, isto simplificao exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888--1972) observou, clculo tem sido uma luta intelectual dramtica que durou 2500 anos. Depois de 1700, circunstncias levaram a um dos episdios mais tristes e deselegantes em toda a histria da cincia: a disputa entre Leibniz e Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os crditos do clculo. Cada um fez contribuies importantes para derivada, integral, sries infinitas e, acima de tudo, para o Teorema Fundamental do Clculo. As acusaes de plgio e outros ataques eram irrelevantes frente matemtica feita por eles, mas as acusaes e contra-ataques escalaram para cises entre matemticos e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais levaram xenofobia nacionalista por mais de um sculo. O primeiro livro sobre clculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding of Curved Lines (Anlise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento de curvas, 1696) pelo Marqus de lHospital (1661--1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido Johann Bernoulli (1667-1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, mximos, mnimos e outras anlises de curvas. Mas o mtodo de LHospital para determinar o raio de curvatura era muito parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmo mais novo Johann lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das frmulas de clculo de Leibniz propondo e resolvendoApostila de Clculo Diferencial e Integral I

Universidade do Estado do Par

Curso de Licenciatura Plena em Matemtica Pg.5

problema