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Cap. 5 – Equacoes a Diferencas

Livro (e-book): Linearidade em Sinais e Sistemas,Ivanil S. Bonatti, Amauri Lopes, Pedro L. D. Peres,

Cristiano M. Agulhari,Ed. Blucher, SP, 2015, 1ed., ISBN: 9788521208921.

Prof. Pedro L. D. Peres

Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas

Prof. Pedro L. D. Peres Linearidade em Sinais e Sistemas 1/53


Equacoes a Diferencas

Definicao 1 (Equacoes a Diferencas)

Equacoes envolvendo sequencias enumeraveis e seus deslocamentos sao denominadasequacoes a diferencas.

Exemplo 1.1 (Filtro passa-alta)

y [n] =x[n]−x[n−1]

2, n ∈ Z

Para a entrada x[n] = (−1)n, a saıda e y [n] = (−1)n. Para x[n] = 1n, tem-se y [n] = 0.

Exemplo 1.2 (Filtro passa-baixa)

y [n] =x[n]+x[n−1]

2, n ∈ Z

Para x[n] = (−1)n, a saıda e y [n] = 0. Para x[n] = 1n, tem-se y [n] = 1n.



Exemplo

Exemplo 1.3

Populacao anual de peixes em um lago (em termos percentuais)

y [n+1]−ay [n](1−y [n]) = x[n] , 0≤ y [0] ≤ 1

sendo a um parametro real que representa as condicoes ambientais do lago.

Equacoes a diferencas lineares descrevem sistemas lineares, isto e, sistemas para osquais vale o princıpio da superposicao. Os sistemas descritos nos exemplos 1.1 e 1.2sao lineares, enquanto que o Exemplo 1.3 descreve um sistema nao-linear.

Equacoes a diferencas lineares com coeficientes constantes e condicoes iniciais nulasdescrevem sistemas lineares invariantes no tempo.



Exemplo – Somador

Exemplo 1.4 (Somador)

Para y [n] = ∑nk=−∞ x[k], a resposta ao impulso e

h[n] =n

∑k=−∞

δ [k] = u[n] =

1 , n ≥ 00 , n < 0

sendo u[n] a funcao degrau. Note que o somador pode ser descrito pela equacao adiferencas de primeira ordem

y [n+1] = y [n]+x[n+1] , y [0] = y0 condicao inicial

Utilizando o operador de deslocamento p, tem-se (p−1)y [n] = px[n].

Equacoes a diferencas lineares a coeficientes constantes podem ser resolvidas porsubstituicao sistematica, por meio da transformada Z ou pelo metodo dos coeficientesa determinar.



Exemplo 1.5A equacao homogenea a diferencas de primeira ordem

y [n+1] = ρy [n] , y [0] = 1, ρ ∈ R

pode ser resolvida por substituicao sistematica, resultando em y [n] = ρn

e vale para todo n, de −∞ a +∞. Observe que a sequencia y [n] nao possuitransformada Z, pois

Z y [n]=+∞

∑k=−∞

y [k]z−k =+∞

∑k=−∞

(ρ/z)k

nao converge para nenhum z . O artifıcio utilizado para resolver essa classe deequacoes a diferencas utilizando transformada Z consiste em alterar o problemaimpondo que y [n] = 0 para n < 0, e que y [n] satisfaz a equacao para n≥ 0. Dessaforma, Z y [n]u[n] existe e e dada por

Z y [n]u[n] =+∞

∑k=−∞

y [k]u[k]z−k =+∞

∑k=0

(ρ/z)k =z

z −ρ, |z |> |ρ|



Resolucao por Transformada ZTres propriedades da transformada Z sao relevantes para a resolucao das equacoes adiferencas lineares com coeficientes constantes.

Propriedade 1 (Deslocamento a Esquerda (avanco))

Z x[n+m]u[n]= zmZ x[n]u[n]−m−1

∑k=0

x[k]zm−k , m ∈ Z+

Exemplo 1.6

Para y [n] = y [n]u[n] e x[n] = x[n]u[n], tem-se

y [n+2]+α1y [n+1]+α0y [n] = β1x[n+1]+β0x[n]

z2Y (z)−z2y [0]−zy [1]+α1(zY (z)−zy [0])+α0Y (z) = β1(zX (z)−zx[0])+β0X (z)

(z2+α1z+α0)Y (z) = (β1z+β0)X (z)+(z2+α1z)y [0]+ zy [1]−β1zx[0]

A funcao de transferencia H(z) e dada por (y [0] = y [1] = 0 e x[0] = 0)

H(z) =Y (z)

X (z)=

β1z+β0

z2+α1z+α0



Combinatoria

Propriedade 2 (Combinatoria)

Z

(

n+mm

)

anu[n]

=zm+1

(z−a)m+1, m ∈ N , |z |> |a|

Exemplo 1.7

Z

nanu[n]

=z2

(z−a)2− z

z−a=

az

(z−a)2, |z |> |a|

pois

Z

(

n0

)

anu[n]

= Z anu[n]= z

z−a

Z

(

n+11

)

anu[n]

= Z (n+1)anu[n]= z2

(z−a)2



Exemplo 1.8

Z

n2anu[n]

=az2+a2z

(z−a)3, |z |> |a| pois

Z

(

n+22

)

anu[n]

= Z

(n+2)(n+1)

2anu[n]

=z3

(z−a)3



Propriedade 3 (Combinatoria com Deslocamento)

Z

(

nm

)

an−mu[n]

=z

(z−a)m+1, m ∈ N , |z |> |a|

O resultado pode ser demonstrado pela aplicacao da propriedade de deslocamento dem a direita na Propriedade 2 (implica na multiplicacao por z−m). Observe que

(

nm

)

u[n−m] =n(n−1) · · ·(n−m+1)

m!u[n−m] =

(

nm

)

u[n]

pois no numerador aparece a multiplicacao por zero sempre que n <m.

A propriedade e utilizada no calculo de transformada Z inversa a partir de fracoesparciais.



Exemplo 1.9 (Progressao geometrica)

y [n+1] = ρy [n], y [0] = 1 , ρ > 0

Multiplicando por u[n] e aplicando a transformada Z, tem-se

Z y [n+1]u[n]= ρZ y [n]u[n] ⇒ Y (z) =z

z−ρ

com domınio Ω = z ∈ C, |z |> ρ (serie a direita).

Fazendo a divisao de polinomios (algoritmo de Briot-Ruffini), obtem-se a serie

z

z−ρ= 1+ρz−1+ρ2z−2+ · · ·

Comparando-se com a definicao da transformada Z de ρnu[n], obtem-se

y [n] = Z−1

z

z−ρ

= ρnu[n]

O mesmo resultado poderia ser obtido pela aplicacao da Propriedade 3 (combinatoriacom deslocamento) para m = 0.



Exemplo 1.10 (Soma geometrica)

A soma geometrica y [n] = ∑nk=0 ρk , pode ser obtida pela resolucao da equacao a

diferencasy [n+1]−y [n] = ρn+1, y [0] = 1

Multiplicando por u[n] e aplicando a transformada Z

zY (z)−zy [0]−Y (z) =ρz

z−ρ

Para ρ 6= 1, tem-se

Y (z) =z2

(z−ρ)(z −1), |z |>max|ρ|,1

Y (z)

z=

z

(z−ρ)(z −1)=

a

z−ρ+

b

z−1

a=− ρ

1−ρ, b =

1

1−ρ



Exemplo 1.11 (Soma geometrica)

Usando a Propriedade 3 (combinatoria com deslocamento), tem-se

y [n] = aρnu[n]+bu[n] =1−ρn+1

1−ρu[n]

Esse resultado tambem pode ser obtido da definicao de y [n], observando-se que

y [n]−ρy [n] =n

∑k=0

ρk −ρn

∑k=0

ρk = 1−ρn+1 ⇒ y [n] =1−ρn+1

1−ρ

Para ρ = 1, tem-se

Y (z) =z2

(z−1)2⇒ Y (z)

z=

z

(z−1)2=

a

(z−1)+

b

(z−1)2⇒ a= 1 , b = 1

y [n] = (1+n)u[n] =n

∑k=0

1



Exemplo 1.12 (Soma aritmetica)

A soma aritmetica y [n] = ∑nk=0 k , pode ser obtida pela resolucao da equacao a

diferencas y [n+1]−y [n] = n+1, y [0] = 0.

Multiplicando por u[n], aplicando transformada Z e a Propriedade 2 com m = 1,tem-se

zY (z)−zy [0]−Y (z) = Z (n+1)u[n]= z2

(z−1)2

Y (z)

z=

z

(z−1)3=

a1z−1

+a2

(z−1)2+

a3(z−1)3

⇒ a1 = 0,a2 = 1,a3 = 1

Pela Propriedade 3,

y [n] =

(

n1

)

u[n]+

(

n2

)

u[n] =n(n+1)

2u[n]

Observe que esse resultado pode ser obtido somando-se membro a membro asequencia 0,1,2, . . . ,n nos sentidos direto e reverso e constatando-se que a somaconsiste de n+1 termos de valor constante n. Portanto a soma total produz2y [n] = n(n+1).



Exemplo 1.13 (Soma aritmetica-geometrica)

A soma aritmetica-geometrica y [n] = ∑nk=0 kρk , pode ser obtida pela resolucao da

equacao a diferencas y [n+1]−y [n] = (n+1)ρn+1, y [0] = 0 (multiplicando por u[n] eaplicando a transformada Z). Para ρ 6= 1, tem-se

zY (z)−zy [0]−Y (z) =ρz2

(z−ρ)2, Y (z) =

ρz2

(z−1)(z −ρ)2, |z |>max|ρ|,1

Y (z)

z=

ρz

(z−1)(z −ρ)2=

a

z−1+

b

z−ρ+

c

(z−ρ)2

cujos coeficientes sao a=ρ

(1−ρ)2, b =

−ρ

(1−ρ)2, c =

−ρ2

(1−ρ). Portanto,

y [n] = au[n]+bρnu[n]+ c

(

n1

)

ρn−1u[n] =(

a+bρn+ cnρn−1)

u[n]

=ρ

(1−ρ)2

(

1− (n+1)ρn+nρn+1)

u[n]

Para ρ = 1, o problema se reduz ao de soma aritmetica.



Exemplo – Sequencia de Fibonacci

Exemplo 1.14 (Sequencia de Fibonacci)

A sequencia de Fibonacci e uma sequencia de numeros inteiros em que cada elementoe obtido pela soma dos dois anteriores. A equacao descreve uma populacao de casaisde coelhos, composta de casais adultos e filhotes. Cada casal adulto gera um casal defilhotes todo mes, e o casal de filhotes torna-se fertil (adulto) com dois meses de vida.No mes n, a[n] e o numero de casais adultos e f [n] e o numero de casais de filhotescom um mes de vida. Supondo que nao ocorram mortes, tem-se

a[n+1] = a[n]+ f [n] , f [n+1] = a[n]

Denominando y [n] qualquer uma das variaveis de estado, obtem-se a equacao adiferencas

y [n+2] = y [n+1]+y [n] , y [0] = 0, y [1] = 1

Usando o operador p, tem-se

D(p)y [n] = (p2−p−1)y [n] = 0



Exemplo – Sequencia de Fibonacci

Exemplo 1.15 (Sequencia de Fibonacci)

sendo D(p) o polinomio caracterıstico da equacao a diferencas. Multiplicando por u[n]e aplicando a transformada Z, tem-se

z2(Y (z)−y [0]−y [1]z−1) = z(Y (z)−y [0])+Y (z) ⇒ Y (z) =z

z2−z −1

As raızes do denominador (ou seja, raızes de D(p) = 0) sao

λ1 =1+

√5

2≈ 1.618 , λ2 =

1−√5

2≈−0.618

Y (z)

z=

1

(z−λ1)(z−λ2)=

a1z−λ1

+a2

z −λ2

cujos coeficientes sao

a1 =1

λ1−λ2=

√5

5≈ 0.447 , a2 =

1

λ2−λ1=

−√5

5

resultando em y [n] =(

a1λn1 +a2λn

2

)

u[n] ≈ a1λn1 u[n] para n grande, pois |λ2|< 1



Curiosidades sobre a sequencia de FibonacciA raiz caracterıstica

ϕ =1+

√5

2≈ 1.618

chamada na literatura de razao aurea, possui varias interpretacoes interessantes,algumas de valor estetico. A Figura 1, composta por retangulos, foi construıda apartir do retangulo do canto superior esquerdo, de base 1 e altura ϕ. Copiando,rodando de 90 graus a direita, colocando ao lado do primeiro e completando, tem-seum retangulo de base 1+ϕ e altura ϕ. Observe que e preservada a relacao

ϕ

1=

1+ϕ

ϕ⇒ ϕ2 = ϕ +1

ou seja, ϕ satisfaz a equacao caracterıstica de Fibonacci.

Essa mesma relacao aparece em varias construcoes arquitetonicas, como por exemplona Grecia antiga. A Figura 1 mostra mais uma iteracao, resultando no retangulo debase 1+ϕ e altura 1+2ϕ, que preserva a relacao, pois

1+2ϕ

1+ϕ=

ϕ

1O processo pode ser repetido indefinidamente.



Curiosidades sobre a sequencia de Fibonacci

1

ϕ

Figura: Relacoes aureas em retangulos.Prof. Pedro L. D. Peres Linearidade em Sinais e Sistemas 18/53


Exemplo 1.16 (Tabela Price)

Determine o valor mensal da dıvida y [n] de um emprestimo inicial de valor M, compagamento mensal constante igual a γ e juros mensais percentuais α para que a dıvidaseja liquidada em m meses. Esse problema e conhecido como calculo da tabela Price.

y [n+1] = y [n](1+α)− γ , y [0] =M

zY (z)−zM = Y (z)(1+α)− γz

z −1

Y (z)

z=

zM−M− γ

(z − (1+α))(z −1)=

a1z− (1+α)

+a2

z−1

cujos coeficientes sao a1 = (Mα − γ)/α, a2 = γ/α. Portanto,y [n] = (a1(1+α)n+a2)u[n]. Observe que a dıvida permanece igual a M se apenas osjuros forem pagos todo mes, ou seja, Mα = γ (situacao ideal para o credor).Obviamente, a situacao ideal para o devedor seria M = 0. A solucao do problema, istoe, o valor de γ que produz y [m] = 0, e

γ =Mα(1+α)m

(1+α)m−1Para α = 0, por l’Hopital, obtem-se γ =M/m.



Exemplo 1.17

Considere a equacao a diferencas

y [n+2]−3y [n+1]+2y [n] = 1 y [0] = 0, y [1] = 0

Y (z)

z=

1

(z−1)2(z−2)=

1

z −2− 1

z−1− 1

(z−1)2

y [n] = (2n−1−n)u[n]



Exemplo 1.18 (Equacao a diferencas com N(p) 6= 1)


y [n+2]+5y [n+1]+6y [n] = 3x[n+1]+x[n] , y [0] = 1,y [1] = 2

Aplicando a transformada Z (para x[n] = x[n]u[n] e y [n] = y [n]u[n]), tem-se

(z2+5z+6)Y (z) = (3z+1)X (z)−3zx[0]+(z2 +5z)y [0]+ zy [1]

e, para x[n] = (−2)nu[n], substituindo-se as condicoes iniciais, tem-se

(z2+5z+6)Y (z) =(3z+1)z

z+2+ z2+4z ⇒ (3z+1)z

(z+2)2(z+3)+

z2+4z

(z+2)(z+3)

Decompondo Y (z)/z em fracoes parciais, tem-se

Y (z) =− 8z

z+3+

8z

z+2− 5z

(z+2)2− z

z+3+

2z

z+2

e, aplicando a transformada Z inversa e agrupando,

y [n] =(

−9(−3)n +10(−2)n−5n(−2)n−1)

u[n]



Note que a entrada x[n] poderia ser substituıda na equacao original, levando aequacao a diferencas

y [n+2]+5y [n+1]+6y [n] =−5(−2)n , y [0] = 1,y [1] = 2

Multiplicando por u[n] e aplicando a transformada Z, tem-se

(z2+5z+6)Y (z) =−5z

z+2+ z2+7z

Isolando Y (z) e decompondo Y (z)/z em fracoes parciais, chega-se ao mesmoresultado.



Exemplo 1.19 (Resposta ao impulso)

A resposta ao impulso do sistema (pressupoe condicoes iniciais nulas)

y [n+1]−ρy [n] = δ [n] ⇒ (p−ρ)y [n] = δ [n] , y [0] = 0

pode ser obtida pela transformada Z, isto e, obtem-se a funcao de transferencia

H(z) =1

z −ρ⇒ H(z)

z=

1

z(z−ρ)=

−1/ρ

z+

1/ρ

z−ρ

e a resposta ao impulso e dada pela transformada Z inversa de H(z)

h[n] = (−1/ρ)δ [n]+(1/ρ)ρnu[n] = ρn−1u[n−1]



Exemplo 1.20 (Resposta ao degrau)

A resposta ao degrau do sistema, para ρ 6= 1, (pressupoe condicoes iniciais nulas)

y [n+1]−ρy [n] = u[n] ⇒ (p−ρ)y [n] = u[n] , y [0] = 0

pode ser obtida pela transformada Z, isto e,

Y (z) =z

(z−ρ)(z−1)⇒ Y (z)

z=

1

(z−ρ)(z−1)=

a

(z−ρ)+

b

z−1

com −a = b = 11−ρ , e, portanto, y [n] = (1−ρn)/(1−ρ)u[n]. Note que, como

u[n] = ∑nk=−∞ δ [k], tem-se que a solucao y [n] e a soma ate n da resposta ao impulso

do Exercıcio 1.19, isto e,

y [n] =

(

n

∑k=−∞

ρk−1u[k−1]

)

u[n] =

(

n−1

∑ℓ=0

ρℓ

)

u[n] =1−ρn

1−ρu[n]

Alem disso, como δ [n] = u[n]−u[n−1] tem-se que a solucao do Exercıcio 1.19 podeser escrita como

h[n] = y [n]−y [n−1] = ρn−1u[n−1]



Resolucao pelo Metodo dos Coeficientes a Determinar

Equacoes a diferencas lineares com coeficientesconstantes podem ser resolvidas pelo metodo dos

coeficientes a determinar.



Equacao homogenea

Considere a equacao a diferencas homogenea

D(p)y [n] = 0 , D(p) =m

∑k=0

αkpk (1)

com αm = 1 e condicoes iniciais conhecidas, que descreve um sistema linear autonomo.

Observe que a equacao e uma restricao linear (combinacao linear das funcoes y [n],y [n+1], . . . , y [n+m]) e portanto a solucao y [n] deve necessariamente estar em umespaco de dimensao m.



Independencia Linear

Definicao 2 (Independencia Linear)

Um conjunto de sinais yk [n],k = 1, . . . ,m e linearmente independente se e somentese

m

∑k=1

ckyk [n] = 0 , ∀n ⇒ ck = 0 , k = 1, . . . ,m

Definicao 3 (Base)

A combinacao linear de um conjunto de m sinais yk [n], isto e,

y [n] =m

∑k=1

ckyk [n]

com escalares ck ∈ C gera um espaco linear, cuja dimensao e dada pelo numero r ≤mde sinais linearmente independentes. Qualquer conjunto de r sinais que gere o mesmoespaco e uma base para esse espaco.



Exemplo

Exemplo 1.21Os sinais

y1[n] = 1, y2[n] = n, y3[n] = n2

sao linearmente independentes. De fato,

c1y1[n]+c2y2[n]+c3y3[n] = 0 ⇒ c1 = c2 = c3 = 0, pois det

1 0 01 1 11 2 4

= 2 6= 0



Independencia Linear

Propriedade 4 (Independencia Linear)

y1[n] = λn1 , y2[n] = λn

2

sao linearmente independentes se e somente se

λ1 6= λ2

Note que a1λn1 +a2λn

2 = 0, ∀n, implica

a1+a2 = 0a1λ1+a2λ2 = 0

⇒ a1 = a2 = 0



Deslocamento de auto-funcao

Propriedade 5 (Deslocamento de auto-funcao)

As funcoes

y1[n] = λn , y2[n] = y1[n+k]

sao linearmente dependentes, pois

y2[n] = λkλn

Propriedade 6 (Modo proprio)

A sequencia y [n] = λn e solucao da equacao (1) se λ e raiz de D(λ ) = 0 (equacaocaracterıstica), pois

D(p)λn =D(λ )λn = 0

Observe que a solucao e valida para todo n ∈ Z.



Exemplo 1.22

Para D(p) = p2−p−1, tem-se

D(p)λn = (p2−p−1)λn = λn+2−λn+1−λn = (λ2−λ −1)λn

Propriedade 7 (Modos proprios)

Se as m raızes λk de D(λ ) = 0 forem distintas, entao

y [n] =m

∑k=1

akλnk

e solucao da equacao (1) pois λk satisfaz D(λk) = 0, k = 1, . . . ,m e os modos propriosλnk , k = 1, . . . ,m sao linearmente independentes.



Raiz dupla

Propriedade 8 (Raiz dupla)

Se λ e raiz dupla da equacao caracterıstica D(λ ) = 0, entao λn e nλn sao modosproprios da equacao (1).

Prova:

D(p)(nλn) =m

∑k=0

αkpk(nλn) =

m

∑k=0

αk (n+k)λn+k =

= nλnm

∑k=0

αkλk +λn+1m

∑k=0

αkkλk−1 = nλnD(λ )+λn+1 d

dpD(p)

∣

∣

∣

p=λ= 0

pois D(λ ) = 0 ed

dpD(p)

∣

∣

∣

p=λ= 0 quando λ e raiz dupla de D(λ ).



Exemplo 1.23

Para D(p) = (p−λ )2, tem-se

(p−λ )2λn = 0

e, alem disso,

(p−λ )2nλn = (p2−2λp+λ2)nλn = (n+2)λn+2−2λ (n+1)λn+1+λ2nλn =

=(

λ2−2λ2+λ2)

nλn+2(λ −λ )λn+1 = 0



Propriedade 9 (Raiz multipla)

Se λ e raiz de multiplicidade r de D(λ ), entao λn, nλn, . . . , nr−1λn sao modosproprios da equacao (1).

Propriedade 10 (Solucao da Homogenea)

A solucao da equacao homogenea (1) de ordem m e dada pela combinacao linear dosseus m modos proprios, considerando as eventuais multiplicidades das raızescaracterısticas.

Exemplo 1.24Considere a equacao a diferencas

D(p)y [n] = (p−ρ)y [n] = 0 , y [0] = 1

A raiz da equacao caracterıstica e λ = ρ, e portanto

y [n] = aρn

sendo a o coeficiente a determinar. Das condicoes iniciais, a= y [0] = 1.



Exemplo 1.25

Considere a equacao a diferencas do Exemplo 1.14 (Fibonacci)

D(p)y [n] = (p2−p−1)y [n] = 0 = (p−λ1)(p−λ2)y [n] = 0 , y [0] = 0 , y [1] = 1

λ1 =1+

√5

2, λ2 =

1−√5

2

A equacao caracterıstica e D(λ ) = (λ −λ1)(λ −λ2) = 0. A solucao e dada por

y [n] = a1λn1 +a2λn

2

Das condicoes iniciais, a1 =

√5

5, a2 =

−√5

5



Exemplo 1.26

Considere a equacao a diferencas, com ρ 6= 1,

D(p)y [n] = (p−1)(p−ρ)y [n] = 0 , y [0] = 1 , y [1] = 1+ρ

A solucao e

y [n] = a1(1)n+a2ρn =

1−ρn+1

1−ρ

Exemplo 1.27


D(p)y [n] = (p−1)3y [n] = 0 , y [0] = 0 , y [1] = 1 , y [2] = 3

com λ = 1 raiz tripla da equacao caracterıstica. A solucao e

y [n] = a1(1)n+a2n(1)

n+a3n2(1)n =

n(n+1)

2



Exemplo 1.28

Considere a equacao a diferencas, com ρ 6= 1,

D(p)y [n] = (p−1)(p−ρ)2y [n] = 0 , y [0] = 0 , y [1] = ρ , y [2] = ρ +2ρ2

A solucao e

y [n] = a1(1)n+a2ρn+a3nρn =

ρ

(1−ρ)2(1−ρn)− ρ

1−ρnρn

Exemplo 1.29

Considere a equacao a diferencas, com α 6= 0,

D(p)y [n] = (p−1)(p− (1+α))y [n] = 0 , y [0] =M , y [1] =M(1+α)− γ

A solucao e

y [n] = a1(1)n+a2(1+α)n =

γ

α+(

M− γ

α

)

(1+α)n



Exemplo 1.30

Considere o sistema modal descrito pelas equacoes a diferencas

v1[n+1] = αv1[n]−βv2[n] , v2[n+1] = αv2[n]+βv1[n] , α > 0 , β > 0

O polinomio caracterıstico de segunda ordem (associado a v1[n] ou a v2[n]) e

D(p) = p2−2αp+α2+β2 ⇒ λ ∗2 = λ1 = ρ exp(jθ ) = α + jβ , ρ > 0

e a solucao e dada por

a1λn1 +a2λn

2 , a∗2 = a1 =A

2exp(jφ)

com a1, a2 (ou A e φ) determinados pelas condicoes iniciais. Note que a solucao podeser reescrita como

Aρn cos(θn+φ)

e, portanto, diverge para ρ > 1 (comportamento instavel). Pode ser tambemobservado que, mesmo para α < 1 (subsistemas desacoplados estaveis), o valor de βpode instabilizar o sistema.



Equacao nao homogeneaConsidere a equacao a diferencas nao homogenea

D(p)y [n] = N(p)x[n] , D(p) =m

∑k=0

αkpk , N(p) =

ℓ

∑k=0

βkpk (2)

com αm = 1 e condicoes iniciais conhecidas, que descreve um sistema linear naoautonomo.

A equacao (2) pode ser resolvida pelo metodo dos coeficientes a determinar sempreque x[n] for solucao de uma equacao a diferencas homogenea dada por

D(p)x[n] = 0

O polinomio D(p) define os modos do espaco que contem x[n]. Portanto,multiplicando a equacao (2) dos dois lados por D(p), tem-se a equacao homogenea

D(p)D(p)y [n] = N(p)D(p)x[n] = 0

que contem os modos proprios de D(p) e os modos forcados de D(p).

As condicoes iniciais que permitem a solucao desse sistema aumentado sao as originaisacrescidas de tantas quanto for o grau de D(p), obtidas por substituicao sistematicana equacao (2).



Exemplo

Exemplo 1.31Considere a equacao a diferencas da soma geometrica

y [n+1]−y [n] = ρn+1 , y [0] = 1

Neste caso

D(p) = p−1 e D(p) = p−ρ , y [0] = 1 , y [1] = 1+ρ

pois a entrada x[n] = ρρn esta no espaco de dimensao 1 descrito por um modoproprio associado a raiz ρ. A condicao y [1] = 1+ρ foi obtida substituindo-se y [0] naequacao original.



Exemplo

Exemplo 1.32Considere a equacao a diferencas da soma aritmetica

y [n+1]−y [n] = n+1 , y [0] = 0

Neste caso

D(p) = (p−1) e D(p) = (p−1)2 , y [0] = 0 , y [1] = 1 , y [2] = 3

pois a entrada x[n] = n+1 esta no espaco de dimensao 2 descrito pelos modosproprios associados a raiz 1 com multiplicidade 2. As condicoes iniciais y [1] e y [2]foram obtidas da equacao original por substituicao.



Exemplo 1.33Considere a equacao a diferencas da soma aritmetica-geometrica

y [n+1]−y [n] = (n+1)ρn+1 , y [0] = 0

Neste caso

D(p) = (p−1) e D(p) = (p−ρ)2 , y [0] = 0 , y [1] = ρ , y [2] = ρ +2ρ2

pois a entrada x[n] = (n+1)ρn+1 esta no espaco de dimensao 2 descrito pelos modosproprios associados a raiz ρ com multiplicidade 2. As condicoes iniciais y [1] e y [2]foram obtidas da equacao original por substituicao.



Exemplo

Exemplo 1.34Considere a equacao a diferencas da tabela Price

y [n+1]− (1+α)y [n] =−γ , y [0] =M

Neste caso

D(p) = (p− (1+α)) e D(p) = (p−1) , y [0] =M , y [1] =M(1+α)− γ

pois a entrada x[n] =−γ esta no espaco de dimensao 1 descrito por um modo proprioassociado a raiz 1. A condicao inicial y [1] foi obtida da equacao original porsubstituicao.

A equacao homogenea resultante foi resolvida no Exemplo 1.29.



Exemplo 1.35Considere novamente a equacao a diferencas do Exemplo 1.18

(p2+5p+6)y [n] = (3p+1)x[n] , y [0] = 1,y [1] = 2 , x[n] = (−2)n

Portanto, D(p) = (p+2), y [2] = 3x[1]+x[0]−5y [1]−6y [0] =−21 e

y [n] = 2.5n(−2)n+10(−2)n−9(−3)n

Note que a solucao vale para todo n ∈ Z e coincide para n ≥ 0 com a solucao obtidapor transformada Z no Exemplo 1.18.



Propriedade 11 (Solucao Forcada)

O metodo dos coeficientes a determinar pode ser aplicado diretamente a equacao adiferencas nao homogenea (2). Para isso, identificam-se as parcelas homogenea eforcada (devido a entrada) da solucao.

y [n] = yh[n]+yf [n] ⇒ D(p)(

yh[n]+yf [n])

= N(p)x[n]

D(p)yf [n] = N(p)x[n] (3)

pois D(p)yh[n] = 0. As parcelas homogenea e forcada sao dadas por

yh[n] =m

∑k=1

ak fk [n] , yf [n] =m

∑k=1

bkgk [n]

sendo fk [n] os m modos proprios associados a D(λ ) = 0 e gk [n] os m modos forcadosassociados a D(γ) = 0, considerando-se as possıveis multiplicidades com as raızes λ .

Os coeficientes bk sao obtidos da equacao (3) e, em seguida, os coeficientes ak saoobtidos a partir das condicoes iniciais.



Exemplo 1.36

Considere a equacao a diferencas dada por

y [n+1]−y [n] = ρn+1 , y [0] = 1 ⇒ D(p) = p−1 , D(p) = (p−ρ)

Para ρ 6= 1, tem-se λ = 1 e γ = ρ (raızes distintas). A solucao forcada e

yf [n] = bρn ⇒ (bρ −b)ρn = ρn+1 , b =ρ

ρ −1

A solucao e y [n] = bρn+a. Da condicao inicial y [0] = 1, tem

1 = b+a ⇒ a=1

1−ρ

Para ρ = 1, ocorre o fenomeno conhecido como ressonancia (modo proprio excitadopelo modo da entrada). Neste caso, tem-se

λ = γ = 1 ⇒ yf [n] = bn1n , b = 1

A solucao e (usando-se a condicao inicial): y [n] = bn+a= n+1



Exemplo 1.37 (Soma aritmetica)

A soma aritmetica satisfaz a equacao a diferencas

y [n+1]−y [n] = n+1 , y [0] = 0 ⇒ D(p) = p−1 , D(p) = (p−1)2

Trata-se de uma ressonancia dupla, λ = γ1 = γ2 = 1. Portanto,

yf [n] = b1n2+b2n ⇒ b1 = b2 = 0.5

A solucao e (usando-se a condicao inicial)

y [n] =n2

2+

n

2+a =

n(n+1)

2



Exemplo 1.38 (Soma aritmetica-geometrica)

A soma aritmetica-geometrica, tratada no Exemplo 1.13, satisfaz a equacao adiferencas

y [n+1]−y [n] = (n+1)ρn+1 , y [0] = 0 ⇒ D(p) = p−1 , D(p) = (p−ρ)2

Para ρ 6= 1, tem-se λ = 1 e γ1 = γ2 = ρ (raiz dupla). Portanto,

yf [n] = b1nρn+b2ρn ⇒ b1 =ρ

ρ −1, b2 =

−ρ

(ρ −1)2

A solucao e (usando-se a condicao inicial)

y [n] = b1nρn+b2ρn+a ⇒ a =ρ

(ρ −1)2



Exemplo 1.39


y [n+2]−3y [n+1]+2y [n] = 1 y [0] = 0, y [1] = 0 ⇒D(p) = (p−1)(p−2) , D(p) = p−1

Note que λ1 = 1, λ2 = 2 e γ = 1 (ressonancia). A solucao forcada e

yf [n] = bn ⇒ b =−1

A solucao e (usando-se as condicoes iniciais)

y [n] =−n+a1+a22n ⇒ a1 =−1, a2 = 1



Propriedade 12 (Resposta ao Impulso)

D(p)y [n] = N(p)x[n] , x[n] = δ [n] (condicoes iniciais nulas)

A priori, o metodo dos coeficientes a determinar nao poderia ser utilizado paradeterminar y [n] pois nao existe equacao a diferencas linear com coeficientesconstantes que produza como solucao a funcao δ [n], isto e, δ [n+k] e linearmenteindependente de δ [n] qualquer que seja k 6= 0.

Entretanto, a resposta ao impulso pode ser calculada pelo metodo dos coeficientes adeterminar da seguinte forma. Primeiramente, resolva

D(p)f [n] = 1 , (condicoes iniciais nulas)

Por linearidade, tem-se

y [n] = N(p)(

f [n]u[n]− f [n−1]u[n−1])

Note que a resposta ao degrau e dada por N(p)f [n]u[n].



Exemplo

Exemplo 1.40

Calculando a resposta ao degrau da equacao a diferencas

(p−ρ)y [n] = u[n] , y [0] = 0 ⇒ (p−ρ)f [n] = 1 (λ = ρ,γ = 1)

f [n] = b1+a1ρn , b1−ρb1 = 1 ⇒ b1 =1

1−ρ, a1 =−b1

y [n] = f [n]u[n] =1−ρn

1−ρu[n]

A resposta ao impulso e

y [n]−y [n−1] = ρn−1u[n−1]



Exemplo

Exemplo 1.41Considere

(p−2)(p−3)y [n] = px[n] , x[n] = δ [n] , (condicoes iniciais nulas)

(p−2)(p−3)f [n] = 1 ⇒ f [n] = b1+a12n+a23

n , b1 = 0.5 , a1 =−1 , a2 = 0.5

A resposta ao degrau e dada por

yu[n] = pf [n]u[n] =(1

2−2n+1+

1

23n+1

)

u[n+1]

e a resposta ao impulso e

h[n] = pf [n]u[n]−pf [n−1]u[n−1] = f [n+1]u[n+1]− f [n]u[n]

= (f [n+1]− f [n])u[n] = (−2n+3n)u[n]



Note que as respostas ao degrau e ao impulso poderiam ser obtidas portransformada Z com menor trabalho algebrico.

A resposta ao impulso e a transformada Z inversa de H(z), ou seja

H(z) =z

(z−2)(z −3)⇒ H(z)

z=

−1

z −2+

1

z−3, h[n] = (−2n+3n)u[n]

e a resposta ao degrau

Yu(z) =z

(z−2)(z −3)

z

(z −1)⇒ Yu(z)

z=

−2

z−2+

3/2

z−3+

1/2

z−1

yu [n] =(

−2(2n)+3

2(3n)+

1

2

)

u[n]


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