Livro Matemática Financeira Cristiano Jung

Caderno de Matemática Financeira Dom Alberto

Prof: Cristiano Huff Jung

Ciênciasontábeis

ADMINISTRAÇÃO

C122 JUNG, Cristiano Huff

Caderno de Matemática Financeira Dom Alberto / Cristiano Huff Jung . – Santa Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, 2010.

Inclui bibliografia.

1. Administração – Teoria 2. Ciências Contábeis – Teoria 3. Matemática Financeira – Teoria I. JUNG, Cristiano Huff II. Faculdade Dom Alberto III. Coordenação de Administração IV. Coordenação de Ciências Contábeis V. Título

CDU 658:657(072)

Catalogação na publicação: Roberto Carlos Cardoso – Bibliotecário CRB10 010/10

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Apresentação O Curso de Administração da Faculdade Dom Alberto iniciou sua

trajetória acadêmica em 2004, após a construção de um projeto pautado na importância de possibilitar acesso ao ensino superior de qualidade que, combinado à seriedade na execução de projeto pedagógico, propiciasse uma formação sólida e relacionada às demandas regionais.

Considerando esses valores, atividades e ações voltadas ao ensino sólido viabilizaram a qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo MEC do Curso de Administração em 2008.

Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados positivos, como a publicação deste Caderno Dom Alberto, que é o produto do trabalho intelectual, pedagógico e instrutivo desenvolvido pelos professores durante esse período. Este material servirá de guia e de apoio para o estudo atento e sério, para a organização da pesquisa e para o contato inicial de qualidade com as disciplinas que estruturam o curso.

A todos os professores que com competência fomentaram o Caderno Dom Alberto, veículo de publicação oficial da produção didático-pedagógica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento especial.

Lucas Jost

Diretor Geral

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PREFÁCIO

A arte de ensinar e aprender pressupõe um diálogo entre aqueles que

interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de

formação, de construção de valores, habilidades, competências necessárias à

superação dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma

formação profissional sólida, capaz de suprir as demandas de mercado, de

estabelecer elos entre diversas áreas do saber, de atender às exigências legais

de cada área de atuação, etc.

Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formação de um

profissional é saber discutir diversos temas aos quais se aplicam

conhecimentos específicos de cada área, dispondo-se de uma variedade ampla

e desafiadora de questões e problemas proporcionada pelas atuais

conjunturas. Para que isso se torne possível, além da dedicação daqueles

envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, é preciso haver suporte

pedagógico que dê subsídios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que

supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos

na proposta pedagógica do curso.

Considerando esses pressupostos, a produção desse Caderno Dom

Alberto é parte da proposta pedagógica do curso da Faculdade Dom Aberto.

Com este veículo, elaborado por docentes da instituição, a faculdade busca

apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem teórico-

prática, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens é atualizada e

necessária para a formação profissional qualificada dos alunos do curso.

Ser um canal de divulgação do material didático produzido por

professores da instituição é motivação para continuar investindo da formação

qualificada e na produção e disseminação do que se discute, apresenta, reflete,

propõe e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o

Caderno Dom Alberto com a mesma satisfação que a Faculdade tem em

elaborar esta coletânea.

Elvis Martins

Diretor Acadêmico de Ensino

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Sumário

Apresentação........................................................................................................ Prefácio................................................................................................................. Plano de Ensino.................................................................................................... Aula 1 Matemática Financeira Aplicada........................................................................... Aula 2

Variáveis do Movimento Financeiro...................................................................... Aula 3

Juros Compostos.................................................................................................. Aula 4

Exercícios............................................................................................................. Aula 5

Exercícios..............................................................................................................

Aula 6

Desconto Simples................................................................................................. Aula 7

Exercícios.............................................................................................................. Aula 8

Desconto Composto.............................................................................................. Aula 9

Equivalência de Capitais....................................................................................... Aula 10

Rendas Certas ou Anuidades................................................................................ Aula 11

Exercícios.............................................................................................................. Aula 12

Prestações Problemas.......................................................................................... Aula 13

Sistemas de Amortizações....................................................................................

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Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.

Centro de Ensino Superior Dom Alberto

Plano de Ensino

Identificação

Curso: Administração/Ciências Contábeis Disciplina: Matemática Financeira

Carga Horária (horas): 60 Créditos: 4 Semestre: 2º

Ementa

Porcentagem. Sistema de Capitalização Simples. Sistema de Capitalização Composta. Taxas. Descontos. Fluxo de Caixa Homogêneo. Fluxo de Caixa Não Homogêneo. Séries de Pagamentos. Sistemas de Amortização e Empréstimos.

Objetivos

Geral: Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática Financeira Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade. Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a criatividade. Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos financeiros aplicados. Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas. Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho. Específicos: Levar o aluno a: Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais. Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia. Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência.

Inter-relação da Disciplina

Horizontal: Contribuir para o desenvolvimento cognitivo interdisciplinar, promovendo um ensino voltado a uma formação sólida e ampla, tendo como foco principal às exigências da vida social e profissional. Vertical: As aplicações da disciplina de Matemática Financeira são processadas de forma a adaptar o conhecimento teórico a situações práticas e ajustadas à realidade dos negócios na economia brasileira.

Competências Gerais

Compreender e ampliar conceitos de Matemática Financeira como instrumentos de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade. Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, atuar preventivamente em situações ligadas a Matemática Financeira.

Competências Específicas

Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo como juros, descontos, taxas, séries de pagamento, e sistemas de amortizações. Aplicar os conhecimentos de Matemática Financeira nas atividades econômicas, financeiras e administrativas.

Habilidades Gerais

Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, desenvolver o raciocínio lógico, crítico e criativo diante dos diferente contextos organizacionais e sociais.

Habilidades Específicas

Ler, interpretar e resolver problemas sobre juros e descontos, taxas, séries de pagamentos e sistemas de

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amortizações usando o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação.

Conteúdo Programático

PROGRAMA: 1. Apresentação inicial da disciplina 2. Porcentagem 3. Fluxo de caixa 4. Juro simples 5. Prazo exato 6. Prazo comercial 7. Descontos simples (comercial e bancário) 8. Taxa proporcional 9. Taxa equivalente 10. Juro composto 11. Valor atual 12. Valor futuro 13. Desconto comercial e bancário 14. Equivalência de capitais 15. Taxa equivalente 16. Taxa nominal 17. Taxa efetiva 18. Séries postecipadas 19. Séries antecipadas 20. Séries diferidas 21. Sistemas de amortização: SAC, PRICE e SACRE 22. Planos de amortizações

Estratégias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula)

A Matemática Financeira tem se tornado uma poderosa ferramenta de análise de problemas, seja este simples como aquisição de um produto qualquer de uso imediato, ou seja, a análise de um projeto de investimento num empreendimento industrial que custa alguns milhares de dólares. O planejamento do trabalho em sala de aula é à base da construção do processo de ensino e aprendizagem. Planejando a ação, o professor tem a possibilidade de saber exatamente qual o ponto de partida e o de chegada para cada tema abordado em seu curso.

Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem

A avaliação do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contínua, cumulativa e sistemática com o objetivo de diagnosticar a situação da aprendizagem de cada aluno, em relação à programação curricular. Funções básicas: informar sobre o domínio da aprendizagem, indicar os efeitos da metodologia utilizada, revelar conseqüências da atuação docente, informar sobre a adequabilidade de currículos e programas, realizar feedback dos objetivos e planejamentos elaborados, etc. A forma de avaliação será da seguinte maneira: 1ª Avaliação – Peso 8,0 (oito): Prova; – Peso 2,0 (dois): Trabalho Individual com 20 questões de múltipla escolha, com consulta e postado no site, na data combinada.

2ª Avaliação - Peso 8,0 (oito): Prova; - Peso 2,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrônicas – SPE (maior nota das duas

provas do SPE) Observação: As provas do SPE deverão ser realizas até o dia 30/09/2010 (1ª prova SPE) e até o dia

30/11/2010 (2ª prova SPE), sendo obrigatória a realização de ao menos uma prova.

Avaliação Somativa

A aferição do rendimento escolar de cada disciplina é feita através de notas inteiras de zero a dez, permitindo-se a fração de 5 décimos. O aproveitamento escolar é avaliado pelo acompanhamento contínuo do aluno e dos resultados por ele obtidos nas provas, trabalhos, exercícios escolares e outros, e caso necessário, nas provas substitutivas.

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Dentre os trabalhos escolares de aplicação, há pelo menos uma avaliação escrita em cada disciplina no bimestre. O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliações, tais como: projetos, seminários, pesquisas bibliográficas e de campo, relatórios, cujos resultados podem culminar com atribuição de uma nota representativa de cada avaliação bimestral. Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem média semestral de aprovação igual ou superior a sete (7,0) e freqüência igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) são considerados aprovados. Após cada semestre, e nos termos do calendário escolar, o aluno poderá requerer junto à Secretaria-Geral, no prazo fixado e a título de recuperação, a realização de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de substituir uma das médias mensais anteriores, ou a que não tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como média final de aprovação igual ou superior a cinco (5,0).

Sistema de Acompanhamento para a Recuperação da Aprendizagem

Serão utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantões Tira-Dúvidas que são realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min às 18h50min, na sala de aula.

Recursos Necessários

Humanos Professor.

Físicos Laboratórios, visitas técnicas, etc.

Materiais Recursos Multimídia.

Bibliografia

Básica

ARRUDA, Sérgio Roberto. Matemática financeira ao alcance de (quase) todos 2. ed. Porto Alegre: Sagra: DC Luzzatto, 1996. ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 7. ed.São Paulo: Atlas, 2002. FARO, C. Matemática financeira. 9 ed. São Paulo: Atlas, 1997. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira: com + de 600 exercícios resolvidos e propostos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2002. VERAS, Lilia Ladeira. Matemática financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2001.

Complementar

HAZZAN Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2003. GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. 2. ed. Florianópolis: UFSC, 2001. HIRSHFELD, Henrique. Engenharia econômica. São Paulo: Atlas. 1984. TOSI, Armando José. Matemática financeira com utilização do excel 2000. São Paulo: Atlas, 2002. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas. 2000.

Periódicos

Revistas: Você S/A, Veja, Exame, Valor.

Sites para Consulta

www.mec.gov.br www.ime.usp.br www.mat.ufrgs.br/edumatec http://sites.uol.com.br/vello/aulas.htm www.caixa.gov.br www.banrisul.com.br

Outras Informações

Endereço eletrônico de acesso à página do PHL para consulta ao acervo da biblioteca:

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http://192.168.1.201/cgi-bin/wxis.exe?IsisScript=phl.xis&cipar=phl8.cip&lang=por

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Cronograma de Atividades

Aula Consolidação Avaliação Conteúdo Procedimentos Recursos

1ª Apresentação e discussão do Plano de Ensino da Disciplina. Porcentagem.

AE QG/DS/AP

2ª Capitalização simples. AE/TG QG/DS

3ª Taxa equivalente a juros simples AE/TG QG/DS

4ª Desconto simples AE/TG QG/DS

5ª Capitalização composta AE/TG QG/DS

6ª Taxas AE/TG QG/DS

7ª Desconto composto TG/TI QG/DS/AP

1 Consolidação e Sistematização dos conteúdos da 1ª avaliação

TI/TG QG/DS/AP

1 Primeira Avaliação TI

8ª Fluxo de caixa AE/TG QG/DS

9ª Equivalência de capitais AE/TG QG/DS

10ª Séries de pagamentos antecipadas AE/TG QG/DS/AP

11ª Séries de pagamentos postecipadas e diferidas AE/TG QG/DS/AP

12ª Sistemas de amortizações e empréstimos AE/TG QG/DS

13ª Sistemas de amortizações e empréstimos TG/TI QG/DS

2 Consolidação e Sistematização dos conteúdos da 2ª avaliação

TG/TI QG/DS/AP

2 Segunda Avaliação. TI

3 Avaliação Substitutiva

TI

Legenda Código Descrição Código Descrição Código Descrição

AE Aula expositiva QG Quadro verde e giz LB Laboratório de informática

TG Trabalho em grupo RE Retroprojetor PS Projetor de slides

TI Trabalho individual VI Videocassete AP Apostila

SE Seminário DS Data Show OU Outros

PA Palestra FC Flipchart

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FACULDADE DOM ALBERTO – SANTA CRUZ DO SUL

MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA

PROF. CRISTIANO HUFF JUNG

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EMENTA Números e grandezas proporcionais. Problemas que envolvem Porcentagens. Conceitos básicos de Matemática Financeira. Sistema de Capitalização Simples. Sistema de Capitalização Composta. Descontos. Rendas Certas. Fluxo de Caixa Homogêneo. Fluxo de Caixa Não Homogêneo. Sistemas de Amortização de Empréstimos. OBJETIVOS

Geral • Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática Financeira Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade; • Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a criatividade; • Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos financeiros aplicados; • Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas; • Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho.

Específico

Levar o aluno a: Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos

e entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais;

Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia;

Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência.

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PROGRAMA

• Apresentação inicial da disciplina • Taxa de porcentagem • Problemas que envolvem porcentagens • Convenções de matemática financeira • Regras de arredondamento • Juro simples • Prazo exato • Prazo comercial • Descontos simples • Taxa proporcional • Taxa equivalente • Juro composto • Valor nominal • Valor atual • Valor futuro • Equivalência de capitais • Convenção linear e exponencial • Taxas de juros • Fluxo de caixa • Taxa nominal • Taxa efetiva • Sistemas de amortização • Desconto racional ou “por dentro” • Desconto comercial ou “por fora” • Desconto bancário • Planos de amortizações • Séries postecipadas • Séries antecipadas • Séries diferidas • Depreciações

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BIBLIOGRAFIA BÁSICA Veras, Lilia Ladeira. Matemática Financeira – 4. Ed. – São Paulo: Atlas, 2001.

Assaf Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 7. Ed. – São Paulo: Atlas, 2002.

Mathias, Washington Franco; Gomes, José Maria. Matemática Financeira – 3. Ed. – São Paulo: Atlas, 2002.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

Arruda, Sérgio Roberto. Matemática Financeira ao alcance de (quase) Todos – 2. Ed. – Porto Alegre: Sagra: DC Luzzatto, 1996. Faro, Clovis de. Matemática Financeira – 9. Ed. – São Paulo: Atlas, 1982.

Hazzan, Samuel; Pompeo, José Nicolau. Matemática Financeira – 5. Ed. – São Paulo: Saraiva 2003.

Taxa de Porcentagem Caderneta de poupança rende 0,7% ao mês Número de vagas nas escolas públicas deve aumentar 8% este ano Lucro da indústria farmacêutica cresceu 16% no ano passado. Todos os dias vemos nos meios de comunicação o uso da expressão por cento. A expressão por cento vem do latin per centum e quer dizer por um cento. O símbolo % é uma deturpação da abreviatura Cto (ciento), usada pelos mercadores italianos no século XV nas suas transações, e aparece pela primeira vez, em 1685, num livro francês, LE GUIDE DE NEGOTIEN (o guia do comerciante).

Exemplos

1 – Uma fábrica tinha 500 funcionários, este ano o número de funcionários aumentou em 25%. Quantos funcionários têm a fábrica agora? 2 – Dos 60 candidatos que prestaram um concurso, 24 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados? 3 – Escreva cada taxa percentual em números decimais. a) 6% b) 20% c) 90% d) 33% e) 6,8% f) 82,44% g) 1,8% h) 0,3%

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4 – Transforme cada número decimal a seguir na forma de taxa percentual a) 0,56 b) 0,13 c) 0,03 d) 1,35 e) 3,40 f) 0,87 5 – Escreva as seguintes frações na forma de taxa percentual:

a) 100

34

b) 10

9

c) 4

1

d) 5

2

6 – Um jogador de basquete acertou 15 cestas dos 36 arremessos que fez. Qual a taxa percentual das cestas feitas por este jogador? 7 – Pedro ganha 12 salários mínimos mensais. Joaquim ganha 30% a mais do que ganha Pedro. Quantos salários mínimos ganha Joaquim? 8 – Um carro avaliado em R$ 12.500,00 foi vendido com um desconto de 12% sobre esse preço. Qual foi o preço de venda? 9 – Carlos teve um aumento de 8% e passou a receber R$ 1.680,00. Qual era seu salário antes do reajuste? 10 – O salário de João era de X reais em janeiro. Em maio ele recebeu um aumento de 20% e outro de 15%, em novembro. Seu salário atual é de R$ 2.208,00. Calcule o salário de João em janeiro.

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AULA 2

Matemática Financeira Prof. Cristiano Huff Jung

Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos negócios, como também com as tabelas, fórmulas e calculadoras que utilizarão. E tudo isso só se consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área pela primeira vez. Há alguns poucos anos, só se resolviam problemas financeiros com o auxílio de tabelas. Com o advento das calculadoras eletrônicas portáteis, a princípio científicas, mas cada vez mais avançadas, as tabelas cederam lugar a fórmulas que, se forem compreendidas na sua origem e dedução, serão utilizadas de forma cada vez mais natural, sem a necessidade de memorização de muitas delas. Mas os recursos das calculadoras modernas parecem não ter limites e hoje, com uma calculadora financeira avançada, ou mesmo básica, já se podem dispensar até as fórmulas, em muitas ocasiões. E mesmo para quem prefere usar fórmulas na resolução de problemas restarão cálculos a fazer, e o uso de uma calculadora científica ou financeira, básica ou avançada, será considerado imprescindível.

Variáveis do Movimento Financeiro Valor Presente Liquido: Representa o valor do capital investido ou tomado como empréstimo na data inicial do fluxo de caixa. Principal (P), Valor Presente (PV), Valor Atual (V), Capital Inicial (C). Valor Futuro: Representa o valor do capital em uma data futura, posterior a data inicial do fluxo de caixa. Montante (M), Valor Futuro (FV), Capital Acumulado (CA). Prestação Uniforme: Corresponde ao valor a ser pago ou recebido em cada período. Prestação (P) ou (PMT). Período de Capitalização: Representa o período de tempo em que um determinado capital sofre a incidência de juros, ou seja, de quanto em quanto tempo os juros serão incorporados ao capital inicial (n). Taxa de Porcentagem: As taxas variam dependendo da situação econômica (i).

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Equivalência de Capitais: Dois capitais são ditos equivalentes se, investidos à mesma taxa produzem um mesmo montante em uma determinada data. Fluxo de Caixa: Define-se fluxo de caixa, seja um indivíduo, uma empresa ou um investimento, como o conjunto de entradas e saídas de recursos ao longo de um dado intervalo de tempo. Diagrama: O conceito de diagrama, apesar de relativamente óbvio, é extremamente relevante em finanças, uma vez que todas as questões que envolvam a matemática financeira recorrem dos diagramas para uma melhor definição do cálculo.

Juros Simples Juro (J) é toda compensação em dinheiro que se paga, ou que se recebe, pelo dinheiro que se empresta, ou que se pede emprestado.

Exemplo: Qual o juro que rende um capital de R$1000,00 aplicado por 1 ano à taxa de juros de 10% ao ano? Quando falamos em juro, devemos considerar: O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital (C). A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juro (i). O total que se paga no final do empréstimo (Capital+Juro) é denominada montante. O tempo que decorre desde o início até o final de uma operação financeira é denominada prazo (n). A taxa de juro é indicada em relação a um intervalo de tempo: 5% a.d.= 5% ao dia 10% a.m.=10% ao mês 35% a.a.=35% ao ano A taxa e o tempo devem ter sempre a mesma unidade de medida. O prazo de aplicação pode ser contado em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres, anos etc. E pode ser: Prazo Exato É aquele que usa o ano civil de 365 dias ou 366 dias (ano bissexto), em que os dias são contados pelo calendário. Assim, o mês pode ter: 38 ou 29 dias (anos bissextos) fevereiro. 30 dias (abril, junho, setembro, novembro). 31 dias (janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro).

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Prazo Comercial É aquele que usa o ano comercial no qual o mês tem sempre 30 dias e o ano, 360 dias. O juro pode ser simples ou composto.

Cálculo do Juro Simples

Suponhamos que se tome emprestada a quantia de R$ 1000,00, pelo prazo de 2 anos e à taxa é de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro?

� J=C.i.n � M=C(1+i.n) Sendo que:

Exemplos: 1- Mariana pediu R$800,00 emprestados para pagar depois de 3 meses, a taxa de 5%ao mês. Quanto Mariana deverá pagar ao fim desse tempo?

2-Um investidor aplicou R$15.000,00 à taxa de 3% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob o regime de juros simples?

3- Uma pessoa aplicou R$3000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. a) Quanto receberá de juro se o regime for de juros simples? b) Que montante terá ao fim dessa aplicação?

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4-Determine o prazo em que duplica um capital aplicado à taxa de juro simples de 4%a.m.

Exercícios 1- Uma dívida de R$10.000,00 foi paga com 3 meses e 15 dias de atraso. Cobrou-se uma multa de 5% ao mês. a) Qual foi o valor da multa? b) Quanto foi pago pela dívida? 2- Em quanto tempo um capital de R$80.000,00, aplicado à taxa anual de 11%, produz R$ 4400,00 de juro?

3- Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores dando uma entrada de R$ 200,00 mais uma parcela de R$450,00 dois meses depois após a compra. Sabendo que o preço à vista do aparelho é de R$ 600,00. a) Qual a taxa mensal de juro simples do financiamento? b) Após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$ 450,00, para que a taxa de juro simples do financiamento fosse de 2,5%a.m.?

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Taxa Proporcional

Consideremos duas taxas de juros arbitrarias i1 e i2, relacionadas respectivamente aos períodos n1 e n2; referidas à unidade comum de tempo das taxas. Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ou seja, se:

=

2

1

i

i

2

1

n

n

Como em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos: i1.n2=i2.n1

Exemplo: 1-Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais:

2- Sendo dada à taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal.

Taxa Equivalente Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicado um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo juro. Exemplo: Seja um capital de R$10.000,00 que se pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m ou de 24%a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Aplicando à taxa de 2% a.m. prazo de 2 anos. Aplicando à taxa de 24% a.a. por 2 anos

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Constatamos que o juro que será gerado é igual nas duas hipóteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.

Problemas de Matemática Financeira 1-Qual é o juro simples que um capital de R$7.000,00 rende quando aplicado: a) Durante 4 meses, a uma taxa de 2,5% a.m.? b) Durante 1 ano, a uma taxa de 3% a.m? c)Durante 3 meses, a uma taxa de 0,15% a.d.?

2-Calcule o capital que se deve empregar à taxa de 6% a.m., a juro simples para obter R$6.000,00 de juros em 4 meses.

3-Determine o montante simples obtido na aplicação de um capital de R$12.000,00, à taxa de 1,5%a.m., pelo prazo de 9 meses.

4- Cezar aplicou R$1.000,00 à taxa de 50% a.a. Qual será o juro acumulado ao final de 70 dias, sob o regime de: a) Juro simples comercial? b) Juro simples exato?

5- Um capital de R$8.000,00, aplicado durante 6 meses, resulta em um montante de R$9.200,00. Determine a taxa mensal de juro simples dessa aplicação.

6- A que taxa mensal deve ser aplicado um capital de R$48.000,00, durante 3 meses e 20 dias para produzir R$440,00 de juro simples?

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Aula 3 Juros Compostos

Prof. Cristiano Huff Jung

Exemplos: 1) Um investidor aplicou R$ 500.000,00 a juro composto de 20% a.m..

Quantos reais terá após 5 meses de aplicação? Qual o juro obtido?

2) Um investidor aplicou R$ 14.000,00 a juro composto de 2% a.m..

Quantos reais terá após 8 meses de aplicação?

3) Cláudio aplicou R$ 5.000,00, à taxa de 3% a.m., durante 5 meses.

Que montante esse capital irá gerar, se o regime for de juro composto? Quantos reais de juro obterá nessa operação?

4) Celina aplicou R$ 40.000,00 em um banco, a juro composto de 16%

a.a. capitalizados anualmente. Qual o juro obtido ao final de 2 anos? 5) Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de

R$25.000,00 a 25% ao ano, durante 72 meses. 6) Qual o montante que um capital de R$ 4.000,00, produz quando

aplicado: a) Durante 3 meses, a uma taxa de 4% a.m. de juro composto? b) Durante 10 anos, a uma taxa de 2% a.m. de juro composto? c) Durante 15 meses, a uma taxa de 0,02% a.d. de juro composto

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7) Matheus aplicou R$ 12.000,00 a juro composto de 6% ao bimestre. Que quantia terá após 12 meses de aplicação?

8) Uma pessoa aplicou X reais a uma taxa de juro composto de 2,4%

a.m.. Sabendo que após 5 meses recebeu um montante de R$40.000,00, calcule X.

9) Suponha que, há 120 anos, sua bisavó tivesse aplicado R$ 100,00 a

uma taxa de 8% a.a. de juro composto. Qual seria o montante acumulado até hoje?

10) Fernanda quer comprar um carro de R$ 12.130,20 e só tem

R$9.200,00. Supondo que o carro não aumente de preço, a que a taxa mensal de juro composto ela deve aplicar o seu dinheiro de modo a obter o montante necessário para comprar o carro à vista em 10 meses?

11) Suponha que em 2 meses um determinado titulo de capitalização

teve seu valor reajustado em 38%. Sabendo que o reajuste no primeiro mês foi de 15%, podemos afirmar que o do segundo mês foi de:

a) 18,5% b) 19,5% c) 20% d) 21,5% e) 23% 12) A população de uma região triplicou em 2 anos. O aumento

percentual médio por ano foi aproximadamente de: a) 35% b) 42% c) 65% d) 75% e) 73%

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Aula 4 Matemática Financeira


1 – Qual o montante simples de um capital de R$ 600,00 aplicado a 18% a.a., durante 8 meses? 2 – Determine o juro simples de um capital de R$ 300,00 aplicado a 24% a.a., durante 2 meses e 28 dias. 3 – Qual é o valor nominal de uma nota promissória de R$ 7.575,76 assinada hoje com o vencimento para daqui a 10 meses, se a taxa de juro simples da aplicação for de 38,4% a.a? 4 – Certa pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juro simples de mercado for de 32% a.a. na ocasião da transferência? 5 – Certo capital produziu o montante simples de R$ 186,00 em 100 dias, a 1% a.m. Qual o capital aplicado? 6 – Qual o tempo necessário para que o capital de R$ 1.000,00 produza juro simples de R$ 81,00 à taxa de 18% a.a? 7 – Qual o juro pago no caso do empréstimo de R$ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m., pelo prazo de 10 meses? 8 – Determine o montante composto de R$ 3.000,00 a 2% a.m. no final de 2 anos. 9 – Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 meses, com valor nominal de R$ 1.131,40 se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m?

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10 – O capital de R$ 120,00 foi aplicado a juros compostos de 10% a.s. Qual o montante no final de 2 anos e 6 meses? 11 – Determinar a taxa semestral de juros compostos que faz com que um capital quadruplique de valor, após 3 anos. 12 – Determinar a quantia que deve ser aplicada em uma instituição financeira que paga à taxa de juros compostos de 10% a.m., para que se obtenha R$ 200.000,00 no final de 2 anos. 13 – Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo período de tempo, ele recebeu R$ 35.644,02 estando neste valor incluídos os juros compostos creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou aplicado o dinheiro? 14 – Um imóvel é vendido, à vista, por R$ 220.000,00. Caso o comprador opte por pagar em uma única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige R$ 61.618,59 como juros, pois quer ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazo de financiamento, no sistema de capitalização composta, na hipótese acima?

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AULA 5

MATEMÁTICA FINANCEIRA


1 – Dada à taxa de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal. 2 – Qual é a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2 anos, o montante de R$ 45.666,57, sendo R$ 25.666,57 referente a juros compostos? 3 – Que taxa de juros compostos mensais fará um capital dobrar em 1 ano? 4 – Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a. Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9% ao trimestre, qual será sua escolha? 5 – O preço de uma mercadoria é de R$ 2.000,00, sendo financiada até 3 meses, ou seja, o comprador tem 3 meses como prazo limite para efetuar o pagamento. Caso opte por pagar à vista, a loja oferece um desconto de 10%. Sabendo-se que a taxa de mercado composta é de 40% a.a., vale a pena comprar a prazo?

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6 – Calcular a taxa equivalente composta anual dadas as seguintes taxas por período:

a) 1% a.m. b) 2% a.t.

c) 5% a.q.

d) 10% a.s.

7 – Calcular as taxas equivalentes compostas a 20% a.a., conforme informado abaixo:

a) Taxa semestral

b) Taxa quadrimestral

c) Taxa trimestral

d) Taxa mensal 8 – Qual é a taxa de juros compostos mensais recebida por um investidor que aplica R$ 1.000,00 e resgata os montantes, segundo as hipóteses abaixo:

a) R$ 1.076,89 – 3 meses b) R$ 1.125,51 – 4 meses

c) R$ 1.340,10 – 6 meses

d) R$ 1.620,00 – 12 meses

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AULA 6 Desconto Simples

Matemática Financeira Prof. Cristiano Huff Jung

Desconto Racional ou Desconto “Por Dentro”.

Definição: É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e

o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento.

Desconto: É a quantia a ser obtida do valor nominal. Valor Descontado: É a diferença entre o valor nominal e o desconto. Sendo: M= Valor Nominal (Montante) C= Vr= Valor Atual (ou valor descontado racional) n= Número de Períodos antes do Vencimento i= Taxa de Desconto D= Dr= Valor do Desconto

Dr= ni

niM

.1

..

+

Vr= ni

M

.1 +

Dr= M-Vr Dr= Vr.i.n

Exemplo: Uma pessoa pretende saldar um titulo de R$5. 500, 00, 3 meses antes

de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a. qual o desconto que vai obter?

OBS: No regime de juros simples, o desconto racional aplicado ao

valor nominal é igual ao juro devido sobre o capital. Ou seja, a taxa de juros da operação é também a taxa de desconto.

Desconto Comercial ou Desconto “Por Fora”

Definição: É aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n período antes de seu vencimento.

Nota: Valem as observações do item anterior sobre o significado de desconto e valor descontado.

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M= Valor Nominal (Montante) n= Número de períodos antes do vencimento i= Taxa de Desconto Dc= Desconto Comercial C= Vc= Valor Atual (ou Valor Descontado Comercial). Obtêm-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição:

Dc= M.i.n Vc= M(1-i.n)

Exemplo: Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de R$

5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a. 3 meses antes do vencimento. a) O desconto comercial b) O valor descontado comercial

Desconto Bancário

Definição: Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada, cobrada sobre o valor nominal.

Nota: Esta taxa de despesas bancárias é referida frequentemente como sendo as despesas administrativas do banco ou instituição que faz a operação. O desconto bancário pode ser entendido como uma extensão do desconto comercial.

Sendo: Vb: Valor Atual (ou Valor Descontado Bancário) Db: Desconto Bancário Dc: Desconto Comercial h: Taxa de Despesas Administrativas M: Valor Nominal (ou Montante) n: Número de períodos antes do vencimento i: Taxa de Desconto Tem-se o valor do desconto bancário:

Db= Dc+M.h Db= M.i.n+M.h Db= M(i.n+h)

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E o valor descontado bancário:

Vb= M-Db Vb=M-M(i.n+h) Vb=M[1-(i.n+h)] Exemplo: Um título de R$5. 500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2%

como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 40%a.a qual o desconto bancário?Quanto recebeu o proprietário do título?

PROBLEMAS

DESCONTOS SIMPLES

1 – Calcular o valor do desconto racional de um título de R$ 200,00 com vencimento para 90 dias, à taxa de juros de 2,5% ao mês. 2 – Quanto devo pagar por um título no valor nominal de R$ 15.000,00 com vencimento em 150 dias se quero ganhar 36% ao ano? 3 – Se o desconto racional concedido for de R$ 57,63 qual será a taxa considerada, uma vez que o valor nominal é de R$ 600,00 e o período de antecipação 5 meses? 4 - O valor atual de uma nota promissória é de R$ 1.449,28 tendo sido adotada à taxa de 18% ao ano. Qual será o prazo de antecedência, se o desconto racional for de R$ 50,72?

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5 – Uma nota promissória de valor nominal R$ 8.856,00 com vencimento em 4 meses, foi comprada por R$ 8.200,00. Qual é a taxa de desconto racional exigida pelo comprador? 6 – Um título com valor nominal comercial de R$ 700,00 foi descontado 15 dias antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 1% ao dia. Calcule o valor líquido recebido. 7 – Uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 200,00 foi resgata 3 meses antes do vencimento, à taxa de 9% ao ano. Qual o desconto comercial? 8 – O desconto comercial de um título foi de R$ 750,00 adotando-se uma taxa de juros de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de R$ 20.000,00? 9 – Se o valor descontado comercial for de R$ 14.195,00 e o prazo de antecipação for de 270 dias, qual será o valor do título no vencimento, considerando-se uma taxa de 22% ao ano? 10 – Uma empresa retira do Banco Alfa um empréstimo por 3 meses no valor de R$ 500.000,00. Se a taxa de juros for de 26% ao ano e, além disso, o banco cobra 1% a título de despesas administrativas, qual será o desconto bancário? 11 – O valor atual bancário de uma nota promissória descontada 3 meses antes de seu vencimento é de R$ 11.040,00. Qual será a taxa de juros efetiva, se a taxa de desconto for de 27% ao ano e a taxa administrativa for de 1,25%?

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Aula 7

Matemática Financeira


1 – Em uma liquidação, várias mercadorias tiveram seus preços remarcados, depois de sofrer descontos em seus preços normais. a) Quanto se deve pagar por uma mercadoria de R$ 54,00, sujeita a um desconto de 15%? b) Qual o preço normal de uma mercadoria que, com desconto de 20% , está sendo oferecida por R$ 20,64? c) Qual a taxa de desconto que está sendo oferecida em uma mercadoria cujo preço foi remarcado de R$ 350,00 para R$ 290,50? 2 – Qual é o juro simples exato de um capital de R$ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a? 3 – Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante um ano e meio, à taxa de 8% a.s. Obtenha o montante. 4 – Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m? 5 – Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano? 6 – Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m? 7 – Uma pessoa investiu R$ 15.000,00 à taxa de 30% a.a. e após certo tempo recebeu o montante de R$ 30.195,36. Quanto tempo o capital ficou aplicado? Considerar capitalização composta. 8 – Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em títulos que lhe proporcionarão um resgate de R$ 397.535,00 após 90 dias de aplicação. A que taxa mensal de juros compostos está aplicado o seu capital?

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9 – (CEF) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2% num regime de capitalização composta. Após um período de dois meses, os juros resultantes dessa aplicação serão: a) R$ 98,00 b) R$ 101,00 c) R$ 110,00 d) R$ 114,00 e) R$ 121,00

10 – (Provão 2002- Administração) A Joãozinho Ltda. recebeu em pagamento um título de R$ 605,00 que vencerá em dois anos. No entanto, a empresa está precisando de dinheiro hoje para pagar uma despesa. Trabalhando sempre com juros compostos e com custo de oportunidade de 10% ao ano, por qual valor mínimo, em reais, deverá vender hoje esse título? a) R$ 500,00 b) R$ 504,17 c) R$ 550,00 d) R$ 605,00 e) R$ 665,50

11 – A que taxa de juros simples ficou aplicado um capital de R$ 4.000,00 de modo a render R$ 500,00 de juros em 2 meses? 12 – Uma pessoa salda uma duplicata de R$ 5.500,00 3 meses antes de seu vencimento. Se a taxa de desconto simples do título é de 40% a.a. a) Calcular o valor do desconto. b) Calcular o valor recebido.

12 – Paula aplicou R$ 40.000,00 em um banco, a juro composto de 16% a.a. capitalizados anualmente. Qual o juro obtido ao final de 2 anos?

13 – Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante de uma aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% a.m. em regime de capitalização composta.

14 – Uma pessoa investiu R$ 2.000,00 em ações. No primeiro mês, ela perdeu 40% do total investido e no segundo mês ela recuperou 30% do que havia perdido: a) Com quantos reais ela ficou após os 2 meses? b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em percentagem, sobre o valor do investimento inicial?

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Desconto Composto O desconto composto, utilizado basicamente em operações de longo

prazo, pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos: o desconto “Por Dentro” (racional) e o desconto “Por Fora”.

O desconto composto “por fora” (ou comercial) é raramente empregado no Brasil, não apresentando uso prático. O desconto “por dentro” (racional) envolve valor atual e valor nominal de um título capitalizado segundo o regime de juros compostos, apresentando, portanto, larga utilização prática.

Desconto Composto “Por Fora”

O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.

Exemplos: 1) Um título de valor nominal de R$35.000,00 é negociado mediante

uma operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o valor descontado, o desconto e a taxa de juros efetiva da operação.

2) Uma empresa deve R$ 80.000,00 a um banco cujo vencimento se

dará daqui a 10 meses. No entanto, 4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar antecipadamente o empréstimo e solicita ao banco um desconto.

O banco informa que opera de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”, sendo sua taxa de desconto para esse tipo de operação de 3,5% ao mês.

Pede-se calcular o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco quando da liquidação antecipada do empréstimo.

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3) Um título foi descontado à taxa de 3% a.m. 5 meses antes de seu vencimento. Sabe-se que esta operação produziu um desconto de R$39.000,00. admitindo o conceito de desconto composto “por fora”, calcular o valor nominal do título.

Desconto Composto “Por Dentro” Conforme comentado, o desconto composto “por dentro” (ou racional)

é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos.

Exemplos: 1) Sabe-se que um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi

descontado 5 meses antes de seu vencimento. O valor nominal do título é de R$ 42.000,00 e a taxa de desconto de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido liberado nesta operação sabendo-se que foi utilizado o desconto composto “por dentro”.

2) Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal

de R$12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês.

3) Um banco libera a um cliente R$6.800,00 provenientes do desconto

de um título de valor nominal de R$9.000,00 descontado à taxa de 4% a.m. Calcular o prazo de antecipação que foi descontado este título.

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Problemas- Desconto Composto Racional 1 – Um título de valor nominal R$ 12.000,00 sofre um desconto à taxa de 5% a.a., 24 meses antes do vencimento. Qual o valor do desconto? a) R$ 1.000,00 b) R$ 1.115,64 c) R$ 1.215,64 d) R$ 1.615,64 e) R$ 10.884,36 2 – Qual o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto composto de R$ 500,00, a 60 dias de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês? a) R$ 8.710,80 b) R$ 8.210,80 c) R$ 8.000,00 d) R$ 7.210,80 e) R$ 500,00 3 – Um título de valor R$ 10.000,00, a vencer exatamente dentro de 3 meses, será resgatado hoje, por meio de um desconto composto a uma taxa de 4% ao mês. O desconto obtido é de: a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 1.110,00 d) R$ 1.200,00 e) R$ 2.000,00 4 – Uma duplicata foi descontada 1 mês antes do vencimento, à taxa de 4% a.m..O valor líquido composto foi de R$ 203,00. Então, o valor de face da duplicata era de: a) R$ 220,00 b) R$ 210,00 c) R$ 219,65 d) R$ 218,75 e) R$ 211,12 5 – Em 25/07/99, descontou-se em um banco uma duplicata de R$ 600,00, cujo vencimento era para 23/10/99. A taxa da operação foi de 4% a.m.. Nestas condições, qual foi o valor líquido do título? a) R$ 480,00 b) R$ 528,00 c) R$ 533,40 d) R$ 560,00 e) R$ 580,00 6 – Um título no valor nominal de R$ 50.000,00 para 30 dias foi trocado por outro, de R$ 60.000,00 para 90 dias. Qual a taxa de desconto composto que foi utilizada para que esses títulos fossem considerados equivalentes? a) 9,5% b) 10% c) 11% d) 12% e) 15%

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Equivalência de Capitais

Como já foi visto no casa das operações de desconto, é freqüente a necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras. Às vezes queremos substituir um título por outro ou por vários. Podemos também ter vários títulos que queremos substituir por único ou por vários.

Tais questões dizem respeito, de modo geral à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros.

Na prática, estas comparações são feitas utilizando-se o critério de juros compostos.

Data Focal

Definição: É a data que se considera como base de comparação dos

valores referidos a datas diferentes. A data focal também é chamada data de avaliação ou data de

referencia. Exemplo:

1)Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal

de R$15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disto, possui R$ 20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2%a.m. durante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é de 2% a.m., pergunta-se:

a) Quanto possui hoje? b) Quanto possuirá daqui a um ano? c) Quanto possuirá daqui a dois anos?

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Capitais Equivalentes

Diz-se que os dois ou mais capitais, com datas de vencimento

determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.

Exercícios:

1) Admitamos o conjunto de capitais seguinte: Capital (R$) Data de Vencimento

(Mês) 1.000,00 6 2.000,00 12 5.000,00 15

Admitindo-se a taxa de juros de 3% a.m, pergunta-se qual o valor atual deste conjunto na data focal zero. 2) João irá receber R$6.600,00(dentro) em um ano, como parte de seus direitos na venda de ações. Contudo, necessitando de dinheiro , transfere seus direitos a um amigo que os compra, entregando-lhe uma nota promissória no valor R$6.000,00 com vencimento para 6 meses. João fez bom negócio, se a taxa de mercado for de 20%a.a?.

3) Considerando-se a taxa de juros de 4% a.m, será que R$8.000,00 hoje é equivalente a R$10.000,00 em 6 meses?

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Washington Franco Mathias

José Maria Gomes

Matemática

FinanceiraFinanceiraCom + de 600 exercícios

resolvidos e propostos

3ª Edição

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Capítulo 5

RENDAS CERTASOU OU

ANUIDADES

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Rendas Certas ou Anuidades

Definições: Dada uma série de capitais, referidos às suas respectivas datas:

R1 n1

R2 n2

Estes capitais, referidos a uma dada taxa de ju-ros “i” caracterizam uma anuidade ou renda certa.VALORES = Termos da anuidade;PERÍODO = Intervalo de tempo entre dois termos;DURAÇÃO DA ANUIDADE = Soma dos períodos.

R2 n2

... ...

Rm nm

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Valor Atual e Montante deuma Anuidade

Valor Atual: é a soma dos valores atuais dos seus termos, na mesma data focal e à mesma taxa de juros “i”.

Montante: é a soma dos montantes dos seus ter-mos, considerada uma dada taxa de juros “i” e uma data focal.

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Classificação das Anuidades

QUANTO AO PRAZO:

• Temporárias: quando a duração for limitada.• Perpétuas: quando a duração for ilimitada.

QUANTO AO VALOR DOS TERMOS:

• Constante: quando todos os termos são iguais.• Variável: quando os termos não são iguais entresi.

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Classificação das Anuidades

QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO:

• Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período.partir do primeiro período.-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos.-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos.

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Classificação das AnuidadesQUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO:

• Diferidas: quando os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro perío-partir de uma data que não seja o primeiro perío-do.-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos.-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos.

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Classificação dasAnuidades

QUANTO À PERIODICIDADE:

• Periódicas: se todos os períodos são iguais.• Periódicas: se todos os períodos são iguais.

• Não-periódicas: se os períodos não são i-guais entre si.

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Modelo Básico de Anuidade

São as anuidades que são:

• Temporárias;• Constantes;• Imediatas e Postecipadas;• Imediatas e Postecipadas;• Periódicas;• A taxa de juros “i” está referida ao mesmo pe-ríodo dos termos.

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Valor Atual do ModeloBásico

P = principaln = número de termosR = termosi = taxa de juros

P

R R R

0 1 2 n

Diz-se que o principal vai ser pago em “n” par-celas (prestações) iguais a “R”.

¬= aRP .n i

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Valor Atual do ModeloBásico

n i¬a = lê-se “a, n, cantoneira, i” ou “a, n, i”.

O cálculo de é feito do seguinte modo:n i¬a

EXEMPLO

Esta fórmula encontra-se tabelada para diversosvalores de “n” e de “i” (veja tabelas no fim do li-vro).

n

n

ii

ia

)1(

1)1(

+

−+=¬

n i

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Exemplo

I) João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações men-sais de $ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas apartir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou es-tar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergun-ta-se o preço do carro à vista.Resolução:

n

n

ii

ia

)1(

1)1(

+

−+=¬n i n

iia

)1( +

=¬n i

onde: n = 4 mesesi = 2% a.m.

807729,3)02,1.(02,0

1)02,1(4

4

≅−

=¬an i

Portanto, como R = 2.626,24:P = 2.626,24 x 3,807729 = 10.000,00

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Exemplo

II) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.

Resolução:

¬

=

a

PR

n i

onde: P = 5.000,00onde: P = 5.000,00n = 10 m.i = 3% a.m.Procurando numa tabela ou calculando diretamente,

tem-se:

15,586$530203,8

00,000.5

530203,8

==

≅¬

R

a10 3

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Exemplo

Portanto, o comprador deverá pagar uma prestação men-sal de $ 586,15, por 10 meses.

III) Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nasseguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações men-sais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lo-jas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista.jas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista.

Resolução: Chamando a entrada de E e as prestações de R, te-mos:

0 1 2 3

EP

{ R R R

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Exemplo

Portanto, o principal (P), que é o valor atual das prestações nadata zero somado à entrada (E), pode ser expresso do seguintemodo:

3 2,5¬+= RaEP

onde: E = 1.500,00R = 1.225,48R = 1.225,48

Logo: P = 1.500,00 + 1.225,48 x 2,856024P = 1.500,00 + 3.500,00P = $ 5.000,00

Portanto, o preço à vista nas condições dadas é de $ 5.000,00.

3 2,5 856024,2≅¬a

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ExemploV) Um tapete persa é vendido por $ 15.000,00 à vista. Pode seradquirido também em prestações mensais de $ 885,71, a juros de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mêsseguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de pres-tações.

Resolução:n i. ¬= aRP n i

491933,0)03,1(

508067,0)03,1(1

03,0

)03,1(1935566,16

935566,1671,885

000.15

.71,885000.15

=

=−

−=

==¬

¬=

−

−

−

n

n

n

a

a n 3

n 3

Temos que:

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Exemplo

Extraindo o logaritmo dos dois membros, tem-se:

log(1,03) log(0,491933)

log(0,491933)

log(1,03)

n

n

− =

= −

log(1,03)

0,30809424 meses

0,012837n

−= − ≅

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Montante do ModeloBásico

S = montanten = número de termosR = termosi = taxa de juros

S

R R R

0 1 2 nn-1

EXEMPLO

Diz-se que “s” é o resultado de um processo decapitalização (aplicação) de “n” parcelas iguais a“R”.

¬= sRS .n i

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Exemplo

I) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-seque ela está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em 2 anos ?

Resolução:

¬= SRS . n i

onde: R =1.000,00

Portanto: S = 1.000,00 x 30,421862S = $ 30.421,86

24 2 421862,30=¬S

Logo, após 2 anos, a pessoa possuirá $ 30.421,86.

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Montante do ModeloBásico

n i¬s = lê-se “s, n, cantoneira, i” ou “s, n, i”.

O cálculo de é feito do seguinte modo:n i¬s

EXEMPLO

Esta fórmula encontra-se tabelada para diversosvalores de “n” e de “i” (ver tabelas no fim do li-vro).

i

is

n 1)1( −+=¬

n i

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ExemploII) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 à vis-ta, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma cer-ta quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio ren-dendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto deveser poupado mensalmente.

Resolução: Neste caso, o montante é dado:S = 40.000,00S = 40.000,00

Como a taxa de 2,2% não se encontra tabelada, faze-mos o cálculo diretamente:

12 2,2 022,0

1298407,1

022,0

1)022,1( 12−

=−

=¬S

563955,13022,0

298407,0==

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Exemplo

Temos:

12 2,2

00,949.2$

99,948.2563955,13

000.40

=∴

=

¬

=

R

R

S

SR

00,949.2$=∴ R

Então, se a pessoa poupar $ 2.949,00 por mês e fizer a aplicação a 2,2% a.m. por 12 meses poderá comprar o carropretendido.

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Relação entre o Valor Atual e o Montante do Modelo Básico

A relação é:

niPS )1( +=

EXEMPLO

n i

E a relação entre os fatores é a seguinte:

¬+=¬ aisn.)1(n i

iPS )1( +=

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ExemploUma pessoa possui $ 30.000,00, que pode aplicar do seguintemodo:a) no banco A, que paga um juro de 3% a.m. ao fim de cadamês, devolvendo o capital no fim do 12º mês;B) no banco B, que devolve $ 42.000,00 no fim do 12º mês.Pede-se determinar a melhor aplicação.

Resolução: A melhor aplicação será aquela que conduzir aomaior montante na data focal 12:

Banco A: A aplicação de $ 30.000,00 a um juro de 3%a.m. produz uma renda mensal de $ 900,00. Portanto, o mon-tante na data focal 12 é:

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Exemplo

83,772.42$

83,772.12000.30

192030,1400,900000.30

.00,900000.30

=

+=

+=

¬+=

A

A

A

A

S

S

xS

SS

Note-se que pela fórmula este resultado pode ser obtido dire-tamente:

12 3

83,772.42$

425761,1000.30

)03,1.(000.30

)1(12

=

=

=

+=

A

A

A

n

S

xS

S

iPS

tamente:

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Exemplo

Já sabemos que o Banco B devolve:

SB = $ 42.000,00

Logo, concluímos que é melhor aplicar no Banco A, ganhandoum adicional de $ 772,83.um adicional de $ 772,83.

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AULA 11

MATEMÁTICA FINANCEIRA


1 – Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de Juros Prazo a) 1% a.m. 24 meses b) 5% a.b. 12 bimestres c) 8% a.t. 10 trimestres d) 10% a.s. 20 semestres e) 30% a.a. 30 anos 2 – Um terreno foi comprado com uma entrada de R$ 50.000,00 e 12 prestações mensais consecutivas de R$ 6.319,16. Qual o preço a vista do terreno se a taxa do mercado imobiliário é de 3,8% a.m.? 3 – Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de R$ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 3% a.m. 24 meses b) 3% a.m. 36 meses c) 4% a.m. 24 meses d) 5% a.m. 12 meses

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4 – Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de R$ 97,49 ou em 24 prestações mensais de R$ 61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros do crédito pessoal é de 2,5% a.m., pergunta-se: Qual é o melhor sistema para o comprador? 5 – Quantos depósitos bimestrais de R$ 1.000,00 serão necessários para que, se a remuneração for de 4% a.b., se tenha R$ 29.778,08? 6 – Uma dona de casa compra um televisor em cores em 24 prestações de R$ 630,64, sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 4% a.m., qual seria o valor do televisor a vista? 7 – O corretor prometeu a um cliente que, se ele efetuasse 12 depósitos trimestrais de R$ 1.050,00, após o último depósito ele teria R$ 20.000,00. Que taxa de juros o corretor está oferecendo ao cliente?

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PRESTAÇÕES - PROBLEMAS

1- Um carro é vendido a prazo, por cinco prestações mensais de R$ 12 000,00, com a primeira prestação vencendo um mês após a compra a taxa de 4%a.m. Qual o valor do carro a vista?

2- Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de R$ 2 800,00,

sendo a primeira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso “com entrada”, a taxa de 3%a.m. Qual o valor do carro a vista?

3- Um televisor custa R$ 5 000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m.. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.

4- Uma loja vende uma geladeira por R$ 2 000,00 a vista ou financiada em 12 meses, a juros de 2%a.m.. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após 1 mês ?

5- Numa agência de automóveis o preço de um carro, a vista é de R$ 50 000,00. Qual é o valor da prestação mensal, se o carro for financiado em 12 meses, sem entrada, e a taxa de juros contratada for de 4% a.m.?

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AULA 13 Matemática Financeira


SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES

1 – Para um projeto de expansão, a empresa “BETA” obtém um financiamento de R$ 5.000.000,00 do Banco X , nas seguintes condições: a) Taxa de juros: 8% a.a. – com pagamentos semestrais. b) Amortizações: SAC – Sistema de Amortizações Constantes, com pagamentos semestrais. c) Prazo de Amortização: 5 anos. Construir a planilha de financiamento: 2 – A taxa efetiva do Banco X é de 20% a.a. Neste banco, uma companhia retira um financiamento de R$ 400.000,00, comprometendo-se com o Banco X a amortizá-lo em 6 prestações quadrimestrais, vencendo a primeira 4 meses após o fechamento do contrato e concomitante recebimento do valor financiado. Como foi dotado o Sistema Francês de amortizações, a empresa quer saber qual é a parcela de juros contida em cada prestação para que possa ser feita sua apropriação nas despesas do período. Calcular os juros por período. Construir a planilha de financiamento:

Sistema Americano

3 – Um banco empresta a um empresa R$ 15.000.000,00 pelo prazo de 4 anos, à taxa de 8% a.a.. Sabendo-se que será adotado o Sistema Americano de amortização, qual será o desembolso anual? Construir a planilha de financiamento:

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Problemas de Amortizações

1 – Um banco emprestou a uma empresa R$ 1.200,00, a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês. A empresa decidiu amortizar a dívida com os seguintes pagamentos R$ 336,00 no 1º mês, R$ 327,00 no 2º mês, R$ 318,00 no 3º mês e R$ 336,00 no 4º mês. O sistema de Amortização adotado para tais pagamentos é o chamado: a) Sistema de Amortização Constante b) Sistema de Amortização Mista-SAM c) Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) d) Pagamento Periódico de Juros e) Pagamento no Final 2 – Uma empresa financiou R$ 8.500,00 em 4 anos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao ano pelo Sistema Francês de Amortização ou Tabela Price. O valor da segunda prestação anual será de: a) R$ 0,00 b) R$ 340,00 c) R$ 2.341,67 d) R$ 2.360,84 e) R$ 2.380,00 3 – Um financiamento no valor de R$ 900.000,00 é amortizado em 20 parcelas mensais pelo sistema francês. A taxa de juros contratada é de 3% ao mês. Determinar o valor dos juros pagos no financiamento. a) R$ 60.494,16 b) R$ 183.880,13 c) R$ 200.883,10 d) R$ 300.000,00 e) R$ 309.883,13 4 – Um empréstimo no valor de R$ 20.000,00 será liquidado pelo sistema de amortização constante em 10 prestações mensais. A taxa de juros contratada para a operação é de 2% ao mês. Determinar o valor de cada amortização mensal. a) R$ 1.400,00 b) R$ 1.600,00 c) R$ 2.000,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.600,00

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5 – A uma pequena empresa são emprestados R$ 50.000,00 a serem pagos pelo Sistema Francês de Amortização. As condições do financiamento são as seguintes: a) Prazo: 10 semestres b) Juros: 6% ao semestre Qual o valor da 4ª prestação a) R$ 5.000,00 b) R$ 6.000,00 c) R$ 6.793,00 d) R$ 6.873,40 e) R$ 7.000,00 6 – Um empréstimo de R$ 80.000,00 deve ser pago em 4 amortizações constantes anuais sem carência. A taxa de juros contratada é de 8% a.a. O valor da 2ª prestação é de: a) R$ 20.000,00 b) R$ 21.600,00 c) R$ 23.200,00 d) R$ 24.800,00 e) R$ 26.400,00 7 – O montante de R$ 450.000,00 é financiado em 5 anos à taxa de 18% a.a., no Sistema Americano. Qual o valor da prestação no 5º ano. a) R$ 531.000,00 b) R$ 855.000,00 c) R$ 405.000,00 d) R$ 81.000,00 e) R$ 66.742,00 8 – Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 será liquidado pelo sistema de amortização constante (SAC) em 40 parcelas mensais. A taxa de juros contratada para a operação é de 4% ao mês. Determinar o valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 10ª prestação. a) R$ 20.000,00 b) R$ 40.000,00 c) R$ 50.000,00 d) R$ 60.000,00 e) R$ 80.000,00

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Livro Matemática Financeira Cristiano Jung

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