Livro de Mecanica

7/25/2019 Livro de Mecanica

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Capitulo I

Cinemtica de um ponto

I. Movimento relativo a um referencial inercial

Referencial. Um referencial em cinemtica um sistema de coordenadas usado para medir

grandezas cinemticas.

Um corpo se move em relao ao referencial dado se as coordenadas do corpo nesse referencial

mudam no decorrer da evoluo temporal.

A cinemtica se preocupa em descrever o movimento de um corpo em relao a um referencial

quando as coordenadas desse mesmo so dadas em funo do tempo.

O movimento de um corpo depende do referencial escolhido por exemplo, dois carros com a

mesma velocidade na mesma direco vem!se parados enquanto uma pessoa no cho os v em

movimento.

Movimento de um ponto."omearemos a tratar de um movimento de um ponto porque em geral

para descrever o movimento de um corpo reduzimos a descrio do movimento do corpo adescrio dos pontos pertencentes a esse corpo e tam#m em muitos casos na prtica o movimento

de um corpo reduzido ao movimento de um ponto por exemplo se a dimenso de corpo muito

menor que a tra$ect%ria percorrida por ela &'x( tra$ect%ria da terra em redor ao sol) ou tam#m nos

casos em que um ponto determina todo o movimento de um corpo &'x movimento de um caixote).

*adoP

um ponto qualquer movendo so#re um referencial com coordenadasx , y , z

num

referencial dadoS

, como as coordenadas dependem do tempot

vamos exprimi!las como

x=x (t) , y=y (t) , z=z (t) onde x (t) , y ( t) , z (t) so fun+es que vamos assumir como

continuas e derivveis at a segunda ordem no intervalo de tempo t

em que o movimento

est a ser analisado.


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amos caracterizar o movimento deste ponto por um vector funo do tempo r (t) cu$a norma

em cada instante nos d a dist-ncia do ponto em relao a origem do referencial escolhido. Assim

esse vector descreva uma curva que chamado de trajectria.

Velocidade. uponhamos que um pontoP

esta se movendo so#re um tra$ect%ria R=r (t)


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Geometra da massas.

Momento esttico. amos considerar um plano

que divide o espao em duas partes. amos

considerar uma destas partes positivas e a outra parte negativa. e$aP

um ponto qualquer e

r o vector representando a dist-ncia deste ponto ao plano, &sendo positivo ou negativo

dependendo de qual parte do espao o ponto P se encontra) definiremos o momento esttico do

pontoP

em relao ao plano

, comoS=mr

ondem

massa do pontoP

.

e o pontoP

tem coordenadasx , y , z

ento pela conveno adoptada temos que

Sxy=m z,Sxz=m y,Szy=mx , so os momentos estat/sticos em relao aos planos

xy , xz , zy .

Centro de massa. e$a um sistema de pontos qualquerP

1, P

2, ..Pn com coordenadas

(x1, y1 , z1 ) , (x1 , y1, z1 ) .(xn , yn , zn) . amos definir um ponto Rcm com

coordenadas xcm=

i=0

n

mix i

M , ycm=

i=0

n

miy i

M , zcm=

i=0

n

mizi

M onde M=i=0

n

mi a massa

total do sistema. O pontoRcm chamado de centro de massa

Teorema 5.1 O momento esttico de um sistema de pontos em relao a um plano arbitrrio

igual ao momento esttico de um ponto cujo a sua massa igual a massa total do sistema e as suas

coordenadas iguais as do centro de massa do sistema .


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*emonstrao(

e$a

um plano ar#itrrio cu$a equao a x+b y+c z=k

ento seP(xi , yi , zi) um

ponto ar#itrrio no espao ento a distancia desse ponto ao plano dado por

a xi+b y i+c zik

a2+b2+c2

ri=. "onforme a conveno adoptada vamos representar esta

dist-ncia por um vectorri que ser positivo ou negativo dependendo de se o ponto pertencer a

parte positiva ou negativa do espao. Assim, o momento esttico do ponto Pi em relao ao

plano

ser

a x i+b y i+c zik

a2+b2+c2

Si=mi .

0ara um sistema de pontosP

1 (x1 , y1 , z2 ) , P2(x2, y2 , z2) Pn(xn , yn, zn) temos que

& supondo que os pontos pertencem a parte positiva do espao para o caso de onde os pontos

pertencem a parte negativa a demostrao anolaga)

S=i

n

S i=m1r1+m2 r2++mn r n 1

m1

a x1+m

1b y

1+m

1c z

1k

a2+b2+c2+

m2

a x2+m

2b y

2+m

2c z

2+k

a2+b2+c2+

mna xn+mnb y n+mn c z1+k

a2+b2+c2 1

a( m1x1+m2x2+ mnxn )+b (m1y1+m2y2+ mny n )+b (m1z1+m2z2+ zny n)k(m1+m2+ m

a2+b2+c2

fazendo M=i

n

mi o#temos


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S=

M ax cm+M bycm+M czcmmk

a2+b2+c2 1 M

axcm+bycm+czcmk

a2+b2+c2 como

a xcm+byc m+czcmk

a2+b2+c2 igual a distancia do centro de massa em relao ao plano, o teorema

foi provado.

Teorema 5.2O centro de um sistema de pontos no alterado se parte dela for substitudo por

um ponto material cuja a massa igual a esta parte substituda e com coordenadas do centro de

massa dessa parte.

*emonstrao(

e$a S '= 1

M

i

k

mi r i o centro de massa do sistema U e

S = 1

M

j

l

mj rj o centro de massa do sistema U onde M e M so

as massas totais dos su#sistemas U e U respectivamente. A coordenadaxcm do

sistemaU

xcm=m

1x

1+m

2x

2++mkx k+mk+1xk+1+mk+2xk+2++mnxn

M

m

1x

1+m

2x

2++m kx k+m 1x 1+m 2x 2++m lx l

M

M x cm+M x cm

M


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Sistema plano de pontos. Um sistema de pontos dito plano se todos os seus pontos podem ser

encontrados num plano. 0or exemplo se seleccionarmos o planoxy

como esse plano temos

todos os z i 12 e logo o centro de massa vai residir no plano xy .

O momento esttico de um sistema plano em relao a uma rectal

qualquer definido por

i

n

mi r i onderi denota a distancia do ponto de massa mi em relao a recta l .

Assim podemos ver que o momento esttico de um sistema plano em relao a uma recta l

igual a o momento esttico de um plano perpendicular a esse sistema plano cu$a recta de

intercesso a rectal

.'m particular o momento esttico das rectasx

ey

so

Sx=i

n

miy i e Sy=i

n

mix i respectivamente.

Sistema linear de pontos. e um sistema de pontos estiver numa recta l o centro de massa

desse sistema reside nessa recta. 0or exemplo tomamos o eixox

como osy i e os

z i so

iguais a zero da formula de centro de massa conclu/mos que o centro de massa reside no eixox

.

Centro de massa de dois pontos.e$a dois pontos materiais cu$a dist-ncia entre eles se$ad

e

com massasm

1 em

2 .amos por a massam

1 na origem do eixo x de modo que a

massam

2 fica na parte positiva desse mesmo eixo. Os pontos iro ter coordenadasx

1=0

e

x2=d

respectivamente e logo o seu centro de massaxcm=

m2

d

(m1+m

2)


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