Livro de Problemas Bené

7/25/2019 Livro de Problemas Ben

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NOTAS DE AULARESOLUO DE PROBLEMAS

Benedito Tadeu Vasconcelos Freire


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NOTAS DE AULAS COMPL EMENTARES - SEDIS. UFRN

WW W.SEDIS.UFRN.BR

Notas de Aulas complementares para os alunos do Curso de Especializao em Ensino de Matemtica para oEnsino Mdio, realizado de janeiro a dezembro de 2015.

Primeira Verso, Setembro de 2015


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Contedo

1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 ESTRATGIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.0.1 Antes de fazer, tente entender! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.0.2 A busca do plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Procure semelhanas com outros problemas. 82.1.1 Aplicao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Comear pelo fcil torna fcil o difcil 102.3 Experimente, procure algo que seja invariante 102.3.1 Aplicao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Faa um desenho e, dependendo da situao, pinte s cores. 12

2.5 Modifique o enunciado, para ver se lhe ocorre um caminho possvel 142.5.1 Aplicao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Reduo ao Absurdo. 16

2.7 Suponha o problema resolvido (ou olhe de trs para diante) 172.7.1 Aplicao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Problemas Diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1 Legenda 31

5 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


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1. Introduo

Da prtica da nossa convivncia com os estudantes, verificamos que a maioria deles no tem facilidadepara resolver problemas. Estas notas pretendem mostrar algumas idias que podero apontar ao estudantecaminhos facilitadores no sentido de tornar a atividade de resoluo de problemas menos rida.

Para resolver problemas de forma clara, o estudante tem que comunicar suas idias de maneira coerente,com organizao e com argumentos estruturados, permitindo a ele prprio e aos outros o entendimento fcil

de seus argumentos e a intrepretao perfeita de suas idias.

A Matemtica a linguagem apropriada para a resoluo de problemas nas diversas reas do conheci-mento, por ser concisa, ter muitos recursos e no permitir ambiguidades.

Galileu Galilei1 foi quem introduziu a matemtica como linguagem da cincia.

Como um reconhecimento por suas qualidades indispensveis formao do cidado, a Matemtica anica disciplina que estudada em todos os pases do mundo e em todos os nveis educacionais.

De acordo com Paul Halmos2 ,o corao da matemtica so seus prprios problemas. "A maior parte de

1GALILEU GALILEIGalileu Galilei (1564 -1642 ), italiano, foi um fsico, matemtico, astrnomo e filsofo. Galileu Galilei foi

personalidade fundamental na revoluo cientfica. Foi o mais velho dos sete filhos do msico italiano, alaudista, Vincenzo Galilei e deGiulia Ammannati. Viveu a maior parte de sua vida em Pisa e em Florena, na poca integrantes do Gro-Ducado da Toscana.Galileu Galilei desenvolveu os primeiros estudos sistemticos do movimento uniformemente acelerado e do movimento do pndulo.Descobriu a lei dos corpos, enunciou o princpio da inrcia e o conceito de referencial inercial, idias precursoras da mecnicanewtoniana. Galileu melhorou significativamente o telescpio refrator e com ele descobriu as manchas solares, as montanhas da Lua,as fases de Vnus, quatro dos satlites de Jpiter, os anis de Saturno, as estrelas da Via Lctea. Estas descobertas contriburamdecisivamente na defesa do heliocentrismo. Contudo a principal contribuio de Galileu foi para o mtodo cientfico, pois a cinciaassentava numa metodologia aristotlica.O fsico desenvolveu ainda vrios instrumentos como a balana hidrosttica, um tipo de compasso geomtrico que permitia medirngulos e reas, o termmetro de Galileu e o precursor do relgio de pndulo. O mtodo emprico, defendido por Galileu, constituium corte com o mtodo aristotlico mais abstrato utilizado nessa poca, devido a isto Galileu considerado como o "pai da cinciamoderna". Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/GalileuGalilei. Acessado em 17/03/2014.

2PAUL HALMOS- (1916 - 2006) foi um matemtico estadunidense nascido na Hungria, que fez avanos fundamentais nas reasde Lgica Matemtica, Teoria da Probabilidade, Estatstica, Teoria dos Operadores, Teoria Ergdica e Anlise Funcional (em especial,nos espaos de Hilbert ). Ele tambm foi reconhecido como um grande expositor da matemtica.Halmos chegou em os EUA aos 13 anos de idade, mas nunca perdeu seu sotaque hngaro. Halmos obteve seu Bacharelado naUniversidade de Illinois, graduando em filosofia e especializando-se em matemtica. Ele levou apenas trs anos para obter o grau, etinha apenas19anos quando se formou. Comeou um doutorado (Ph.D.) na filosofia, mas, passou para a matemtica, graduando-se em


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6 Captulo 1. Introduo

cada vida significativa passada com a soluo de problemas; uma parte considervel da vida profissional detcnicos, engenheiros, cientistas, etc., vivida na busca de soluo de problemas de matemtica. dever detodos os professores e dos professores de matemtica em particular, expor seus alunos para problemas muitomais do que aos fatos", disse ele.

O uso da Matemtica com linguagem exige um conhecimento mnimo para poder ser utilizada. Por isso,o estudante necessita de situaes que permitam exercitar essa linguagem, e uma delas so os empregos dosmtodos de resoluo de problema.

Uma referncia no estudo da arte de resolver problema so os trabalhos do professor Polya 3

Para oportunizar a resoluo de problemas, apresentamos no texto problemas de Olimpada de Matem-tica de vrios pases, por serem intrigantes, criativos e desafiadores. comum uma diferenciao entre problemaeexerccio, veja, por exemplo em [6], pgina x. O exercciouma questo que testa o domnio do estudante numa tcnica que est sendo focada ou que foi recentementecoberta. Exercciospodem ser difceis ou fceis, mas, de uma maneira geral, eles nunca so intrigantes, enormalmente fica claro como proceder no sentido de como encontrar a soluo. Por outro lado, um problema

uma questo que no pode ser respondida imediatamente.Problemasso muitas vezes abertos, paradoxais,s vezes indecifrveis e exigem investigao antes que se pode chegar a uma soluo.

Esperamos que os estudantes possam apreciar as idias que permitem a resoluo dos problemas aquiapresentados.

Todos os erros e equvocos so de nossa responsabilidade. Receberemos com alegria comentriosapontando eventuais erros, como tambm formas de melhorar o texto.

Natal, setembro de 2015Benedito Tadeu Vasconcelos Freire

[email protected]

1938sob a orientao do Professor Joseph L. Doob, com a dissertao intitulada: A Invariantes de Certas Transformaes Estocsticos:A Teoria Matemtica de Sistemas de Jogos.Pouco depois de sua formatura, Halmos foi para o Instituto de Estudos Avanados. Seis meses depois, ele estava trabalhando com Johnvon Neumann, que se revelou uma experincia decisiva. Na sua permanencia no Instituto de Estudos Avanados, Halmos escreveu seuprimeiro livro, Espaos Vetoriais de Dimenses Infinitas, que imediatamente estabeleceu sua reputao como um excelente expositor damatemtica.Halmos ensinou na Universidade de Syracuse , na Universidade de Chicago (1946-1960), na Universidade de Michigan, na Universidadeda Califrnia, em Santa Barbara (1976-1978), na Universidade do Hava, e na Universidade de Indiana, onde se aposentou. Desdesua aposentadoria, em1985, at sua morte, ele era ligado ao departamento de Matemtica da Universidade de Santa Clara. Fonte:http://en.wikipedia.org/wiki/PaulHalmos.Acessadoem17/03/2014.

3GEORG POLYA - George Plya (1887 1985) hngaro, professor de matemtica de 1914 a 1940 no Instituto Federal de

Tecnologia de Zurique, na Sua, de 1940 a 1953 na Stanford University, nos Estados Unidos. Plya permaneceu como ProfessorEmrito da Stanford o resto de sua vida e carreira. Ele trabalhou em uma variedade de tpicos matemticos, incluindo sries, teoria dosnmeros, anlise matemtica, geometria, lgebra, combinatria e probabilidade.No incio de sua carreira, Plya escreveu com Gbor Szeg, matemtico hngaro famoso, dois influentes livros de problemas: Problemase Teoremas em Anlise (I: Srie, Clculo Integral, Teoria das Funes e II, Teoria das Funes, Zeros de polinmios, Determinantes,Teoria dos Nmeros ,Geometria.....). Mais tarde, ele se dedicou ao estudo da Heurstica, um mtodo ou processo criado com o objetivode encontrar solues para um problema, para identificar mtodos sistemticos de resoluo de problemas a uma maior descoberta einveno em matemtica para os estudantes, professores e pesquisadores. Ele escreveu cinco livros sobre o assunto: How to Solve it,traduzido para o portugus como A Arte de Resolver Problema, Matemtica e Raciocnio Plausvel (Volume I: Induo e Analogia emMatemtica, e Volume II: Padres de Plausvel Inference) e descoberta matemtica: Na compreenso, aprendizado e ensino ProblemSolving (volumes 1 e 2).Em How to Solve It, Plya fornece sugestes heursticas para resolver uma gama de problemas, incluindo os problemas matemticos eos no-matemticos. O livro inclui conselhos para ensinar os alunos de matemtica e uma mini-enciclopdia de termos heursticos. Foitraduzido para vrias lnguas e j vendeu mais de um milho de cpias. O fsico russo Zhores I. Alfyorov, (Prmio Nobel em 2000),elogiou, lembrando que ele era um f. O livro ainda usado em educao matemtica.Alm de suas obras que abordam diretamente a resoluo de problemas, Plya escreveu outro livro chamado Mtodos Matemticos emCincias, com base em um trabalho de 1963 apoiado pela National Science Foundation, editado por Leon Bowden, e publicado pelaAssociao Matemtica da Amrica (MAA), em 1977. FONTE: htt p://en.wikipedia.org/wiki/GeorgePolya.


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2. ESTRATGIAS

J clssica e bem conhecida, a formulao que fez Polya das quatro etapas essenciais para a resoluo deum problema, que constituem o ponto de partida de todos os estudos posteriores:

Antes de fazer, tente entender Traar um plano para resolv-lo Colocar o plano em prtica

Comprovar os resultados

No que se segue, vamos desenvolver estas etapas, exercitando a resoluo de problemas.

2.0.1 Antes de fazer, tente entender!Quando algum lhe prope um problema, um jogo, um quebra-cabea, inicialmente, assegure-se que entendeua fundo os dados do problema, as regras do jogo e o possvel lugar que tem cada uma dessas informaes,como elas se encaixam umas com as outras. Para resolver um problema, imprescindvel que voc conheao que dadoe, exatamente, o que o problema pede.Faa a si mesmo as seguintes perguntas:

Qual a incgnita? Quais so as quantidades dadas? Quais so as condies dadas? O que o problema pede?Asoluodo problema consiste em ligar, por passos lgicos,os dados do problemaao que nele se

pede.

R Asoluodo problema consiste em ligar, por passos lgicos, os dados do problema ao que nele sepede.

2.0.2 A busca do planoUma das tcnicas de criatividade, chamadatempestade de idias (em ingls brainstorming), geralmente feitaem grupo, revela que a quantidade gera a qualidade. O mtodo foi popularizado nos anos de 1930 peloamericano Alex Faicney Osborn. A fase em que voc procura um plano capaz de levar a soluo de um

problema uma situao parecida com a tempestade de idia, s que exercida muitas vezes solitariamentepor voc. Esta fase do processo de resoluo do problema aquela em que deve nascer da sua cabea

muitas idias, mesmo que possam parecer totalmente incuas.Durante este processo, nenhuma idia deve ser descartada ou julgada como errada ou absurda. As vezes, as


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8 Captulo 2. ESTRATGIAS

idias em que voc menos aposta podem se revelar as mais apropriadas. Por isso, anote todas as suas idias.Se voc j tem algumas estratgias possveis para atacar o problema, a tarefa a seguir meditar sobreas suas idias e deixar que o seu subconsciente trabalhe, a seu gosto, esse amontoado de idias que voc

preparou para ele. aconselhvel que voc faa uma lista das melhores idias, a princpio sem mistur-las.Explore cada idia da lista com deciso e confiana, de forma ordenada, em paz, sem precipitaes.Se, ao colocar em prtica uma idia, lhe ocorrer outra, totalmente desligada da primeira, e que voc avaliaque pode lhe ajudar, no v desprez-la. Coloque-a na sua lista. Mas, tambm no desvie sua ateno daque agora est explorando.Um ponto importante que deve sempre ser lembrado: voc no pode desistir facilmente. Por outro lado,no deve teimar demais s com uma idia. Se as coisas complicarem demais, haver provavelmente outrocaminho. Um caminho que foi muito usado na histria de matemtica foi o da tentativa e erro, tentativa eerro, tentativa e erro, voc no pode esquecer este fato.

Ao concluir sua resoluo, voc precisa ter certeza disso. Reveja sua soluo com cuidado.Uma verdade: as meias idias e as meias solues de pouco servem! preciso certificar de que, realmente, voc chegou soluo.Se voc conseguir resolver o problema, timo.Se trabalhou horas a fio e no conseguiu vislumbrar uma soluo, no se preocupe. Muitas vezes se aprende

profundamente com os problemas que se tenta, com interesse, determinao e persistncia ...... e no seconsegue resolver, do que com os que se resolve primeira vista.Um conselho deve ser lembrado: mais importante a qualidade do que a quantidade. No se apresse emdemasia. Ao concluir a soluo de um problema, preciso que voc reflita sobre o processo, para que tenhauma idia das dificuldades, dos becos sem sadas em que se meteu e, principalmente, como deve proceder no

futuro para resolver melhor outros problemas, parecidos ou no.Uma reflexo sobe o nosso prprio processo de pensamento interessante na medida em que podemostirar bons proveitos para o futuro. Cada um tem seu prprio estilo de conhecimento. Visual ou analtico?

Depende muito da expresso verbal ou da forma escrita? Tem tendncia para o compromisso com idianica, sem flexibilidade? Tem tendncia a pensar em crculo obsessivamente? Como se pode fomentar o

fluxo de idias novas, variadas, originais? Reflexes como essas ajudam, a saber, que tipo de problemasvoc pode se ocupar com sucesso e em quais deles sua probabilidade de xito no to grande.

2.1 Procure semelhanas com outros problemas.Como no h nada de novo debaixo do cu, conveniente procurar semelhanas do problema dado comoutros que voc j conhece.Pergunte a si mesmo:o que que esse problema me faz lembrar?Se seu problema for genrico, tente primeiro alguns casos particulares. Caso o problema envolva a geometriatridimensional, voc poder tentar primeiro um problema bidimensional anlogo.

2.1.1 Aplicao 1Problema 2.1.1 -Resolva a equaox45x2 + 6=0.Soluo

Se a equao dada parece difcil, troque x2 por t, obtendo a equao

t25t+ 6=0 (),

que mais fcil de resolver. Assim, as solues da equao (*) sot=2et=3, o que implica x2 =2oux2 =3. Portanto, as solues da equao dada so:2e 3.Problema 2.1.2 -Numa caixa retangular fechada, veja Figura a seguir, no vrticeAtemos uma formiga eno vrticeBtemos outra formiga. A formiga na posioAquer encontrar a formiga na posioB.

Qual o caminho mais curto sobre a caixa, ligando A at B?

Soluo


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2.1 Procure semelhanas com outros problemas. 9

O que que esse problema me faz lembrar?Se a questo fosse num retngulo, figura plana, em vez de uma caixa retangular, figura tridimensional,a questo seria resolvida simplesmente procurando o menor caminho sobre o plano ligando dois pontos,que sabemos ser um segmento de reta. O que temos que fazer tornar a caixa tridimensional um objetobidimensional. Como fazer isso? Abrindo a caixa, marcando os dois pontos e traando o segmento de retaligando os pontos A e B, veja figura a seguir.

Depois disso, recompomos a caixa, mostrando o menor caminho ligando os pontosAeB, veja figura aseguir.

Problema 2.1.3 -Qual a soma dosntermos da sries 7 + 77 + 777 + 7777 + ?Soluo

Se em vez de7 + 77 + 777 + 7777 +

tivssemos

9 + 99 + 999 + 9999 + ?

Neste caso, reescreveramos a sries como:

9 + 99 + 999 + 9999 + = (101) + (1001) + (10001) + (100001) + =

= (10 + 100 + 1000 + 10000 + )nAs potncias de10formam uma progresso geomtrica de n termos cuja soma igual a 10

n+1109 . Assim,

9 + 99 + 999 + 9999 + =

= (101) + (1001) + (10001) + (100001) + =10n+1

109 n.

Agora, observe que para encontrar a soma pedida, basta observar que7 igual a 79 de9, o que implica quea soma pedida igual a

7 + 77 + 777 + 7777 + =7(1 + 11 + 111 + 1111 + ) = 799(1 + 11 + 111 + 1111 + ) =

=79

(9 + 99 + 999 + 9999 + ) =

10n+1109

n

= 781

(10n+19n10).

Problema 2.1.4 -Numa sala de aula existem25alunos sentados em5filas com5lugares em cada fila. Umdia o professor pede aos alunos para mudar os lugares como segue:

cada aluno deve mover um assento para a frente ou para trs ou um assento esquerda ou direita -movimento em diagonal no permitido. possvel que todos os 25 alunos sigam estas instrues?Soluo

A abordagem tradicional tentar vrios movimentos. Isso geralmente no resolve o problem e causacerta frustrao. A idia aqui resolver um problema anlogo mais simples. Assim, faa um desenho dasala e numere os assentos, veja figura a seguir.

Agora, observe que, dos nmeros inteiros de1a25, temos13nmeros mpares e somente12nmerospares. Com os movimentos permitidos, cada aluno passa de uma cadeira de nmero mpar para uma cadeirade nmero par, e vice-versa. Como a quantidade de nmeros pares difere da quantidade de nmeros mpares,

vai haver um aluno que que no pode se movimentar.Portanto, impossvel que todos os25alunos sigam as instrues do professor.


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2.2 Comear pelo fcil torna fcil o difcilTalvez o problema seja complicado porque h muitos elementos. Tente tornar o problema mais fcil. Cons-trua um, menos complicado, com menos dados. Talvez essa situao venha lhe revelar algo que facilite asoluo do problema mais complexo.

Problema 2.2.1 -(BW - 2005) possvel encontrar2014nmeros inteiros positivos distintos, cada umdeles um quadrado perfeito, tal que a soma seja tambm um quadrado perfeito?Soluo

A resposta sim.Se o problema fosse encontrar dois nmeros inteiros positivos quadrados perfeitos cuja soma fosse umquadrado perfeito, usaramos o teorema de Pitgoras:

32 + 42 =52.

Agora, vamos ver que esta situao mais simples nos revela uma sada par o problema mais complexo. Defato, multiplique cada lado da ltima igualdade por52, obtendo

32.52 + 42.52 =52.52

e substitua52 na primeira parcela do lado esquerdo por32 + 42. Assim, obtemos

32(32 + 42) + 4252 =52 32.32 + 32.42 + 42.52 =52.52.

Novamente, multiplicando cada lado da ltima igualdade por52, obtemos

32.32.52 + 32.42.52 + 42.52.52 =52.52.52

e usando na primeira parcela esquerda a substituio de52 por32 + 42, obtemos:

32.32.32 + 32.32.42 + 32.42.52 + 42.52.52 =52.52.52.

Continuando esse processo, encontraremos2014nmeros inteiros positivos distintos, que so quadradosperfeitos, tal que a soma seja tambm um quadrado perfeito.

2.3 Experimente, procure algo que seja invarianteMuita matemtica foi feita por tentativa, errando, corrigindo, aperfeioando, avanando.As vezes pode ser vantajoso introduzir no problema algo novo, um auxlio extra, para que facilite voc napercepo entre o que foi dado e o que foi pedido.

2.3.1 Aplicao 2

Problema 2.3.1 -Tem-se quarenta e trs pedaos de palitos, cujos comprimentos so1,2,3, ,42,43centmetros, respectivamente.Diga, justificando, se possvel formar um quadrado usando todos estes pedaos, sem quebrar qualquer umdeles, nem sobrepor dois ou mais deles.E se em vez de um quadrado for um retngulo?Soluo

Aqui conveniente observar que

1 + 2 + 3 + + 42 + 43=43 (43 + 1)2

=4322=946.

Se fosse possvel formar um quadrado, de lado medindox, usando todos estes pedaos, sem quebrar qualquer

um deles, nem sobrepor dois ou mais deles, teramos necessariamente que o permetro do quadrado seriaigual a946. Ou seja,4x=946, o que impossvel, poisxtem de ser um nmero inteiro e o nmero946no


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2.3 Experimente, procure algo que seja invariante 11

divisvel por4.Se em vez de um quadrado for um retngulo, com lados medindo aebcentmetros, teramos o permetrodo retngulo como sendo igual a2a + 2b=946, ou seja a + b=473. Neste caso, a resposta sim. Se osquatro lados do retngulo medem a,a,b,b, poderamos tomar:

a=1 + 2; e a=3, e

b= (4 + 43) + (6 + 41) + (8 + 39) + (10 + 37) + + (19 + 29) + (20 + 27) + (22 + 25)e

b= (5 + 42) + (7 + 40) + (9 + 38) + (11 + 36) + + (19 + 28) + (21 + 26) + (23 + 24).Problema 2.3.2 -Um tabuleiro 1010 pode ser coberto por 25 domins de dimenses 14?Soluo

Aqui o invariante mais bvio a rea, que infelizmente no ajuda na soluo do problema. Por outrolado, podemos escrever um nmero em cada um dos100quadrados unitrios do tabuleiro com a propriedadeque, no importa como ns colocamos um dos domins cobrindo4quadrados, a soma dos nmeros emquatro quadrados coberto seja igual a zero; no entanto, a soma de todos os100nmeros em todo o tabuleirono zero. Ento, obviamente, a cobertura impossvel.

Como associar os nmeros aos quadrados unitrios do tabuleiro do modo com prevemos acima?

Defina os valores an, para n=1,2,3, ,9,10, da seguinte maneira:a1=1 a2=1 a3=1 a4= 3 a5=1 a6=1 a7=1 a8= 3 a9=1 a10=1

Nesta sequncia, qualquer bloco consecutivo de quatro termos tem soma igual a0, mas a soma de todos osdez no 0. Agora, escrevemos no quadrado unitrio do tabuleiro que est na linhame colunano nmeroaman, que nos sugere uma pintura para o tabuleiro usando trs cores distintas, veja figura a seguir.

Problema 2.3.3 -(AUMO - 1978) Trs mquinas caa-nqueis imprimem pares de inteiros positivos emcartes. As mquinas caa-nqueis trabalham da seguinte maneira. A primeira mquina caa-nquel depoisde ler um carto(a,b)imprime um novo carto(a + 1,b + 1); a segunda mquina caa nquel depois deler um carto(a,b)imprime um novo carto( a2 ,

b2 ). Esta mquina s funciona se os nmerosaebforem

pares. A terceira mquina caa-nquel, depois de ler dois cartes(a,b)e (b,c)imprime um novo carto(a,c). Alm disso, as mquina caa-nquel devolvem todos os cartes lidos. possvel comear com um carto(4,18)e chegar num carto(1,100)?Soluo

A resposta no.Para qualquer carto(a,b)chameD(a,b)a diferenaab. SejaSa coleo de todos os cartes obtidos apartir do carto(4,18)por meio de operaes consecutivas das mquinas caa-niquel.Vamos mostrar queD(a,b) divisvel por7, para cada (a,b) S. Isto , o resto da diviso deD(a,b)por7 um invariante.Para mostrar isso, vamos usar induo sobre o nmero de sucessivos usos das mquinas.Observe queD(4,18) = 418 =14. Logo, o resto da diviso deD(4,18)por7 zero:14 = (2)7+0.Vamos supor que depois donsimo uso das mquinas tenhamos um carto(a,b), com o resto da divisode D(a,b)por7igual a zero.Vamos considerar o(n + 1)simo uso das mquinas caa-niquel. Existem trs casos possveis:

Usando a primeira mquina, depois de colocar o carto(a,b), obtemos o carto (a + 1,b + 1). Nestecaso, D(a + 1,b + 1) = (a + 1) (b + 1) =ab, que, por hiptese de induo, divisvel por7;

Usando a segunda mquina, depois de colocar o carto(a,b), obtemos o carto( a2 ,b2 ). Neste caso,D( a2 ,

b2 ) =

a2 b2 ) = 12 (ab), que, por hiptese de induo, divisvel por7.

Usando a terceira mquina, depois de colocar os cartes(a,b)e(c,d), obtemos o carto(a,c). Neste

caso,D(a,c) =ac=ab + bc= (ab) + (bc), que, por hiptese de induo, divisvel por7, por ser soma de dois nmeros mltiplos de7.


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Assim, em todos os trs casos, o resto da diviso de D(a,b)por7no novo carto nulo. O mesmo verdade para o caso do carto obtido a partir de (4, 18) nas trs mquinas caa-niquel. Mas, D(1,100) =1100= 99= (15)7 + 6. Portanto,D(1,100)deixa resto6na diviso por7, consequentemente no possivel obter o carto(1,100)a partir do carto(4,18).

2.4 Faa um desenho e, dependendo da situao, pinte s cores.Muitos de ns pensamos melhor com um desenho, esquema, imagem, do que com palavras. Diz o ditadopopular: uma imagem vale mais do que mil palavras.Logo, sempre que puder, faa um esquema auxiliar, um desenho, pinte s cores. Essas atitudes, quase semprerevelam caminhos surpreendentemente elegantes e fceis de comprovar.

Problema 2.4.1 -Considere um tabuleiro de xadrez88e32domins de dimenso21. Os dominspodem ser arranjados sobre o tabuleiro de modo a cobri-lo inteiramente, cada domin cobrindo perfeitamentedois quadrados unitrios. Dois quadrados unitrios, situados nos cantos do tabuleiro, so retirados, vejaFigura a seguir.

Diga, justificando, se 31 domins cobrem completamente o tabuleiro reduzido.Soluo

A resposta no.A idia aqui pintar o tabuleiros de modo que as casas fiquem alternadamente pretas e brancas, veja figuraa seguir.

Observe que os dois quadrados situados nos cantos do tabuleiro possuem a mesma cor e que cada dominpor inteiro cobre sempre uma casa de cada cor, independente de como voc o coloca sobre o tabuleiro nahorizontal ou vertical. Assim, se a cobertura fosse possvel deveramos ter no tabuleiro a mesma quantidadede casas de cada cor, o que no ocorre com a retirada de duas casas de mesma cor.Portanto,31domins no cobriro completamente o tabuleiro reduzido.

Problema 2.4.2 -O rei, pea do jogo de xadrez, se movimenta uma nica casa em todas as direes. Pode

o rei, comeando do quadrado mais abaixo, esquerda, ir at o quadrado mais acima direita, visitandocada uma das casas restantes do tabuleiro exatamente uma nica vez?


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2.4 Faa um desenho e, dependendo da situao, pinte s cores. 13

Soluo

A resposta no.Pinte as casas do tabuleiro alternadamente pretas e brancas. Agora, basta observar que o rei vai de umacasa de uma cor para a casa de cor oposta. omo o rei tem que fazer63movimentos, o ltimo ir deix-loem uma casa da cor oposta a cor da primeira casa. Mas, a priemira casa e a ltima possuem a mesma cor,o que uma contradio. Portanto, o rei no pode, comeando do quadrado mais abaixo, esquerda, irat o quadrado mais acima direita, visitando cada uma das casas restantes do tabuleiro exatamente umanica vez.Problema 2.4.3 -Bolas de tnis de mesmo raiorso hermeticamente embaladas em latas cilndricas com3bolas, onde elas apenas tocam a lata na superfcie lateral, no topo e no fundo.Qual maior: a altura da lata embalagem ou a medida da circunferncia de cada bola?Soluo

A resposta : a medida da circunferncia de cada bola.Faamos um desenho da situao.

Observe que a altura da lata igual a3d, onded o dimetro da circunferncia de cada bola. A medida dacircunferncia de cada bola igual2r=2d2 = d>3d, pois =3,14 >3.Problema 2.4.4 -(BW - 2003) Diga, justificando, se possvel escolher1000pontos do plano de tal modoque no mnimo 6000 distncias entre dois deles sejam iguais.Soluo

A resposta sim.Comece com uma configurao de4pontos e5distncias, veja figura a seguir.

Agora tome a figura acima e mais duas cpias congruentes a ela, obtidas por movimentos paralelos (e nocoincidentes), veja figuta a seguir.

Neste caso, tem-se34=12pontos e35 + 12=27distncias. Agora junte mais trs cpias da figuraacima, obtendo:

312=36pontos e327 + 36=117distancias.Agora, forme uma figura com9figuras congruentes a figura inicial, obtidas dela por movimentos paralelos(e no coincidentes). Desse modo, temos

336=108pontos e3117 + 108=459distancias.Procedendo desta maneira, sempre juntando mais3cpias da figura inicial, vamos obtendo gradativamente:

3108=324pontos e3459 + 324=1701distancias.

3324=972pontos e31701 + 972=6075distancias.Problema 2.4.5 -Numa sala quadrada de dimenses 1313 retira-se o quadrado unitrio central. possvel ladrilhar o restante da sala usando ladrilhos retangulares de dimenses 1 4 ou 41?Soluo

No.Pinte os quadrados do assoalho de preto e branco no padro seguinte. Na primeira linha acima, pinte depreto os dois quadrados mais esquerdal, pinte de branco os dois seguintes (da esquerda para direita), osdois prximos pinte de preto, os dois prximos de branco, e assim por diante, de modo que na extremidadedireita fique um nico quadrado preto. Na segunda linha, pinte a linha de forma alternada com a pintura da

primeira linha: dois quadrados brancos, dois quadrados pretos e assim por diante. Numerando as linhas de1a13, temos que todas as linhas mpar so pintadas de forma idntica que a pintura da primeira linha e

todas as linhas numeradas com nmeros pares so pintadas de forma idntica que a pintura da linha denmero2, veja figura a seguir.


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Observe que existem mais quadrados unitrios pretos do que quadrados brancos. Por outro lado, cadaladrilho41, no importa como seja colocado, cobre precisamente dois quadrados unitrios pretos e doisbrancos. Assim, se um ladrilhamento deixar um nico quadrado descoberto, este quadrado tem de ser preto.

Mas, o quadrado central branco. Portanto, tal ladrilhamento impossvel.

2.5 Modifique o enunciado, para ver se lhe ocorre um caminho possvel2.5.1 Aplicao 3

Quando o problema parecer difcil demais, modifique o enunciado, transforme o problema em outro, istopode levar a um caminho que lhe mostre a sada.Problema 2.5.1 -Calcule o valor da expressoE= (tan15o).(tan30o).(tan45o).(tan60o).(tan75o).

Soluo

A idia aqui bservar que se x +y=90o, ento

tan(x +y) = tan x + tany1 tanx. tan y =tan 90

o = .

Ou seja,1 tanx. tan y =0, que o mesmo quetan x. tany =1, ou ainda

tanx = 1tan y

= 1

tan(90ox)=cot(90ox)

Logo, temos quetan75o =cot(90o

75o) =cot15o;

tan60o =cot(90o60o) =cot30o.Portanto,

E= (tan15o).(tan30o).(tan45o).(tan60o).(tan75o) =

= (tan15o).(cot15o).(tan30o).(cot30o).(tan45o) =1.1.1=1.

Problema 2.5.2 -(BW 2004) Escreve-se em cada uma das seis faces de um cubo um nmero inteiro positivo.Para cada vrtice do cubo, calcula-se o produto dos nmeros nas trs faces adjacentes a ele. A soma dessesprodutos igual a 1001Qual a soma dos seis nmeros escritos nas faces do cubo?Soluo

Em vez de tomar aleatoriamente os seis nmeros escritos nas faces do cubo, vamos considerar osnmeros dois a dois, escritos nas faces opostas. Assim, sejam a1,a2,b1,b2,c1,c2os nmeros escritos nas


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2.5 Modifique o enunciado, para ver se lhe ocorre um caminho possvel 15

faces dos cubos de tal maneira quea1,a2esto escritos em faces opostas,b1,b2nmeros ecritos em facesopostas e c1,c2nmeros escritos em faces opostas. Agora, a soma dos oito produtos:

a1.a2+ a1.b1+ a1.b2+ a1.c1+ + c1.c2=1001.

Por outro lado,

a1.a2+ a1.b1+ a1.b2+ a1.c1+ + c1.c2= (a1+ a2).(b1+ b2).(c1+ c2) =

=1001=7.11.13

. Portanto, a soma dos oito nmeros escritos nas faces do cubo igual a:

(a1+ a2) + (b1+ b2) + (c1+ c2) =7 + 11 + 13=31.

Problema 2.5.3 -(BW 2001) Pintam-se ou de vermelho ou de verde2001pontos distintos sobre um crculo.Em cada etapa, todos os pontos so simultaneamente pintados novamente da maneira seguinte:se dois pontos so vizinhos imediatos de um pontoPe possuem a mesma cor que P, ento a cor dePno se

altera, caso contrrioPmuda de cor.Comeando com a primeira pinturaF1, obtemos as pinturasF2,f3, , depois de aplicar vrias etapas depinturas.Prove que existe um nmeron0 1000tal queFn0= Fn0+2. Isto verdade se o nmero1000for substitudopelo nmero 999?Soluo

A resposta no.Vamos denotar os pontos sobre o crculo por1,2,3, ,2001, de tal modo que os pontosi,jsejam vizinhosse |ij| =1ou {i,j} = {1,2001}.Vamos dizer quekpontos formam um segmento monocromtico de comprimentokse os pontos so consecu-tivos sobre o crculo e se eles possuem a mesma cor.Para uma pinturaF, chamamos ded(F)o comprimento mximo de um segmento monocromtico. Observequed(F)>1, para todon, pois2001 mpar. Sed(F) =2001, ento todos os pontos possuem a mesma cor,

portanto, F1=F2=F3= e, neste caso, podemos escolher n0=1.Seja1


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Qual a razo das reas dos dois quadrados?Soluo

Podemos resolver o problema usando a noo de simetria. Se voc gira o quadrado menor por umngulo de450, seus vrtices iro coincidir com os pontos de tangncia do crculo e do quadrado maior.Portanto, fcil ver, que o quadrado menor possui a metade da rea do quadrado maior.

Problema 2.5.5 -(CMO 1978) Eve e Odette disputam um jogo num tabuleiro33, com peas brancas epeas pretas. As regras so as seguntes:I - Elas jogam alternadamente;II - Uma jogada consiste em colocar uma pea numa casa do tabuleiro ainda no ocupadadaIII - Na sua vez de jogar, uma jogadora pode escolher ou uma pea branca ou uma pea preta e no precisausar sempre a mesma cor;IV - Quando o tabuleiro est totalmente preenchido pelas peas, Eves obtm um ponto para toda linha,coluna ou diagonal que possuir um nmero par de peas pretas, e Odette obtm um ponto para toda linha,

coluna ou diagonal que possuir um nmero mpar de peas pretas;V - A jogadora que obtiver no mnimo cinco dos oito pontos VENCE.Descreva uma estratgia vencedora para a garota que comea o jogo.Soluo

Vamos supor que Eve comea o jogo.Eve coloca uma pea preta na casa central do tabuleiro, ela existe pois no tabuleiro temos9casas. A partirda, sempre que Odette jogar, Eve joga com uma pea da cor oposta a de Odette na casa simtrica, emrelao a casa central, daquela que Odette jogou. Por este procedimento, Eve obtm um ponto para todalinha, coluna e diagonal que passem pelo centro. Alm disso, pelo menos uma das linhas ou colunas que

passam pelo centro tem 2 peas pretas, da Eves vence o jogo.Chamando deBuma pea branca ePuma pea preta, no fianl do jogo o tabuleiro ter a seguinte aparncia:

P 1 BPP 2 B

Exatamente um das casas1e2possui uma pea preta, e a linha dela possui um nmero par de peas pretas.

2.6 Reduo ao Absurdo.Um raciocnio muito empregado na resoluo de problemas aquele que comumente se chama de mtodopor reduo ao absurdo ou mtodo indireto.Como que funciona?Se voc pretende mostrar que uma afirmaoAimplica numa afirmaoB, comece supondo que isto no

acontece. Ou seja, queA no implica em B. Fazendo dedues e raciocnios corretos, voc chegar concluso de que uma afirmao, que voc sabe que correta, no se realiza. Ou seja, voc chegar a umacontradio. Portanto, A implica em B.

Problema 2.6.1 -Demonstrar que o nmero

2 irracional.Soluo

Suponha o contrrio. Isto ,

2no um nmero irracional. Isto significa dizer que

2= mn, ondem,n Z, comn =0. Sem perda de generalidade, vamos supor que os nmerosmensejam relativamente

primo. Ou seja,MDC(m,n) =1. Elevando ao quadrado ambos os membros de

2= mn, obtemos2= m2

n2,

que o mesmo que dizer quem2 =2n2 ().

Assim,m2 par e, logo,m par. Desse modo, m=2k, onde k Z. Substituindo esse valor demem (*),obtemos quen2 par, o que implica quen par. Assim, conclumos quem par en par. Uma contradio,


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2.7 Suponha o problema resolvido (ou olhe de trs para diante) 17

pois tnhamos suposto MDC(m,n).=1. Portanto, o nmero

2 irracional.

Problema 2.6.2 -(BW - 2001) Escrevem-se os nmeros 1,2,3, ,49nas casas de um tabuleiro7 7,sendo um nmero em cada casa e calcula-se a soma dos nmeros em cada linha e cada coluna. Algumasdessas14somas so mpares enquanto as outras so pares. SejaAa soma de todas as somas mpares eBasoma de todas as somas pares. possvel colocar os nmeros nas casas do tabuleiro de modo que A=B?Soluo

A resposta no.Se isto fosse possvel, teramos2 (1 + 2 + 3 + 4 + + 49) =A +B=2B. Mas,B um nmero par, pois a soma de nmeros pares. Por outro lado, 1 + 2 + 3 + 4 + + 49=2549, que um nmero mpar.Contradio. Portanto impossvel colocar os nmeros nas casas do tabuleiro de modo que A=B.

Problema 2.6.3 - (TT - 1984) temos2000mas em vrias bolsas. Podemos remover bolsas e/ou removermas das bolsas.Prove que possvel ter um nmero igual de mas em cada uma das bolsas restantes, sendo o total de masno menor do que 100.

Soluo

Suponha o contrrio. Assim, o nmero total de bolsas restantes no mais do que99, caso contrrio,poderamos deixar1ma em cada uma das100bolsas e remover as restantes. Alm disso, o total de bolsascom no mnimo duas mas no mais do que49, o total de bolsas com no mnimo trs mas no maisdo que33, etc. Portanto, o total de mas no maior do que 99 + 49 + 33 + . Existem94termos depoisdos cinco primeiros termos , cada um deles sendo menor do que ou igual a 16. Agora

99 + 49 + 33 + 24 + 19 + 9416=17283. Sabe-se que para um certo inteiro positivono nmero pn possui 20 dgitos, quando escrito na base 10.Prove que dentre esses dgitos existem no mnimo trs iguais.Soluo

Suponha o contrrio. Isto , dentre os20dgitos do nmeropn no existem trs iguais. Isto significa queum dos dgitos0,1,2,3 ,9 usado na representao decimal de pn exatamente duas vezes. Assim, a somados dgitos de pn igual a

2 (0 + 1 + 2 + + 9) =90.Logo,pn divisvel por3. Mas, isso uma contradio, pois p um primo maior do que3, o que implicaque pn no pode ser divisvel por3. Portanto, dentre es dgitos de pn existem no mnimo trs iguais.

2.7 Suponha o problema resolvido (ou olhe de trs para diante)Uma ttica que pode ser utilizada em jogos ou problemas em que se tem de construir alguma figura, suporo problema resolvido. Ento voc poder reverter seus passos e, portanto, construir uma soluo para o

problema original.

2.7.1 Aplicao 4Problema 2.7.1 -Dois amigos,AeBse divertem com o seguinte jogo, em que jogam alternadamente. Oprimeiro a jogar,A, escolhe um inteiro qualquer de1a11, inclusive, e comunica ao segundo jogador,B, asua escolha e este soma-o qualquer nmero de 1 a 11, inclusive, por ele escolhido, falando o resultado ao

primeiro jogador, que o soma qualquer nmero escolhido de1a11, e assim eles vo jogando, alternada-mente, at que um deles obtenha o nmero 56, vencendo o jogo.


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Quem vence:AouB? Qual a estratgia para vencer?Soluo

O jogador A, que comea, vence.

Na sua penltima jogada, o jogadorAtem de deixar paraBuma soma menor do que5611=45, paragarantir que Bno possa atingir o nmero 56. Assim, ele deixa a soma igual a 44. Na sua jogadaimediatamente anterior ele deixa para o jogadorBuma soma menor do que4411=33, para garantirque o jogadorBno possa atingir44. Desse modo, as jogadas vencedoras deAso de tal maneira que ostotais atingidos por eles sejam:8,20,32,44e56.Problema 2.7.2 -Dois amigos,AeB, disputam seguinte jogo, em que jogam alternadamente, usando ummonte com27de caroos de feijo. O jogador Acomea. Uma jogada consiste em retirar1,2,3ou4caroosdo monte. O jogo termina quando todos caroos forem removidos. O vencedor aquele que possuir umnmero par de caroos quando todos os caroos tiverem sido retirados.Quem vence:AouB? Qual a estratgia vencedora?Soluo

(Soluo por David Angell, University of New South Wales, Australia. Fonte: [1]Descreva a posio do jogo num momento qualquer por um par:

(n,I), se existem no monte n caroos de feijo e se o jogador que vai fazer seu movimento possui umnmero mpar de caroos ou

(n,P)se existem no monte n caroos de feijo e se o jogador que vai fazer seu movimento possui umnmero par de caroos.

Dizemos que uma posio umaposio vencedorase o jogador que tem a vez de jogar pode garantir quevai vencer, no importando como o outro jogue. Assim, temos:

(1,I) uma posio vencedora, porque o jogador que vai fazer seu movimento retira o ltimo carooe fica com um nmero par deles.

(1,P) uma posio perdedora, pois o jogador que vai fazer seu movimento retira o ltimo caroo efica com um nmero mpar deles.

(2,I) uma posio vencedora, porque retirando um caroo fica com um nmero par deles e deixa ooponente na posio (1,P), que uma posio perdedora..

(2,P) uma posio vencedora, pois o jogador que vai fazer seu movimento retira os dois ltimoscaroos e termina com um nmero par deles.

Por razes anlogas,(3,I),(3,P),(4,I)e(4,P)so posies vencedoras. Por exemplo, na posio(3,P) o oponente possui um nmero par de caroos, retirando dois caroos coloca o oponente naposio(1,P), que, como vimos acima, uma posio perdedora.

(5,I) uma posio perdedora, pois o oponente possui um nmero mpar de caroos, pois qualquermovimento deixa-o em uma das posies(4,I)ou(3,I)ou(2,I)ou(1,I).

(5,P) uma posio vencedora, porque retirando 4 caroos coloca o oponente na posio perdedora

(1,P). (6,I) uma posio perdedora porque o oponente possui um nmero par de caroos, e qualquermovimento leva-o para uma das posies vencedoras(5,P)ou(4,P)ou(3,P)ou(2,P).

(6,P) uma posio vencedora, pois retirando 1 caroo coloca o oponente na posio perdedora(5,I). Se voc continuar com esse raciocnio, vai descobrir que agora a situao se repete: as posiesvencedoras e perdedoras parancaroos so as mesmas que para n6caroos. Por exemplo, sen=7, ento(n,I)vence e(n,P)perde, mesmo paran=1; sen=8, ento ambas as posies (n,I)e(n,P)vencem; o mesmo para n=2, e assim por diante.

Portanto, paran=27, comeando com um nmero par de caroos (0 um nmero par) essencialmente omesmo que a posio(3,P)e o primeiro jogador vence retirando dois caroos.

A estratgia vencedora simplesmente seguir a tabela de instrues dada abaixo. Como existem realmentesomente doze posies de(1,I)a(6,P), e trs delas so posies perdedoras, segue que no importa como

voc jogue, existem nove posies vencedoras para memorizar. Essas posies vencedoras esto na tabelaabaixo, onde n(mod6)significa o resto quando n dividido por6.


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2.7 Suponha o problema resolvido (ou olhe de trs para diante) 19

n(mod6) 0 1 2 3 4 5n Impar nenhum 1(2) 1 3(4) 3 nenhum

n Par 1 nenhum 2(3) 2 4 4


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3. Problemas Diversos

Problema 3.0.1 -(AMO) Comeando com um hexgono regular, uma forma geomtrica gerada emestgios. Na Fase 1, h um hexgono. Cercando-o completamente, adicionando um hexgono regularcongruente ao incial, para cada lado dele exposto, temos que na Fase 2, existem 7 hexgonos no total.Cercando completamente a nova forma pela adio de um hexgono regular, congruentes aos outros, paracada lado exposto, temos que na Fase 3 existem um total de 19 hexgonos, veja Figura a seguir.

Encontre uma frmula para o nmero total de hexgono em Fase n.Soluo

No hexagono inicial, traamos as trs maiores diagonais e as prolongamos. Elas cortam a figura em6partes congruentes, veja Figura a seguir.

Agora, omitindo o hexgono central, observa-se que a quantidae de hexgonoem cada parte congruente eem cada estgio:

1,

12

+ 1 +12

,3,

12

+ 3 +12

,5,

12

+ 5 +12

,7,

Isto , a quantidae de hexgonoem cada parte congruente e em cada estgio:

1,2,3,4,5,6,7, ,n1 (depois de n estagios)Portanto, se Tn o nmero de hexgonos no estgio n, temos que

Tn=6[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + (n1)] + 1=6n(n1)2 + 1=3n(n1) + 1=3n23n + 1.

Problema 3.0.2 -(CM,37: No5September 2011) Juliette e Philippe disputam um jogo em que fazem seusmovimentos alternadamente. No incio do jogo, cada vrtice de um quadrado coberto por um nmero defichas. Um movimento consiste em cada jogador escolher um lado do quadrado e retirar de suas extremidadestantas fichas quanto ele desejar, desde que ele retire pelo menos uma. No necessrio retirar o mesmonmero de fichas de cada extremidade. O jogador que retirar a ltima ficha vence o jogo. No incio do jogo,

existem 10 fichas no vrticeA, 11 fichas no vrticeB, 12 fichas no vrticeCe 13 fichas no vrticeD.Se Juliette comea, qual a sua estratgia para vencer?


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22 Captulo 3. Problemas Diversos

Soluo

Sejama,b,cedo nmero de fichas nos vrticesA,B,CeD, respectivamente. A estratgia de Juliette

fazer seus movimentos para ter a =c e b=d.Se na sua vez de jogar, Philippe recebe um quadrado com a=ceb=d, ento ele retira no mnimo umaficha, e no pode retirar fichas de ambos os extremos de uma diagonal. Portanto, ele sempre passa paraJuliette um quadrado coma =ceb =d. Se Juliette recebe um quadradoa =ceb =d, ento para cadadiagonal ela deve escolher a extremidade com maior nmero de fichas. Nesse caso, ela deve escolher o ladoque liga essas duas extremidades e retirar fichas at que a=ceb=d. Assim, ela sempre pode aplicar essaestratgia e obter a=c=0e b=d, vencendo o jogo.Problema 3.0.3 -(OMM -2003) Tem-se cartes sobre uma mesa de modo que em cada um deles estescrito um par de nmeros inteiros positivos. Existe exatamente um carto para cada par de nmeros inteiros,(a,b), com1 a1.Sedno um nmero primo, ento ele possui algum divisor, k, menor do que ele, de modo que o cartocom o par(1,k)ainda pode ser retirado. Contradio, pois o prximo movimento perdedor.

Logo,d um nmero primo e todo carto com um par(a,b), comddividindoabdeve ter j sido retirado.Existem2002pares da forma(a,d), pois, pela hiptese do problema,apode ser qualquer um dos nmeros1,2,3,...,2003excetod. De maneira anloga, existem 2002 pares da forma (a,2d), com2d2003. Agora,observe que, deste modo, contamos duas vez o par(d,2d). Logo,dtem de ser escolhido de modo que2d


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Fibonacci.Isto fcil de ver para os casos den =1,2 e para um retngulo2 n, onde os dois quadrados maisa direita pertencem a um domin vertical ou deixam um retngulo de dimenso 2 (n 1)ser pintadoarbitrriamente, ou dois domins ocupam quadradados adjacentes, deixando um retngulo de dimenso2

(n

2)ser pintado livremente. Portanto, o nmero de pinturas possveis o nmero de Fibonacci.Deste modo, o nmero de pinturas de um tabuleiro de dimenso28 34, e o nmero possvel de pares detais pinturas igual a342 =1156, que a resposta ao problema.Problema 3.0.5 -(HMITMT - 2002) Sem levar em considerao a ordem das parcelas, de quantas maneiraspodemos expressar 2002 como soma de 3 inteiros positivos?(Consideramos 2 + 1000 + 1000 e 1000 + 2 + 1000 como sendo a mesma forma de expressar2002comosoma de 3 inteiros positivos)Soluo

Sejama,bec trs nmeros positivos para os quais a + b + c=2002. Para facilitar o entendimentoe evitar redundancia, vamos supor que a b c. Observe que, para cada escolha deaeb, existe umanica escolha parac, poisc=2002 (a + b). Agora, vamos contar todas as possibilidades paraa e bconsiderando dois casos:

Caso1 O nmero a par.Caso2 O nmero a mpar.Suponha que o nmeroado terno procurado seja um nmero par. Neste caso, para cada valor dea, teramosb=c= 2002a2 , que um nmero inteiro. Com isso, teramosa +

2002a2 +

2002a2 =2002, satisfazendo ao

problema. Observe que, parab= 2002a2 a, segue que2002a 2a, que o mesmo quea 667. Comoa um nmero par, temos2 a 666.Para cada valor de a, existem( 2002a2 a + 1)valores parab. Ou seja, para cada valor dea, existem2002a2a+2

2 =1002 3a2 valores para b.Agora, sea =2, temos1002 322 =999 valores para b. Sea =4, temos2002 342 =996 valoresparab. Sea =6, temos2002 362 =993valores parab, e assim por diante ata =666, que nos d2002 36662 =3valores parab. Para calcular a quantidade de todos os nmerosa,b,cpossveis, quandoa um nmero par, somamos os nmeros obtidos anteriormente, que formam uma progresso aritmtica. Isto, a quantidade de valores possveis para os ternos de nmeroa,b,c, comapar, satisfazendo ao problema igual a:999 + 996 + 993 + ...+ 3= 999+32 333=501333=166833.Sejaaum nmero mpar. Neste caso, para cada valor dea, existem[ (2002(a+1)2 a + 1] = [ (2002a12a+22 ]=[ 20003(a1)2 ] =1000 [ 3(a1)2 ]possveis valores para o nmero b.Como dado o nmeroa, tem-se: b= 2002(a+1)2 a, segue que2002 (a + 1) a, que o mesmo quea 667. Como a um nmero mpar positivo, temos1 a 667.

Agora, sea =1, temos que existem1000 3(11)2 =1000valores possveis para b. Sea =3, existem1000 3(31)2 =997valores possveis parab. Sea=5, existem1000 3(51)2 =994valores possveisparab, e assim por diante ata =667, que nos d1000 3(6671)2 =1 valor possvel parab. Paracalcular a quantidade de todos os nmeros a,b,c possveis, quando a um nmero mpar, somamosos nmeros obtidos anteriormente, que formam uma progresso aritmtica. Isto , a quantidade de

valores possveis para os ternos de nmero a,b,c, com a mpar, satisfazendo ao problema igual a:1000 + 997 + 994 + ...+ 1= (1000+12 334=1001167=167167.Portanto, existem 166833 + 167167= 334000 possveis arranjos dos nmeros inteiros positivos a,b,csatisfazendo ao problema.Problema 3.0.6 -(TT - 2012) Um tesouro est enterrado num tabuleiro de xadrez88. Em cada uma dascasas do tabuleiro existe enterrado uma mensagem que indica o nmero mnimo de passos que se necessitapara chegar a casa do tesouro. Necessita-se de um passo para se mover de uma casa para a casa vizinha, que uma que tem um lado comum com a casa de partida.Determine o nmero mnimo de casas que se deve escavar para chegar com certeza ao tesouro.Soluo

Se escolhemos uma casa qualquer para escavar, no h nenhuma garantia de que o tesouro esteja l.

Se a mensagem retirada diz que o tesouro est num outro quadrado, no possvel determinar a exatalocalizao dele fazendo uma s escavao. Vamos provar que, para encontrar o tesouro, temos que escavar


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duas casas.Numeramos as linhas do tabuleiro88, de baixo para cima, de1a8e as colunas, da esquerda para adireita, de1a8. Assim, cada casa do tabuleiro perfeitamente identificada por um par de nmeros(b,c),veja figura a seguir.

Escavamos as casas (1,1) e (8,1). Sejam a e b, respectivamente, os nmeros que encontramos apsescavarmos as duas casas. Cada um desses nmeros representa o comprimento do caminho mnimo quedevemos fazer da casa escavada at o tesouro. Podemos imaginar, sem perda de generalidade, que o caminhomnimo realiza primeiro todos os movimentos verticais necessrios em seguida e, aps isso, os movimentoshorizontais at atingir o tesouro.Vamos supor que o tesouro esteja na casa (i,j)do tabuleiro. Os caminhos mnimos para se atingir o tesouro,a partir das casas escavadas, so de dois tipos:Tipo(I)- aquele que comea na casa (1,1), vai at a casa(1,j)e da at a casa(i,j).Tipo(II)- aquele que comea na casa (8,1), vai at a casa(8,j)e da at a casa(i,j).Deste modo, sejam V1eH1a quantidade de movimentos verticais e horizontais, respectivamente, a partir dacasa(1,1)at chegar ao tesouro eV2eH2a quantidade de movimentosos verticais e horizntias a partir da

casa(8,1)at chegar ao tesouro. Desse modo, temos que: V1+H1=aV2+H2=b

Pelo que indicamos acima, os movimentos horizontais dos dois caminhos so os mesmos, i. e. H1=H2, e adiferena | ab | igual a diferena entre os comprimentos dos movimentos verticais dos dois caminhos.

Alm disso, a soma dos comprimentos dos dois movimentos verticais igual a V1+V2=7.Portanto, supondo a b, teremos um sistema de equaes lineares22:

V1V2=abV1+V2=b

.

Este sistema tem soluo nica, o que determina exatamente a posio do tesouro.Para ilustrar, considere o tabuleiro a seguir com o nmero obtido com a escavao em cada casa e o localdo tesouro.

Quando escavamos a casa(1,1)obtemos o nmeroa=9. Isto , o caminho mnimo de(1,1)at o tesourotem comprimento9. Quando escavamos a casa(8,1)obtemos o nmerob=8. Ou seja, o caminho mnimode(8,1)at o tesouro tem comprimento8.Para se mover da casa (1,1) at o tesouro, casa (5,6), temos que fazer um movimento vertical at acasa(5,1)e de l fazemos um movimento horizontal at a casa(5,6). Alm disso, a diferena98=1.

Logo, temos que encontrar dois nmeros cuja soma seja7 e cuja diferena seja1. Os nicos nmerosque satisfazem so3 e 4. Portanto, de (1,1)temos que descer3 casas e, de (8,1), mover para cima 4casas. Como o comprimento do caminho mnimo de (1,1)at o tesouro 9, temos que andar5 casashorizontalmente. Portanto, o tesouro est na casa(5,6).Problema 3.0.7 -(LMO - 1987) Num tabuleiro88comum, com as casas pintadas alternadamente depreto e branco, um movimento permitido trocar de posio quaisquer duas linhas ou colunas.Aplicando uma sequncia de tais movimentos, possvel obter um tabuleiro onde a metade esquerda sejatotalmente formada por casas pretas e a metade direita seja formada inteiramente por casas brancas?Soluo

Observe que, em qualquer movimento permitido, no se altera o nmero de quadrados pretos numacoluna do tabuleiro, que inicialmente quatro. Logo, nunca obteremos uma coluna consistindo de oitoquadrados pretos. Portanto, impossvel obter um tabuleiro onde a metade esquerda seja totalmente

formada por casas pretas e a metade direita seja formada inteiramente por casas brancas.

Problema 3.0.8 -(OIM - 2000) Um mgico tem cem cartes numerados de 1 a 100. Ele coloca os cartesem trs caixas, uma vermelha, uma branca, uma azul, de tal modo que cada caixa contm no mnimo umcarto. Uma pessoa da platia escolhe duas dessas caixas e retira cartes de cada uma delas. Em seguida,

revela a soma dos nmeros daqueles cartes. Dada esta informao, o mgico localiza a caixa da qualnenhum carto foi retirado.


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25

De quantas maneiras o mgico pode repartir os cartes nas caixas de modo que ele possa sempre executarseu truqie com xito?(Duas maneiras de repartir os cartes so consideradas distintas se ao menos um carto colocado em duascaixas diferentes)Soluo

A resposta 12.Vamos chamar, respectivamente, de r,w,b as cores das caixas vermelha, branca, azul.Vamos dizer que a cor do nmeroiseja a da cor da caixa em que ele se encontra e todo nmero consideradoesteja no conjunto {1,2,3, ,100}.Para que o truque funcione, sempre quex +y =z + te os cartes de nmerosxeyestejam em casas distintas,ento ouz e testo nestas mesmas caixas ou ambos esto na caixa restante. Isso significa dizaer que,nenhum par de nmero de cores distintas tem a mesma soma que outros dois em caixas distintas.Consideramos dois casos:Caso1: Suponhamos que existe uma caixa tal que os cartes numerados com i, i + 1, i + 2so de coresdistintas, digamos vermelho(r), branco(w), azul(b), respectivamente.Questo: Em que caixa est o carto de nmero i + 3?Est na caixa vermelha. De fato, como i

r

+ (i + 3) ?

= (i + 1) w

+ (i + 2) b

, para que o truque funcione,(i + 3)

tem de ser vermelho(r).De modo anlogo, como (i + 4)

?

+ (i + 1) w

= (i + 3) r

+ (i + 2) b

, para que o truque funcione, segue que(i + 4)

branco(w). Do mesmo modo, como (i1) ?

+ (i + 2) b

= (i)r

+ (i + 1) w

, segue que(i1) branco(w)

Com isso, conclumos que trs cores vizinha distintas determinam a cor do prximo nmero. Alm disso,este processo se repete: rwb seguido porr,w,be assim por diante. Este processo tambm funcionainversamente: rwb precedido por b, e assim por diante.

Logo, suficiente definir as cores dos cartes numerados com1,2,3, que pode ser feito de6modos distin-tos. Todos esses arranjos so tais que as somas dos nmeros vermelhos e azuis, dos nmeros brancos eazuis, e dos nmeros vermelhos e azuis, so restos distintos mdulo3. Isto , a primeira caixa comtm oscarte de nmeros1,4,7, ,100, a segunda caixa contm os de nmeros2,5,8, ,98e a terceira contm3,6,9, ,99Caso2: Suponhamos que no existem trs cartes com nmeros consecutivos em caixas distintas. Sem perdade generalidade, suponhamos que o nmero1seja vermelho(r).

Agora, sejaio maior nmero que no vermelho. Vamos supor que iseja branco. Sejako menor nmeroazul. Como, por hiptese, no existe trs nmeros consecutivos de cores distintas,rwb, temos necessaria-mente que(i + 1)


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plano com coordenadas inteiras, possvel pintar de vermelho alguns destes pontos e os restantes de brancode tal forma que para qualquer reta Lparalela a um dos eixos coordenados, o nmero de pontos vermelhos eo nmero de pontos brancos sobre L diferem por no mximo 1.Soluo

A resposta sim.SejamP1,P2,P3, ,Pnpontos sobre uma retalparalela a um eixo, contados da esquerda para a direita e decima para baixo. Desenhamos segmentos juntandoP1aP2,P3aP4, . De um modo geral, traamos umsegmento juntando os pontosP2i1aP2i. Feito isso para toda dessas retasl, obtemos uma algumas linhas

poligonais. Se uma dessas poligonais fechada, significa que ela forma um poligono com um nmero par devrtices. Agora, pintamos os vrtices dessa poligonal alternadamente de vermelho e branco. Um ponto queno esteja sobre a poligonal pode ser pintado de forma arbitrria. A pintura obtida satisfaz ao problema.Problema 3.0.10 -(LMO - 1989) Dadas32pedras de pesos distintos, prove que 35pesagens num balanade dois pratos so suficiente para determinar quais so as duas pedras mais pesadas.Soluo

Inicialmente, dividimos as32pedras em16pares e, fazendo16pesagens, separamos o conjunto das

16pedras mais pesadas. Agora, dividimos as 16pedras mais pesadas em pares e, com8pesagens, deter-minamos as8mais pesadas dentre as16mais pesadas. Repetindo o processo, dividimos as8pedras maispesadas em pares e, com quatro pesagens, encontramos a4mais pesadas. Repetindo o processo, podemosdeterminar a mais pesada das pedras depois de 16 + 8 + 4 + 2 + 1=31pesagens.

Durante as pesagens, a segunda pedra com mais peso s poderia ser eliminada pela pedra mais pesada.Nesse momento, voc conhece a pedra mais pesada e as6mais pesadas. Agora, fique s com as 5maispesadas. Extraia as 5 pedras que foram pesadas contra a pedra mais pesada durante as pesagens. Nessemomento, fcil de encontrar a mais pesado dessas 5 pedras em apenas 4 pesagens sucessivas, fazendo a

pesagem duas a duas e eliminando a mais leve.

Problema 3.0.11 -(SAMO - 1996) Um polgono convexo possui2nlados. Prove que o polgono contmno mnimondiagonais que no so paralelas a qualquer um de seus lados.

Soluo

Como o polgono possui2nlados, ele possui 2n.(2n3)2 =n(2n3)diagonais. Agora, observe que, paracada lado, existem no mximo(n2)diagonais paralelas a ele. Deste modo, existem no mximo2n(n2)diagonais paralelas a algum lado. Portanto, existem no mnimo n(2n3)2n(n2) =ndiagonais queno so paralelas a qualquer lado.

Problema 3.0.12 -Na dcada de 1960, tinha um programa semanal de televiso muito popular nos EstadosUnidos chamado "Lets Make a Deal"("Vamos fazer um acordo"). A cada semana, em um determinadomomento no programa, o apresentador, Monty Hall, apresentava ao competidor trs portas fechadas.

Atrs de uma das portas, havia um prmio substancial (um carro) e atrs das outras, no havia nada substancial(vamos imaginar que tivesse um bode). O apresentador, Monty Hall, pedia que o participante escolhesse umadas porta. Claramente, a chance de o competidor escolher a porta com o prmio era de 1 em 3. Para causarimpacto aos telespectadores, em vez de simplesmente abrir a porta escolhida para revelar o que est por trs,o apresentador, Monty Hall, abria uma das duas portas que o competidor no tinha escolhido, revelando queela no escondia o prmio (e sim um bode).

claro que o apresentador sabia onde o prmio estava, por isso ele podia fazer isso. Ele ento oferecia aocompetidor a oportunidade de mudar sua escolha para a outra porta que, naquela momento, permaneciafechada.Qual a estratgia mais lgica, ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual dasduas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Por qu?

Soluo 1


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Existem trs portas: A, B e C. Quando o competidor escolheu uma delas, digamos a A, a chance deque ela seja a premiada de 1/3. Como conseqncia, a probabilidade de que tenha errado, ou em outras

palavras, de que o prmio esteja nas outras duas portas B ou C de 2/3. Pode-se comprovar isso somando aprobabilidade de cada uma das outras portas ou simplesmente sabendo que a probabilidade de que haja umprmio sempre 1. O importante ter em mente que a chance de o prmio estar nas outras portas que eleno escolheu de 2/3. Entendendo isso, basta ver que o apresentador abrir sem erro uma dessas outrasduas portas que contm um bode, digamos que seja a B. Ao fazer isso, ele est dando uma informaovaliosa: se o prmio estava nas outras portas que no escolheu (B ou C), ento agora ele s pode estar na

porta que o compettidor no escolheu e no foi aberta, ou seja, a porta C. Ou seja, se o competidor errou aoescolher uma porta - e as chances disto so de 2/3 - ento ao abrir uma das outras portas no-premiadas oapresentador est lhe dizendo onde est o prmio. Toda vez que o competidor tiver escolhido inicialmenteuma porta errada, ao trocar de porta ir com certeza ganhar. Como as chances de que tenha errado em suaescolha inicial so de 2/3, se trocar suas chances de ganhar sero de 2/3 - e por conseguinte a chance deque ganhe se no trocar de porta de apenas 1/3. assim mais vantajoso trocar de porta.Soluo 2

Suponha que, em vez de3houvessem1000portas, numeradas de1a1000, e o competidor escolheu a

porta de nmero1000.

Todos as portas contm um bode, exceto uma, aquela que tem o carro.

Quando o competidor escolhe uma porta, em seguida, Monty Hall abre todas as outras portas, exceto uma...e d a oportunidade para o competidor mudar a escolha para a outra porta. Se fosse voc, mudaria?

possvel um pensamento do tipo "Escolhi a porta correta no meu primeiro palpite."Mas, qual a probabi-lidade de que isso fosse verdade? Resposta: 11000 ... H uma chance de999de que o carro no est atrsda porta que o competidor escolheu. E se o carro no est atrs da porta que o competidor escolheu,

ele deve estar por trs da ltima porta que Monty deixou sem abrir. Em outras palavras, Monty ajudou,deixando uma porta para que o competidor mude, que tem uma chance de 999de ter o carro por trs dela.Ento nesse caso, se voc mudar, voc teria uma chance de 9991000de ganhar o carro. Portanto, melhor mudar.

Problema 3.0.13 -Dois jogadores,AeB, disputam um jogo em que jogam alternadamente. Uma jogada deA escolher um ponto do plano, que no esteja pintado, e pint-lo de vermelho. Uma jogada de B escolher10pontos do plano, que no estejam pintados, e pint-los de verde. O jogador Avence se existem trs pontosvermelhos que sejam vrtices de um tringulo equiltero.O jogadorBpode impedir do jogadorAde vencer a partida?Soluo

A resposta no.O primeiro jogador,A, pode sempre vencer, no importa como o jogadorB jogue. Para isso, em suasnprimeiras jogadas ele escolhe pintar de vermelho pontos sobre uma mesma reta. Agora, observe que

para cada par destes n pontos existem dois pontos, um de cada lada da reta, que o segundo jogador,B, tem de pintar de verde, para evitar que o jogadorA vena. O nmeros de tais pontos igual a 2n

2

. Por outro lado, o jogadorBpode pintar no mximo10npontos de verde. Agora,2n2>10n, que

o mesmo quen(n1) > 10n. Ou seja,n1 > 10. Portanto, o primeiro jogador vence no seu12o movimento.

Problema 3.0.14 -Ana e Clia disputam o jogo seguinte, em que jogam alternadamente. Ana deve pintar,ou de azul ou de vermelho, cada ponto que esteja sobre um dado crculo. Clia deve escolher trs dos pontospintados de modo que eles determinem um tringulo cujas medidas de seus ngulos internos sejam 30, 50 e100 graus, respectivamente. Clia vence se esse tringulo possui os vrtices de mesma cor. Ana vence seClia no consegue fazer a escolha.Quem vence: Ana ou Clia?

Soluo


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Ana vence.Basta ela marcar6pontos sobre o crculo, de modo que este fique dividido em seis arcos de mesmo compri-mento. Agora ela pinta alternadamente de azul e vermelho cada um dos arcos, de forma consecutiva, tendoo cuidado de pintar em cada arco o ponto inicial da cor do arco, mas deixar o ponto final com a cor do

prximo arco. Quando Clia quiser escolher os vrtices de seu tringulo, os extremos do lado oposto aongulo de600, ela deve determinar um arco de600 sobre o crculo. Pela pintura feita, estes extremos devemnecessariamente possuir cores distintas.

Problema 3.0.15 -Numa caixa, temos25fichas iguais, numeradas de1at25. Voc pode retirar da caixauma ficha por vez, sem reposio, e pode continuar a retirar fichas at que o produto de dois nmeros deduas fichas retiradas seja um quadrado perfeito.Qual o nmero mnimo de fichas que voc deve retirar para ter certeza de obter um par de fichas cujoproduto um quadrado perfeito?Soluo

SejaS= {1,2,3,...,24,25}. Partimos o conjuntoSem subconjuntos disjuntos com as seguintes duaspropriedades:

(i) o produto de quaisquer dois elementos de um subconjunto um quadrado perfeito; (ii) o produtode quaisquer dois elementos escolhidos em subconjuntos distintos no um quadrado perfeito. Assim,escrevemos:

S= {1,4,9,16,25}{2,8,18}{3,12}{5,20}{6,24}{7}{10}

{11}{13}{14}{15}{17}{19}{21}{22}{23}.

Ou seja, partimos o conjuntoSem16subconjuntos disjuntos. Se escolhermos uma ficha de cada umdos subconjuntos no teremos obtido um par de fichas satisfazendo ao problema. Mas, com mais uma fichavamos obter um par de fichas cujo produto um quadrado perfeito. Portanto, a resposta 16 + 1=17.

Problema 3.0.16 -Dois jogadores, A e B, disputam um jogo, em que jogam alternadamente. Inicialmente,escreve-se no quadro-negro o nmero natural 2. Uma jogada consiste em somar ao ltimo nmero, n, noquadro-negro um divisor prprio de n. Quem atingir um nmero maior do que ou igual 2010 vence. O

jogador A comea o jogo.Quem vence, A ou B? Qual a estratgia para vencer?Soluo

O jogadorApossui uma estratgia vencedora.A estratgia do jogadorAconsiste em jogar deixando para seu adversrio sempre um nmero mpar. Observeque um divisor prprio de um nmero mpar no mximo um tero daquele nmero, pois o menor divisordeste nmero 3. Deste modo, o jogadorB s pode somar no mximo 13 do ltimo nmero escrito noquadro-negro.Toda vez que o jogadorBvai jogar, encontra um nmero mpar e soma a ele um divisor dele, que mpartambm, resultando sempre num nmero par. O jogador A por sua vez soma sempre um divisor de umnmero par. Assim, ele pode jogar a metade deste nmero e prossegue assim at obter pela primeira vez umnmero maior do que ou igual a1340. Uma vez obtido esse nmerox, o jogadorAsoma a ele sua metade,atingindo ento um nmero maior do que 2010. (Observe que: x+x2 2010x 1340).

Problema 3.0.17 - Dois jogadores, A e B, disputam o seguinte jogo, em que jogam alternadamente.Escrevem-se no quadro-negro uma sequncia de49nmeros inteiros consecutivos quaisquer. Uma jogadaconsiste em apagar um desses nmeros. No final, restam somente dois nmeros: aeb. O jogadorAganha se

MDC(a,b) =1 eBganha seMDC(a,b)>1. O jogadorAcomea o jogo.(a) Quem ganha:AouB? Qual a estratgia para vencer?(b) Se, em vez de49nmeros inteiros consecutivos fossem50, quem ganha:AouB? Qual a estratgia paravencer?

Soluo


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(a) O jogador A ganha.Como a quantidade de inteiros mpar, o jogador divide os49 primeiros nmeros em pares de inteirossucessivos, deixando o nmero final sozinho. Ele inicia apagando o nmero que ficou sozinho. Se o jogador

Bapaga qualquer nmero de um par, entoAapaga o outro. O que sobra no final um par (n,n + 1), comMDC(n,n + 1) =1.(b) O jogador B ganha.A estratgia do jogadorB apagar todos os nmeros mpares, deixando dois nmeros mpares mltiplos de3. Por sua vez, o jogador A sempre apaga um nmero par. Antes da penltima jogada restam quatro nmerosno quadro-negro: dois nmeros pares,p eq, e dois nmeros mpares,ie j. SeAapagar um nmero mpar,entoBapaga o outro nmero mpar, restando os dois nmeros pares. SeAapaga um dos nmeros pares,entoBapaga o outro nmero par, restandoie j, comMDC(i,j) 3.

Problema 3.0.18 -Todo membro de uma seqncia de nmeros, a partir do segundo, igual a soma dotermo precedente com a soma de seus dgitos. O primeiro nmero da seqncia 1.Diga, justificando, se o nmero 2010 pertence seqncia.Soluo

A resposta no.Seja(a1,a2,a3,a4, a seqncia de nmeros. Observe que:

a1=1,

a2=2=3.0 + 2,

a3=4=3.1 + 1,

a4=8=3.2 + 2,

a5=16=3.5 + 1,

a6=23=3.7 + 2,

a7=28=3.9 + 1,

Para cada inteirom, sejaS(m)a soma dos dgitos dem. Sabe-se que, na diviso por3,os nmerosmeS(m)deixam o mesmo resto. Observando os nmeros da seqncia encontrados acima, temos que os restos dadiviso por3dos termos da seqncia so alternadamente1e2. De fato, sean=3k+ 1, com k inteiro, entoan+1=an+ S(an) = (3k+ 1) + (3q + 1) =3j + 2, ondeqe jso nmeros inteiros inteiros.Sean= 3k+ 2, comk inteiro, entoan+1 = an+ S(an) = (3k+ 2) + (3q + 2) = 3j + 1, ondeq e jsonmeros inteiros.Deste modo, de fato o resto da diviso dos termos da seqncia por3 ou 1ou2. Mas,2010deixa restozero na diviso por 3. Portanto, 2010 no aparece na seqncia.

Problema 3.0.19 -(CRUX) No aniversrio de Maria, Jos quer dar-lhe um presente e, para isso, propeo jogo seguinte, no qual eles jogam alternadamente. Ele escreve no quadro-negro os nmeros inteiros0,1,2,3,4,....,255,256. Maria comea o jogo. Ela escolhe27 dos nmeros escritos e apaga-os. Jos escolhe26 nmeros dentre o que sobraram e apaga-os. Em seguida, Maria escolhe25 dentre os nmeros restantesa apaga-os. E eles prosseguem assim at que Jos escolhe20 =1nmero e apaga-o. Como so apagados27 + 26 + 25 + 24 + ....+ 21 + 20 =281=255nmeros, restam dois nmeros,aeb, no quadro-negro, Jospaga para Maria uma quantia, em reais, correspondente ao valor |ab|.Se os jogadores fazem sempre suas melhores jogadas, qual o maior valor que Maria tem certeza que ganha?Soluo

Maria ganha no mximo 24 ou 216 reais.A estratgia de Maria apagar sempre os nmeros que esto nas posies pares. Com isso, ela aumenta adistncia entre eles, aumentando o valor de |ab|. Depois das jogadas de nmeros1,2,3e4, a distnciaentre os nmeros vizinhos, que esto ainda escritos no quadro-negro, 2,4,6,8e16, respectivamente, o que

garante a Maria receber o mximo possvel, independente de como Jos joga.


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Problema 3.0.20 -(RP) Daniel tem uma balana de dois pratos e dez pedras cujos pesos so todos nmerosinteiros entre 1 at 10, inclusive. Ele quer colocar algumas pedras na balana de tal forma que os pratosfiquem equilibrados.(a) Determine qual o maior e o menor nmero de pedras que pode colocar. Justifique por que o maior emostre um exemplo.(b) Determine a maior quantidade de pedras que se pode colocar se em cada prato se deve haver a mesmaquantidade de pedras.Soluo

(a) impossvel colocar10pedras, pois1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10=55, que um nmerompar e no pode ser dividido como soma de dois inteiros iguais. Nove pedras podem ser usadas, bastaretirar uma pedra cujo peso um nmero mpar. Por exemplo, se retirarmos a pedra 1, podemos colocar numdos pratos as pedras 8 + 9 + 10=27 e no outro prato as pedras 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7=27.(b) O mximo possvel de pedras que podemos usar 8. Por exemplo, descartamos as pedras9e10e usamos1 + 4 + 5 + 8=18 num dos pratos e 2 + 3 + 6 + 7=18 no outro prato.

Problema 3.0.21 -(OMP) Um motorista planeja uma viagem que vai passar por um trecho de800km no

deserto, que no possui postos para abastecer. Ele sabe que seu carro s pode armazenar 50litros de gasolinae tem um rendimento de10km por litro. O motorista pode deixar gasolina armazenada em barris, no costadoda rodovia, em pontos distintos dessa regio desrtica. Por exemplo, com o tanque cheio com50litros degasolina ele pode percorrer100km, deixar armazenado30litros no ponto que chegou e voltar ao ponto departida para reabastecer o tanque de gasolina. O motorista decide realizar a viagem e chega ao primeiroposto antes do deserto com tanque vazio.Pode o motorista atravessar o deserto se neste primeiro posto de abastecimento antes do deserto a oferta totalde gasolina de 140 litros? E se fosse 180 litros?Soluo

Com a oferta de 140 litros no possvel o motorista atravessar o deserto.Para atravessar o deserto se necessita armazenar gasolina no quilmetro300ou mais adiante, caso contrrio,

se percorreria mais de500km sem abastecer, o que impossvel, pois a autonomia do carro de no mximo500km. Chamemos este ponto de depsito de combustvel deP. Para armazenar gasolina emPo moto-rista tem de percorrer pelo menos duas vezes a distncia do primeiro posto ao pontoP, que pelo menos2300km=600km. Como a distncia a ser percorrida de 800km, vemos que impossvel atravessar odeserto com uma oferta menor do que140litros. Por outro lado, no se pode atravessar o deserto com umaoferta exatamente igual a140litros, simplesmente porque impossvel armazenar gasolina emPe voltarcom esta quantidade.

Com 180 litros possvel atravessar o deserto seguindo o seguinte roteiro:(a) O motorista faz trs viagens para armazenar gasolina no pontoP, situado a50km da partida, armazenando40 litros em cada uma das viagens;(b) Aps estas trs viagens, abastece o tanque no primeiro posto com30litros, volta ao pontoP, chegandocom 25 litros;

(c) Do pontoP, avana duas vezes a um pontoQa100km dele, armazenando ali30litros em cada viagem;(d) De volta ao pontoPabastece com45litros que esto armazenados ali e segue at o pontoQcom35litrosde gasolina;(e) A partir deQ, chegando num pontoR, armazenando ali 20 litros de gasolina e volta ao ponto Q;(f) Abastece os45litros de gasolina restantes emQ, avana atR, chegando com30litros, abastece ali comos 20 litros existentes no local e completa a viagem.


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4. Legenda

4.1 Legenda AMO - Australian Mathematical Olympiad AUMO - All Union Mathematical (URRS) BW - Baltic Way Mathematical Contest CMO - Canadian Mathematical Olympiad CRUX - Crux Mathematicorum (Revista de resoluo de problemas - Canad) HMITMT - Havard-MIT Mathematics Tournaments IMO - International Mathematical Olympiad KMO - Kiev Math Olympiad LMO - Lenigrad Mathematical Olympiad OMM - Olimpiada Mexicana de Matemtica OMP - Olimpiada de Matemtica do Peru RP - Olimpiada Rioplatense de Matemtica SAMO - South African Mathematics Olympiad TT - Tournament of the Tows


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5. Bibliografia

1. ANGEL, D - http://math.stackexchange.com/questions/731193/how-to-win-this-game

2. EWING, J. - Paul Halmos: In his own words. Notice of AMS. Vol. 54 . Number 9. October 2007.

3. GUZMN, O. M. - Aventuras Matemticas. Gradiva. Lisboa. 1990.

4. MARTN, J. E. - Resolucion de Problemas Matemticos (Vol 3). Centro de Professores y Recursos.Salamanca. 1999. (Em PDF)

5. POSAMENTIER, A.S.; WOLFGANG, S - The Art of Problem Solving. Corwin Press. ThousandOaks. 1996.

6. POSAMENTIER, A.S. - The Art of Solving Problems. Vienna 2-06 (Em PPT)

7. POSAMENTIER, A.S. - Problem Solving in Mathematics - Grade 3-6 Powerful Strategies to Deeper.Corwin Press. Thousand Oaks. 2009.

8. ZEITZ, P. - The Art and Craft of Problem Solving. Second Edition. Wiley. Danvers. 2007

Livro de Problemas Bené

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