Livro de Geometria Espacial - Triangulos, Tales, Teoremas

Universidade do Sul de Santa Catarina

Palhoa

UnisulVirtual

2006

Geometria I

Disciplina na modalidade a distncia

GI_MTM.indb 1GI_MTM.indb 1 13/9/2007 10:18:3113/9/2007 10:18:31

Apresentao

Este livro didtico corresponde disciplina Geometria I.O material foi elaborado, visando a uma aprendizagem autnoma. Aborda contedos especialmente selecionados e adota linguagem que facilite seu estudo a distncia. Por falar em distncia, isso no signi ca que voc estarsozinho/a. No se esquea de que sua caminhada nesta disciplina tambm ser acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato, sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Ambiente Virtual de Aprendizagem. Nossa equipe ter o maior prazer em atend-lo/a, pois sua aprendizagem nosso principal objetivo.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual.


Christian Wagner

Kelen R. S. Silva

Palhoa

UnisulVirtual

2006

Design instrucionalKarla Leonora Dahse Nunes

Geometria I

Livro didtico


Copyright UnisulVirtual 2006 N enhum a parte desta publicao pode ser reproduzida por qualquer m eio sem a prvia autorizao desta instituio.

515.15 W13 Wagner, Christian Geometria I : livro didtico / Christian Wagner, Kelen R. S. Silva ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes. Palhoa : UnisulVirtual, 2006. 228 p. : il. ; 28 cm.

Inclui bibliografia. ISBN 978-85-60694-45-7

1. Clculo. 2. Geometria. I. Silva, Kelen R. S. II. Nunes, Karla Leonora Dahse. III. Ttulo.

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Universitria da Unisul

Crditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina

UnisulVirtual - Educao Superior a Distncia Cam pus UnisulVirtual Rua Joo Pereira dos Santos, 303 Palhoa - SC - 88130-475 Fone/fax: (48) 3279-1541 e 3279- 1542 E-m ail: [email protected] Site: www.virtual.unisul.br Reitor Unisul Gerson Luiz Joner da Silveira Vice-Reitor e Pr-Reitor Acadm ico Sebastio Salsio Heerdt

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Suporte Arthur Emm anuel F. Silveira (coordenador) Francisco Asp

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Maria Isabel Aragon Olavo Lajs Priscilla Geovana Pagani Silvana Henrique Silva

Secretria Executiva Viviane Schalata Martins Tecnologia Osm ar de Oliveira Braz Jnior (coordenador) Ricardo Alexandre Bianchini Rodrigo de Barcelos Martins Edio Livro Didtico

Professor Conteudista Christian W agner Kelen R. S. Silva Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes Projeto Grfi co e Capa Equipe UnisulVirtual

Diagram ao Duarte M iguel Machado Neto Fernando Roberto Dias Zimm erm ann Ilustraes Edison Valim

Reviso Ortogrfi ca Amaline Issa Mussi

Apresentao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE 1 Representao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17UNIDADE 2 Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67UNIDADE 3 Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113UNIDADE 4 reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Respostas e comentrios das atividades de auto-avaliao . . . . . . . . . . . . 201Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Sumrio


Palavras dos professores

Neste texto, apresentamos o contedo da disciplina de Geometria I em conformidade com as de nies do projeto pedaggico do curso. Pensamos que um livro de matemtica deve ser acessvel, coerente e informativo. Assim, escolhemos adotar dilogos informais introdutrios a cada unidade e seo, tendo como interlocutores as personagens George, um aluno igual a voc, que deseja vencer no campo da matemtica, e seus amigos, os matemticos, Euclides, Pitgoras, Tales e Arquimedes. Atravs desses dilogos informais, voc ter acesso a aspectos histricos da geometria, a pequenos lembretes, formalizao de alguns conceitos, ou, mesmo, a assuntos complexos. De outro lado, no desenvolvimento de cada unidade, voc ver discorrer sobre a geometria com o rigor que a matemtica exige, isto atravs de linguagem que colabore com o processo de ensino-aprendizagem. Em suma, o ensino, aqui, no resulta banalizado em nome da simplicidade. Tampouco foi so sticado s expensas de uma linguagem hermtica, no-assimilvel.Motivamos o aluno, em muitas partes do livro, a buscar ferramentas computacionais para o estudo da geometria, entre eles o Cabri-Gomtre. Comparea!Outra recomendao: no deixe de fazer os exerccios que lhe so propostos. Ns, autores e tutores, nos colocamos disposio para atend-lo da melhor maneira possvel, e, para isso, estaremos interagindo por meio das ferramentas disponveis no ambiente virtual do seu curso.


Vamos nos socializar e construir o conhecimento juntos, esse o caminho para o sucesso!Vamos luta!E mos obra!Prof. Christian Wagner, MscProf. Kelen Regina Salles Silva, Msc


Plano de estudo

O plano de estudos visa a orient-lo/a no desenvolvimento da Disciplina. Nele, voc encontrar elementos que esclarecero o contexto da Disciplina e sugeriro formas de organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam. Assim, a construo de competncias se d sobre a articulao de metodologias e por meio das diversas formas de ao/mediao.So elementos desse processo:

o livro didtico; o Ambiente Virtual de Aprendizagem - AVA; as atividades de avaliao (complementares, distncia e presenciais).

Ementa da disciplina:

Representao axiomtica da Geometria Plana. Elementos de Geometria plana aplicada em situaes prticas. Construes geomtricas. A geometria integrada aos diversos contedos espec cos de Matemtica. Anlise de ferramentas computacionais aplicveis geometria.

Carga horria:

60 horas 4 crditos


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Objetivo(s):

Geral

Propiciar ao futuro educador, condies para que o mesmo trabalhe na sala de aula o ensino de Geometria dentro de uma abordagem atual.

Espec cos

Proporcionar ao aluno uma viso dos contedos da geometria plana, previstos nas Diretrizes Curriculares do Ensino fundamental e Mdio.Aprofundar conceitos da geometria plana, estudados no ensino fundamental e mdio.Adaptar estratgias e material didtico para o ensino fundamental e mdio.Explorar as relaes entre a Geometria e a lgebra.Criar hbitos de deduo matemtica.Desenvolver conceitos de geometria plana dentro do ambiente Cabri-gomtre.Analisar contedos de geometria em livros-textos do ensino fundamental e mdio.Mostrar atravs de materiais didticos a aplicao da geometria no dia-a-dia.

Contedo programtico/objetivos

Os objetivos de cada unidade de nem o conjunto de conhecimentos que voc dever deter para o desenvolvimento de habilidades e competncias necessrias sua formao. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compem o Livro Didtico desta Disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.


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Unidades de estudo: 4

Unidade 1 - Representao Axiomtica da Geometria Plana

Conhecer alguns perodos da histria da geometria.Identi car os principais axiomas da geometria.Resolver problemas envolvendo segmentos e ngulos.

Unidade 2 - Tringulos

Conhecer e classi car tringulos.Identi car tringulos retngulos e seus elementos.Compreender e Aplicar o Teorema de Pitgoras.Sintetizar relaes trigonomtricas num triangulo retngulo.Identi car tringulos congruentes, bem como o caso de congruncia.Conhecer os pontos notveis e algumas concluses.

Unidade 3 Teorema de Tales

Conhecer o axioma das paralelas.Sintetizar o Teorema de Tales, e conhecer algumas aplicaes.Aplicar os casos de semelhana de tringulos, quando necessrio.Compreender uma demonstrao do Teorema de Pitgoras.Aplicar as relaes mtricas no tringulo retngulo.Compreender o clculo da altura das pirmides.


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Unidade 4 reas de Figuras Planas

Identi car um polgono.Calcular a rea das principais guras planas.Conhecer a diferena entre crculo e circunferncia.


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Agenda de atividades/ Cronograma

Veri que com ateno o AVA. Organize-se para acessar periodicamente o espao da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorizao do tempo para a leitura; da realizao de anlises e snteses do contedo; e da interao com os seus colegas e tutor. No perca os prazos das atividades. Registre as datas no espao a seguir, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no AVA.Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina.

Atividades

Avaliao a Distncia

Avaliao Final (caso necessrio)

Demais atividades (registro pessoal)


UNIDADE 1

Representao Axiomtica da Geometria Plana

Objetivos de aprendizagem

Conhecer alguns perodos da histria da geometria.

Identifi car os principais axiomas da geometria.

Resolver problemas envolvendo segmentos e ngulos.

Sees de estudo

Seo 1 Aspectos histricos e noo intuitiva

Seo 2 Axiomas de Incidncia e Ordem

Seo 3 Axiomas sobre medio de segmentos

Seo 4 Axiomas sobre medio de ngulos

1


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Para incio de conversa

Nesta unidade, voc ter contato com um pouco da histria da geometria, sua evoluo no tempo e a contribuio de alguns povos na sua contextualizao. Ver tambm que a geometria, para ser construda, requer uma base slida que se fundamenta em algumas noes intuitivas e tambm numa srie de propriedades tidas como vlidas, sem demonstrao, os chamados axiomas ou postulados. Ao nal da unidade, pense e re ita como a geometria importante no seu caminho e no seu dia-a-dia.Procure analisar e discutir bastante as atividades propostas nesta unidade, para que todas as suas dvidas sejam esclarecidas. Lembre-se, o sucesso no campo da matemtica requer esforo.Nesta imensa aventura, que o estudo da geometria, voc vai encontrar-se com vrios personagens importantes da histria da matemtica. Neste primeiro captulo, voc conhecer Euclides e um jovem que, como voc, tambm est estudando geometria. Seu nome George. Toda vez que um assunto importante requerer um pouco mais de cuidado, Euclides encontrar George em um sonho e o ajudar no aprendizado. George gosta de ler, estudar e, claro, de estar com a famlia. Ele no dispensa uma balada com os amigos. E ento? Vamos conhec-los e iniciar o estudo desta importante rea da matemtica?Acompanhe, a seguir, o dilogo entre Euclides e George.


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Geometria I

Unidade 1

George: Estou to preocupado com geometria que j estou at sonhando com ela.

Euclides: Calma, meu rapaz.

George: Euclides? voc mesmo?

Euclides: Claro, quem mais poderia ser?

George: Devo estar sonhando.

Euclides: E est, vim aqui para ajud-lo. Que mal o afl ige?

George: A geometria. Estou preocupado, ser que consigo entend-la?

Euclides: Com certeza. Veja bem, quando voc contempla um prdio, o que o faz estar em p?

George: Ora, a sua base bem slida.

Euclides: Ento, para voc estar intimamente conectado com a geometria, voc tem de construir uma base slida para ela.

George: E nisso voc craque, pois suas idias de axiomas e postulados fi zeram com que a geometria fosse toda construda a partir deles.

Euclides: Ento, meu jovem, parabns, voc j sabe por onde comear. Mos a obra.

George: Obrigado, Euclides! Vou comear agora mesmo, ou melhor, assim que eu acordar.

Figura 1.1 - Teorema de Pitgoras na Babilnia?


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SEO 1 Aspectos histricos e noo intuitiva

Aspectos Histricos

No se sabe ao certo quando a geometria teve incio, mas sabe-se que muitos povos da antiguidade j a utilizavam nas suas comunidades para muitos ns. Na Grcia antiga, por volta de 300 a.C., era a xada a seguinte frase nas portas das principais escolas:No entre nesta escola, se voc no souber geometria.

Mas foi nos idos de 600 a.C. que aconteceram alguns dos grandes momentos no desenvolvimento da geometria. Pitgoras e Tales de Mileto deram os primeiros passos na sistematizao dos conhecimentos geomtricos. Naquela poca, a geometria era puramente experimental, sem demonstraes e conceitos dedutivos.

Contudo Euclides que, em 300 a.C., na Grcia, deu ordem lgica aos conhecimentos geomtricos adquiridos por tantos povos ao longo de anos. Ele desenvolveu o raciocnio dedutivo, o qual diz que a geometria, por sua vez, pode ser desenvolvida a partir do conhecimento de apenas algumas idias bsicas - os chamados postulados ou axiomas. O seu grande trabalho foi a publicao de treze livros chamados de Elementos, nos quais apresenta todo o desenvolvimento da geometria at sua poca. Sua contribuio foi to espantosa, que a maioria das proposies existentes nos seus livros so adotadas at hoje, motivo pelo qual a geometria usada por ns chamada de Geometria Euclidiana.

Curiosidades: Existem algumas geometrias que so chamadas de No-Euclidianas. So geometrias que no obedecem s regras ditadas por Euclides. Essas geometrias foram responsveis pelo desenvolvimento, por exemplo, da teoria da relatividade de Einstein. O seu surgimento ocorreu a partir da tentativa de provar o Axioma das Paralelas, que aparecer na unidade III.


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Geometria I

Unidade 1

Mas, a nal, o que signi ca a palavra Geometria?

Os agrimensores egpcios j usavam a geometria para medir terrenos e suas terras, o mesmo faziam os gregos e outros povos. Esta atividade de medir terras, que com o tempo transformou-se em cincia, recebeu o nome de:

A geometria, como se pode observar, uma cincia de suma importncia, inclusive para o desenvolvimento da humanidade. Deste modo, no necessrio buscar mais justi cativas para estud-la: basta enumerar suas bases e contemplar o que h de mais interessante na sua concepo.

Noo Intuitiva

Est l, no dilogo entre Euclides e George, transcrito no incio desta unidade:Quando contemplamos um edifcio, sabemos que, para se sustentar, deve ter uma base slida. Partindo desta idia, pode-se imaginar a geometria como um imenso edifcio e, portanto, exigindo uma base onde possa ser erguida. Diferente de muitas reas da matemtica, a geometria construda atravs de conceitos primitivos ou intuitivos (ponto, reta e plano) e, tambm, atravs de postulados e axiomas.

Axioma ou postulado uma proposio admitida como verdadeira, sem demonstrao.


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Como voc viu anteriormente, foi o gemetra grego Euclides, em seu livro Elementos, o primeiro a desenvolver um sistema de idias em geometria, no qual utiliza algumas a rmaes simples, como verdadeiras (axiomas), para demonstrar outras mais complexas. Este sistema de idias chamado de dedutivo e inspirou muitas outras reas, entre elas, a fsica, estudada por Newton.

Observe a letra da msica Aquarela, do cantor e compositor Toquinho:

Numa folha qualquer eu desenho um sol amarelo E com cinco ou seis retas fcil fazer um castelo

Corro o lpis em torno da mo e me dou uma luva E se fao chover com dois riscos tenho um guarda-chuva

Se um pinguinho de tinta cai num pedacinho azul do papel Num instante imagino uma linda gaivota a voar no cu

Vai voando, contornando a imensa curva, Norte-Sul Vou com ela viajando Hava, Pequim ou Istambul

Pinto um barco vela, branco navegando tanto cu e mar num beijo azul

Entre as nuvens vem surgindo um lindo avio, rosa e gren Tudo em volta colorindo com suas luzes a piscar Basta imaginar e ele est partindo, sereno indo

E se a gente quiser, ele vai pousar.Esta letra de msica expressa bem o que a geometria representa, ou seja, que ela est presente no nosso cotidiano. Note que apareceram muitas noes geomtricas como retas, riscos e curva. E algumas palavras usadas na composio musical sugerem uma noo geomtrica, por exemplo, um pingo de tinta nos d a noo de um ponto. O mar, por exemplo, parece um imenso plano, at se perder na linha do horizonte. Com isso quer-se salientar que a geometria est presente a sua volta e que, principalmente, as trs primeiras idias intuitivas so:


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Geometria I

Unidade 1

Ponto: No tem dimenso, no possui comprimento, largura ou espessura.Representa-se um ponto por letras latinas maisculas: Ponto A, Ponto B, Ponto P e etc.

Por exemplo, as marcas que mostram as cidades em um mapa nos do idia de ponto:

Figura 1.2 Mapa de SC.

Reta: A reta tem somente uma dimenso, isto , comprimento in nito. No possui largura nem espessura. No papel, representamos apenas uma parte da reta.Representa-se uma reta por letras latinas minsculas: Reta a, Reta b, Reta r, e etc.


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Por exemplo, um barbante esticado nos d a noo de reta:

Plano: O plano tem duas dimenses: comprimento e largura. No possui espessura. Assim como a reta, para representarmos o plano no papel, desenhamos apenas uma parte dele.Representa-se um plano por letras gregas minsculas: Plano , Plano ,...Por exemplo, uma quadra de tnis nos d noo de plano:

Figura 1.3 Noo de plano.

Voc sabia que as letras gregas so muito utilizadas em Matemtica? Veja, a seguir, as mais empregadas:

(alfa), (beta), (delta), (epsilon), (fi ), (gama), ( ni), (psi), (lmbida), (mi), ( pi), (teta), (r), ( sigma), (capa).


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Geometria I

Unidade 1

SEO 2 Axiomas de Incidncia e Ordem

E George adormece outra vez.

George: Euclides, voc est a?

Euclides: Oi meu jovem! E ento, tudo entendido?

George: At aqui, tudo timo! fascinante saber que idias to simples, ou seja, o ponto, a reta e o plano so to fundamentais para o desenrolar dessa fascinante disciplina, a geometria.

Euclides: E estas idias so apenas o comeo.

George: Estou comeando a entender. Estas idias intuitivas devem estar todas relacionadas, no ? a que voc entra?

Euclides: Exatamente.

George: So os axiomas, no so?

Euclides: Correto, novamente. Apenas considerei algumas idias verdadeiras e, a partir da, foi possvel provar outras mais complexas.

George: A geometria comea a se organizar.

Euclides: E o mais interessante, so idias simples e de fcil entendimento.

George: Euclides, no leve a mal, mas preciso acordar, este nosso papo me deixou empolgado para conhecer os tais axiomas. Um abrao, e qualquer coisa eu o chamo de novo.

Euclides: At breve, meu jovem. E sucesso!

Voc deve estar se perguntando qual a importncia destes axiomas para a geometria?


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Pelo dilogo anterior, voc percebeu que os mesmos so a base de toda a geometria. Idias simples, tidas como verdadeiras, para provar outras mais complexas. Com os axiomas e algumas de nies, vamos relacionar as noes de ponto, reta e plano, ordenar pontos, medir segmentos e ngulos, entender a idia de ngulo para, mais adiante, estarmos aptos a entrar no estudo da geometria plana.

Axiomas de Incidncia

Axioma I: Qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem reta e pontos que no pertencem reta.

Figura 1.4 Representao do axioma I.

Assim, dizemos que A r e B r, ou seja, A e B esto em r, ou a reta r passa por A e B.

Dizemos tambm que C r, ou seja, C no est em r, ou r no passa por C.

O smbolo representa pertence. J o smbolo representa no pertence. No caso A r, l-se A pertence a r, e, no caso C r, l-se C no pertence a r.

As retas e os pontos se relacionam da seguinte maneira:

Pontos colineares so pontos que pertencem a uma mesma reta.


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Geometria I

Unidade 1

Veja a gura a seguir:

Dizemos que o ponto M, N e P so colineares.J os pontos M, N, P, A e B no so colineares.

Quantos pontos so necessrios para obter uma nica reta?

Tente responder a esta pergunta! Voc pode utilizar o software Cabri-gomtre nessa tentativa.

A resposta dois pontos. Na verdade, este o axioma II. Axioma II: Por dois pontos distintos passa uma nica reta.

Figura 1.5 Representao do Axioma II.

Observe que, neste caso, tomamos os pontos A e B para mostrar que por eles passa uma nica reta. Mas no se esquea de que a reta in nita. Para denotarmos essa reta, utilizamos .

Voc j ouviu falar de alguns termos relacionados a retas, como, por exemplo, semi-retas e segmento de reta? Voc sabe a diferena entre eles?

O software Cabri-gomtre foi apresentado na disciplina Informtica Aplicada Educao Matemtica


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A seguir, mostraremos algumas de nies muito importantes e que so peas chaves na geometria:Incidncia: Dizemos que uma reta r, incide sobre o ponto A se A r = A

O smbolo representa interseco. No caso A r = A, l-se:

A interseco de A com r igual a A .

Interseo entre duas retas: Dizemos que duas retas se interceptam em um ponto, quando este ponto pertencer a cada uma delas.

Semi-reta: Seja r uma reta e A e B pontos sobre r. A semi-reta com extremidade em A, contendo o ponto B a parte da reta r, com extremidade em A, que contm o ponto B. Representamos a semi-reta de origem em A e que contm o ponto B por .

Segmento de Reta: O conjunto constitudo por dois pontos A e B e por todos os pontos que se encontram entre A e B chamado de segmento de reta, neste caso segmento . Os pontos A e B so chamados de extremos ou extremidades do segmento.


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Geometria I

Unidade 1

O segmento acima pode ser denotado por ou . S existe diferena entre as notaes, quando estivermos falando de segmentos orientados.

Observe que, ao representarmos uma semi-reta, utilizamos uma seta sobre as letras que representam os pontos dessa reta; j, na representao de segmento, utilizamos um trao.

Agora que j conhecemos segmentos, vamos mostrar uma das guras construda por trs pontos no colineares e pelos segmentos de reta determinados por estes trs pontos.

A mais simples das fi guras geomtricas usando segmentos de reta o tringulo.

Voc sabia que os tringulos so fi guras geomtricas muito utilizadas no nosso dia-a-dia?

Olhe para os lados e tente identifi car algum tringulo. Encontrou?

Na unidade II, estaremos trabalhando com essa gura to til e vamos aprender que, desde os tempos mais antigos, ela foi fundamental para o desenvolvimento da geometria. Agora, vamos continuar falando de ponto e reta.


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Voc j pensou quantas retas passam por um nico ponto?

Pegue uma folha, um lpis e uma rgua e tente descobrir.

O que voc descobriu?Pois ! In nitas retas - e este mais um axioma da geometria.

Axioma III: Por um ponto passam in nitas retas.

Figura 1.6 Representao do Axioma III.

Com base nos trs axiomas analisados, chamados axiomas de incidncia, j podemos provar alguns resultados mais complexos.

Teoremas so resultados mais complexos, que podem ser demonstrados a partir de outros resultados.

Teorema 1.1: Duas retas distintas, ou no, se interceptam ou se interceptam em um nico ponto.


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Geometria I

Unidade 1

E George cai em sono profundo:

Euclides: Voc por aqui, meu jovem?

George: Problemas, Euclides, problemas. Preciso demonstrar um resultado, usando apenas os axiomas, voc pode me ajudar?

Euclides: Claro meu rapaz. Vamos mostrar isto por absurdo.

George: Como fazemos isso?

Euclides: Qual a hiptese do seu resultado?

George: Hiptese? O que isso?

Euclides: o que dado no teorema como verdadeiro.

George: Ah bom! O teorema d como hiptese que as retas so distintas.

Euclides: E a tese?

George: Tese? Tambm no sei o que signifi ca.

Euclides: Tese o que voc quer demonstrar.

George: S isso? A tese do problema que devemos mostrar que as retas no se interceptam, ou se interceptam em um ponto.

Euclides: Este teorema pode ser demonstrado por absurdo. Nesse caso devemos negar a tese, ou seja, suponha que elas se interceptam em dois pontos e chega-se a uma contradio da hiptese.

George: Humm... Boa idia. Vamos ver.

Euclides: Mas lembre-se de que nem todos os teoremas e proposies so demonstrados desta forma.

George: Ok! Vou lembrar disso.


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Demonstrao (por absurdo):Hiptese: Dadas duas retas distintas r e s.Tese: As retas r e s no se interceptam, ou se interceptam em um ponto. Dadas duas retas r e s, suponha que r e s se interceptam em dois pontos A e B nesse caso. Pelo axioma II r e s so coincidentes o que absurdo j que por hiptese as retas so distintas. Logo, as retas se interceptam em no mximo um ponto.

Axiomas de Ordem

Para dar uma ordenao nos pontos que pertencem a uma reta, necessrio mais dois axiomas.Axioma IV: Dados trs pontos colineares, um e apenas um deles localiza-se entre os outros dois.

Figura 1.7 Representao do axioma IV.

Na gura 1.7: C est entre A e B.

Quantos pontos existem entre dois pontos de uma reta?

Se voc observar bem, responder:- In nitos! Isto parece simples, no mesmo? O axioma V nos garante esta certeza.


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Geometria I

Unidade 1

Axioma V: Dados dois pontos A e B, sempre existem um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B est entre A e D.

Figura 1.8 Representao do axioma V.

Observao: Como conseqncia do axioma V, tem-se que existem in nitos pontos entre dois pontos e que uma semi-reta

contm in nitos pontos alm daqueles entre A e B.Para nalizar o estudo desta seo, vamos de nir as idias de segmentos colineares, consecutivos e adjacentes.

Segmentos consecutivos:

Dois segmentos so consecutivos, se a extremidade de um deles tambm extremidade do outro (uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro).

Figura 1.9: Segmentos consecutivos

Segmentos colineares:

Dois segmentos de reta so colineares, se esto numa mesma reta.

Figura 1.10: Segmentos Colineares


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Observe que na gura 1.10: e , apesar de serem colineares, no so

consecutivos (pois a extremidade do segmento no extremidade do segmento ).

e so consecutivos e colineares. e so consecutivos e colineares (pois o ponto N

extremidade dos segmentos e ).

Segmentos adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares so adjacentes, se possuem em comum somente uma extremidade (no tm pontos internos comuns).

Figura 1.11: Segmentos Adjacentes

Dada a fi gura abaixo, determine o que se pede:

Segmentos consecutivos.Segmentos colineares.Segmentos adjacentes.As semi-retas determinadas pelos pontos A, B e C.

a)b)c)d)


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Geometria I

Unidade 1

Soluo:

Os segmentos e so consecutivos, assim como os segmentos e , pois ambos tm a extremidade do ponto B em comum.Os segmentos , e so colineares, pois pertencem mesma reta.Os segmentos adjacentes so e .

As semi-retas com origem no ponto A so denotadas por e . As Semi-retas com origem no ponto B so denotadas por

e . E nalmente, as Semi-retas com origem no ponto C so e .

Agora voc j pode comear a fazer algumas das atividades de auto-avaliao que esto no nal da unidade, tente do 1o ao 9o.

SEO 3 Axiomas sobre medio de segmentos

Euclides: Ol George, como vo os estudos?

George: Beleza, mas o que manda?

Euclides: Tenho uma pergunta a lhe fazer. Voc sabe Como e Quando foi criada a unidade metro?

George: No. Poxa, na verdade eu nunca pensei nisso.

a)

b)

c)


36


Euclides: Ento vou lhe contar. Em 1790, alguns matemticos importantes da poca, entre eles Lagrange, Laplace e Monge, integraram uma comisso criada pela Assemblia Constituinte da Frana, com o objetivo de criar uma unidade de medida e comprimento. Depois disso, por volta de 1795, estabeleceu-se o metro como unidade de medida padro de comprimento defi nido como a dcima milionsima parte do quadrante de um meridiano terrestre.

George: Nossa, que legal, mas como eles fi zeram isso?

Euclides: Agora com voc, tente descobrir.

George: Euclides, no me deixe com essa curiosidade. Euclidessss.

Tente voc tambm desvendar o desafi o proposto por Euclides.

Agora que voc j conhece a de nio de segmento de reta, est apto a medir estes segmentos. Para isso, temos mais alguns axiomas que nos ajudam em uma etapa de construo.Voc j deve ter usado ou usa o mais conhecido instrumento de medio: a rgua graduada.

Figura 1.12 Rgua Graduada.

Dizemos que dois conjuntos A e B tm uma correspondncia biunvoca, se todo elemento de A est relacionado com um elemento de B e vice versa.

Axioma VI: Cada ponto de uma reta tem correspondncia com um nmero real e vice-versa, ou seja, existe uma correspondncia biunvoca entre os pontos de uma reta e os nmeros reais. Fazendo a diferena destes nmeros, medimos a distncia entre os pontos correspondentes.Como cada ponto corresponde a um nmero real e os nmeros reais so in nitos, observa-se intuitivamente que a reta tambm in nita.


37

Geometria I

Unidade 1

O nmero correspondente a um ponto da reta denominado coordenada daquele ponto.

Assim, cada ponto da reta real associado com um nmero real.

Considere o segmento de reta .Pelo axioma VI, A est relacionado ao nmero real a, e B est relacionado ao nmero real b, o comprimento do segmento dado por

As barras | | indicam que o nmero AB sempre positivo.

Observe que, quando falamos de comprimento do segmento , a notao AB. Ou seja, para representar a medida de

qualquer segmento, no utilizamos nem barra, nem seta sobre a notao. Mas ateno, essa uma conveno adotada nesse material, voc pode encontrar outras notaes em livros diferentes.


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1) Suponha que um segmento da reta real, onde o ponto A tem coordenada -5 e o ponto B tem coordenada 3. Qual o comprimento deste segmento?

Soluo:

2) Dada a fi gura abaixo, determine MN, sabendo que AB = 27:

Pela fi gura:

Como

Assim

Note, pelo exemplo, que podemos ter outros segmentos com extremidades em outros pontos, mas com o mesmo comprimento. So segmentos diferentes, mas com a mesma medida, neste caso, estamos falando de segmentos congruentes.A seguir, explanaremos a idia de segmentos congruentes que, de maneira geral, se confunde com a idia de igualdade entre segmentos.

Congruncia entre Segmentos

A palavra congruncia usada na geometria, quando dois objetos geomtricos do mesmo tipo so idnticos. Por objetos, podemos entender segmentos, ngulos, tringulos, entre outros.

O smbolo que representa congruncia .

No caso , l-se o segmento congruente ao segmento .


39

Geometria I

Unidade 1

Podemos ento pensar que congruncia um termo primitivo, utilizado em axiomas, para representar a relao entre dois elementos do mesmo tipo.

Voc sabe qual a diferena entre congruncia e igualdade?

Parecem ter o mesmo signi cado, no mesmo? Observe que duas guras so iguais, quando o conjunto de pontos que as formam so os mesmos. Duas guras so congruentes, quando se encaixam exatamente umas sobre as outras, apesar de os pontos que as de nem serem diferentes.

Dois segmentos, so ditos congruentes se tm o mesmo comprimento.

Figura 1.13: Segmentos Congruentes

Os Sinais |, ||, ||| sobre os segmentos representam que aqueles que possuem o mesmo sinal tem comprimentos iguais.

Na gura 1.13 os segmentos , e so congruentes, denotamos por .


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Note que os segmentos so formados por pontos diferentes, mas, se transportados um sobre os outros, se encaixam perfeitamente, por isso dizemos que todos eles so congruentes.Os segmentos e no so congruentes a nenhum dos outros, pois o comprimento de cada um diferente do comprimento dos outros.A seguir, voc ir acompanhar as propriedades da congruncia de segmentos.

Propriedades so verdades provadas, que valem sempre.

Propriedades: A congruncia de segmentos satisfaz as seguintes propriedades:1) Re exiva: Todo segmento congruente a si mesmo: .2) Simtrica: Se , ento .3) Transitiva: se e , ento .

Axioma VII: Se um ponto C est entre A e B ento,

Figura 1.14 Representao do axioma VII.

O prximo resultado nos fala de um ponto muito importante, o ponto mdio. Mas este requer demonstrao um pouco mais extensa.


41

Geometria I

Unidade 1

Num outro sono de George, Euclides aparece:

George: Amigo, preciso de voc.

Euclides: Estou aqui para ajudar, o que houve?

George: Vou comear a estudar um assunto da geometria que o ponto mdio, fi quei assustado.

Euclides: Por que?

George: Percebi que a demonstrao grande e deve ser confusa.

Euclides: Caro George, percebo que voc nem leu a demonstrao e j acha que no conseguir.

George: Verdade, s porque extensa, j entrei em pnico.

Euclides: Extensa , mas apenas um conjunto de idias que so deduzidas a partir de outras mais simples.

George: Verdade, os axiomas mais uma vez.

Euclides: Isso mesmo. Ento fi que mais tranqilo, e no se desespere antes da hora.

George: Obrigado!

Dado um segmento de reta , se conseguirmos um ponto C deste segmento tal que, AC = CB, dizemos que C o ponto mdio do segmento .

Figura 1.15 Representao de C como Ponto Mdio do segmento .


42


Observe que o ponto mdio divide o segmento em dois segmentos congruentes e .

Teorema 1.2: Um segmento tem exatamente um ponto mdio.Demonstrao: Vamos dividir essa demonstrao em duas partes: a existncia e a unicidade do ponto mdio.(Existncia: Um segmento tem um ponto mdio)Considere um segmento de reta , com coordenadas dos extremos dados por a e b.

Considere tambm um terceiro nmero c e denote-o por:

O axioma IV nos garante que existe um ponto C da reta que tem exatamente esta coordenada.A idia mostrar que este ponto C est entre A e B, e, alm disso, AC = CB. Calculando o comprimento do segmento e .

Ou seja, AC = CB. Mas como o nmero est entre a e b, segue que o ponto C est entre A e B, pois coordenada de C. Pela de nio de ponto mdio, segue que C o ponto mdio de . Com isto provamos a existncia de ponto mdio cuja coordenada dada por: .


43

Geometria I

Unidade 1

(Unicidade: Este ponto nico)Para isto, suponha a existncia de um outro ponto mdio D do segmento , ento AD = DB Considere a, b e d coordenadas dos pontos A, B e D respectivamente. Portanto, para provar que C = D, basta provar que as coordenadas destes pontos so iguais, isto , d = c = .Assim, se a < d < b, ento a d = d b, pois d coordenada do ponto mdio D, e, resolvendo a igualdade, tem-se que d = .

E, se b < d < a, ento, b d = d a, ou seja, d = .Logo se conclui que d = c e, pelo axioma IV, segue que D = C, isto , o ponto mdio nico.

1) Sejam A, B e C pontos de uma reta. Faa um desenho representando-os, sabendo que AB = 3 cm, AC = 2 cm e BC = 5 cm.

Soluo: O maior segmento o segmento , logo A est entre B e C. Ento:

2) Se, num segmento , o ponto A tem coordenada 4 e o ponto B tem coordenada 8, qual a coordenada do ponto mdio M ?

Soluo: Denotamos a coordenada do ponto M, por m, ento:

Propriedades da distncia entre dois pontos:

a) Para quaisquer dois pontos A e B, tem-se . Alm disso, AB = 0, se, e somente se, A = B.


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O axioma VI nos garante que a di ncia sempre positiva, j que a medida do segmento dada pelo mdulo da diferena das coordenadas.

b) Para quaisquer dois pontos A e B, tem-se:

O axioma VI tambm nos garante i o, pois:

SEO 4 Axiomas sobre medio de ngulos

George est no sono dos Deuses, depois de mais um dia de estudos, e encontra, mais uma vez, Euclides.

George: Euclides, que prazer em v-lo de novo!

Euclides: O prazer todo meu. Venho acompanhando o seu desempenho no estudo da geometria e confesso que estou gostando muito.

George: Ah, obrigado! Mas realmente o assunto bem empolgante.

Euclides: E, ento, qual o prximo passo?

George: J sei medir segmentos e encontrar a coordenada do ponto mdio. Preciso de algo mais?

Euclides: Com certeza. Voc, que bem moderno, j deve ter ouvido falar de GPS, de latitude, longitude.


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Geometria I

Unidade 1

George: Com certeza, e o que isso tem a ver com geometria?

Euclides: Ora, quando voc fala de longitude e latitude, como voc mede isto?

George: Usando Graus.

Euclides: Exatamente, muitas coisas importantes da sua vida dependem deste tipo de medio, que o grau. Supe-se que o homem comeou a medir ngulos por volta de 2800 a.C., com o objetivo de auxiliar na astronomia. Veja que interessante: quando um astrnomo queria saber a que distncia a lua estava acima do horizonte, ele esticava o brao e calculava quantos dedos comportavam o espao entre a lua e o horizonte, e assim utilizava essa medida para seus estudos. Pesquise mais sobre isso e veja suas inmeras aplicaes ao longo dos anos, para o desenvolvimento da humanidade.

George: Ah, ento o grau tem tudo a ver com geometria tambm?

Euclides: E como! Quando falamos de segmentos de mesma origem, podemos falar de grau.

George: Interessante, mais um conceito to simples e to importante. J vi que tenho trabalho para amanh. Um abrao!

Euclides: At breve.

A regio do plano, compreendida entre duas semi-retas com origem comum, chamada de ngulo.

Figura 1.16 Esboo do ngulo AB.

Existem algumas maneiras de representar um ngulo. De acordo com a fi gura 1.16, podemos design-lo como ngulo , ou AB, ou BA, ou apenas ngulo . A origem O chamada de vrtice e as semi-retas r e s so os lados do ngulo.


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Voc acompanhar, a seguir, a de nio de alguns conceitos fundamentais para a continuao do nosso estudo.

Dois ngulos so consecutivos, se um lado de um deles tambm lado do outro.

Dois ngulos consecutivos so adjacentes, se no tm pontos internos comuns.

Observe que, para que dois ngulos sejam adjacentes, eles devem ser consecutivos.

Tente esboar alguns exemplos de ngulos consecutivos e adjacentes.

Um ngulo formado por duas semi-retas distintas, opostas, pertencentes mesma reta, chamado de ngulo raso.

Figura 1.17 - ngulo raso.

Os ngulos so medidos em graus e usa-se um transferidor para medi-los.


47

Geometria I

Unidade 1

Figura 1.18 - Transferidor.

Observao: Tome uma circunferncia de raio qualquer e a divida em 360 partes iguais, obtendo assim 360 arcos de circunferncia. Agora tome duas semi-retas com origem no centro da circunferncia, sendo que uma delas tem extremidade no incio de um destes arcos e a outra tem extremidade no m do mesmo arco. Esta regio entre as semi-retas forma um ngulo cuja medida chamaremos de grau. Representa-se, usando-se o smbolo .

Existem muitos objetos no cotidiano que do a noo de ngulo como, por exemplo, a regio entre os ponteiros do relgio, os raios de uma roda de bicicleta, o brao e o antebrao, as hlices de um helicptero. E, se voc olhar sua volta, atentamente, encontrar muitos outros.

Axioma VIII: Todo ngulo tem uma medida em graus maior ou igual a zero. A medida de um ngulo zero se ele constitudo por duas retas coincidentes. A medida de um ngulo 180o (ngulo raso) se formado entre duas semi-retas opostas.

Figura 1.19 ngulos Zero e Raso.


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Axioma IX: possvel colocar, em correspondncia biunvoca, os nmeros entre 0o e 180o e as semi-retas de mesma origem que dividem um dado Semi-plano, de modo que a diferena entre estes nmeros seja a medida do ngulo formado pelas semi-retas correspondentes.

Figura 1.20 Representao do axioma IX.

Assim, a medida do ngulo AB, denotada por m(AB), pode ser calculada como:m(AB) =|b - a|Exemplo: Considere o diagrama abaixo:

Note que m(AC) = 60 e m(BC) = 120. Ento, m(AB) = |120 - 60| = 60

Dois ngulos so ditos suplementares, se a soma de suas medidas 180.


49

Geometria I

Unidade 1

Figura 1.21 Os ngulos AB e AC so suplementares.

Exemplos: Os ngulos de medida 30 e 150 so suplementares, pois a soma de suas medidas 180. J os ngulos de medidas 30 e 60 no so suplementares, pois a soma de suas medidas no de 180.

Duas retas distintas que se interceptam em um nico ponto so chamadas de concorrentes.

Figura 1.22 Retas concorrentes - r s = {A}

Duas retas concorrentes, formam-se quatro ngulos. Dois destes ngulos so opostos pelo vrtice, quando os lados de um dos ngulos so prolongamentos dos lados do outro.

Figura 1.23 ngulos opostos pelo vrtice.


50


Assim, os ngulos AB e DC so opostos pelo vrtice, da mesma forma como DA e CB tambm so opostos pelo vrtice.Proposio: ngulos opostos pelo vrtice tm a mesma medida. De acordo com a gura 1.23, AB e DC so opostos pelo vrtice e possuem o mesmo suplemento AD. Logo:m(AB)+m(AD) = 180 (1)m(DC)+m(AD) = 180 (2)Da equao (1) temos que m(AD) = 180 - m(AB). Agora substitua m(AD) encontrado na equao (2). Portanto:m(DC)+(180 - m(AB) = 180, ou seja, m(AB) = m(DC).

Um ngulo cuja medida 90 chamado de ngulo reto.

Figura 1.24 ngulo reto.

Vamos utilizar o smbolo para representar um ngulo reto.

Exemplo: Mostre que o suplemento de um ngulo reto um ngulo reto.


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Geometria I

Unidade 1

Soluo: Denote por x o suplemento do ngulo reto. Como o ngulo reto mede 90, ento temos:

Se x um ngulo qualquer, ento 180 - x o seu suplemento.

Dois ngulos cuja soma 90 so chamados de complementares. Assim, se x um ngulo qualquer, ento 90- x o seu complemento.

Exemplos:1) Se x, um ngulo qualquer, escreva o dobro do seu suplemento e, em seguida, a metade do seu suplemento.Soluo: Se x um ngulo qualquer, ento 180 - x o seu suplemento, logo o dobro do seu suplemento dado por 2.(180 - x). Da mesma maneira a metade do seu suplemento dado por

2) Qual o complemento do ngulo que mede 16 e o suplemento do ngulo que mede 55?Soluo: Se x =16 o ngulo dado, ento seu complemento obtido por:

J o suplemento de y = 55 dado por:

3) Encontre as medidas de dois ngulos que sejam complementares e em que a medida do menor seja 40 inferior do maior.

Soluo: Sejam a e b as medidas dos ngulos procurados e suponha que a a medida do ngulo maior.Como a e b so complementares, a + b = 90


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Como o ngulo menor mede 40 a menos que o maior, ento b = a - 40Portanto temos: Substituindo a segunda equao na primeira, temos:

Assim, o ngulo b mede b = a - 40o = 65o - 40o = 25o.Os ngulos procurados medem 65o e 25o.

Veja na tabela a seguir, a medida dos ngulos e seus nomes. Considere x, um ngulo que mede entre 0 e 180.

Medida dos ngulos Nomesx = 90 ngulo retox < 90 ngulo agudox > 90 ngulo obtusox = 180 ngulo raso

Suponha duas retas concorrentes. Se a medida de um dos quatro ngulos for de 90, ento todos os outros tambm medem 90o. Neste caso dizemos que as retas so perpendiculares.

Teorema 1.13: Por um ponto dado de uma reta, num plano, passa uma nica perpendicular a esta reta.

Que tal voc tentar demonstrar este teorema? Use simplesmente o axioma IX e a idia de correspondncia biunvoca.Veja a atividade de auto-avaliao nmero 25.


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Geometria I

Unidade 1

Da mesma forma que falamos sobre congruncia de segmentos, podemos falar, tambm, sobre congruncia de ngulos.

Congruncia de ngulos

Dois ngulos so ditos congruentes, se eles tm a mesma medida.

Figura 1.25: ngulos Congruentes.

Propriedades: A congruncia entre ngulos satisfaz as seguintes propriedades:4) Re exiva: todo ngulo congruente a si mesmo: AB AB5) Simtrica: se AB CD, ento CD AB.6) Transitiva: se AB CD e CD EF, ento AB EF

Dado um ngulo AB, uma semi-reta chamada de bissetriz do ngulo, se m(AC) m(CB).

Figura 1.26: ngulo AB e sua bissetriz .

Ou seja, a bissetriz de um ngulo uma semi-reta interna ao ngulo, com origem no vrtice do ngulo e que o divide em dois ngulos congruentes.


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Exemplo: So dados dois ngulos agudos adjacentes, cujas bissetrizes formam um ngulo de 60o. Sabendo que a medida de um deles 42o, determine a medida do outro. Soluo: Sejam 2x e 2y as medidas dos dois ngulos assim pela gura:

Como

Logo, os ngulos medem 42o e 78o.

George: Euclides, tudo bem com voc?

Euclides: Com certeza, meu rapaz. E ento, o que achou de todo o estudo?

George: Fascinante. Idias simples, usadas para demonstrar resultados importantes e, o mais legal, demonstraes no to difceis de entender.

Euclides: Que bom que voc gostou, fi co feliz em ter podido ajud-lo nesse maravilhoso mundo da geometria. Mas lembre-se, isto apenas o comeo. Apenas o iniciei nos estudos.

George: Eu sei, Euclides, tenho muito que aprender ainda, esta apenas a ponta do iceberg.

Euclides: Acredito que a partir de agora nos encontraremos com menos freqncia, pois voc j consegue andar com suas prprias pernas. Mas, como dizem vocs jovens modernos, foi maneiro te ajudar. Um grande abrao!


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Geometria I

Unidade 1

George: Falou, Euclides, obrigado e at mais.

E George se despede de seu mais antigo professor e vai em busca de novos conceitos geomtricos.

Sntese

Voc estudou nesta unidade uma srie de propriedades da geometria: algumas delas so aceitas sem demonstrao, os axiomas; outras necessitam dos axiomas para serem veri cadas. O mais interessante voc deve ter notado que as idias so simples e a partir delas conseguimos a chegar a resultados importantes. O que zemos neste captulo I foi dar a base para a construo da geometria e zemos isso com a ajuda da pessoa que conferiu ordem lgica geometria: Euclides. Agora voc est apto a estudar outros aspectos da geometria, como congruncia e semelhana de tringulos, trigonometria e rea de guras planas conhecidas. E ento, preparado? Mais assuntos interessantes o aguardam nos prximos captulos. Mos obra.Antes de passar ao prximo captulo, esclarea todas as suas dvidas com o seu professor tutor e bom trabalho.

Saiba mais

Se voc gosta de Histria da Matemtica e cou interessado nos axiomas de Euclides, sugiro a leitura de Teorema do Papagaio, um delicioso texto que mistura co com a realidade da histria da matemtica.GUEDJ, Denis. Teorema do papagaio. So Paulo: Companhia das Letras, 1999.


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Atividades de auto-avaliao

1) Responda s perguntas, usando a idia de ponto, reta ou plano.

a) Que idia d a marca de pnalti de um campo de futebol?

b) Que idia d a pgina de um livro?

c) Que idia d o barbante de sustentao de uma pipa?

2) Considere os seguintes elementos: O furo feito por uma agulha, a superfcie de uma piscina, as linhas divisrias de uma quadra de futebol, uma corda esticada, a cabea de um prego, uma folha de papel, quais nos do a idia de:

a) Ponto?

b) Reta?

c) Plano?


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Geometria I

Unidade 1

3) Imagine-se num estdio de futebol, contemplando o campo e suas linhas divisrias. Identifi que, no campo, algo que d a idia de ponto, reta e plano.

4) Encontre a sua volta pelo menos trs objetos nos que do idia de ponto, reta e plano.


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5) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso).

A. ( ) Trs pontos distintos so sempre colineares.

B. ( ) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.

C. ( ) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma s reta.

D. ( ) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A distinto de B, ento existe uma reta r tal que A r e B r.

E. ( ) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P distinto de Q, e P e Q pertencem s retas r e s, ento r = s.

F. ( ) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A distinto de B, com A r e B r.

G. ( ) Se A = B, existe uma reta r tal que A, B r.H. ( ) Duas retas distintas que tm um ponto em comum so

concorrentes.

I. ( ) Duas retas concorrentes tm um ponto em comum.

J. ( ) Se duas retas distintas tm um ponto em comum, ento elas possuem um nico ponto comum.

6) Utilizando os axiomas de 1 a 5, discuta as seguintes questes:

a) Existem retas que no se interceptam.

b) Num segmento de reta existem infi nitos pontos.


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Geometria I

Unidade 1

7) Quantas retas passam por quatro pontos todos distintos, sendo trs colineares?

8) Trs pontos distintos de uma reta, quantos segmentos distintos podem determinar?

9) Quantos segmentos h que passam por A e B distintos? Quantos h com extremidades em A e B.

10) Sejam A, B e C pontos de uma reta. Faa um desenho representando-os, sabendo que C est ente A e B e que AB = 5 e AC = 2


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11) Sejam A1 e A2 pontos de coordenadas 1 e 2. D a coordenada do ponto mdio A3 do segmento A1A2. D a coordenada do ponto mdio A4 do segmento A2A2. D a coordenada a3 do ponto mdio do segmento A3A4.

12) Desenhe uma reta e sobre ela marque dois pontos A e B. Suponha que a coordenada do ponto A seja zero e a do ponto B seja um. Marque

agora pontos cujas coordenadas so 1, , , , 2, 0,-1, -3, -5, , .

13) Se o segmento mede x + 3 e o segmento mede 2x - 5 e M o ponto mdio do segmento , determine AB.


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Geometria I

Unidade 1

14) Usando uma folha de papel, lpis e rgua, desenhe duas retas perpendiculares.

15) Dois ngulos so complementares e o suplemento de um deles mede tanto quanto o suplemento do segundo, mais 30. Quanto medem estes dois ngulos?

16) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) nas alternativas abaixo.

A. ( ) A regio compreendida entre duas semi-retas de mesma origem recebe o nome de ngulo.

B. ( ) Um ngulo raso mede 90.

C. ( ) Um ngulo formado por duas semi-retas distintas pertencentes a uma mesma reta um ngulo raso.

D. ( ) O aparelho usado para medir ngulos recebe o nome de rgua.

E. ( ) Duas retas concorrentes e perpendiculares formam um ngulo de 90.

F. ( ) O ngulo agudo maior que 90 e o ngulo obtuso menor que 90.

G. ( ) Dois ngulos cuja soma de 180 recebem o nome de suplementares.

H. ( ) 30 e 120 so ngulos suplementares.

I. ( ) Se um ngulo qualquer, ento o seu suplementar mede 180 - a.J. ( ) Dois ngulos opostos pelo vrtice so iguais.


62


17) Demonstre que, se um ngulo e seu suplemento tm a mesma medida, ento o ngulo reto.

18) Demonstre que o suplemento de um ngulo agudo sempre obtuso. Lembre-se de que voc deve mostrar que o ngulo procurado maior que 90

19) Dado um ngulo de medida x, encontre:

a) o triplo do seu suplemento;

b) a stima parte do complemento;

c) o complemento de sua tera parte.


63

Geometria I

Unidade 1

20) Encontre dois ngulos que sejam complementares e em que a medida do maior seja quatro vezes a do menor.

21) Encontre dois ngulos que so suplementares e em que a medida do menor seja a metade da medida do maior.

22) Encontre dois ngulos suplementares cuja medida do maior 20 inferior ao triplo do menor.


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23) Suponha que dois ngulos e de duas retas que interceptam uma terceira so iguais e que + = 180. Conclua que as retas so perpendiculares. Faa desenho para auxiliar nas suas concluses.

24) Classifi que as sentenas a seguir em V (verdadeiro) ou F (falso), e justifi que:

A. ( ) se dois segmentos so consecutivos, ento eles so colineares;

B. ( ) se dois segmentos so colineares, ento eles so consecutivos;

C. ( ) se dois segmentos so adjacentes, ento eles so colineares;

D. ( ) se dois segmentos so colineares, ento eles so adjacentes;

E. ( ) se dois segmentos so adjacentes, ento eles so consecutivos;

F. ( ) se dois segmentos so consecutivos, ento eles so adjacentes;

Utilize o espao abaixo para as justifi cativas:


65

Geometria I

Unidade 1

25. Demonstre o teorema 1.3: Por qualquer ponto de uma reta passa uma nica perpendicular a esta reta.


UNIDADE 2

Tringulos

Objetivos de aprendizagem

Conhecer e classifi car tringulos. Identifi car tringulos retngulos e seus elementos. Compreender e Aplicar o Teorema de Pitgoras. Sintetizar relaes trigonomtricas num triangulo retngulo.

Identifi car tringulos congruentes, bem como o caso de congruncia.

Conhecer os pontos notveis e algumas concluses.

Sees de estudo

Seo 1 Defi nio e classifi cao de tringulos

Seo 2 Teorema de Pitgoras

Seo 3 Relaes trigonomtricas no tringulo retngulo

Seo 4 Congruncia de tringulos

Seo 5 Pontos Notveis de um tringulo

2


68


Para incio de conversa

Euclides: Ol, meu rapaz, estou orgulhoso de voc.

George: Que bom Euclides, fi co feliz por voc reconhecer o meu esforo.

Euclides: No somente reconhecimento, merecimento.

George: , acho que me sa bem na Unidade 1. Sabe que entendi muitas coisas sobre as quais tinha dvidas? Que bom ter tido voc me acompanhando.

Euclides: timo, como voc se mostrou curioso e com vontade de aprender, vou apresent-lo a um novo amigo.

George: Um novo amigo? Mas quem?

Euclides: Para falar de tringulos, s poderia ser Pitgoras.

George: Arrasou, hein, cara!

Euclides: , realmente Pitgoras um dos nomes mais conhecidos, no apenas na geometria, mas na matemtica. Ele nasceu em Samos Grcia, pelos anos 582 a.C., viajou bastante e, ao ir para a Itlia, fundou a Escola de Crotona. Tambm conhecida como escola dos Pitagricos, ensinava fi losofi a, matemtica, msica e astronomia. Veja o princpio que a regia: A essncia de todas as coisas o nmero.

George: E o to famoso Teorema de Pitgoras?


69

Geometria I

Unidade 2

Euclides: Pois , se observarmos bem, o Teorema de Pitgoras est associado a uma relao numrica de fundamental importncia na Matemtica moderna. Observe sua afi rmao: o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Somente relaes numricas, percebeu? Alguns historiadores dizem que o Teorema de Pitgoras j era muito utilizado antes de Pitgoras, claro que nem tinha esse nome. E ele foi nomeado assim, pois foi Pitgoras quem fez a primeira demonstrao desse teorema.

George: E o que voc quis dizer sobre o nmero ser a essncia de todas as coisas?

Euclides: Os Pitagricos estudaram os sons e mostraram que a msica e a matemtica tm muito em comum. Descobriram que a altura de um som tem relao com o comprimento da corda que, ao vibrar, o produz. Ao longo de seus estudos, notaram que uma corda de determinado comprimento daria uma nota. Reduzida a do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzida metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os nmeros 12, 8 e 6, segundo Pitgoras, estariam em progresso harmnica, sendo 8 a mdia harmnica de 12 e 6. Com isso desenvolveu a idia de que o prprio universo estivesse organizado sobre os nmeros e as relaes entre eles.

George: Tudo isso muito interessante, quando vou conhec-lo?

Euclides: Em breve, aguarde.

Nesta unidade, voc vai conhecer informaes fundamentais da geometria dos tringulos. Ao longo das sees, poder observar que muitos conceitos que utilizamos intuitivamente possuem uma base slida dentro da geometria. Alm de estudar tringulos retngulos e suas aplicaes, voc conhecer o Teorema de Pitgoras e poder observar que ele constitui uma ferramenta til, tanto para a geometria dos tringulos como para o nosso dia-a-dia.

Figura 2.1. O mtodo da paralaxe aplicado medida Terra-Lua. Por Jos Roberto V. Costa.


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SEO 1 - De nio e classi cao de tringulos

Na seo anterior, o tringulo foi apresentado como a mais simples das guras geomtricas, formado por trs segmentos de reta. Talvez esse seja o motivo de ser a gura geomtrica mais utilizada na geometria antiga. A Histria conta que muitos problemas foram solucionados utilizando-se tringulos: a extenso de terras, a altura de construes e clculo de distncias so exemplos da sua utilidade. Veja, a seguir, um exemplo de como os gregos faziam o clculo para encontrar a distncia de um barco at a costa. Observe a gura:

Figura 2.2. Esboo da forma de medir distncia entre um barco e a costa. (Fonte: Dicionrio Enciclopdico Conhecer - Abril Cultural)


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Geometria I

Unidade 2

Eram necessrios dois observadores: um se colocava na costa, de maneira que pudesse ver o barco sob um ngulo de 90o com relao sua posio e o outro cava na mesma linha do primeiro, mas observando o barco sob um ngulo de 45o. Em seguida, utilizavam o teorema de Pitgoras, ou seja, medindo a distncia entre eles, os catetos eram iguais.Para comearmos nosso estudo sobre essa gura to importante, vamos de ni-la com muito cuidado.

Chama-se tringulo ABC a fi gura geomtrica formada pela reunio dos trs segmentos , e

, onde os pontos A, B e C no so colineares.

Figura 2.3 - Tringulo ABC.

Notao: Tringulo ou

Para trabalharmos com tringulos, temos de conhecer alguns elementos fundamentais:Vrtices: os pontos A, B e C so vrtices do tringulo;

ngulos: os ngulos internos do tringulo so ou , ou , ou ;

Lados: os lados do tringulo so os segmentos ( de medida c), ( de medida b) e (de medida a); o lado dito oposto ao

ngulo , o lado oposto ao ngulo e o lado oposto ao ngulo .


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Permetro: a soma dos lados de um tringulo chamada de permetro, ento o permetro do tringulo acima :

;

Lado Adjacente: um lado adjacente a dois ngulos o lado que une os vrtices desses dois ngulos. No tringulo ABC, o lado

adjacente aos ngulos e , o lado adjacente aos ngulos e e o lado adjacente aos ngulos e .

Os tringulos podem ser classi cados de acordo com os comprimentos de seus lados ou das medidas de seus ngulos. Veja como:

Classi cao de tringulos quanto aos lados:

Eqiltero: o tringulo eqiltero tem os trs lados congruentes. Assim, no tringulo ABC da gura 2.4, temos a = b = c.

As letras minsculas a, b e c representam, respectivamente, os comprimentos dos lados opostos aos vrtices A,B e C, por isso utilizamos o sinal de = (igual) e no o de (congruncia).

Issceles: o tringulo issceles tem pelo menos dois lados congruentes. Assim, no tringulo ABC da gura 2.5, temos a = c.

Neste caso o lado chamado do base do tringulo issceles.


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Unidade 2

Escaleno: o tringulo escaleno no tem lados congruentes. Assim, no tringulo ABC da gura 2.6, temos a b c.

O smbolo signi ca diferente de. No caso a b c, l se a diferente de b e b diferente de c.

Um tringulo eqiltero tambm um tringulo issceles?

Sim, pois, se um tringulo tem os trs lados congruentes, dois dos seus lados so congruentes, o que basta para que ele seja classi cado tambm como issceles.

Classi cao de tringulos quanto aos ngulos:

Retngulo: todo tringulo retngulo tem um ngulo reto.

Assim, no tringulo ABC da gura 2.7, o ngulo A o ngulo reto (m ( )= 90o).

Acutngulo: o tringulo acutngulo tem os trs ngulos agudos.

Assim, no tringulo DEF da gura 2.8, as medidas dos ngulos , , so menores que 90o.


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Obtusngulo: o tringulo obtusngulo tem um ngulo obtuso.

Assim, no tringulo JKH da gura 2.9, a medida do ngulo maior que 90o.

Exemplo: Um tringulo issceles pode ser classi cado segundo seus ngulos, veja os exemplos a seguir.

SEO 2 Teorema de Pitgoras

Pitgoras: Ol, George, tenho ouvido falar em voc.

George: Ol, voc deve ser o grande Pitgoras.

Pitgoras: Isso mesmo, meu caro, mas por que grande?


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George: Voc desenvolveu um dos teoremas mais famosos da matemtica.

Pitgoras: Desenvolvi no, eu apenas provei um resultado que j era conhecido pelos Babilnios 1000 anos antes do meu nascimento. Mas, sem dvida, esse teorema muito til, alm de famoso, e vem sendo aplicado por muitos sculos em diversas reas.

George: Eu acho interessante isto de o teorema de Pitgoras ser utilizado por pessoas que a gente nem imagina. Eu tenho um amigo que artista naval, o Rodolpho; ele utiliza o Teorema de Pitgoras como referncia para defi nir escalas nos seus projetos de maquetes de embarcaes. Ele diz que aprendeu o teorema quando criana, e mesmo quando esquece seu enunciado, sabe utiliz-lo no seu trabalho.

Pitgoras: Na verdade, a versatilidade desse teorema o torna inesquecvel, e quando aprendemos um contedo de verdade, no esquecemos jamais.

George: Eu fi co surpreso ao ver crianas conseguindo utilizar o Teorema de Pitgoras.

Pitgoras: Mostrar a importncia de conceitos para nossos jovens uma das tarefas fundamentais para o crescimento da humanidade. Sem falar que as crianas so nosso futuro, e, como eu sempre digo, eduque-as e no ser preciso punir os homens.

George: Estou vendo que voc realmente um sbio.

Pitgoras: Na verdade, sempre procurei viver conforme alguns valores e, entre eles, este: Pensem o que quiserem de ti, faze aquilo que te parece justo.

George: Isso bom.

Nesta seo, vamos apresentar os elementos dos tringulos retngulos e enunciar o Teorema de Pitgoras. Seja o Tringulo ABC da gura 2.10:


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Figura 2.10: Tringulo Retngulo reto em .

Dado um tringulo ABC retngulo, defi nimos:

Hipotenusa: o lado oposto ao ngulo reto;

Catetos: so os lados que formam o ngulo reto.

No tringulo da fi gura 2.10: Hipotenusa , catetos e .

Observe que a hipotenusa sempre maior que qualquer um dos catetos.

Classi cao de Tringulos Retngulos

Como qualquer tringulo, podemos classi car os tringulos retngulos em relao aos seus lados da seguinte forma:

Tringulo Retngulo IsscelesO tringulo retngulo issceles possui os dois catetos iguais , na gura 2.11: b = c e m( )= 90o .

Tringulo Retngulo EscalenoO tringulo retngulo escaleno possui todos os lados com medidas diferentes, na gura 2.12: a b c.


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Teorema 2.1 (Teorema de Pitgoras): Se ABC um tringulo retngulo, o quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos catetos. Do tringulo ABC da gura 2.13, o Teorema garante que:

Figura 2.13: Tringulo Retngulo ABC reto em A com hipotenusa a e catetos b e c.

Pesquisas histricas mostram que esse teorema j era conhecido pelos Babilnios por volta de 1500 a.C., e que os chineses o conheciam talvez em torno de 1100 a.C. Pitgoras foi o primeiro matemtico a demonstr-lo Mas existem inmeras outras demonstraes, vamos apresentar algumas no decorrer das seguintes unidades, quando j tivermos estudado outros conceitos necessrios para cada demonstrao

Exemplos: 1) Utilize o Teorema de Pitgoras para veri car se os tringulos abaixo so retngulos:

Soluo: Se o tringulo for retngulo, ele deve satisfazer o teorema de Pitgoras. O maior lado dever ser a hipotenusa e os demais os catetos.No tringulo I, tomemos a= 13, b = 7 e c = 6. Pelo teorema: 132 = 62 + 72, ou seja, 169 = 36 + 49.


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Como essa igualdade no verdadeira, pois 36 + 49 = 85,podemos garantir que o tringulo I no retngulo.

J no tringulo II, tomemos a = 10, b= 6 e c = 8.Assim, 102 = 62 + 82, logo 100 = 36 + 64. Como 36 + 64 = 100, conclumos que o tringulo II retngulo.

2) Determine o valor de x, no tringulo retngulo abaixo. Soluo: Pelo Teorema: x2 = 72 + 122

x2 = 49 + 144 x2 = 193 ento

3) Suponha uma escada de 6 metros de comprimento encostada em um muro de 5 metros de altura. Se a extremidade da escada encosta na parte de cima do muro, determine a distncia da escada ao muro, no cho.

Soluo: Podemos utilizar o Teorema de Pitgoras para resolver este problema, admitindo que o comprimento da escada a


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hipotenusa, um dos catetos a altura do muro e o outro a distncia que estamos procurando, assim: 62 = 5 2 + d2

36 = 25 + d2 36 - 25 = d 2 d2 = 11 ento

Pense em algum problema do seu dia-a-dia que pode ser resolvido, utilizando o teorema de Pitgoras.

SEO 3 - Relaes trigonomtricas do tringulo retngulo

George: Pitgoras, me ajude, por favor.

Pitgoras: Pois no rapaz, diga qual seu problema.

George: Eu tenho uma dvida: a gente no colgio estuda Trigonometria, e quase ningum gosta. Minha curiosidade saber o que afi nal Trigonometria e onde ela utilizada.

Pitgoras: Meu caro, acredito que algumas pessoas no gostem de Trigonometria, por no conhecer bem esse assunto. Vou falar um pouco sobre o desenvolvimento da Trigonometria.


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Bem, a palavra trigonometria vem do grego: tri - trs, gono - ngulo, metrien - medida, ou seja, medida de tringulos.

George: Mas o que medida de tringulos?

Pitgoras: a relao entre os lados e ngulos de tringulos e serviu navegao, agrimensura e astronomia. Por volta de 300 a.C., a Trigonometria estava diretamente relacionada Astronomia. E somente Leonhard Euler, um famoso matemtico do sculo XVIII, desvinculou a Trigonometria da Astronomia e a transformou em um ramo independente da matemtica. Hoje, a Trigonometria usada em vrias reas das cincias, como a Engenharia, a Fsica, a Astronomia, a Navegao, entre outras.

George: Nossa, deu para conhecer um pouco da histria, mas no entendi como a Trigonometria pode ser to utilizada.

Pitgoras: Bem, nesta seo voc ver a Trigonometria em tringulos retngulos. Mas, desde o incio, a Trigonometria era estudada tambm em tringulos esfricos, e essa Trigonometria muito utilizada nessas reas.

George: Tringulos esfricos? O que isso?

Pitgoras: So tringulos formados por uma seco da superfcie de uma esfera. Mas depois voc estuda isso. Agora vamos estudar a Trigonometria Plana, em tringulos retngulos, ok?

George: T nessa!

Os elementos fundamentais do tringulo so os seus lados e seus ngulos. Esses elementos podem ser utilizados para calcular outros elementos do tringulo. Vamos ver essas relaes a seguir. Antes vamos re-nomear os catetos desse tringulo.Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posio em relao ao ngulo sob anlise. Se estivermos operando com o ngulo B, ento o lado oposto indicado por b o cateto oposto ao ngulo B; e o lado adjacente ao ngulo B, indicado por c, o cateto adjacente ao ngulo B.


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Figura 2.14: Tringulo Retngulo ABC, reto em A, com ngulo interno igual a .

Num tringulo retngulo, podemos estabelecer razes entre as medidas dos seus lados: catetos e hipotenusa. Consideremos o tringulo retngulo ABC reto em e um ngulo agudo B de medida (Figura 2.14).

As funes trigonomtricas bsicas so relaes entre as medidas dos lados do tringulo retngulo e seus ngulos. As trs funes bsicas mais importantes da trigonometria so: seno, cosseno e tangente. O ngulo indicado pela letra .

Razo 1: Seno de um ngulo agudo:

Ento,

Num tringulo retngulo, o seno de um ngulo agudo a razo entre as medidas do cateto oposto a esse ngulo e da hipotenusa.

Razo 2: Cosseno de um ngulo agudo:

Ento,

Num tringulo retngulo, o cosseno de um ngulo agudo a razo entre as medidas do cateto adjacente a esse ngulo e da hipotenusa


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Razo 3: Tangente de um ngulo agudo:

Ento,

Num tringulo retngulo, a tangente de um ngulo agudo a razo entre as medidas do cateto oposto a esse ngulo e o cateto adjacente a esse ngulo.

Exemplo: Dado o tringulo retngulo ABC, reto em A, conforme a gura abaixo. Determine: sen , cos , tg , sen , cos e tg

Relao Fundamental

Algumas relaes importantes podem ser obtidas dos tringulos retngulos, para isso vamos tomar um tringulo retngulo ABC, com hipotenusa de comprimento igual a 1 unidade, como na gura abaixo:

Observe que ,


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Pelo teorema de Pitgoras:

Tambm conhecida como identidade trigonomtrica.Exemplo: Determine o valor de x e y na gura abaixo, sabendo que sen 30o = .

ngulos Notveis

Atravs do tringulo retngulo podemos analisar os valores de seno, cosseno e tangente de alguns ngulos especfi cos, conforme voc ver a seguir.

1) ngulo de 45o

Seja um quadrado de lado 1, como na gura abaixo. Pelo teorema de Pitgoras, encontramos a diagonal do quadrado, transformando-o em dois tringulos retngulos de catetos iguais a 1.


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2) ngulos de 60o e 30o

Se o tringulo ABC eqiltero, como na gura 2.15, o segmento divide o lado ao meio, obtendo, assim, um tringulo retngulo com hipotenusa 1, e cateto . Logo, pelo teorema de Pitgoras, o outro cateto .

Utilizando o mesmo tringulo ABD, mostre que

sen 60o = cos 30o , sen 30o = cos 60o .

SEO 4 - Congruncia de tringulos

Pitgoras: Ol, George, voc precisa de ajuda?

George: Bem, na verdade estou meio curioso para entender essa histria de congruncia de tringulos. muito complexo o assunto?


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Geometria I

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Pitgoras: No, meu caro, simples. Ns, matemticos, j provamos tudo para vocs, basta que entendam o raciocnio. Na verdade, a congruncia de tringulos segue uma ordem.

George: Como? No entendi.

Pitgoras: O primeiro caso de congruncia entre tringulos foi escrito como axioma, e os demais so decorrentes deste e das defi nies estabelecidas na seqncia. uma construo muito bonita.

George: Mas isso no complicado?

Pitgoras: De jeito algum, s ter pacincia e ateno.

George: Falou!

Vamos usar congruncia para relacionar tringulos. Lembre-se de que elementos congruentes so elementos que tm a mesma forma e o mesmo tamanho e, apenas, no so iguais, pois os pontos que os formam no so os mesmos.

Congruncia de tringulos

Dois tringulos so congruentes, se tm a mesma forma e o mesmo tamanho. Isso acontece, se os seus lados so ordenadamente congruentes aos lados do outro e se os seus ngulos so ordenadamente congruentes aos ngulos do outro.

Figura 2.16: Tringulos ABC e DEF congruentes.


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Assim dados os tringulos da gura 2.16, dizemos que se , , , ,

e

As condies de congruncia anteriores (trs congruncias entre lados e trs congruncias entre ngulos) so totais. Podemos garantir a congruncia entre tringulos, utilizando apenas condies mnimas. O axioma a seguir considerado o primeiro caso de congruncia, isso quer dizer que, se conhecemos alguns elementos de dois tringulos e se eles satisfazem alguns dos casos de congruencia, podemos garantir a congruncia entre os tringulos.

Axioma X: Dados dois tringulos ABC e DEF, se e , ento o tringulo ABC congruente

ao triangulo DEF. A interpretao do axioma : Dois tringulos que possuem dois lados e o ngulo compreendido entre esses lados respectivamente congruentes, so congruentes. Esta a congruncia lado, ngulo, lado (LAL).

Assim, se , e (LAL), ento podemos garantir que ou seja , e .

Exemplos: Dados os tringulos I, II, e III, observe que:I e III so congruentes por LAL;o tringulo II no congruente a qualquer um dos outros dois, pois o ngulo reto no est entre 5 e 4.


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Unidade 2

Existem quatro casos de congruncia de tringulos. Considera-se o axioma anterior como caso 1, e dele derivam os demais casos, como apresentaremos a seguir.

Desse primeiro caso de congruncia, deriva um teorema importante para a geometria, o teorema do tringulo issceles, que garante a congruncia dos ngulos da base. Vamos demonstrar esse teorema a seguir.

Teorema 2.2 (do Tringulo Issceles): Se um tringulo issceles, ento os ngulos da base so congruentes.Demonstrao: A Hiptese desse teorema : Se o tringulo ABC issceles, ento os lados e so congruentes ( )A Tese : Ento os ngulos da base e so Congruentes ( )Para essa demonstrao, vamos considerar os tringulos ABC e ACB, ou seja queremos associar os pontos A, B e C aos pontos A,C e B respectivamente.

Como podemos utilizar um caso de congruncia entre dois tringulos para provar que um tringulo issceles?

Para isso, consideramos o tringulo ABC de base e o tringulo ACB de base . Lembre que os vrtices A, B e C estaro associados aos vrtices A,C e B respectivamente:Assim, por hiptese, . Alm disso, ( o ngulo o mesmo para os dois tringulos ABC e ACB ). Ento, pelo axioma acima (LAL), os tringulos ABC e ACB so congruentes, e, portanto, os ngulos e tambm so congruentes.


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Exemplo: Se o tringulo ao lado ABC issceles de base BC, determine x.

Soluo: Pelo teorema acima, num tringulo isscelesos ngulos internos da base so iguais. Ento:2x 10o = 30o 2x = 40o x = 20o

Vamos mostrar, agora, algumas relaes entre os ngulos de um tringulo. Lembre-se de que j de nimos ngulo e ngulo interno.

Se um tringulo, os seus ngulos , e so chamados ngulos internos ou simplesmente

de ngulo de um tringulo. Os suplementos de cada um dos ngulos so chamados de ngulos externos do tringulo.

Figura 2.17: Tringulo ABC e ngulo externo .

Na gura 2.17, o suplemento do ngulo um dos ngulos externos deste tringulo.

Exemplo: Se o ngulo mede 60o, ento m( ) = 120o. Teorema 2.3 (do ngulo externo): Todo ngulo externo de um tringulo maior que qualquer ngulo interno no adjacente a ele.Por exemplo, na gura 2.17, podemos a rmar que o ngulo externo ao tringulo ABC, suplementar ao , maior que os ngulos e (internos).


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Geometria I

Unidade 2

Teorema 2.4: A soma das medidas de quaisquer dois ngulos internos de um tringulo menor do que 180.Demonstrao:Hiptese: Se ABC um triangulo, cujos ngulos internos so ,

e ,

Tese: , e .

Com base no tringulo da gura 2.17, devemos mostra que .

Consideremos o ngulo externo ao vrtice C, pelo teorema 2.3 > .

Mas e so suplementares, logo m( ) + m( ) = 180o, ou seja, m( ) = 180o - m( ).Ora, como > e , segue que

e, portanto, .

Corolrio uma conseqncia imediata de algum teorema ou proposio.

Corolrio: Todo tringulo possui pelo menos dois ngulos internos agudos.


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Esta demonstrao se faz por absurdo e usa-se imediatamente o teorema 2.4. Tente fazer. Para isso, suponha que o tringulo no possui dois ngulos internos agudos, e, ento, mostre que isso um absurdo. Ver atividade de auto-avaliao nmero 14.

Caso 2: Dois tringulos que possuem dois ngulos e o lado entre esses ngulos, respectivamente congruentes, so congruentes. Esta a congruncia ngulo, lado, ngulo (ALA).

Este caso diz que, se , e (ALA), ento podemos garantir que e, conseqentemente,

, e .

Demonstrao: Dados os tringulos ABC e DEF da gura 2.18:

A Hiptese desse teorema :

A Tese : Ento

Seja P um ponto da reta , tal que , conforme a gura 2.19.Comparando os tringulos ABP ( da gura 2.19) e DEF ( da gura 2.18) temos:

e (por hiptese) e (por construo). Assim, por caso1 LAL, conclumos que

.

Logo, , mas, por hiptese, .Com isso conclumos que o ngulo no existe, ou seja, sua medida


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Geometria I

Unidade 2

zero. Portanto P e C so pontos coincidentes, o que nos leva a concluir que .

Exemplos: Dados os tringulos I, II, e III:

Observe que:os tringulos II e III so congruentes por ALA;o tringulo I no congruentes a qualquer um dos

outros dois, pois o lado 10 no est entre 70o e 30o .

Utilize o caso 2 de congruncia para mostrar que:

Se um tringulo possui dois ngulos congruentes, ento, esse tringulo issceles. Ver atividade de auto-avaliao nmero 15.

Caso 3: Dois tringulos que possuem os trs lados respectivamente congruentes so congruentes. Esta a congruncia lado, lado, lado ( LLL ).

Este caso diz que, se , e (LLL), ento podemos garantir que e, conseqentemente,

, e .


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Demonstrao: Dados os tringulos ABC e DEF da gura 2.20:A Hiptese desse teorema : A Tese : Ento

Do tringulo DEF, obtemos a partir de D um ponto G,

ver gura 2.21, tal que e .

Como tambm ( por hiptese), conclumos que . Conseqentemente, o tringulo EDG issceles de

base , logo . (*)

Por outro lado, como e ( por hiptese), (por construo), ento, por LAL, os tringulos

ABC e GEF so congruentes. Conseqentemente, .

Ora, como tambm (por hi

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